Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa problem med summatio, rekursiosekvatioer samt med komplex räkig. Programmet för övige iehåller måga momet, och det ka vara svårt att hia med allt. Gör du ite det, så försök att slutföra övige på ege had vid aat tillfälle. Det ka vara till hjälp bl a då du löser ilämigsuppgiftera. Det är viktigt att du tar dig tid och begrudar vad du ser. För att få e viss kotroll av att du uppfattat rätt saker fis på måga ställe tomma rader, där du förvätas skriva er dia resultat eller svar. Uder laboratioes gåg kommer hadledare i må av tid att kotrollera dia svar. Hadledige till Maple frå flerdim Itroduktio till Maple fis på kurses hemsida om du skulle behöva friska upp dia Maplefärdigheter. Summatio Maple ka avädas för att beräka summor. Sytaxe för summatio är aturlig, geom Maplekommadot sum(a(k),k=m..). 1.1 Beräka potessummora k och k=0 k 2 k=0 a k fås k=m med hjälp av kommadoa sum(k,k=0..), sum(kˆ2,k=0..). Förekla med simplify eller factor och jämför med läroboke. Svar: 1.2 Lös uppgift 1.19 med Maple. Glöm ite att förekla. 1.3 Maple är också gaska bra på teleskopsummor. Försök att lösa uppgiftera 1.15, 16, 17 med Maple. 1.4 Dubbelsummor är ite heller omöjliga. Dubbelsumma i uppgift 1.23, j, j=1 k=j fås i Maple med kommadot sum(sum(j,k=j..),j=1..). Lös uppgift 1.24 med Maple. Sygga till svaret med simplify(%). 1
Fuktioer Maple ka hatera ite bara uttryck som ova uta äve fuktioer. Dessa ka defiieras på flera olika sätt. Det för våra ädamål eklaste påmier om beteckige x f (x), vilke ju aväds i matematike som syoym till y = f (x). 1.5 Ge kommadot f:= x-> exp(x)-si(x); Beräka först f (0), f (1) och f (2) geom att ge kommadoa f(0);,f(1); och f(2);. Försök seda med f(a); och f(y+z);. 1.6 Lägg här märke till e viktig skillad. Om vi ger ett värde till f geom tilldelige f:=exp(x)- si(x); så är värdet av f ett uttryck med variabel x ibyggt. Gör detta och beräka diff(f,x); respektive diff(f,y);. Om vi i stället ger f ett värde geom f:=x->exp(x)-si(x); så är värdet e fuktio. Försök u med diff(f(x),x); och diff(f(y),y); samt diff(f,x);. Se äve vad diff(f,y) u ger för resultat. Fuktioer är mycket mer flexibla, me iblad ågot mer svårhaterliga ä ekla uttryck. Det fis lyckligtvis ett ekelt sätt att göra om ett uttryck till e fuktio, ämlige geom att aväda uapply. 1.7 Atag till exempel att vi vill ha e fuktio som beräkar potessumma S (3) ka vi få geom potsum3 := sum(kˆ3,k=1..); potsum3 := simplify(potsum3); potsum3 := uapply(potsum3,); = k=1 k 3. Det (Blir det protester, så beror det förmodlige på att variabel k fått ett värde vid ågo tidigare operatio. Ge i så fall kommadot k:= k ; för att ta bort detta värde.) Det går u att skriva potsum3(7), me vi ka äve sätta i symboliska variabler, potsum3(j) eller potsum3(+m). Vad blir factor(potsum3())? Svar:. Jämför med svaret till övig 1.39 b. Lägg märke till att potsum3 byter typ frå uttryck till fuktio uta ågra som helst protester. Rekursiosekvatioer Maple har e ibyggd lösare för rekursiosekvatioer, ämlige procedure rsolve. De klarar ästa alla de ekvatioer vi sett i kurse och ka också lösa begyelsevärdesproblem. Dock kommer ite alltid de explicita svare ut på e form som vi direkt förstår. 1.8 Fiboaccitale (med F 0 = 1, F 1 = 1) får ma geom kommadot rsolve({f()=f(-1)+f(-2),f(0)=1,f(1)=1},f()); Tillverka e fuktio Fiboacci med hjälp av ovaståede och uapply. Skriv t ex Fiboacci:=uapply(%,);. Beräka och förekla Fiboacci(15). Svar:. 2
