Något om Derivator och Mathematica
|
|
- Margareta Lundqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Något om Derivator och Mathematica Bertil Nilsson
2 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Förord På följande sidor presenteras en elementär streetwise guide till derivata med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska eempel ges. Begreppet gränsvärde Gränsvärdesbegreppet är grundläggande inom den del av matematiken som brukar kallas analys. Definitionen av övriga begrepp som kontinuitet, derivata och integral vilar tungt på begreppet gränsvärde. Den första definitionen av gränsvärde gjordes omkring 760 av den franske matematikern d Alembert och den nuvarande definitionen infördes på 80-talet av hans landsman Cauchy. Abstrakt materia och det har sedan dess presenterats konkurrerande definitioner, minst lika svårsmälta. Frågeställningen som ligger på bordet är Hur uppför sig funktionen f när ligger nära ett visst tal a alternativt antar mycket stora positiva eller negativa värden?. Här handlar det inte om fall då f a kan beräknas helt odramatiskt, utan gränsvärdesbegreppet är ämnat att ta hand om de bekymmer som kan uppkomma då vi försöker beräkna f a, eempelvis 0, och. Med 0 oändlighetssymbolen menas ett tal som är stort bortom alla gränser. Att förtydliga med är aldrig fel. På motsvarande sätt lägger vi innebörd i. Notera att är en symbol för ett stoooort tal och denna kan man inte räkna med på samma sätt som med tal i. I Mathematica hämtas ur palette eller med inf på tangentbordet. Vi ska göra två definitioner men vädja till den intuitiva bilden som åskådliggörs. Först har vi fallet då antar ett stort positivt tal, följt av ett eempel, sedan fallet då går mot ett tal a. Definition. Antag att definitionsmängden till f inte är uppåt begränsad, det vill säga att det i varje öppet intervall Ω, finns minst en punkt i D f. Man säger att f har gränsvärdet A då går mot oändligheten om det till varje Ε0finns ett Ω så att f A Εdå Ωoch D f. Vi skriver då lim f A eller f A då och säger Limes f då går mot oändligheten är lika med A eller Att f går mot A då går mot oändligheten. Ordet limes är grekiska och betyder gräns. Innebörden är att vi kan göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Ω tillräckligt stort. Oftast blir Ω en funktion av Ε. Vi ser i figuren att innebörden är att Ω måste väljas så att för alla Ωär f innestängd i korridoren A Ε, A Ε. AΕ AΕ A f Ω Eempel : Visa att f då. Låt Ε0vara en godtycklig önskad noggrannhet. Vår uppgift blir nu att söka ett Ω så att för alla Ωgäller f f Ε Ε Ε 0 Ε varav tillräckligt stort. Så varje tal Ω är tillräckligt. Lägg speciellt märke Ε Ε till att Ω inte behöver väljas skarpt, alla Ω duger onödigt bra. Vi ritar väl Ε Ε en liten bild som vanligt. Ε Ε Ω Definition. Antag att det i varje omgivning till punkten a, det vill säga ett intervall a Δ, a Δ, finns minst ett D f. Man säger att f har gränsvärdet A då går mot a om det till varje Ε0finns ett Δ0så att f A Εdå a Δoch D f. Vi skriver då lim a f A eller f A då a och säger Limes f då går mot a är lika med A eller Att f går mot A då går mot a. Innebörden är att vi kan göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Δ tillräckligt litet. Oftast blir Δ en funktion av Ε. Vi åskådliggör med en figur, där innebörden är att Δ måste väljas så litet att för alla aδ, a Δär f innestängd i korridoren A Ε, A Ε. f AΕ A AΕ aδ a aδ Gränsvärde som eisterar ändligt i kallas för egentligt gränsvärde medan de som går mot kallas oegentligt gränsvärde. Synonymt används eistera respektive ej eistera. På motsvarande sätt kan man fylla på med en bunta definitioner med alla kombinationer mellan f går mot eller A då går mot, a, a eller a där de två sista kallas för vänstergränsvärde respektive högergränsvärde med tecknet visande från vilken sida man närmar sig a. Man kallar dem ensidiga gränsvärden. Ett krav för att lim a f ska eistera är att vänster- lim a f och högergränsvärdet lim a f eisterar och är lika. Vänstergränsvärdet skrivs ibland lim a f går upp mot och högergränsvärdet lim a f går ner mot.
