Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Här preseters förslg på lösigr oc tips till måg uppgifter i läroboke Mtemtik 000 kurs C Komvu som vi opps kommer tt vr till jälp är du rbetr dig frmåt i kurse. Vi r vlt tt ite gör lösigr till de övigr som fis i Kpiteltest, i Arbet ut räkre oc i Bldde övigr i de utgåv. Beöver du jälp med dess ör du v dig till di lärre. I de fll där lösigsförslg fis i boke ävisr vi i de flest fll till dess lösigr. Om du ite förstår vår eller bokes resoemg oc lösigr skll du ite tvek tt t kotkt med di lärre. Smm sk om du vill diskuter di lösig eller om du tycker tt di lösig är bättre. Det är är först versioe v lösigr till de bok så det k fis felräkigr ismug som vi ite ittt. Vi är tcksmm för sypukter som jälper oss tt förbättr vårt mteril. Med välig älsigr Mtemtiklärr på Ntioellt cetrum för fleibelt lärde Kpitel. Om uppgifter i dett kpitel käs svår bör du kotkt di lärre. Du beöver kske lite repetitiosmteril frå tidigre mttekurser för tt bli lite vrm i kläder. 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 p() = p() = = 6 = p() = p() = = 6 p() = p() = = 0 = 6 d) se fcit 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 s(t) = 0 t t s(6) = 0 6 6 6 = 0 7 = 6 s(t) = 0 t t s(0) = 0 0 0 0 = 0 s(t) = 0 t t s( ) = 0 ( ) ( ) ( ) = 0 + 8 = d) s(t) = 0 t t s(0,) = 0 0, 0, 0, = 0 0, = 7, 06 N(p) = 000 0p N(70) = 000 0 70 = 000 00 = 600 Om biljette kostr 70 kr kommer 600 åskådre. 07 y (,) är bsketbolles öjd över golvet, m frå utkstet. y(, 0) är bsketbolles öjd över golvet,0 m frå utkstet. y(,) y(,0) är lltså skillde i öjd över golvet är bolle rört sig frå,0 m till, m frå utkstet. y(,) y(,0) =, +,, 0,, (, +,,0 0,,0 ) =,, 0,,,,0 + 0,,0 = 0,7 08, 09 Se fcit oc uppgift 07. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0,,, Eempel som löses i boke., Ledig: Hur måg y blir det? Ledig: -termer k br läggs iop med dr -termer, kostttermer ( re tl) k br läggs iop med dr kostttermer. Ledig: Se -uppgifte. d) Ledig: t -termer k br läggs iop med dr t -termer, t-termer k br läggs iop med dr t-termer. 6 Se uppgift oc fcit. 7, 8 Se uppgift 0, oc fcit. 9 + = + = ( + ) 9 = = ( ) 6 + = + = ( + ) d) Se fcit 0 + = + = ( + ) Se löst eempel oc fcit Se fcit 0 = 6 6 = 6 ( ) Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. ( +)( +) = + + +6 = + +6 ( )( +) = + 0 = 0 (y 6)(y 7) = y 7y 6y + = y y + d) (y +)(7y ) = y y +y = y +y ( +)( ) = 6 (y 9)(y +9) = y 8 ( )( +) = () = 6 d) (0 6y)(0 +6y) = 0 (6y) = 00 6y Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 ( +8) = +6 +8 = +6 +6 (y 9) = y 8y +9 = y 8y +8 ( +) = () + + = 9 + +6 d) ( y) = 0y +(y) = 0y +6y 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 +( +)( ) = + + 6 = + 6 (y +7)(y 7) +0 = y 7 +0 = y + ( 6) = ( +6) = + 6 = 6 9 ( +) (6 +9) = (är står eg. (+6 ) = +6 +9 6 9 = ( +6)( 6) 6 = 6 6 = 7 0 ( +7)( 7) = 0 ( 9) = 99 0 ( +) = ( + + ) = +6 + = 6 + ( +) ( +) ( = ( + + ) + = +0 ( +) 7( +) ( 7 ) = + 7( + + ) +7 = 7 (y+) (y ) = y +0y+ (y 0y+) = y +0y+ y +0y = 0y (+) (+)( ) = () +.. + ( () ) = ( ) ++ t(t t ) t (t )+t = t 0t t ( t t )+t = 6t 7t t Eempel som löses i boke. ( + ) = + + = + = = ( ) = ( 0) + = 6 8 0 8= 0 = =, ( + )( ) ( 6) = 8 + 6= 8 = 8 = d) (+ )( ) = ( + )( ) ( 6+ ) = ( 6) + + = 8 = = 0,, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 ( ) = ( )( + ) = + + 8 8 = 6 + 8 ( +) = ( +)( + + ) = + + + + + = + + + 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 V( q) = 90 q T( q) = 90q 800 q+ 0,q = 0,q + 7q 800 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,, Eempel som löses i boke. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = 8 =± 8 = 9 = 9 = =± = = t = 7 t = 6 t =± 6 t = 6 t = 6 d) ( y ) = 6 y =± 6 =± 8 y = 8+ = y = 8+ = ( + ) = 0 st om tige = 0 eller om + = 0 dvs. = ( 8) = 0 tige = 0 dvs. = 0 eller 8 = 0 dvs. = 8 ( ) = 0 tige = 0 eller = 0 dvs. = d) + = ( + ) = 0 tige = 0 eller + = 0 dvs. = 6 = 8 8 = 0 ( ) = 0 Atige = 0 dvs. = 0 eller = 0 dvs. = 8 = ( Om A = B så är B = A dvs. ) = 8 8 = ( ) = 0 Atige = 0 dvs. = 0 eller = 0 dvs. = ( +)( ) = 0 tige + = 0 dvs. = eller = 0 dvs. = d) ( )( +) = 0 tige = 0 dvs. = eller + = 0 dvs. = 7 + = 0 = ± = ± = = + 8 9= 0 = ± ( ) + 9 = ± = = 9 y y = 0 9 6 y = ± + = ± y = y = d) t + t+ = 0 t =, ± 6, =, ±, t = t = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8, oc Se fcit oc de löst eemple uppgifter. Kotkt di lärre om du beöver jälp. y y + = 0 y y+ = 0 y = + ± ( ) = ±. Eftersom tlet uder rottecket är egtivt så skr ekvtioe reell lösigr. 9 Se fcit, löst uppgifter oc löst eempel. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0, +0 7000 = 0 (Mult. överllt med ) +0 000 = 0 = ± (6 + 000) = ± = 00,de egtiv rote måste m turligtvis förkst dvs.00 fjädrr k producers för 000 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke. +6 0 = 0. Sätt = t. Det medför tt vi får följde ekv. t +6t 0 = 0 t = ± (9 + 0) = ± 9 = ± 7 dvs. Atige är t = som betyder tt = eller tt t = 0 som betyder tt = 0.Dett är dock omöjligt ty = = ± 6 0 +9 = 0. Sätt tt = t, det medför tt t 0t +9 = 0 t = ± ( 9) = ± 0 lltid t = 9 dvs. = = 9 ger, t = dvs. = ger = = = 7 8 = 0 = t ger t = ± (+ 8) = ± dvs. t = ger = = t = förksts = 0 med = t så t t = 0 t = ± (+ ) = ± t = ger = = t = förksts NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 ( ) ( ) = 0 med = t så får vi t t = 0 t = ± ( + ) = ± t = 6 dvs = = 9 som ger = t = dvs = förksts 9 ( + ) 6( + ) +6 = 0 + = 8 ± (6 6) = 8 ± medför tt = ± = oc = ( +) ( +) + = 0 med + = t så får vi t t + = 0 t = ± ( 6 ) = ± t = 9 medför tt = dvs. =, t = 6 medför tt = dvs. = = = 60 = (kvdrerig på båd sidor ger) = ( + ) + = 9 = 7 = (kvdrerig ger) ( ) = = 9 med smm förfrde = 0 = me om m prövr de är lösige i ursprugsekvtioe så iser m tt dett är e flsk rot dvs ekv. skr lösig d) ( + ) = (kvdrerig ger) + = 9 = 8 = 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 + = 0 Subst. = t medför t t+ = 0 t = 7 ± (9 ) = 7 ±, 0 t = 7+ ger, t = 7, 0 ger,8,8 6 = 0 Subst. = t medför t 6t = 0 t = ± (9+ ) = ± 0 = ± (+ 0) ±, 8 ( t = 0 ger ig reell rötter) y 0-6 - - 0 6 - - E skärigspukt iebär e rot. Kurvor som är ritde är y = ( ) oc y = obs! ( vdsomelst) 0 lltid y 0-6 - - 0 6 - - Här r vi två skärigspukter dvs. två rötter ämlige = oc =7 6 Se lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6, 66 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 67 Se lösigsförslg i fcit. 68 Eempel som löses i boke. 69 p ( ) = 0 ger ekv. + ( 9) = 0 som r lösige tige så är = 0 (som ju är de e rote direkt ut vidrerbete) eller så är +9 = 0 dvs. = 9 p ( ) = 0 ger ekv. ( )( + 7) = 0 ger tige = 0 dvs. = eller + 7= 0 dvs. = 7 70 Nollställe, p( ) = 0, då = oc då = 0 Nollställe för = 0 oc för = 7 f( ) = ( )( 7) 7 Vi söker ollställe till 0+ 6 = 0 = ± ( 6) = ± = 8 = ger fktor 8 ger fktor oc eftersom de kostt fktor frmför - terme är så får vi p ( ) = ( 8)( ) Vi söker ollställe till + 6= 0 = ± = ± = ger fktor = ger fktor oc eftersom de kostt fktor frmför - terme är så får vi g ( ) = ( )( ) 7 y-el skärs då = 0 som istt ger p = (0+)(0+) = 0 dvs i pukte (0; 0) -el skärs då p = 0 som istt ger ekv, ( + )( + ) = 0 vilke r rötter = oc = dvs i pukter ( ; 0) oc ( ; 0) = 0 ger p = 6(0 )(0 9) = 08 dvs skär y-el i (0; 08) p = 0 ger 6( )( 9) vilke r rötter = oc = 9 dvs skär -el i pukter (; 0) oc (9; 0) 7 6 9 7 = 0 = 0 = ± ( + ) = ± 7 7 96 96 = motsvrr fktor = motsvrr fktor 7 + Kostt fktor 7 är dock kvr i fuktioe 7 äve om de dels bort vid ekvtioslösige. Dett ger ( ) = 7( )( + ) 7 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 z + z+ = 0 z = 0 z = ± ( + ) = ± 6 6 6 6 6 z = motsvrr fktor z z = motsvrr fktor z + Kostt fktor är dock kvr i fuktioe äve om de dels bort vid ekvtioslösige. Dett ger p ( ) = ( z )( z+ ) 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 76 p ( ) = 9= ( 9) = ( + )( ) (kojugtregel) f( t) = t t = (t t+ ) = (t+ ) (kvdrerigsreg.) 77 Givet : p() = k( +)( ), pg. ollställe där k är e kostt som återstår tt bestämm. Me p(0) = 8 medför tt k(0+)(0 ) = 8 dvs 6k = 8 vilket ger k = oc vi får p() = ( +)( ) 78 f( ) = ( + 0)( 0) eller g( ) = ( 0)( + 0) 79 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 80 Se lösigsförslg i fcit. 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 Nämre = 0 då 9 = 0 dvs då = 9 Bråkuttryck är ite defiierde om ämre = 0 som de ju är är för = 9 0 För z + = 0 dvs då z = 7 För z = 7 06 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 07 Då +8 = 0 dvs för = + 8 är lltid 0 : j till oc med 8 vrför uttrycket är defiierde för ll Då z = 0 dvs för z = ± d) Då t = 0 dvs för t = ± NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 08 u ( ) = 7+ medför tt u () = 7 + = u( ) 7 + = + 7 + medför tt ( ) u = = = + 09 8 8 6 f( ) = medför tt f () = = = 9 7y + 9 g( y) = medför tt g() = 7 + 9 = = y 0 G ( ) = G() = medför tt G (0) = 0 = 00 G ( ) = medför tt 0 00 G (0) = = = 0 0 R( ) = + 8 medför tt R () = + 8 = 6 R ( ) = + 8 + 8 6 medför tt R() = = = 0,6 0 + 9 G() = = + 7 + 6 G() = = = + 7 7 7 + 9 9 G() = = 6 0 9 d) G() = = = 9 6 6 6 6 u = = = 8 värde sks ty ämre = 0 ( ) + 7 u = u = = = d) värde sks Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 800, 00 000 6 066,667 7 8,7 8 0 9 7, st. 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 600 600 G(00) G(00) = + + 0, 00 0, 00 = 00 00 Dvs de miskr med kr per eet. 8, 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0,,, Eempel som löses i boke. Se fcit 6 = z z = 7 = 9 7 t t d) = 0 6 6 = = 8 b = b 7 y y d) = 7 = b b y y = 8 ( + ) = + ( + ) = + 9, 0 Se lösigsförslg i fcit. + = ( + )( ) ( + ) = ( + )( ) k ej förkorts ty täljre k ite fktorisers d) b b = ( b b, Se fcit 7 = 7 9 = 7 y y = 7 d) 70 = = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 y y = 6 y 8y = 6y 8y y 6y y = 6y 8y d) y y 8y 7 y = = 8y 8y 6, 7 Eempel som löses i boke. 8 ( + )( ) = + ( + ) + = + ( + )( ) = ( + ) d) ( ) = 9 ( + )( ) + = ( ) ( + )( ) = ( + ) ( + )( ) = + ( ) d) = 8( ) ( ) 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. ( + / ) 8 + 9 = = = ( / ) 6 y ( ) 8 9y = y ( + ) + y Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. ( ) + ( ) 6 ( 8) = 8 ( + )( ) = ( + ) ( 7) = ( 7) d) ( y ) = ( y+ )( y ) y+ NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 ( ) ( ) = = ( ) ( )( y ) = = y ( ) ( ) ( b = = b ( ) d) ( )( 97q) = = 97q ( ) 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 9, 0 Se lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke. + + 0 7 6 = = 90 90 7 = d) + 7 = = 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Mult. överllt med 6 ger + = = = z = z z = y y = 6 y = 0 d) Mult. överllt med t ger + t = t t = 0 t = 0 6 Mult med överllt oc förkort. Det ger (y ) (9 y) = 0 9y 6 + 8y = 0 7y = y = ( ) (9 y ) 9 6 + 8 7 y = = 7 Mult. med överllt ger ( s ) + (s 7) (s ) = 0 s + 6s 8s+ = 0 s = ( s ) + ( s 7) ( s ) s + 6 s 8 s + = = s 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 9 9000 + 0 + = 96 Mult. överllt med 0 0 70000 + 00+ = 880 680+ 70000 = ± = ± 80 (80 70000) 80 660 Atige tillverks det 80 eller 00 eeter 60 Se lösigsförslg i fcit. 6 Eempel som löses i boke. 6 6 = (mult. med överllt) Ige ämre får vr 0 så om vi i de uppgift får resulttet = 0 så måste dett svr förksts 6 = + 6= 0 7 = ± ( + ) = ± = = 6 Förutsättig: får ite vr 0. 