Konvexa funktioner. Axel Flinth N3CD Hvitfeldtska Handledare: Åke Håkansson

Kovexa fuktioer x 1, x I t 0,1 : tf x 1 + 1 t f(x ) f(tx 1 + 1 t x ) Axel Flith 90103-3397 N3CD Hvitfeldtska 009-010 Hadledare: Åke Håkasso

Sammafattig Dea uppsats behadlar begreppet kovexa fuktioer utifrå ett matematiskt perspektiv. Tygdpukte ligger på evariabla fuktioer, me i det fjärde och sista kapitlet defiieras äve e flervariabel kovex fuktio. Förutom bevis på att vissa fuktioer är kovexa och vissa allmäa satser om kovexa fuktioer i de två första kapitle, så tillämpas äve begreppet i det tredje. Där bevisas ågra viktiga olikheter, ågra egeskaper i optimerigssammahag hos kovexa fuktioer diskuteras och ett bevis framläggs på att de speglar vi kallar kovexa faktiskt ite behöver vara kovexa i matematisk meig. Abstract This paper discusses the cocept covex fuctios from a mathematical perspective. The mai part of it will be about fuctios of oe variable, but i the fourth ad last chapter covex fuctios of several variables are also defied. Apart from proofs that certai fuctios are covex ad some geeral theorems about covex fuctios i the two first chapters, the cocept is also applied i the third chapter. There some importat iequalities are proved, some characteristics of the covex fuctios regardig optimizig are discussed ad a proof is also costructed for mirrors that we call covex do ot ecessarily have to be covex mathematically speakig. Zusammefassug Dieser Aufsatz behadelt de Begriff kovexe Fuktioe aus mathematischer Hisicht. Der Schwerpukt liegt bei Fuktioe mit eier Variabel, aber im vierte ud letzte Kapitel werde auch kovexe Fuktioe mit mehrere Variable defiiert. Zusätzlich zu Beweise, dass gewisse Fuktioe kovex sid ud eiige allgemeie Theoreme über kovexe Fuktioe i de erste zwei Kapitel, wird de Begriff auch im dritte Kapitel agewadt. I diesem Kapitel werde eiige wichtige Ugleichuge bewiese, eiige Eigeschafte der kovexe Fuktioe i der Optimierug diskutiert ud es wird bewiese, dass die Spiegel, die wir kovex ee, icht mathematisch gesehe kovex sei müsse.

Iehållsförteckig Sammafattig... Abstract... Zusammefassug... Iehållsförteckig...3 Iledig...4 Defiitioer och exempel...5 Grudläggade teorem...9 Kovexa fuktioer och deriverbarhet... 14 Tillämpigar... 1 Q A G H... 1 Cauchy-Schwartz... Optimerig... 4 Spegel... 7 Kovexitet i flera dimesioer... 31 Kovexa mägder... 31 Kovex fuktio geeraliserad defiitio... 34 Tack... 39 Källförteckig... 40 APPENDIX 1... 41 APPENDIX... 4 3

Iledig Första gåge jag såg defiitioe för e kovex fuktio (olikhetsvariate, ite korda-variate) blev jag mycket skrämd. Liksom vid mitt första möte med epsilo-delta-defiitioe av ett gräsvärde blev jag förvirrad, och u också mist sagt tveksam till hur ma ska hatera högerledet i olikhete. Se började jag leka lite med de, och läsa lite i Aalys i e variabel om kovexa fuktioer, och isåg att de kaske ite är så kråglig som de ser ut. Dea fasciatio för hur e så skebart kråglig defiitio ka tas er så sabbt, i kombiatio med mitt stora itresse för matematisk aalys, gjorde att mitt val för projektarbete föll på just kovexa fuktioer. Arbetet kretsar i mågt och mycket krig lösadet av de problem som fis i projektarbetesförslaget jag har utgått ifrå. ( Kovexa fuktioer av Urba Cegrell, Umeå Uiversitet, hämtad frå http://www.mittag-leffler.se/publicatios/specialarbete/ de 8 augusti 009) Vissa av satsera är bevisade i mer geeraliserade former ä vad Cegrells har föreslagit (t.ex. sats 6 som edast skulle visas i fallet =.) Därutöver kommer jag att bevisa ågra ytterligare satser, vissa för de är avädbara(t.ex. sats 6) och vissa bara för de är roliga (t.ex. sats 16). Mitt arbete är uppdelat i fyra kapitel. I det första defiieras vad det iebär att e fuktio är kovex. Jag bevisar också att ågra kokreta fuktioer är kovexa edast med hjälp av defiitioe. I det adra kapitlet bevisar jag ågra satser om kovexa fuktioer i allmähet. Det tredje kapitlet tar upp tillämpigar av kovexitetsbegreppet bevis av olikheter, optimerig samt kovexa speglar. Behadlige av kovexa speglar är e uppgift jag själv lagt till detta för att de flestas första möte med ordet kovex är i sambad med speglar. I det fjärde och avslutade kapitlet går jag över frå att edast behadla fuktioer R R till att behadla det mer allmäa fallet R R efter e kort behadlig av begreppet kovexa mägder. Slutlige hoppas jag att läsare kommer att få lika stort öje med att läsa mitt arbete som det var för mig att göra det. Speciellt hoppas jag att läsare upptäcker att e kovex fuktio är lågt mycket mer ä e fuktio vars adraderivata är positiv. Och ite blir trött på godtyckliga t tillhörade itervallet (0,1). Axel Flith (datum) 4

Defiitioer och exempel Vad iebär det egetlige att e fuktio är kovex? Iformellt ka ma säga att e kovex fuktios graf buktar uppåt i ett ortoomerat koordiatsystem. Dea defiitio är självklart ite tillräcklig för att kua göra strikta matematiska resoemag. Det är edast fuktioer med värdemägder som är delmägder av R som ka vara kovexa. Defiitiosmägde ka dock vara delmägder av R för alla. Vi vätar med att defiiera detta och öjer oss i detta avsitt att titta på fuktioer vars defiitiosmägder är delmägder av R. Defiitio 1 : E fuktio f är kovex i ett itervall I om varje korda till dess graf i detta itervall ligger över eller på de seare. Detta är ekvivalet med att: x 1, x I t 0,1 : tf x 1 + 1 t f(x ) f(tx 1 + 1 t x ) x 1, x, x I, x 1 < x < x : f x ) f(x 1 x x 1 x x + f(x ) f(x) Observera att (0,1) är det öppa itervallet mella 0 och 1. Om olikhetera ova är sträga säger ma att fuktioe är strägt kovex. Detta iebär att alla kordor ligger ovaför, och ite på, grafe. Fig.1: E kovex fuktio med e korda utritad För att övertyga sig om att de två defiitiosolikhetera är ekvivaleta observerar ma ett godtyckligt x mella x 1 och x ka skrivas tx 1 +(1-t)x, där t tillhör (0,1). Om ma ersätter x med detta uttryck i de udre olikhete får ma efter e ekel algebraisk omskrivig de övre. Om ma istället sätter tx 1 +(1-t)x =x i de udre samt löser ut t ur dea olikhet och sätter i det, får ma efter lite algebra de udre. Av de två olikhetera aväder ma framförallt de övre för att bevisa att e fuktio är kovex. Jag visar u ett atal exempel hur detta ka göras. (Frå och med u ligger alla t i (0,1), om iget aat sägs.) 1 Cegrell Urba, 1989 5

