Asset and Liability Management för ett sakförsäkringsbolag

Transkript

1 Mateatsk statstk Stokols unverstet Asset and Lablty Manageent för ett sakförsäkrngsbolag Nklas Svensson aensarbete :

2 Postadress: Mateatsk statstk Mateatska nsttutonen Stokols unverstet 6 9 Stokol Sverge Internet: ttp://

3 Mateatsk statstk Stokols unverstet aensarbete : ttp:// Asset and Lablty Manageent för ett sakförsäkrngsbolag Nklas Svensson Februar Abstrat We onsder Asset and Lablty Manageent ALM for a non-lfe nsurane opany. ALM s a tool for strateg alloaton tat as to sow ow dfferent alloatons affet te result n te annual aounts. For ts purpose we deterne te probablty dstrbuton of te result and ts perentles at varous levels. We onsder two dfferent proedures: sulaton of te dstrbuton and approaton wt te noral dstrbuton. Te etods are appled to data fro te Sweds nsurane opany Länsförsäkrngar Skåne. Te alulatons sow tat te opany even n a worst ase as good argns for ts labltes. We also nvestgate te ontrbuton of dfferent fators to te te varane of te result. For Länsförsäkrngar Skåne t s te aptal return tat ontrbutes te ost: te standard devaton for te return s ore tan tree tes larger tan te standard devaton for te las. Saanfattnng Detta arbete beandlar Asset and Lablty Manageent ALM för ett sakförsäkrngsbolag. ALM ar ett verktyg för strategsk allokerng so syftar tll att vsa ur olka allokerngar påverkar resultatet bokslutet. För detta ändaål vll an bestäa sannolketsfördelnngen för resultatet o beräkna perentler på olka nvåer. V utreder två olka tllvägagångssätt för detta: sulerng av fördelnngen respektve approaton ed noralfördelnngen. Metoderna tlläpas på datafrån Länsförsäkrngar Skåne. Beräknngarna vsar att bolaget även ett värsta fall ar goda argnaler att klara sna försäkrngsåtaganden ög konsolderngsgrad. V undersöker oksådeolka faktorernas bdrag tll varablteten resultatet. För Länsförsäkrngar Skåne är det kaptalavkastnngen so bdrar est: standardavvkelsen för avkastnngen är er än tre gånger så storsostandardavvkelsen för ersättnngskostnaden. -post: nsv@spray.se. Handledare: sbjörn Olsson.

4

5 Förord Detta arbete utgör ett poängs eaensarbete ateatsk statstsk o ar utförts på Länsförsäkrngar Kaptalförvaltnng AB är nuera avveklat Stokol. Upptakten tll arbetet var ett förslag från Andreas Hansen då analytker på LF Kaptalförvaltnng AB att so eaensarbete vdareutvekla en befntlg odell för Asset and Lablty Manageent för att kunna användas på de regonala länsförsäkrngsbolagen. Analysen förelggande arbete är att se so en plotstude o avser Länsförsäkrngar Skåne. För att skydda Länsförsäkrngars ntressen ar dok de nuerska värdena odferats. Stort tak tll Andreas Hansen n andledare på LF Kaptalförvaltnng AB so ar gett g öjlgeten att utföra detta arbete. Stort tak även tll sbjörn Olsson n andledare på ateatska nsttutonen vd Stokols Unverstet so ar jälpt tll proessen ed detta arbete. Slutlgen tak tll Håkan Prasten aktuare vd avdelnngen för Försäkrngsekono på Länsförsäkrngar Sak AB so bdragt ed nödvändga dataateral.

6

7 Inneåll Inlednng 7. Asset and Lablty Manageent Mål o etoder Data... 8 rsättnngskostnad 9. Fördelnngar för antalet skador..... Paraeterskattnngar..... Beräknade skattnngar o statstkor..... Val av odell.... Fördelnngar för ensklda ersättnngsbelopp..... Paraeterskattnngar..... Modferng Beräknade skattnngar o statstkor Fördelnng för den totala ersättnngskostnaden Beräknade statstkor... 7 Kaptalavkastnng 9. Modeller för värdeutveklng..... Addtv odell..... Multplkatv odell..... Val av odell.... Paraeterskattnngar Förväntad kaptalavkastnng Resultaträknng 9 4. Fördelnngar för resultatet Perentler... 5 Saanfattnng o koentarer 6 Referenser 5 A Append 7 A. Sannolketsfördelnngar... 7 A. ML-skattnngarna för paraetrarna den negatva bnoalfördelnngen... 4 A. Jäförelse av fördelnngsfunktoner... 4 A.4 Modferade statstkor... 6 A.5 Skeveten för suan av oberoende stokastska varabler

8 6

9 Inlednng. Asset and Lablty Manageent Asset and Lablty Manageent ALM är ett verktyg för strategsk allokerng vd ett försäkrngsbolag. Med strategsk allokerng enas ur fördelnngen av bolagets kaptal skall göras ellan olka tllgångar. Grundläggande för ALM är att det är en fraåtblkande proess o detta arbete är tdsorsonten satt tll ett år. Vlken allokerng bolaget ska välja beror på flera saker. Vlka rskpreferenser ar bolaget? Hur är försäkrngsrörelsens stabltet ger den stora avvkande utfall från år tll år? Hur rskfyllda är olka plaerngstllgångar? Den strategska allokerngen påverkar ög grad nästa års resultaträknng vlket sn tur påverkar försäkrngsrörelsen. n starkt resultaträknng ger utrye för sänknngar av preerna edan en svag resultaträknng kan resultera öjda preer. ALM ska vsa ur olka allokerngar påverkar resultaträknngen o därgeno fungera so väglednng för beslutsfattare vd försäkrngsbolaget. ALM är tlläpbart både på lvförsäkrngsbolag o sakförsäkrngsbolag detta arbete beandlas dok enbart ALM för sakförsäkrngsbolag. Något förenklat kan resultatet beräknas enlgt resultat preentäkt kaptalavkastnng - ersättnngskostnad - drftskostnad. o det är denna odell so koer att tlläpas denna stude. Preentäkten är den del av preenkosten so avser räkenskapsåret. Preenkosten sn tur är de preer försäkrngstagarna betalar n under året. Kaptalavkastnngen är den vnst/förlust so genereras o ed att värdet på tllgångarna förändras ed tden. rsättnngskostnaden är det belopp so bolaget betalar ut tll sna kunder för de skador de drabbas av under räkenskapsåret nklusve avsättnngar för okända respektve ej slutbetalda skador. Drftskostnaden slutlgen är de kostnader bolaget ar för adnstraton skadereglerng.. Mål o etoder Målet ed detta arbete är att bestäa perentler på olka nvåer för resultatet enlgt.. Av störst ntresse är de lägre perentlerna so ger en bld av ur bolagets resultat kan koa att bl so säst. För att få fra perentlerna åste sannolketsfördelnngen för resultatet bestäas. Sannolketsfördelnngen för resultatet bestäs sn tur av sannolketsfördelnngarna för de bakolggande 7