3 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Till sist en liten invändning mot definitionerna ovan. Dessa kan bara användas då man redan känner gränsvärdet. I enkla fall kan man gissa och prova några kandidater och se om det går bra, men i det allmänna fallet är detta ingen framkomlig väg. I bland har man dessutom bara behov av att veta att man har ett egentligt gränsvärde utan att faktiskt behöva veta vad det är! Modern teori har metoder för att angripa dessa frågeställningar. När man beräknar ett gränsvärde undviker man att arbeta direkt med definitionerna. I stället har man från dessa härlett ett antal räkneregler och standardgränsvärden som man använder sig av. De presenteras här utan bevis, flera av dem är rätt självklara. Räkneregler Om f 0 och g begränsad, så gäller att f g0. Om f A och gb då a, a, a, eller så gäller f ga B, f gab, f A ifall B 0. g B Om ga och f ta då t a så gäller f g A. (sammansättning) Om f A och ga och f hg så gäller ha. (instängning) Om f g och f A, gb så gäller A B. (gränsövergång i olikhet) Standardgränsvärden 0då Α 0då om a ln n då0 n a a n 0dånom a ln 0dåom Α0 då 0 Α a n då n om a Α ln0då 0 om Α0 sin a n eisterar ej då n om a n då n n då0 a dån då n an 0dån n dån om a 0 Lägg speciellt märke till gränsvärdet då som är definition på den naturliga basen. Till slut återstår bara att höra vad Mathematica har att säga i ärendet. Funktionen heter naturligtvis Limit med optionen Direction för att indikera att ett ensidigt gränsvärde önskas. Naturligtvis är den bestyckad med utökade listor av regler och standardgränsvärden samt ytterligare mycket avancerad teori för att hantera verkligt komplicerade uttryck. Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Alldeles för komplicerat för hand!! Limit, Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Luktar! Skriv om med potenslagar Låt u så har vi att u då u u då u enligt sammansättningsregeln ovan. Limit, Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Vi får Av typen 0. Konjugatregeln i täljaren då. 0 Vi ser att det gäller att bädda upp innan det är da att gå i gräns. Limit,
4 4 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Vi får Av typen Förläng med täljarens konjugatkvantitet då. 4 Konjugatregeln Hyfsa Att meka om med vanlig algebra innan det är da att gå i gräns är standard. Se här att 0 kan bli vad som helst! Beware!! 0 Limit, 4 Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Vi får Av typen. Förläng med konjugatkvantiteten, Dividera med nämnarens dominerande term Här Standardgränsvärde 0 då. Frestas aldrig att ge värdet 0! Kan bli vad som helst! Beware!! Konjugatregeln Hyfsa Potenslag Limit, Eempel: Bestäm gränsvärdet av cossin då 0. Lösningsförslag: Vi får cossin cos sin Av typen 0. Dividera med nämnarens dominerande term Här 0 Standardgränsvärde då 0. 0 Eftersom sin är det enda vi kan i trigonometriska branschen är det bara att sikta på detta och skriva om! Dé måste gåfrestas aldrig att ge 0 värdet! Kan bli vad som helst! Beware!! 0 Limit CosSin, 0 Eempel: Bestäm vänster- och högergränsvärdet av Heavisides stegfunktion Θ 0 då Lösningsförslag: Vanlig strömbrytare när man räknar på elektriska kretsar, ej definierad för 0. Vi tar hjälp av Mathematica för vänster- följt av högergränsvärdet. Limit 0 0, 0, Direction, Limit, 0, Direction ,
5 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 5 Eempel: Visa standardgränsvärdet sint dåt 0. t Lösningsförslag: En titt i tabellen över standardgränsvärden indikerar att detta är det enda som avhandlar trigonometriska funktioner, och är därmed en slags prototyp som man alltid ska ha som mål för sina omskrivningar i sådana situationer. Notera att t är en vinkel som naturligtvis mäts i radianer. Vi inser att det inte spelar någon roll från vilken sida vi närmar oss 0 i denna gränsövergång av typen 0 sint, ty sint sint. Så vi tar hjälp av enhetscirkelns första kvadrant där areamåtten för två rätvinkliga trianglar 0 t t t och en tårtbit är lätta att rangordna. y tant sint costsint t Π Π tant costsint t Π Π sint cost Arean för två trianglar bashöjd samt tårtbit där emellan. Men tant def sint. Dividera cost nu de tre leden med sint t cost cost t sint cost t lim t0 sint Nu är det ok att gå i gräns, t 0 cost Färdig lim t t0 sint med instängning Höger- och vänstergränsvärdena är alltså lika, och därmed är saken klar. Detta vet naturligtvis Mathematica Limit Sint,t 0 t Kontinuerliga funktioner En funktion f säges vara kontinuerlig i punkten a om a D f och funktionen har ett gränsvärde då a. Då är lim a f f a. Om f är kontinuerlig i alla punkter i D f säges den vara en kontinuerlig funktion. En funktion kallas diskontinuerlig i punkten a om a D f och funktionen saknar gränsvärde då a. Kontinuerliga funktioner är trevliga att ha att göra med. Av räknereglerna för gränsvärden följer nämligen att f och g kontinuerliga f g f g f g f g f kontinuerliga. Lite populärt kan man säga att en kontinuerlig funktion, precis som namnet antyder, kan ritas utan att lyfta på pennan, det vill säga dess graf hänger ihop. Det finns gott om teori för kontinuerliga funktioner, speciellt kokar nästan all tillämpad matematik ned till två grundläggande problem, nämligen sökning av rötter eller nollställen till en kontinuerlig funktion Satsen om mellanliggande värden. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så antar funktionen i detta intervall varje värde mellan f a och f b. och maimering eller minimering av en kontinuerlig funktion Satsen om största och minsta värde. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så är f uppåt och nedåt begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall. Dessa satser är trots sin intuitivt nästan enkla innebörd svårare att besvisa än vad som kan förmodas. Vi nöjer oss med att konstatera att vi har makterna med oss!
