4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. Vad är optimal styrning?

Transkript

1 reglerteni Reglerteni II / KEH. Optimal styrning. Optimal styrning Vad är optimal styrning? I allmänna termer an reglertenisa problem formleras på följande sätt: Välj styrsignaler så att systemet beter sig så bra som möjligt Svårigheten ligger vanligtvis i att formlera vad som är så bra som möjligt. Om man an formlera detta matematist samt har en representativ processmodell an man lösa reglerproblemet systematist: man löser helt enelt det matematisa optimeringsproblemet. Eempel på pratisa problemställningar är att bestämma optimal väg genom ett nätver från en pnt A till en pnt B beräna optimal styrstrategi för en satsvis celllosa- eller soceroare minimera tiden det tar att byta pappersvalitet på en pappersmasin bestämma optimal styrstrategi vid tillverning av halvledare an bestå av delsteg designa en process bestående av flera delprocesser så att anläggnings- och driftsostnaderna minimeras Reglerteni II Tillståndsmetoder 9

2 reglerteni Reglerteni II / KEH. Optimal styrning Öppen styrning Öppen styrning är en speciell typ av styrproblem där man inte tnyttjar återoppling; den optimala strategin beränas helt tgående från processmodellen och ett matematist godhetsriterim även ostnadsfntion, förlstfntion. Typisa problem av denna typ är att bestämma billigaste vägen minimera tiden för en versamhet alloera resrser Ofta ombineras öppen styrning med återopplad reglering på en lägre nivå. T.e. problemet att bestämma optimal temperatrprofil som fntion av tiden för en satsreator är ett öppet styrproblem, men temperatren realiseras genom återopplad reglering. I detta fall är problemet att generera optimala börvärden Reglerteni II Tillståndsmetoder 9

3 reglerteni Reglerteni II / KEH. Optimal styrning Övning.. Ett eempel på billigaste färdväg Vi sall resa från pnt A till pnt B i nedanstående schema, där vi sall välja en av flera möjliga resrtter så att resans totalostnad minimeras. Kostnaderna för de möjliga delrtterna finns tmärta i figren. Vilen väg sall vi välja från pnt A till pnt B? A B Reglerteni II Tillståndsmetoder 9

4 reglerteni Reglerteni II / KEH. Optimal styrning. Dynamis programmering Dynamis programmering, tveclad av Richard Bellman i sltet av 95-talet, är en optimeringsmetod som är speciellt lämplig för problem som an ppdelas i en serie delproblem, som an behandlas seventiellt så att varje delproblem medför ett beslt dvs en styråtgärd. Typisa problemställningar är att bestämma billigaste vägen alloera resrser Dynamis programmering bygger på optimalitetsprincipen: De optimala beslten styråtgärderna från och med ett godtycligt steg i besltsprocessen dvs de efterföljande beslten får inte bero på hr tillståndet i detta steg ppnåtts. Vad betyder detta? Vi an ocså formlera optimalitetsprincipen på följande sätt: Oberoende av vad vi gjort fram till steg n i besltsprocessen, sall vi i fortsättningen göra det som är optimalt för de efterföljande stegen i besltsprocessen. Denna princip har som följd att det ofta är fördelatigt att beräna den optimala strategin startande från sltändan av den seventiella besltsprocessen. Reglerteni II Tillståndsmetoder 9

5 reglerteni Reglerteni II / KEH. Dynamis Programmering.. Eempel på öppen styrning tan begränsningar Ett dynamist system besrivs av den tidsdisreta evationen, Beräna styråtgärderna, och som minimerar förlstfntionen t dt då tillståndet t antas förändras linjärt med tiden mellan samplingspnterna. Samplingsintervallet är h tidsenhet och inga begränsningar eisterar för. Eftersom t förändras linjärt mellan samplingspnterna gäller t t, t,,, vilet gör att förlstfntionen an srivas d t t. Optimal styrning 5

6 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Öppen styrning tan begränsningar Lösning genom ordinär optimering Eftersom styrsignalernas storle i detta fall inte bidrar till förlstfntionen an man lia väl optimera diret med avseende på, och och därefter beräna de optimala styrsignalerna när de optimala tillstånden, och är ända. Vi sall alltså bestämma,, min där Eftersom variablerna sanar begränsningar gäller vid minimm,,. Dynamis programmering 6

