A. Grundläggande matristeori

Transkript

1 A.. Matriser och vektorer A. Grudläggade matristeori A. Defiitioer A.. Matriser och vektorer E matris är e rektagulär tabell av elemet ordade i rader och koloer (kolumer). Elemete i e matris ka vara godtyckliga obekt me här begräsar vi oss till matriser där elemete är reella eller komplexa tal och variabler. E matris A med m rader och koloer, dvs dimesioe dim A m, ka skrivas a a2 a a a2 a a 2 a22 a A 2 a eller 2 a22 a A 2 (A..) am am2 am am am2 am där a i, i,, m,,,, är matrises elemet. Matrise ka avgräsas med ruda pareteser eller hakpareteser; det seare (som vi aväder) är valigare iom tekike. Ett kortare sätt att age vilka elemet e matris har är att skriva A [ ] (A..2) a i Reglertekik II illstådsmetoder (4930) A Rader och koloer Matrise A :s i :te rad är [ a a a ], i m (A..3) i i2 i E matrisrad, eller e matris med dimesioe, kallas äve för e radvektor. Matrise A :s :te kolo är a 2 a am, (A..4) E matriskolo, eller e matris med dimesioe m, kallas för e kolovektor. E matris med lika måga rader som koloer kallas e kvadratisk matris. Obs. att e matris med dimesioe är e skalär, som föler ormala räkeregler för skalärer. A. Defiitioer A 2 A.. Matriser och vektorer A.. Matriser och vektorer raspoerig raspoerig av e matris iebär att ma bildar e matris där rader och koloer byter plats i de ursprugliga matrise. raspoerig beteckas med symbole så att A beteckar traspoerig av A,dvs a a2 am a 2 a22 a A m2 (A..5) a a2 am De så erhålla matrise A kallas A :s traspoat. Märk att traspoerige iebär att e m -matris blir e m-matris. E matris är symmetrisk om A A. E matris är skevsymmetrisk om A A. I fortsättige atar vi alltid, om ite aat sägs, att e vektor är e kolovektor. E radvektor ka då uttryckas som e traspoerad vektor. Om x är e kolovektor, är x då e radvektor med samma elemet som x. Beteckigar E matris beteckas valige med e stor bokstav (e versal) ur latiska eller grekiska alfabetet. I tryckt text aväds ormalt fet stil, i hadskrive text ka bokstave uderstrykas med två streck. Matrises elemet beteckas ormalt med motsvarade små bokstäver (gemea) skriva med kursiv stil och med edre idex som ager deras positio i matrise. E vektor beteckas valige med e lite bokstav (gemea) ur latiska eller grekiska alfabetet. I tryckt text aväds ormalt fet stil, i hadskrive text ka bokstave uderstrykas med ett streck. Vektors elemet beteckas ormalt med samma bokstav skrive med kursiv stil och med ett edre idex som ager deras positio i vektor. E skalär skrivs i tryckt text med kursiv stil, atige stor eller (helst) lite bokstav. A. Defiitioer A 3 A. Defiitioer A 4

2 A. Defiitioer A..2 Determiat, rag och spår A..2 Determiat, rag och spår Determiat E determiat är ett kvadratiskt schema av storheter som har ett skalärt värde. Determiater uppträder ofta i tillämpigar av liär algebra. Värdet på e viss determiat säger t.ex. om det fis e etydig lösig till ett liärt ekvatiossystem. Av ovaståede föler att vare kvadratisk matris A har e determiat, som vi beteckar A eller det A. (Obs. att A ite skall uppfattas som e matris, där elemete är absolutvärdet av motsvarade elemet i matrise A.) Med matriselemete utskriva har vi a a2 a a a2 a a det 2 a22 a 2 a2 a22 a A A 2 (A..6) a a2 a a a2 a Märk att matrise ytterst avgräsas