6 6 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Begreppet derivata Antag att en funktion f är definierad i en omgivning till punkten a. Om gränsvärdet f ah f a lim h0 h eisterar, säges f vara deriverbar i punkten a och gränsvärdet kallas f:s derivata i punkten a och skriver f ' a och pratar om f prim. Analogt pratar man om höger- respektive vänsterderivata i punkten a beroende på från vilket håll man närmar sig a. För att f ska få kallas deriverbar måste dessa vara lika och alltså oberoende av om h är positiv eller negativ. Man kan illustrera gränsövergången som en bukett sekanter, det vill säga en rät linje som går genom två punkter på kurvan, som tvingas ned till att bli en tangent och därmed beröra kurvan i endast en punkt a, f a. y y y f y f Θ y y f ah f a f ' a lim lim 0 h0 h k T tanθ f ' a a ah a ah Derivatans geometriska betydelse är välkänd. Om f är deriverbar i punkten a så är k T f ' atanθ riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y f i punkten a, f a. Ibland är man också intresserad av normalen i samma punkt, vilket är en linje som är vinkelrät mot tangenten. Om k N är normalens riktningskoefficient kan man visa att k T k N. Vi sammanfattar situationen. k T f ' a, k T k N så med enpunktsformeln har vi y f ak T a tangentens ekvation i punkten a, f a. y f ak N a normalens ekvation i punkten a, f a. Om f är deriverbar överallt i sin definitionsmängd säges f vara en deriverbar funktion. Då är f:s derivata f ' en funktion av med samma definitionsmängd som f. Inte sällan skrivs f och ibland kortare f ' eller Df. Även beteckningen y' eller y förekommer, varvid y är att uppfatta som en förkortning av f. När man ska derivera hela uttryck skrivs ofta, vilket ska tolkas som att en deriveringsoperator verkar på uttrycket inom parentes. Om f är en deriverbar funktion så är den också kontinuerlig. Omvändningen gäller ej! Det typiska eemplet är absolutbeloppet som är kontinuerlig men inte deriverbar för 0. Så funktioner vars grafer innehåller skarpa hörn är inte deriverbara där. Eftersom derivatan är en ny funktion är det naturligt att definera andraderivatan till f som derivatan av f '. Denna skrivs f '' och vi säger f biss. Analogt definieras derivator av högre ordning. Den n-te derivatan till f skrivs f n, D n f, n f, D n y, y n eller n y där n n y f. Inom fysik är tidsderivator mycket vanliga, till eempel har vi hastighet som är tidsderivatan av läget med avseende på tiden och accelerationen som är andraderivatan av läget med avseende på tiden. Tidsderivator har därför givits ett förkortat skrivsätt med prickar, förstaderivatan utläses prick och andraderivatan t prick prick. t Strategin som man alltid ska följa vid derivering för hand är att systematiskt med hjälp av deriveringsregler bryta ned det givna uttrycket till en mängd derivator av elementära funktioner, ofta kallade standardderivator (SD). Vi sammanfattar. Deriveringsregler, k konstant, f och g deriverbara kf' kf' f g' f ' g ' fg' f 'g fg' Konstantregeln Summaregeln Produktregeln f f 'g fg' ', g 0 g Kvotregeln g f g f 'gg ' g ' kallas inre derivata Vanlig form y y u i u gruvan Kedjeregeln Standardderivator, SD f f ' k 0 Α Α Α ln sin cos tan cos sin cos tan
7 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 7 Naturligtvis är Mathematica bestyckad med en mycket villig arbetshäst, D[f,]. Vill man derivera n gånger skriver man D[f,{,n}]. I palette finns dessutom den något opålitliga. Ta alltid för vana att i rutan sätta parenteser runt det som skall deriveras! Eempelvis Sin. Sedan gäller det i stort sett bara att skriva av rätt! Nu är det bara att sätta igång! Eempel: Bestäm derivatan av f med hjälp av definition. Lösningsförslag: Vi mäter våra krafter mot något vi har facit till. f h f f ' lim h0 h D, h lim h0 h lim hh h0 h lim h0. Ok med SD ovan, '. h0 Eempel: Bestäm derivatan av f. Lösningsförslag: Vi har med potenslagar och SD. Vänj dig vid skrivsättet. f ' SD, derivera. D, Eempel: Bestäm derivatan av f 5cos. Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! 5cos 5cos 5 cos 5 u cosu 5 u cosu 5sinu 0sin Summaregeln. Konstantregeln. Kedjeregeln u g. Konstantregeln. Endast SD kvar, derivera ty ' 0. Byt tillbaka u. Hyfsa D 5 Cos, 0 sin Eempel: Bestäm derivatan av f 4. Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! 4 Kedjeregeln u g 4 u u 4 Summaregeln. u u 4 Kedjeregeln v h 4. u u v v 4 Potenslagar och konstantregeln. u u v v 4 u v Endast SD kvar, derivera Byt tillbaka u och v. Hyfsa D 4, 4 4
