EXAMENSARBETE. Lyftkraftsberäkning för vingprofiler. Virvelpanelmetoden. Tobias Roos. Teknologie kandidatexamen Rymdteknik

Transkript

1 EXAMENSARBETE Lyftkraftsberäkig för vigprofiler Virvelpaeletode Tobias Roos Tekologie kadidateae Rydtekik Luleå tekiska uiversitet Istitutioe för tekikveteskap och ateatik

2 Abstract The proble preseted i this report is that of fidig a ethod to calculate the lift force fro a sigle-eleet airfoil of arbitrary shape. A uber of restrictios are used i order to siplify calculatios while retaiig reasoable accuracy. The proble is solved for the two-diesioal case oly ad o fiite-wig effects are take ito accout. Furtherore, iviscid ad icopressible flow is assued. The ethod used to solve the proble is the vorte pael ethod, with vorte sigularities distributed over siplified airfoil geoetry. The resultig velocities are the used to calculate the pressure distributio ad lift of the airfoil. Copariso with wid tuel tests ad data fro coercial software show the liits of the developed progra. There is a good agreeet betwee eperietal- ad calculated values up util the agle of attack where the airfoil stalls, after which the progra caot predict the value of the lift coefficiet. The progra should therefore ot be used to aalyze such coditios if correct results are to be obtaied, but rather oly be used for relatively sall agles of attack where the airfoil does ot stall.

3 Förord Detta arbete, vilket utfördes vid sida av ordiarie studier, har varit ycket givade och lett till e ökad förståelse av både prograerig, ueriska etoder, aerodyaik och ströigslära. Det är i förhoppig att läsare skall kua ta del av dea kuskap och att de skall vara givade på saa sätt. Här vill jag också ge ett stort tack till professor Has Åkerstedt vid Luleå tekiska uiversitet för de hjälp och det stöd ha gett uder arbetets gåg. Tobias Roos Kirua April, 2

4 Iehållsförteckig. Iledig, ål och syfte Teori Ströigslära allät Grudläggade atagade och begräsigar Kotiuitetsekvatioe och ikopressibilitet Navier-Stokes och icke-viskös ströig Ytterligare begrepp Potetialströig Virvellösige Virvelfördelig Adra etoder Geoförade Virvelpaeletode Skapadet av paeler Beräkig av påverkaskoefficieter Beräkig av tryckfördelig, lyftkraftskoefficiet och lyftkraft Prograkode Iitierigsfas Iitierigsfas Huvudberäkigsfas del Huvudberäkigsfas del Huvudberäkigsfas del Resultatberäkig lyftkraftskoefficiet och tryckfördelig Stödprogra Geoetrigeerator för fyrsiffriga NACA-vigprofiler Paelgeerator för föreklad geoetri Grafiskt avädargrässitt Resultat Jäförelse test i vidtuel Jäförelse COMSOL Multiphysics Diskussio och slutsatser Överesstäelse och begräsigar Teori Aerodyaik Prograerig Vidare utvecklig Viskositet Kopressibilitet Övriga förbättrigar... 3 Refereser Bilaga A: Prograkod... 34