av lodräta streck (med eller uta pareteser för sälva matrise) är determiate avses. A. Grudläggade matristeori A 5 Beräkig av determiates värde Beräkig av determiates värde är förhålladevis komplicerat för stora matriser. Vi skall därför böra med att betrakta små matriser. För e -matris, dvs för e skalär, är determiates värde lika med skaläres värde. För e 2 2-matris har vi det ekla uttrycket a a2 aa22 a2a2 (A..7) a2 a22 För e 3 3-matris fis flera ekvivaleta sätt att ställa upp beräkige. Vi har t.ex. a a2 a3 a22 a23 a2 a23 a2 a22 a2 a22 a23 a a2 + a3 a32 a33 a3 a33 a3 a32 a3 a32 a33 a( a22a33 a23a32) a2( a2a33 a23a3) + a3( a2a32 a22a3) (A..8) a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a A. Defiitioer A 6 A..2 Determiat, rag och spår A..2 Determiat, rag och spår I sälva verket ka determiate för e godtycklig kvadratisk matris beräkas geom utvecklig lägs vilke rad eller kolo som helst så att vare elemet a i på rade eller koloe multipliceras med de uderdetermiat som fås då rad i och kolo stryks frå ursprugsmatrise och dea produkt adderas till föregåede termer med tecket ( ) i+. Uderdetermiatera beräkas givetvis eligt samma regler. För e -matris fås då A k+ i+ k ( ) ak A ( ) aik k A ik (A..9) i där k beteckar vilke rad eller kolo som helst och A är de udermatris som fås är i rad i och kolo stryks frå A. Uderdetermiatera A beräkas eligt samma i regler. I praktike löar det sig valigtvis att utveckla eligt e rad eller kolo som iehåller ollor, u fler desto bättre, eftersom detta reducerar atalet termer i (A..8). Ma ka också utytta olika trasformatioer, som ite påverkar determiates värde, för att förekla de slutliga beräkige eligt (A..8). Se Gustafssos formelsamlig. A. Defiitioer A 7 Rage av e matris Rage av e matris är ett skalärt tal, som ka defiieras på flera ekvivaleta sätt. Rage av e matris A, beteckad rag A eller rak A, är lika med atalet koloer (eller rader) i de största kvadratiska matris med e determiat olika oll som ka bildas ur A geom strykig av koloer och/eller rader atalet liärt oberoede koloer och atalet liärt oberoede rader i A De sista pukte iebär att atalet liärt oberoede koloer alltid är lika med atalet liärt oberoede rader i e matris. E dylik uppsättig liärt oberoede koloer och rader bildar e kvadratisk matris av maximal storlek med determiate olika oll. För e matris A med dimesioe m gäller uppebarlige att rag A mi( m, ). Om rag A m sägs matrise ha full radrag, om rag A har de full kolorag. Spåret av e matris Spåret av e kvadratisk matris A, beteckat tr A eller trace A (frå egelskas trace ) är lika med summa av matrises diagoalelemet, dvs trace A aii (A..0) A. Defiitioer A 8

3 A. Defiitioer A..3 Speciella matriser A..3 Speciella matriser E ollmatris eller ollvektor, beteckad 0, har alla elemet lika med oll. Dess determiat har givetvis värdet oll. E diagoalmatris D är e kvadratisk matris som har alla elemet, förutom diagoalelemete d ii, lika med oll, dvs d d22 0 D diag( d, d2,, d) (A..) 0 0 d Determiates värde ges av D dii (A..2) i A. Grudläggade matristeori A 9 E ehetsmatris (äve kallad idetitetsmatris) är e diagoalmatris med alla diagoalelemet lika med. 0 0 De vedertaga beteckige för e såda matris är 0 0 I. Om behövligt, ka ehetsmatrises dimesio I (A..3) ( ) ages med ett edre idex ( I ). 