7 = 7 = 0 88 7 = ± ( + ) = ± = 9 = 8 9 + = Mult överllt med oc förkort (äve är måste 0). I just det är fllet med ett bråkuttryck på vrje sid så kllr m det också för korsvis multipliktio. ( 9) = ( + ) = 0 = 6 ± (6 + ) = 6 ± = 6+ = 6 d) 0, 0,8 =, 0 0 ( + 0, ) = 60, + = 0 = 0, ± (906,0 ) = 0,± 9,9 = 60 = 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 6 + = + + Här k m turligtvis gör som i tidigre uppgifter dvs multiplicer. överllt med + oc förkort me istället gör vi u såär ( ) 6 6 = + + + = 6 = ( +) (Korsvis mult ty = ) = = 6 t + = + t t t = t ( t ) = vilket ldrig är st dvs ekv skr lösig Att förkortige till är ok beror på förutsättige t z 8 + = z+ 6 z+ 6 z 8 = z + 6 z 8 = (z +6) z 8 = z 6 z = z = d) s + 7 6 = s s s + 7 6 = s 6 = som ldrig är st dvs ekv skr lösig 6 6 + =, y 0 y y y + y 6= 0 y = ± + = ± y = y = y 0 =, y 0 y y yy ( ) = 0 y y 0= 0 9 0 7 y = ± + = ± y = y = 6, 66, 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 68, 69 Eempel som löses i boke. 70 0 = 9 7 6 = = = 8 = = 8 0 d) = = 7 = = 6 6 = = 7 z z z = = 9z 0 76 y = = y y y d) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 8 7 = 6 = = = d) 6 = = 6 7 7 8 = = 6 = = 9 8 8 = d) = z z 7 y = = 6 y ( + y ) = = 6 ( + y) b b b c c = 6c d) = ( + ( + ( + 7 b = = 8 b 7 7 7 y y y = = y 6 ( + ) 0 = = ( + ) d) ( 7) = = 6 ( 7) 76 = ( + ) + = 7 = d) = 77 y y b b = = y y = d) b = b 78 d) ( ) b b b b = = b ( + ( + b +b ( ) y y y = = y ( + )( ) ( + ) + ( ) = = ( + )( ) + + y ( y)( y) ( y)( y)( y) ( y) y + = + = = + y ( y) ( + y) ( y) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 79 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 80, 8 Se lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 0 f () = 6. = f (0) = 6. 0 = f ( ) = 6. ( ) = d) f ( = 6 g () = +. = 0 g (0) = 0 +. 0 = 0 g ( ) = ( ) +. ( ) = d) g ( = b + b 0 f ( + ) =. ( + ) = + = + f ( + ) =. ( + ) = + 06 g ( ) = ( ) = + = + g ( + ) = ( + ) = + + = + + 07 f ( ) = ( ) = + = f ( ) ( ) = = + = 08 d) f (0) = 0 0 + = f () = + = f ( + ) = ( + ) ( + ) + = + + + = + + f( + ) = ( + ) ( + ) + = + + + 09 Se lösigsförslg i fcit. 0 f ( ) = ( ) = = f ( ) = ( ) = ( f ) ( ) ( ) = = 9 d) f( /) = ( /) = / Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. = 8 = 9 =± 9 =± Då = så är fuktiosvärdet (y-värdet) = 0 För = 0 oc = så är y-värdet = Då = 6 är f () = d) För = oc = smt = så är y-värdet = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00,
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. f ( + = ( + = + b f ( + f ( = + b = + b 0 f ( f ( = ( ) (. ) = 6 6 + = 0 d) (f () f ( ) = ( ) ( ) = 0 + + = 0 +0 6 Se lösigsförslg i fcit. 7 ( ) () ( ) ( ) ( ) f + f + + + + = = + + + + ( + 7) = = + 7 6 6 8 f( + ) f( ) ( ) ( ) + + + ( + ) = = + + + + ( + + ) = = + + f ( ) = ( ) = = d) f ( ) = ( ) = ( + ) = 8+ = 7 f ( ) = = ( ) f( + ) f( ) + ( ) ( + + ) ( ) = = = + ( ) = = 9 Se fcit 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,, Se lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. ( ) + k = = = = ( ) + 6 k = = ( ) k = = 0 7 d) Nämre = 0 medför tt k-värde sks NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 y ( ) = ( ) y+ = ( ) y ( ) = ( ) y+ = ( ) 7, 8 Se fcit 9, 0,, Se bokes ledig. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. y = ( +) + medför tt y = för = 0 oc för = dvs symmetrilije är mitt emell =, y = 0( ) + ger = 0 + = 6 y = ( 6) + dvs mi för = y = ( 8) + dvs m för = 7 6 + = 0 = ± (9 ) = ± dvs i pukter (; 0) oc (; 0) 0 + = 0 0 + = 0 = ± ( ) = ± dvs i pukter (7; 0) oc (; 0) + 6 = 0 + = 0 8 = ± ( + ) = ± d) + = 0 + = 0 9 6 = ± ( + ) = ± dvs i pukter (; 0) oc ( ; 0) dvs i pukter (; 0) oc ( ; 0) 8 Symmetrilije = ger y = 6. + = mipukte är (; ) Symmetrilije = ger y = ( ) 6( ) = mpukte är ( ; ) Symmetrilije = ger y = ( ) + 0( ) + = mipukte är ( ; ) d) Symmetrilije = ger y =. +. = 0 mpukte är (; 0) 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke.. 0 80 = 80 = 60 80 0 = 80 = 80 80 = 80 = 0 0 Se fcit d) 80 80 80 = = = 0 0 = = = 0, 8 = = = 0, = = =, d) 0 6 = = = 0, 06 06 ( ) 7 7+ 7 = = = ( ) + 7 = = = 6 i( ) ( ) = = ( ) i( ) d) ( ) = = 07 + 6 6 6 6 = = 8 ( ) = = i 9 + 9 7 7 7 7 = = 7 d) 9 9 ( 7) + 7 = 9 = 9 = 9 7 08 9 = = = = = = 7 6 d) = = = = = 7 7 09 i = 9 8 y = 6 i i y 0 0+ 0 8 7 = 7 ( ) 7 = 7 0+ 0 8 000 00 00 00 + + 7 = 7 d) 7 = 7 0 00 60 0 Se bokes ledig. ( ) ( ) + + = + + + NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = ( ) d) + = ( + ) Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. + + = = + = = = + + = = + d) + = = = + 6 6 Med detär mer vi tt vlig divisio oc div. med poteslge sk stämm överes E. med vlig div. så är = ty täljre oc ämre lik stor 0 Med poteslge så är = = 7, 8 Se lösigsförslg i fcit. 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 Se lösigsförslg i fcit. 0 0 = = vilket betyder tt = eftersom svret blev det dr tlet + ( ) 0 = = = som ju är lik med el. Me då måste = oc = för tt vlig divisio sk stämm,, Eempel som löses i boke. 6 7 = 00 = 0 = = d) 0,0 = 0, + 8 = 000 = 0 = = d) 0,008 = 0, 6 6 6 = 6 = = = d) = = 7 9 6 6 9 6 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 9 0 = = = = 9 0 00 9 00 = = d) = = 8 0 000 8 000 6 6 6 = ( ) ( ) 7 = = 9 = d) ( ) ( ) ( ) = = 8 = = ( 8) ( ) 9 = = 7 d) = = 8 ( 7 ) = =, Se fcit Se bokes ledig. = 7 = 7 ( ) = 7,9 ( ) = =± =± där de pos. rote är =,90 9 9 9 9 9 ( ) =, =, =,, 0 0 0 0 0 0 d) ( ) = 00 =± 00 =± 00 där de pos. rote är 0 = 00,8 d) 8 8 = 8 =± 8 8 =± 8 som ger svret = = = =, 0 7 7 7 = 0, = 0, = 0, 0,8 = 8 8,0 = = =,7 =,7 =,7, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 Iverterde värdet till är 7 7 Iverterde värdet till 0, 0, = är 0, 7 d) 8 9 d) = 8 = 8 = 6 = = = = 8 = = + = = 8 + = 7 = = = =,9,9 = 9, = 9, 6,,,, 6,7 6,7,6 = 6,7 = =,, 6, 6 = =, 06 6 6 6 00 = 00 = =,6 7 7 = 0 = 0 90 0, 0, 0, 0, 6 = = 6 = = = 0,0 0, 6 6 0, 0 m = 0 me 0, = = dvs 0, m, = 0 m= 0, 0π 0 π m = 0π m = m= Se lösigsförslg i fcit. 7 = 7 6 = = = = d) = = 0 00 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se lösigsförslg i fcit. = = = = ( ) = = = 9 6 6 6 6 6 = = 8 = 8 8 6 ( ) 6 = = = 8 d) 6 = 6 6 8 8 = + + = ty om A=B så är B=A ( ) ( ) 8 8 ( ) + =± =± då det u frågs efter de positiv lösige så blir de =+ 8 0,09 = = = = 6 7 =, 0 =, 0, dvs skärigspukt : (,;,0) 8 = = + = ( +) S S S = B + + = + = 00 00 B 00 B S S = = 00 00 B B 9, 0 Se lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke. y = 7, 0, 0, 7 6 6 6 = 7,9 = = 0,9 7,9 7,9 0 0 0 L= L = d) 0 =,06 de förädrigsfktor iebär tt de årlig ökige vrit c.,6% NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se bokes ledig. 