3. Matematisk modellering

Transkript

1 3. Maemask modellerng 3. Modellerngsprncper 3. Maemask modellerng 3. Modellerngsprncper 3.. Modellper För desgn och anals av reglerssem behöver man en maemask modell, som beskrver ssemes dnamska beeende. V kan sklja på vå hvper av modeller: Dfferenalekvaoner, som beskrver konnerlga förlopp. Dfferensekvaoner, som beskrver ssemegenskaper endas vd dskrea ögonblck. E mov för användnng av dsdskrea modeller också för beskrvnng av konnerlga ssem är a de kan nderläa konsrkonen av dsdskrea reglaorer, som är den form som vanlgvs behövs för praksk mplemenerng av e reglerssem. Om önskvär, kan man gå från en ssembeskrvnng med dfferenalekvaoner, efersom sådana kan ransformeras ll dfferensekvaoner genom s.k. samplng. Dfferensekvaoner kan ofa, men ne alld, ransformeras ll dfferenalekvaoner. I denna krs behandlas dskonnerlga modeller. Tdsdskrea modeller behandlas bl.a. krserna Reglereknk II och Modellerng och reglerng av sokasska ssem. Reglereknk I Grndkrs (493) Modellkonsrkon De fnns vå grndprncper för konsrkon av maemaska modeller: Fskalsk modellbgge nnebär a man åerför ssemes egenskaper på delssem, vlkas egenskaper är kända. För eknska ssem beder dea vanlgvs a man använder de narlagar som beskrver delssemen. För cke-eknska ssem (ekonomska, socologska, bologska, o.dl.) har man regel nga säkra narlagar. Man måse då sälle använda hpoeser eller allmän vederagna samband. Ssemdenferng, eller korare, denferng, nnebär a man använder observaoner (männgar) från sseme för a anpassa en modell ll ssemes beeende. Vanlgvs gör man specella expermen för a erhålla lämplga daa för denferngen. Idenferng används ofa som komplemen ll fskalsk modellbgge,.ex. för a besämma någon osäker parameer. De är vkg a observera a alla modeller har e begränsa glghesområde. Dea gäller ll och med de s.k. narlagarna. Newons rörelselagar gäller.ex. ne för hasgheer nära ljses. Specell för modeller besämda genom denferng är de skäl a ne använda dem e område som expermenen ne ger någon nformaon om. 3. Maemask modellerng Modellerngsprncper 3..3 Fskalsk modellbgge 3..3 Fskalsk modellbgge I forsänngen av skall v behandla modellerng gående från fskalska samband. Efersom verklga ssem enderar vara rä komplexa, kan eller vll man allmänhe ne beaka alla dealjer. Man försöker dock llgodose följande någo mosrdga krav: Modellen skall vara llräcklg noggrann för s ändamål, vlke beder a avvkelsen från ssemes verklga beeende ne får vara för sor. Modellen skall vara llräcklg enkel a använda,.ex. för ssemanals och konsrkon av reglerssem. Vd fskalsk modellbgge används vå per av maemaska samband: balansekvaoner konsva relaoner Balansekvaoner Balansekvaoner relaerar addva sorheer av samma slag e avgränsa ssem. Man kan säga a de fnns vå generella per av balansekvaoner: flödesbalanser nensesbalanser 3. Maemask modellerng 3 3 Allmän har en flödesbalans för en sorhe formen pplagrng per dsenhe = nflöde flöde + genererng per dsenhe där pplagrng och genererng sker nne sseme medan nflöde och flöde anger de som passerar ssemgränsen. När sorheen fråga ne delar kemska eller aomära reakoner saknas genererngserm. Exempel på flödesbalanser (här an genererngserm) är Massbalans: pplagrad massa per dsenhe = massflöde n massflöde Parkelbalans: pplagra anal parklar / dsenhe = parkelflöde n parkelflöde Energbalans: pplagrad energ per dsenhe = energflöde n energflöde Srömbalans (Krchoffs :a lag): sröm från knpnk = sröm n ll knpnk En parkelbalans är ofa en s.k. ämnesmängdbalans, där sorheen är anale molekler eller aomer. Härvd är den använda mängdenheen ofa mol, som j rcker e vss anal. 3. Modellerngsprncper 3 4