10 varablerna: preentäkt kaptalavkastnng ersättnngskostnad sat drftskostnad. I denna stude koer dok endast kaptalavkastnngen o ersättnngskostnaden att betraktas so stokastska varabler edan preentäkten o drftskostnaden beandlas so deternstska. Anlednngen tll att preentäkten o drftskostnaden nte beandlas so stokastska varabler är att de nte bedös bdra lka yket tll osäkereten so kaptalavkastnngen o ersättnngskostnaden. Sannolketsfördelnngarna för kaptalavkastnngen o ersättnngskostnaden bestäs analytskt. Beroende på ur fördelnngarna för dessa ser ut bestäs sn tur sannolketsfördelnngen för resultatet både analytskt o geno sulerng.. Data Kaptalavkastnngen ar beräknats ed jälp av data för vekoslutkurser ellan o -- på de fonder so Länsförsäkrngar fondförvaltnng AB tllandaåller. För att skatta paraetrarna sannolketsfördelnngen för ersättnngskostnaden ar två dataateral används. Det ena ateralet består av ersättnngskostnader för ensklda skador uppdelade på de skadegrenar för vlka Länsförsäkrngar Skåne ställer ut kontrakt. n observaton är den bruttokostnad so träffar bolaget. Det betyder att för varje enskld ersättnngskostnad är självrsken avdragen en kostnader so överstger självbeållen edtagna. I de fall där skador nte är slutreglerade ar uppskattade värden använts. Det andra ateralet består av antalet kända skador so nrapporterats tll bolaget. Båda dataateralen täker rskåren 99-. För preentäkten o drftskostnaden används de senast kända värdena detta fall värdena vd bokslutet år. 8

11 rsättnngskostnad Den totala ersättnngskostnaden kan delas upp på olka skadegrenar beroende på vlken slags egendo ersättnngen gäller för. De skadegrenar so koer att beandlas detta arbete är: e vlla vllae frtdsus fastget lantbruk paket företag affär kobnerad såföretag koun båt olyksfall o otorkasko. Motorkasko nnefattar både delkasko o vagnskada. Då LF Skåne ej ar konesson på trafkförsäkrng fnns sådan nte ed. Fördelnngarna för skadegrenarna koer att bestäas var för sg. Under antagandet att grenarna är oberoende av varandra så koer sedan fördelnngen för den totala ersättnngskostnaden att bestäas. O nget annat sägs så betraktas fortsättnngsvs en godtyklg skadegren. Den odell so koer att användas benäns no sakförsäkrng den kollektva odellen o den bortser an från vlka försäkrngstagare so drabbas av skador o betraktar endast följden av skador so drabbar skadegrenen. O N beteknar det totala antalet skador so nträffar o det ersättnngsbelopp an betalar ut för skada så koer ersättnngen för skadegrenen att bl S N. S sägs a en saansatt fördelnng efterso det är fördelnngen för suan av ett stokastskt antal stokastska varabler. Genogående antar v att { k } är oberoende lkafördelade stokastska varabler o att dessa är oberoende av den stokastska varabeln N. Gltgeten detta kan naturlgtvs dskuteras. Oberoendet ellan N o { k } känns ntutvt ur ånga skador so träffar skadegrenen skall rlgen nte påverka ur stort belopp so betalas ut för en enskld skada eller ve versa. Antagandet o oberoende varabler { k } kan bland vara svårare att otvera eepelvs vd naturkatastrofer. De sannolketsfördelnngar so koer att användas detta kaptel fnns beskrvna append A.. 9

12 . Fördelnngar för antalet skador De sannolketsfördelnngar so ofta används för antalet nträffade skador N ovan är Possonfördelnngen o den negatva bnoalfördelnngen. fterso skador ofta nträffar en o en undantaget naturkatastrofer o antalet skador so nträffar under en tdsperod nte påverkar antalet skador so nträffar under en annan tdsperod så är vllkoren för en Possonproess för det esta uppfyllda. Possonfördelnngen är därför en rlg fördelnng att använda. Det är nte ovanlgt att det fnns bakolggande faktorer so påverkar ntensteten ed vlken skador nträffar. Geno att betrakta paraetern Possonfördelnngen so en stokastsk varabel kan an ta and o fluktuatoner ntensteten. Den negatva bnoalfördelnngen fås då an antar att paraetern ar en gaafördelnng. Av erfarenet ar det vsat sg att gaafördelnngen är rlg att använda... Paraeterskattnngar So nändes nlednngen täker dataateralet rskåren 99-. För antalet skador betyder det att det fnns to observatoner för varje skadegren. n koplkaton är dok att rskeponerngen skftar ellan åren d.v.s. antalet kontrakt so försäkrngsbolaget tagt på sg att täka kostnaderna för skftar från år tll år. När paraetrarna Possonfördelnngen o den negatva bnoalfördelnngen skattas åste detta beaktas. Geno att skatta paraetrarna då rskeponerngen är lka ed ett då endast ett kontrakt är gällande o sedan ultplera skattnngarna ed den förväntade rskeponerngen för det koande räkenskapsåret så fås en rktg skattnng av paraetrarna. So skattnng på den förväntade rskeponerngen ar det senast kända värdet använts detta fall värdet för år. So v skall se nästa avdelnng ar paraeterskattnngarna för de fördelnngar so koer att beandlas där gjorts ed nollskadorna bortplokade från dataateralet. För att nte få ssvsande värden på ersättnngskostnaden åste nollskadorna tas bort även då paraetrarna skattas är. Låt λ betekna paraetern Possonfördelnngen. O µ beteknar paraetern då eponerngen är lka ed ett o ω beteknar den förväntade rskeponerngen det vll säga antalet kontrakt så gäller det att λ µω. För Possonfördelnngen gäller det att au-lkelood-skattnngen av µ är se Blo [] sd. 7 µ ˆ. ω ω där o ω beteknar antalet skador respektve rskeponerngen för år.