5 . Iledig, ål och syfte E stor del av de trasporter so sker idag världe över sköts ed hjälp av flygpla. Föråga hos e flygfarkost att lyfta frå arke och röra sig fritt geo lufte ka tyckas självklar, e det a ite bör glöa i saahaget är att det hadlar o ett föreål so är avsevärt ycket tygre ä lufte det färdas geo. Ma ka låta sig luras av de ofta eora otorer so fis på, till eepel, valiga passagerar- och fraktflygpla. Dessa skulle, vid e första ablick, kua tyckas vara e öjlig förklarig till hur dessa stora flygaskier ka ta sig upp i lufte och staa där, då de geererar e oerhörd kraft. Detta är dock e ite helt korrekt förklarig, då otoreras huvuduppgift ite är att ge lyftkraft istället är uppgifte att se till att vigara rör sig tillräckligt fort geo lufte för att dessa skall kua skapa de kraft so behövs för att få plaet att lyfta frå arke. Hur dea lyftkraft skapas och hur stark de blir vid e viss utforig på vige, sat hur detta ka beräkas, är vad so koer att behadlas i dea rapport. Föruto de uppebara ytta ed att kua beräka lyftkrafte frå vigara på ett flygpla fis äve ett stort atal adra tilläpigsöjligheter för progra so ka räka på luftströigar. Bilidustri är ett oråde so också ofta aväder aerodyaiska beräkigsodeller och detta ka tyckas vara aturligt äve här hadlar det o ett föreål so rör sig geo lufte. Detsaa gäller för de eora vigar so driver geeratorera på vidkraftverk och rotorblade på e helikopter. Tilläpigsoråde so ite alltid är lika uppebara är beräkigar av påfrestigara på broar och skyskrapor sat flöde i turbier och rut propellrar. Saafattigsvis aväds olika ströigsekaiska beräkigsodeller io ett stort atal oråde där atige ett föreål rör sig geo e vätska eller gas, eller där e vätska eller gas ströar rut ett föreål. På grud av de stora ägde öjliga tilläpigar har behovet av att utveckla beräkigsodellera historiskt sett varit stort och utvecklige har uder de seaste hudra åre gått sabbt fraåt. Ett flertal odeller eisterar, ed varierade grad av eakthet och ed olika avädigsoråde. De olika odellera tilläpas ed vissa specifika begräsigar, där atagade grudade i de bakoliggade teori görs beroede på vad odelle skall avädas till. Målet för detta eaesarbete är därför uppdelat i två delar: e teoretisk kuskapsdel och e er tilläpad prograerigsdel. Dessa två delar är dock ite helt separata, uta kuskapera so ihätats uder första dele av arbetet tilläpas i dess seare del. E kortfattad beskrivig av arbetets olika delar följer eda. Teoretiska studier Arbetets första del består so äts av teori. Dea teoridel har so ål att ge kuskap o ströigsekaike och dess tilläpigar, de ekvatioer so aväds, öjliga begräsigar och atagade so förekoer sat ågra av de beräkigsodeller so ka avädas. Prograerig De adra dele av arbetet består av skapadet av det progra so utför lyftkraftsberäkigara. Här ikluderas också skapadet av olika hjälpprogra, såso ett progra för skapadet av vigprofilskoordiater och ett grafiskt avädargrässitt. Äve här förekoer e del teori, då det fordras kuskap o de ueriska etoder so ka avädas för dea typ av progra. Det övergripade syftet ed arbetet är e kobiatio av båda ovaståede oråde, dels att ge kuskap o olika beräkigsodeller so ka avädas och teori bako dessa och dels tilläpige av dea kuskap geo färdigställadet av prograet.

6 2. Teori Teoridele av dea rapport utgör so äts ova e stor del av det totala arbetet. Ett av arbetets delål är just ihätig av teoretisk kuskap, vilke krävs för att kua uppå det adra delålet: färdigställadet av ett beräkigsprogra baserat på just dea teoretiska kuskap. Detta avsitt koer att behadla all de bakoliggade teori so krävts för färdigställadet av beräkigsprograet och de oråde so däred tas upp iefattar allä ströigslära, öjliga begräsigar och förekligar, lösigar till ekvatioer och dessa lösigars tilläpigar, variater av beräkigar på föreklade odeller av vigprofiler och till sist ågra av de etoder so ka avädas för lyftkraftsberäkigar på godtyckligt forade vigprofiler. Neda följer e geogåg av dessa olika oråde. 2. Ströigslära allät Att grudligt beskriva och förklara ströigslära ligger utaför raara för dea rapport och läsare förvätas däred ha e åtistoe grudläggade förståelse för de olika begrepp och etoder so förekoer io orådet. Läsare förvätas äve vara bekat ed de begrepp so aväds io grudläggade fysik, ekaik och kieatik. Dock förklaras i det första av de edaståede styckea de grudläggade defiitioer och sabad so aväds seare i tete. 2.. Grudläggade atagade och begräsigar För att udvika oödiga och icke-relevata förklarigar och beräkigar koer ett atal grudläggade atagade och begräsigar avädas. Det första av dessa berör sättet att betrakta luftströe. Ett öjligt sätt att se på dea är att studera varje eskild partikels rörelse och därefter suera dessa rörelser, ed ett tillvägagågssätt so i klassisk ekaik. Detta är dock ite särskilt praktiskt eller es öskvärt, då viktig iforatio går förlorad i ägde av positioer och hastigheter för alla partiklar och e överblick blir däred svår att uppå. För att uderlätta beräkigar och förståelse aväds istället oftast ett aat sätt att betrakta ströe på, där a istället för att betrakta varje partikels rörelse istället beskriver hastighete hos ströe i varje pukt. Mateatiskt ka detta betraktelsesätt skrivas so u u(, y, z, t) v v(, y, z, t) w w(, y, z, t) (2.) där u, v och w står för luftströes hastighetskopoeter i pukte (, y, z) vid tide t. Detta sätt att betrakta ströe på uderlättar vid jäförelse ed eperietella data sat ger e bättre överblick över de iforatio so fis. Betraktelsesättet so beskrivits ova kallas e Eulersk beskrivig och är e av de er aväda beskrivigara io ströigslära. (Douglas, Gaziorek, Swaffield, & Lye, 26) Detta betraktelsesätt koer geogåede att avädas i dea tet. Värt att otera är att beskrivige ova utgår frå att ett kartesiskt koordiatsyste aväds. Ett sådat koordiatsyste är beräkigsässigt ekelt att aväda och då dea tet edast behadlar tvådiesioella proble sakas skäl för att iföra adra koordiatsyste såso polära eller sfäriska. E aa begräsig so här koer att tilläpas är tidsoberoede; för e diskussio rörade tidsberoede luftströar och beräkigar ivolverade dessa hävisas läsare till kapitel sju. Här atas att föreålet so skall studeras, i detta fall e vigprofil, rör sig ed kostat hastighet geo lufte och att dea luft i övrigt ite uppvisar ågra förädrigar över tid. Koordiatsysteet so aväds är so äts ova kartesiskt och det är statioärt relativt vigprofile. Dea defiitio av koordiatsysteet öjliggör just tidsoberoede, vilket ka 2