6 K K = där är förädrigsfktor oc K kros köpkrft = = 0,9, vvikelse frå,00 iebär e årlig miskig med c. % 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 6 6 6 0000 = 000 =,6 =,6,08 där är ädrigsfktor vrför de årlig rät blir c. 8% 9 6000 = 000 = = 0,6 9 9 e miskig med c. 6% 60 6 s = där s är sid i cm π r s = 6,08 cm = där r är klotets rdie i cm r = r =,7,77 π π 0,9 y y 0 y = c = = = 0,0 A c c 0 6 P(0) = 0, 0768(80 0),8 = 0, 0768(0),8 88poäg ( ),8 000 = 0, 0768(80 t) 80 t = 0, 0768,8 000,8,8 000 000 80 t = t = 80 09 0,0768 0,0768 sekuder 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 8 8 700 = 0000 = =,07 dvs. påståedet stämmer då ju rät är är c.,7% 8 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 66 y = 8,9 0,8 st 0,8 0,8 0,8 00 00 8,9 00 8,9 8,9 06 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel dvs re bör överstig 000 km Se fcit 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0, 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 8 = 6 = = = 9 = 7 7 = 7 = = 06, 07 Se fcit 08 0 0 0 d) 0 = = = lg 0 0 lg 0, 699 = = = lg 0 0 lg, = = = lg000 000 0 0 lg 000, 699 = = = lg0,0 0, 0 0 0 lg 0, 0,7 09 lg 0, = lg0 = lg0 = = lg 0,00 = lg0 = lg0 = = 0, Se fcit Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,,, Eempel som löses i boke. 6 Se fcit 7 8 lg8 = 8 lg = lg8 lg= lg8 = lg lg = lg = lg lg = lg = lg 0 lg = lg 0 lg lg = lg lg = lg = lg = lg 6 + lg lg = lg 6 = 0 = ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 9.08 =,08 = lg,08 = lg lg lg, 08 = lg = 0, 0 lg,08 9 9 8 0,6 = 8 0,6 = lg 0,6 = lg 9 lg =, 79 lg 0,6 0 0 = 0 = lg = lg 0 lg 0 lg = lg = 0, lg d) 0 0 = = = 67 67 0 lg 0 67 0,6 lg 0, = lg =,6 67 0,6 lg 0, 0,6 0,6 0,6 67 0, 0 0, lg 0, lg 0 Se fcit lg = lg + lg lg = lg + lg ( ) lg = lg 9 + lg 8 lg = lg 9 8 = 7 lg = lg 0 lg = lg 0 lg0 0 lg = lg 0 lg0 lg = lg = 0, 0 000, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,0 0 0,0 = 0,0 = (div. tillåte ty.0 0 för ll ),0 0,0,0,0 lg = lg = lg,0,0 lg lg,0 = =,0 lg,0 Se bokes ledig. 6, 7 Se lösigsförslg i fcit. 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 9, 0 Eempel som löses i boke., Se fcit,, Se lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit 7 Se lösigsförslg i fcit. 8, 9 Eempel som löses i boke. 0,,, Se fcit,, 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 7 Se lösigsförslg i fcit. 8 Eempel som löses i boke. 9 Se lösigsförslg i fcit. 0 t N = N0 där N0 är mägde frå börj oc N är mägde efter tide t, är förädrigsfktor Hlverigstide 8,0 dyg medför tt 8,0 8,0 0.N0 8,0 8 0,N0 = N 0 = = 0, = 0, N 0 0, 0N0 = N 0 0, 0, = 0, 0 t t 8 ( ) 6 8 lg0, = lg0,0 lg0,= lg0 t = = dyg 8 lg0, lg0, mo u vet vi förädrigsfktor vrför ( ) 8 8 0, 0, = 0, = 0, (se uppg. ov) t t 0, 0, t 0, = 0,0 lg 0, = lg 0,0 ilg 0, = Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0, t 60, t = 00 år lg 0, t,8,8,8 0 = 0 = 0, = 0,,8 p () = 0 0, 67 P p = 0 0,,8,8 0 0,,8 0,,8 lg 0, lg 0 0 0 = = = 0 0 0,8 lg 0 0 lg 0, = lg =, 7 km,8 0 lg 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Pg lverigstide så blir förädrigsfktor 0,7 0 0, då får vi ekv. t t 0 0,7 0,7 0 0000 0000 = 088 0, lg 0, = lg 088 0 0000,7 0 lg t 0000 088 lg 0, = lg t =,9 0 0,7 0 088 lg 0, 9 år, 6 Se lösigsförslg i fcit. 7, 8 Se bokes ledig. 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 60, 6 Se lösigsförslg i fcit. 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se lösigsförslg i fcit. 6 Pukter är (; ) oc (0; ) vrv de sere pukte medför tt m = då r vi tt y = k+ givet oc med (; )istoppt för (; y) så får vi = k. + dvs k = som ger y = + 6 Nollställe vläser vi till oc :e pukte (0; ) istt för (; y) så får vi + som medför tt y k( )( ) ( )( ) ( )( ) = k 0+ 0 k = k = y = + = + med de 66 Se lösigsförslg i fcit. 67 Vi vläser pukter till (; ) oc (; ) som ger k = = = Vi vet då tt y = +m som med ågo v dom två giv pukter istt säg te e (; ) 6 9 = + m m= + = som ger svret 9 y = +. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 68 Kurv följer regel y = C. Vi vläser pukter till (; 00) oc (; 0) som ger ekvtiossystemet = C = C 00 () 0 () 00 frå () så får vi tt C = 00 0 som i () ger 0 = = = 0, = 0, 00 som återistt i () ger C 0, = 00 C = 00 y = 00 0, 69 Se lösigsförslg i fcit. 70 Adrgrdskurv tgerr i pukte (0 ;) dvs r ett dubbelt ollställe där Då vet vi tt = ( ) y C = C 0 C = y = 6 6 7 Se lösigsförslg i fcit. med pukte (0; ) istt där så k vi bestämm C ( ) ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 Löeökig per måd: 00 kr Förädrig i årslö = 00 kr = 800 kr OBS! Fel i fcit Sktteöjig per måd: 76 kr 76 kr = 00 kr Förädrig i sktt per år y = 00 kr = 00 kr 0 s = 0 m s = s s = 0 m s = 0 m s = 0 m s = s s = 0 m s = 70 m 0 s = m s = s s = m s = 0 m s = m s = s s = 0 m s = m 06 Förädrige K = K(7) K() (00 7 7 ) (00 ) 0 9 7 K = + + + + = + = Svr: Kostde ökr 000 kr. 07 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 08, 09, 0 Eempel som löses i boke. =.0 0.0 =.00 y = 8 8 = y = = 6 Löeökig per måd: = 7000 kr 670 kr = 60 kr Sktteöjig per måd: y = 080 kr 980 kr = 00 kr y 00 = 0,8 = 8% 60 = 0 8 = y = 6 = 0 y 0 = = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel y ( ) C C/ = = ( 8) De geomsittlig temperturöjigstkte mell kl 8 oc kl vr C/. Eftersom det stå per år skll m del med tide i år räkt y (899000 70000) persoer = = 790 persoer/år (000 90) år y (899000 88000) persoer = = 800 persoer/år (000 990) år OBS! Fel i fcit 6 y (708 ) persoer = = 87 persoer/veck 80 persoer/veck ( ) veckor y (998 ) persoer = 00 persoer/veck (8 0) veckor 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 s (0 0) m = 6,7 m/s t (,0,0) s 9 0 p = p(00) p(00) = (00 00 0,6 00 ) (00 00 0,6 00 ) = 600 Dett är de totl beräkde vistädrige om m ökr tillverkige frå 00 eeter till 00 eeter. q = 00 00 = 00 p 600 = = 6 q 00 Dett är geomsittlig vistädrige per eet om m ökr tillverkige frå 00 eeter till 00 eeter. y 7 = m/s = 0 m/s, Rkete stiger med e stiget v 0 m/s y 0 80 = m/s = 0 m/s, Rkete fller med e stiget v 0 m/s 8 N(,0) N(,) 00 +,6,0 00,6,,6(,0, ) = = =, 0, 0, 0, N(,0) = 00 + 0,0 +,0 = 00 + 00 + 60 N(,) = 00 + 0, +, = 00 + 7 +,7 N(,0) N(,) 00 + 60 7,7 = = 0, 00, 0, 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel f() t = t 6t+ 0 f (0) = 0 f () 6 0 60 = + = f() f(0) 60 0 = = 0 0 f() t = t 6t+ 0 f f () = 6 + 0 = (6) = 6 6 6 + 0 = 00 f(6) f() 00 = = 7 6,, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. 