Tillämpad Matematik I Övning 2

Transkript

1 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Tillämpad Matematik I Övning Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta eempel. Uppgifter Typuppgifter i första hand. Ange D f och V f för a f b f 5 c f Lösningsförslag: a) Kvadratroten kräver 0, så D f, och V f 0,. Plot,, 0, 00, PlotStyle Red, AesLabel "", "f" 0 8 f b) Eftersom vi inte får dividera med noll, är D f \5 och V f \0. Vi säger att f har en vertikal asymptot i 5 och en horisontell y 0. Plot,, 0, 0, PlotStyle Blue, AesLabel "", "f" 5 f 8 0 c) Kvadratroten kräver 0, så D f, och V f 0,. Plot,,,, PlotStyle Orange, AesLabel "", "f" f Bestäm V f till funktionen f sin,.

2 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Lösningsförslag: Eftersom vi har att så kommer sin att genomlöpa hela sin värdemängd V sin, V sin 0, ma f 0, min f V f,. PlotSin, Sin,,,, PlotLegends "Epressions" sin sin. I en speciell gas gäller sambandet pv 00 Boyle' s lag mellan trycket p och volymen V i ett slutet kärl. Ange det intervall som trycket ligger i om V 5, 50. Lösningsförslag: Vi har att 5 V 50 pv p p p0 p p p 0 p. p 5 50 Detta kan sammanfattas som p 0 eller att p,0. Observera parenteserna! Vi piggar upp Boyle med en liten bild! Plot 00, V, 0, 50, PlotStyle Red, AesLabel "V", "p" V 8 p V I Mathematica finns en direkt inbyggd funktion som löser ekvationer med olikheter. Reducep V 00, 5 V 50, p, V, Reals 00 p 0 V p. Bestäm största och minsta värde till f i intervallet,. Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita f : Plotf,,,, PlotStyle Green, AesLabel "", "f" f Då vi ännu(?) inte lärt oss att derivera måste vi kvadratkomplettera och söka etremvärde. Så funktionens minsta värde är och antas i, det vill säga inne i vårt intervall. Eftersom vi har ett slutet intervall kommer mavärde att antas i en av ändpunkterna. Vi får f 0 och f. Så f,,. När vi lärt oss derivera kan vi som omväling göra så här...

3 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning f' minpkt Solvef' 0 First f. minpkt Globalt maimum antas i högra ändpunkten av intervallet. f 5. Sök inversen f till f. Rita f och f i samma diagram. Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita f : Plotf,, 5, 5, PlotStyle Red, AesLabel "", "f" f 5 0 Vi har en rät linje så visst eisterar en invers! Lös ut som funktion av y, så får vi y y. Här är y den oberoende variabeln, som vi kan döpa till vilket namn vi vill t.e. igen! Så inversen f. Nu kan vi rita de två ömsesidiga spegelbilderna och spegeln! fi : Plotf, fi,,, 5, 5, PlotStyle Red, Blue, Dashed, AspectRatio Automatic, PlotRange Automatic, 5, 5, AesLabel "", "f,f " f, f. Låt f, 0. Sök V f samt inversen f och D f, V f. Rita f och f i samma diagram. Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita f : Plotf,, 0, 5, PlotStyle Red, AesLabel "", "f" f

4 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Här är det valt att D f 0,. Vidare är en kvadrat alltid ickenegativ, så minsta värdet är, varav V f,. Inversen får vi genom att lösa ut ur y y. Men 0 så inversen f med D f,, V f 0,. fi : Att rita ut flera funktioner i samma intervall klarar vi enkelt med Plot har vi sett. Här är det inte lika enkelt eftersom f och f inte har samma definitionsmängd. Men det finns hjälp...vi tar med en spegeln också ShowPlotf,, 0,, PlotStyle Red, PlotRange,, AesLabel "", "f,f ", Plotfi,,,,, PlotStyle Blue, Orange, Dashed, PlotRange All, AspectRatio Automatic f, f 7. Bestäm de sammansatta funktionerna f g, g f och f f då a f, g b f, g. Lösningsförslag: Här gäller det bara att definiera funktionerna i rätt ordning, t.e. f g f g. Så först a) Sedan b) f : g : fg gf ff f : g : fg gf ff 8. Lös ekvationen 0. Lösningsförslag: Formel,, 5. Om man inte kommer ihåg formeln p q 0, p p q får man göra kvadratkomplettering. Meka om vänsterledet så vi känner igen en av de två kvadreringsreglerna a b a ab b. Välj variant beroende på tecken framför linjära termen. Låt sedan a vara och fia till ":an". Lägg slutligen till och dra ifrån den saknade kvadratiska termen b. Alltså