1.9 Maple ka klara måga rekursiosekvatioer, me ite alla. Försök att lösa ågra av probleme 2.5, 2.7, 2.11, 2.14, 2.15cde med Maple. De som försöker med 2.11 får ett svar som iehåller e fuktio Γ (i Maple GAMMA) som för våra behov är e variat av fakultetsfuktioe, k! = Γ(k + 1). Vad är det för väsetlig skillad mella högerlede i 2.15 d och e? Svar: 1.10 (I må av tid.) Lös 2.13 och 2.19. Förvadla i 2.13 lösige till e fuktio bikoeff av variablera och k. Vad blir bikoeff(10,2)? Svar:. Gör ett ytt försök att lösa 2.13 me skriv först assume(>0,,iteger);. Vad blir u bikoeff(10,2)? Svar:. Jämför med svaret i övigssamlige. Likvärdiga? 1.11 (I må av tid.) Maple klarar också lätt adra ordiges lieära ekvatioer med kostata koefficieter. Lös probleme 2.26bdfg, 2.32abe med Maple. Bilder av de komplexa expoetial-, sius- och logaritmfuktioe 1.12 (I må av tid.) Defiiera fuktioe geom f := t -> exp(s*t); s := sigma + I*omega; evalc(f(t)); Re(f(t)); assume(sigma, real); assume(omega, real); assume(t,real); Re(f(t)); Im(f(t)); Här är I de imagiära ehete, dvs Iˆ2 = -1. Fuktioe evalc (evaluate complex) försöker dela upp sitt argumet i real- och imagiärdel, varvid de atar att alla variabler som ite har ett värde är reella. Det framgår hur ma tar fram realdel och imagiärdel. Adra operatioer ka ite veta om t ex σ, ω och t är reella eller ej, me ma ka tala om det med assume. (Notera ova att ige beräkig av realdele Re(f(t)) ägde rum ia assume.) Variabler om vilka ma gjort e förutsättig med assume visas av Maple upp med ett tilde. Studera också additioally geom kommadot?additioally. Om ma glömt vilka atagade ma gjort för e viss variabel går det att bli uppdaterad via about, t ex about(sigma);. För att kua rita måste vi ge σ och ω umeriska värde. Med kommadot plot ka ma rita såväl parameterkurvor som fuktioskurvor. 1.13 (I må av tid.) Slå i kommadoa sigma := -0.3; omega := 5; plot([re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scalig=costraied); plot(re(f(t)),t=0..10,scalig=costraied); plot(im(f(t)),t=0..10,scalig=costraied); 3
(scalig=costraied medför att Maple aväder samma skala på horisotell och vertikal axel. Utelämar ma det ka kurva bli felskalad. Ma ka också ädra detta i mey i bildföstret uder Projectio.) 1.14 (I må av tid.) För att kua rita vissa tredimesioella figurer måste ma ladda i e grafikmodul i Maple. Rita e rymdkurva med kommadoa with(plots); spacecurve([t,re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scalig=costraied); spacecurve([t,re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scalig=costraied, orietatio=[0,90],axes=ormal); Lägg märke till att ma ka vrida de tredimesioella figurera i bildföstret. Håll västerkappe edtryckt i bildföstret och flytta muse. Bilde ritas om då ma trycker på mittkappe. Vill i ha e midre katig kurva så lägg till umpoits=100, ia scalig. Jämför de sist ritade kurva med de först ritade i förra övige. Vad skiljer? Svar: Vi ska u studera real- och imagiärdele samt absolutbeloppet av siusfuktioe. Notera att siusfuktioe ite lägre är uppåt begräsad av 1. Är de begräsad av ågo aa kostat? Svar:. 1.15 Kappa i kommadoa assume(x,real,y,real); z:=x+i*y; plot3d(re(si(z)),x=0..13,y=0..2,orietatio=[-112,68],axes=ormal); plot3d(im(si(z)),x=0..13,y=0..2,orietatio=[-112,68],axes=ormal); plot3d(abs(si(z)),x=0..13,y=0..2,orietatio=[-112,68],axes=ormal, grid=[30,30]); Verkar si z begräsad? Peka gära på bildera med muse. Håll väster muskapp edtryckt och rör på muse. Med höger muskapp edtryckt kommer du åt flera iställigar. 1.16 Vi ska u studera logaritmfuktioe och försöka se vilke gre som Maple aväder. Skriv följade kommado assume(r,real,t,real); x:=r*cos(t);y:=r*si(t); z:=x+i*y; plot3d([x,y,re(log(z))],r=0..1,t=-pi..pi,axes=ormal); plot3d([x,y,im(log(z))],r=0..1,t=-pi+0.001..pi-0.001,axes=ormal, orietatio=[-52,55],shadig=zhue); plot3d([x,y,argumet(z)],r=0..1,t=-pi+0.001..pi-0.001,axes=ormal, orietatio=[-52,55],shadig=zhue); Vilke gre aväder Maple? Svar:. Rita Im(log(z)) om log betyder aturliga gree (0 < arg z < 2π). Aväd fuktioe argumet. Maplekommado: 4
