Matematik och algebra (formelbollning)

Transkript

1 Matematik och algebra (formelbollning) När jag nu skrämt dig lite med de konstiga formlerna och skrivningarna i föregående avsnitt ska vi nu reda ut begreppen och förklara konstigheterna. Ta formeln R = P / ( x ), den kan snabbare och kortare skrivas R = P / *2. Ytor räknas i kvadratmeter och anges som t.ex. 54 m x 54 m = 54kvm. Om man inte kan skriva den lilla upphöjda 2:an så skriver man m*2, d.v.s. m x m. Volymer räknas i kubikmeter och anges som t.ex. 54 m*3 = m x m x m. Den intelligente läsaren förstår fördelen med detta skrivsätt : *siffra, även kallad potens, och anger antalet av föregående skrivtecken. nnan räknedosan blev allmän på 80-talet räknade man, sedan början av 1600-talet, med räknesticka, som bara tog hand om sifferföljden. Var decimaltecknet skulle vara fick man hålla reda på i huvudet. Då blev detta en naturlig träning i att räkna med tio-potenser. 10 = 10*1 (självklart!) 10 x 10 = 100 = 10*2 har vi just lärt oss. 10 x 10 x 10 = 1000= 10*3. Denna storhet kallas kilo, se bara på viktsenheten kilogram. 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10*6 kallas för Mega, 1 Megagram kallas dock 1 Ton. 10*9 kallas för Giga, = Ton. 10*12 kallas Tera.(bara ett R!). Sveriges totala nationalproduktion av el räknas i Terawatt. Det blir genast lättare att skriva, och räkna, om detta skrivs som 10*12. Pröva själv att skriva ut alla nollor, det är lätt att tappa bort sig. Men om man vill dela talet med 10, hur skriver man då? Jo, med ett minus framför potenstalet, för att ange att tiotalet står i nämnaren (delaren). X / 10 = 10*-1. 1 gram = en 1000-del av 1 kg, skrivs som 10*-3 kg. Det går 10*3 kg på ett ton, hur skriver man då 1 g i enheten Ton? Jo, ett gram =10*-3 x 10*-3 = 10*-6 Ton! Multiplicering med 10 på grundnivå innebär att man adderar (räknar plus) på potensnivå. Dividering med 10 på grundnivå innebär att man subtraherar (räknar minus) på potensnivå. Börjar det klarna? Alltså har vi ett antal (otal?) 10-potenser att lära in, tyvärr. Här är de med namn, skrivtecken och som tiopotens: Tera = T = 10*12 Giga = G = 10*9 Mega = M =10*6 kilo = k = 10*3 enheten = 1 = 10*0 Vad som helst upphöjt med noll blir ett! milli = m=10*-3. Tänk på millimeter. mikro = =10*-6. Tänk på mikrometer. ( snabel-u, ibland även utan snabel ). nano = n =10*-9. Lätt att minnas, nano och nio börjar på N! piko = p = 10*12.

2 Det finns fler 10-potenser, men dessa är de vi använder inom elektroniken. Notera att med undantag för kilo så skrivs de övriga positiva tio-potenser med stor bokstav och att man skiljer ABSOLUT på stort M och litet m! Man ser ibland tyrkfel som t.ex. 470 MF istället för det troligare 470 mf, redan det en stor kapacitans (en kondensator på 470mF/15V för bilstereo har storlek som en ½ L. ölburk!). Hur stor skulle då inte en 2 miljoner större kondensator vara? Räcker månen som jämförelse, mån-tro? Mja, en starkölsburk är ½ L. Vi har 1 miljon L. = ett tusen m*3 = ton. En rätt stadig tanker! Dock svindlar tanken inför ett enkelt skrivfel! OK, nu till nästa konstiga skrivtecken i formelsamlingen :, ett rätt märkligt tecken som påminner om lärarnas bockar. Normalt så ska tecknets högra horisontella del täcka det som rotfunktionen avser, men här använder vi parenteser istället. När du skriver ett rottecken, ta för vana att avsluta högra delen av den horisontella delen med en liten nedhake. Då vet du var rotfunktionen slutar och har bättre chans att nå rätt resultat. Jag talar av egen dålig erfarenhet! Om nu A x A = A*2 så måste det ju finnas en väg åt andra hållet! Javisst, även om definitionen verkar helt galen är detta den sökta vägen: (a) x (a) = a! Utläst blir det: ( roten ur a ) gånger ( roten ur a ) lika med a. A står i formeln för ett valfritt tal, eller om du så vill: (4) x (4) = 4. nom matematiken gäller att det som står inom parenteser skall räknas ut först, innan resultaten går utanför parentesen. En parentes inuti en annan parentes: då räknas först den inre parentesen och resultatet används i den yttre parentesen. Detta resultat förs ut ur parentesen till världen utanför. En annan matematisk konstighet som du kommer att möta är invertering, man delar 1 med talet: 4 inverterat blir ¼. Detta förekommer ofta i formelbollning och du får snart möta fenomen. Åter till kombinationen av Ohms 1:a och 2:a lagar, ta formelvarianten U= (P x R). Först ska värdena för P och R multipliceras med varandra, sedan drar vi roten ur resultatet. Hjärntortyr? Nej, du har ju (x) på räknedosan! På räknestickan finns en särskild skala för detta. Låt oss nu titta på formelbollning, vi börjar med Ohms 1:a lag U = x R. Detta är inte bara ett matematiskt uttryck, det är faktiskt även en ekvation! en ekvation har du något till vänster om likhetstecknet, i Vänster Led (VL), och du har något till höger om likhetstecknet, i Höger Led (HL). Båda leden är lika med varandra, även om de båda leden ser olika ut! Du får göra vad du vill i en ekvation, bara det sker SAMTDGT i både VL OCH HL! Nu tillbaks till Ohm s 1:a lag: U = x R. Vi söker formeln för R, men vi har gånger R! Det är gånger för mycket R! Lösningen är att dividera båda leden med => U / = ( x R) /.