5 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 5 ab a abb 0. Glöm aldrig att y y inte y! En sista ängslig kontroll Solve 0, 9. Förenkla a b 9 c 5 Lösningsförslag: Potenslagar! a) b) c) ,9, 5,, 5 0. Funktionen f är given. Är några av följande påståenden sanna för alla reella a? a f afa b f afa c f a f f a d f a f f a e f a fa f f afa g f afa h f a f a Lösningsförslag: Med potenslagar och invers funktion till, dvs ln, inser vi att b, d och g är sanna.. Lös ekvationen ln. Lösningsförslag: Vi har ln ln ln ln ln ln Log i Mathematica. SolveLog,, Reals log log ln. Tänk på att ln heter ln. Lös ekvationen lnlnln. Lösningsförslag: Logaritmlagarna lnlnln 0 lnln samt icke godkända 0. SolveLog Log Log,. Lös ekvationen lnln ln ln ln 5 5. Lösningsförslag: Logaritmlagarna lnln ln ln ln ln 5 5 ln 5 5ln 5 55ln5ln. SolveLogLog Log Log Log 5 5,, Reals. Lös ekvationen ln ln.

6 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Lösningsförslag: ln ln ln lnkvadrera, kolla falska rötter efteråt lnln lnln0ln0eller ln eller. Båda ok! Solve Log Log,, Reals, 5. Lös ekvationen ln ln. Lösningsförslag: ln lnln ln ln 0 ln ln. SolveLog Log,. Lös ekvationen ln ln. Lösningsförslag: ln lnln ln ln 0 ln ln SolveLog Log,. 7. Lös ekvationen 5. Lösningsförslag: Dividera båda sidorna med och logaritmera Solve5,, Reals Simplify log 5 8. Lös ut R ur den "elektriska ekvationen" u u 0 t RC. Lösningsförslag: Logaritmera båda sidor lnulnu 0 t RC, sedan logaritmlagar lnulnu 0 ln t RC lnulnu 0 t, RC t så slutligen R t Clnu 0 lnu Solveu v 0 t RC,R.C 0 C ln u 0 u. R ConditionalEpression R t C log v0 u t, c C log v0 c u 9. Lös ut ur den "termodynamiska ekvationen" T p. T p Lösningsförslag: Logaritmera båda sidor, sedan logaritmlagar och lite algebra! Solve T p T p, log p p log p p log T T 0. Lös ekvationen.

7 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7 Lösningsförslag: Sätt t så har vi en andragradsekvation t t t 0 med lösningarna t t, positiva, så, lnt,.. Båda är Solve,, Reals log, log. Lös ekvationen log log 5 där log a b betyder logaritmen av b med avseende på basen a. Lösningsförslag: Använd basbyte till "hemmaplan" log a b lnb och sedan logaritmlagarna. Vi får lna ln ln 5 lnln 5lnKolla till slut att 0och0 ln ln ln ln 5 8och falsk. Vi låter Mathematica prova lyckan oå SolveLog, Log, 5, 8. Man har f c k. a) Bestäm c och k om vet att f och f. b) Beräkna f 5. c) Lös ekvationen f 5. c k Lösningsförslag: a) Applicera villkoren så har vi ekvationssystemet. Vi eliminerar c genom att dividera ekvationerna c k med varann k k k k ln. Slutligen ur första ekvationen c k. Vi låter Mathematica prova oå. ekv y c k., y,, y c k, c k cåk Solveekv, c, k, Reals First c,k log Eftersom vi behöver f i b) och c) kan det vara lämpligt att meka ihop den. f c k. cåk b) Beräkna f 5. Sätt in och räkna på med potenslagar. f5 8 c) Lös ekvationen f 5. Räkna på med potenslagar och logaritmlagar. Solvef 5,, Reals Simplify log 5 log. The recommended tire pressure in a Honda Civic, in England, is 8 psi (pounds per square inch). What is this pressure in atmosphere? Hint: atm 0 5 Nm, pound.8 N, foot inch, foot 0.08 m. Lösningsförslag: Vi får direkt trycket i atm.8 P

