Hur bildas svarta hål?

Örebro Uiversitet Akademi för aturveteskap och tekik Fysik C, 15 högskolepoäg Hur bildas svarta hål? Neutrostjäror, kaokodesatio och dess kosekveser och Miihål på jorde? Roja Höglud Aldri Hadledare: Fredrik Wallider Examiator: Peter Johasso Utförd: HT -08

Sammafattig Med utgågspukt frå de teoretiska bakgrude, defiitioe av svarta hål och deras geerella egeskaper har jag studerat villkor för bildadet av svarta hål frå döede sigulära stjäror. Superovaprocesse beskrivs tillsammas med hur eutrostjäror ka påverkas av destabiliserade mekaismer som t.ex. kaokodesatio. Olika observatioer samt alterativa teorier läggs fram som argumet och motargumet. Utifrå detta uderlag drar jag slutsatse att svarta hål ka existera i fler variater ä vad som hittills atagits, främst i form av s.k. lågmassiva svarta hål på 1,5-1,8 M sol. Vidare skildras möjlighete att producera mikroskopiska svarta hål i LHC-accelerator (Large Hadro Collider) i CERN, de kotroverser som omgärdar detta feome och de kuskaper som skulle kua vias frå kotrollerade observatioer av sådaa objekt. De geerella slutsatse här är det ofråkomliga mötet mella partikelfysik och astrofysik för att få tillgåg till de allra djupaste isiktera om det uiversum vi lever i. Abstract Buildig o the theoretical backgroud, defiitio of black holes ad their geeral characteristics, I have studied some coditios for the formatio of black holes from dyig sigular stars. The superova process is described alog with the ifluece o eutro stars by destabilisig mechaism such as kao codesatio. Various observatios as well as alterative theories are preseted for argumetatio. From this material I draw the coclusio that black holes ca exist i more varieties tha has bee previously assumed, foremost i the shape of low-massive black holes with masses betwee 1.5 ad 1.8 M su. Furthermore the possibility to produce microscopic black holes i the LHC accelerator (Large Hadro Collider) at CERN is portrayed, together with the cotroversies that curretly surroud this pheomeo ad the kowledge that could be wo from cotrolled observatios of such objects. The geeral coclusio here is the uavoidable meetig betwee particle physics ad astrophysics i order to access the deepest isights about the Uiverse we ihabit. 2

Iehåll Iledig... s.4 Hur bildas svarta hål?... s.4 Eisteis arv... s.5 Krökt rumtid och sigulariteter... s.6 Svarta hål... s.9 Kompakta objekt... s.12 Vita dvärgar... s.1 Neutrostjäror... s.17 Superovor... s.18 Kaokodesatio... s.22 Lågmassiva svarta hål kotra högmassiva svarta hål... s.2 Observatioer... s.25 Saduleak SN1987A... s.26 Observatioella resultat av eutrostjärors massa... s.27 Hyperoer och kvarkmateria alterativa teorier... s.28 Kvatmekaiska svarta hål på jorde?... s.29 Diskussio... s.2 Källor... s.4 Litteratur... s.4 Övrigt... s.4

Iledig Svarta hål tillhör ågra av de mest extrema feomee iom astrofysik. Med gravitatiosfält så starka att ite es ljuset ka udkomma har svarta hål kommit att spela e avgörade roll i flera feome, särskilt rötge- och gammastråligskällor och aktiva galaxkäror. Det valigaste sättet att upptäcka svarta hål är att observera biära system, där det svarta hålets ärvaro röjs geom dess iverka på si (oftast syliga) kompajo. På detta sätt har ma kuat idetifiera ett flertal svarta hål med massor omkrig 10 M sol. Udersökigar av Dopplerförskjutige i gasmol som går i baor ära galaxcetra har vidare avslöjat att ästa alla utvecklade galaxkäror iehåller ett s.k. supermassivt svart hål på 10 6-10 9 M sol. Ma har ylige också upptäckt vad som skulle kua vara ett itermediärt svart hål på 500 M sol i galaxe M82 i stjärbilde Stora Björ. 1 Hur bildas svarta hål? Ma är idag allmät överes om att stellära svarta hål (~10 M sol ) bildas som ett slutstadium i massiva stjärors livscykler. När e stjäras termoukleära bräsle tar slut, kollapsar dess ire delar uder si ege gravitatio. Är stjära tillräckligt massiv, kommer de att kollapsa till ett svart hål. Dea process har föreslagits som e förklarig till gammastråligsutbrott. 2 E viktig faktor för bildadet av svarta hål är de maximala stabila massa hos de två mest käda kompakta objekte, vita dvärgar och eutrostjäror. Därför är processer som påverkar dessa objekts itera stabilitet av stort itresse att bekräfta eller demetera. Supermassiva svarta hål atas vara de drivade krafte i aktiva galaxer och kvasarer geom ackretio av materia i galaxkära. De tros ha bildats i sambad med galaxeras tillkomst i det uga uiversum. Det faktum att praktiskt taget alla observerade aktiva galaxer har höga rödförskjutigar talar för att ackreerade supermassiva svarta hål är e aturlig del av galaxeras utvecklig. 4 Ma har ylige börjat aväda sig av avacerade umeriska simulerigar för att ta fram modeller för hur sådaa svarta hål ka bildas; bl.a. geom ett ursprugligt frö (valigtvis e mycket massiv stjära som kollapsar till ett svart hål) som därefter ackreerar materia frå det omgivade mediet i galaxes cetrala delar, me också geom asamligar av gasmol och stjäror som kollapsar och smälter samma geom si ibördes gravitatio. Rödförskjutige hos de mest avlägsa kvasarera sätter e viktig gräs för hur tidigt ett supermassivt hål ka bildas och hur sabbt det måste växa för att motsvara observatioera. 5 1 Uiverse Eighth Editio, s.586, 591f 2 Se Superovor, s.18 Se Vita dvärgar, s.1; Neutrostjäror, s.17; Kaokodesatio, s.22 4 Uiverse Eighth Editio, s.626f; Astroomy A Physical Perspective, s.152, 70ff 5 Black hole formatio ad growth: simulatios i geeral relativity, s.9ff; Formatio of Supermassive Black Holes: Simulatios i Geeral Relativity 4