7 illustreras delvis ed edaståede figur. t=t t=t V Figur 2.: Illustratio av flödesfält och koordiatsyste Då vigprofile rör sig ed kostat hastighet och koordiatsysteets origo är fäst vid vigprofile har luftströe, i detta koordiatsyste, e kostat hastighet relativt vigprofile. Dea hastighet beteckas V. I figur 2. visas koordiatsysteets - och y-alar sat ett eepel på e partikel i luftströe vid två olika tidpukter, t och t. Lijera so sys rut vigprofile är de baor partiklara koer att följa (här visas edast e partikel) och dessa baor är oberoede av tidpukte. Relativt vigprofile koer e partikel so tillförs luftströe vid e specifik positio alltid följa saa baa. Själva luftströe och flödesfältet ädras däred ite ed tide, äve o varje eskild partikels positio förädras Kotiuitetsekvatioe och ikopressibilitet E av de viktigare ekvatioer so aväds io ströigslära är kotiuitetsekvatioe. I e av dess grudläggade forer ser de ut på följade sätt: (Chalers Tekiska Högskola, 2) V t, (2.2) där ρ är desitete, t tide och V luftströes hastighetsvektor. Dea ekvatio ka reduceras geo tilläpige av e av de begräsigar vilka äts ova: ikopressibilitet. Detta begrepp iebär att desitete för varje eleet i luftströe är kostat och de första tere i ovaståede ekvatio ka däred strykas. Kvar bli då e reducerad variat, V, (2.3) vilke är kotiuitetsekvatioe för ikopressibel ströig. (Potter, 28) Då ikopressibel ströig atas för alla beräkigar i dea rapport är det däred ekvatio 2.3 so fortsättigsvis koer att avädas Navier-Stokes och icke-viskös ströig E aa grupp viktiga ekvatioer, so äve de koer att avädas i beräkigara och förklarigara eda, är Navier-Stokes ekvatioer. Dessa ka i ett tvådiesioellt kartesiskt koordiatsyste, vilket aväds här, uttryckas på följade sätt: u u 2 u v ( V u) f 2 ( V ) (2.4) t 3 y y v p v 2 u v ( V v) f y 2 ( V ), (2.5) t y y y 3 y där ρ är desitete, t tide, u och v luftströes hastighetskopoeter, f och f y 3