Komplexa fuktioer Vi skall låta Maple kotrollera om ett atal fuktioer är aalytiska. Metode är att aväda Cauchy-Riemas differetialekvatioer. Vi skall u defiiera fuktioer av z = x+iy, där x och y är reella, och kotrollera Cauchy- Riema. 1.17 Sätt f (z) = z 3 2z och beräka u = Re f och v = Im f. restart; #Nollställ x, y och z. assume(x,real,y,real);z:=x+i*y; f := z->zˆ3-2*z; evalc(f(z)); # Läs av real- och imagiärdel. u := Re(f(z)); v := Im(f(z)); u := uapply(u,x,y); v := uapply(v,x,y); Kotrollera om f är aalytisk atige geom eller geom diff(u(x,y),x)-diff(v(x,y),y); diff(v(x,y),x)+diff(u(x,y),y); D[1](u)(x,y)-D[2](v)(x,y); D[1](v)(x,y)+D[2](u)(x,y); Åtmistoe efter simplify(%) så blir resultatet 0. Vi ka u upprepa procedure med ett atal fuktioer av z. 1.18 Kotrollera om f (z) = si(z), f (z) = 1/(z 2 2z+3), f (z) = z (med cojugate) och f (z) = z 3 är aalytiska. Se efter vilka u och v blir. Fuktioera visade sig vara aalytiska meda fuktioera ite var aalytiska. 1.19 (I må av tid.) Två slumpvis valda fuktioer u(x, y) och v(x, y) ger praktiskt taget aldrig e aalytisk fuktio u + iv. Välj ågra fuktiospar u(x, y), v(x, y) och låt Maple testa om de uppfyller Cauchy-Riemas ekvatioer. Eligt teori är e fuktio u(x, y) på ett ekelt sammahägade område realdel (eller imagiärdel) till e aalytisk fuktio precis då de är e harmoisk fuktio. I så fall ka ma geom att lösa Cauchy-Riemas ekvatioer för v bestämma motsvarade aalytiska fuktio. 1.20 Låt u(x, y) = x 3 3x y 2. Kotrollera med Maple att u xx + u yy = 0. Bestäm seda v geom att lösa v x = u y v y = u x geom att itegrera de första ekvatioe med avseede på x och sätta i i de adra. Vid dea itegratio skall ma få e itegratioskostat (här kallad h(y)) som beror på y. Detta klarar Maple ite av, uta ma måste själv lägga till de. Till slut får vi e differetialekvatio för h(y), som vi ka låta Maple lösa. 5
Kommadoa blir (kommetarera behöver så klart ej skrivas i) u:=(x,y) -> xˆ3-3*x*yˆ2; # defiiera u v:=it(-diff(u(x,y),y),x); # lös v_x = -u_y v:=v+h(y); # lägg till itegratioskostate v:=uapply(v,x,y); # gör v till fuktio diffekv:=diff(v(x,y),y)-diff(u(x,y),x); # sätt i i v_y-u_x solutio:=dsolve(diffekv=0,h(y)); # bestäm h solutio; # Vad är avädbart i solutio? h:=uapply(rhs(solutio),y); # sätt h lika med lösige. #rhs står för right had side v(x,y); # kolla 1.21 Sätt seda f = u + iv och bestäm f som fuktio av z med kepet i boke. Ma skulle gära vilja automatisera detta. 1.22 (I må av tid.) Skriv e Maplefuktio som tar e fuktio av två variabler, kotrollerar om de är harmoisk och i så fall bestämmer e aalytisk fuktio av z vars realdel är de giva fuktioe. E lösig på problemet ka hämtas frå kurses hemsida. File aalytiskfil.txt hittar du på kurses hemsida. Via Maplekommadot read aalytiskfil.txt ; får Maple tillgåg till fuktioe aalytisk. Fuktioe avgör först om e give fuktio u av två variabler är harmoisk. Om u är harmoisk bestämms e fuktio v såda att u(x,y)+iv(x,y) blir aalytisk. Dea fuktio kallas f och är utparameter. Seda programmet körts går fuktioe f att aväda i Maple. Övigara 1.21 och 1.22 ka u ekelt att lösa via kommadot aalytisk((x,y)->xˆ3-3*x*yˆ2,f);. 1.23 Atag att e oädligt låg laddad ledare ligger lägs z-axel. Laddige atas vara likada överallt. Det elektrostatiska fältet rut ledare är då detsamma i varje pla vikelrät mot z- axel. Vi ka därför studera kraftfältet i x y-plaet. Frå Coulombs lag fås via e geeraliserad 1 ekelitegral att kraftfältet ges av x 2 (x, y). Här sakas e proportioalitetsfaktor, som + y2 vi avsiktligt utelämar i detta fall. Om e likada me motsatt laddad ledare skär x y-plaet i (2, 0) så ges det sammalagda fältet av Som potetial duger (P, Q) = Kotrollera att U x = P och U y = Q. 1 x 2 + y 2 (x, y) 1 (x 2) 2 (x 2, y) + y2 U = 1 2 l(x2 + y 2 ) 1 2 l((x 2)2 + y 2 ) Rita med hjälp av Maple 20 ivåkurvor till U då 1 x 3, 3 y 3. Lämpligt kommado ka vara cotourplot med optioera cotours, grid, color och scalig=costraied. I e pukt på e ekvipotetialkurva till U, dvs i e pukt på e ivåkurva till U, är grad U vikelrät mot ivåkurva. Me grad U = (P, Q). Därför skär kraftlijera ivåkurvora uder rät vikel. Rita ut 20 kraftlijer i de figur du reda ritat. Via with(plots) och display ka två separata bilder ritas samtidigt. 6