13 Låt nu o β betekna paraetrarna den negatva bnoalfördelnngen. Paraetrserngen följer den so beskrvs Joansson [4] o det gäller att R. O o β beteknar respektve paraeter då rskeponerngen är lka ed ett så gäller det att ω o β β. Att bara ultpleras ed ω o nte β beror på att den senare är en forparaeter edan den tdgare är en skalparaeter. Mau-lkelood-skattnngen av fås so den nuerska lösnngen tll ekvatonen se append A. ω log ω k ω k ω. o au-lkelood-skattnngen av β blr därefter.. Beräknade skattnngar o statstkor ω βˆ ˆ. Nedan redovsas två tabeller den första för Possonfördelnngen o den andra för den negatva bnoalfördelnngen ed förväntad rskeponerng beräknngar av ovanstående paraeterskattnngar sat beräknngar av väntevärde standardavvkelse o eprsk standardavvkelse för respektve skadegren. Förväntad Standard- prsk Skadegren eponerng λˆ Väntevärde avvkelse standardavvkelse He Vlla Vllae Frtdsus Fastget Lantbruk Paket Företag Företag Affär Kobnerad Såföretag Koun Båt Olyksfall Motor Tabell. Förväntad rskeponerng paraeterskattnng sat väntevärde standardavvkelse o eprsk standardavvkelse för respektve skadegren under Possonfördelnngen.

14 Förväntad Standard- prsk Skadegren eponerng ˆ βˆ Väntevärde avvkelse standardavvkelse He Vlla Vllae Frtdsus Fastget Lantbruk Paket Företag Företag Affär Kobnerad Såföretag Koun Båt Olyksfall Motor Tabell. Förväntad rskeponerng paraeterskattnngar sat väntevärde standardavvkelse o eprsk standardavvkelse för respektve skadegren under den negatva bnoalfördelnngen... Val av odell Tttar an på tabellerna ovan så ser an att väntevärdena är lka edan standardavvkelserna skljer sg åt. Den negatva bnoalfördelnngen ar ögre standardavvkelse än Possonfördelnngen för satlga skadegrenar. Då standardavvkelsen den negatva bnoalfördelnngen stäer bättre överens ed den eprska standardavvkelsen anses den negatva bnoalfördelnngen est rlg o koer fortsättnngen uteslutande att användas.

15 . Fördelnngar för ensklda ersättnngsbelopp Det fnns en rad föreslagna sannolketsfördelnngar för att beskrva de ensklda ersättnngsbeloppens storlek. I detta arbete ar tre fördelnngar jäförts för varje skadegren: fördelnngen lognoralfördelnngen sat den nversa noralfördelnngen. För att avgöra vlken paraetrsk fördelnng so passar bäst ar fördelnngsfunktonerna för dessa jäförts ed den eprska fördelnngsfunktonen ed avskten att välja den paraetrska fördelnng vars funktonsgraf bäst stäer överens ed den eprska fördelnngens graf. Det är nte ovanlgt att en paraetrsk fördelnng passar bra ett ntervall o en annan fördelnng ett annat ntervall. I de flesta fall ar då en salad bedönng gjorts över satlga ntervall. I några fall ar det vart svårt att avgöra o någon av fördelnngarna är självklart bättre än de andra. Anpassnngen de ögre ntervallen ar då blvt utslagsgvande ed tanke på att skador ed stora ersättnngsbelopp bland kan stå för en stor del av en skadegrens totala ersättnngskostnad varför god anpassnng de ögre ntervallen är vktg. I append A. redovsas graferna för satlga skadegrenar uppdelade på olka ntervall so fragår av fgurerna. För alla skadegrenar uto en ar antngen fördelnngen eller lognoralfördelnngen ansetts a bäst anpassnng. fördelnngen ar valts för skadegrenarna: vllae lantbruk paket företag kobnerad såföretag sat olyksfall. Lognoralfördelnngen ar använts för skadegrenarna: e vlla frtdsus fastget företag affär båt sat otor. Avslutnngsvs ar den nversa noralfördelnngen valts för skadegrenen koun... Paraeterskattnngar Under 998 nförlvades försäkrngsbolaget Wasa Länsförsäkrngar vlket edförde att saansättnngen av försäkrngsbeståndet förändrades för vssa skadegrenar. På grund av detta ar endast data för rskåren 999- använts för att skatta paraetrarna. Vdare är dataateralet korrgerat vad gäller nflaton. Många av skadorna dataateralet är s k nollskador av någon anlednng ar nte någon ersättnng betalats ut dessa fall. För satlga sannolketsfördelnngar ovan gäller att de nte är defnerade orgo d.v.s. de ar ngen sannolket för utfallet. Nollskadorna plokas därför bort o paraetrarna skattas på det reduerade ateralet. För satlga fördelnngar ar au-lkelood-etoden använts för att skatta paraetrarna. I append A. beskrvs ur skattnngarna ar beräknats.

16 .. Modferng Varje observaton dataateralet är den bruttokostnad so bolaget betalar d.v.s. ersättnngar so överstger självbeållen avgven återförsäkrng är edtagna. I detta arbete är dok endast nettokostnaden av ntresse. För att nte få fel uppskattnng av väntevärde standardavvkelse o skevet åste en vss odferng tll. Låt F betekna fördelnngsfunktonen för någon av de ovanstående fördelnngarna. Nettokostnaden so bolaget betalar är n där beteknar eesspunkten. Fördelnngsfunktonen för nettokostnaden kan nu uttrykas so F < G.4 det vll säga so fördelnngen för bruttokostnaden en nu trunkerad eesspunkten. Det ska dok förtydlgas att paraeterskattnngarna ar gjorts på det otrunkerade dataateralet. Moenten krng orgo kan generellt beräknas so k k k f d F n.5 vlka sedan kobneras för att beräkna väntevärde standardavvkelse sat skevet. I append A.4 redovsas närare beräknngar av oenten för varje fördelnng... Beräknade skattnngar o statstkor I följande tabell presenteras för varje skadegren antalet observatoner so paraeterskattnngarna ar baserats på vlken fördelnng so bäst anses beskrva de ensklda ersättnngsbeloppens storlek värden på paraeterskattnngarna sat beräknngar av väntevärde o standardavvkelse. 4