00 Ehetsmatrises determiat har värdet. E triagoal matris är e kvadratisk matris som har alla elemet till höger eller till väster om huvuddiagoale lika med oll (västertriagoal resp. högertriagoal), dvs l 0 0 r r2 r l2 l 22 0 r L 22 r 2 eller R (A..4) 0 l l2 l 0 0 r Pga ollora ges determiateras värde av de ekla uttrycke L lii, R rii (A..5) i i A. Defiitioer A 0 A..3 Speciella matriser E tridiagoal matris är e kvadratisk matris där elemete som uppfyller i > är lika med oll, dvs de har forme t t2 0 0 t2 t22 t t32 0 (A..6) t, t, t, t E tridiagoal matris är e s.k. badmatris med badbredde 3. E blockmatris är uppbyggd av adra matriser och dess struktur bestäms av de igåede matriseras strukturer (ige speciell struktur behöver dock fias)..ex. AB CD eller A B (A..7) C D beteckar de matris som fås är elemete i matrisera A, B, C och D isätts på respektive matris ställe. A, B, C och D kallas också udermatriser till de matris där de igår. A. Defiitioer A A.2 Matrisoperatioer A.2. Likhet vå matriser av samma dimesio är lika om och edast om alla elemet i motsvarade positioer i de två matrisera är lika, dvs A B ai bi, i, (A.2.) A.2.2 Additio och subtraktio vå matriser av samma dimesio ka adderas och subtraheras geom att addera eller subtrahera alla elemet i motsvarade positioer i de två matrisera, dvs C A+ B c i a i + b i, i, (A.2.2) C A B c i a i b i, i, (A.2.3) Reglertekik II illstådsmetoder (4930) A 2

4 A.2 Matrisoperatioer A.2.3 Multiplikatio A.2.3 Multiplikatio Multiplikatio med e skalär E matris ka alltid multipliceras med e skalär (dvs ett tal). Resultatet fås geom att multiplicera vare elemet i matrise med skaläre i fråga, dvs C s A c i s a i, i, (A.2.4) Multiplikatiostecket ka utelämas. Matrismultiplikatio vå matriser ka multipliceras med varadra om och edast om de är koforma. Detta iebär att matrismultiplikatioe A B ka utföras om och edast om atalet koloer i A är lika med atalet rader i B. Resultatet av multiplikatioe ges av C A B ci ai b + ai2b2 + + aib, i, (A.2.5) Multiplikatiostecket ka utelämas. Om dim A m och dimb p så blir dimc m p. Äve om A B existerar (dvs är e giltig operatio), behöver B A ite existera. Äve om både A B och B A existerar, gäller i allmähet att A B B A. Matrismultiplikatio är således ite kommutativ. A. Grudläggade matristeori A 3 Skalärprodukt Multiplikatio av två vektorer eligt matrismultiplikatiosregel ova så att resultatet blir e skalär kallas skalärprodukte eller ire produkte av de två vektorera. Skalärprodukte är således ite produkte av e skalär och e matris eller e vektor och ite heller (geerellt sett) produkte av två skalärer! Om x och y är två kolovektorer med lika måga elemet, är skalärprodukte således s x y (A.2.6) Skalärprodukte av vektorera x och y beteckas äve ( xy, ) eller xy,. Vi kostaterar att produkte yx mella samma vektorer, helt eligt matrismultiplikatiosregel, blir e -matris. Potese av e matris Poteserig är defiierad för e kvadratisk matris så att A betyder att st A -matriser multipliceras eligt matrismultiplikatiosregel (vilket ite är detsamma som att upphöa vare elemet i A till :te potes). Vi har då A 0 I, A A, A 2 A A, 3 A A A A,, A A A A A (A.2.7) A.2 Matrisoperatioer A 4 A.2 Matrisoperatioeer A.2.4 Matrisiverterig A.2.4 Matrisiverterig Divisio är ite defiierad för