Sats 1: x är kovex på R Bevis: Eligt triagelolikhete är tx 1 + (1 t)x tx 1 + (1 t)x för alla x 1, x R vilket är detsamma som att x är kovex på R. QED Observera att det ite gäller sträg olikhet, x är alltså edast kovex på R. Ett exempel på e fuktio som är strägt kovex är x Sats : x är strägt kovex på R. Bevis: Det som ska bevisas är att tx 1 + 1 t x > (tx 1 + (1 t)x ) för alla x 1,x i R. Detta är dock ekvivalet med Vilket är etydigt sat är x 1 x. QED. tx 1 + 1 t x > t x 1 + t(1 t)x 1 x +(1 t) x t 1 t x 1 x 1 x x > 0 x 1 x > 0 Att x är kovex ka geeraliseras till att x p, p Z +, är kovex på R +. (När vi har fler verktyg ka vi visa att detta gäller för alla reella p>1.) Sats 3: x p, p Z + är strägt kovex på R + Bevis: Vi geomför beviset med iduktio. (i) x p är strägt kovex på R +, är p=. Detta bevisade vi yss (Faktum är de är kovex äve för p=1. Beviset för detta är mycket ekelt och lämas till läsare.) (ii) Vi atar att x p är kovex för p=, vilket är ekvivalet med att det för alla x 1, x R; tx 1 + 1 t x > (tx 1 + (1 t)x ) Vi multiplicerar olikhete ova med (tx 1 +(1-t)x ), som är positivt då x 1 och x är positiva. Vi får alltså att: tx 1 + 1 t x tx 1 + 1 t x > tx 1 + 1 t x +1 Om vi ka bevisa att tx 1 +1 +(1-t)x +1 är större ä eller lika med V.L i olikhete ova är iduktiossteget visat. Vi bildar alltså detta uttryck V.L. och försöker visa att detta är mer ä eller lika med 0. tx 1 +1 + 1 t x +1 t x 1 +1 + t 1 t x1 x + x 1 x + 1 t x +1 = t 1 t x 1 +1 x 1 x x 1 x + x +1 = t 1 t x 1 x x 1 x 0 De sista olikhete följer av att (x 1 -x ) har samma tecke som (x 1 -x ). (iii) Iduktio ger att påståedet är sat för alla p Z +. QED. 6

Ett klassiskt exempel på e kovex fuktio är expoetialfuktioe. Faktum är att alla expoetialfuktioer är strägt kovexa på R. Sats 4: Om a>0, a 1 är a x strägt kovex på R. Om a=1 är de kovex. Bevis: Vi kostaterar först att fallet a=1 är trivialt. a x blir då idetiskt lika med ett, och självklart kovex. Vi tittar u på de adra falle. Det som ska bevisas är att för alla x 1, x R: ta x 1 + 1 t a x > a tx 1+ 1 t x Geom att dela båda lede med H.L. (som är positivt) får vi de ekvivaleta olikhete; ta 1 t x 1 x + 1 t a t x x 1 > 1 a x 1 x (ta 1 t + 1 t a t ) > 1 Om x 1 >x är a x 1 x > 1 och olikhete ova sa omm f t = ta (1 t) + (1 t) a t Är större ä eller lika med 1 för alla 0<t<1. Om istället x 1 <x ska det samma istället gälla för f 1 t vilket det självklart gör om det gör det för f t. För att visa detta aväds differetialkalkyl. f t = a (1 t) t l a a 1 t 1 (1 t) l a at a t = a t a ta l a 1 1 t l a = a t (t l a a l a + a 1 l a) Vilke är lika med oll då och edast då t = a 1 l a = 1 a l a l a l a a (a 1 l ). För alla värde på a ligger a 1 detta mella 0 och 1; det är positivt eftersom både täljare och ämare är mer ä oll; dels för att la och (a-1) har samma tecke, dels för att la<(a-1) ett bevis för det seare fis i appedix 1. Att t<1 är midre ä 1 ises geom att dessa olikheter är ekvivaleta då la(a-1) är positivt: 1 a 1 l a < 1 a 1 l a < l a a 1 a 1 < a l a 1 < l a (a 1) l a a 1 Följade teckeväxligsschema uppkommer: t f f 1 1 l a (0) (a ) l a a 1 (1) + 0-1 max 1 7

Vilket bevisar att f(t) 1 för alla värde på t mella 0 och 1, vilket i si tur bevisar satse. QED Fig. : f(t) ritad för a=10 Är log a x kovex på R +? Geom att titta på dess graf, ser vi att de ite är det. Däremot ser det ut som att alla kordor ligger uder fuktiosgrafe. När detta är sat för e fuktio kallas de kokav. Defiitioe för att e fuktio är kokav på ett itervall fås alltså geom att väda på defiitiosolikhete, eller att observera att detta är ekvivalet med att: Defiitio : E fuktio f är kokav på ett itervall I om -f är kovex där. E fuktio f kallas strägt kokav om -f är strägt kovex. Vi visar u att log a x är strägt kokav på R + om a>1, och strägt kovex om a<1 Sats 5: Om a>1, så är log a x är strägt kokav på R +. Om 0<a<1 så är de istället strägt kovex. Bevis: Eftersom a x är strägt kovex på R (för alla positiva a), gäller det för alla x 1, x R + : ta log a x 1 + 1 t a log a x > a t log a x 1 +(1 t)log a x Vi logaritmerar båda lede. Om a>1 är log a x är, bibehålls olikhete. log a tx 1 + 1 t x > t log a x 1 + (1 t)log a x Vilket iebär att log a xär strägt kokav på R +. Om 0<a<1 är istället log a x avtagade, och olikhete väds. log a tx 1 + 1 t x < t log a x 1 + (1 t) log a x Vilket iebär att log a x då är strägt kovex. QED. Cegrell Urba, 1989 8