8 8 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Bestäm tangenten och normalen till kurvan y ln i punkten a. Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata. Kontrollera för hand att Mathematica deriverar och räknar rätt! f : Log f' Enpunktsformeln y f ak T a där k T f ' a och a ger nu tangenten. Sedan normalen på samma sätt med k T k N. tangent Solvey f f', y y log54 normal Solvey f, y f' y log54 En bild piggar alltid upp PlotEvaluatef, y. tangent, y. normal,,, 4, AspectRatio Automatic, PlotStyle Red, Blue, Orange, AesLabel "", "y,y T,y N " y,y T,y N Att derivera en funktion på parameterform innebär helt naturligt att derivera varje koordinatfunktion var för sig. puu, yu, p u, y, u u Parameterform. Derivera Eempel: En partikel rör sig i en cirkulär bana i y-planet, ptcos t, sin t. Sök dess hastighet som funktion av tiden. Lösningsförslag: Partikeln rör sig moturs på en cirkel med radien lika med. Hastigheten får vi genom att derivera läget med avseende på tiden. ptcos t, sin t Parameterform. p t t cos t, t sin t Derivera Glöm inte kedjeregeln p t p' t sin t, cos t Hastigheten Hastigheten är en så kallad vektor. En sådan har både riktning och storlek. När det gäller hastighet så kallas dess storlek för fart. Så i bilen har vi strängt taget en fartmätare och inte en hastighetsmätare eftersom vi inte får någon information åt vilket håll vi kör Återkommer till detta senare i kursen Här nöjer vi oss med att rita ut läget med en blå vektorpil och hastigheten med en röd. Som väntat pekar hastighetspilen i färdriktningen längs banan p't pt t y
9 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 9 Partiell derivata Vi har tidigare stiftat bekanskap med funktioner som har flera oberoende variabler och en beroende variabel. På samma sätt som vid analys i en variabel är man även i dessa fall intresserad av hur funktionen beter sig i närheten av en punkt, det vill säga derivata. Antag att vi har en funktion z f, y : så definierar vi analogt med det endimensionella fallet de partiella derivatorna med avseende på respektive y i punkten, y f f f h,y f lim h0 h f y f f,yh f y y lim h0 h om gränsvärdena eisterar. Utvidgning till n oberoende variabler är odramatisk f f i lim i h0 f,, i h,, n f,, n. Inget h märkvärdigt, räknetekniskt gör man som vanligt, det vill säga deriverar med avseende på den variabel som önskas och låter de andra oberoende variablerna vara konstanter vilka som helst. För att markera att det handlar om partiell derivata skriver vi i stället för och vid '-beteckning måste vi ange i ett subinde vilken variabel vi avser att behandla. Eftersom vi vilar på samma gränsvärdesfundament som i envariabelfallet kommer hela arsenalen av eempelvis deriveringsregler och standardderivator att ärvas över. De partiella derivatorna i en given punkt 0, y 0 kan tolkas geometriskt, se den informationstäta figuren och låt färgpennan hänga med. Skär ytan z f, y med ett plan 0 parallellt med yz koordinatplanet och ett plan y y 0 parallellt med z koordinatplanet. Skärningspunkten mellan dessa tre geometriska objekt blir i rymdpunkten 0, y 0, f 0, y 0 markerad med en. Skärningen mellan ytan och planet 0 blir en funktion z f 0, y och den partiella derivatan f y0, y 0 är nu riktnings koefficienten för tangenten till kurvan z f 0, y i punkten 0, y 0.På motsvarande sätt inses att den partiella derivatan f 0, y 0 är riktnings koefficienten för tangenten till kurvan z f, y 0 i punkten 0, y 0. Dessa tangenter ligger naturligtvis i respektive skärningsplan. Eempel: Låt funktionen f, y 5y 4y sin y7 vara given. Bestäm de partiella derivatornna f f och. y Lösningsförslag: Vi får direkt f 4y sin y och f 5 8y cos y. I Mathematica är det samma gamla funktion y D som gör jobbet. Denna vektor kallas gradienten till f. f 5y 4y Sin y7; grad Df,, y 4 y sin y,8y cos y 5 Eempelvis i punkten, Π 4 har vi då f, Π 4 och f y, Π 4 grad., y Π 4 4 Π,5Π 4 Eftersom derivatan av en funktion är en ny funktion kan vi fortsätta derivera. Utvidgning av de partiella derivatorna av andra ordningen går till som i det endimensionella fallet och är fyra till antalet då vi har två oberoende variabler f, y. f f f f '' f y y f y y f y f '' yy f y y f y f f '' y f y f y f y f '' y Lägg märke till att för varje derivata så fyller man på subindelistan i slutet. Eempel: Bestäm de partiella derivatorna av andra ordningen till f, y i föregående eempel. Lösningsförslag: Eftersom vi redan bestämt de partiella derivatorna av första ordningen, f 4y sin y och f y 5 8y cos y får vi direkt f 6, f y 8 y cos y, f y 8 y cos y och f 8 4sin y. y
10 0 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Vi ser att f y f. Detta är ingen tillfällighet utan en regel. Det spelar alltså inte någon roll i vilken ordning vi deriverar, först y sedan y eller tvärtom. I D är det bara att lägga till ett argument. Df,,, Df,, y 6,8y cos y Alla derivator av andra ordning samlade i en matris f i j som kallas hessianen till f, som enligt ovan alltid är symmetrisk. Df,, y, 6 8 y cos y 8 y cos y 8 4 sin y Det bör nu inte förvåna någon att tredje, fjärde och högre ordningens partiella derivator definieras på liknande sätt, eempelvis f y '' f y och y f yy 4 f yyy. I Mathematica är det bara att fortsätta hänga på argument, så om vi fortsätter med eemplet ovan 4 har vi f y och f yyy. Df, y,,, Df, y, y,, y 0, 8 cos y 4 Så här ser eempelvis resan fram till f yyy ut. Det börjar med f själv, följt av f y, '' 4 fyy, f yy och slutligen f yyy. FoldListD, f, y, y,, y 4 y sin y 5 y 7, 8 y cos y 5, 8 4 sin y,8 4 sin y, 8 cos y Eempel: Antag att vi är ute och orienterar med höjdkartan h, ysincosy, 0, Π, y 0, Π och befinner oss i punkten, y, 4 och vill veta hur det lutar i olika riktningar. Alltså hur varierar gradienten. Lösningsförslag: Vi börjar med att rita en bild över terrängen med vår position markerad med en. Vi får de partiella derivatorna h cos, hy siny, som i vår position har värdena h cos0 och hy sin40. Så det är nerförsbacke i positiv -riktning (österut) och uppförsbacke i positiv y-riktning (norrut). Eftersom vi har en snäll funktion innebär det även att vi har uppförsbacke västerut och nerförsbacke söderut. Verkar stämma bra med det visuella intrycket man får av bilden. DSinCosy,, y.., y 4. cos, siny ,