8 kraftkopoeter, μ viskositetskoefficiete och V luftströes hastighetsvektor. Äve dessa uttryck ka föreklas och ed hjälp av begräsigar skrivas på reducerad for. E ytterligare begräsig so ka avädas är att μ i ovaståede ekvatio ka atas vara kostat. Detta ger ett föreklat uttryck V 2 ( V V ) f p V ( V ), (2.6) t 3 där variabler och kostater har saa betydelse so i ovaståede ekvatioer 2.4 och 2.5; observera äve att dea ekvatio slår saa ekvatioera i - och y-led. (Kudu & Cohe, 2) Detta uttryck ka u föreklas ytterligare geo att ikopressibilitetsvillkoret frå ekvatio 2.3 sätts i, vilket ger sabadet ( V V V ) f p 2 V. (2.7) t E föreklig so koer att avädas geogåede i dea rapport är försuadet av viskösa effekter, vilket edför att μ ka atas vara lika ed oll. Då detta sätts i i ovaståede ekvatio och båda lede divideras ed desitete ρ fås ett uttryck på fore V t V V f p, (2.8) vilket beäs Euler-ekvatioe (Nakayaa & Boucher, 2) och dea koer tillsaas ed kotiuitetsekvatioe 2.3 att avädas i edaståede beräkigar. Villkoret för dess avädig är dock att viskösa effekter ka försuas och då krävs kuskap o är detta gäller. E avädbar storhet för att bestäa o dea begräsig ka tilläpas är Reyoldstalet, Re. Detta ka uttryckas ed sabadet V L Re, (2.9) där ρ är desitete, μ viskositetskoefficiete, L refereslägde (här lägde på vigprofiles korda) och V storleke på luftströes hastighetsvektor. Reyoldstalet aväds ofta vid praktiska tilläpigar och detta beror delvis på att det gör jäförelser ella odeller i olika skala lättare det so krävs är att Reyoldstale är lika, ågot so aväds i blad aat vidtular. (Aderso, 27) Vid ispektio ka ur ovaståede forel utläsas att ett stort Reyoldstal iebär e relativt övriga variabler lite viskositetskoefficiet μ; då μ ova atagits vara ~ ger detta följaktlige stora Reyoldstal. Alltför stora tal gör dock att adra effekters påverka ökar arkat och i dea rapport koer Reyoldstale för de studerade ströigara därför i huvudsak begräsas till orådet krig 5-7. Detta otsvarar ugefär de Reyoldstal so återfis för luftströar krig idre propellerflygpla. (Katz & Plotki, 2) Det fis proble förkippade ed att helt igorera de verka viskositete ka ha på ströige och vissa oråde i luftströe påverkas ärkbart er av viskositetes effekter ä adra. Detta rör fräst de luft so fis allra ärast vigyta. E illustratio av luftes hastighetsprofil i detta oråde ka ses i edaståede figur, där V är luftströes hastighet relativt vigprofile. 4

9 Figur 2.2: Hastighetsprofil i grässkiktet Ur figure ka utläsass att hastighete hos lufte vid vigyta är lika ed oll för att därefter sabbt öka och orådet för dea sabba hastighetsökig kallas grässkiktet. Här får viskositete lufte att sakta er ära vigyta och skillade ot e helt icke-viskös odell är stor: för e viskös odell är radvillkoret att vid vigyta skalll både oral- och de tagetiella hastighetskopoete för luftflödet vara lika ed oll, eda det i fallet för e icke-viskös odell edast gäller för oralkopoete. Detta har stor betydelse i beräkigar. (Nakayaa & Boucher, 2) För att udvika behovet av att ikludera viskösa effekter i beräkige av hela ströige ka probleet därför delas upp i två delar. I de första av dessa delar betraktas ströige so icke- relativt storleke på hela vige är försubar. Kravet att oralhastighete hos ströige skall viskös. Radvillkoret för oralhastighet atas då gälla vid vigyta, då grässkiktets tjocklek vara lika ed oll vid yta är ett sätt att ateatiskt beskriva att lufte ite ströar geo vige. De tagetiella hastighetskopoete vid viges yta beräkas också i de icke-viskösa lösige. Dea aväds därefter so radvillkor i ästa steg, där de viskösa effektera i grässkiktet beräkas. (Pozrikidis, 29) Här koer edast det första steget behadlas, det vill säga de icke-viskösa lösige. Dea krävs för att beräka tryckfördelige över vigprofile och däred äve lyftkraftskoefficiete. E kort diskussio o viskösa effekter, grässkikt och utökade beräkigsodeller fis i kapitel Ytterligare begrepp För att kua hitta de icke-viskösa lösig so äs i stycket ova krävs först kuskap o ytterligare ågra grudläggade begrepp och därefter äve kuskap o de etoder och ekvatioer, där dessa begrepp aväds, so krävs för lösige. Dessa oråde koer att behadlas i detta och ästföljade avsitt. De grudläggade begrepp so koer att behadlas först är vorticitet och cirkulatio, då de utgör grude för åga av de övriga begrepp so aväds Vorticitet och cirkulatio För att kua förklaraa begreppet vorticitet ka först e ifiitesial bestådsdel i ströige studeras; för ekelhetes skull ka e rektagulär geoetri avädas, se figur. 5