7 .. Öppen styrning tan begränsningar. Dynamis programmering Laboratoriet för reglerteni Reglerteni II / KEH Vi får,, dvs ränat från sltet samt ,85 min 5 5 5

8 .. Öppen styrning tan begränsningar. Dynamis programmering 8 Laboratoriet för reglerteni Reglerteni II / KEH Lösning genom dynamis programmering Vi sriver förlstfntionen som, och börjar med att minimera det sista steget = samma som tidigare Därefter minimerar vi stegen = +. Vi har med samma Alla steg med och ger 6 6 samma

9 .. Öppen styrning tan begränsningar. Dynamis programmering 9 Laboratoriet för reglerteni Reglerteni II / KEH Sboptimala lösningar På grnd av förlstfntionens form, ligger det nära till hand att minimera varje steg var för sig, dvs att minimera loalt: som är fel lösning tom för sista steget. Denna sboptimala lösning optimal i varje steg ger, sb En dead-beat strategi, ger och, dead.

10 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Öppen styrning tan begränsningar Kommentarer I detta mycet enla fall var metoden med dynamis programmering nappast enlare än ordinär optimering. Vi an doc onstatera följande: Om antalet steg varit större hade det doc varit besvärligt att optimera globalt med avseende på alla optimeringsvariabler samtidigt. Vid användning av dynamis programmering blir de ensilda stegen inte besvärligare. Om förlstfntionen är mer omplicerad, inlderande t.e. styrsignaler, blir det ocså besvärligare att optimera globalt i ett steg. Vid användning av dynamis programmering blir varje ensilt steg normalt inte nämnvärt svårare. Ifall man har begränsningar på tillståndvariablerna tsignalerna och/eller styrsignalerna, blir traditionell optimering mycet besvärlig, anse omöjlig. Begränsningar an relativ enelt beatas vid dynamis programmering då problemet löses stegvis. En nacdel med dynamis programmering är det stora antal olia alternativ som måste sparas ifall man inte an ttryca sambanden analytist the crse of dimensionality.. Dynamis programmering

11 reglerteni Reglerteni II / KEH. Dynamis programmering.. Eempel på öppen styrning med begränsningar Antag att styrsignalerna, och i det ovan behandlade eemplet endast an anta jämna heltalsvärden. Då an problemet i princip inte lösas analytist genom nollställning av partialderivator, varen genom ordinär optimering eller dynamis programmering. En möjlighet är att avrnda den analytisa lösningens styrsignaler till närmaste jämna heltal, men det finns inget som garanterar att detta ger den optimala heltalslösningen. Det finns avancerade matematisa metoder för lösning av heltalsproblem som vi doc inte sall behandla här. En fördel med heltalsproblem är doc att det vanligtvis endast finns ett ändligt antal möjliga lösningar, vilet betyder att man i princip an analysera alla tänbara lösningar. Genom användning av dynamis programmering, ev. ombinerad med någon fndamental analys av problemets natr och nödvändiga egensaper för den optimala lösningen, an man ofta lösa denna typ av problem förhållandevis enelt.. Optimal styrning

12 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Öppen styrning med begränsningar Eempel med begränsningar Uppgiften är att minimera nder bivilloren modellen,, samt,,,. Det är enelt att övertyga sig om att för den optimala lösningen måste gälla, ifall, att samt att och inte har samma tecen eftersom minimerar varje jämfört med. Man inser då, med hjälp av modellen, att de optimala styrsignalerna och tillstånden måste satisfiera,, 6, 8,,,,, 6, 8,,,, 6,,, 6, 8,,,, 6,,, Det vore möjligt att begränsa styrsignalerna ytterligare med en mer ingående inledande analys, vilet vi doc inte gör.. Dynamis programmering