11 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Implicita funktioner Med en implicit funktion menas samband på formen f, y0, där det är svårt, onödigt eller rent av omöjligt att skriva om på eplicit form y f. Att derivera en implicit funktion är inte värre än att derivera en eplicit. Man deriverar helt enkelt båda sidor med avseende på den variabel som önskas. Det är alltså som vanligt med ekvationer, ska något göras ska det göras på båda sidor! Om vi tänker efter så är ju derivatan av en eplicit funktion ett specialfall av den implicita, till eempel bestäm derivatan av y y y. I Mathematica används Dt[ekv,] och Dt[ekv,{,n}] för implcit derivering, (eng. total derivative). Vi tar några eempel. Tänk på att vara petnoga!! Eempel: Bestäm derivatan av y arccos. Lösningsförslag: Detta är det första av tre ureempel på implicit derivering. Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! y arccoscosy cosy y cosy y siny y y Definition Derivera implicit med avseende på Kedjeregeln. Endast SD kvar Trig. ettan siny Plugga sedan in cosy och lös ut y. cos y. Här gäller eftersom y V arccos 0, Π siny0. DArcCos, Eempel: Bestäm derivatan av y arcsin. Lösningsförslag: Detta är det andra... y arcsin siny siny y siny y cosy y y Definition Derivera implicit med avseende på Kedjeregeln. Endast SD kvar Trig. ettan cosy Plugga sedan in siny och lös ut y. sin y. Här gäller eftersom y V arcsin Π, Π cosy0. DArcSin, Eempel: Bestäm derivatan av y arctan. Lösningsförslag: Detta är det tredje... y arctantany tany y tany y tan y y y Definition Derivera implicit med avseende på Kedjeregeln. Endast SD kvar Plugga in tany och lös ut y. DArcTan,
12 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Bestäm y i punkten, då 4y 6 6. Lösningsförslag: Vi söker alltså tangentens riktningskoefficient i punkten,. Typisk implicit derivering. Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! 4y 6 6 Summaregeln och konstantregeln. 4 y 66 Produktregeln. 4 y y 66 Kedjeregeln. 4 y y y y 66 Endast SD kvar 4 y y y 0 6 Hyfsa 4 y y y Sätt in, y. 4 6 y y ekv Dt4 y 6 6, 4 y y y dyd Solveekv, Dty, y y y Lös ut y. Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att och y byts ut i y. Enklare för hand dyd. Rulea, b Rulea, b., y y 5 6 Samma resultat får man med den vanliga deriveringsfunktionen D[ekv,]om man talar om vad som är funktioner av, här y. Dt[ekv,]däremot deriverar allt som kommer i dess väg som om det vore en funktion av, det vill säga den lever upp till sitt namn (eng. total derivative). Vilken man använder är en smaksak och vad man tänkt göra med uttrycket efter derivering och naturligtvis hur den implicita funktionen är representerad i Mathematica. Utan tröttande kommentarer kör vi snabbt igenom eemplet igen med D istället. Jämför noga alla steg med Dt ovan! ekv D4 y 6 6, 4 y y y dyd Solveekv, y' y y y dyd., y y 5 6 Om vi jämför de två funktionerna D och Dt ser vi att de har sina för- och nackdelar. D deriverar bara det som är funktioner, typ y, och betraktar allt annat som konstanter. Dt däremot deriverar allt, och ger dessutom lite snyggare utskrifter på formen y. Priset man får betala vid Dt är att man måste ange vilka variabler som är konstanter och ett (mycket) komplicerat ReplaceAll (/.) i vissa situationer när man ska sätta in numeriska värden. Kolla noga i eemplet ovan igen. Även i kommande eempel kommer vi att använda båda metoderna så det blir gott om tillfällen att väga dem mot varann. Generellt kan man kanske säga att när man löser problem med Mathematica så är nog D den mest bekymmersfria varianten, dessutom är det ju ingen nackdel att hålla lite ordning på vad som varierar! Å andra sidan kommer det man gör för hand med naturlig användning av kedjeregeln mest likna det som Dt levererar.
13 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Eempel: Givet kurvan y 5siny. Sök y. Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Var noggrann! y 5siny Summaregeln. y 5siny Produktregeln och konstantregeln. y y 5 siny Kedjeregeln, vid y och u gy. y y y y 5 u sinu y y y y y y 5 u sinu y y y y y y 5 u sinu y y y y y y y 5cosuy y y y 5 y cosy y 0ycosy Potenslagar och produktregeln. Kedjeregeln. Endast SD kvar Byt tillbaka u. Hyfsa Lös ut y ekv Dt y 5 Sin y, y y 5 cos y y y y y Solveekv, Dty, y y 5 cos y y y 0 cos y y Samma resultat får man naturligtvis med den vanliga deriveringsfunktionen D. ekv D y 5 Sin y, y y 5 cos y y y y y Solveekv, y' y 5 cos y y y y 0 cos y y Eempel: För en viss typ av gas gäller sambandet pv 8 mellan tryck och volym. Bestäm p då p, V och V 6. Lösningsförslag: Först en liten bild över situationen. Plot 8, V,, 4, PlotStyle Orange, AesLabel "V", "p" V p V Sedan implicit derivering av uttrycket med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Typisk tillämpning, inget t i uttrycket så långt ögat når, men här inser vi att t ligger dolt i både Vt och pt. Så