10 Figur 2.3: Ifiitesialt flödeseleet Vorticitete ζ ka då skrivas so dubbla vikelhastighete ω, det vill säga 2 V. (2.) Dea ekvatio ka u avädas för att defiiera ett uttryck för cirkulatioe. Med hjälp av Stokes sats (Adas, 26)ka visas att följade sabad gäller: S V ds ds V dl. S C (2.) Här är V luftströes hastighetsvektor, oralvektor till yta S, ds ett fiitesialtt yteleet av saa yta, ζ vorticitete, C kurva rut yta S och dl ett lägdeleet av C. I detta sabad är cirkulatioe Γ lika ed högerledet, vilket betyder att V dl. C (2.2) Ytterligaree ett begreppp so förekoer är rotatio. För e ströig so har rotatio gäller att V (2.3) och för e ströig so sakar rotatio, det vill säga är rotatiosfri, gäller att V. (2.4) Effekte detta har på ströige illustrerass i figure eda. 6

11 Figur 2.4: Ströig ed och uta rotatio Vid höga Reyoldstal är ströige, i de oråde de ka betraktas so icke-viskös, äve rotatiosfri. Då ströigara i dea tet geogåed de har höga Reyoldstal och asess icke- är viskösa koer de i resterade del av tete äve ases vara rotatiosfria. Då ströige rotatiosfrii ka följade sabad avädas: (Katz & Plotki, 2) (, y) P P ud vdy. (2.5) Här gäller att Φ är hastighetspotetiale i pukte P(,y), u och v är hastighetskopoeter i - respektive y-riktig och P är e godtyckligg referespukt. Hastighetsvektor V ka ur hastighetspotetiale erhållas geo sabadet V, (2.6) ett sabad so seda ka sättass i i ekvatio 2.3 (kotiuitetsekvatioe) vilket ger följade ekvatio: 2, (2.7) vilke är Laplace-ekvatioe. Dea differetialekvatio är lijär, ågot so seare koer till stor ytta då e lösig för ströigsfält ed koplea geoetrier (i detta fall e vigprofil) skall beräkas. (Torebeek & Witteberg, 29) Dea ekvatio ka avädas då avädas för att beräka hastighets- och tryckfördeligar tillsaas ed radvillkoret för oralkop poete av hastighetsvektor, vilket äts ova och so ka uttryckas ateatiskt på fore ( V V B ). (2.8) Här är orale frå vigprofiles yta, V luftströes hastighetsvektor och V B vigprofiles hastighet, o såda fis. Det villkor so sakas för att ekvatioe skall kua lösas är beteedet då avstådet går ot oädlighete. Då det atogs att lufte var stilla bortsett frå de rörelser so uppstått på grud av viges rörelse, bör dessa störigar vara försubara då avstådet går ot 7

12 oädlighete. I ett koordiatsyste fierat vid vige ka detta uttryckas ateatiskt på följade sätt: (Katz & Plotki, 2) liv r V, (2.9) där r är avstådet, V luftströes hastighetsvektor och V vigprofiles hastighet relativt de stillaståede lufte. Äve o dessa villkor öjliggör e lösig av ströigsfältet ka resultatett frå e såda beräkig äu ite utyttjas till fullo; för att kua beräka lyftkraftskoefficieter och tryckfördeligar krävs ett sabad ella hastighet och tryck. Ett sådat fås ed hjälp av Beroullis ekvatio, vilke ka uttryckas på fore: p V E 2 2 p E t 2 V 2 t, (2.2) där p är trycket, ρ desitete, V hastighete, Φ hastighetspotetiale, t tide och E är lika ed tygdkraftskostate g ultiplicerat ed y, där y är höjde ovaför e godtycklig referesivå. (Schobeiri, 2) Det so u kvarstår att behadla ia potetialströige är ströfuktioe Ströfuktioe För att bäst kua beskriva ströfuktioe är det läpligt att börja ed e illustratio; se figure eda. Figur 2.5: Strölijer För de två strölijer so visas i figure gäller att hastighete V i varje pukt på lijera har saa riktig so lijes taget; ateatiskt ka detta uttryckas so V dl udy vd, (2.2) där V är hastighetsvektor, dl lijeeleetet, u och v hastighetskopoeter och dy sat d avståd i y- respektivee -led eligt figur 2.5. Flödet Q ella två sådaa lijer ka beskrivas 8