Grudläggade teorem I detta kapitel är det dags att bevisa ågra viktiga påståede om kovexa fuktioer i allmähet. Vi börjar med e lite sats som jag kommer att aväda seare. Sats 6: Om e fuktio f är kovex på ett itervall I gäller det att x 1, x, tx 1 + (1 t)x I t 0,1 : tf x 1 + 1 t f(x ) f(tx 1 + 1 t x ) Bevis: Vi utgår frå defiitioe av att f är kovex, alltså att för alla x 1, x tillhörade I och alla θ (0,1) är θf x 1 + 1 θ f(x ) f(x 3 ) Där x 3 = θx 1 + (1 θ)x 1 θ x = x 3 θx 1 x = 1 x (1 θ) 3 θ x (1 θ) 1. Observera att x tillhör I. På samma sätt får vi av olikhete ova att Vi sätter u ågo av kostatera 1 (1 θ) f x 3 θ (1 θ) f(x 1) f(x ) 1, θ (1 θ) (1 θ) till t. Då är de adra kostate lika med (1-t), och beroede på vilke av kostatera vi har valt är t atige större ä ett eller midre ä oll. Vi får att: Satse är alltså bevisad. QED. tf x 1 + 1 t f x 3 f tx 1 + 1 t x 3 De geometriska tolkige av satse ova är att förlägige av varje korda till fuktioe ligger uder fuktiosgrafe, så läge de ligger i itervallet där fuktioe är kovex. Fig.3: E kovex fuktio med e förlägd korda utritad. E mycket viktig olikhet för kovexa fuktioer som flitigt aväds i tillämpigar ite mist i matematiktävligsuppgifter är de så kallade Jeses olikhet. Vi preseterar och bevisar de u. Sats 7: (Jeses olikhet) Atag att f är strägt kovex på itervallet I. Då gäller för alla x 1,x x I och alla -tiplar t 1,t t 0,1 sådaa att t 1 +t t =1 att: 9

Med likhet om och edast om alla x är lika. t k f x k f( t k x k ) Bevis: Om alla x är lika gäller självklart likhet då är likhete ekvivalet med f(x)=f(x). Vi bevisar u att sträg olikhet gäller om ite alla x är lika. (1) För = är det självklart, det är defiitioe av e strägt kovex fuktio. () Vi atar att olikhete är sat för =p, dvs. att för p stycke tal λ k, sådaa att 0<λ k <1 (1 k p), samt att; p k =1 λ k = 1 gäller det för för p stycke tal x k (där alltså ite alla x k är lika) tillhörade I, att; p k =1 λ k f x k > f p λ k x k Vi multiplicerar u båda lede med e kostat 0<θ<1, och får p θλ k f x k > θf p λ k x k Om vi u defiierar e y följd tal med p+1 stycke tal α k geom att sätta t k = θλ k för 1 k p och p sätta t p+1 = 1 α k = 1 θ uppfyller dea talföljd satses villkor (detta ises lätt). Om vi till båda lede i ovaståede ekvatio adderar t p+1 f x p+1 (där x p+1 tillhör I) får vi att: p+1 k =1 t k f x k p > θf λ k x k + 1 θ f x p+1 Högerledet i dea olikhet är dock eligt defiitioe av e strägt kovex fuktio större ä: p p+1 f θλ k x k + 1 θ x p+1 = f t k x k k =1 Vilket bevisar iduktiossteget. (3) Iduktio ger u att sträg olikhet gäller för alla. Satse är bevisad. QED 10

Korollarium: Om f är kokav blir olikhete omväd (olikhete ova gäller för fuktioe f, multiplicera med -1.) Jeses olikhet iebär att ma för e kovex fuktio ka plocka ut e summa ur e fuktio, vilket ofta är väldigt praktiskt detta kommer vi se i ästa kapitel, där vi bevisar flera viktiga olikheter med hjälp av Jese. Vad gäller för e kovex fuktio och kotiuitet? Geom att titta på figure eda iser vi att kotiuitet i ädpuktera på det itervall där f är kovex ite är ödvädigt det går ite att dra ågra kordor som ligger uder fuktiosgrafe. Dock verkar det rimligt att de är kotiuerlig i alla adra pukter se fig. 5. Fig. 4: E fuktio som är diskotiuerlig i sia ädpukter me trots detta kovex. Fig.5: E fuktio som är diskotiuerlig i e ire pukt, och ej kovex. Observera att de utritade korda delvis ligger uder kurva. Vi bevisar u att det verklige är så. Sats 8: Det existerar fuktioer som är diskotiuerliga i sia ädpukter med trots detta kovexa. Bevis: Det räcker att age e såda fuktio. Vi gör det. Det är klart att f är diskotiuerlig i x=-1, då f x = x x 1 x = 1, D f = 1,1 lim f x = 1 f( 1) x 1 + 11

Vi har reda visat att x är kovex på R och därför självklart också kovex på (-1,1]. Det eda som måste visas är alltså att defiitiosolikhete gäller för x 1 =-1 och x (-1,1]. Beviset likar beviset för att x är kovex (sats.) Vilket är etydigt sat, och visar satse. QED tf 1 + 1 t f(x ) f(t( 1) + 1 t x ) t + 1 t x ( 1 t x t) t + 1 t x 1 t x t 1 t x + t t 1 t x + x + 0 x + 1 + 1 0 Sats 9: Om e fuktio är kovex i ett itervall är de kotiuerlig i varje ire pukt av detta itervall. Bevis: Låt oss säga att itervallet är [x a,x b ]. Då ska det bevisas att för varje x 0 : x a <x 0 <x b att: lim x x 0 f x = f x 0 Det blir eklare om ma behadlar väster- och högergräsvärdet var för sig. Vi visar västerfallet, högerfallet är helt aalogt. Det gäller det eligt defiitio att för alla x (x a,x 0 ) att: f x 0 ) f(x a x 0 x a x x a + f(x a ) f(x) Eligt sats 6 gäller också för dessa x att: f x b ) f(x 0 x b x 0 x x 0 + f(x 0 ) f(x) Observera att satse ite är visad i dea form, me ademeige är de samma: förlägige av korda ligger uder fuktiosgrafe. För ärmare motiverig att detta är ekvivalet med sats 6 ka ma aväda resoemaget på sid. 5. Geom att kombiera dessa olikheter får vi att: f x b ) f(x 0 x b x 0 x x 0 + f(x 0 ) f(x) f x 0) f(x a x 0 x a x x a + f(x a ) 1