7 Eempel som löses i boke. 8 f() f(0) = = 0, 0 f(0) f(6) = = 0,7 0 6 f(6) f() = = d) 6 f() f(0) = = 0 9 0 Se fcit. f( ) = f f = = () = = () f() f() = = f() f() = = 6 f(0, ) f(0, ) = = 0,6 0, 0, 0, Svr: Medellutige är störst i itervllet 0, < > 0, f() f() 8 f( ) = = = = f() f() f( ) = = = = 8 6 f(6) f() 6 + 6 6 + 6 = = 6 6 f() f( ) + 6 + ( ) 6 ( ) = = ( ) Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel ( ) 9 9 6 9 (6 ) + + + + k = = = = 6 + + Beräk vd uttrycket 6 + blir om ärmr sig 0 6 + 0 = 6 y = k+ m = 9 = 6 + m m = 9 y = 9 k = 6 Svr: De sökt ekvtioe är y = 6 9 Lös uppgifte på smm sätt som. De pukter du beöver är (-, ) oc (( +), ( +) ). Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. 6 7 6(0 ) (0 ) 0 6 (6 ) + + k = = = 0+ 0 = 6 Beräk vd uttrycket 6 blir om ärmr sig 0 6 0 = 6 y = k+ m = 0 0 = 6 0 + m m = 0 y = 0 k = 6 Svr: De sökt ekvtioe är y = 6 6( ) ( ) 8 ( ) + + k = = = + = Beräk vd uttrycket blir om ärmr sig 0 0 = y = k+ m = 8 = + m m = 6 y = 8 k = Svr: De sökt ekvtioe är y = + 6 f k = = = () f() + = f k = = = () f() + = 6 8 Se fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel f( + ) f() k = + ( ) f ( + ) = ( + ) ( + ) = + k = = f () = = går mot oll = k = Svr: Kurv r lutige i = 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 f( ) = f( + ) = ( + ) = + f( + ) f( ) + = = = f( ) = f ( + ) = ( + ) = ( + + ) = + 0 + f( + ) f( ) + 0+ (0+ ) = = = 0 + f( ) = 6 f( + ) = 6 ( + ) = 6 f( + ) f( ) 6 6+ = = = d) f( ) = + f ( + ) = ( + ) ( + ) + = + + + ( ) ( ) f + f + + + + = + ( + ) = = = + Grfe till f (t) visr ur lågt (i meter) kul rullt efter t sekuder. Kuls stiget efter t sekuder är de lutig som tgete till grfe vid motsvrde tidpukt. I de uppgift skll du lltså t red på lutige på kurv för t =, s. f( t) = t oc f( t+ ) = ( t+ ) = t + t+ f( + ) f( ) t + t+ t ( t+ ) v= = = = t+ Om t =, oc = 0 blir v =, m/s Svr: Efter, s är kuls stiget,0 m/s. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Bestäm först differeskvote Sätt därefter i =. f( ) = + f ( + ) f( ) f( + ) = ( + ) + ( + ) = + + + + f( + ) f( ) + + (+ + ) k = = = = + + Om = oc = 0 blir k = + Svr: Lutige är k = +., Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. på smm sätt som i uppgift 0. Kpitel. 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 Riktigskoefficiete för kurvs tget då = är egtiv Riktigskoefficiete för kurvs tget då = 0 är oll Riktigskoefficiete för kurvs tget då = är positiv + d) Riktigskoefficiete för kurvs tget då = 7 är egtiv Kotkt di lärre om du tycker tt det är är svårt! 0 f () = 78 betyder tt på sekuder r kroppe fllit 78 m Derivt är e förädrigstkt. f () = 0 betyder tt efter sekuder är kroppes stiget 0 m/s. 06 f (00) = 0000 betyder tt producer 00 eeter kostr 0000 kr. Derivt är e förädrigstkt. f (00) = 60 betyder tt mrgilkostde för de udrde eete är 60 kr. (produktioskostde ädrs 60 kr då m tillverkr de udrde eete). 07 f () = 60 betyder tt klock 0.00 är temperture i vrmvtteberedre 60 C. Derivt är e förädrigstkt. f () =,0 betyder tt klock.00 sjuker temperture i vrmvtteberedre med C/. 08 Se fcit. Kotkt di lärre om du tycker tt dett är svårt eller krågligt. 09, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se fcit. Kotkt di lärre om du tycker tt dett är svårt eller krågligt. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se fcit. Kotkt di lärre om du tycker tt dett är svårt eller krågligt. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Eempel som löses i boke. 7 d) f f ( ) = + () = + = 0 f f ( ) = + ( + ) = ( + ) + = + 6 + 0 f ( + ) f() = + 6+ 0 0 = + 6 f( + ) f() + 6 ( + 6) = = = + 6 8 Se fcit. ( + ) + ( + ) 6 + 8+ + + 6 + = = = + + 0 = f( + ) f( ) ( + ) + 9 f ( ) = = = = f () = f( ) = 0 är oberoede v (grfe till f( ) = 0 är e rät orisotell lije). Eftersom fuktiosvärdet ldrig ädrs (grfe lutr ite) är derivt oll. 0, Se lösigsförslg i fcit. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,, Eempel som löses i boke. 6, 7 Se ledig i fcit. 8 Se bokes ledig oc fcit. 9 Hur fort temperture ädrs mi efter tt steke tgits ur uge, dvs y (). Jämför ditt svr med fcit. Avviker ditt svr mycket räkr du om uppgifte. Blir det ite bättre då kotktr du di lärre. 0 Jämför ditt svr med fcit. Avviker ditt svr mycket räkr du om uppgifte. Blir det ite bättre då kotktr du di lärre.,,, Se fcit. Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0, 0, 0, Se fcit oc uppgift 0. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 06, 07, 08 09 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 Se fcit. f( ) = + + 7 f = + ( ) 0, + = 8+ = 0 = ± 6 = ± =, = f( ) = + 0 + 96+ f = + + ( ) 6 60 96 6 60 96 0, + + = + 0+ 6 = 0 = ± 6 = ± =, = 8 f( ) = + 7 f( + ) f( ) ( + ) + 7( + ) 7 + + 7 = = f ( ) = lim + 7+ = + 7 0 = + 7+ Ledig: y = + k ses som + + 0. Vilke fuktio ger derivt? Vilke fuktio ger derivt? Vd r derivt 0? Se lösigsförslg i fcit., 6, 7 Eempel som löses i boke. 8 Uppgifte k löss på två sätt: Altertiv ( råräkig geom tt sätt i giv värde direkt) s s(,0 + ) s(,0) s(,) s(,0) = = = t 0, + 0, 0,, 0,0,0 m/s = 9 m/s Altertiv (förekl först, därefter sätts giv värde i) s s( t+ ) s( t) 0( t+ ) ( t+ ) 0t+ t = = = 0 0t t t =,0 oc = 0, 0 0 0, m/s = 9 m/s NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Uppgifte k löss på två olik sätt: Huvudltertiv (väd deriverigsregler v= s = 0 0 t = (0 0, 0) m/s = 0 m/s Altertiv (om du vät ltertiv i -uppgifte utyttjr du resultte därifrå) s s( t+ ) s( t) = = 0 0t t t =,0 ger lim 0 0t = (0 0 ) m/s = 0 m/s 0 9 Nt ( ) = 00 + t N () t = t = 8t N = = () 8 000 0 8 f( ) = 0 + 0, f = + 7 ( ) 0 0, f = + = 7 (00000) 0 0 0, 0, yt t t t ( ) = 0, 0,0000 + 0,0 + 0 y t = t t + ( ) 0, 0,000 0,0 y () = (0, 0,000 + 0,0) C/s, C/s y (80) = (0, 80 0,000 80 + 0,0) C/s, C/s Tq ( ) = 00 + 80q 0, q T ( q) = 