17 Antal Anpassad Standard- Skadegren observatoner fördelnng Para. Para. Väntevärde avvkelse He 66 LogNoral Vlla 975 LogNoral Vllae Frtdsus 4 54 LogNoral Fastget 5 85 LogNoral Lantbruk Paket Företag 8 6 LogNoral Företag Affär LogNoral Kobnerad Såföretag Koun 4 8 InvNoral Båt 57 LogNoral Olyksfall Motor 4 5 LogNoral Tabell. Resultat för ensklda ersättnngsbelopp för respektve skadegren: antal observatoner skattnngarna baseras på anpassad fördelnng paraeterskattnngar sat väntevärde o standardavvkelse. 5

18 . Fördelnng för den totala ersättnngskostnaden Det går rent teoretskt att bestäa den saansatta fördelnngen för ersättnngen S. eakt en praktskt blr beräknngarna ofta tdskrävande. Då det fnns bra approatva odeller att tllgå är det nte ödan värt att utföra de er tdskrävande beräknngarna. Den approatva odell so koer att användas detta arbete går under benänngen NP-approaton Noral Power. NP-approatonen bygger på noralfördelnngen en då den saansatta fördelnngen oftast är skev o noralfördelnngen är elt syetrsk åste den senare justeras något. O Z N söker an en transforaton v Z så att fördelnngen för denna lknar fördelnngen för den standardserade varabeln S. I NPapproatonen är funktonen v polynoet se Joansson [4] sd. 99 v 6 där beteknar skeveten. Fördelnngsfunktonen för S blr nu G P S.6 S µ µ µ µ P Pv Z P Z v σ σ σ σ µ 9 6 µ Φv Φ.7 σ σ n turegel enlgt Daykn [] är att noggranneten os NP-approatonen är godtagbar o <.. För att bestäa paraetrarna NP-approatonen åste väntevärdet varansen sat skeveten för S bestäas. Under antagandet att N är oberoende av varablerna { k } sat att dessa sn tur är oberoende o lkafördelade så gäller det att se Joansson [4] sd. 7 µ : S N.8 σ : Var S Var N N Var.9 Skevet N Var N Var N Skevet : Skevet S. Var N N Var 6

19 Låt nu S K 6 betekna ersättnngskostnaden för skadegren. Den totala ersättnngskostnaden so efterfrågas. det nledande kaptlet beräknas nu enlgt S 6 tot S Under antagandet att ersättnngskostnaderna för skadegrenarna är oberoende av varandra kan NP-approatonen användas även för den totala ersättnngskostnaden S. Paraetrarna blr tot 6 µ : S S. tot tot 6 σ : Var S Var S. tot tot tot : 6 κ κ... κ Skevet S. tot 6 κ κ... κ där κ o κ beteknar andra respektve tredje entraloentet för skadegren. För ärlednng av tot se append A.5... Beräknade statstkor I tabell.4 nedan redovsas beräknngarna av väntevärde standardavvkelse o skevet enlgt.8. ovan för satlga skadegrenar sat beräknngarna av dto storeter för den totala ersättnngskostnaden enlgt... 7

20 Standard- Skadegren Väntevärde avvkelse Skevet He Vlla Vllae Frtdsus Fastget Lantbruk Paket Företag Företag Affär Kobnerad Såföretag Koun Båt Olyksfall Motor Totalt Tabell.4 Statstkor för ersättnngskostnaden för respektve skadegren o för satlga skadegrenar totalt. Notera att satlga skeveter är ndre än. vlket var Daykns [] turegel på att noggranneten os NP-approatonen är godtagbar. 8

21 Kaptalavkastnng Kaptalvkastnngen är förändrngen av värdet på bolagets salade tllgångar portföljen över en vss tdsperod. Tllgångarna so LF Skåne plaerar sna pengar delas upp orådena: svenska akter europeska akter asatska akter eklusve japanska akter japanska akter nordaerkanska akter akter Länsförsäkrngar AB LFAB fastgeter oblgatoner sat lkvda edel. Av ntresse är att bestäa fördelnngen för kaptalavkastnngen för att nästa kaptel kunna bestäa fördelnngen för resultatet enlgt.. V koer är att bestäa fördelnngen för avkastnngen ndrekt va fördelnngen för det bakolggande värdet på portföljen. Två odeller för värdeutveklngen på en enskld tllgång koer att undersökas varav den ena senare koer att användas. Båda odellerna fnns beskrvna Luenberger [5] o gäller dskret td. O A T K 9 beteknar värdet på en enet av tllgång vd utgången av räkenskapsåret så blr värdet på portföljen vd utgången av året 9 V T A T. där beteknar antalet eneter av tllgång. Oftast arbetar an dok ed de relatva vkterna allokerngen w A V d.v.s. den andel av det totala värdet so plaeras tllgång. A o V är värdena vd ngången av året o betraktas so kända. Uttrykt w blr värdet på portföljen A T V T V. 9 w A För resultaträknngen nästa kaptel är den förväntade avkastnngen o dess standardavvkelse av ntresse. V återkoer ed beräknngarna av dessa längre fra detta kaptel efter det att fördelnngen för värdet på portföljen bestäts. 9

22 . Modeller för värdeutveklng.. Addtv odell I den addtva odellen utveklas värdet på tllgång enlgt A k A k u k k K T. det vll säga värdet vd den nya tdpunkten k beror endast av värdet vd den senaste tdpunkten sat en varabel u so betraktas so stokastsk. Dessa varabler { u k k K T } antas vara oberoende o lkafördelade ed väntevärde µ o varans σ. Geno att rekursvt utvekla. erålls A T A u u u K u T.4 Av entrala gränsvärdessatsen följer nu att A T är approatvt noralfördelad ed paraetrarna tllka väntevärde o varans A µ T o σ T. För värdet på portföljen V T gäller nu att det är approatvt noralfördelat efterso en lnjärkobnaton av approatvt noralfördelade stokastska varabler okså är approatvt noralfördelad. O ρ j beteknar korrelatonskoeffenten ellan tllgångarna o j så fås ed jälp av. o nyss nända väntevärde o varans att väntevärdet o varansen för värdet på portföljen är A T 9 9 µ T V T V w V w.5 A A Var V T 9 Var A T Cov A T Aj T V w w < j w j A A A j 9 σ T V w A < j w w j ρ j Var A T Var A A A j j T 9 ρ σ σ σ T j jt V w w < j w j.6 A A A j