2 3..3 Fskalsk modellbgge 3..3 Fskalsk modellbgge Flödesbalanserna rcker fskalska konserverngslagar där sorheen (nder normala bengelser) är oförsörbar. Därför bör man ndvka volmbalanser, efersom volm ne är en oförsörbar sorhe och därmed ne addv. En nensesbalans har allmän formen ändrng per dsenhe = drvande sorhe belasande sorhe där ändrngen per dsenhe avser en ssemegenskap, som genom ssemes växelverkan med omgvnngen påverkas av drvande och belasande sorheer. Allmän kan man säga a de är frågan om llämpnngar på Newons rörelselagar sam Krchoffs 2:a lag. Exempel på nensesbalanser är Krafbalans: ändrng av rörelsemängd / dsenhe = drvande kraf belasande kraf Momenbalans: ändrng av rörelsemängdmomen / dsenhe = drvande belasande momen Spännngsbalans (Krchoffs 2:a lag): smman av spännngarna rn en kres = noll Konsva relaoner Konsva relaoner relaerar sorheer av olka slag. Dessa rck har ofa karakären av maeralsamband, som beskrver egenskapen hos en vss komponen eller e vss delssem. Dessa samband är saska mosas ll balansekvaonerna, som normal rcker dnamska samband. Exempel på konsva relaoner är Ohms lag: sambande mellan spännng över och srömsrka genom e mosånd Venlkarakerska: sambande mellan rckfall över och flöde genom en venl Bernolls lag: sambande mellan väskenvån en ank och väskans srömnngshasghe Allmänna gaslagen: sambande mellan emperar och rck en gasank 3. Modellerngsprncper Modellerngsprncper Fskalsk modellbgge 3. Maemask modellerng Arbesgången vd fskalsk modellbgge Följande arbesgång vd fskalsk modellbgge rekommenderas:. Säll pp akella balansekvaoner. 2. Använd konsva relaoner för a relaera varabler ll varandra sam för a nrodcera lämplga na varabler modellen. 3. Gör dmensonsanals, dvs konrollera åmnsone a alla addva ermer en ekvaon har precs samma enhe! 3. Modellerngsprncper Modeller för eknska ssem 3.2. Elekrska ssem Fgr 3. vsar re grndkomponener elekrska ssem. Beecknngar: = spännng, = srömsrka R = ressans, C = kapacans, L = ndkans Elekrsk mosånd (Ohms lag): () R () (3.) Kondensaor: () () ( )d C (3.2) Spole: () () () mosånd kondensaor spole Fgr 3.. Grndkomponener e elekrsk nä. Reglereknk I Grndkrs (493) 3 8 () R () C () L d () L (3.3) d

3 3.2. Elekrska ssem 3.2. Elekrska ssem Exempel 3.. E passv analog lågpassfler. Fgr 3.2 vsar e passv analog lågpassfler. Hr beror spännngen () R på gångssdan av spännngen n () på ngångssdan om kresen är obelasad på n () C () gången? Beecknngar: Fgr 3.2. E passv lågpassfler. R () = spännngen över mosånde, R () = srömmen genom mosånde C () = spännngen över kondensaorn, C () = srömmen genom kondensaorn Om v räknar alla spännngar (spännngsfall) som posva, ger Krchoffs andra lag för e varv rn vänsra respekve högra slngan n () R() C() () C () Då gången är obelasad läcker ngen sröm och v har R () C () 3.2 Modeller för eknska ssem 3 9 Kombnerng av och och nsänng av (3.) ger () n () R R () Vdare ger kombnerng av och (3.2) () C() C() C( )d C Derverng av båda leden m.a.p. den ger d C() R() (6) C C där ssa lkheen fås från. Kombnerng av och (6) ger sllgen d RC () n () (7) Dea är en dfferenalekvaon av försa ordnngen. Kresen är e lågpassfler, som flrerar bor höga frekvenser n (). I prakken har man också en försärkare på gångssdan, som gör a man kan belasa kresen an a slar gälla. 