Fig. 6 De geometriska tolkige av olikhete ova är att fuktiosgrafe ligger mella de förlägda kordora Nu låter vi x x 0 - och tillämpar istägigsregel får vi att f(x 0 ) lim x x 0 f x f x 0 Vilket bevisar ea fallet, och eftersom adra fallet är helt aalogt, är satse bevisad. QED. Det är iom måga område iom matematike praktiskt med ågra ekla räkeregler. Vi ska u visa ågra sådaa för kovexa fuktioer. Sats 10: Om två fuktioer f och g är kovexa på ett itervall är följade fuktioer också kovexa: f + g k f, k R + max(f, g) Bevis: Att de två första fuktioera är kovexa är mycket ekelt att bevisa. Att de första är kovex ser ma geom att addera de två defiitiosolikhetera för f och g. Att de adra är det ser ma geom att multiplicera båda lede med de positiva kostate k. De tredje är ågot kivigare. Vi har att: Det är dock självklart att: tf x 1 + 1 t f x f tx 1 + 1 t x (1) tg x 1 + 1 t g x g tx 1 + 1 t x () t max f x 1, g x 1 tf(x 1 ) (1 t) max(f(x ), g(x )) 1 t f(x ) Additio av dessa olikheter tillsammas med (1) ger att tmax(f x 1, g x ) + (1 t) max(f x, g x ) f(tx 1 + 1 t x ) På samma sätt får vi med hjälp av () att 13

tmax(f x 1, g x ) + (1 t) max(f x, g x ) g(tx 1 + 1 t x ) Me ågot av högerlede i dessa två olikheter måste ju vara lika med Vilket visar de sista dele av satse. QED max( f tx 1 + 1 t x, g tx 1 + 1 t x ) Kommetar: Med mycket små ädrigar i bevise får vi att om f och g är kokava så är (f+g), k*f och mi(f,g) kokava. Det är alltså så att max(f,g) är kovex om f och g är kovexa. Gäller det samma för mi(f,g)? Svaret är att det ite alltid är så, det är bara att titta på exemplet eda. Vi ser dock att fuktioe är kovex i delitervalle mella de pukter där f och g är lika. Faktum är att det alltid är så. Fig. 7 mi(f,g) är ite kovex i hela itervallet, me i delitervalle (f och g är streckade, mi(f,g) är heldrage) Sats 11: Atag att fuktioera f och g båda är kovexa, och lika för ett ädligt atal x (x 1,x x ). Då är fuktioe Kovex i itervalle [a,x 1 + *x i,x i+1 + *x,b]. x = mi (f, g) Bevis: I alla dessa itervall är atige f<g eller f>g. Beroede på vilket är h(x) lika med atige f eller g. Oavsett vilket är h kovex, då både f och g är det. QED Kovexa fuktioer och deriverbarhet. Nu är det dags att tala om deriverbarhet och kovexa fuktioer. Vi har faktiskt reda kostaterat att det fis kovexa fuktioer som ite är deriverbara över allt: x är ju ite deriverbar i x=0. Ett aat exempel är fuktioe max(x +1, e x ) som eligt sats 9 är kovex, me ite heller deriverbar i pukte x=0. Det gäller dock för båda dessa fuktioer att höger och västerderivata existerar för alla pukter. Faktum är att detta gäller för alla kovexa fuktioer. Sats 1: Atag att fuktioe f är kovex på ett itervall [x a,x b ]. Då gäller det att fuktioe är både höger- och västerderiverbar i varje ire pukt av detta itervall. Vidare gäller det för alla ire pukter x i itervallet att 14

f (x) f + (x) Bevis: Det som ska visas är till att börja med att följade två gräsvärde båda existerar för alla ire pukter x 0 i itervallet: lim x x 0 f x f(x 0 ) f x f(x 0 ), lim x x 0 x x + 0 x x 0 Detta görs geom att titta på två följder av sekatlutigar. Vi börjar med att defiiera två talföljder. x 1 = x a, x +1 = x 0 + x x + + 1 = x b, x +1 = x + 0 + x Det är självklart att båda dessa talföljder kovergerar, de övre mot x 0 och de udre mot x 0 +, samt att x a < x < x 0 < x + < x b för alla. Vi defiierar u de två sekatföljdera. De är alltid väldefiierade, då x 0 x, x + s = f x 0 f(x ) x 0 x s + = f x 0 f(x + ) x 0 x + Det är klart att om ma låter i dessa talföljder är det ekvivalet med att låta x x 0 resp. x 0 + Fig. 8: E fuktio med s 1 + samt s 1 utritade + + Vi visar u att s är avtagade. Eligt defiitio gäller det att, eftersom x +1 (x 0, x + ) Vilket är ekvivalet med att + f x 0 ) f(x + + x x 0 x +1 x 0 + f(x 0 ) f(x +1 f x 0 f(x + ) x 0 x + + + Eftersom (x +1 x 0 ) är positivt. Alltså är s +1 s +. f x + +1 f(x 0 ) + x +1 x 0 15 + )

+ + Fig. 9: s +1 s Nu bevisar vi att s är växade. Eligt sats 6, och eftersom x (x +1, x 0 ), är Som, då (x x 0 ) är egativt, ger att Alltså är s +1 s. f x 0 ) f(x +1 x x 0 x x 0 + f x 0 f(x ) +1 f x f(x 0 ) x x 0 f x 0 f(x +1 ) x 0 x +1 Häräst visar vi att s s +. Återige tillämpar vi sats 6, och observerar att x (x 0, x + ). Detta ger att: Vilket ka trasformeras till Då x x 0 är egativt. f x 0 ) f(x + x 0 x + x x 0 + f x 0 f(x ) s s + Efter detta filir ka vi ätlige skriva att för alla gäller det att s 1 s s + s 1 + Vi ser att båda följdera är begräsade uppåt resp. edåt. Detta ger oss att de båda kovergerar vilket visar första dele av satse. Av olikhete mella de två talföljdera fås adra dele av satse. QED. I figurera i beviset ova ser vi att sekatera ligger alltmer uder fuktiosgrafe alltså uder e allt större del uder de. Det verkar rimligt att ata att höger- och västertagetera(de ka sammafalla om fuktioe är deriverbar i pukte där vi drar tagetera) ligger helt uder eller på fuktiosgrafe. Mer allmät ka vi säga att; 16