14 4 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN ekv Dtp V 8, t V p t pv V t 0 Lös ut derivatan av trycket med avseende på tiden, det vill säga p p t. dpdt Solveekv, Dtp, t p t p V t V Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att p och V byts ut i p t och V. Enklare för hand t dpdt. Rulea, b Rulea, b. DtV, t 6. p, V p t 8 Å en gång till med D. Lös ut p t ekv Dpt Vt 8, t Vt p t pt Vt V t 0 och sätt in numeriska värden. dpdt Solveekv, p't p t pt V t Vt dpdt. V't 6, pt, Vt p t8 Om man vill så kan man naturligtvis sätta in numeriska data först och sedan lösa ut p' t. Vi provar i senaste varianten med D. Gör själv detta i fallet med Dt! numekv ekv. V't 6, pt, Vt 9 p t 7 0 Solvenumekv, p't p t8 Eempel: En surströmmingsburk sväller med mm dygn under det att den behåller sin cylindriska form. Vid en tidpunkt var radien r 50, höjden h 40 och r h. Sök vid t t denna tidpunkt. Lösningsförslag: Implicit derivering av cylinderns volym med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Detta är en typisk tillämpning på hastighetsproblem att derivera ett rent geometriskt uttryck med avseende på tiden. Lös sedan ut h t. ekv DtV Πr h, t V t Πr h r Π hr t t dhdt Solveekv, Dth, t Simplify h V t Π hr r t t Π r Slutligen är det da för numeriska data. Lite teknisk ReplaceAll(/.) för att undvika att r och h byts ut i r t hand att sätta in värden direkt efter implicit derivering ovan och h. Enklare för t dhdt. Rulea, b Rulea, b. DtV, t, Dtr, t. r 50, h 40
15 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 5 h 000 Π t 500 Π Kör på med D också. ekv DVt Πrt ht, t V tπrt h t Π ht rt r t dhdt Solveekv, h't Simplify h t V t Π ht rt r t Π rt dhdt. V't, r't,rt 50, ht 40 h t 000 Π 500 Π Eempel: Målarens mardröm. En målare befinner sig på en L m lång stege då dess kontaktpunkt med marken plötsligt släpper och glider ut med konstant fart längs marken. För vår vän på stegen väntar en obehaglig nedfärd. Sök hastigheten för stegens kontaktpunkt mot huset. Lösningsförslag: Lägg in stegen i ett koordinatsystem. Geometrin bestäms av Pytagoras sats. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t. der Dt y L,t y L y L t t t Stegens längd L ändras inte under den vådliga resan, detta måste vi ange eftersom Dt deriverar allt som om det vore funktioner av t. ekv der. DtL, t 0 y y t t 0 Lös ut den sökta hastigheten y y längs väggen. t dydt Solveekv, Dty, t y t t y Stämmer ju bra att resan går i negativ riktning då ökar. Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att och y byts ut i och y. Av samma skäl måste bytas innan. Som numeriskt eempel väljer vi en stege med längden 5 m och söker y då m och t t m/s. Mata in med rätt tecken så kommer svaret ut med rätt tecken i förhållande till de koordinatriktingar vi valt. Så blir det alltid! Smidigt i matematiken! t dydt. Rulea, b Rulea, b. Dt, t., y 5 y t Vi provar naturligtvis även med D. Notera speciellt behandlingen av L jämfört med ovan! der Dt yt L,t t t yt y t 0 dydt Solveder, y't
16 6 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN y t t t yt dydt. 't, t, yt 5 y t Eempel: Lille Kalle under lampans sken. Sök hur längden av Kalles skugga ändras då han promenerar mot lampan med konstant fart. Lösningsförslag: Figuren ovan åskådliggör modellen med intressanta geometriska storheter. Det räcker med likformiga trianglar för att koppla det som ändras med tiden, nämligen skuggans längd s och Kalles läge a i förhållande till lampan. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t. der Dt a s s H L,t a s t t H a s H t H s t L s L t L Varken Kalle eller lyktstolpen väer under studien antar vi... ekv der. DtL, t 0, DtH, t 0 a s t t H s t L Lös ut skuggans ändringshastighet dsdt Solveekv, Dts, t s t a t L H L Här duger en vanlig ReplaceAll (/.). Eempelvis H 0 m, L m och a m/s, negativ eftersom han rör sig mot lampan, ger slutligen s. ALLA indata med rätt tecken ger utdata med rätt tecken! dsdt. H 0, L, Dta, t s t Visst, skuggans längd minskar som sig bör! Slutligen en repris med D. Notera speciellt behandlingen av H och L jämfört med ovan! der D atst H a t s t H s t L st L,t dsdt Solveder, s't s t La t H L dsdt. H 0, L, a't s t
17 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 7 Eempel: I en ladugård finns en traktordriven höbalslyft enligt figur. Sök höbalens fart upp mot taket då traktorn kör iväg med konstant fart. Lösningsförslag: Med beteckningar enligt figur har vi dels Pytagoras sats och ett samband för repets längd L. Sådant samband brukar kallas kopplingsvillkor, eller bivillkor, eftersom det kopplar samman variabler till varann, här l och y som inte är oberoende av varann. Låt S vara den okända del av linans längd som är upplindad i taljans skivor. ekv h l,l h yl S h l, L h y l S Lös ut y och l. yål Solveekv, y, l y h h L S, l h, y h h L S, l h Här duger bara den sista lösningen eftersom l 0. Den andra lösningen är modellens spegelbild under markplanet! Även denna gruvvariant ryms i formuleringen. Derivera nu med avseende på tiden och anta att taket, repet och taljan håller under resan! DtyÅl, t. Dth, t 0, DtL, t 0, DtS, t 0 y t h h t t h L S h t t t, l t h h t t h y t t, l h t t h Detta är balens hastighet, i koordinatriktningen, som funktion av traktorns läge och hastighet. Var noga med tecken på t.e. om du vill eemplifiera med numeriska data. Gör det! Men först en koll på vad D har att säga, men håll själv först koll på vad som varierar med t!! ekv t h lt,l h yt lts h t lt, L h yt lt S yål Solveekv, yt, lt yt h t h L S, lt h t, yt h t h L S, lt h t DyÅl, t y t t t, l t h t t t h t Om man har att derivera ett omfattande uttryck som bara innehåller produkter och kvoter eller när den oberoende variabeln ingår i eponenter kan det vara lämpligt att tillgripa logaritmisk derivering. Egentligen inget nytt. Slå först sönder uttrycket med hjälp av logaritmlagarna och derivera sedan implicit. Vi sammanfattar f f f f m g g g n Logaritmlagar ln f ln f ln f ln f m lng lng lng n Derivera implicit... ln f i ln f f i f i osv... i f f f f f m f m g g g n g n f f f f f m f m g g g n g n... med kedjeregeln Lös ut f Färdig
