TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri Komplexa tal Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis. De aritmetiska talöljde 5, 8,,,... är give. a) Hur måga av termera är midre ä 000? Beräka summa av de 0 örsta termera.. Vid ett rimärksjubileum diskuterade ma att ge ut e rimärksserie med 5 rimärke i valörera 0.50 kr, 0.90 kr,.0 kr,.70 kr o. s. v. Vad skulle e såda utgivig kosta e samlare, som brukar köpa 0 kompletta serier?. Bestäm summa av alla heltal rå och med 9 till och med 999 som slutar på 9.. Summa av de örsta termera i de aritmetiska serie, 0, 6,,... är lika med 80. Bestäm. 5. E geometrisk talöljd börjar med 5. Skriv de örsta yra termera i talöljde om kvote är: a) / c) - d) -/ 6. a) Tale x,,, y ileder e geometrisk talöljd. Bestäm x och y. Tale x,,, y ileder e geometrisk talöljd. Bestäm x och y. 7. I e geometrisk talöljd är a = 6 och a7 = 750. Bestäm talöljde och summa av de sju örsta termera. 8. År 990 var världskosumtioe av mieralolja Gt (gigato). De totala råoljereserve på jorde uppskattades då till Tt. När tar råolja slut om uttaget rå reserve a) ökar med % årlige miskar med % årlige 9. Beräka a) med hjälp av ormel ör e e geometrisk 8 6 6 8 56 5 0 08 summa. 00 ( k ). k
0. Bevisa med hjälp av iduktio att öljade ormler gäller ör alla ( ) a) (k ) k k k Z :. Bestäm t så att ormel (k k) ( t) k gäller med detta t-värde ör alla =,,,... gäller ör =. Visa seda att ormel. Visa med iduktiosbevis att 7 - är delbart med 5 ör alla =,,,.... Visa att ör alla.. Visa att k k ( )( 6 ) ör alla =,,,... 5. Visa att k ( k ) ( )( 6 ) ör alla =,,,... 6. Visa att k k k k 7. Skriv som e summa a) (x + y) (x - y) 8. Beräka öljade biomialkoeicieter 7 a) 5 9. Vilke av öljade båda biomialkoeicieter är störst? 0 6 a) 8 0 eller eller 7 0. Bestäm så att 7. Beräka koeiciete ör a) x i uttrycket (x - ) 5 x i uttrycket ( - x). Beräka de term som är oberoede av x i utvecklige 6 a) x x x x c) x x 0
Ivers uktio. Visa att uktioera är omvädbara och bestäm seda de iversa uktioe på orme y ( x ). Bestäm deiitiosmägd och värdemägd ör både och. a) ( x) x ( x) x c) ( x) x. Fuktioe har ivers g. Om vet ma att ( ), ( ) 0 och ( 0) 5. Bestäm a) g (0) (5) e) Atag att D g c) g () d) g() x. Vad blir g (x)? ) Vilket krav skall ställas på x ör att g x) x 5. Bestäm iverse till (? a) ( x) x, x ( x) x, x 0 6. Bestäm () om ( x) x x 7. a) Visa att uktioe ( x) x x, x har ivers och bestäm dea ivers på orme y ( ). Rita i samma koordiatsystem y (x) och y ( ). c) Age deiitiosmägd och värdemägd ör y ( ). 8. Betrakta uktioe ( x) x, x. a) Visa att har e ivers och bestäm dea ivers. Bestäm deiitios- och värdemägd till uktioe ( ). c) Har kurvora y (x) och y ( ) ågra gemesamma pukter? Bestäm i så all dessa och age deras koordiater på så ekel orm som möjligt.