3.2 Modeller för eknska ssem Elekrska ssem 3.2. Elekrska ssem Exempel 3.2. Enkel RLC-kres. Fgr 3.3 vsar en enkel RLC-kres drven av en srömkälla. R L Hr beror spännngen över kondensaorn av C srömmen från srömkällan? Beecknngar: R () = spännngen över mosånde, Fgr 3.3. Enkel RLC-kres. R () = srömmen genom mosånde C () = spännngen över kondensaorn, C () = srömmen genom kondensaorn L () = spännngen över spolen, L () = srömmen genom spolen Krchoffs lagar ger C() R() L() () R() C() R () L () 3.2 Modeller för eknska ssem 3 dl Insänng av (3.) och (3.3) : C() RR() L d ( ) C ( ) Elmnerng av R () och L () : C() R() C() L dc Enlg ekv. (6) Ex. 3. gäller: C () C (6) dc d ( ) C dc Insa ger dea C () R () C L 2 d C dc d eller efer hfsnng: LC RC () () 2 C R L (7) där () är nsgnal och () är sgnal. C Dea är en dfferenalekvaon av andra ordnngen. 3.2 Modeller för eknska ssem 3 2

4 3.2 Modeller för eknska ssem Mekanska ssem Mekanska ssem Modellerngen av mekanska ssem baserar sg hvdsak på Newons andra lag F ma (3.4) där F är den kraf som påverkar massan m och a är massans acceleraon. F Exempel 3.3. Odämpad pendel. Fgr 3.4 vsar en odämpad svängande pendel. Pendeln kan röra sg endas den 2-dmensonella bldens plan. Dess pphängnngspnk är på avsånde och dess masspnk pendelns nedre ända på avsånde från de verkala plane ll vänser. Hr beror masspnkens horsonella poson på pphängnngspnkens poson? Fgr 3.4. Svängande pendel. Övrga beecknngar: l = pendelns längd, = dess vnkel mo verkalplane m = masspnkens massa, h = masspnkens verkala poson F = kraf som påverkar pendeln pphängnngspnken pendelns negava rknng 3. Maemask modellerng 3 3 h l m Då pendeln påverkas av pphängngskrafen F och gravaonskrafen mg, fås enlg Newons andra lag horsonell krafkomponen: m F sn verkal krafkomponen: mh Fcos mg och h är andra dsdervaan av resp. h, dvs acceleraonen respekve rknngar. Anag a pendelns svängnng är målg så a vnkeln alld är len. Då rör sg pendeln knappas alls verkal rknng och v kan ana a h. Elmnerng av F ger då gan Vnkeln ges av de rgonomerska sambande an h l där ssa lede följer av a h l när är len. Kombnerng av och ger modellen ( g/ l) ( g/ l) Märk a approxmaonerna h och len begränsar modellens glghe. 3.2 Modeller för eknska ssem Mekanska ssem Mekanska ssem Exempel 3.4. Fjädrngssseme för en bl. a) b) k m () b () Fgr 3.5. a) Fjäderpphängd massa med dämpnng; b) blsödämpare. 3.2 Modeller för eknska ssem 3 5 k k 2 m m 2 b () 2 () () a) Hr beror posonsavvkelsen från e jämvksläge,, () av krafen () för den fjäderpphängda massan m? I jämvksläge gäller (frånse enheerna). Om den posva verkala rknngen räknas nedå, ger Newons andra lag för fjädern och dämpnngsclndern m k b () dvs m b k () där b och k är konsaner. Gravaonskrafen mg ngår ne; den påverkar även jämvksläge och elmneras därför när avvkelsen från jämvksläge modelleras. b) Hr beror posonsavvkelserna () och 2 () en blsödämpar av, () som beecknar verkala ojämnheer nderlage? m är blens massa, m 2 är massan hos hjl och axel, b och k beskrver blsödämparens dnamk och k 2 däckes elasce. I jämvksläge är 2. Då den posva rknngen räknas ppå, fås m k( 2 ) b( 2 ) m 22 k( 2) b( 2) k2( 2) Dea är vå kopplade andra ordnngens dfferenalekvaoner, som beskrver blkarossen och hjlens verkala rörelse som fnkon av verkala ojämnheer nderlage. 3.2 Modeller för eknska ssem 3 6