Ytterligare e typ av svarta hål, mikrohål, ka visa sig ha stor betydelse för att förstå kvatgravitatioes atur och de förhållade som råder på mycket små skalor. Detta har blivit särskilt uppmärksammat i sambad med de föreståede högeergiexperimete i LHC-accelerator (Large Hadro Collider) i CERN, där ma hävdar att mikrohål ka bildas iom ramara för vissa teorier. 6 Amärkig: Huvuddele av de här uppsatse hadlar om sigulära stjäror och uder vilka förhållade de ka bilda svarta hål. Närvaro av e kompajo i ett biärt system ädrar förutsättigara radikalt, eftersom massöverförig och förlust av gemesamma gashölje spelar e avgörade roll för hur stjärora i systemet utvecklas. Det tas ite upp i det här arbetet. Eisteis arv 1905 publicerade Albert Eistei de speciella relativitetsteori, som beskriver det tredimesioella rummet och de edimesioella tide som e sammahägade, fyrdimesioell rumtid. Bl.a. ledde de till flera uppseedeväckade förutsägelser om hur mätigar av avståd och tid påverkas av ett föremåls hastighet lägdkotraktio respektive tidsdilatatio och dessa har alla bekräftats i flera experimet. Teori ger äve upphov till de berömda eergiekvatioe E = mc 2, samt de oudvikliga regel att iget objekt som har massa helt ka uppå ljusets hastighet. 7 Ma ka åskådliggöra e fyrdimesioell rumtid geom att aväda e eklare tredimesioell modell. I dea är två av dimesioera rumskoordiater och de tredje är tidskoordiate. E lije i detta koordiatsystem kallas för världslije eller geodet ( geodesic ). Alla partiklar som rör sig geom rummet och tide ka på detta sätt beskrivas med geodeter. Ljushastighetes begräsig motsvaras av s.k. ljuskoer, vilka åskådliggör e ljusfrots (tvådimesioella) utbredig med tide. Varje ljusko har två riktigar, e förflute och e framtida. På så vis utgör varje ljusko e 6 Se Kvatmekaiska svarta hål på jorde?, s.26 7 Uiverse Eighth Editio, s.577ff; Black Holes ad Time Warps, ch.1 5

begräsig för vilka hädelser som ka påverka varadra i rumtide. Regel att e orsak ite får förekomma dess verka kallas kausalitet. Alla geodeter går geom varsi ljusko, me ige geodet ka gå utaför si ljusko det skulle iebära att de associerade partikel överskrider ljusets hastighet, vilket är omöjligt eligt relativitetsteori. E foto, som färdas kostat med ljusets hastighet, har alltid si geodet utmed ljuskoes kat. 8 Krökt rumtid och sigulariteter De speciella relativitetsteori är speciell för att de är specialiserad de tar ite häsy till acceleratioer, och i syerhet ite gravitatioe. Tio år efter si första publicerig preseterade Eistei de allmäa relativitetsteori, där dessa effekter tas med. Geom ekvivalespricipe kude Eistei fokusera på ett föremåls rörelse sarare ä de krafter som påverkar de. Resultatet är e rumtid som kröks av massiva objekts ärvaro, och gravitatioskrafte uppstår är föremål rör sig i aturliga baor lägs rumtide. Krökt rumtid förklarar bl.a. hur ljus böjs av, varför ljus rödförskjuts och klockor sackar efter i gravitatiosfält, varför Merkurius baa skiftar si positio och existese av gravitatiosvågor. Ovaståede feome har alla (direkt eller idirekt) påvisats geom observatioer och experimet. 9 8 Astroomy A Physical Perspective, s.14; Black Holes, s.24ff, Black Holes: A Geeral Itroductio, s. 9 Uiverse Eighth Editio, s.582ff; Astroomy A Physical Perspective, s.141-147; Black Holes ad Time Warps, ch.2 6