Logaritmer, Expoetialuktioer 9. Lös ör reella x ekvatioe l(x + ) + l( x) = l + l x. 0. a) Lös olikhete l l x l x. Lös olikhete l l x l x.. Bestäm alla lösigar till ekvatioe l x + l( x) = l x.. Bestäm alla reella värde på x sådaa att uttrycket l( x) x är deiierat.. Låt ( x) e x. a) Har ivers? Bestäm i så all dea iklusive dess deiitiosmägd. Bestäm alla reella lösigar till ekvatioe x ( x) e.. Betrakta uktioe ( x) l( x ) l( x ). a) Bestäm :s deiitiosmägd, D Bestäm alla reella lösigar till ekvatioe ( x) l6. 5. Bestäm deiitiosmägde ör uktioe och udersök om har ivers uktio och bestäm i så all ett uttryck ör iverse om (x) =. 6. Bestäm deiitiosmägde samt (om möjligt) iverse till om (x) =.
Trigoometri 7. Bestäm de exakta värdea på återståede trigoometriska uktioer, då a) cos α = /5 och α ligger i örsta kvadrate. si α = 7/5 och α ligger i adra kvadrate. c) ta α = och α ligger i tredje kvadrate d) cot α = - 5/ och α ligger i järde kvadrate. 8. Bestäm exakta värde på si 5, cos 5, ta 5 och cot 5 Ledig 5 = 5-0. 9. Förekla öljade uttryck: a) si (60 + x) - si (60 - x) cos (0 - x) - cos (0 + x) c) cos (5 - x) - si (5 + x) d) ta (5 + x) + ta (5 - x) 0. Bevisa öljade trigoometriska ormler a) ta α cot α cos α si α cos α si α c) si α = si α cos α d) cos α = cos α si α. a) α är e vikel i adra kvadrate, si α = /5. Bestäm si α och cos α cos α = /. Bestäm cos α c) ta α = /5. Bestäm ta α d) α är e vikel i tredje kvadrate, ta α = /7. Bestäm si α och cos α.. Bevisa likhetera: si α a) ta α cosα ta α c) cosα ta α ta α si α ta α. Bestäm r > 0 och v ]- π, π ], så att a si x + b cos x = r si (x + v ) om a) a =, b = a = -, b = - c) a = -, b = d) a =, b = - e) a =, b = - ) a = -, b = -. Aväd ett av resultatet i öregåede uppgit ör att lösa ekvatioera a) si x - cos x = si x - cos x = i itervallet x [0, π [ 5. a) Lös ekvatioera i uppgit a me i itervallet ] - π, π ] Lös ekvatioe i uppgit b me i itervallet ] - π, π ] 6. Rita, med ehetscirkel som utgågspukt, e relevat igur som illustrerar lösigsmägde till ekvatioe a) si x a cos x a c) ta x a 5
7. Lös ekvatioe π a) si x si si x c) si x 0 d) 5 si x 8. Lös ekvatioe π a) cos x cos cos x c) cos x d) cos x 0 0 9. Lös ekvatioe π a) ta x ta ta x c) ta x 7 d) ta x (Ledig: Ekvatioe är ekvivalet med ta x ) 50. Bestäm samtliga lösigar till ekvatioe a) si x cos x π 6 c) cos 5x π om 0 x π π π 5. Lös ekvatioe geom att utyttja att cos v si v eller si v cos v. x π π a) cos x si x cos six, x π, π π c) si x cos x 5. Lös ekvatioe a) cos x si x c) cos x cos x 0 (Sätt t.ex. örst cos x t ) 5. Lös ekvatioe geom att bl.a. utyttja trigoometriska etta. 5 a) cos x si x si x cos x 5. Lös ekvatioe (Ledig: Utyttja t.ex. ormlera ör dubbla vikel samt trigoometriska etta.) a) cos x si x 0 si x si x cosx cos x six, x,0 c) d) si x cosx, x 0, π 6