13 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Öppen styrning med begränsningar I stället tnyttjar vi dynamis programmering för att hitta den sltliga lösningen. Med hjälp av modellen Steget = an ttrycet för srivas Eftersom gäller för lösningen av det obegränsade fallet, är det ocså en möjlig lösning i detta fall, ifall det finns en tillåten lösning som satisfierar sambandet.,, fås a Om blir. b Om, 6, som är ett jämnt heltal. Bidraget till förlstfntionen är inte ett jämnt heltal. Närmast till hands ligger lösningarna samma bidrag, som är jämna heltal. Kontroll visar att både + och ger. Inget annat tillåtet ger här ett mindre.. Dynamis programmering

14 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Öppen styrning med begränsningar Stegen = + a Vi har,. Modellsambandet Möjligheterna är i i ger, och 5 6. Dynamis programmering och ii som ger och ii 8.,,, 6, ii bättre om 8. Här är i bättre mindre om b Vi har, 6 och således, 6 och ii 6 Möjligheterna är i i 8 samt 5 6 som ger och ii 6 6. Här är i bättre om, dvs alltid. 6 är således inte en möjlig optimal lösning.

15 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Öppen styrning med begränsningar Alla steg a i Vi har,,, 6 då,, 6, 8, Minimm. Sambandet samt 88 fås för 8. ger,,, 6 och a ii Här är 8. Sambandet samt ger och Detta fall är alltså sämre än a i Dynamis programmering 5

16 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Öppen styrning med begränsningar b i Här är,,, 6, 8,, 6, 8,. Sambandet och samt 8 8 ger Minimm fås för 6 och 8. Även detta är sämre än a i. Den optimala lösningen Den optimala lösningen är fall a i som för 8,, ger 88 9,,, med Obs att denna lösning med denna förlstfntion är bättre än dead-beat strategin, som,,,. även satisfierar begränsningarna. Dynamis programmering 6

17 reglerteni Reglerteni II / KEH. Dynamis programmering.. Allmän formlering av lösning med dynamis programmering Sambandet mellan tillstånden och samt en styråtgärd an allmänt srivas f,,,, där f är en godtyclig fntion, som inte behöver vara linjär och inte behöver vara densamma för alla. Antag att man önsar styra systemet från tillståndet till N så att förlstfntionen N g minimeras. Här är g en godtyclig fntion som anger ostnaden att gå från tillståndet till med styrsignalen. Om man inledningsvis har en ostnad g som är beroende av tillståndet, an detta elimineras med hjälp av modellsambandet. Därmed an slttillståndet N alltid elimineras från förlstfntionen. Optimal styrning,

18 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Allmän formlering av lösning Låt betecna ostnaden för den optimala vägen dvs den minimala ostnaden från tillståndet till slttillståndet N. Då gäller ppenbarligen N N samt för sccessivt minsande, N,, : g, ming, f, min Minimering i varje steg enligt valfri metod, med beatande av ev. begränsningar ger en optimal styrsignal som fntion av, betecnad *, matematist ttryct: arg ming, f, Till slt erhålles för min och är änt. Tillståndet, varefter. Dynamis programmering 8, som an bestämmas då begynnelsetillståndet an därefter beränas enligt modellsambandet med an bestämmas, osv * och för alla. Mär att betecningarna här avvier från betecningarna i de tidigare eemplen.

19 reglerteni Reglerteni II / KEH. Optimal styrning. Maimmprincipen Optimalitetsprincipen ger en strategi för att finna den optimala lösningen när ett problem an delas pp i ett antal delsteg, som an lösas seventiellt. Detta förtsätter att ocså förlstfntion an ppdelas så, att en viss förlst är förnippad varje ensilt delsteg. Maimmprincipen ger villor som den optimala lösningen bör ppfylla för mera allmänna optimeringsproblem, som inte nödvändigtvis an ppdelas i ett antal delproblem som löses seventiellt. Dessa villor ger inte diret den optimala lösningen, men de gör det vanligtvis möjligt att finna den. Benämningen maimmprincipen följer av att problemen tidigare formlerades som maimeringsproblem; nförtiden minimerar vi hellre. Principen benämnes ofta Pontryagins maimmprincip eller minimmprincip efter en av pphovsmännen. Maimmprincipen ger optimalitetsvillor för generella styrproblem; ett antal vitiga specialfall inlderar var för sig stora lasser optimala styrproblem. Reglerteni II Tillståndsmetoder 9 9