8 8 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN. Farmer John has recently bought a 0 acre field and wishes to replace the fence surrounding it. Given that the field is square, what length in meters should Farmer John purchase? Hint: acre 50 square feet, foot 0.08 m. Lösningsförslag: Vi får direkt arean i m A Så till slut staketlängden i meter A Verifiera med dimensionsanalys a s gt vt b v v as c mgh mv d m V e P Fv f v gh g F m t h mv t v 0 0 Ft i E mc b j V a y Lösningsförslag: Läs i "Något om Dimensionsanalys och Mathematica".. Ljudhastigheten v i en gas beror på trycket p och densiteten. Bestäm ett dimensionsmässigt uttryck för detta samband. Lösningsförslag: Vi får med identifiering. v Cp m s kgm s m kg m m s. 0 kg Solve,, 0, Så v C p. 7. En boll släpps från ett torn. Ange ett dimensionsriktigt uttryck för hastigheten v som funktion av bollens massa m, fallsträckan y och tyngdaccelerationen g. Lösningsförslag: Vi får med identifiering. v Cm y g m s kg m m s m s. 0 kg Solve,, 0 0,, Så v C yg, alltså oberoende av bollens massa.

9 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 9 8. Falltiden för ett torn eempelvis i Pisa antas bero på tornets massa m, dess höjd h och tyngdaccelerationen g. Ange ett dimensionsriktigt uttryck för falltiden T. Lösningsförslag: Vi får med identifiering. T Cm h g skg m m s s 0 kg. 0 m Solve, 0,0 0,, Så T C h g, alltså oberoende av massan. 9. Farten v för en fisk beror på dess tvärsnittsarea A, vattnets densitet och den effekt P som fisken klarar av att utveckla. Bestäm ett uttryck för v med dimensionsanalys. Lösningsförslag: För effekt har vi PFvN m s v CA P m s kgm s m kg m kgm m s s Solve,, 0 m, så med identifiering. s m s. 0 kg,, Så v C P A. 0. Många tillvätprocesser i naturen följer den logistiska modellen Lt L 0, b kt där L 0, b och k är positiva konstanter och tiden t 0. Ofta betraktas andelen Pt Lt. L 0 a Ange lim t Lt. b Ange enheterna för b, k och P. c För längden av en Ginsengrot har McGonigle funnit att b 9 och k Rita Pt. d Hur lång tid tar det tills Ginsengroten vuit till 50 av sin slutliga längd? e Bestäm P' t. Rita. f Visa att infleionspunkten ligger vid t lnb. k Lösningsförslag: a) Eftersom bt 0dåb 0ocht har vi att LtL 0 då t. L 0 kallar vi gränsvärdet. b) Eftersom b kt ska vara tillåtet måste b kt. Men def, såb, det vill säga b dimensionslös. Argumentet till måste vara dimensionslös, så ktksks. Alltså har k dimensionen " genom tid". P är dimensionslös. c) Rita

10 0 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Plot, t, 0, 0, PlotStyle Orange, AesLabel "t", "Pt" t Pt t d) Vi ska tydligen lösa ekvationen p b kt b kt. P b kt P bkt P kt kt ln b P b P t ln. Färdig. Så Ginsengrotsresan till P 0.5 tar tiden t Mathematica då... k b P Solve0.5 t t e) Derivera eempelvis som en kvot och förenkla D b kt,t bk kt b kt PlotEvaluateD b 9, k 0.085, b kt,t. t, 0, 0, PlotStyle Green, AesLabel "t", "P't" P't t f) Vi söker tydligen t då P'' 0. Visa först med lite algebrapyssel att P' kp P. Så med produktregeln P'' kp' PP0 P' k P' P0 P. Detta fall är redan gjort i uppgift d)förenkla 0 0 t ln P t k b P ln t k b ln lnb. k b k. Ponnykarusellen på Liseberg ger utmärkta tillfälle att öva mekanik och dimensionsanalys. Karusellen roterar medurs med en rotationstid på T sper varv. För att inte slungas ut från karusellen måste en resenär hålla emot med en kraft F som antas bero på resenärens massa m, rotationstiden T och radien r från rotationscentrum till resenärens åkplats. a Sök ett dimensionsmässigt korrekt uttryck för den sk centripetalkraften F. b Om hela attraktionen vore dubbelt så stor, men roterade med samma rotationstid, hur skulle kraften på resenärerna ändras? c Hur skulle rotationstiden ändras för att en resenär skulle uppleva samma kraft i den större attraktionen? Lösningsförslag: a) Enligt tet skall vi prova F Cm T r, där C är en dimensionslös konstant. Men Fkgms så kgms kg s m varefter indentifiering av "fundamental units" ger det utsökt enkla ekvationssystemet. Solve,,,,

