LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer och egerum E av de viktigaste begreppe som har med lijära avbildigar att göra är egevärde och egevektorer E egevektor till e matris eller lijär avbildig) A R, är e vektor v R såda att Av = λv Här kallas λ för egevärdet till egevektor v Om vi har givet e matris ka vi hitta egevektorer och egevärde till dea matris? Vi skriver om ekvatioe Av = λv och aväder v = Iv där I är idetitetsmatrise Då får vi Av λiv = A λi)v = Nu är λ ett egevärde till egevektor v om dea ekvatio har e icke-trivial lösig aars skulle v = ) Dea ekvatio har e icke-trivial lösig om Dea ekvatio kallas för de karaktäristiska ekvatioe till A När vi hittat ett eller flera λ som uppfyller de karaktäristiska ekvatioe så ka vi hitta egevektorera geom att lösa ekvatioe A λi)v = för varje givet λ Det vi gör är att vi hittar ollrummet till matrise A λi Vi kallas detta ollrum för egerummet till A med egevärde λ och beteckar det med Eλ) = NA λi) 2 Diagoaliserig Diagoaliserig av e matris är ett sambad mella e matris och e diagoalmatris Diagoaliserig är ära begreppet med egevärde och egevektorer Givet e lijär operator eller e matris) A R, så aser ma att operator är väl förstådd om ma hittat e bas b = {b,, b } i R så att Ab i = λ i b i, gäller för alla i {,, }, och för vissa skalärer λ i R Detta sambad ka ma skriva om eligt följade sats Sats 2 För varje kvadratisk matris A R är de följade påståedea ekvivaleta i) Det fis e bas b i R som består av egevektorer till A ii) Det fis e iverterbar matris T R och e diagoalmatris D R så att A = T DT

2 JOHAN ASPLUND Matrise A kallas för diagoaliserbar om i) och ii) i dea sats gäller för A Om vi har givet e matris A som är diagoaliserbar så ka vi hitta matrisera T och D som följade T = v v, D = λ, där Av i = λ i v i gäller för alla i {,, } Det fis e metod för att avgöra om e matris faktiskt är diagoaliserbar, uta att aväda sats 2 Om A har egevärdea λ,, λ l så tittar vi på summa av dimesioera av egerumme och ser om de är lika med Om de är det så är matrise A diagoaliserbar Det vill säga om l dimeλ i )) = i= 3 Uppgifter 5:4-5a) Hitta egevärdea och e bas till alla egerum till matrise A = Lösig Vi löser de karaktäristiska ekvatioe för att hitta egevärdea 4 λ 3 = 4 λ) 2 λ) = 2 λ Detta ger λ = 4 och λ 2 = 2 Vi börjar med E4) = NA 4I) 3 v A 4I)v = = 6 v 2 Vi får v 2 = och v = t Så e bas till E4) är eftersom E4) = t Vi betraktar seda E 2) Vi sätter v = t och får v 2 = 2t Alltså får vi E bas till E 2) är alltså 2 6 3 v A + 2I)v = = v 2 E 2) = t 2 Extrauppgift frå dugga De lijära operator f : R 3 R 3 ges av x x 2y 2z 3) f y = 2x + y 2z z 2x 2y + z a) Age f:s matris A b) Bestäm A:s egevärde c) Fi e bas i varje egerum till A d) Tolka operator f geometriskt λ 4 3 2

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 3 Lösig a) Vi skriver om 3) som följade x 2y 2z 2 2 x 2x + y 2z = 2 2 y 2x 2y + z 2 2 z 2 2 Alltså är f:s matris A = 2 2 2 2 b) Vi hittar egevärdea geom att lösa de karaktäristiska ekvatioe λ 2 2 + + λ 3 λ 3 λ 3 2 λ 2 = 2 λ 2 2 2 λ 2 2 λ + + 2 λ 2 2 3 λ 2 2 λ 2 3 λ 3 λ 3 λ = λ + 3)3 λ)2 = Detta ger egevärdea λ = 3 och λ 2 = 3 c) Vi tittar först på egerummet E 3) 4 2 2 2 4 2 2 A + 3I = 2 4 2 4 2 2 + 2 2 4 2 2 4 2 4 2 + 2 4 2 6 6 6 6 + Vi sätterseda v 3 = t och får v 2 = t, som ger 2v + 2t = v = t Alltså är e bas i E 3) vektor Vi gör samma sak med egerummet E3) 2 2 2 2 A 3I = 2 2 2 + 2 2 2 + Sätter vi v 3 = t och v 2 = s får vi v = t s Så alla lösigar till ekvatioe A 3I)v = är v = t + s, så e bas i E3) är, d) Frå egevektorera vet vi att det är två egevektorer med egevärde 3, samt e egevektor med egevärde 3 De eda lijära operator som har två egevektorer vars egevärde är, samt e egevektor med egevärde är e speglig i ett pla Notera att egevärdea är 3 respektive 3 6

4 JOHAN ASPLUND Så f är e speglig i ett pla följt av e skalig med faktor 3 Vi vet att speglige sker i plaet x + y + z =, eftersom vektor är ormale till plaet eftersom de speglas) 2 3 52:8 Avgör om matrise A = är diagoaliserbar Lösig Vi hittar alla egevärde Seda hittar vi dimesioera av alla egerum och ser om de summerar till 2 I detta fallet får vi 2 λ 3 λ = Dea ekvatio har iga reella lösigar, och alltså fis det iga egevärde, så A är ite diagoaliserbar 5 7 52:3 Hitta matrise P som diagoaliserar A och beräka P AP där A = 3 Lösig Matrise P består av egevektorer Så vi hittar först egevärde 5 λ 7 = 5 λ) 3 λ) = 3 λ Egevärdea är λ = 5 och λ 2 = 3 Egerummet som hör till λ = 5 får vi geom följade 7 v A 5I)v = = 3 v 2 Vi får direkt att v 2 = och att v = t, så v = t Egerummet som hör till λ 2 = 3 får vi som 8 7 v A + 3I)v = = Sätter vi v 2 = t får vi v = 7 8 t Så egerummet är t 7 8 P = 7 8 ) v 2 ) = t 7 Vi sätter ihop dessa till 8 Vi beräkar iverse och får P = 8 7 8 Så P AP = 8 7 5 7 7 5 = 8 3 8 3 2 Extrauppgift frå teta Beräka A för alla udda aturliga tal, då A = 2 Lösig Låt oss ata att A är diagoaliserbar Då ka vi skriva A = T DT Vi ka seda se att A 2 = T DT T DT = T DDT = T D 2 T Faktum är att A = T D T gäller Poteser av diagoalmatriser är lätta att beräka, eftersom potesera tas på varje diagoalelemet var för sig Så vårt mål är att diagoalisera A Vi hittar först egevärde λ 2 2 λ = λ)2 4 =

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 5 Vi får att λ = ± 2, så λ = 3 och λ 2 = Egerummet som hör till λ = 3 får vi geom 2 2 A 3I = 2 2 Sätter vi v 2 = t får vi v = t, så E3) = t Egerummet som hör till λ 2 = får vi geom 2 2 A + I 2 2 Sätter vi v 2 = t får vi v = t, så E ) = t Vi ka då diagoalisera A som där Vi får T = 2 Alltså är så A = T DT, 3 T =, D = Nu beräkar vi D Om är udda så är ) = = 2 D = 3, A = T D T = 3 = 2 2 = 3 3 2 3 3 E-mail address: johaasplud@mathuuse ) 3 3