Extrauppgifter. C={x:x=ab, a A,b B}. 2. Låt vara två mängder av positiva tal och låt

Transkript

1 Etrauppgifter. LåtAochB vara två delmängder tillrsätt A+B={:=a+b, a A,b B}. Visa attsup(a+b)=supa+supb. 2. Låt vara två mängder av positiva tal och låt Visa attinfc=infainfb. C={:=ab, a A,b B}. 3. Bestäm supremum och infimum till följande mängder, och ange om de är maimum eller minimum a){ R\Q: 2}; b){ R: 2 + }. 4. LåtE R vara en mängd sådan att för varje två tal, E så har vi att. Visa atte är begränsad och attsupe infe. 5. Låt E R vara en oändlig mängd sådan att för alla, E. Visa atte är obegränsad. 6. Bestäm gränsvärdena av följande talföljder n = ( )n +/n 2/n 2 ( ) n. i n = +2++n n 2. n = n 2 + 2n 3. iv) n = n 2 n 8. v) v n = n 3 n +2 n. n = n n 2 +2n 3.

2 v n = [ n]+ n+ ([a] betecknar heltalsdelen till a). vi n = ( )n + n. i) n = 8 n 2 /3+/n. ) n = n! n n; n= 4n n!. 7. Visa att följande talföljder konvergerar och beräkna deras gränsvärden: i n = nn (n!) 2; n= nn (2n)!. (,), n+ = n (2 n ). =, n+ = n+ n (*) Använd induktion för att visa olikheterna Bestäm e n n nn n! en,,2,... n n n! n. 9. Visa, med hjälp av Cauchys kriterium, att följande talföljder konvergerar: i n = n + n n ; n = ( )n n(n+) ; =, n+ = n + ( )n. n! 2

3 . Låt f vara definierad på (a,b) och kontinuerlig i (a,b). Visa att funktioneng()= f() också är kontinuerlig i.. Låtf ochg vara definierade på(a,b) och kontinuerliga i (a,b). Visa att funktionerna ϕ()=ma(f(),g()) ochψ()=min(f(),g()) också är kontinuerliga i. 2. Visa att ekvationen2 = har en och endast en lösning. 3. Visa att ekvationen3 =9 har åtminstone två reella rötter. 4. Visa att ekvationen 5 3 = har en rot i (,2) och åtminstone tre reella rötter. 5. Låtf vara kontinuerlig på(a,b) och a< < 2 <...< n <b. Visa att det finns en punktc (a,b) sådan att f(c)= n n f( k ). k= 6. Låtf vara kontinuerlig på[,] och antag att f() om. Visa att det finns en punktc [,] sådan attf(c)=c. 7. Låtf ochgvara kontinuerliga på[a,b] och antag att f(a)<g(a) och f(b)>g(b). Visa att det finns en punktc [a,b] sådan attf(c)=g(c). 8. Antag att f : [,] [,] är kontinuerlig, f() =, f() = och f(f()). Visa attf(). 3

4 9. Antag attf är kontinuerlig på(a,b), där a<b +, och attf har ändliga gränsvärden när aoch b. Visa attf är begränsad och likformigt kontinuerlig på(a, b). 2. Låtf vara likformigt kontinuerlig på (a,b) ( <a<b<+). Visa attf är begränsad på(a,b). 2. Visa att följande funktioner är likformigt kontinuerliga på de angivna in3 tervallen: f()=2,i=r; f()=,i=[,+); if()=sin( 2 ),I=( 2,2); iv)f()=sin,i=(,π]. 22. Visa att följande funktioner inte är likformigt kontinuerliga på de angivna intervallen: f()= 3,I=R; f()=sin( 2 ),I=R; if()=cos,i=(,π]. 23. Låtf vara definierad för alla R och antag att f() f(y) ( y) 2 för alla,y R. Visa attf är konstant. 24. Låtf vara kontinuerlig för och deriverbar för alla>. Antag att f()= och attf är monotont väande. Visa att funktionen är monotont väande. g()= f(),>, 25. Låtf vara definierad och deriverbar för alla R. Visa att: f är jämn om och endast omf är udda; omf är udda, så ärf jämn; i omf()= ochf är jämn, så ärf udda. 4

5 26. Visa följande olikheter: e >+ om R,=; i iv) α α( ) om>,<α<; <ln(+)< om>; + sin> 2 π om<< π 2 ; v) cos> 2 2 om>. 27. Antag attf är kontinuerlig på[,2] och attf är deriverbar på(,2). Visa att det finns en punktξ (,2) sådan att f(2) f()= ξ2 2 f (ξ). 28. Antag attf är kontinuerlig på[,] och attf är deriverbar på(,). Visa att det finns en punktξ (,) sådan att f() f()= f (ξ) 2ξ. 29. Låtϕvara definierad på(a,b) och deriverbar i en punkt (a,b). Visa att ϕ( +h) ϕ( h) =ϕ ( ). h 2h 3. Antag attf är deriverbar i(a,b) och attf har andraderivatan i en punkt (a,b). Visa att f( +h) 2f( )+f( h) h h 2 =f ( ). 3. Låt f vara konve på ett öppet intervall (a,b). Visa att f inte har ett strängt största värde. 32. Låtf,g R[a,b]. Visa att funktionerna ϕ()=ma(f(),g()) ochψ()=min(f(),g()) också är Riemannintegrerbara på[a, b]. Ledning: ma(α,β)= α+β+ α β. 2 5

6 33. Visa att 2 a + d= 3 för varjea>. Ledning: Använd variabelbytet= t. 34. Visa att π sin π2 +cos 2 d= 4. Ledning: Använd variabelbytet=π t. 35. Bestäm, genom att använda integraler, gränsvärdena för följande talföljder: s n = n sin π n +sin2π n +...+sin(n )π n ; s n = + n + n + 2n n ; n i s n = n n n n 2. Svar: 2 π ; 2 3 (2 2 ); i2. 6

7 36. BestämF () omf definieras av: i F()= F()= 2 F()= ln(+t 2 )dt; cos(t 2 )dt; 2 e t 2 dt Visa, genom att använda l Hospitals regel, att i iv) cos(t2 )dt =; + e sin tan + e t2 dt= 2 ; dt 3 +t 2 =3; tantdt =. sintdt 38. Låtf vara en kontinuerlig funktion på[a,b] sådan att Visa attf()= för alla [a,b]. α 39. Låtf R[a,b] och β f()d= för allaa α<β b. a b f 2 ()d=. Visa attf()= i varje punkt somf är kontinuerlig i. 7

8 4. Visa, med hjälp av Weierstrass test, att följande serier konvergerar: 2 +n 2, R; i iv) v) +n 4 2, [,+); 2 e n, [,+); cosn n 2, R; n +n 5 2, R. 4. Visa att serien cos 2 n n(n+) konvergerar för alla R. Visa att dess summaf är kontinuerlig pår. Beräkna 2π 42. Visa att funktionen f()= är kontinuerligt deriverbar på R. 43. Visa att funktionen f()= f()d. sinn n 3 3 e n är kontinuerligt deriverbar på[, +). 8