11 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Så F kmr T. b) Vi får F r F r c) Vi får F r F r kmt r kmt r. kmt r r T r. kmt r r T r. Uttryck som funktion av a och i de rätvinkliga trianglarna nedan. a b c a a a d e f a a a Lösningsförslag: Drillövning på rätvinklig triangel. Funktionerna inom parentes används ofta av Mathematica. a a sin b a tan c a a cot tan d a cos e a a asec f acosec a csc cos sin. Fyll i tabellerna! cos sin tan 0 arccos arcsin 0 arccos arcsin 0 0 arctan Lösningsförslag: Dessa bör man kunna! cos sin tan arccos arcsin arccos arcsin arctan 0 0. Lös ekvationen sin. Rita enhetscirkeln! Lösningsförslag: sin n eller 5 n n. Mathematica levererar denna skolbokslösning. SolveSin,

12 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN ConditionalEpression c, c, ConditionalEpression c 5, c Vill man ha principalvinklarna är det bara att beställa det. SolveSin,0, 5, Eempel på hur man kan "rita" i Mathematica. Omständigt att göra enkla bilder men lätt att göra komplicerade ;-) GraphicsBlue, Circle0, 0,, Red, Line,,,, AspectRatio Automatic, Aes True, AesLabel "", "y" y Lös ekvationen cos. Rita enhetscirkeln! Lösningsförslag: cos, n så 8 n eller 5 8 n. Mathematica levererar denna skolbokslösning. SolveCos,Epand ConditionalEpression c 8, c, ConditionalEpression c 8, c Vill man ha principalvinklarna är det bara att beställa det. SolveCos,0, 5,,, GraphicsBlue, Circle0, 0,, Red, Line,,,, AspectRatio Automatic, Aes True, AesLabel "", "y".0 y Antag att sinu och 0 u. Bestäm eakta värdet av sinu.

13 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Lösningsförslag: Vi har sinusinucosumen cosu då...?... trig. ettan sinu sin u Här gäller tecknet eftersom 0 u cosu0 Mathematica är inte så dum heller.... Sin u. SolveSinu,0 u,ufullsimplify 7. Bestäm största värdet av sinsin. Lösningsförslag: Utveckling ger sinsin sinsincos cossin sin cos sin sin, varav största värde. Här kallas för amplitud och för fasförskjutning eller fasvinkel. Mera direkt har vi i Mathematica genom att söka nollställe till derivatan som vanligt der DSinSin, sin cos opt Solveder 0, 0, SinSin. opt FullSimplify, Eller absolut snabbast ;-) MaimizeSinSin,0,, 8. Solvera triangeln, det vill säga bestäm samtliga sidor och vinklar och a a, b 5, c, b a, 0, 0, c a, b 5,, d a, 5, 70, e a, b 5, 0 c b a Lösningsförslag: Att solvera trianglar, det vill säga bestämma tre av a, b, c,, och då de övriga är kända, är något man ska klara för hand. Det gäller att envist räkna på med cosinussatsen: c a b abcos (och motsvarande för och ) sinussatsen: a sin b sin c sin. Cosinussatsen är tryggare att använda eftersom sinussatsen "gör bort" sig vid trubbiga vinklar på grund av definition av arcsin. Om vi låter Mathematica slita på med Solve blir det tyvärr oftast många och oöverskådliga lösningar! En av anledningarna till att vi får flera lösningar är att vi inte har med kravet att vinkelsumman ska vara 80 i en triangel samt att alla sidor och vinklar ska vara större än noll. Då blir det fler ekvationer än variabler, så kallat överbestämt ekvationssystem. Vi ska välja ett alternativt och ofta användbart angreppssätt som innebär att formulera problemet som ett minimeringsproblem, vilket definitivt är bra om vi te har mätfel inblandat. När ekvationerna är uppfyllda är skillnaden mellan vänster- och högerled noll, så om

14 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN vi kvadrerar och summerar bör vi få något som antar noll som minimum. Vi kan då knåpa ihop en generell lösare som vi enkelt matar med det vi vet, och får sedan resten uträknat. ae a, b 5, c, a, 0, 0, a, b 5,, a, 5, 70, a, b 5, 0;, NMinimizea b c b c Cos b a c a c Cos c a b a b Cos b Sin a Sin c Sin a Sin 80,a 0, b 0, c 0, 0, 0, 0., Complementa, b, c,,,, First & ae a, b 5, c a, 0, 0 a, b 5, a, 5, 70 a, b 5, , 9.9, 5.5, , b.575, c 0.80, , c.955,.9, , b.77, c.8985, , c., 5.7, Sök längderna av och y 5 y Lösningsförslag: Vi har Pytagoras sats och likformiga trianglar. Välj den positiva lösningen Solve y 5, y,0 9, y 0. Sök längden av sträckan längs diagonalens mittpunktsnormal Lösningsförslag: Låt d vara rektangelns diagonal, så har vi med Pytagoras sats och likformiga trianglar Solve d, d,d0 d 5, 5 8. Bestäm ekvationen för den räta linje som går igenom punkterna, och,. y Lösningsförslag: Ansätt räta linjen y k m så har vi ekvationssystemet km med lösningen k, m. k m kåm Solvey k m., y,, y k, m