Sats 13: För varje pukt x 0 i itervallet I där e fuktio f är kovex existerar e lijär fuktio L såda att x I: L(x) f(x) L x 0 = f(x 0 ) Bevis: Titta på dea lijära fuktio, där ξ x 0 K ξ x = f ξ f x 0 ξ x 0 x x 0 + f(x 0 ) Följade sker är vi låter ξ x 0, eftersom västerderivata existerar: Vidare gäller det eligt sats 6 att: Låter vi här ξ x 0 får vi att: Eftersom K ξ f x 0 x x 0 + f x 0 = L x I ξ, x 0 : K ξ (x) f(x) x I {x 0 }: L (x) f(x) L x 0 = f(x 0 ) Uppfyller dea fuktio satses villkor. På samma sätt får vi att äve L + = f + x 0 x x 0 + f(x 0 ) duger. Faktum är vi att alla fuktioer på följade form duger; L x = k x x 0 + f(x 0 ) Med k mella högerderivatas resp. västerderivatas värde i x 0, ty fuktioer med sådaa k ligger alltid mella L + och L och därmed uder e av dem och alltså uder fuktiosgrafe. Vi visar fallet är x>x 0, det adra fallet är aalogt. Då är (x-x 0 ) positivt, och f x 0 k f + x 0 f x 0 x x 0 + f x 0 k x x 0 + f x 0 f + x 0 x x 0 + f(x 0 ) 17

Fig 10: k x x 0 + f x 0 ligger mella L + och L QED. Nu kommer e mycket viktig sats, som ger oss ett effektivt verktyg är vi ska visa att e fuktio är kovex; ämlige att e växade derivata är ekvivalet med e kovex fuktio. Detta brukar i sabba framställigar av kovexa fuktioer gälla som defiitioe av dem vilket ju är dumt, eftersom det fis icke deriverbara fuktioer som har kovexa egeskaper. Sats 14: E deriverbar fuktio är kovex om och edast om dess derivata är växade. Bevis: Detta bevis hittade jag i Aalys i e variabel av Böiers-Persso. Vi börjar med att visa implikatioe växade derivata kovex. f är e deriverbar fuktio vars derivata är växade på itervallet I. Låt x 1,x betecka två godtyckliga pukter i detta itervall, och x 0 e pukt strägt emella dem. Låt vidare ξ 1 och ξ vara två tal sådaa att x 1 <ξ 1 <x 0 < ξ <x. Eftersom derivata är växade gäller det att: f ξ 1 f (ξ ) x 0 skrivs självfallet som tx 1 +(1-t)x. Då är (x 0 -x 1 )=(1-t)(x -x 1 ) och (x -x 0 )=t(x -x 1 ). Då är x 0 x 1 = 1 t t x x 0 Eftersom dessa är positiva ka olikhete ova multipliceras med dessa tal. f ξ 1 x 0 x 1 f (ξ ) 1 t t x x 0 Dea ekvatio gäller för alla ξ 1, ξ med ämda egeskaper. Vi väljer u dessa så de motsvarar ξ i Lagrages medelvärdessats. Då ka vi, efter multiplikatio med t på båda sidor skriva: Vilket är det samma som att: t f x 0 f x 1 (1 t)(f(x ) f x 0 ) tf x 1 + 1 t f(x ) f(x 0 ) 18

Alltså är fuktioe kovex. Nu implikatioe åt adra hållet. Detta bevis hittade jag i Aalysis av Stefa Hildebradt. Låt f betecka e fuktio som är kovex och deriverbar i ett itervall och låt x 1 och x betecka två ire pukter i detta itervall (bara i dessa existerar ju derivata), sådaa att x 1 <x. Eligt sats 13 gäller då följade olikheter för samtliga x tillhörade [x 1,x ]: f x f x 1 x x 1 + f(x 1 ) f x f x x x + f(x ) Sätter vi u x=x i de övre olikhete och x=x 1 i de udre får vi efter överflyttig av kostattermera, divisio av de övre olikhete med (x -x 1 ), som är positivt, samt divisio av de udre olikhete med (x 1 -x ), som är egativt, att: f x 1 f x f(x 1) x x 1 f (x ) Följaktlige är f växade och satse är bevisad. QED. Korollarium I: E fuktio som är deriverbar två gåger är kovex om och edast om dess adraderivata är ickeegativ. Fuktioes derivata är ju då och edast då växade. Korollarium II: E fuktio f är kokav om och edast om dess adraderivata är ickepositiv. Då är ämlige -f kovex och följaktlige -f ickeegativ, vilket är det samma som att f är ickepositiv. Med hjälp av korollariet ka vi lätt som e plätt behadla kovexitetsegeskapera hos x p, där p beteckar ett reellt tal, för alla värde på p. Sats 15: x p är kokav på R + om p *0,1+ och kovex om p 0 eller p 1 Bevis: Vi deriverar fuktioe x p två gåger och udersöker uttrycket som uppkommer. f x = x p f x = p(p 1)x p x p- är positivt, då x är ett positivt tal. p(p-1) är egativt är p och (p-1) har olika tecke, alltså är 0<p<1. När p>1 eller p<0 har p och (p-1) samma tecke, och följaktlige blir p(p-1) positivt. När p=0 eller p=1 är p(p-1)=0. Vi har alltså, för alla x i R + : Eligt sats 14. Därmed är sats 15 bevisad. QED. p 0,1 f x 0 f kokav p, 0 1, f x 0 f kovex Observera att f är både kovex och kokav är p=0 eller p=1. Räkereglera i sats 10 ger oss att alla fuktioer på forme kx+m har dea egeskap. Ituitivt är det rimligt att ata det edast är dessa fuktioer har det. E kovex fuktio buktar uppåt, e kokav fuktio buktar edåt e som både är kovex och kokav borde alltså vara e rät lije. 19

Givetvis går det att visa detta strikt det är dessutom ite så kivigt. Sats 16: Atag att fuktioe f är både kovex och kokav på itervallet I. Då är f(x)=kx+m för alla x i itervallet, för ågra värde på k och m. Bevis: Låt x 1,x I, x 1 x. För alla värde på t gäller då båda dessa olikheter: tf x 1 + 1 t f(x ) f(tx 1 + 1 t x ) tf x 1 + 1 t f x f(tx 1 + 1 t x ) När t [0,1] följer de övre olikhete av defiitioe av e kovex fuktio, de udre av defiitioe av e kokav fuktio. När t [0,1] följer de av sats 6, de övre eftersom f är kokav, de udre eftersom f är kovex. Det gäller alltså för alla värde på t att tf x 1 + 1 t f x = f(tx 1 + 1 t x ) Sätter vi härvid t= x x x 1 x, får vi att (1-t)= x 1 x x 1 x och tx 1 +(1-t)x =x går likhete ova över till f x = x x x 1 x f x 1 + x 1 x x 1 x f x = f x 1 f x x 1 x x + x 1f x x f x 1 x 1 x Vilket är e lijär fuktio. QED. Kommetar: Dea sats ka ses som e motsvarighet till att om e fuktio både är växade och avtagade i ett itervall så är de kostat i det itervallet. 0