13 (Petrila, 25) ed forel B V dl udy v Q ( d), (2.22) A B A där A och B är två godtyckliga pukter på lijera (se figur ova) och övriga beteckigar har saa betydelse so i ekvatioera ova. Flödet Q beror på - och y-koordiatera och därför ka e fuktio defiieras för att beskriva detta flöde ströfuktioe Ψ(,y). Då ekvatioera (2.2) och (2.22) kobieras erhålls sabadet d udy yd, (2.23) vilket iebär att Ψ ite varierar, det vill säga är kostat, lägs ed strölijera. (ella lijera beskrivs Ψ av ekvatio (2.22)) Detta avslutar avsittet o ströfuktioe. 2.3 Potetialströig Med de beskrivigar och begrepp so behadlats ova fis u allt so krävs för att defiiera detta avsitts huvudäe: potetialströig. Här koer fokus ligga på att förklara bakgrude till de specifika etod so seare aväts vid prograerige. E kort diskussio o adra etoder återfis i avsitt 2.5. Ett allät sätt att agripa ett potetialströigsproble utgår ifrå kotiuitetsekvatioe. I ekvatio (2.7) visades att för e ikopressibel, icke viskös-ströig gäller 2. (2.7) Dea ekvatio är so äts ova lijär, vilket iebär att e lijärkobiatio av två eller flera lösigar också är e lösig till ekvatioe. Geo att placera sådaa ekla lösigar lägs ed yta på e vigprofil ka e total lösig för hela ströige erhållas. Geo att välja lösigar där hastighetspotetiale går ot oll då avstådet går ot oädlighete uppfyller lösigara radvillkoret (2.9); kvar återstår att apassa atal, placerig och relativ styrka hos dessa lösigar för att radvillkoret (2.8) skall uppfyllas. Probleet ka däred reduceras till ett lijärt ekvatiossyste ed de olika relativa styrkora hos lösigara so koefficieter, ågot so läpar sig väl för ueriska lösigar. Neda defiieras först e ekel lösig och därefter graskas effektera av e distributio av sådaa lösigar på yta av e vigprofil Virvellösige Dea lösig är e så kallad sigulär lösig, vilket iebär att hastighete vid avstådet oll ärar sig oädlighete och däred blir e sigularitet. Detta beror på att hastighete är ovät proportioell ot avstådet och är läkat till det öskade beteedet vid oädlighete, där hastighete skall vara lika ed oll. Karakteristiskt för dea lösig är också att de edast har tagetiella hastighetskopoeter, vilket illustreras i edaståede figur. 9

14 Figur 2.6: Strölijer för virvellösig Detta ger att V r V V ( r,, ), (2.24) där V r är radiell hastighet och V θ är tagetiell hastighet. Då detta sätts i i kotiuitetsekvatioe i polära koordiater visas att de tagetiella hastighete edast beror av avstådet r, (Katz & Plotki, 2) vilket iebär att V V (r). (2.25) Isatt i ekvatio (2.) för vorticitet ger detta att ( rv ), r r (2.26) vilket i si tur, efter att båda led itegrerats, visar att rv C, (2.27) där C är e kostat. Ur detta uttryck ka utläsas ett av de krav so ställdes på lösig i avsittets första stycke: att hastighete skall vara ovät proportioell ot avstådet. Geo att sätta i ovaståede ekvatio i ekvatio (2.2) för cirkulatio ka kostate C bestäas till följade: C. 2 (2.28) Isatt i ekvatio (2.27) ger detta följade sabad för de tagetiella hastighete: V. 2 r (2.29)