15 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 5 Visst vi vill se att linjen verkligen går genom punkterna! Plotk m. kåm,,,, PlotStyle Green, AesLabel "", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point,, Blue, Point, y. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln och radien r är given. Sök som funktion av och r båglängden b, längden av kordan l, arean av den inskrivna triangeln A t, arean av cirkelsegmentet A s samt slutligen cirkelsektorns area. r b la t A s Lösningsförslag: En direkt attack med cosinussatsen ger l r r rrcos. Detta är emellertid ett litet sidospår eftersom det inte hjälper oss så väldigt mycket när det gäller de eftersökta areorna. Det för modellering tränade ökat letar istället efter symmetri och vinkelräthet! Vi ser att den inskrivna triangeln är likbent och kan då på grund av symmetri delas upp i två lika stora trianglar (rita fig!) som har basen B r sin och höjden H r cos, så l B rsin och A t BH r cos sin r sin. Båglängden är andelen av ett helt varv av hela cirkelns omkrets, alltså b r. Slutligen har vi arean av cirkelsektorn som är andelen av ett helt varv av hela cirkelns area, alltså A t A s r. Detta bestämmer de sökta areorna. Övertyga dig nu att det blir samma l i de båda metoderna samt att l, A s och A t verkar rimliga genom att testa om de står pall för några olika vinklar som genererar välkända figurer! Senare i kursen ska du kunna härleda sådana här areor med integral. Så the Mathematica way! SolveB r Sin,H r Cos,l B,b l, b, B, H, A t,a s Simplify r, A t BH,A s A t r, l r sin, b r, B r sin, H r cos, A t r sin, A s r sin. Mängden, i gram, av ett radioaktivt ämne beskrivs av mt00 t,därt 0 är tiden i sekunder. Hur mycket är kvar efter s? Bestäm halveringstiden, det vill säga den tid det tar att reducera massan till hälften. Rita Lösningsförslag: Här är det bara att räkna på med förslagsvis egendefinierad funktion. mt : 00 t m N Sedan halveringstiden Solvemt m0, t, Reals N t log

16 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN t.89 Mathematica räknar eakt så länge ingående tal är eakta. Vill man bara ha rena numeriska lösningar, så kan man direkt se till att minst ett tal i beräkningen är ett decimaltal, eller använda NSolve. m NSolvemt m0, t, Reals t.89 Slutligen piggar vi upp oss med en liten graf över förloppet. Speciellt är de två tillfällena som aktualiseras i frågeställningen markerade. Plotmt, t, 0, 0, PlotStyle Orange, AesLabel "t", "mt", Epilog PointSize0.0, Red, Point, m, Blue, Pointt, mt. mt t. Gamle Eker cyklar från Navstad till Däckrunda längs Ålderstigen. Hans medelfart är 8 kmh. Med vilken fart måste han cykla tillbaka för att medelfarten under hela resan ska bli 0 kmh? Lösningsförslag: Antag att avståndet mellan orterna är s km. Då blir restiderna T ND s respektive T 8 DN s, där u är den sökta u farten under hemresan. Denna ges av villkoret på medelfarten för hela resan fram och tillbaka, som är s lång. Solve s s s 8 u 0 u 5 5. En rektangel med basen är inskriven i en cirkel med radien. Sök rektangelns area och omkrets som funktion av. Ange definitionsmängder Lösningsförslag: Rita figur! Vi ser då att rektangelns bas och höjd y kopplas av Pytagoras sats via cirkelns diameter. Nu är det bara att låta Solve göra jobbet. Nästan allt i tillämpad matematik går ut på att formulera samband, ekvationer, och sedan låta datorn arbeta med dessa. Gör inget handarbete (speciellt inte grafer ;-), det tar bara tid och blir oftast fel, vilket inget företag betalar dig för! AOyr SolveA y,o y, y r,r, A, O, y, r A, O, y, r, A, O, y, r Eftersom vi inte befattar oss med varken negativa areor eller omkretser duger bara den sista lösningen. Anledningen att vi får två lösningar är att y löses ur en andragradsekvation. Vi ser att kan variera mellan 0 och r, så D A D O 0,.

