Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok upprepas i allmähet samma råd (åtmistoe i de bättre av dem). Här kommer råde i lätt bearbetig. Det första ma bör göra att att försöka förstå det giva problemet. Vad är det okäda som efterfrågas? Vilka data är giva? Vilka är villkore? Är det möjligt att uppfylla de giva villkore? Är villkore tillräckliga för att fastställa det okäda? Är villkore otillräckliga, oödiga eller t.o.m. motsägelsefulla? Rita om möjligt e figur. Iför lämpliga beteckigar. Översätt (om det behövs) villkore till matematik. Nästa steg är att utarbeta e problemlösigspla. Har du sett ågot likartat problem förut? Käer du till ågra satser eller adra resultat som verkar vara relaterade? Vad är det okäda? Ka du fudera ut adra problem där samma okäda efterfrågas? Om du ka fia och lösa ett relaterat problem, fudera på om du ka aväda samma metod för att lösa det giva problemet, eller om du ka aväda resultatet? Ka du omformulera problemet, exempelvis ge e geometrisk tolkig? Om du ite ser e lösigsväg, prova med att ädra lite på problemet. Försöka att ädra lite på data så att det förädrade problemet blir lättare att attackera. Om du ite ka bestämma det efterfrågade, ka du bestämma ågot aat ärliggade? Ka du specialisera eller geeralisera problemet? Har du avät alla giva data? Har du avät alla giva villkor? Tredje fase är att verklige lösa problemet. Det är då väsetligt att oga kotrollera varje steg. Ka du bevisa att alla steg är korrekta? Då ma väl har löst sitt problem är det mycket värdefullt att gå tillbaka och reflektera över resultatet. Ka du kotrollera om resultatet är korrekt eller rimligt? Ka du plocka fram resultatet på ågot aat sätt? Ka ma (i efterhad) se svaret direkt?
Ka du aväda resultatet eller metode för att lösa adra problem? Vid problemlösig hoppar ma i allmähet fram och tillbaka i Polyas schema, me det ka ädå vara värdefullt att ha i åtake. Låt oss ge ett atal exempel. Problem Visa att ab a b ; a b 0 () Vi käer självklart ige detta som olikhete mella algebraiskt och geometriskt medelvärde, me låt oss ädå diskutera olikhete och se om vi ka lära oss ågot. Det vi har givet är två godtyckliga positiva reella tal och det okäda är här om e give olikhet alltid är sa. Ma ka börja med att fudera över vad som häder om a b. Vi ser då att vi får likhet i olikhete. Ma ka seda fråga sig vad som häder om ma håller det ea talet fixt och låter det adra talet gå mot oll eller mot oädlighete. Vi ser att olikhete är asymptotiskt rimlig. Om olikhete är sa för talparet a b, så ka ma lätt (p.g.a. homogeitet) ise att de också gäller för talparet λa λb för varje λ 0. Det räcker alltså att visa olikhete för varje talpar a b sådat att a b 0 och a b L, för ågot fixt positivt reellt tal L. Vi skulle kua tolka olikhete geometriskt geom att täka oss e rektagel med sidlägdera a respektive b. Olikhete säger då att rektagels omkrets (O) dividerad med 4 är större ä kvadratrote ur rektagels area (A), d.v.s. A O 4 () Notera att dea formel är skaligsivariat. Detta är precis de homogeitet vi ämde ova. Det räcker alltså att visa formel för rektaglar med e fix give omkrets. E aturlig fråga är då givetvis hur stor area av e rektagel ka bli om omkretse är exempelvis lägdeheter (l.e.). Kaske gissar vi att vi får maximal area geom att välja e kvadrat och vi oterar att vi för e kvadrat har likhet i (). Atag u att omkretse verklige är l.e. och låt e sida i rektagel ha lägde t l.e. (0 t ). Närliggade sidor har då lägde t l.e. och de olikhet vi skall försöka bevisa får utseedet t t (3) Geom att kvadrera och kvadratkomplettera iser vi att dea formel är sa och vår olikhet är därmed bevisad. Vi iser också att vi får likhet i (3) precis då t, d.v.s. precis då vår rektagel är e kvadrat!