15 Hastighetspotetiale ka u bestäas geo att ekvatio (2.29) itegreras, tillsaas ed villkoret att de radiella hastighete reda är bestäd till oll. (Katz & Plotki, 2)Detta ger sabadet D. (2.3) 2 D är här edast e itegralkostat och ka därför bortses ifrå, det vill säga sättas till oll. Då koordiatsysteet so geogåede aväds i dea tet är det kartesiska krävs att ovaståede två ekvatioer skrivs o, efterso dessa är uttryckta i polära koordiater. I kartesiska koordiater blir ekvatioe för hastighetspotetiale y y ta 2, (2.3) ekvatioe för hastighetskopoete u u y y 2 2 2, (2.32) y y och ekvatioe för hastighetskopoete v v (2.33) y y Detta avslutar avsittet o estaka virvellösigar och i ästa avsitt behadlas istället effektera av ett flertal sådaa lösigar utspridda över e yta eller lije Virvelfördelig För att udersöka vilke påverka e virvelfördelig har på luftströe i pukte (,y) krävs att påverka frå alla eskilda lösigar tas ed i beräkige. Detta görs läplige ed hjälp av e itegral och de resulterade hastighetspotetiale ka däred skrivas på itegralfor so 2 y (, y) ( ) ta d 2, (2.34) där virvellösigara för ekelhetes skull (då detta edast är e deostratio vid tilläpigar är distributioe aorluda) är utspridda lägs -ael ella puktera och 2. (Hirsch, 27)Hastighetskopoetera i - och y-riktig, u respektive v, blir vid e såda distributio 2 y u(, y) ( ) d ( ) y (2.35) och 2 v(, y) ( ) d 2 2. (2.36) ( y 2 )

16 Vid y(±) ädrar hastighetskopoete u tecke, vilket leder till e skillad i hastighetspotetiale vilke ka skrivas so () ( 2 ) d ( ) d 2. (2.37) De totala cirkulatioe Γ är lijeitegrale rut u(,)d, vilket i detta fall är lika ed skillade i hastighetspotetial. Uttryckt ateatiskt erhålls sabadet () (). (2.38) De effekter so virvelfördelige har på luftströe, vilka visats ova, koer i kapitel 4 approieras ueriskt då ekvatioera tilläpas i beräkigsprograet Adra etoder Föruto de ova diskuterade virvelfördelige fis ytterligare ett atal lösigar värda att äa. Dessa koer på grud av utryesskäl ite att graskass i detalj, då de här ite aväds till ågra beräkigar. De första av dessa lösigar illustreras i figure eda. Figur 2. 7: Strölijer för lösig ed edast radiell hastighetskopoet Ur figure ka utläsass att dea lösig edast har e utåtriktad radiell hastighetskopoet. Äve o a ed e distributio av sådaa lösigar skulle kua uppfylla radvillkoret för oralkopoete av luftströes hastighetsvektor geereras ige cirkulatio. Detta edför att dessa lösigar ite ka avädas för lyftkraftsberäkigar. E aa lösig utgår ifrå ovaståede eepel, sat e oväd variat av dea. Atag att a har e lösig eligt beskrivige ova. E viss sträcka därifrå placeras seda e likade lösig, ed skillade att de radiella hastighetskopoete u är iåtriktad. Detta ger upphov till strölijer vars utseede illustreras i edaståede figur. 2

17 Figur 2.8: Strölijer för doublet-lösig Dea lösig öjliggör lyftkraftsberäkigar då cirkulatio geereras. Lösige skulle däred kua ersätta de ova i detalj graskade virvelfördelige o så öskades. Föruto dessa två separata lösigar vore e öjlighet att kobiera lösigara i olika kostellatioer, vilket öjliggörs av att äda lösigar är lijära. E kobiatio av lösigar ed radiella hastighetskopoeter för att uppfylla oralvillkoret och lösigar ed tagetiella hastighetskopoeter för att geerera cirkulatio skulle till eepel kua avädas för att beskriva ströige rut e vigprofil. I prograet so beskrivs i kapitel 3 koer dock edast virvellösigar att avädas. 3