17 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7 PlotEvaluateA, O. LastAOyr,, 0,, AesLabel "", "A,O", PlotStyle Red, Blue A,O 0 8. En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea av 5 m. Sök lådans volym som funktion av sidan på den kvadratiska bottnen. Ange definitionsmängd Lösningsförslag: Om lådans höjd är h så har vi volymen V samt arean A som är given. Så dessa som funktion av. VAh SolveV h, A h,a 5, V, A, h V 5, A 5, h 5 Eftersom A 5 måste, V 0 så D V 0, 5. Vi kollar! PlotV. VAh,, 0, 5, PlotStyle Orange, AesLabel "", "V" V Från ett rektangulärt pappersark skär man bort en kvadrat med sidan från varje hörn. Resten av pappersarket viks till en öppen låda. Sök lådans volym som funktion av. Lösningsförslag: Om vi skär bort ett hörn med sidan blir lådans höjd och dess basyta får sidorna a respektive b. Alltså V a b. 8. Från ett rektangulärt pappersark skär man bort kvadratiska bitar med sidan enligt figur. Resten av pappersarket viks till en sluten låda med dubbla papper på kortsidorna. Sök lådans volym som funktion av. Lösningsförslag: Om vi skär bort kvadrater enligt figur med sidan blir lådans höjd och dess basyta får sidorna a respektive b. Alltså V a b.

18 8 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN 9. Av ett snöre med längden L formas en rektangel som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en cylinder bildas. Sök cylinderns volym som funktion av dess radie r. Lösningsförslag: Om cylindern har radien r och höjden h blir dess volym V r h. Nu kan inte r och h varieras fritt eftersom de är kopplade till varann via L. Vi finner följande samband ekv V r h, L r h V hr, L h r Lös ut Vr och hr. Vi vill veta "allt" om cylindern! VÅh Solveekv, V, h V Lr r, h L r En liten bild över situationen. Lägg märke till dimensionen [] på alarna. Vanligt trick när man bara har symboliska uttryck. PlotV L. VÅh. r L,, 0, 0.5, PlotStyle Red, AesLabel "rl", "VL " VL rl 50. I en halvcirkel med radien är en parallelltrapets inskriven enligt figur. Sök parallelltrapetsens area som funktion av. Ange definitionsmängd Lösningsförslag: Eftersom man ska hålla sin verktygslåda så liten och effektiv som möjligt väljer vi att meka ihop figuren av tre (eller fyra) naturliga trianglar. Samtliga med höjden h sin, två med basen b och en med toppen nedåt och basen b cos. Naturligtvis går det lika bra att betrakta parallelltrapetsen direkt och komma ihåg att formeln för arean är "halva produkten av höjden och summan av de båda parallella sidorna", det vill säga A hb b. Så pll SolveA b h b h, h Sin, b, b Cos, A, h, b,b A sin sin cos, h sin, b, b cos Då vinkeln varierar från 0, då parallelltrapetsen är ett streck, väer den sedan till en äkta parallelltrapets, för att slutligen urarta till en triangel då, så D A 0,. PlotA. pll,, 0,, AesLabel "", "A", PlotStyle DarkerGreen A

19 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 9 5. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln, radien r och båglängden b har omkretsen L. Sök arean A, Ar och Ab. Ange definitionsmängd i de tre fallen r b Lösningsförslag: Om A är arean, r radien och b båglängden har vi sambanden A r b r r b L Area Båglängd Omkrets Låt oss samla alla samband, eftersom Mathematica ska leka med dem tre gånger! samband A r,br, r b L; Börja med A, b och r. Abr Solvesamband, A, b, r L L A, b, r L Vi ser att denna har den naturliga D A 0,. Plot A L. Abr.,, 0,, PlotStyle Red, AesLabel "", "AL " A L Sedan Ar, br och r. Ab Solvesamband, A, b, Simplify A r L r, b L r, L r Vi ser att denna har den naturliga D Ar 0, L. Plot A L. Ab.r L,, 0,, PlotStyle Blue, AesLabel "rl", "ArL " ArL rl Slutligen Ab, rb och b. Ar Solvesamband, A, r, A blb, r L b, b b L Vi ser att denna har den naturliga D Ab 0, L. Plot A L. Ar.b L,, 0,, PlotStyle Orange, AesLabel "bl", "AbL "

