5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på lije om och edast om P P= t (5.) för ågot reellt tal t. Figur 5.. L Q P P O Pukte Q ka ite ligga på lije då ektor P Q är ite parallell med lijes riktigsektor, ds det fis iget reellt tal t så att PQ= t. a Om i låter = b ara e riktigsektor, P = (,, ) e fi pukt på lije c och P = (,,) e godtcklig pukt blir P P= ekialet med Lijes ekatio ges därmed a = + t a b c = t eller a b c. och illkor (5.) är därmed = + ta = + tb = + tc t R. Löser i ut t frå sstemet oa får i att t = a ekatio ka också skrias på forme = b =, ds lijes c a = b =. c

5. Lijer 49 Eempel 5.. Låt = + ara e lije i plaet. Vi skrier lijes ekatio på parameterform geom att sätta = t och = t +, där t R, ds { ( ) ( ) ( ) = + t eller = + t t R. = t Ritar ( du lije, ) så ser du att de går igeom ( ) pukte (,) och har riktigsektor =. Obserera att äe = är e riktigsektor. Eempel 5.4. Bestäm ekatioe för lije geom P = (,, ) med riktigsektor 4 = 5. 6 Lösig: Eempel 5.5. Bestäm ekatioe för lije geom P = (,,) och P = (,5,7). Ligger pukte P = (,6,) på lije? Jämför med Eempel.9. Lösig:

5 5 LINJER OCH PLAN Eempel 5.6. Låt pukte P = (,,) och lije L : = t, t R. Bestäm P:s ortogoala projektio på L samt astådet frå P till L. Bestäm också spegelbilde a P i L. Lösig:

5. Pla 5 5.. Pla Till ett pla π hör tå motsatt riktade ormalektorer, ortogoala mot arje lije i plaet. E ektor, som är parallell med ågo a dessa kallas e ormal (ektor) till π. Figur 5.7. π Låt ara e ormal till π och låt P ara e pukt i π. Då ligger pukte P också i plaet π om och edast om P P=. (5.) Figur 5.8. Q P P P Låt = A B C ara e ormal till π och P = (,, ) ara e pukt i π. Eligt (5.) gäller att pukte P = (,,) tillhör π om ds = P P= A B C = A( ) + B( ) + C( ), A + B + C = A + B + C. Om i sätter D = A + B + C får i att plaets ekatio på ormalform ges a A + B + C = D. (5.4)

5 5 LINJER OCH PLAN Eempel 5.9. Bestäm ekatioe för plaet geom pukte P = (,,) med ormale = Lösig: Eempel 5.. Bestäm ekatioe för plaet geom puktera P = (,,), P = (,,) och P = (,,). Age ekatioe dels på parameterform och dels på ormalform. Ligger pukte (,, ) i plaet? (ON-bas). Jämför med Eempel 4.9. Lösig:

5. Pla 5 Eempel 5.. Låt pukte P = (,,) och plaet + + = ara gia. Bestäm P:s ortogoala projektio i plaet och beräka P:s atsåd till plaet. Bestäm P :s spegelpukt i plaet. Lösig: Pukte P ligger ite i plaet, t + + =. Ta e godtcklig pukt i plaet t.e. origo O och bilda ektor u = OP=. Frå Eempel. et i att u ka delas upp ortogoalt eligt och u = u u = u = u =, = Koordiatera för pukte Q som är P:s ortogoala projektio på plaet ka fås ur ortsektor OQ= u =. Alltså är Q = (/, /, /). Astådet frå P till plaet ges a u = + + = l.e. Vi bestämmer u P:s spegelbild R i plaet. Spegelektor u s uppfller u s + u u = u s = u u = = Eftersom ortsektor OR= u s =., så är R = (/, /, /).. u P u // O u Q u s R

54 5 LINJER OCH PLAN Eempel 5.. Tå lijer har ekatioera = + s L : = + s respektie L : = + s = + t = + t = a t Bestäm talet a så att lijera skär aradra. Bestäm för detta ärde på a e ekatio för det pla som iehåller de bägge lijera. Lösig: L och L skär aradra om det fis a, s och t sådaa att + s = t + s = + t + s = a t Löser i ekatiossstemet får i att a =, s = och t =. Skärigspukte P = (,5,7). Normal till plaet är e ektor parallell med. Vi får att 7 = = = 5. Plaets ekatio är 7 5 + = D. Sätter i i pukte P fås D = och ekatioe är då 7 5 + =. Figur 5.. L P L