5 3.2 Modeller för eknska ssem Processeknska ssem modelleras psk med flödesbalanser (mass- och energbalanser) och konsva relaoner. Exempel 3.5. Väskebehållare med fr flöde. En volmsröm llförs konnerlg behållaren och en volmsröm q srömmar fr genom självrck, förorsaka av väskehöjden h behållaren. Behållaren har en konsan värarea A och loppsröre har effekva värarean a. Hr beror väskenvån h av nflöde? V anar a väskan har konsan dense. d Massbalans: ( Ah ) q A Fgr 3.6. Behållare med fr flöde. Efersom denseen och värarean är konsana, kan dea förenklas ll A q 3. Maemask modellerng 3 7 h A a { q Enlg Bernolls lag gäller för srömnngen av väska den konsva relaonen v 2gh där v är srömnngshasgheen och g är ngdkrafsacceleraonen. På grnd av konrakon ( vena conraca ) början av srömnngsröre, fås volmsrömmen q enlg q av a 2gh där a är srömnngsröres effekva värarea, som är någo mndre än den verklga värarean. Kombnerng av och ger sllgen a 2g h A A dvs en olnjär dfferenalekvaon som beskrver hr nvån h beror av nflöde. 3.2 Modeller för eknska ssem 3 8 Exempel 3.6. Blandnngsank. Två volmsrömmar F och F 2, med koncenraonerna (massa/volm) c resp. c 2 av någon Flöde Flöde 2 F, c F2, c 2 väskan ngående komponen X, blandas konnerlg behållaren och en volmsröm F 3, med h c Flöde 3 koncenraonen c 3, as. Väskan behållaren, F3, c 3 som har en konsan värarea A, når höjden h. Koncenraonen behållaren av komponen X är c. Fgr 3.7. Blandnngsank. Omrörnngen behållaren anas vara perfek. Hr beror nvån h och koncenraonen c (och c 3 ) av övrga varabler? De är rmlg a ana a väskans dense de olka srömmarna är konsan och lka om väskans emperar är konsan och koncenraonen av komponener är målg. Analog med Ex. 3.5 fås då efer borförkornng av denseen Toal massbalans: A F F2 F3 Usrömmen F 3 kan v ne elmnera, efersom v ne ve vad den beror av. 3.2 Modeller för eknska ssem 3 9 V kan också sälla pp en massbalans för varje ngående komponen nsrömmarna, en d parell massbalans: ( ) d Ahc F c F c F c Om omrörnngen behållaren är perfek har v fllsändg omblandnng, vlke beder a koncenraonen överall behållaren är lka. Dea beder också a koncenraonen srömmen måse vara lka den behållaren, dvs v får den konsva relaonen c3 c Uvecklng av dervaan enlg prodkregeln sam beakande av ger dc Ac Ah Fc F2c2 F3c varefer kombnerng med ger dc Ah F( c c) F2( c2 c) Dea är en lnjär dfferenalekvaon med ( allmänhe) cke-konsana paramerar. 3.2 Modeller för eknska ssem 3 2

6 Exempel 3.7. Varmvaenberedare. Insrömmen vaen är e massflöde m med Flöde emperaren T och srömmen e massflöde m 2 m, F, T med emperaren T 2. Vane, med massan M, ppvärms varmvaenberedaren ll en emperar Q Flöde 2 h M T genom llförsel av en effek Q. Omrörnngen T m 2, F2, T2 varmvaenberedaren anas vara perfek. Fgr 3.8. Varmvaenberedare. Hr beror vaenmängden och emperaren varmvaenberedaren av övrga varabler? d Massbalans: M m m 2 de Energbalans: E E 2 Q där E och E 2 är energsrömmar som följer med nsrömmen respekve srömmen. Energn en sbsans är proporonell mo dess massa eller massflöde och för väskor gäller med god noggrannhe a den även är proporonell mo