Komplexa tal 55. a) Markera i det komplexa talplaet alla komplexa tal z som samtidigt uppyller de båda villkore 0 arg z π och z. Beräka + i. Age svaret på orme a + bi, a, b R. 56. Givet de två komplexa tale z = e och w = i. a) Bestäm produkte wz på orme a + bi. Bestäm arg(z w) 57. Givet det komplexa talet z = a) Bestäm z. beräka arg(z ). c) beräka (z + + i) på öreklad orm. 58. Beräka i. Age svaret på orme x iy, där x och y är reella tal. 59. Givet det komplexa talet z =. 00 p a) Beräka z och age svaret på orme x + iy, där x och y år skrivas på orme a, där a är ett reellt tal och p ett heltal. Välj v arg z så att v. Rita och markera i ett komplext talpla alla komplexa tal u ör vilka det samtidigt gäller att v arg u arg (0) och u. Figure skall ritas tydligt och med lämpliga hjälpmedel. 60. a) Åskådliggör i det komplexa talplaet de pukter ör vilka det gäller att Re z 0 och z. Förekla så lågt som möjligt ( + i) ( i). c) Visa att Re z = 0 om z =. 7
Svar till TNA00 Matematisk grudkurs - Övigsuppgiter. a) 670. 5 kr. 5000. = 5 eller = 8 5. a) 5, 08, 6, 5, 6,, 6 c) 5, - 08, 6, - d) 5, -8, 6, - 6. a) x =, y = 8 x = /, y = 9/ 7. k 786 ak = 6 5, s(7) = 5 8. a) Uder år 057 Aldrig 9. 65 a) 08 00. t = 7. a) x 8x y x y xy 6y x 6x y 96x y 56xy 56y 8. a) 5 55 9. a) båda är 0 0 respektive 060 0. edast = 0 (Ekvatioe har röttera 0, - och två komplexa rötter). a) - 80-55. a) 0 c) 05/. a) ( x) x, D R, V R V D x ( x), D V R, D V R c) ( x) x, D V R, D V R. a) 0 c) d) e) x ) x D g 5. a) ( x) x, x 0 ( x) x, x 6. 7. a) ( x) x y ( x) y (x) c) D V, V D,, 8
8. a) ( x) x c) Gemesam pukt: (, ) V D,, D V 0, 9. x 0. a) x, x,,. x. Alla x,. a) ( y) l( y ), D,. x l D, x. a) 5. D = [0, l [, (x) = l(x + ) l(x + ) 6. D = R, (x) = l, D =, 7. a) si α = /5, ta α = /, cot α = / cos α = - /5, ta α = - 7/, cot α = - /7 c) si α =, cos α =, cot α = 0 0 d) si α = - /, cos α = 5/, ta α = -/5 8. o 6 o 6 o o si 5, cos 5, ta5, cot 5 9. a) si x si x c) 0 d) - /cos x. a) si α = - /5, cos α = - 7/5-7/9 c) 5/8 d) si α = 7/5, cos α = /5. a) si x + cos x = si (x + π /) - si x - cos x = si (x - π /) c) - si x + cos x = si (x + π /) d) si x - cos x = si (x - π /) e) si x - cos x = si (x - π /6) ) - si x - cos x = si (x - π /). a) π / eller 7 π /6 π /6, 7 π /8, 5 π /6, 9 π /8, π / eller π /8 5. a) - 5 π /6 eller π / 7 π /8, - π /, -5 π /8, π /6, 7 π /8 eller 5 π /6 7. a) x π 5 π eller x π 5 π, Z π 6 π eller 5π 6 π, Z c) π, Z d) π π eller π π, Z 8. a) π 0 π, Z π 6 π, Z c) π π, Z d) π π, Z 9. a) π 7 π, Z π π, Z c) π 6 π, Z d) π π, Z π π 5π π 50. a) eller, Z 8 8 π 7π π 9π 7π π eller π, Z c),, 0 0 0 π π π 5. a) eller π 7, Z π 0, c) Alla reella x π π π π 5. a), Z π eller π, Z 9
c) π eller π π 5. π π a) π, π 6 eller 5π 6 π, Z π π 5. π a), Z π, Z c) 0,,, π π π π d),,, 55. a) Se igur 0 56. a) i 57. a) 58. 6 7 6 c) 56 59. a) 00 50 z 60. a) 0 0