Liksom i de speciella relativitetsteori ka rumtide beskrivas med ljuskoer. Ljuset följer fortfarade de kortaste baora, me eftersom rumtide ite lägre är rigid kommer ljuskoera att deformeras beroede på rumtides krökig. De speciella relativitetsteori gäller fortfarade lokalt; alla geodeter är hävisade till att gå geom ljuskoera. Ma ka göra sig e bättre bild av hur rumtid kröks i ärvaro av massiva objekt med hjälp av ibäddigsdiagram. De eklaste versioe är e krökt tvådimesioell yta i e tredimesioell volym, där ytas krökig motsvarar rumtides förvrägig. 10 De mest dramatiska förutsägelse är existese av sigulariteter i rumtide område där rumtide är så kraftigt krökt och gravitatioe så stark att igetig, ite es ljus, ka udkomma. E sigularitet är ett område i rumtide där ågo mätbar storhet blir oädlig. Strax efter att Eistei publicerade si allmäa relativitetsteori började de tyske matematiker Karl Schwarzschild att utarbeta e lösig för de ekvatioer som Eistei aväde för att beskriva rumtide. Resultatet blev Schwarzschildmetrike, som beskriver rumtide krig varje sfärisk, statisk kropp: 1 2 2M 2 2M 2 2 2 ds = 1 dt + 1 dr + r dω. r r Här är dω 2 = dθ 2 + si 2 θ dφ 2. Gravitatioskostate G och ljushastighete c har satts som eheter, G = c = 1. Schwarzschild upptäckte att om e kropp är helt ieslute iaför e kritisk radie, Schwarzschildradie, går de observerade tidsdilatatioe mot oädlighete vid radie. De gravitatioella rödförskjutige hos emitterade fotoer i ett gravitatiosfält beror på tidsdilatatioe, vilket iebär att om e foto emitteras exakt frå Schwarz- 10 Black Holes ad Time Warps, s.126ff; Black Holes, s.46f, 161ff; Black Holes: A Geeral Itroductio, s., 17 7

schildradie blir fotoes rödförskjutig oädligt stor fotoe förlorar all si eergi i det svarta hålets gravitatiosfält och upphör att existera. Om fotoe emitteras iaför Schwarzschildradie kommer de aldrig att kua gå utaför radies utsträckig. Formel för gravitatioell rödförskjutig ges av λ 2 α = 2, λ 1 α 1 2M där α1 = 1 r 1 2M och α 2 = 1. r 2 Uttrycket för Schwarzschildradie ges av R S = 2M. (G och c är satta som eheter, G = c = 1.) Om r 1 = R S, så får vi α 1 = 0 och λ 2 =. Fotoe blir oädligt rödförskjute. Om r 1 < R S och r 2 > R S så får vi α 1 /α 2 < 0 och λ 2 blir icke-reell. Fotoe ka ite börja iaför Schwarzschildradie och sluta utaför. Ma ka se Schwarzschildradies iebörd i Schwarzschildmetrike ova. När r 2M, går uttrycket framför dr 2 mot oädlighete. Detta motsvarar e massiv kropp med så stark gravitatio att dess flykthastighet överstiger ljusets. Ett objekt med dea egeskap kallas för ett svart hål. 11 Äve om Schwarzschildradie ger upphov till e sigularitet i tidsdilatatioe (och retav kallades e sigularitet till att börja med) är just de sigularitete e beräkigsmiss. David Fikelstei visade i slutet av 50-talet att Schwarzschilds sigularitet kude udvikas geom ett aat val av koordiater, som i si tur ger e aa versio av Schwarzschildmetrike. Schwarzschildmetrike (i Schwarzschild-koordiater) ges av 1 2 2M 2 2M 2 2 2 ds = 1 dt + 1 dr + r dω. (G = c = 1.) r r Vi iför Eddigto-Fikelstei-koordiater med koordiatbytet r v = t + r + 2M l 1. 2M På differetialform med avseede på t respektive r: dv = dt 11 Uiverse Eighth Editio, s.584f; Astroomy A Physical Perspective, s.148; Black Holes ad Time Warps, s.124, 11ff, 55; Black Holes, s.119f, 10; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.6 8