emperaren. Dea ger Konsva relaoner: E cptm, E cptm, E 2 c p T 2 m 2 där c p är den specfka värmekapaceen för ( dea fall) vaen (anas vara konsan). Kombnerng av och sam vecklng av dervaan enlg kedjeregeln ger dm dt Q T M Tm T2m 2 cp Anagande om perfek omrörnng nnebär a även den konsva relaonen T2 T gäller. Elmnerng av d M / med ger då dt Q M m ( TT) cp Ekvaon och anger hr massan och emperaren varmvaenberedaren beror av nsrömmen och ppvärmnngseffeken Q. 3.2 Modeller för eknska ssem Modeller för eknska ssem 3 22 Om man sälle för massenheer vll använda volmenheer fås från med M Ah och m F dt Q Ah F( TT ) (6) cp Obs. a ekv. (6) ne försäer a denseen är konsan. En varerande dense förefaller dock göra mer komplcerad rck volmenheer. Man kan dock vsa a även om denseens beroende av emperaren ne är försmbar, är effekerna sådana a de enderar a varandra. En hel adekva form för rck volmenheer är därför A F F2 (7) Exempel 3.8. Gas slen ank. Fgr 3.9 llsrerar en slen gasank med n, p n 2, p2 volmen V, ämnesmängden (molmängden) n, rcke p och emperaren T. Venl Venl 2 V, n, p, T Insrömmen ll anken har molflöde n Fgr 3.9. Gas slen ank och rcke p, srömmen har molflöde n 2 och rcke p 2. Venl 2 kan användas för reglerng genom jserng av venlläge. Hr beror rcke p anken av övrga varabler? dn Ämnesmängdbalans: n n2 Molflöde genom en venl konsan läge är proporonell mo kvadraroen av rckdfferensen över venlen. Dessom kan man ana a proporonalesfakorn är proporonell mo kvadraen på venlläge. Molsrömmarna ges då av 2 konsva relaonerna: n k p p, n 2 k2 p p2 3.2 Modeller för eknska ssem Modeller för eknska ssem 3 24

7 3. Maemask modellerng Vdare kan man ana a dealgaslagen pv nrt gäller. Här är R den allmänna gaskonsanen och T är emperaren rck Kelvn. Om emperaren T är konsan, ger nsänng av och dp RT dn RT 2 k p p k 2 p p 2 V V som, även om den är av försa ordnngen, är en relav komplcerad olnjär dfferenalekvaon. 3.2 Modeller för eknska ssem 3 25 V har e anal exempel härle dfferenalekvaoner som beskrver beeende hos pska eknska (del)ssem. Dfferenalekvaonerna är flera fall olnjära. Även om de är lnjära, har de allmänhe cke-konsana koeffcener, efersom dessa vanlgvs är beroende av någon fskalsk sorhe. Därmed är de svår, kanske omöjlg, a fnna generella lösnngar ll dfferenalekvaonerna. Man är då vngen a sdera specalfall och/eller göra förenklande anaganden. Vanlga förenklngar är a ana a vssa sorheer är konsana, ros a de verklgheen kanske varerar någo; ana a nsgnaler som förändras gör de på någo deal men rmlg sä. I prakken är de ofa llräcklg a känna ll ssemes beeende nom någo begränsa operaonsområde, dvs närheen av en gven arbespnk. Den förenklng man då ofa kan göra är a lnjärsera modellekvaonerna krng denna arbespnk. Reglereknk I Grndkrs (493) 3 26 De är själva verke så, a de effekva anals-, snes- och desgnmeoder som njas både den klassska och den moderna en allmänhe försäer a ssemmodellen är lnjär. Denna begränsnng anses vara accepabel när reglerssemes ppgf är a hålla sseme vd eller närheen av en önskad arbespnk. Om sseme är så olnjär, eller dess operaonsområde så sor, a dess beeende ne kan beskrvas med en lnjär modell, kan man ofa nja flera lnjära modeller som lnjärseras krng olka arbespnker. Av ovan nämnda orsaker eferföljs e fskalsk modellbgge vanlgvs av en lnjärserng av den härledda modellen, besående