Lösige tillkom geom att kvadrera och seda kvadratkomplettera. Vi ka u aturligtvis prova att utföra detta direkt i vår olikhet. Vi kommer därmed till bokbeviset av olikhete. Det är i själva verket ofta e god idé att försöka göra sig av med kvadratrötter i giva formler. Eftersom de igåede storhetera i vår olikhet är positiva, och eftersom fuktioe 0 t t 0 är växade och bijektiv, följer att olikhete () är ekvivalet med de kvadrerade olikhete ab a b 4 Dea är efter kvadratkompletterig ekvivalet med (4) a b 0 (5) vilket bevisar att olikhet () är sa. Vi ka u fudera över om vi ka geeralisera problemet på ågot itressat sätt. E aturlig geeraliserig då ma täker på problemet i form av medelvärde är olikhete a a a a a a (6) för ett fixt aturligt tal och godtyckliga positiva reella tal a a a. Dea formel är sa och ett bevis ges exempelvis i Courat Robbis på sida 363 364. Täker vi på problemet i geometriska termer är e aa aturlig geeraliserig V A (7) där V beteckar volyme av e -dimesioell låda och A area av dess begräsigsytor. Kostatera i (7) får vi fram geom skaligsivarias och geom att gissa att äve i högre dimesio så är kube optimal. Om sidlägdera för låda är a a betyder (7) att a a a a a k a k a (8) k med aturlig tolkig av summa (sätt exempelvis a 0 a ). Dea olikhet är också sa och i själva verket ka ma visa att (6) och (8) är ekvivaleta, d.v.s att de följer av varadra. Att (8) följer av (6) ises geom att iföra storhetera b k : a a k a k a för k. Då gäller att b b b a a a k b b b a a k a k a (9) 3
Ma ka på samma sätt, geom (9), ise att (6) följer av (8) så sart ma har bevisat att avbildige R a a a b b b R, med b k defiierat som ova för k är bijektiv. Detta är ekvivalet med att ekvatiossystemet a a 3 a b a a 3 a b a a a b (0) har etydig lösig i R för varje högerled b b b R. Då vi har ekvatioer beståede av multiplikativa uttryck på R är det ofta e god idé att logaritmera. Om vi såluda logaritmerar (0) får vi det ekvivaleta ekvatiossystemet ( i R ) : log a log a 3 log a log b log a log a 3 log a log b log a log a log a log b () Vi oterar att vi u har tagit oss till ett lijärt ekvatiossystem. Dylika behärskar vi och i det logaritmerade systemet är fråga edast huruvida matrise är iverterbar för ett godtyckligt fixt N. 0 0 () 0 Övig. Visa att matrise ova har determiate. Ledig Aväd exempelvis utvecklig efter rad efter att ha avät att determiates värde ite ädras om vi lägger e multipel av e rad till e aa. Vi har u blad aat bevisat att olikhete (7) gäller för varje -dimesioell låda, samt att de -dimesioella kube är optimal i de meige att de ger likhet i (7). Vi skall återkomma till dessa frågor då vi diskuterar variatioskalkyl. 4
Problem För talteoriprobleme eda ka det vara lämpligt att bekata sig lite med moduloräkig se sid 3 38 i Courat Robbis. Problem. Låt N k a k vara e följd av reella tal såda att a k a k. Är talföljde koverget? Problem. Låt Är f kotiuerlig? Är f deriverbar? xsi f x x x 0 0 x 0 (3) Ledig Aväd defiitioera. Problem 3. Låt f vara e kotiuerligt deriverbar reellvärd fuktio på ehetsitervallet 0, såda att f 0 0. Visa att f x 0 dx 0 f x dx (4) Ledig Käer du till ågo kopplig mella e fuktio och dess derivata? Problem 4. Låt g och h vara kotiuerligt deriverbara och icke egativa fuktioer frå R till R sådaa att g x dx och h x dx. Visa att om det fis e kostat C 0 såda att g x Cg x h x för alla x R (5) så gäller att g x 0 för alla x R. Ledig Vad häder exempelvis om ma har likhet i olikhete? beräka ågot i detta fall? Ka ma Problem 5. De positiva heltale summeras i grupper eligt ; 3; 4 5 6; 7 8 9 0; Beräka summa i de te gruppe. Problem 6. Atag att två giva aturliga tal p och q är relativt prima (d.v.s förutom de gemesamma delare, så sakar de gemesamma delare). Visa att p log q är irratioellt. Ledig Prova exempelvis med ett motsägelsebevis av samma typ som det som aväds då ma bevisar att är irratioellt. Problem 7. Beräka summa 9 99 999 999 9999, där de sista terme iehåller stycke ior. 5
Problem 8. Visa att gräsvärdet lim existerar och beräka detta gräsvärde. (6) Ledig Käer du till ågot allmät sätt att uppskatta summor av detta slag? Problem 9. Visa att talföljde N k kak kovergerar då om a. Beräka dessutom gräsvärdet. Problem 0. För vilka aturliga tal gäller att ekvatioe har heltalslösigar x y z N? x y z (7) Problem. Visa att x 4 x y (8) sakar heltalslösigar om x 0. Problem. Visa att sakar heltalslösigar. Problem 3. Visa att sakar heltalslösigar. 3x y (9) 7x 3 y 3 (0) Problem 4. Visa att om a b och c är icke egativa reella tal så gäller att ab bc ca a b c () Problem 5. Visa att k delar k för oädligt måga olika k N. Problem 6. Atag att vi har e oädlig följd av reella tal s s s 3 såda att s k s då k för ågot ädligt tal s R. Visa att då äve medelvärdea då. k s k s () 6