18 8 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Låt y. Sök y. Lösningsförslag: Vi använder oss av logaritmisk derivering (vad annars?) Var noggrann! y lnyln lnyln ln Logaritmera båda sidor Utnyttja att ln a lnalnb, b lnylnln ln lnylnlnln lnablnalnb, lna b blna. lny ln ln ln y lny y ln ln ln y lny y ln ln ln ln Derivera implicit map Kedjeregeln och summaregeln. Produktregeln och konstantregeln. Endast SD kvar y y ln y ln y lnln Lös ut och sätt in y. D,Simplify log log Optimering Mycken sysselsättning i tillämpad matematik går ut på att optimera saker och ting, Så lätt som möjligt...!, Så billigt som möjligt...!, Så snabbt som möjligt...!, Så högt som möjligt...!. Detta innebär att vi vill söka maimum eller minimum till en given funktion i ett givet intervall. Sådana punkter brukar kallas etrempunkter och klassas som lokala eller globala beroende på deras innebördes rangordning. Motsvarande funktionsvärde brukar kallas etremvärden. Men det finns även begreppen terasspunkt och infletionspunkt. En bild förtydligar. y y f f'0 f' 5 0, f '' 5 0 f'0 f'0 f' 4 0, f '' 4 0 a b I intervallet a, b har vi 6 etrempunkter,, och 5 är lokala maimum medan, 4 och 6 är lokala minimum. Funktionen har globalt minimum i och globalt maimum i b. Om vi däremot mekar om till halvöppet intervall a, b så saknar funktionen ett globalt maimum. Om vi å andra sidan inskränker intervallet till a, 6 så har funktionen globalt maimum i. Vid sunda modelleringar brukar man ha globala min/ma inne i det intervall som man studerar. Vi sammanfattar Lite diagnostisering med hjälp av derivator. Om f ' 0 så är f strängt väande i. Brukar anges med. Eempelvis är f väande i intervallet, i figuren ovan. Om f ' 0 så är f strängt avtagande i. Brukar anges med. Eempelvis är f avtagande i intervallet, i figuren ovan. Om f ' 0 0 och f ' har teckenvälingen 0 i 0 så har f ett lokalt minimum i 0. Om f ' 0 0 och f ' har teckenvälingen 0 i 0 så har f ett lokalt maimum i 0. f '' 0 0vidlokalt maimum. Om f har etremvärde i punkten 0 så är f ' 0 0 och f '' 0 0vid lokalt minimum. Om f ' 0 0 och f ' har teckenvälingen 0 eller 0 i 0 så har f en terasspunkt i 0. Om f '' välar tecken i 0 så har f en infleionspunkt i 0. Detta innebär att f '' 0 0. Att optimera någonting, det vill säga att söka maimum eller minimum av en funktion, vilar tungt på derivering och ekvationslösning eftersom vi ställs inför problemet att lösa f ' 0. Mathematica har förutom de ovan nämnda funktionerna för att derivera en samling funktioner som är ämnade för direkt optimering; Maimize, NMaimize, FindMaimum, Minimize, NMinimize och FindMinimum. Se vidare i Help.
19 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 9 Eempel: Sök minsta avståndet från punkten, 0 till linjen y. Lösningsförslag: Drag en rät linje från, 0 till en godtycklig punkt, y på linjen. Vi ska bestämma så att linjestyckets längd L blir så kort som möjligt, och har situationen Plot,, 0,, AspectRatio Automatic, AesLabel "", "y", Epilog Red, Line, 0, 0.6, 0., Tet"L", 0.8, 0.5, Background White, Tet",y?", 0.6, 0., Background White y,y? L Vi låter Mathematica göra hela jobbet att lösa ut L ur Pythagoras sats och samtidigt eliminera y ur det så kallade kopplingsvillkoret mellan och y, det vill säga funktionssambandet y, så att vi får L. Typisk modellering att formulera samband på ekvationsform och låta Mathematica göra grovjobbet. Frestas inte att göra det för hand, eftersom det är ett utmärkt sätt att introducera fel! LÅy SolveL 0y,y, L, y L 5 8 4,y, L 5 8 4,y Här duger bara sista lösningen eftersom vi har kravet L 0. En liten plot ska man göra så ofta man hinner. Ger en direkt indikation på om vi har modellerat sunt och att titta tillbaka på när man väl har bestämt en etrempunkt! PlotL. LÅy,,,, PlotStyle Red, AesLabel "", "L" L Ett tydligt minimum som sig bör, eftersom vi inser att L både då och Bestäm nu etrempunkt, det vill säga optimalt, ur L 0. dld DL. LÅy, SolvedLd Stämmer bra med figuren ovan. Slutligen kortaste avståndet med y-värdet på köpet. LÅy. L 5, y 5 En snabb och direkt (ingenjörs ;-)version levereras i Mathematica av de lättanvända inbyggda optimerarna. Dessa kommer speciellt till användning då vi efter deriveringen hamnar i en icke-linjär ekvation som är för svår för Solve så FindRoot måste tillgripas. Sådana funktioner har ofta flera etrempunkter och man måste liksom vid FindRoot hjälpa till med ett startvärde i närheten av den etrempunkt man söker. Detta hämtas naturligtvis från grafen L och är enkelt i detta speciella fall. Notera att vi får både etrempunkten, på regelform naturligtvis, och etremvärdet.