av en eller flera olnjära dfferenalekvaoner. V skall här begränsa oss ll ssem som kan beskrvas med ordnära dfferenalekvaoner; parella dfferenalekvaoner behandlas således ne. 3. Maemask modellerng Allmän ODE Beraka en n:e ordnngens ordnär dfferenalekvaon skrven på formen f(,,,, ) (3.5) V har för enkelhes skll ne nkldera evenella dervaor av nsgnalen. Dlka kan behandlas hel analog med dervaorna av sgnalen. Vanlgvs ngår dervaorna lnjär fnkonen f, men härlednngen kräver ne dea. Fnkonen (3.5) kan lnjärseras genom en Talorserevecklng av försa ordnngen krng en arbespnk (,,,, ), som sasferar ekvaon (3.5). Ofa är arbespnken e saonärllsånd (dervaorna = ), men behöver ne vara de. Lnjärserng av (3.5) genom Talorserevecklng ger f f(,,,, ) f(,,,, ) f (3.6) f f f f f 3. Maemask modellerng 3 28 f

8 Smbolen f anger a paraldervaorna besäms vd arbespnken (,,,, ). V nrodcerar varablerna,,,, (3.7) som anger sorheernas avvkelser från deras värden arbespnken. V kan kalla dlka varabler för avvkelsevarabler, eller hel enkel -varabler. Kombnerng av (3.5), (3.6), (3.7) och beakande av a arbespnken sasferar (3.5) ger f f f f (3.8) f f f f Dea är en lnjär n:e ordnngens ordnär dfferenalekvaon med konsana koeffcener. Om dervaor av nsgnalen fnns den rsprnglga olnjära ekvaonen, kommer dessa a ngå (3.8) på mosvarande sä som dervaorna av sgnalen. Anmärknng: Om arbespnken ne är e saonärllsånd så a.ex., är försås en fnkon av den. Därmed ger derverng av defnonen ne an enlghe med defnonen av ekvaon (3.7). 3. Maemask modellerng ODE med lnjär ngående dsdervaor Dervaorna ngår ofa lnjär ekv. (3.5). De är då ne nödvändg a vd lnjärserngen använda de mplca rcke (3.5), an man kan sälle gå från formen fn(, ) f(, ) f(, ) (3.9) där f,,, n är gocklga derverbara fnkoner av och. Lnjärserng av dessa enlg (3.6) ger för den dervaafra ermen f f f(, ) f(, ) f f och för de andra ermerna f f f f f () () () () () (, ) (, ) (, ) f f 3. Maemask modellerng 3 3 (3.) (3.) Insänng (3.9) ger efer hfsnng där f f f (, ) f (, ) f n (3.2) f f f n () f f (3.3) f f Märk a f om arbespnken är e saonärllsånd med alla () Konsva relaoner Om man önskar nja en olnjär konsv relaon, bör den också lnjärseras. En sådan relaon kan allmän skrvas gz (,,) (3.4) där z är en n varabel som relaeras ll och/eller enlg (3.4). Lnjärserng med en försa ordnngens Talorserevecklng enlg (3.6) ger g g g z z g (3.5) g g Om den nomnella arbespnken är e saonärsllsånd med alla dsdervaor lka med noll, ger derverng av (3.5) m.a.p. den för den :e dsdervaan g () g () g () z z g (3.6) g Om ngår ekv. (3.5), kan g z enkel nföras som beroende varabel sälle för. 3. Maemask modellerng Maemask modellerng 3 32

9 Exempel 3.9. Lnjärserng av dfferenalekvaon. Lnjärsera den exempel 3.5 härledda dfferenalekvaonen a 2g h A A krng en arbespnk ( h)., Tllämpnng av ekvaon (3.9) och (3.) ger eller a 2g a 2g h h h h A A A A h, h, a 2g h a 2g h h A h A 2A h A h a g h A 2h A 3. Maemask modellerng 3 33 Övnng 3.. En reglervenl har vd e gve rck venlkarakerskan x F C( )/( ) där F är volmsrömmen väska genom venlen, x är venlens läge (mellan och ), C och är konsaner. Reglervenlens läge x påverkas av en srsgnal enlg sambande Tx x K där T och K är konsana paramerar. Besäm en lnjär dnamkmodell, som anger hr volmsrömmen F beror av srsgnalen närheen av en arbespnk ( F, ). 3. Maemask modellerng 3 34