23 .. Multplkatv odell I den ultplkatva odellen utveklas värdet på tllgång enlgt A k v k A k k K T.7 där v betraktas so en stokastsk varabel so drver utveklngen. Geno att logartera.7 erålls ln A k ln A k ln v k.8 det vll säga den ultplkatva odellen ar fått den addtva strukturen. en stället för en odell för själva värdet på tllgången erålls en odell för det logarterade värdet. Låt nu ln v vara lka ed u. Pres so den addtva odellen antas varablerna { u k k K T } vara oberoende o lkafördelade ed väntevärde µ o varans σ. Rekursv utveklng av.8 ger att ln A T ln A u u u K u T.9 Av entrala gränsvärdessatsen följer nu att ln A T är approatvt noralfördelad ed paraetrarna ln A µ T o σ T. Det betyder sn tur att A T är approatvt lognoralfördelad ed saa paraetrar. Väntevärdet o varansen för A T kan erållas va den oentgenererande funktonen för noralfördelnngen. N µσ så är den oentgenererande funktonen se Joansson [4] sd. 5 O Moenten för A T är nu k ln A T A T e M k k ln A T e t e µ t σ t t : e. k { ln A µ T k Tk } A k k σ ep µ σ { T} ep. o väntevärdet o varansen blr µ T A T A T A e σ. Var A T A T A T A e µ σ T µ σ T µ σ T σ T A e A e e. O ρ j beteknar korrelatonskoeffenten ellan tllgångarna o j så fås ed jälp av.. o. att väntevärdet o varansen för värdet på portföljen är

24 A T 9 9 µ σ T V T V w V we.4 A Var V T 9 Var A T Cov A T Aj T V w w < j w j 9 V w e A < j 9 V w e µ σ T σ T e w w j ρ µ σ T σ T e < w w j j j A A Var A T Var Aj T A Aj j µ µ σ σ T T σ j j σ T j ρ e e e.5 j Under den ultplkatva odellen gäller att värdet på portföljen V T således är en lnjärkobnaton av approatvt lognoralfördelade stokastska varabler ed väntevärde so.4 o varans so.5. Att fnna ett analytskt uttryk på fördelnngen för denna lnjärkobnaton är dok svårt. I Abu-Dayya [] fnns en etod beskrven so går under nanet Wlknson s etod där suan av ett antal lognoralfördelade stokastska varabler approeras ed en varabel so okså är lognoralfördelad. Paraetrarna den approerande lognoralfördelnngen fås sedan geno att ata de två första teoretska oenten ed de två första oenten för suan av de lognoralfördelade varablerna. I artkeln ar etoden använts no telekounkaton o jäförts ed en sulerad fördelnng. Överensstäelsen ellan det approerade resultatet o det sulerade är rktgt bra. Wkefeldt [7] ar använt etoden för värdet på en portfölj av tllgångar o jäfört ed ett sulerat resultat. Även är är överenstäelsen god. V ska begagna oss av denna etod är d v s v approerar fördelnngen för värdet på portföljen ed lognoralfördelnngen. Låt µ Z o σ Z betekna de sökta paraetrarna den approerande lognoralfördelnngen. O o beteknar första respektve andra oentet för lnjärkobnatonen av de approatvt lognoralfördelade stokastska varablerna ovan så är lka ed V T enlgt.4 o lka ed Var V T V T enlgt.4 o.5. Sätter v nu de teoretska oenten lka ed respektve så får v ur. att e e µ Z σ Z µ Z σz.6

25 o löser v nu ut µ Z o σ Z erålls slutlgen se Abu-Dayya [] µ σ Z Z ln ln ln ln.7.. Val av odell Den addtva odellen ar två nakdelar so gör den ndre rlg so odell för värdeutveklngen på en tllgång över en längre tdsperod. För det första är standardavvkelsen densaa oavsett vad värdet är på tllgången. Mer rlgt är det o standardavvkelsen är proportonell ot värdet på tllgången so den ultplkatva odellen. För det andra kan noralfördelade varabler anta negatva värden vlket nnebär att värdet på tllgången teorn kan bl negatvt. I verklgeten blr värdet aldrg ndre än noll. Över korta tdsperoder några få ånader kan den addtva odellen vara rlg att använda en detta arbete där tdsperoden är ett år koer fortsättnngen den ultplkatva odellen att användas.

26 . Paraeterskattnngar De paraetrar so åste skattas är väntevärdet µ o varansen σ för den stokastska varabeln u den ultplkatva odellen sat korrelatonskoeffenten ρ ellan varje par av tllgångar. j För tllgång fnns storska observatoner på A ellan o -- för varje veka. Låt a Kan betekna värdena på dessa observatoner. Geno att blda varablerna g k ln ak ln a k k K n erålls observatoner på u. Skattnngarna av µ o σ blr nu se Blo [] sd. 6 edelvärdet respektve g det vll säga stkprovsvaransen för { } n ˆµ ˆ g g g k n k n σ.7 n k Korrelatonskoeffenten ellan tllgångarna o j skattas ed se Blo [] sd. 67 ˆ σ j k sj ρ ˆ j.8 σˆ n där sj gk ˆ g jk µ ˆ j n k µ. Då det nte fnns några arknadsnoterngar för värdena på akterna LFAB ar det antagts att LFAB ar saa paraeterskattnngar so svenska akter. Av saa anlednng ar det antagts att lkvda edel ar saa paraeterskattnngar so oblgatoner. I tabell. so följer redovsas satlga paraeterskattnngar. Korrelatonskoeffenter Tllgång µˆ σˆ Ak LF Ak Sv Fastg Ak Na Ak u Ak Ja Ak As Obl Lk ed Akter LFAB Akter Sverge Fastgeter Akter Nordaerka Akter uropa Akter Japan Akter Asen Oblgatoner Lkvda edel.6.4. Tabell. Skattnngar av väntevärdet o varansen för den stokastska varabeln u sat skattnngar av korrelatonskoeffenten ellan varje par av tllgångar. För korrelatonskoeffenten ellan LFAB o svenska akter sat ellan oblgatoner o lkvda edel är värdena tagna. 4

27 Det åste dok nänas att skattnngarna av väntevärdena ovan är beäftade ed stor osäkeret. Man kan vsa se Luenberger [5] att för att få en någorlunda god skattnng beövs storska värden på vekodata flera deenner tllbaka tden. O an ot förodan skulle få tag på så yket data är det noralt orlgt att anta konstant värde under så lång td. Skattnngarna av standardavvkelserna är däreot nte lka osäkra. För att få goda skattnngar beövs storska värden på vekodata några enstaka år tllbaka tden. 5