matriser. Vi ka dock defiiera iverse av e matris. Atag att vi käer e matris A. Om det fis e uik (dvs e eda) matris X såda att A X X A I (A.2.7) så kallar vi dea matris för iverse av A. Med beteckige X A gäller således A A A A I (A.2.8) Divisio ersätts således av multiplikatio med e matrisivers. Hur fier vi iverse av e matris? Om vi låter x i betecka de i :te koloe i X och e i de i :te koloe i I, som äve kallas de i :te ehetsvektor (vars eda elemet olikt oll är e etta som i :te elemet), ka vi eligt (A.2.7) ställa upp matrisekvatioera A x e, A x2 e 2,, A x e (A.2.9) Om vi utför multiplikatioera A x i ser vi att vare matrisekvatio ka skrivas som ett liärt ekvatiossystem med elemete i vektor x i som obekata. Geom att lösa dess stycke ekvatiossystem ka vi bestämma alla x i och därmed iverse X A. A. Grudläggade matristeori A 5 Det är ite svårt att ise att ett villkor för att det skall fias e etydig lösig till ekvatioera (A.2.9), dvs för att iverse till A skall existera, är att A är kvadratisk (med dimesioe ) alla rader (och koloer) i A är liärt oberoede E såda matris kallas regulär eller icke-sigulär eller iverterbar (alla beämigar är ekvivaleta). Amärkig: E kvadratisk matris för vilke gäller A A A A I, dvs A A, sägs vara ortogoal. Utgåede frå formulerige ova är det ite svårt att härleda ett allmät uttryck för iverse till e 2 2-matris. Vi får a a A a2 a 22 A a a aa22 a2a 2 a2 a (A.2.0) Här iebär villkore för iverses existes att det krävs att det A aa22 a2a2 0 (A.2.) Villkoret för iverterbarhet är således att determiate är 0. A.2 Matrisoperatioer A 6

5 A.2.4 Matrisiverterig A.2 Matrisoperatioer För e -matris fås allmät i+ A X, x i ( ) det A /deta (A.2.2) i dvs elemet i i A :s ivers är lika med uderdetermiate för A är rad och kolo i strykes (obs traspoerige ) dividerat med determiate av A med positivt (resp. egativt) tecke om talet i + är ämt (resp. udda). Det är således relativt komplicerat att beräka iverse till e stor matris eftersom beräkige av determiatera är besvärliga. Därför aväds i praktike ite (A.2.2) för umeriska beräkigar av stora matrisers iverser. För e 3 3-matris, där uderdetermiatera är av adra ordige, samt för glesa större matriser (dvs matriser som iehåller mycket ollor), är formel dock avädbar. Iverse för e diagoalmatris fås geom iverterig av diagoalelemete, dvs D diag( d, d2,, d ) D diag( d, d2,, d ) (A.2.3) A.2.5 Deriverig och itegrerig Derivata av e matris m.a.p. e skalär Derivata av e matris m.a.p. e skalär fås då vare elemet i matrise deriveras, dvs da da i dt dt (A.2.4) E speciell tillämpig på detta är tidsderivata av e tillstådsvektor x, dvs dx dx2 dx x (A.2.5) dx dt dt dt dt Itegrale av e matris Itegrale av e matris fås geom att itegrera vare elemet i matrise, dvs A dt a i dt (A.2.6) A.2 Matrisoperatioer A 7 A. Grudläggade matristeori A 8 A.2.5 Deriverig och itegrerig A.2 Matrisoperatioer Derivata av e skalär fuktio m.a.p. e vektor Derivata av e skalär fuktio m.a.p. e vektor kallas fuktioes gradiet. Resultatet är df f f f d x x2 x (A.2.7) x Märk att resultatet blir e radvektor av partialderivator trots att x är e kolovektor. Derivata av e vektorfuktio m.a.p. e vektor Derivata av e vektorfuktio med avseede på e vektor kallas för fuktioes Jacobimatris (eller Jacobia). Om ma deriverar vare fuktio