80 0,8q T (80) = 80 0,8 80 kr/eet = 6 kr/eet T (0) = 80 0,8 0 kr/eet = 68 kr/eet f () t = t 0,t f () t = 0,8t f () = 0,8 =,6 ökr med 600 deltgre f (6) = 0,8 6 = 0, ökr med 00 deltgre f (8) = 0,8 8 =, miskr med 00 deltgre V( ) = 0 0, 0 0000 V ( ) = 0 0,0 V ( ) = 0 0,0= 0 0,0= 0 = 00 V ( ) = 0 0, 0= 0 0, 0= 0 = 00 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel y = 0, 0008 + 0, 0+ 8,89 y = 0, 000676+ 0, 0 y (0) = 0, 000676 0 + 0, 0 = 0, 00968 År 00 ökr folkmägde med 9680 persoer y (0) = 0,000676 0 + 0,0 = 0,008 År 00 miskr folkmägde med 80 persoer 6 Eempel som löses i boke. 7 k = f ( ) = f( ) = f = ( ) 6 k = f = = ( ) 6 ( ) 9 f( ) = f ( ) = 8 0 k = f = = ( ) 8 ( ) 0 ( ) 6 8 Beräk först tgetes riktigskoefficiet f( ) = f ( ) = k = f () = 8 = Aväd k-form eller epuktsformel för tt bestämm tgetes ekvtio Altertiv : k-form = y = 0 k = y = k+ m 0= + m m= Svr: y = Altertiv : epuktsformel = y = 0 k = y y k = ( + ) y 0= Svr: y = 9 = y = y = + = () ( ) 8 ( ) Tgerigspukte är (, ) k = y ( ) = 0 ( ) + 8= Tgetes riktigskoefficiet är = ( ) + m m= 0 Tgetes ekvtio är y = 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0 Löses på smm sätt som uppgift 9. Kotkt di lärre om du beöver jälp. Tgete är prllell med y = 6 k = 6 Beräk för vilket som k = 6 y = f( ) = 7 k = y = f ( ) = = 6 = Beräk vd y är då = y = f() = 7 = Svr: I pukte (, ) är tgete prllell med y = 6. Se bokes ledig oc lösigsförslget till uppgifter 9 oc. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp., Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. f () t =,t 0,t f () t =, 0,t f () =, 0, =,8 ökig med 800/år f () t =, 0,t = 0,8 0, t =,6 t = 8 Efter 8 år ökr tlet deltgre med 800 pers/ år (Kommetr: Väldigt lågvrigt projekt) 6, 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 Sätt y = K( ) där y är kostde i kr oc är tlet producerde burkr. K(000) = 0000 kr K (000) = kr/burk Uder förutsättig tt K ( ) är kostt i itervllet 000 00 blir kostde y = (0000 + 00 ) kr = 00 kr 9, 0, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke., Se uppgift oc fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 6, 7 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 Se fcit. 0, T ( ) =, T (0, 7) =, 0, 7 jordberdier/år. 9 0,7 0,7 y ( ) = 0, 0, = 0,7 y = 0,7 (7) 0,7 7 m /kg 0,0 m /kg E perso som är 80 cm låg oc väger 7 kg kommer vid e viktuppgåg tt ök si kroppsyt med, dm för vrje kilo som persoe ökr i vikt. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke., Se uppgift oc fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 6 Se uppgift oc lösigsförslg i fcit. 7, 8 Se fcit. 9 Se fcit oc Ledig: dy d oc D är ltertiv beteckigr för y. 60 y ( ) = 6e y y = 6e e = 6e 6e =0 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 6 b f ( ) = e be b f ( ) = be + be 0 c = för c 0 f (0) = b + b = b 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit. Kotkt di lärre om du vill diskuter dett mer. 66, 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 68 Se lösigsförslg i fcit. 69 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 70 Se lösigsförslg i fcit. 7 Eempel som löses i boke. 7, 7 Se uppgift 9 oc fcit. Glöm ite tt e Kotkt di lärre om du beöver jälp. l =. 7 Hur m byter till bse 0 beskrivs i uppgift 0. Hur m byter till bse e beskrivs i uppgift 7, Metod. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7 Ledig: 0 = oc e b = b. Kotkt di lärre om du beöver jälp. lg l 76 77 Ledig: Utyttj deriverigsregel om y ( ) = så är y ( ) = l. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 78 Ledig: Deriver term för term precis som vligt. 79 Se lösigsförslg i fcit. 80 y ( ) = 0 y ( ) = 0 l0 = 0 y = y = = 0 (0) 0 k = y = = 0 (0) 0 l0 l0 Sätt i dett i epuktsformel y y = k( ) y = l0( 0) y = l0 + = 0, y = y = = 0, (0,) 0 0 k = y = = 0, (0,) 0 l0 0 l0 Sätt i dett i epuktsformel y y = k( ) y 0 = 0 l0( 0,) y = 0 l0 0, 0 l0 + 0 8, 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 Eempel som löses i boke. 8 Se bokes ledig oc svret i fcit. 8 Ledig: Bestäm K (00). NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 86, 87 Se bokes ledig. 88 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 89 Se fcit. 90 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 9 y ( ) = 0 00e y k () = 0 00e = k 00e = 67 e k = 67 / 00 k k = l(67 / 00) l(67 / 00) k = 0,0 y ( ) = 00ke k y () = 00ke k Sätt i k-värdet frå -uppgifte o y () C / mi 9, 9, 9, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 9, 96, 97, 98 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0 Eempel som löses i boke. 0, 0, 0 Se fcit. 0, 06 Se bokes ledig oc fcit. 07 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 08 Eempel som löses i boke. 09 y ( ) = 8+ y ( ) = 8= 0 = Bestäm y-koordite geom tt sätt i = i y ( ) y () = 8 + = Etrempukt i (, ) Sätt i ett tl, vilket som elst som är midre ä, i y ( ) oc se om resulttet är ett positivt eller egtivt tl. Välj gär ett tl som är lätt tt räk med. Eempelvis y (0) = 0 8 < 0 tecket är d) Sätt i ett tl, vilket som elst som är större ä, i y ( ) oc se om resulttet är ett positivt eller egtivt tl. Välj gär ett tl som är lätt tt räk med. Eempelvis y (0) = 0 8 > 0 tecket är + e) Teckeföljde är 0 + Miimipukt Stämmer med det du og kommer iåg om drgrdsfuktioer frå B-kurse: Positiv koefficiet till drgrdsterme betyder tt fuktioe tr ett miimivärde (grfe r forme v e gld mu). 0 y ( ) = + y ( ) = 6+ = 0 = Bestäm y-koordite geom tt sätt i = i y ( ) y = + = Etrempukt i (, 6) () 6 Sätt i ett tl som är midre ä oc ett som är större ä i y ( ) oc se om resulttet blir ett positivt eller egtivt tl. Välj tl som är lätt tt räk med. Eempelvis y (0) = 6 0 + > 0 tecket är + oc eempelvis y (0) = 6 0 + < 0 tecket är Teckeföljde är + 0 Mimipukt NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Räk på smm sätt som i uppgifter 08-0. Se resulttet i fcit. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. Tgeter till grfe r positiv riktigskoefficiet, f( ) > 0, fuktioe är väde för >. Tgeter till grfe r egtiv riktigskoefficiet, f( ) < 0, fuktioe är väde för 0 < <. Se bokes ledig. 