dv = dr + dr r 2M 2M 1 = 1+ dr = r 2M r r 2M 2M dr = 1 r 1 dr Då får Schwarzschildmetrike följade utseede: 2M 1 + 2 + Ω r 2 = dv 2 dvdr r 2 d 2 ds. Därmed är de tidigare sigularitete elimierad. r = 2M är e koordiatsigularitet och är därför ite fysisk. De verkliga sigularitete, som ite ka elimieras med koordiatbyte, är de vid r = 0. 12 Det är de som hädaefter kommer att refereras till som sigularitet. Svarta hål I si eklaste form består ett svart hål av e hädelsehorisot som omger de cetrala sigularitete. Sigularitete är hålets bokstavliga mittpukt de pukt i vilke all massa hos det svarta hålet ligger samlad. I sigularitete är täthete och därmed gravitatioe oädligt stor och rumtide oädligt krökt. De här type av svarta hål kallas för Schwarzschild-hål. De defiieras ebart av si massa och har därför de eklaste hädelsehorisote; e exakt sfär med samma radie som Schwarzschildradie, cetrerad på sigularitete. Hädelsehorisote är ite ett fast skal uta sarare e täkt yta i rymde: det avståd frå sigularitete vid vilket rumtide blir så pass krökt att ite es ljus ka udkomma det svarta hålets gravitatio, vilket i grudfallet är detsamma som Schwarzschildradie. Beämige hädelsehorisot ( evet horizo ) kommer sig av termiologi i de allmäa relativitetsteori e hädelse defiieras i rumtide geom rummets tre koordiater och tidskoordiate, där ljusets hastighet sätter gräse för vilka hädelser som ka utbyta iformatio och därmed påverka varadra. (Se rumtidsdiagramme ova.) Eftersom ite es ljuset ka udkomma ett svart hål, ka iga hädelser skicka iformatio ut ur ett svart hål och hädelsehorisote blir bokstavlige talat e horisot bortom vilke iget ka uppfattas. Ett svart håls utsträckig i rymde defiieras av dess hädelsehorisot. 1 Det mist komplicerade sceariot för bildadet av ett svart hål är e sfärisk, massiv stjära som geomgår symmetrisk gravitatioell kollaps. I bilde eda visas ett rumtidsdiagram av förloppet, som också åskådliggör iebörde av ett svart håls hädelsehorisot. 12 Black Holes ad Time Warps, s.244f, 250; Black Holes, s.120f; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.6ff 1 Uiverse Eighth Editio, s.592ff; Black Holes, s.126, 10 9

Rumtidsdiagram av e stjära som kollapsar till ett svart hål. Lågt ifrå det svarta hålet är rumtide i pricip platt; alla ljuskoer är riktade åt samma håll med samma toppvikel. Ju mer rumtide kröks av det svarta hålets gravitatio, desto mer deformerade blir ljuskoera de tippar över och trycks ihop. Utsäda ljusstrålar registreras med allt starkare fördröjig. Iaför hädelsehorisote är rumtide så pass krökt att samtliga ljuskoer är riktade i mot sigularitete varje geodet som passerar ett svart håls hädelsehorisot kommer oudviklige att dras i i sigularitete. De gravitatioella krökige ka beskrivas som att rumtide rör sig kotiuerligt iåt mot sigularitete. De oädliga rödförskjutige på Schwarzschildradie är e direkt kosekves av geometri krig hädelsehorisote. Trots att fotoera färdas kostat med ljusets hastighet kommer de ige vart på horisote rör sig rumtide mot det svarta hålets mittpukt med samma hastighet som ljusets! 14 Svarta hål ka också bildas i asymmetriska kollapser. Om stjära är starkt deformerad i det ögoblick hädelsehorisote uppstår kommer horisote att vara likaledes deformerad, me så sart stjära försvier iaför horisote har de ige iverka på rumtide utaför horisote lägre. Geom e serie vibratioer ( quasi-ormal modes ) avlägsas horisotes alla ojämheter och lämar det svarta hålet i form av gravitatiosvågor, svägigar i rumtide. 14 Black Holes ad Time Warps, s.249ff; Black Holes, s.128ff, 15; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.5 10

Rumtidsdiagram av e godtycklig asymmetrisk kollaps. Till e börja är horisote starkt deformerad av de kollapsade stjära, me geom att säda ut gravitatiosvågor atar horisote sitt slutliga jämviktsläge. 15 De exakta villkore för att ett kollapsade objekt ska bli ett svart hål är äu oklara. Ett av de mer låglivade atagadea är de amerikaske fysiker Kip Thores hoop cojecture ett objekt som geomgår asymmetrisk kollaps bildar ett svart hål om och edast om e täkt ögla med objektets Schwarzschildradie ka placeras rut objektet och roteras. Med adra ord, edast är e kollapsade stjära är helt ieslute iaför Schwarzschildradie i alla riktigar har stjära blivit ett svart hål. Thore kude visa att detta gäller för sfärer, oädligt låga cylidrar och oädligt utbredda ytor. För oregelbuda kroppar med ädlig utsträckig är beräkigara betydligt mer ivecklade. Det har gjorts försök att omformulera Thores atagade på e mer exakt matematisk form, me iget defiitivt resultat har hittills framkommit. 16 Eftersom de allra flesta stjäror har ågo slags rotatio, faller det sig aturligt att ata att äve svarta hål ka rotera. De lösig av Eisteis fältekvatioer som gäller för roterade svarta hål upptäcktes 196 av de yzeelädske matematiker Roy Kerr. Dea modell, beämd Kerr-hål, är idag asedd som de mest realistiska. Kerrmetrike beskriver det slutliga jämviktstillstådet efter att det svarta hålet har bildats och alla störigar lämat systemet. På grud av rotatioe blir sigularitete ite e pukt uta e oädligt tu rig parallell med ekvatorialplaet och cetrerad lägs rotatiosaxel, och hädelsehorisote atar e mer elliptisk form, tillplattad vid polera. Det fis äve e adra hädelsehorisot mella de yttre horisote och sigularitete, e s.k. Cauchy-yta. Dea är dock extremt istabil och tas mycket sälla i beaktig vid realistiska astrofysiska sceario. 15 Black Holes ad Time Warps, s.281ff; Black Holes, s.147ff; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.8f 16 Astroomy A Physical Perspective, s.148; Black Holes ad Time Warps, s.266ff; A Reformulatio of the Hoop Cojecture 11