f i i vektorfuktioe f eligt (A.2.6) och sammaslår de erhålla gradietvektorera till e matris, fås df df df dx dx2 dx df (A.2.8) dx dfm dfm df m dx dx2 dx A.2 Matrisoperatioer A 9 A.2.6 Expoetialfuktioe På samma sätt som för skalärer, ka ma äve defiiera fuktioer av (kvadratiska) matriser, s.k. matrisfuktioer. Alldeles speciellt gäller detta fuktioer som ka defiieras via potesserier. E viktig såda fuktio är expoetialfuktioe av e kvadratisk matris A, beteckad e A eller exp A. De defiieras via expoetialfuktioes aylorserieutvecklig, dvs A 2 3 e I+ A+ A + A + (A.2.9)! 2! 3! Märk! Matrise A :s expoetialfuktio fås ite geom ta expoete av vare eskilt elemet i matrise A (förutom i vissa specialfall såsom för diagoalmatriser). Vid räkeoperatioer ivolverade expoetialfuktioe utyttar ma ofta serieutvecklige ova..ex. deriverig och itegrerig av expoetialfuktioe blir på detta sätt ekla. A. Grudläggade matristeori A 20

6 A.3 Egevärde och egevektorer A.3 Egevärde och egevektorer A.3. Karakteristiska ekvatioe Egevärde och egevektorer ager karakteristiska egeskaper hos matriser. Vare kvadratisk matris A har ett eller flera egevärde λ och egevektorer v 0 så att Av λv (A.3.) gäller. Detta är liktydigt med ( λi A) v 0 (A.3.2) Om matrise ( λi A ) är iverterbar fås v ( λi A) 0 0, vilket strider mot kravet v 0. Härav föler att matrise ( λi A ) måste vara sigulär och då gäller också det ( λi A ) 0 (A.3.3) som kallas matrises karakteristiska ekvatio. Vi oterar här att e matris A måste vara sigulär om de har ett egevärde λ 0 eftersom (A.3.3) då ger det A 0. Reglertekik II illstådsmetoder (4930) A 2 A.3.2 Egevärde och deras beräkig Vi ka bestämma matrise A :s egevärde geom att utveckla determiate i (A.3.3) och lösa ekvatioe m.a.p. λ. Om matrise har dimesioe dim A, ger determiatutvecklige ett :te grades polyom i λ eftersom produkte av alla diagoalelemet λ aii kommer att igå i e av utveckliges termer. Av detta föler att e -matris har stycke egevärde alla egevärde behöver ite vara distikta (dvs olika stora) vissa egevärde ka vara komplexkougerade par (dvs komplexa egevärde) För e 2 2-matris ger (A.3.3) λ a a det( λi A ) 2 ( λ a)( λ a22) a2a2 0 a2 λ a22 dvs 2 λ ( a + a22) λ+ aa22 a2a2 0 (A.3.4) med lösige 2 λ ( a + a 2 22) ± ( a 4 + a22) aa22 + a2a2 (A.3.5) A. Grudläggade matristeori A 22 A.3 Egevärde och egevektorer A.3 Egevärde och egevektorer A.3.3 Höger och västeregevektorer Vektor v i (A.3.) är e högeregevektor till matrise A. Eftersom de kvadratiska matrise A äve måste ha egevärde och (höger)egevektorer, fis det egevärde λ och egevektorer w så att A w λw, eller om vi traspoerar västra och högra ledet w A w λ w ( λi A) 0 (A.3.6) Här är w e västeregevektor till matrise A. Äve här krävs att matrise ( λi A ) är iverterbar och vi får samma karakteristiska ekvatio som (A.3.3) och därmed samma lösig för egevärdea. Egevektorera är i allmähet dock olika. Av ovaståede föler äve att A och A har samma egevärde. Av det faktum att ( λi A ) är sigulär föler att det ite fis etydiga lösigar för egevektorera v och w. Ett sätt att fia uika lösigar är att ormera dem så att w w v v (A.3.7) Ett aat sätt är att väla ett värde olika oll för ett elemet i egevektorera. Därefter har ekvatiossysteme (A.3.2) och (A.3.6) etydiga lösigar för giva egevärde. A. Grudläggade