20 0 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN MinimizeL. LÅy, 5, 4 5 Eempel: Ett eempel på då Solve går bet på att lösa f ' 0. f : Cos Denna funktion har oändligt med etrempunkter och nollställen. Viktigt att rita grafen! Plotf,, 0, 5, PlotStyle Orange, AesLabel "", "f" f Vi får olika etrempunkter beroende på var vi börjar nosa. Vi måste alltså veta vilken vi söker, vilket i sin tur beror på frågeställningen! Eempelvis FindMaimumf,, 5 6.6, 6.47 FindMinimumf,, 5.887,.456 FindMaimumf,, , FindRootf,, NMaimizef, 5 7, 6.6, 6.47 Eempel: Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med given volym V. Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area. Lösningsförslag: Antag att konservburken har höjden h och radien r. Dessa kan nu inte variera fritt oberoende av varandra, de binds samman av att volymen på burken är given V Πr h. Sådana här kopplingar brukar kallas för just kopplingsvillkor. Totala arean av burken byggs upp av två lock, A l Πr, samt mantelarean A m omkretshöjd Πrh. Gör nu inte för mycket för hand, varje sådan insats är en potentiell risk för att introducera fel. Låt Mathematica göra jobbet! Skriv bara ned alla grundsamband. ekv V Πr h, A tot A l A m,a l Πr,A m Π rh V Πhr, A tot A l A m, A l Πr, A m Π hr Utnyttja att V är given för att lösa ut A tot som funktion av r. Ta för vana att lösa ut lika många variabler som vi har ekvationer. Även de variabler som inte primärt används vid optimeringen är oftast intressanta att veta värdena på till slut. Så alla som funktioner av r! Amm Solveekv, A tot,h,a l,a m A tot Π r V, h V r Π r, A l Πr, A m V r
21 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica PlotA tot V. Amm. r V,, 0.,, PlotStyle Red, PlotRange 5, 0, AesLabel "rv ", "A tot V " A tot V rv Ser sunt ut, eftersom A tot både då r 0 och r Bestäm nu det r som minimerar A tot genom att söka nollställe till derivatan, A tot r 0. dadr DA tot. Amm, r 6 Π r Π r V r r SolvedAdr 0, r r V Π r N, r V, r V Π Π r V, r V, r V Här är det bara den mittersta lösningen som är reell, de andra två komplea har inte med saken att göra. Slutligen alla variabler vid detta välsignade tillstånd. Amm. r N A tot Π V, h V, A l Π, A Π m Π V V A tot V, h.0885 V, A l V, A m V Alla symboliska resultat måste underkastas dimensionsanalys!! Här har vi arean A tot höjden h V V Π Π V A l A m V m m, Ok! m m, Ok! Med symboliska svar kan man lätt få en kvalitativ bild av hur modellen påverkas av olika storheter. Vi ser att burken får en kvadratisk profil, eftersom r h. Amm. r Om volymen varit specificerad till ett numeriskt värde, säg V, kunde vi eempelvis direkt använt oss av FindMinimum. FindMinimumA tot. Amm. V, r, 5.558, r
22 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Några viktiga satser Vi sammanfattar några viktiga satser, utan bevis, som väsentligen motiverar det som angetts ovan. Det kan nämnas att bevisen av vissa av dem är svårare än vad som kan förmodas, med tanke på deras enkla innebörd. Vi börjar med Bolzano-Weierstrass sats (Bernard Bolzano (78-848) och Karl Weierstrass (85-897)) Satsen om mellanliggande värden. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så antar f i detta intervall varje värde mellan f a och f b. Sedan har vi Satsen om största och minsta värde. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så är f uppåt och nedåt begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall. Satsen om lokalt maimum och minimum. Antag att funktionen f har ett lokalt maimum eller minimum i en punkt Ξ, som är inre punkt i ett intervall där f är definierad. Om då f ' Ξ eisterar, så är f ' Ξ0. Uppkallad efter den franske matematikern Michel Rolle (65-79) har vi den viktiga Rolles sats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, deriverbar i a, b och f a f b0. Då finns det minst en punkt Ξ a, b sådan att f ' Ξ0. Uppkallad efter en av 700-talets främste matematiker, (italienskfödde) fransmannen Joseph Louis Lagrange (65-79) har vi den viktiga generaliseringen av Rolles sats Lagrange medelvärdessats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b och deriverbar i a, b. Då finns det minst en punkt Ξ a, b sådan att f b f a f ' Ξb a. Lagrange medelvärdessats har en rad viktiga konsekvenser. Här redovisas några. Antag att funktionen f är deriverbar i intervallet I, som kan vara begränsat, obegränsat, öppet, slutet eller halvöppet. Då gäller Om f ' 0 för alla I, så är f en strängt väande funktion i I. Om f ' 0 för alla I, så är f en strängt avtagande funktion i I. Om f ' 0 för alla I, så är f konstant i I.
TMV225 Kapitel 3. Övning 3.1
TMV225 Kapitel 3 Övning 3. Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim 3 [ 2 3 + 5] Vi har givet att 3, och då funktionen är kontinuerlig får vi gränsvärdet ȳ 5 genom att stoppa in. Per definition
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merNågot om Taylors formel och Mathematica
HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merMA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp, 2013-08-12
MA003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp, 03-08- Hjälpmedel: Räknedosa! Tänk på att dina lösningar ska utformas så att det blir lätt för läsaren att följa dina tankegångar. Ofullständiga lösningar, eller lösningar
Läs merTillämpad Matematik I Övning 3
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Tillämpad Matematik I Övning llmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA 26-3-3. Funktionen f() = + 3 2 ln( + 3 2 ) är definierad för alla R oc ar derivatan f () = 3 vilket ger följande teckentabell: 2 6 + 3 2 = 92 2 + 3 + 3 2 = 9( )( 3 ) + 3 2, 3 +
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merTillämpad Matematik I Övning 3
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 3 1 Tillämpad Matematik I Övning 3 Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merÖvningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp
Övningstentamen i MA Tillämpad Matematik I,.hp Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merNågot om Dimensionsanalys och Mathematica. Assume period T Cm Α g Β L Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 1 kg Α m Β. Identify exponents VL HL kg 0 Α m 0 Β Γ s 1 2 Β
HH/ITE/BN Dimensionsanalys och Mathematica 1 Något om Dimensionsanalys och Mathematica Bertil Nilsson 2016-08-15 Assume period T Cm Α g Β Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 2 s 1 kg Α m Β s 2Β m Γ Identify exponents
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merGränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003
Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 5-- Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer aril 5, kl 9:-: (a) Vi använder
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merTisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap 10 1. Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs mer