3 Notera att du har kvar likheten trots att fler tecken tillkommit. Men titta på höger led, nog ser det konstigt ut: gånger R, delat med. Låt oss städa! Resultat: U / = R. Men det ser ännu bättre ut om vi ändvänder ekvationen: R = U /. Formelbollning är faktiskt inte så knepigt som det ser ut, för detta är metoden: det som ska bort i ena ledet måste dyka upp i andra ledet på något sätt. Annars gäller ju inte likheten! Har du +A i ena ledet så minskar vi båda leden med A. Då blir det +A och A i VL och A i HL. +A och A tar ut varandra i VL. Efter städning : har vi A i HL. Har vi (x A) i ena ledet så delar vi båda leden med A xa och /A tar ut varandra i ena ledet. Efter städning så har vi ( /A ) i andra ledet. Värre än så här blir det inte! Bara att det kan bli många tecken i ett av leden. Vi prövar med resonansformeln (som faktiskt gäller BÅDE parallell- OCH serie-resonans): (0)= 1/[2 x (L x C)] Utläst blir det:< EFF-Noll lika med ett genom 2 pi gånger roten ur L gånger C >. ( EFF-Noll används för att ange att det rör sig om kopplingens resonansfrekvensens, för att förenkla det hela skriver jag i fortsättningen bara.) Som du säkert märker så gäller det att hålla reda på vilka parenteser som hör ihop. Normalt gör man detta med olika former på parenteserna: (båg)-, [hak]- eller {krull}-parenteser! Låt os nu först söka fram L eller C ur grundekvationen och sedan söka fram resonansfrekvensen för ett antal par L och C. Fram med kladdpapper och pröva själv! = 1/[2(LC)] invertera notera dubbla parenteser 1/ = 1/{1/[2(LC)]} notera trippla parenteser städa {1/{1/[2]} = (1/0,5) = 2!} 1/f = 2(LC ) 1/2 f = [2(LC)]/ 2 1/2 f = (LC) dela med 2 städa (π gånger a delat med π = 2πx/2π = x)

4 [1/2 f]*2 = (LC) *2 [1/2 f] *2 = LC LC = [1/2 f] *2 kvadrera städa ( roten ur a gånger roten ur a = a) ändvänd Den här formelvarianten är gemensam för att lösa ut både L och C: vi söker L: vi söker C: LC = (1/2 f) *2 LC = (1/2 f) *2 dela med C dela med L (LC)/C = [(1/2 f) *2]/C LC/L = [(1/2 f) *2]/L städa städa L = [(1/2 f) *2]/C C = [(1/2 f) *2]/L Övningsuppgifter: 1) 0.52 uh 68000pF f? 2) 0.52uH 6800pF f? 3) 0.52uH 680pF f? 4) 0.52uH 68pF f? 5) L? 820uF 3.5 MHz 6) L? 82uF 3.5 MHz 7) 0.52uH C? 14 MHz uH C? 1.6 MHz När du kommit så här långt tror jag nästan att du tappat rädslan för formelbollning. genomgången av 10-potenserna skrev jag att: Vad som helst upphöjt till noll blir ett! Om nu 10*0 = ett och 10*1 = 10 så borde det ju finnas potenser mellan noll och ett som ger talen mellan noll och tio. Jovisst, detta är räkning med logaritmer, men det lämnar vi här. Detta endast för att du bättre ska förstå nästa avsnitt. Då ska vi avsluta matematikgenomgången med det som man vanligast tycks missförstå och trasslar till inom elektroniken: decibel. Uppkallad efter telefonens uppfinnare Graham Bell. Enheten 1 Bell är alldeles för stor så man har delat ner den med faktorn 10: decibel. De flesta som är intresserade av radio och elektronik vet att en riktantenn med förstärkningen +3dB(d) ger en utstrålning som är dubbelt så stark som en avstämd ½-vågsdipol. Men bara i en bestämd riktning. Mer därom i antennavsnittet. Vanligtvis vet man även att detta betyder 1 S-enhet starkare signal in i mottagaren. Det finns 9 S-enheter på signalstyrkemätarens nedre skalhalva, sedan är skalan indelad i decibel i steg om 10 enheter.

5 Här brukar tokerierna börja, även erfarna radioamatörer tyx tro att steget från S9 till S9+10dB innebär en 10 gånger starkare signal. Helt fel! Det många missat är att med antenner mäter vi effekt, men S-metern mäter en spänning och det betyder att man försöker jämföra äpplen och päron. Formeln för att mäta och jämföra U, eller, skrivs db = 20 x log(u1 / U2) och det ger som resultat att för en faktor 2, halvering eller fördubbling, blir det ett steg på 6 enheter decibel! Formeln för att mäta och jämföra P skrivs db = 10 x log (P1 / P2) och det ger som resultat att för en faktor 2, halvering eller fördubbling, blir det ett steg på 3 enheter decibel! Det är alltså en klar skillnad mellan de olika decibell-värdena och deras sätt att beräknas! Även erfarna radioamatörer snubblar och gör fel när det gäller decibel, effekt, ström och spänning! Det kommer väl nog inte du att göra!