matristeori A 23 A.3.4 Positivt defiita matriser E symmetrisk reell matris A A är positivt defiit om x Ax > 0, x 0 (A.3.8) Om likhet tillåts (dvs x Ax 0), sägs matrise vara positivt semidefiit. Ett aat sätt att age att e matris är positivt semidefiit är att skriva A 0 (obs ite fet olla) eller A 0. Aalogt beteckar x Ax < 0, A 0 och A 0 egativt semidefiita matriser. Eftersom (A.3.) ger v Av λv v, och (A.3.8) gäller för godtyckliga x om A är positivt defiit, måste alla egevärde för e positivt defiit matris vara positiva, dvs det( λi A ) 0 λ > 0 (A.3.9) Detta är också ett tillräckligt villkor för att e matris skall vara positivt defiit. E positivt semidefiit har ågot egevärde lika med oll. A. Grudläggade matristeori A 24

7 A.3.4 Positivt defiita matriser Vid utvecklige av determiatuttrycket (A.3.3) kommer de kostata terme, som ite iehåller ågo potes av λ, att vara lika med det A (se t.ex. (A.3.4)). Av detta föler att det A > 0 (A.3.0) är ett ödvädigt villkor för att alla egevärde skall vara positiva, och matrise därmed positivt defiit. Vidare förhidrar ite kravet x 0 i (A.3.8) att eskilda elemet x i 0 (me alla får ite vara oll samtidigt). Av detta föler att vare udermatris A, som erhålles geom att ii stryka rad i och kolo i frå A, måste vara positivt defiit, och därmed också det A > 0 ii (A.3.) Detta ka föras vidare geom att stryka e rad och motsvarade kolo frå A, osv. ii Det är dock tillräckligt att kotrollera att alla ledade kvadratiska udermatriser har positiva determiater (Sylvesters kriterium), dvs att (obs att A skall vara symmetrisk) a a2 a3 a a2 a > 0, > 0, a2 a22 a23 > 0,, det A > 0 (A.3.2) a2 a22 a a a A.3 Egevärde och egevektorer A 25 A.4 Räkeregler för sammasatta uttryck A.4. Additio + + ( + ) + + ( + ) A B B A (kommutatioslage) (A.4.) A B C A B C (associatioslage) (A.4.2) A.4.2 Multiplikatio ( AB) C A( BC ) (associatioslage) (A.4.3) ( A+ B) C AC+ BC (distributioslage) (A.4.4a) AB ( + C) AB+ AC (distributioslage) (A.4.4b) IA A, AI A (A.4.5) OBS. Samma lagar gäller vid multiplikatio med skalärer så läge matrisoperatioera är dimesiosriktiga. Detta gäller äve adra matrisoperatioer som föler. Märk i syerhet AB BA i allmähet AB AC ka gälla äve om B C AB 0 ka gälla äve om A 0 och B 0 Reglertekik II illstådsmetoder (4930) A 26 A.4 Sammasatta uttryck A.4 Sammasatta uttryck A.4.3 raspoerig ( A ) A, ( A+ B) A + B, E kvadratisk matris A är symmetrisk om A.4.4 Matrisiverterig ( AB) B A (A.4.6, 7, 8) A A, ortogoal om A A AA I. ( ) A A, ( A ) ( A ) (A.4.9, 0) ( A+ B) A + B, ( AB) B A (A.4., 2) ( A+ BDC) A A B( CA B+ D ) CA (matrisiversioslemmat) (A.4.3) Uttrycke ova förutsätter att matrisiversera existerar (dvs matrisera är kvadratiska och har e determiat olik oll). A.4.5 Spåret av e matris tr sa s tr A, tr A tr A (A.4.4, 5) tr ( A+ B) tr A+ tr B, tr AB tr BA (A.4.6, 7) A. Grudläggade matristeori A 27 A.4.6 Determiater rag A det sa s det A, det A det A, det AB det A det B (A.4.8, 9, 20) A.4.7 Blockmatriser AB A C CD B D A A2 B B2 AB + A2B2 AB2 + A2B22 A 2 A22 B2 B22 A2B + A22B2 A2B2 + A22B22 A B A + A BX CA A BX A B, A X C D X CA X C D A B Y Y BD C D D CY D + D CY BD, A B D Y C D X D CA B om A exist., (A.4.2) (A.4.22) (A.4.23, 24) (A.4.25, 26) Y A BD C om D exist. (A.4.27, 28) A. Grudläggade matristeori A 28