20 0 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN AbL bl 5. I triangeln ABC är sidorna BA och BC lika långa. Punkten D ligger mitt på AC och punkten E mitt på BC. Avståndet mellan D och E är alltid konstant L. Ange triangelns area som funktion av basen, det vill säga längden av sträckan AC. B L E A D C Lösningsförslag : Låt AC vara triangelns bas vara b och h dess höjd. Likformiga trianglar hjälper oss nu att koppla b och h till L kravet med Pytagoras sats h B E h L A b b D b b C Bestäm arean Ah samt bh ur de geometriska samband som hittas i figuren ovan. Vi vill veta allt om triangeln! AÅb SolveA bh,b h L, A, b A h L h, b L h, A h L h, b L h Eftersom vi inte befattar oss med negativa areor eller längder duger bara den andra lösningen. Vi inser att D Ah 0, L. Hur ser det ut i dessa två etremfall? Slutligen en liten bild över situationen. PlotPowerEpand A. AÅb.h L,, 0,, PlotStyle Orange, L AesLabel "hl", "AL " AL hl 5. I en rektangel är avståndet från mittpunkten på basen till ett motstående hörn konstant L. Sök rektangelns area som funktion av basen. L Lösningsförslag: Låt och y vara rektangelns bas respektive höjd. Då har vi arean och bivillkoret enligt uppgift med P:s sats. ekv A y, y L A y, y L Lös ut arean A och y. AÅy Solveekv, A, y

21 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning A L, y L, A L, y L Vi inser att endast första lösningen duger och att då D A 0, L. En liten bild över situationen kan väl inte skada. PlotPowerEpand A L. AÅy. zl, z, 0,, PlotStyle Red, AesLabel "L", "AL " AL L 5. Sök avståndet L från punkten 0, till kurvan y som funktion av..0 y L Lösningsförslag: En linje parallell med -aeln genom punkten, y på kurvan formerar tillsammans med y-aeln och linjestycket L en rätvinklig triangel. Lös ut L och y. LÅy Solve y L,y,L 0, L, y, Reals L,y Definitionsmängden D L 0, och så här ser grafen till L ut PlotL. LÅy,, 0,, PlotStyle Blue, AesLabel "", "L" L Två cirklar med radierna r och R är placerade på centrumavståndet a. De belyses med en lampa placerad på sammanbindningslinjen utanför de två cirklarna. Bestäm den sammanlagda längden av de två bågarna som är belysta om funktion av lampans positionen i förhållande till cirkeln med radien r. Lösningsförslag: Placera cirkeln med radien r i origo och den med radien R i a, 0. Lampan placerar vi i, 0. Ljusstrålarna bildar rät vinkel med radierna i ändpunkterna på den belysta bågen, så den sökta längden är Eempelvis S r ArcCos r R R ArcCos a R R cos a r r cos

22 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN data r 5, R 0, a 0; PlotS. data, Evaluate, r, a R. data, PlotStyle Red, AesLabel "", "S" S I en cirkel med radien r är tre radier och en korda dragna. Sök arean av den färglagda triangeln som funktion av, 0. Lösningsförslag: Bestäm först skärningspunkten, y mellan radien och kordan, den första på formen y k m och den andra med enpunktsformeln y y 0 k 0. Typisk risig räkning som M gillar! y Solvey Tan, y 0 r Sin 0 r,, y First r Cos r r cos cos tan sin tan, y r sin cos tan sin tan Sedan arean av den färgglada triangeln A bashöjd. A ry. y r sin cos tan sin tan Plot A r,, 0,, PlotStyle Orange, AesLabel "", "Ar " Ar I en kvadrat med sidan a är ett kors inskrivet enligt figur. Sök arean av detta som funktion av. Lösningsförslag: Vi kan eempelvis beräkna arean av korset som en kvadrat i mitten plus fyra armar. A a Simplify a

23 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning PlotEvaluateA. a,, 0,, PlotStyle Cyan, AesLabel "a", "Aa " Aa a 58. I en cirkel med radien r är en cirkelsektor inskriven enligt figur. Sök arean som funktion av. Lösningsförslag: Vi får direkt den sökta arean A rcos r cos PlotA r,, 0,, PlotStyle Orange, AesLabel "", "Ar " Ar Etrauppgifter i andra hand i mån av tid 59. Ange största definitionsmängd och tillhörande värdemängd för f och gy y y. Lösningsförslag: D f, V f 0,. PlotAbs,, 0, 0, PlotStyle Red, AesLabel "", "" D g, V g 0,. Plot y Absy, y, 0, 0, PlotStyle Orange, AesLabel "", "yy"

24 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN yy Låt f och D f 0,. Sök värdemängden. Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita Plot,, 0,, PlotStyle Green, AesLabel "", "f" f Här är det valt att D f 0,. Kvadratkomplettering ger. Så största värdet är då och minimum närmar sig obegränsat ovanifrån då, varav V f,.. Lös olikheten. Lösningsförslag: Bestäm samtliga nollställen till absolutbeloppen och lös sedan ekvationen i varje intervall genom att använda definition av absolutbelopp. Nollställena är 0 och ok Vilket sammanfattas till. Eller direkt i Mathematica. ReduceAbsAbs,, Reals Visst ok. Lös ekvationen lnln 8. Lösningsförslag: Logaritmlagarna lnln 8 ln 8 ln. SolveLog Log 8,,. Lös ut k ur "avsvalningsekvationen" T T 0 t k. Lösningsförslag: Logaritmlagar och lite algebra! SolveT T 0 t k, k.c 0 k t log T0 T 0T. Lös ut y ur ekvationen ln y y.