Tillämpigar Detta kapitel kommer att diskutera ågra tillämpigar av begreppet kovex fuktio. De två första exemple är bevis av olikheter, det tredje ågra ord om optimerig och kovexa fuktioer, och det sista är e diskussio om kovexa speglar ur ett matematiskt perspektiv. Eftersom ma defiierar kovexitet med hjälp av e olikhet är det ige överraskig att ma ka visa olikheter med hjälp av kovexitet. Vi ileder detta kapitel med bevis för de välkäda olikhetskedja för medelvärde. Q A G H Det vi i valigt tal kallar för medelvärdet av ett atal tal kallas på matematikerspråk för det aritmetiska medelvärdet av tale. Jag förkortar det med A, och påmier om att A = 1 a k Är det aritmetiska medelvärdet för tale a 1,a a. I dea uppsats itresseras vi oss bara för fallet är alla a k är ickeegativa. Det fis fler medelvärdet ä det aritmetiska. Det första exemplet som vi diskuterar här är det kvadratiska alltså rote ur medelvärdet av kvadratera på tale i fråga. Vi beämer detta med bokstave Q och kostaterar att: Q = 1 a k Nu bevisar vi att Q A för alla positiva talföljder med hjälp av Jeses olikhet (sats 7.) Sats 17: Q A. Likhet gäller om och edast om alla a k är lika. Bevis: Eftersom x är strägt kovex på R + ger Jeses olikhet att (vi sätter t k = 1 för alla k): a k a k Med likhet om och edast om alla a k är lika. Geom att dra rote ur båda sidor får vi olikhete. QED. Ytterligare ett exempel på ett medelvärde är det så kallade geometriska medelvärdet. Det får ma geom att multiplicera ihop alla tal och seda dra :te rote ur. Med symboler: G = a k Det gäller att A G. Vi visar u dea viktiga olikhet med hjälp av att l(x) är e kokav fuktio. Sats 18: A G. Likhet gäller om och edast om alla a k är lika. 1

Bevis: Idé till detta bevis såg jag först i Aalys i e variabel av Böiers-Persso me jag har stött på de otaliga gåger därefter. Eftersom l är kokav på R + ger Jese att: l a k l a k Vilket är ekvivalet med att: a k e l a k k =1 = a k QED. Det sista medelvärdet vi ämer här är det såkallade harmoiska medelvärdet. Det gäller att det iverterade värdet av det harmoiska medelvärdet är lika med medelvärdet av de iverterade värdea på tale. Med symboler: H = 1 a k Det går lätt att visa att A H med samma resoemag som ova med fuktioe 1/x. Det fis dock e strägare olikhet med H, ämlige att G H. Mitt bevis för detta aväder ite kovexitet, me jag tar med det för fullstädighetes skull. Sats 19: G H, med likhet om och edast om alla a k är lika. Bevis: A G för tale 1 a k ger oss att: 1 a k 1 a k k =1 Tar vi u det iverterade värdet av båda sidor fås de öskade olikhete. QED. Sammafattigsvis har vi alltså de fatastiska olikhetskedja. Q A G H (När likhet gäller ka väl läsare räka ut själv?) Cauchy-Schwartz Vi visar u ytterligare e klassisk olikhet med hjälp av kovexa fuktioer. Sats 0: (Cauchy-Schwartz olikhet) Atag att {a k } 1 och {b k } 1 är talföljder. Då gäller det att:

a k b k a k b k Med likhet om och edast om a k b k är kostat. Bevis: Idé till detta bevis hittade jag i tidskrifte Mathematical Excalibur, september-ovemberumret 000. Författare till beviset är Ki-Yi-Li, Hog Kog Uiversity of Sciece ad Techology. Iför följade beteckigar: A = a k k =1, B = b k x k = a k A, y k = b k B Det är då klart att 1 x k = 1 y k = 1, samt att alla x k,y k är positiva. Nu ger expoetialfuktioes sträga kovexitet på R att: Eller ekvivalet e 1 (l x k+ l y k ) el x k + e l y k x k y k x k + y k (Hit hade vi kua komma geom att aväda A G, me avädadet av kovexa fuktioer blir mer uppebart är vi gör det såhär.) Summerar vi dessa olikheter får vi att a k b k AB k =1 x k + y k = 1 Multiplikatio av båda lede med AB = a k b k ger a k b k a k b k Vilket är de första dele av satse. Beviset till de adra dele har jag kommit på själv. Dea del är dock relativt självklar, eftersom likhet atas vid avädige av expotetialfuktioes sträga kovexitet om och edast om: l x k = l y k a k A = b k B Eller ekvivalet: 3

a k b k = A B Där högerledet är kostat för e bestämd talföljd. QED. Optimerig Kovexa fuktioer har e väldigt trevlig egeskap; de har på de itervall de är kovexa maximalt ett lokalt miimum. Detta iebär att om ma hittar ett lokalt miimum, ka ma direkt dra slutsatse att det är det globala miimumet. Beviset för detta bygger på att alla kordor till e kovex fuktio ligger över fuktiosgrafe. Fig 11: f, som har två lokala miimum, är ite kovex Sats 1: Atag att de kovexa fuktioe f är defiierad på itervallet I. Då har fuktioe ite mer ä ett lokalt miimivärde på I. Bevis: Atag att det fis två lokala miimipukter, och som ligger i x 1 och x. Atag vidare att f(x 1 ) f(x ). För ekelhetes skull atar vi att x 1 >x det adra fallet är aalogt. Eligt defiitioe för ett lokalt miimum gäller det u för ågot δ att 3 : x, x x 1 < δ: f x f x 1 Vi börjar med att behadla fallet f(x 1 )>f(x ). Sätt då x 0 =x 1 + δ. Då ligger x 0 mella x 1 och x alltså ärx 0 = tx 1 + (1 t)x för ågot t mella 0 och 1. Eligt atagadea ka vi u skriva att: tf x 0 tf(x 1 ) Additio av dessa likheter ger att: 1 t f x 0 1 t f x 1 > 1 t f x Detta är e motsägelse, då f är kovex. f x 0 > tf x 1 + 1 t f x 3 Böiers Lars-Christer, Persso Are; 1990 4