Schematisk bild av ett Kerr-hål. Här visas också ergosfäre och de statiska gräse, vilka resulterar frå det svarta hålets iverka på rumtide är det roterar. Rumtide dras bokstavlige talat med av hädelsehorisote likt vatte i e malström, och iaför de statiska gräse är dea effekt så stark att ett objekt ite ka staa. Detta feome kallas koordiatmedsläpig. Ergosfäre har fått sitt am av att det är möjligt att utvia det svarta hålets rotatioseergi geom att föra objekt i särskilda baor iaför de statiska gräse ( Perose-processe ), vilket upptäcktes och bevisades 1969 av de brittiske matematiker Roger Perose. 17 Svarta hål ka beskrivas helt och hållet med tre parametrar: massa, rotatio och elektrisk laddig. All aa iformatio förs bort geom elektromagetisk strålig och gravitatiosvågor är de kollapsade stjära försvier iaför si hädelsehorisot. Dea egeskap kallas populärt att svarta hål har iget hår (mytat av de amerikaske fysiker Joh Wheeler i slutet på 60-talet). Geerellt brukar astrofysiker bortse frå laddig, eftersom ett svart hål med mätbar elektrisk laddig kommer att attrahera materia med motsatt laddig och därigeom eutraliseras förhålladevis sabbt. 18 Ma aser idag allmät att svarta hål bildas geom gravitatioell kollaps. Det är vad som sker är e stjära börjar uttömma sitt bräsleförråd och duka uder för si ege gravitatio, och därför är döede stjäror och de processer som försiggår i dem e viktig faktor för att förstå hur svarta hål ka uppstå. Kompakta objekt Svarta hål räkas till e särskild grupp av astroomiska objekt kallade kompakta objekt; hit hör äve vita dvärgar och eutrostjäror, vilka ases vara rester av åldrade stjäror. Både vita dvärgar och eutrostjäror har dock e gräs för hur massiva de ka bli, beroede på de fysikaliska processer som stabiliserar dem gravitatioellt. 17 Uiverse Eighth Editio, s.596; Astroomy A Physical Perspective, s.150; Black Holes ad Time Warps, s.290-294, 594; Black Holes, s.148, 150-155; Black Holes: A Geeral Itroductio, s.10ff; The Kerr spacetime: A brief itroductio, s.2-6 18 Uiverse Eighth Editio, s.594, 597; Black Holes ad Time Warps, s.28ff; Black Holes, s.156ff 12

Vita dvärgar Vita dvärgar är återstode av medeltuga stjäror (c:a 1-4 M sol ) och består huvudsaklige av kol och syre. Hos e vit dvärg har alla termoukleära processer avstaat och stjära lyser ebart geom de kvarvarade värme. Materie i e vit dvärgs ire är degeererad e kosekves av Paulis uteslutigspricip som säger att två elektroer ite ka ita samma kvatmekaiska tillståd. I e vit dvärg har materie så hög desitet att vidare kompressio skulle bryta mot Paulis pricip, vilket får de degeererade elektroera att utöva ett starkt tryck. Detta degeeratiostryck är oberoede av stjäras temperatur. 19 E elektros tillståd ka beskrivas med olika kvattal, bl.a. dess rörelsemägd (riktige på rörelsemägdsvektor) och spi (som ka vara riktat uppåt eller edåt), och Paulis pricip iebär att två elektroer ite ka ha exakt samma kvattal. Elektroe är e s.k. fermio, d.v.s. de har halvtalsspi ( h 2, h 2, 5h 2 o.s.v.). Degeeratioe uppkommer geom att elektroera geom uteslutigspricipe tvigas ita högre eergitillståd ä vad materialets temperatur atyder, geom att det ite fis plats i de lägre eergiivåera de är likaledes fyllda med elektroer. Ett sätt att åskådliggöra degeeratiostrycket är geom våg-partikeldualitete (postulerad av de Broglie på 20-talet), vilket iebär att e kvatmekaisk partikel som elektroe ka uppvisa vågegeskaper. E degeererad elektro som stägs i i e mycket lite volym ka likas vid ett kvatmekaiskt vågpaket som då tvigas ha e kort våglägd (aars skulle partikel ha e större utsträckig ä volyme de är istägd i!). Det motsvaras av höga eergier (E = hf), så elektroe måste ata ett högt eergitillståd. Detta iebär i si tur att elektroe ka ha höga hastigheter (E k = mv 2 /2). 20 Ma ka också beskriva degeeratiostrycket utifrå Heisebergs osäkerhetspricip, e kvatmekaisk egeskap som iebär att det alltid fis e osäkerhet i e kvatpartikels positio respektive rörelsemägd i e give riktig. Dessa beror på varadra eligt x p h, där h = h 2π. I degeererad materia är elektroera tätt packade; de har lite osäkerhet i positioe x. Detta motsvaras av e stor osäkerhet i rörelsemägde p, som i si tur iebär att elektroera ka ha höga hastigheter (v = p/m) vilket orsakar det höga trycket. Neda beskrivs hur ma ka härleda ett uttryck för degeeratiostrycket i e elektrogas. 19 Uiverse Eighth Editio, s.504, 506, 51; Black Holes ad Time Warps, s.146ff 20 Uiversity Physics, s.91f; Black Holes, s.72ff 1