28 . Förväntad kaptalavkastnng So nädes början av detta kaptel är kaptalavkastnngen den förändrng so sker ed värdet på portföljen över en vss tdsperod. Med beteknngarna detta kaptel är kaptalavkastnngen för peroden [ T ] R p T V T V.9 Vanlgare är dok att an uttryker avkastnngen på den relatva foren R p V T V T V. För resultaträknngen är endast.9 ntressant en. är bra då avkastnngen ska jäföras t e ed tdgare år. Det är även lättare att a en känsla för de relatva värdena. Den förväntade avkastnngen o dess standardavvkelse beräknas lätt ed jälp av väntevärdet o varansen för värdet på portföljen under den ultplkatva odellen.4 o.5. Det är även ntressant att undersöka avkastnngarna för de ensklda tllgångarna för att få en nbördes jäförelse; vlken tllgång ar ögst avkastnng vlken bdrar est tll rsken o s v. För tllgång är avkastnngen för peroden [ T ] o den relatva foren är A T A R T. A T A A R T. Den förväntade avkastnngen o dess standardavvkelsen beräknas nu ed jälp av. o.. I tabellen nedan redovsas beräknngarna av de förväntade avkastnngarna o deras standardavvkelser värdena no parentes är avkastnngarna ed den relatva foren uttrykta proent. Vdare redovsas vlken allokerng so ar använts sat belopp på ngångsvärdena för respektve tllgång. Det ska även nänas att efterso tdsorsonten är ett år o paraeterskattnngarna baseras på vekodata så är T 5. 6

29 Tllgång Allokerng % Ingånsvärde Förväntad avkastnng Standardavvkelse Akter LFAB Akter Sverge Fastgeter Akter Nordaerka Akter uropa Akter Japan Akter Asen Oblgatoner Lkvda edel Totalt Tabell. Resultat för avkastnngen under den ultplkatva odellen: allokerng ngångsvärde förväntad avkastnng sat standardavvkelse. Mest uppseendeväkande ed dessa värden är att avkastnngen för fastgeter är så ög. Denna brukar sällan överstga avkastnngarna för akterna. Vdare är avkastnngarna för några av akteslagen ovanlgt låga. Värdena på standardavvkelserna ser däreot rlga ut. 7

30 8

31 4 Resultaträknng Nedan presenteras en förenklad resultaträknng ed de för detta arbete est ntressanta storeterna. Två terer dyker upp so nte dskuterats tdgare: konsolderngskaptal o konsolderngsgrad. Konsoldergskaptalet är suan av eget kaptal latent skatteskuld obeskattade reserver o övervärden/undervärden totala tllgångar. Konsolderngsgraden uttrykt proent är konsolderngskaptalet förållande tll preenkosten o är ett ått på ur bolaget klarar av sna försäkrngsåtaganden. n konsolderngsgrad på % betyder att bolaget skulle kunna bedrva försäkrngsverksaet under ett elt år utan några nya preenkoster. Satlga värden detta kaptel är tusentals kronor. Försäkrngsrörelsens teknska resultat Not Standardavvkelse Preentäkt 6 Förväntad försäkrngsersättnng enl. tab Drftskostnad -94 Förväntat teknskt resultat ekl kaptalavkastnng Kaptalavkastnng Förväntad kaptalavkastnng enl. tab Förväntat teknskt resultat Förväntat resultat Konsolderng Konsolderngskaptal 6 Förväntat resultat Förväntat konsolderngskaptal Preenkost Förväntad konsolderngsgrad % 6 4 Noter: Värdena ätade från årsredovsnngen. Kvoten ellan förväntat konsolderngskaptal o preenkost. Standardavvkelsen är beräknad so kvoten ellan standardavvkelsen för konsolderngskaptalet o preenkosten. 9

32 4. Fördelnngar för resultatet Htntlls ar fördelnngarna för ersättnngskostnaden o värdet på portföljen av tllgångar bestäts. Fördelnngen för ersättnngskostnaden approerades ed en transforerad noralfördelnng so tog and o skeveten o värdet på portföljen approerades under den ultplkatva odellen ed en lognoralfördelnng. För att kunna beräkna perentlerna åste fördelnngen för resultatet. bestäas. Att fnna ett analytskt uttryk på fördelnngsfunktonen för resultatet då det består av dfferensen ellan en lognoralfördelad varabel o en noralfördelad varabel är trolgen svårt o v ar därför valt två andra tllvägagångssätt: dels ar fördelnngen för resultatet sulerats dels ar den approerats ed en noralfördelnng. So paraetrar noralfördelnngen ar använts det förväntade resultatet o dess standardavvkelse. I följande fgur ar fördelnngsfunktonerna för resultatet plottats dels då fördelnngen sulerats dels då den approerats ed noralfördelnngen. Överensstäelsen är rktgt bra dok överskattar noralapproatonen jäförelse ed den sulerade fördelnngen de lägre värdena o underskattar de ögre värdena Noralapproaton Sulerng resultat 8 Fgur 4. Jäförelse av fördelnngsfunktonerna för resultatet dels då fördelnngen sulerats dels då den approerats ed noralfördelnngen.

33 4.. Perentler Den k : te perentlen k för en fördelnng talar o att k % av värdena är ndre än denna. Det kan uttrykas so att det är k % sannolket att få ett värde so är ndre än k. Allänt erålls den k : te perentlen för en fördelnng ed fördelnngsfunkton k F k. F so Nedan följer nu perentlerna för det teknska resultatet resultatet konsolderngskaptalet sat konsolderngsgraden. Den första tabellen vsar perentlerna då fördelnngen för resultatet sulerats o den andra då fördelnngen approerats ed noralfördelnngen. Perentl Teknskt resultat Resultat Konsolderngskaptal Konsolderngsgrad % 5% % % % % % % Tabell 4. Perentler för det teknska resultatet resultatet konsolderngskaptalet sat konsolderngsgraden då fördelnngen sulerats. Perentl Teknskt resultat Resultat Konsolderngskaptal Konsolderngsgrad % 5% % % % % % % Tabell 4. Perentler för det teknska resultatet resultatet konsolderngskaptalet sat konsolderngsgraden då fördelnngen approerats ed Noralfördelnngen. Den lägsta perentlen 5% är est ntressant är då den kan utläsas so ett värsta tänkbara senaro för det koande året lknande begreppet Value at Rsk VaR. Här andlar det dok o vad resultatet koer bl so säst VaR andlar det o det största belopp an rskerar förlora. Med 5% sannolket anar v under en konsolderngsgrad på 5 respektve 47 proent. Det betyder att LF Skåne ar goda argnaler även ett värsta senaro.