0 + miimipukt + 0 mimipukt Se fcit. f ( ) = 8 f ( ) = 8 8 = 0 6 = 0, =± f( ) = + f = ( ) 6 6 = 0, 8= 0 = ± + 8 = ± f( ) = f ( ) = f ( ) = 0 0 0, = = =± Sätt i Sätt i = f = f = = + = i ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 = f = f = = = i ( ) () 8 6. Sätt i ågot -värde som är midre ä i f ( ). Eempelvis = f = = > 0 ( 0) ( 0) 00 0. Sätt i ågot -värde som är mell oc i f ( ). Eempelvis = 0 f (0) = 0 = 0 < 0. Sätt i ågot -värde som är större ä i f ( ). Eempelvis = 0 f (0) = 0 = 00 > 0 d) Teckevälige är + 0 0 + ger kurvforme är Mimivärde för = Miimivärde för = 6 Räk på smm sätt som i uppgift. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7 Det grudläggde sättet tt lös e såd är uppgift är tt sök upp etrempukter med jälp v derivt, dvs lös ekvtioe derivt = 0 oc sed gör e värdetbell. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Att räk ut måg fuktiosvärde i e värdetbell för d, k vr gsk rbetsmt oc tråkigt. T jälp v e grfisk miiräkre geom tt räk med listor eller väd ågot lämpligt dtprogrm. Se kurvor i fcit. 8, 9 Se uppgift 7 0 Grfe ser ut tt br ett etremvärde, i dett fll ett miimivärde. Därför bör m misstäk tt det är e drgrdsfuktio med positiv koefficiet frmför drgrdsterme. uppfylls edst v fuktio c. Studerr m grfe ärmre ser m också tt symmetrilije går geom = uppfylls edst v fuktio c oc tt de r ollställe vid = oc = uppfylls edst v fuktio C. f( ) = + f = = ( ) ( ) f ( ) = 0 f f (0) 0 0 () 7 = 0 = = + = = + = De lokl etremvärde är oc 7. Eftersom > 7 är pukte (0, ) ett mimivärde oc pukte (, 7) ett miimivärde. f( ) = 8 + ( ) = 6 6 = f f = ( ) 6( 6 7) f ( ) = 0 = ± 9+ 7 = 7 = f, (7) 7 8 7 7 87 = + = f ( ) = 8 + + = De lokl etremvärde är oc 87. Eftersom > 87 är pukte (, ) ett mimivärde oc pukte (7, 87) ett miimivärde. Räk som i uppgift., Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se uppgift. 6 Se bokes ledig. 7, 8, 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 Ledig: Vilke term ger det störst bidrget till summ om är stort? Udersök själv geom tt sätt i ett riktigt ög värde på. Ledig: Vilke termer ger det störst bidrget till summ om är litet? Udersök själv geom tt sätt i värde på som är väldigt är oll. d) Se fcit För stor domierr -terme. För små är y. Se fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel, Se fcit. Ledig: Vilke term ger det störst bidrget till summ om är stort? Udersök själv geom tt sätt i ett riktigt ög värde på. Ledig: Vilke termer ger det störst bidrget till summ om är litet? Udersök själv geom tt sätt i värde på som är väldigt är oll. d) Se fcit Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se bokes ledig. 7 E llmä formel för e tredjegrdekvtio är på domierr tredjegrdsterme. f ( ) b c d = + + +. För stor värde Grfe till e tredjegrdsfutio ser oftst ut som eller. Vilket tecke r fuktiosvärdet för stor egtiv tl? Test med t e = 00000. Vilket tecke r fuktiosvärdet för stor positiv tl? Test med t e = 00000. 8, 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke., Se fcit. Hör v dig till di lärre om du beöver jälp. I etrempukter oc på itervllgräser. Se fcit. f (0,) = 0, 6 0, + 9 0,+ = 6, f () = 6 + 9 + = 7 f () = 6 + 9 + = f (,) =, 6, + 9,+ =, m:,, mi: f( ) = + 8 f ( ) = 6 f = = =± ( ) 0 0, Bestäm f(,), f( ), f(), f(,9) f f f f = + = = + = m: 0, mi:, = + = = + = (,) (,) (,) 8, ( ) ( ) ( ) 8 0 () 8 (,9),9,9 8,08 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 f( ) = 90 + 000 f ( ) = 790+ 000 f ( ) = 0 6+ 000 = 0 =, ±, 000 = = 0, Bestäm f(8), f(), f(0), f(0) f f f f = + = = + = = + = = + = (8) 8 90 8 000 8 968 () 90 000 870 (0) 0 90 0 000 0 000 (0) 0 90 0 000 0 000 m: 000, mi: 000 8 Se lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0 Eempel som löses i boke. 0 Ställ upp fuktioe: yt () =,8t + 9,6t+ 8, Age defiitiosmägde: Det mist t-värdet är 0. T red på vilket det ögst värdet på t är: yt ( ) = 0 t t 8 = 0 t = ± t = förksts t = är OK 0 t Sök derivts ollställe: y () t = 9,6t+ 9,6 t = y () t = 0, Gör e tecketbell: m y 8, 0 y + + 0 t 0 Svr: Rkete år m över vet. 0 Ställ upp fuktioe: y ( ) = + 000 Age defiitiosmägde: Det mist -värdet är 0. Det går ite tt ge ågot mimlt värde på med jälp v det vi vet om revy. > 0 Sök derivts ollställe: y ( ) = 000 0 = 00 y ( ) = 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Gör e tecketbell: Svr: Priset 00 kr ger miml itäkt. 0 y ( ) =, +, 0, y ( ) =, 0,8 =,/ 0,8 y ( ) = 0 y(,/ 0,8),8 Svr: Bolle år,8 m över golvet. 0, 06 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 07 yt () = 0,t t+ 0 y () t = t t = y () t = 0 y() =, m y 0 0000 0 y + + 0 0 00 00 Svr: Klock 0.00 vr det som kllst. Då vr det, C. 08, 09 Se fcit oc uppgifter 0 oc 0. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Are är A ( ) = (6 ) = 6, Defiitiosmägde är 0 8 A ( ) = 6 A ( ) = 0 = 9 A(9) = 9 8 = 6 m y 0 6 0 y + + 0 0 9 8 Svr: Måtte 9 cm 8 cm ger miml tvärsittsre. se fcit Ledig: V( ) = I( ) T( ) Ledig: V( ) > 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel d) V ( ) = + + V ( ) = 0 = förksts V = ±, () 6 8 = + + = m y 8 y + + 0 0 0 Svr: Miml vist är 8000 kr. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. y 0 k = = =, Klock 0.00 sjuker temperture med C per timme. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Lös uppgifte på smm sätt som uppgift. Itäkte är Iq ( ) = 700 qkr Viste är V( q) = I( q) T( q) = q 900q V ( q) = 6q 800q+ 6 V ( q) = 0 q = förksts q = är OK V () 000 q = 0 ± 6 + 6q 00 kr Ledig: Beräk V() oc V () 7 A= y = 900 900 y = 800 L ( ) = + L= + y 800 L ( ) =, =± 0 L ( ) = 0 Bild v prkerigspltse y = 0 förksts = 0 är OK Svr: Prkerigspltse skll vr 0 m 0 m NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 Se figure ed. sid flik sid botte sid lock 00 cm Färdig låd cm cm cm cm sid 60 cm cm flik (80 -) cm (00-) cm 60 Vi får volymsfuktioe: V( ) = (00 ) = 8000 60 + Eftersom pppskiv är 00 cm bred blir defiitiosmägde 0 0. När 'volymfuktioe' är lgebriskt formulerd, k vi fi låds störst volym geom tt deriver volymsfuktioe oc sätt derivt till oll. 60 8000 V ( ) = 6 0+ 8000 = 0 + = 0 6 0 ± 70, = = 00 / 67 förksts ty ligger utför defiitiosmägde = 0 M bör försäkr sig om tt de lösig motsvrr ett (loklt) mimum: V() m mi V'() + 0 - - 0 + 0 00/ Vi k kostter tt det är ett mimum för = 0. Sätt i = 0 i V( ) V(0) = 7 000 cm = 7 dm Svr: Låds miml volym blir 7 liter 9 Beräk först de orisotell ktetes lägd i de rätviklig trigel: Rektgel i figure delr v två midre, rätviklig triglr, ur de stor trigel. Dess är båd likformig med de stor trigel. Vi k teck reltioer: y 0 = = / y = 0 0 0 Vi k u teck bottere som fuktio v : A ( ) = 0 Geom tt udersök refuktioes derivt, k vi bestämm miml "usstorleke" (miml bottere): A ( ) = 0 0 / = 0 = Kotroller tt dett är ett mimum! Sätt i = i A(). Svr: Miml bottere för uset är 0 m 8 0 = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se skisse i fcit. Kotkt di lärre om du vill diskuter de uppgift.,, Se bokes ledig oc fcit. Eempel som löses i boke. 6 ( ) T( ) = T ( ) är OK me 0 förksts ty T(0) 0 T ( ) = 0 T () = Kotroller tt T () är ett mimivärde! 0 T( ) 0 0 T ( ) + 0 Svr: Miml re är reeeter. 7, 8, 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. f f ( ) =, 0 oc > 0 ( ) > 0 f ( ) =, 0 oc < 0 f ( ) = 0 för =± Se tecketbelle i fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp.,,,, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6, 7, 8 9, 0 Eempel som löses i boke. Se bokes ledig oc lösig i fcit. 0 0 y = + y = y = 0 0 = 0 = =±, 0 0 y = + y = y = 0 0 = 0 = 8 = y = y ( ) = y () = Sätt i i epuktsformel: y = ( ) y = +. Se skisse i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel y ( ) 0, = y ( ) = 0, y() = 0,0 Svr: km frå skorstee miskr föroreigr med 0,0 ppm per km. Se bokes lösigsförslg i fcit. 6 f( ) = + f ( ) = f ( ) = 0 för =± Gör e teckestudie, förslgsvis bserd på = ± 0, =± oc =± 0, Observer tt vrke f ( ) eller f ( ) är defiierd för = 0. Se kurv i fcit. f ( ) = f ( ) = + f ( ) > 0 för ll Att derivt till de fuktio är lltid större ä 0, betyder tt fuktioe skr lokl etremvärde. Gör e värdetbell bserd på ågr lämplig -värde. Se kurv i fcit. 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 Fel svr i fcit. Bestäm derivt y oc sätt de till 0 för tt fi fuktioes etrempukter. 8000 8000 y = 9000 + + y = 8000 y = 0 = = 600, =± 60 = 60 förksts = 60 är OK Kotroller tt = 60 ger e miimipukt, teckestudie eller rit grfe till y. 60 dtorer per sädig ger lägst frktkostde. Om m säljer 600 dtorer skll m skick 600 = 60 pket om m öskr så låg 60 frktkostd som möjligt. 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. k k Deriver term för term. Fuktioe f ( ) = e r derivt f ( ) = ke. f ( ) = y = e + e f ( ) = y = e + e b ) f( ) = y = e + e f ( ) = y = e 0, e = e e 0, 0, 0, 0, 0, f ( ) = e f ( ) = 0, e f () = 0,e = 0,e 0, 0,0 f ( ) = e f ( ) = 0, e = e f () = e = e 0, 0, 0, 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel f( ) = e f( ) = + e f ( ) = e f ( ) = e e = 0 f ( ) = 0 f ( ) = 0 e e = 0 = = l e = = l = l Kät: f( ) = e oc f (0) = 6 f ( ) = e 0 f (0) = e = = 6 = = l b 6 Du kommer väl iåg tt b= e? Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 7 Deriver fuktioe. Let lokl etremvärde. Koll tecket för derivt till öger oc till väster om evetuell etremvärde. Där derivt är egtiv är fuktioe vtgde. f ( ) = e f ( ) = 0 e = = l= 0 f ( ) = e > 0 väde fuktio f () = e< 0 vtgde fuktio Svr: Fuktioe är vtgde för > 0. f ( ) = + e f ( ) = 0 e = Går ej tt lös ty f ( ) > > 0 lltid väde fuktio Svr: Fuktioe är väde för ll. e lltid > 0 8 Se puktlist i tipse till uppgift 7 ov. f ( ) = + e f ( ) = 0 e = = l, l f (l) = + e < 0 vtgde fuktio f = + > l (l ) e 0 väde fuktio Svr: Fuktioe är väde för > l,. 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 60 0,0 Kät: y ( ) = 0 + 7e Sökt: De för vilk y( ) < 0 0,0 0 7e 0 0,0 7e 0 e + < 0,0 < < 0, 0 0,0 < l 0,0 l 0, 0 > 6 0, 0 Efter 6 miuter är kffet kllre ä 0 C. 0,0 0,0 y ( ) = 0 + 7 e y ( ) = 0,0 7e y = 0,0 0 (0) 0,0 7e 0,9 Kffets tempertur miskr 0,9 C per miut 0 miuter efter A ällde upp det. 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6, 6, 6 Se bokes ledig oc svret i fcit. Kotkt di lärre om du vill jälp. 6, 66 Se bokes lösigsförslg i fcit. 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 68 Eempel som löses i boke. 69, 70, 7 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 7 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7, 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 76, 77, 78 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 79 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0, 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 = = = = = = = 7 = = 0 = + = = = + = = + 6 = = = + 8 = = + 06 = +, = + 6 = 6 + = = + = = + = 69 = 69 + = = +, = + = + = 6 = 6+ = 9 = 8+ = = + = 07 Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. 08 = = = = 6 = 0, = 0, = = =,0 = 08 09 Se fcit oc uppgift 08. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. 0 Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. ( + ), = = = ( ) 9 = = = (9 ) 7 9 = = = (9 ) 7 09 + = + +, = = = + = + = = + = + = = + = + = 8 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel + + = = = = = = = = = = = Om du r dr lösigr ä de i fcit k du kotkt di lärre om du vill diskuter di lösigsförslg. K du itt ågo rekursiosformel som ger smm tlföljd? Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se lösige i fcit. 6 Rekursiosformel k skrivs om som vilke formel som elst: = + = + + Med jälp v de y formel k vi beräk det föregåede tlet i tlföljde. = = = = = = 0 = = 0 = 8 7 Se lösige i fcit. 8 Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp eller vill diskuter ditt lösigsförslg. 9 Kotkt di lärre om du beöver mer jälp eller vill diskuter ditt lösigsförslg. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Lös ekvtioe 00 >. Täk på tt skll vr ett eltl. > 9 < 9 < <, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00