E täkt volym iehåller e elektrogas med kocetratioe e elektroer per volymehet [m - ], där elektroera har hastighete v x [m s -1 ] i x-led. Atalet elektroer som träffar volymes vägg per sekud och areaehet är e v x [s -1 m -2 ]. Varje elektro har e rörelsemägd, och de totala rörelsemägde som överförs till vägge per sekud och areaehet blir e v x p x. Detta är iget midre ä trycket mot vägge frå elektrogase [kg m s -1 s -1 m -2 = kg m -1 s -2 = kg m s -2 m -2 = N m -2 ], så vi har P = v p. ( ) e x x Kocetratioe e ka också uttryckas som att det fis e elektro per delvolym 1/ e. Sida på varje såda delvolym är (1/ e ) 1/, så det geomsittliga avstådet mella elektroera ka sättas till 1 x =. e För ett givet x har vi ett motsvarade p, p h. x Om vi atar att de geomsittliga rörelsemägde p x är i samma storleksordig som dess osäkerhet, får vi p h =. x 1 x h e Hastighete hos varje elektro är dess rörelsemägd delat med massa, p x v x =, me och alltihop isatt i ( ) blir 2 x e 5 e p 2 P = evx px = e =h. ( ) m m e Ma ka vidare uttrycka P med totala desitete ρ istället för elektrokocetratioe. Varje atomkära har Z protoer (Z = atomumret) som balaseras av lika måga elektroer i e eutral atom, så om kocetratioe av po- 14

sitiva joer i e eutral gas är Z måste elektrokocetratioe vara e = Z Z [m - ]. Varje positiv jo har massa Am p (A = massumret, atalet protoer + atalet eutroer) om ma bortser frå skillade mella protomassa och eutromassa. De totala desitete ρ [kg m - ] i gase blir då summa av protodesitete och elektrodesitete, ρ = Am + m Am. p Z e e p Z Här har vi bortsett frå elektromassa i förhållade till protomassa (som är ästa tuse gåger större). Förhålladet mella e och Z ges som ova av e = Z Z, eller Z = e /Z. Isättig ger ρ = A m p e, där vi ka bryta ut e till Z e Z ρ =. A m p Isättig i ( ) ger u P deg = 5 5 5 2 2 e h Z ρ h. m e = m e A m p E aalys av storhetera visar att uttrycket ova är korrekt: (J s) 2 kg -1 1 5/ (kg m - kg -1 ) 5/ = = J 2 s 2 kg -1 m -5 = = (N m) 2 s 2 kg -1 m -5 = = (kg m 2 s -2 ) 2 s 2 kg -1 m -5 = = kg 2 m 4 s -4 s 2 kg -1 m -5 = = kg m -1 s -2 = = kg m s -2 m -2 = = N m -2 Trycket beror på protokocetratioe Z/A i gasatomera och på gases desitet ρ, me ite på temperature som i e ideal gas. Detta är karakteristiskt för e degeererad gas. (Det här är bara e uppskattig. E mer detaljerad beräkig ger ett resultat som är c:a 2 gåger större ä detta.) 21 På grud av relativistiska effekter ka trycket ite bli hur högt som helst. De högsta massa som trycket hos degeererade elektroer ka upprätthålla i e vit dvärg är 1,44 M sol och beäms Chadrasekhars gräs, eller Chadrasekharmassa. 22 Ju mer elektroera komprimeras, desto högre blir deras möjliga rörelsemägd och därmed hastigheter. När de börjar ärma sig ljusets hastighet träder relativistiska effekter i, vilka bl.a. leder till att materie blir midre motstådskraftig mot vidare komprimerig. Såda materia kallas relativistiskt 21 Astroomy A Physical Perspective, s.186ff; Formatio ad Evolutio of Black Holes i the Galaxy, s.55 22 Uiverse Eighth Editio, s.52; Black Holes, s.75 15