34

35 5 Saanfattnng o koentarer Målet ed detta arbete var att bestäa perentlerna för resultatet gvet en vss allokerng. För att kunna beräkna dessa bestädes fördelnngen för resultatet kaptel 4. Två olka tllvägagångssätt användes o jäfördes dels sulerades fördelnngen dels användes noralapproaton. Av perentlerna är de lägre av störst ntresse då de kan utläsas so ett värsta senaro. För konsolderngsgraden so är ett ått på ur bolaget klarar av sna försäkrngsåtaganden är värdet på 5%-perentlen 5% då fördelnngen för resultatet sulerats. För att dra störst nytta av arbetet ska perentlerna för olka allokerngar jäföras så att beslutsfattarna vd bolaget ar alternatv att välja ellan. So en ntressant jäförelse ar perentlerna för resutatet beräknats då bolagets totala kaptal nvesterats tll rskfr ränta på.% d.v.s. då den förväntade avkastnngen betraktats so konstant. Följande tabell redovsar perentlerna för resultatet o konsolderngsgraden. Perentl Resultat tkr Konsolderngsgrad 5% % % % % % % Medanen ar nskat jäförelse ed perentlerna tabellerna 4. o 4. o sprdnngen ar naturlgtvs okså nskat. Utöver perentlerna vsar studen att för det beandlade bolaget råder stor skllnad ellan rsken försäkrngsverksaeten o rsken kaptalförvaltnngen. Standardavvkelsen för kaptalavkastnngen på tllgångsportföljen är över tre ggr så stor so standardavvkelsen för ersättnngskostnaden. I fguren nedan är en grafsk jäförelse ellan standardavvkelserna för de ensklda tllgångarna portföljen sat ersättnngskostnaden gjord. Noterbart är att standardavvkelsen för akter LFAB ensat är betydlgt större än standardavvkelsen för ersättnngskostnaden o att både svenska akter o fastgeter var för sg ar ungefär lka stor rsk so ersättnngskostnaden.

36 Jäförelse av standardavvkelser 5 lj kr 5 5 Akter LFAB Akter Sverge Fastgeter Akter Nordaerka Akter uropa Akter Japan Akter Asen Oblgatoner Lkvda edel Arbetet skulle kunna utveklas på några oråden. För ersättnngskostnaden bör an särgranska skador uppkona på grund av naturkatastrofer o för LF Skåne särsklt storskador. Detta är vktgt en det är satdgt svårt att få säkra skattnngar då dataateralet är tunnt. För resultatet saknas okså en post för avveklngsresultatet d.v.s. förändrngen av reserverna so skulle beöva odelleras. 4

37 6 Referenser [] Abu-Dayya A.A Beauleu N.C. 994: Outage Probabltes n te Presene of Correlated Lognoral Interferers. I Transatons on Veular Tenology Vol. 4 No [] Blo G Holqust B. 998: Statstkteor ed tlläpnngar. Studentltteratur. [] Daykn C.D Pentkänen T. & Pesonen M. 994: Pratal Rsk Teory for Atuares. Capan & Hall. [4] Joansson B. 997: Mateatska odeller no sakförsäkrng. Kopendu Mateatsk Statstk Stokols Unverstet. [5] Luenberger D.G. 998: Investent Sene. Oford Unversty Press. [6] ter Berg P. 994: Dedutbles and te Inverse Gaussan Dstrbuton. Astn Bulletn Vol. 4 No. 9-. [7] Wkefeldt F. 999: Optal portfolos and te orzons. Master Tess Dvson of Mateatal Statsts Royal Insttute of Tenology Stokol. 5

38 6

39 A Append A. Sannolketsfördelnngar Nedan presenteras de sannolketsfördelnngar so ar använts kaptel. För utförlgare beräknngar se Joansson [4]. För den nversa noralfördelnngen se även ter Berg [6]. A.. Possonfördelnngen Pol Sannolketsfunkton P k λ λ e k K λ > k! k Väntevärde varans o skevet λ Var λ Skevet λ A.. Negatva bnoalfördelnngen NegBn a b Sannolketsfunkton P k Γ k Γ k! β β β Väntevärde varans o skevet k K k β > β Var Skevet β β β β 7

40 A.. fördelnngen Pa a g Tätets- o fördelnngsfunkton f Väntevärde varans o skevet > F > Var > Skevet > Paraeterskattnngar ed au-lkelood-etoden n ˆ är lösnngen tll ekvatonen b där a o a n n b log n k k ˆ a ˆ a ˆ A..4 Lognoralfördelnngen LogN s Tätets- o fördelnngsfunkton log µ log µ f ep F Φ > πσ σ σ Väntevärde varans o skevet e µ σ µ σ σ Var e e Skevet Paraeterskattnngar ed au-lkelood-etoden n log k n ˆµ σ k n ˆ log µ ˆ n k k e 9 σ e 5 σ k e σ σ e e σ k 8

41 A..5 Inversa noralfördelnngen InvN f Tätets- o fördelnngsfunkton f µφ π φ µ ep F µ Φ φ µ µ φ µ e Φ µ φ > Väntevärde varans o skevet µ µ Var Skevet φ φ Paraeterskattnngar ed au-lkelood-etoden µˆ n φ ˆ ~ där ~ n k k A..6 prska fördelnngen Antag att utfallen K är n observatoner på de oberoende stokastska varablerna n K n alla ed fördelnngsfunkton F. Den eprska fördelnngsfuntonen fås so Fˆ k: k n d.v.s. so andelen observatoner so är ndre än eller lka ed. 9

42 4 A. ML-skattnngarna för paraetrarna den negatva bnoalfördelnngen β ω NegBn K Den logarterade lkelood-funktonen baserad på observatonerna K är log log p p l β Γ Γ! log β β β ω ω ω { } > Γ Γ p reella för p p p! log k k β β β ω ω log log log! log log k k β β β ω ω log log log log k k β ω β β ω! log De partella dervatorna blr log log k k l ω β β ω ω log k k ω β β ω ω l β ω β β β β ω β β

43 l V sätter l o β o får ML-ekvatonerna β ω ω ω k β log β k ω Geno att ta uttryket för β den andra ekvatonen o stoppa n den första ekvatonen så erålls följande ekvaton för ω log k ω k ω Den nuerska lösnngen tll denna ekvaton är ML-skattnngen av. ML-skattnngen av β fås därefter so ω βˆ ˆ Notera att efterso väntevärdet den negatva bnoalfördelnngen är skattade väntevärdet ω vlket är detsaa so Possonfallet. ω β blr det 4