18 3. Geoförade I detta kapitel koer det faktiska färdigställadet av det beräkigsprogra vilket är arbetets huvudsyfte att behadlas. I första avsittet koer de ateatik och de ueriska variater av de ekvatioer so krävs att behadlas och i avsitt två preseteras prograkode, utförligt koeterad och förklarad, för det cetrala beräkigsprograet. Vidare beskrivs och förklaras i detta kapitel äve de oeklatur so ä så läge sakas, sat de begräsigar och förekligar so krävs för de ueriska beräkigara. 3. Virvelpaeletode De etoder so beskrivits i ovaståede kapitel har i åga fall ivolverat itegraler av ågot slag. Prograet so här beskrivs bygger på etode ed distributio av virvellösigar lägs vigprofiles yta vilke beskrivits ova, ed ågra väsetliga skillader. Då etode här är uerisk behöver vigprofiles geoetri delas upp i diskreta deleleet, vilka kallas paeler. Därav koer aet på etode och det är detta so är de grudläggade idé bako prograet. Första steget är därför att förekla vigprofiles geoetri. 3.. Skapadet av paeler Det fis två etoder för distributio av paeler ipleeterade, där skillade ligger i de relativa fördelige lägs ed vigprofiles korda. De första, eklare etode delar upp korda i det atal delar so specificerats av avädare, där varje del av korda har saa lägd. De adra etode fördelar paelera eligt ekvatioe c ( cos ), (3.) 2 där är :te pukte lägs korda, c vigprofiles korda och β ka beskrivas ed ekvatioe. (3.2) Här är β vikel, puktes uerordig och atalet paeler so skall skapas. Då pukteras positio väl beräkats bestäs paeleras y-positio geo att de tidigare beräkade puktera projiceras på vigprofiles ursprugliga koordiater. Därefter bestäs äve paeleras ittpukter, då dessa koer att avädas vid uppfylladet av radvillkoret för luftströes oralkopoet. I figurera eda illustreras båda dessa etoder och de effekter de har på fördelige av paeler. Värt att otera är att geoetri har betydelse för resultatet av beräkigara och detta är därför ett viktigt steg. Cosiusfördelige ka ofta ge ett bättre resultat då tryckförädrigara är större vid katera (Pozrikidis, 29) och är därför stadardalterativet. 4

19 Figur 3.: Paelfördelig ed kostat paellägd Figur 3.2: Paelfördelig ed varierade paellägd Då paeleras äd- och ittpukter bestäts beräkas äve oral- och tagetvektorera för avädig vid searee hastighetsberäkigar. När vigprofile delats i i ett atal paeler tilldelas dessa paeler γ-styrkekoefficieter, vilka är de koefficieter so seare bestäss vid lösige av prograets huvudatris. Värt att äa här är betydelse av dessa koefficieters grad, då dea har stor påverka på seare beräkigar och hur resultat. Det beräkigsässigt eklaste vore att asättaa e kostat styrkekoefficiet för varje pael, vilket skulle iebära att ( ) C, (3.3) där C är e kostat och γ är styrkekoefficiete för de :te paele. Dea lösig har dock ett atal proble vilket blad aat gör att resultat frå beräkigar där etode aväts blir er godtyckliga ä ödvädigt. Detta beror på etode ed vilket prograets huvudekvatiossyste löses ed kostat styrka på paeleras styrkekoefficieter och additioe av Kutta-villkoret erhålls ett överbestät ekvatiossyste. (Lay, 22) Detta iebär i si tur attt ågo av ekvatioera åste bortses ifrå och detta edför att resultatet får e viss grad av godtycklighet. Svårighete att bestäa vilke pael so skall slopass är dock ite hela probleet. Ett aat proble är att påverka frå paelera ite är kotiuerlig ella två paeler, vilket visas i figure eda. (Aderso, 27) 5

20 Figur 3.3:Vigprofil ed kostat styrkekoefficiet för paeler E lösig till dessa proble är att låta styrka variera över varje pael geo att öka gradtalet för styrkekoefficiete till ett förstagradspolyo, vilket både löser probleet ed kotiuitet ella paeler sat leder till ett ekvatiossyste so ite är överbestät. Dea lösig koer därför att avädas här vilket resulterar i e geoetri eligt figure eda. Figur 3.4: Paelgeoetri för lijärt varierade styrkekoefficiet I figure ova fugerar de tredjee paele so eepel för förklarigar av figures olika sträckor och viklar. γ är här styrkekoeffi iciete vid de :te paeles ädpukt, r är avstådet till pukte (,y) frå de :te paeles ädpukt och θ är vikel ella -ael och r i de :te paeles lokala koordiatsyste. Paeleras ittpukter är, vilket ka utläsas ur figure, arkerade ed cirklar. Skapadet av de geoetri so krävs för att lösa probleet är u avslutad. Det so återstår att göra ia paelera är kopletta är att bestäa de påverka varje pael har på ströige. Koefficiete γ varierar för varje pael eligt ( ) ( ), (3.4) vilket kobierat ed ekvatioera (3.35) och (3.36) efter beräkig (Råde & Westergre, 24) ger hastighetskopoetera u pael y lokal 2 r l r 2 lokal (3.5) och 6