degeererad. Framförallt gör ljushastighetes begräsig att det fis ett maximalt tryck som degeererade elektroer ka utöva, eftersom det fis e maximal hastighet och därmed rörelsemägd som de ka ha. 2 Vi återgår till uttrycket för rörelsemägd, p 1 x h e =. Eftersom elektroera är relativistiska ka vi ite lägre aväda uttrycket för hastighete, v x = p x /m e. För att fia det maximala degeeratiostrycket sätter vi v x = c och får P max = v p e x x 4 4 4 Z ρ = h ce = hc. A m p (Återige är det här e uppskattig. E mer detaljerad beräkig lägger till e faktor 0,8 i högerledet ova.) Gravitatioe ger upphov till ett cetraltryck i de vita dvärge som ges av 2 GM P C =. 4 R För att stjära ska befia sig i hydrostatisk jämvikt måste detta tryck balaseras av ågot aat tryck, t.ex. degeeratiostrycket. Vi sätter ρ = M/(4πR ) och P max = P C och får 4 4 2 Z M 1 GM 0,8h c =, 4 A 4 R m π p R vilket ka reduceras till M = 0,8 2 hc G 2 Z A 2 4π m p 2. Detta är de maximala massa som degeererade elektroer ka stabilisera. Med alla värde isatta i uttrycket ova (vi atar Z/A = 0,5 för e vit dvärg beståede av kol och syre) får ma M 0,02 M sol. Detta värde är över 70 gåger midre ä Chadrasekharmassa, 1,44 M sol, me så har vi heller ite tagit häsy till variatioer i tryck och desitet med avseede på avstådet till de vita dvärges cetrum. 24 Desitete i e vit dvärg är så hög att alla atomära strukturer löses upp och elektroera rör sig fritt mella atomkärora. Äve vid extrem degeeratio är materie i e vit dvärg dock ite maximalt komprimerad; avståde mella atomkärora är fortfarade så pass stora i förhållade till deras storlek att de uppför sig som molekyler i e ideal gas, trots att elektroera har packats så tätt det går. 25 2 Black Holes ad Time Warps, s.149ff 24 Astroomy A Physical Perspective, s.189 25 Black Holes, s.75 16

17 Neutrostjäror Neutrostjäror bildas av stjäror på över 8 M sol. E eutrostjära består ästa helt av eutroer, som amet atyder. Liksom i e vit dvärg har alla termoukleära processer avstaat, och stjäras strålig geereras av de kvarvarade värme. Neutroer lyder också uder Paulis pricip och utövar därmed ett degeeratiostryck vid stark komprimerig. De främsta skillade mot e vit dvärg är att täthete är måga gåger högre i e eutrostjära är materie så sammapressad att elektroer och protoer har smält samma till eutroer och desitete är jämförbar med de i e atomkära. 26 (Desitete i e vit dvärg är i storleksordige 10 6 g/cm ; de i e eutrostjära är över 10 14 g/cm, 10 8 gåger större!) Vi ka göra e likade uppskattig av degeeratiostrycket i e eutrostjära som vi gjorde för e vit dvärg. Motsvarighete till ( ) är x x x m m p p v P 5 2 2 =h = =. Eftersom hela stjära består av eutroer ka vi uttrycka desitete ρ som = m ρ, där vi ka bryta ut till m ρ =. Isättig ger 8 5 2 5 2 m m P ρ h =h =. (Som ova får vi lägga till e faktor 2 för att uttrycket ska motsvara de mer detaljerade härledige.) Nu ka vi göra e kvalitativ jämförelse mella degeeratiostrycket i e vit dvärg och dito i e eutrostjära. 5 5 8 5 5 8 5 5 5 2 8 5 2 1 = = = = wd s e wd p s e p wd e s p wd e s wd s m m m m m m m m m A Z m m P P ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ h h 26 Uiverse Eighth Editio, s.556;