44 A. Jäförelse av fördelnngsfunktoner A.. Skadegren He Vald fördelnng: lognoral. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur a Intervall. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur b Intervall 5. 4

45 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur Intervall 5 största observaton. A.. Skadegren Vlla Vald fördelnng: lognoral. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur a Intervall. 4

46 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 4 Fgur b Intervall 5. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur Intervall 5 största observaton. 44

47 A.. Skadegren Vllae Vald fördelnng:. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur a Intervall. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur b Intervall 5. 45

48 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur Intervall 5. A..4 Skadegren Frtdsus 4 Vald fördelnng: lognoral. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur 4a Intervall. 46

49 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 4 Fgur 4b Intervall - 5. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur 4 Intervall 5. 47

50 A..5 Skadegren Fastget 5 Vald fördelnng: lognoral. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur 5a Intervall..8 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 4 Fgur 5b Intervall 5. 48

51 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur 5 Intervall 5. A..6 Skadegren Lantbruk 6 Vald fördelnng:. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur 6a Intervall. 49

52 .8 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 4 Fgur 6b Intervall 5. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur 6 Intervall 5. 5

53 A..7 Skadegren Paket 7 Vald fördelnng:. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur 7a Intervall. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 4 Fgur 7b Intervall 5. 5

54 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur 7 Intervall 5. A..8 Skadegren Företag 8 Vald fördelnng: lognoral..8 Skadegren rsättnngsbelopp Fgur 8a Intervall 5. prsk Lognoral Invers Noral 5

55 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur 8b Intervall 5 största observaton. A..9 Skadegren Företag 9 Vald fördelnng:..9 Skadegren rsättnngsbelopp Fgur 9a Intervall 5. prsk Lognoral Invers Noral 5

56 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur 9b Intervall 5 största observaton. A.. Skadegren Affär Vald fördelnng: lognoral. Skadegren rsättnngsbelopp Fgur a Intervall 5. prsk Lognoral Invers Noral 54

57 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur b Intervall 5 största observaton. A.. Skadegren Kobnerad Vald fördelnng:. Skadegren rsättnngsbelopp Fgur a Intervall 5. prsk Lognoral Invers Noral 55

58 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur b Intervall 5. A.. Skadegren Såföretag Vald fördelnng:..9 Skadegren rsättnngsbelopp Fgur a Intervall 5. prsk Lognoral Invers Noral 56

59 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur b Intervall 5 största observaton. A.. Skadegren Koun 4 Vald fördelnng: nvers noral. Skadegren rsättnngsbelopp Fgur a Intervall 5. prsk Lognoral Invers Noral 57

60 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 6 Fgur b Intervall 5 största observaton. A..4 Skadegren Båt Vald fördelnng: lognoral. Skadegren rsättnngsbelopp 4 Fgur 4 Intervall största observaton. prsk Lognoral Invers Noral 58

61 A..5 Skadegren Olyksfall Vald fördelnng:. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur 5a Intervall 5. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 5 Fgur 5b Intervall 5 största observaton. 59

62 A..6 Skadegren Motor 4 Vald fördelnng: lognoral. Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp Fgur 6a Intervall. Skadegren rsättnngsbelopp Fgur 6b Intervall 5. prsk Lognoral Invers Noral 6

63 Skadegren prsk Lognoral Invers Noral rsättnngsbelopp 6 Fgur 6 Intervall 5 största observaton. 6

64 6 A.4 Modferade statstkor Geno att beräkna oenten n F d f k k k för k kan statstkorna allänt beräknas enlgt n n n n n Var n n n n n n Var Skevet A.4. fördelnngen F d f n d d d n { }K K egraton upprepad partalnt

65 6 d n { }K K egraton upprepad partalnt A.4. LogNoralfördelnngen n F d f k k k Första teren ögerledet blr k k d d f log ep σ µ πσ d du u log uk du u e log ep σ µ πσ

66 log log πσ πσ ep ep u µ ukσ σ du 4 u µ kσ kµσ k σ σ du e kµ k σ log πσ u µ kσ ep σ du u µ σ v dv du σ σ µ kσ log / σ kµ k σ v e e log µ Φ σ kµ k σ k ep π σ dv Tllsaans ed andra teren ögerledet ovan blr det k : te oentet k kµ k σ log µ kσ k log µ n e Φ Φ σ σ A.4. Inversa Noralfördelnngen Resultaten denna avdelnng är tll stora delar ätade från ter Berg [6]. Den oentgenererande funktonen för n för den nversa Noralfördelnngen ar utseendet φ F µ φ e F t M t e där e µφ o f µ φ e φ f. t φ tµφ är jälpvarabler so beror på t. Det gäller att Geno att beräkna de tre första dervatorna för den oentgenererande funktonen ovan a p t o sedan sätta t fås de tre första oenten för n. Följande jälpdervator koer att koa tll användnng 64

67 65 dt d dt d e dt de φ φ { } F dt df Φ f dt d Φ f dt df Nu fås att { } F e F e F e t M t Φ φ φ φ µ { } F e F e t Φ φ φ µ { } F e F e t M t Φ φ φ µ { } F f e Φ φ φ µ F e t { } f F e Φ φ φ µ F e t M t { } f F e Φ φ { } f F e Φ φ { f e Φ φ F Φ } f φ µ F e t

68 66 { F e Φ φ } 4 f Moenten krng orgo blr nu n M φ µ µ µ φ µ µ φ µ F F Φ n M φ µ φ µ µ φ µ φ µ φ µ F F Φ φ µ φ µ f n M Φ F µ φ µ φ µ φ µ 4 φ µ φ µ φ φ µ φ µ φ φ µ f F

69 67 A.5 Skeveten för suan av oberoende stokastska varabler Låt { } ; K vara en ängd av oberoende stokastska varabler o låt κ o κ betekna andra respektve tredje entraloentet för. Skeveten defneras so tredje entraloentet dvderat ed andra entraloentet uppöjt tll /. Skeveten för suan blr nu Skevet Utveklng av täljaren { } * k j k j j j * * * * * * k j k j j j * * * * * * * κ ty * För nänaren är utveklngen känd κ Skeveten för suan av oberoende stokastska varabler får alltså utseendet Skevet κ κ