Det återstår att behadla fallet f(x 1 )=f(x ). Om det existerar e pukt x 0 mella x 1 och x såda att f(x 0 )>f(x 1 ) geomför vi samma resoemag som ova för dea pukt. Om det ite gör det, så väljer vi e pukt x 0 mella x 1 och x såda att f(x 0 )<f(x 1 ), om e såda existerar. Då fis det eligt defiitioe av miimipukt e pukt x 3 i högeromgivige till x 1 såda att f(x 3 ) f(x 1 ), och då ka vi aväda resoemaget ova på puktera x 1,x 3 och x 0. Om e såda ite existerar, är f kostat lika med f(x 1 ) mella x 1 och x. Då har fuktioe edast ett miimivärde ädå (om det u ite existerar ågo pukt x 4 som ite ligger mella x 1 och x, där f(x 4 )<f(x 1 ), alterativt det existerar pukter mella x 1 och x 4 vilkas fuktiosvärde är större ä f(x 1 ). I båda dessa fall har vi dock e situatio som i det första fallet ova. QED. Fig 11: f, som är kovex, har ett miimivärde detta atas i ett helt itervall. Om f är defiierad på ett slutet, begräsat itervall fis ett lika praktiskt resultat om maximum på detta itervall. Sats : Om e fuktio f är kovex på ett slutet, begräsat itervall ligger maximum i ågo av ädpuktera. Bevis: Atag att itervallet som f är defiierad på är [x 1,x ]. Om maximum ite atas i ågo av ädpuktera existerar det e pukt ξ (x 1,x ) såda att f(ξ)>max(f(x 1 ),f(x )). Vi skriver att ξ=tx 1 +(1- t)x, och kostaterar att tf ξ > tf x 1, 1 t f ξ > 1 t f x f ξ > tf x 1 + 1 t f x Vilket är e motsägelse. Alltså atas maximum i ågo av ädpuktera. QED. Korollarium: Om g är kokav på ett slutet begräsat itervall ligger miimum i ågo av ädpuktera. Ty om g hade haft ett miimum i ågo aa pukt, hade g haft maximum i samma pukt. Detta är dock eligt de yss visade satse omöjligt (då g är kovex.) Vi aväder u detta faktum för att bevisa ett itressat faktum Håka Cegrell föreslog som lämpligt att visa i si projektarbetesbeskrivig. 5

Sats 3: Atag att fuktioe H(x,y) är defiierad på rektagel a x b,c y d. Vidare är de såda att H(,y) (fuktioe som uppkommer då ma håller x fast och edast låter y variera) är kokav för varje x och H(x, ) är kovex för varje y. Då är mi max H x, y max mi H(x, y) c y d a x b a x b c y d Fig. 1: E fuktio H som är kovex med avseede på x för varje fast y och kokav med avseede på y för varje fast x. Bevis: För varje fast y uppkommer maximum i ågo av ädpuktera i x-led. Alltså är max H x, y = max H a, y, H b, y a x b Högerledet i dea likhet är e fuktio av y. Eligt sats 11 är de kokav i ett atal delitervall [c,y 1 + *y,d], där H(a,y i )=H(b,y i ). (De ka också vara kokav i hela itervallet.) I alla dessa delitervall atas miimum i ågo av ädpuktera. Miimum av fuktioe max H a, y, H b, y är alltså det mista av tale max H a, c, H b, c, max H a, d, H b, d, H a, y 1 H(a, y ) Med precis samma resoemag kommer vi fram till att H.L i olikhete som ska visas är det största av dessa tal; mi(h a, c, H a, d ), mi(h b, c, H b, d ), H x 1, c H(x m, c) Det gäller u att visa att det mista av de övre tale är större ä det största av de midre. Vi börjar med att visa detta för ädpuktstale, dvs. att mi ( max H a, c, H b, c, max H a, d, H b, d ) max (mi H a, c, H a, d, mi(h b, c, H b, d )) Detta görs eklast med falluppdelig: geom att vi uta iskräkig ata att ågot av tale är störst behöver vi edast behadla 6 fall: I H a, c H a, d H b, c H(b, d) II H a, c H a, d H b, d H b, c Vi geomför edast behadlige av fall 1 de adra görs på exakt samma sätt. I detta fall blir olikhete ova ekvivalet med 6

mi H a, c, H a, d max H a, d, H b, d H a, d H a, d Vilket är sat. De adra falle ger också olikhet åt rätt håll. Nu visar vi att att varje ädpuktstal i de edre kategori är midre ä varje icke-ädpuktstal i de övre. Detta är lättare. Eftersom t.ex. max H a, c, H b, c är maximum för fuktioe H(x,c) gäller det för varje x i att det är större ä eller lika med H(x i, c). På samma sätt är t.ex. mi(h b, c, H b, d ) miimum för fuktioe H(b,y) och därför midre ä H(b, y i ). Till sist visar vi att varje icke-ädpuktstal ur ea kategori är större ä varje tal av samma typ ur de adra kategori. Detta är lätt, ty: H a, y i H x j, y i H(x j, d) De första olikhete följer av att H(a,y i )=H(b,y i ) är maximum av fuktioe H(x,y i ), de adra av att H(x j,d)=h(x j,c) är miimum för fuktioe H(x j,y). QED. Spegel De flesta möter begreppet kovexitet för första gåge i sambad med speglar. I detta avsitt ska vi försöka visa att e spegel med de egeskaper vi tillskriver e kovex spegel verklige måste vara kovex. För att kua föra ett fruktbart resoemag börjar vi med att defiiera vad e kovex spegel är. Defiitio: E kovex spegel reflekterar parallella strålar på ett sådat sätt att de tycks komma frå e pukt. Resoemaget kommer att bygga på att strålar reflekteras i speglara som de hade gjort i e tagerade ifiitesimal pla spegel till de kovexa spegel dvs. eligt reflektioslage. Vi ka uta vidare ata att spegel beskriver e fuktioskurva om spegel för ågot x-värde atar flera y-värde är det bara det edersta som reflekterar ljus se figure eda. De dele av spegel som ite reflekterar ljus ka vi alltså bortse ifrå och då beskriver spegel garaterat e fuktioskurva. Fig 13: Ljusstrålar träffar bara e del av spegel. 7

Det är fysikaliskt rimligt att ata att spegels kurva är styckvis kotiuerlig. Det är däremot ite självklart att de är kotiuerlig i hela si defiitiosmägd. Faktum är att det existerar teoretiska kovexa speglar som är diskotiuerliga i vissa pukter. Ia vi ger exempel på e såda kurva så visar vi att kurva är kovex i de itervall de är kotiuerlig. Sats 4: De kotiuerliga bitara av grafe som uppkommer då vi lägger e kovex spegel med de reflekterade sida edåt i ett ortoomerat koordiatsystem är e graf till e kovex fuktio. Bevis: Vi betraktar u e kotiuerlig bit av spegel som atas för både egativa och positiva x- värde, för att slippa göra separata resoemag för bitar med edast positiva respektive edast egativa. Det är fysikaliskt rimligt att ata att grafe som uppkommer är deriverbar aars kommer det fias pukter uta bestämd lutig till de tagerade spegel. Två strålar som ikommer ifiitesimalt ära varadra mot dessa pukter kommer alltså att reflekteras ickeifiitesimalt olika riktigar. Betecka spegelfuktioe med y. Beviset går ut på att visa att deas adraderivata är positiv. Vi lägger spegel så att y(0)=y (0)=0. Vidare lägger vi spegels fokus pukte (0,F) och kallar de för F. Låt äve S vara skärigspukte mella spegel och e stråle ikommade lägs med lije med x- koordiate x. 8