Här har vi atagit att Z/A är av storleksordige 1 samt att skillade mella proto- och eutromassa är försumbar. Med m e /m 10 - och ρ s /ρ wd 10 8 får vi P s /P wd 10 10! (Som i e vit dvärg varierar desitete och trycket med avstådet till eutrostjäras mitt, varför ovaståede härledig är e approximatio som bäst.) 27 Förutom degeeratioseffekte påverkas eutroer också av de starka kärkrafte, de kraft som håller samma atomkäror. (E eutrostjära hålls dock samma av gravitatioe sarare ä kärkrafter.) De starka kärkrafte är attraherade vid vardagliga tätheter, me i e eutrostjära är desitete så hög att kärkrafte blir repulsiv. På detta sätt ka eutroers degeeratiostryck förstärkas ytterligare. 28 Äve här sätter relativistiska effekter e gräs för hur stor massa som eutrodegeeratiostrycket ka upprätthålla. De maximala massa för eutrostjäror kallas Tolma-Oppeheimer-Volkoff-gräse, efter de tre fysiker som i slutet av 0-talet tillsammas bevisade existese av e såda massgräs och tog fram de ekvatioer som bestämmer de. Deras första beräkigar gav e övre massgräs på 0,7 M sol ; seda dess har otaliga förbättrigar gjorts, främst vad gäller tillstådsekvatioe för eutromateria vid extrema desiteter (som äu ite bestämts etydigt). De mest realistiska beräkigara hittills ger e massgräs på 1,5-,0 M sol, med ett allmät accepterat itervall på 2- M sol. 29 Eftersom ma idag ite käer till ågo starkare kraft som skulle kua hejda gravitatioskrafte, är det rimligt att ata att ett kompakt objekt med tillräckligt stor massa kommer att kollapsa till ett svart hål. Superovor E stjära som sole fusioerar väte till helium uder huvudserie och därefter helium till kol och syre som e röd jätte ( red giat stage ). När dess cetrala delar fyllts med degeererat kol geomgår de e serie massutkastigar tills edast kära återstår, vilke utvecklas till e vit dvärg. Stjäror större ä 4 M sol är tillräckligt massiva för att fusioera kol till tygre grudäme. Stjäror mella 4 och 8 M sol ases idag geomgå massutkastig och bli vita dvärgar. Frå 12 M sol och uppåt uppår de cetrala delara så högt tryck och temperatur att stjära geomgår e hel serie fusiosprocesser med successivt tygre grudäme tills e cetral kära av eutralt jär ( 56 Fe) uppstår, omgive av lager av material frå tidigare fusiosprocesser. 56 Fe är det mest stabila grudämet och det krävs ett tillskott av eergi för att smälta samma järatomer till äu tygre grudäme eller bryta upp (fissio) till lättare. 27 Uiverse Eighth Editio, s.56; Astroomy A Physical Perspective, s.197ff; Black Holes, s.110f 28 Black Holes ad Time Warps, s.169, 200 29 Uiverse Eighth Editio, s.572; Astroomy A Physical Perspective, s.206; Black Holes ad Time Warps, s.19ff, 200ff; Black Holes, s.111f; O Massive Neutro Cores; The maximum mass of a eutro star 18

Schematisk bild av strukture i e massiv stjäras cetrum efter att de har lämat huvudserie. När bräslet i de iersta delara har förbrukats, trycks kära ihop och dess temperatur stiger tills fusiosproduktera ka starta fusio i si tur. På så sätt byggs lager av successivt tygre grudäme upp. Fusiosprocessera fortgår i varje lager och tillför ytt material iåt, vilket mågdubblar stjäras lumiositet och får de att svälla upp till e superjätte. De iersta järkära är iaktiv, eftersom järatomeras stabilitet ite tillåter att eergi frigörs geom fusio. Protoera och eutroera i e atomkära bids till varadra geom de starka kärkrafte. Bidigseergi är de eergi som måste tillföras för att fullstädigt upplösa atomkära i dess bestådsdelar. Diagram över förhålladet mella bidigseergi i MeV (per ukleo) och masstal A hos de aturligt förekommade grudämea. Ju högre bidigseergi, desto mer stabil är atomkära. Notera toppe efter A = 50. 0 Järkära byggs på av yproducerat jär frå de omgivade lagre tills dess Chadrasekharmassa överskrids (1,2-1,5 M sol ) och degeeratiostrycket övervis. Därefter kollapsar kära sabbt uder si ege gravitatio. De eergi som frigörs i kollapse absorberas geom elektroifågig och dissociatioer i järatomera, vilket får kollapse att accelerera. 0 Uiverse Eighth Editio, s.5, 55f; Astroomy A Physical Perspective, s.160, 179 19

När järkära kollapsar frigörs e del av dess gravitatioella eergi (de potetiella bidigseergi som fis lagrad i käras material geom dess ege gravitatio). Eergi, som främst frigörs som högeergifotoer, absorberas av järatomera vilka därigeom bryts upp till lättare grudäme detta kallas fotodisitegratio. Kosekvese blir att järkära ite ka stabiliseras, eftersom de eergi som aars skulle ha kuat öka dess temperatur och därmed det termiska trycket förbrukas geom fotodisitegratioe. Iom ågo tiodels sekud är järkära tillräckligt komprimerad för att elektroer och protoer ska kua smälta samma till eutroer geom elektroifågig, e + p +ν. Elektroifågige producerar stora mägder eutrier som strömmar ästitill fritt geom de omgivade materie och därigeom för bort äu mer eergi. När desitete i de iersta delara överskrider 10 11 g/cm blir materie opak för eutrier eutriera stägs i i de kollapsade järkäras ire delar ( eutrio trappig ). Dock ka ite deras eergi bidra till att hejda kollapse; istället späder de ut elektroiehållet ytterligare, vilket säker degeeratiostrycket. Chadrasekharmassa är u ärmare 0,88 M sol och represeterar de sammahägade cetrala massa som ka kollapsa som e ehet. Till slut uppår de iersta delara ukleär desitet, ugefär 10 14 g/cm, och omvadlas till ukleär materia ( uclear matter ); atomera smälter samma uder gravitatioes tryck till e gigatisk atomkära beståede huvudsaklige av eutroer. Vid 20