20 reglerteni Reglerteni II / KEH. Maimmprincipen.. Det optimala styrproblemet Det optimala styrproblemet an i ontinerlig tid formleras på följande sätt: Minimera förlstfntionen nder bivilloren f t f t L t, tdt..a t f, t t..b t U, t tf..c, ψ t..d f Här är..b modellen för det dynamisa systemet,..c definierar ev. begränsningar på de tillgängliga styrsignalerna,..d ger begynnelsetillstånd och ett ev. bivillor relaterat till slttillståndet. Vitiga specialfall som förenlar lösningen fås när slttiden t f är given inga bivillor ψ tf begränsar slttillståndet tf förlstfntionen har speciellt enel form. Optimal styrning

21 reglerteni Reglerteni II / KEH. Maimmprincipen.. Given slttid, obegränsat slttillstånd I det fall, att slttiden t f är given och slttillståndet lösningen t, t ppfylla följande villor: t är obegränsat, bör den optimala f där min H, t, p t H, t, t p, t t t f..a U T H p,, L, p f,..b är den s.. Hamiltonfntionen och där p ppfyller den adjngerade evationen H, t, p t p t, T t p t f T t f..c. Optimal styrning

22 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Given slttid, obegränsat slttillstånd Eempel.. Styrning i strömmande vatten. En båt med lägesoordinaten, rör sig i ett område med varierande ström. Styrvariabeln är lia med båtens hastighet relativt vattnet i -ritning, styrvariabeln dess hastighet i -ritningen. Vattnets hastighet är v i -ritningen och i - ritningen. Båten startar i origo och man vill förflytta sig så långt som möjligt i -led på T tidsenheter. Vila är de optimala styråtgärderna då de är begränsade så att båtens fart relativt vattnet är onstant =? Detta ger optimeringsproblemet nder bivilloren min T, v,,. Maimmprincipen

23 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Given slttid, obegränsat slttillstånd Här är förlstfntionens L, vilet ger T T v,,, H p p f p p v p De adjngerade evationerna blir H, t, p t p v p p t t t p t p v H, t, p t p v p t t T p T p T T T T T T. Maimmprincipen

24 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Given slttid, obegränsat slttillstånd Enligt..a sall styrsignalerna väljas som lösningen till pv p min H, t, p t min p v p min p U Man an enelt visa att p p p, p p p satisfierar den optimala lösningen. Av ttrycen för de adjngerade evationerna följer t t t p t och p t p d p v d v d Om vattnets hastighet v t.e. varierar linjärt med, så att v, fås med beatande av p t t T p T, att. Maimmprincipen

25 reglerteni Reglerteni II / KEH. Maimmprincipen.. Minimaltidsproblem I ett minimaltidsproblem vill man genom styråtgärder minimera den tid det tar att från ett givet tgångstillstånd ppnå ett visst slttillstånd. I detta fall blir förlstfntionen så enel som t f d t t vilet i de tidigare ttrycen motsvaras av tf L t t. I detta fall eisterar alltid ett villor ψ t, som slttillståndet bör satisfiera. f f och, För ett linjärt system begränsat av t A t B t ma i t, i,,dim i ψ, tf. Optimal styrning 5

26 reglerteni Reglerteni II / KEH.. Minimaltidsproblem an man visa att den optimala styrstrategin i allmänhet har formen ma T i, p t bi ma T i ma T i p bi i, p t bi t sign t där b i är i :te olonnen av B och p t är en lösning till den adjngerade evationen. T Fntionen sign p t b i byter tecen vi något visst värde på t, som beror av systemet och de gällande begränsningarna. Denna typ av styrning allas bang-bang-styrning. Allmänt an man säga att en styrsignal, som alltid antar sitt största eller minsta värde med ändligt många välingar däremellan, är av bang-bang typ. Dead-beat-reglering, som egentligen är lösningen till ett minimaltidsproblem, leder vanligtvis till bang-bang-reglering.. Maimmprincipen 6