5. Pla 55 Eempel 5.4. Lije = + t Bestäm projektioes ekatioe (ON-bas). + + =. projiceras ikelrät på plaet Lösig: Lijes ekatio isatt i plaets ekatio ger =, = + t, = t + ( + t) t = t =. Skärigpukte är således P = (,,). Projicerar i u lijes riktigsektor = på plaet fås de a riktigsektor = = De projicerade lijes ekatio blir därmed Figur 5.5. 8 7 =. + t 8 7. L P L proj

56 5 LINJER OCH PLAN Eempel 5.6. Skri plaet. + + = på parameterform. = + s t. = + s + t på ormalform. = + s t Lösig:. Sätter i = t och = s får i att = s t. Detta ger att plaet ka skrias på parameterforme = s Plaet är alltså mägde a alla ektorer w = som är parallella med riktigsektorera u = och =. + t.. Plaet går igeom pukte (,,) och späs upp a riktigsektorera = och =. E ormal till plaet är därför = = = e = e + e e e e = Plaet har ormalekatioe 5 + + = D. Sätter i i pukte (,,) i ekatioe får i D =. Plaetsekatio på ormalform är 5 + + =. 5. Figur 5.7. + + = u w (,,)

5. Pla 57 Eempel 5.8. Skär lije L : = 4 + t I så fall ar? Bestäm ikel mella lije och plaet. (ON-bas). plaet + + =? Lösig: Vi söker skärigspukte mella lije och plaet geom att sätta i lijesekatio i plaet och får ( + t) + ( 4 + t) + = t =. Skärigspukte är därmed (,, ). Eftersom lije har riktigsektor = så är ikel θ mella lije och plaets ormal cos θ = = θ = π 4. Vikel mella lije och plaet är därmed π π 4 = π 4., Figur 5.9. L π/4 π/4 (,,)

58 5 LINJER OCH PLAN Eempel 5.. Age skärigslije mella plae ++ = och + =. Bestäm det kortaste astådet frå pukte Q = (,, ) till dea lije. (ON-bas). Lösig: Skärigslije ges a { + + = + = = + t Lije går alltså igeom pukte P = (,,) och har riktigsektor = e godtcklig pukt på lije t.e. P och bilda ektor u = PQ= OQ OP= Vi projicerar u u på lije så att =... Ta Vi får att u = u = u = u + u.. Vidare gäller att u = u u =. Astådet frå Q till lije är lägde a ektor u, ds u = 5 l.e. Figur 5.. ++= L L u Q += u // u P

5. Pla 59 Eempel 5.. Age ett pla sådat att puktera P = (,,) och Q = (5,6,7) ligger på arsi sida om plaet. Age också e pukt som ligger på samma sida om plaet som pukte P. (ON-bas). Lösig: Lije geom puktera P och Q ges a = +t. För t = fås pukte P och för t = 4 fås pukte Q. Detta betder att för arje t som ligger mella och 4 fås e pukt på lije mella P och Q. Vi äljer t.e. t = och får pukte (, 4, 5) och låter ett pla gå igeom dea pukt. Normale till detta pla får ara lijes riktigsektor. Plaets ekatio blir då + + =. För t < får i e pukt på lije som ligger på samma sida som P. T.e pukte (,,4) för t =. Figur 5.. (5,6,7), t=4 ++= (,4,5), t= (,,4), t= (,,), t=

6 5 LINJER OCH PLAN Eempel 5.4. E ljusstråle utgår frå pukte P = (,,) och faller i mot origo. De reflekteras mot plaet + + =. Bestäm ekatioe för de reflekterade stråle. (ON-bas). Lösig: Stråle följer riktige ara plaets ormal och låt u = ka delas upp eligt där och De reflekterade stråle u ut uppfller ds är de faller i mot origo i plaet. Låt = u = u + u, u = u u = u u u ut + u u =, samt kalla de reflekterade Vektor u u ut = u u = u (u u ) = u + u = u + u = De reflekterade stråle följer alltså lije igeom origo med riktige Figur 5.5... P u u u u // u ut O

5. Pla 6 Eempel 5.6. Bestäm astådet mella lijera L = och L = = 4 + t = + t. Jämför med Eempel 5 på sida i boke. Lösig: Vi bestämmer de riktig som är ortogoal mot båda lijera geom att krssa riktigsektorera e e e 5 = = = 5. 5 Låt därför = ara de ektor som är ortogoal mot båda lijera. Vi bildar ektor u som går frå L till L geom u = OP OP = 4 Astådet frå L till L ges därför a u. Det följer att u = u = Astådet frå L till L är alltså u = l.e. =. 6 4. Figur 5.7. L P = (,4,) u P = (,,) L