25 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 5 Lösningsförslag: Logaritmlagar och lite algebra! SolveLog y y,y y 5. Antag att cosu och 0 u. Bestäm eakta värdet av cosu. 8 Lösningsförslag: Vi har direkt med formel för dubbla vinkeln cosucos usin utrig. ettan cos ucos u cos u 8. Mathematica är inte så dum heller... Cos u. SolveCosu 8,0 u,utrigepand. Bestäm största värdet av sincos. Lösningsförslag: Utveckling ger sincos sincoscos sinsin sin cos sin sin. Här kallas för amplitud och för fasförskjutning eller fasvinkel. Mera direkt har vi i Mathematica de lite snabba lösningarna efter att vi ritat en liten figur. PlotSinCos,, 0,, PlotStyle Brown MaimizeSinCos,, FindMaimumSinCos,, 0., Sök inversen till f, D f 0,. Lösningsförslag: Vi börjar väl med att rita f : Plotf,, 0,, PlotStyle Magenta, AesLabel "", "f" f

26 Tillämpad Matematik I, Övning HH/ITE/BN Här är det valt att D f 0,. Inversen fås t.e. med formel för andragradsekvation; y y, där plustecknet gäller på grund av D f. Vidare ser vi att D f,. fiy. Solvey, Last y Att rita ut flera funktioner i samma intervall klarar vi enkelt med Plot har vi sett. Här är det inte lika enkelt eftersom f och f inte har samma definitionsmängd. Men det finns hjälp för att rita både spegel och spegelbilderna ShowPlotf,,, 0, 5, PlotStyle Red, Orange, Dashed, PlotRange 0, 5, AesLabel "", "f,f ", Plotfi,,, 5, PlotStyle Blue, AspectRatio Automatic f, f Bestäm tan eakt. 8 Lösningsförslag: Vi har dubbla vinkeln coscos sin trig.ettancos sin. Byt sedan till så tan sin cos cos cos cos cos tan 8. Mathematica föredrar att behålla tan eftersom det är det mest kompakta, om man inte tvingar den 8 Tan 8 FunctionEpand 9. Lös ekvationen log log där log ab betyder logaritmen av b med avseende på basen a. Lösningsförslag: Använd basbyte till "hemmaplan" log a b lnb och sedan logaritmlagarna. Vi får lna ln ln ln lnln lnln lnln lnln ln ln lnln lnlnln ln lnln ln 0 ln ln 9 ln ln ln ln ln lnln eller ln ln varav till slut lösningsmängden,. Vi låter Mathematica prova lyckan oå SolveLog, Log,,,

27 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7 Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 70. Ange definitionsmängd och värdemängd till a f t t t Lösningsförslag: Räkna och diskutera med dina kamrater! b gs s s. Är funktionerna kontinuerliga? 7. Bestäm den n:te itererande funktionen f n till f om f f och f n f n f då a f b f c f. Lösningsförslag: Räkna och diskutera med dina kamrater! 7. Lös ekvationen log log log. Lösningsförslag: Räkna och diskutera med dina kamrater! 7. Visa att f cossin kan skrivas på formen f Asin där A kallas amplituden och fasförskjutningen. Bestäm dessa. Lösningsförslag: Räkna och diskutera med dina kamrater! 7. Utveckla sin och cos i termer av sin och cos. Lösningsförslag: Räkna och diskutera med dina kamrater! 75. Sök arean av figurens rektangel om varje färglagd triangel har arean A. Lösningsförslag: Placera ett koordinatsystem i nedre vänstra hörnet. Låt rektangeln ha basen a och höjden b och c vara basen i den vänstra gula triangeln. Höjden i denna triangel är y där, y är skärningspunkt mellan de två linjerna Åy Solvey b b c, y b,, y First a ac a c, y bc a c Nu är det bara att låta var och en av de två gula trianglarna ha arean A enligt uppgift. ekv A cy,a a c b. Åy A bc a c, A b a c Lös ut a och b. aåb Solveekv, a, b a A A c, b, a c A A c, b c Vi befattar oss inte med negativa längder, så slutligen den sökta rektangelarean. ab. aåb Simplify A