Fig.14: E stråle faller i mot e kovex spegel. Lije X 1 S är tagetspegel. Vikel mella deas ormal och de ikommade stråle är lika med XX 1 S. Betecka dea vikel med α. Eftersom Δx = X 1 X, Δy = XS för tagetspegels räta lije, gäller det att y = ta α, α < π Reflektioslage tillsammas med att motståede viklar är lika stora ger att FSX = XX 1 S = α. Då F 1 S = x och F 1 F = F y, är cot α = F y x α = 1 F y cot 1 x + π Derivatio av y och isättig av α ger: y = 1 + ta α α = 1 + ta α F y (1 + ( x ) ) ( xy (F y)) x = 9 1 + ta α x + F y (xy + F y ) Bråket i detta uttryck är alltid positivt. Att visa att adraderivata är positiv är alltså ekvivalet med att visa att F y + xy > 0 Då x>0 är 0<α< π. Detta eftersom att om α vore egativt ågostas är x är positivt, hade derivatas värde i dea pukt varit egativt. Detta hade medfört att stråle ikommade mot dea pukt hade reflekterats mot x-axel, och därmed ite som om de hade kommit frå e pukt på x-axel. Olikhete ova blir ekvivalet med y F y > x Geom att substituera lede med de trigoometriska uttrycke får vi ta α > cot α = 1 ta α ta α ta α + 1 ta α > 0 (I) Vilket är sat, eftersom taα>0 i detta itervall. När x<0 är istället - π <α<0 (eligt samma typ av resoemag som ova) och vi kommer på samma sätt som ova fram till dea olikhet: ta α + 1 ta α < 0 (II) Som äve de är sa, eftersom taα<0 i detta itervall. Fallet x=0 får vi geom gräsövergåg: är x går mot oll går α mot oll och därför är lim x 0 y = 1 F > 0 Alltså är y positiv för alla värde på x, och sats 14 ger då att y är kovex.

QED. Tidigare ämdes det att det fis diskotiuerliga kovexa speglar. Vi ska u kostruera e såda spegel. Betrakta edaståede figur. Fig 15: E diskotiuerlig kovex spegel I pukte x=x 0 är kurva ova diskotiuerlig. Strålar som ikommer i ärhete av dea pukt kommer att reflekteras som om de kom ifrå e gemesam pukt, eftersom väster- respektive högertagetspegels lutigar är rätt avpassade, ärmare bestämt är; f x 0 = ta α 1, f + x 0 = ta α cot α i = F y i x cot α 1 cot α = y y 1 x Där α 1 och α är viklara mella väster- respektive högertagetspegel och x-axel, y 1 =lim x x 0 y och y =lim x x0 + y. De strålar som ikommer i just diskotiuitetspukte kommer teoretiskt sätt att slumpmässigt gå frå spegel i ågo av de riktigara som bestäms av väster- respektive högerderivata, och således se ut att komma frå samma pukt som övriga strålar. Vilka egeskaper har dea spegel? De mest uppebara är att bilde ma ser i de är diskotiuerlig, om ma tittar rakt på de. För att förklara detta observerar vi att spegel ite kommer att skicka ut strålar i vissa riktigar ärmare de som ligger mella de två strålara i figur 14. Eftersom strålgåg är reversibel, kommer ite strålar som kommer i frå dessa riktigar att reflekteras rakt er. Bilde kommer alltså bli diskotiuerlig. Hur som helst, eligt sats 9 behöver alltså ite spegelkurva, eftersom de är diskotiuerlig, vara kovex på hela si defiitiosmägd. Vi har dock visat ett ågot svagare resultat, som äve det är itressat. 30

Kovexitet i flera dimesioer Vi har hittills edast diskuterat kovexa fuktioer vars defiitiosmägder är delmägder av R. Vi ämde i sambad med detta att det går att defiiera e kovex fuktio i högre dimesioer alltså fuktioer vars defiitiosmägder är delmägder av R. För att kua motivera defiitioe måste vi dock diskutera begreppet kovexa mägder först. Kovexa mägder Defiitio 4 : E kovex mägd är e delmägd K av R (för ågot ) såda att samtliga sträckor som förbider två pukter i mägde är e delmägd av K. För = och =3 är defiitioe lätt att förstå. Vi vet ämlige vad e sträcka är i två och tre dimesioer e lije mella två pukter. Ett exempel på e kovex mägd i plaet är e triagel, i rummet ett klot. Fig 16: Två mägder av pukter i plaet. De västra är kovex, de högra är ite det. I högre dimesioer är det ite lika solklart. Vad är e sträcka i fem dimesioer till exempel? Vi måste defiiera e såda sträcka strikt. Defiitio 5 : Låt v 1 och v vara två vektorer i R. Sträcka mella v 1 och v defiieras som mägde vektorer S v1,v = v v = tv 1 + (1 t)v, t [0,1] Med dea strikta defiitio av e sträcka ka vi u bevisa det vi ituitivt atog i avsittets iledig; att e triagel (iklusive dess ire) är e kovex delmägd av R. (Beviset för att klotet är kovext kommer sart.) Sats 5: E triagel och dess ire är e kovex delmägd av R. Bevis: Lägg triagel i ett ortoomerat koordiatsystem med höre i origo, (0,x a ), x a >0,och (x b,y b ), y b >0, Vi får tre fall: x b >0, x b =0 och x b <0. Vi börjar med det likhets-fallet, då detta är eklast att behadla. (1) x b =0 Mägde av pukter som utgör triagel och dess ire är då dea: 4 Lederma Walter, 1985 5 Lederma Walter, 1985 31

M = (x, y) 0 x x a, 0 y y b x a x a x (Dubbelolikhete för y-koordiate iebär att de ligger mella katete parallell med x-axel och hypoteusa.) Att visa att de är kovex är alltså ekvivalet med att visa att följade olikheter gäller för två pukter (x 1,y 1 ),(x,y ) tillhörade M: 0 tx 1 + 1 t x x a 0 ty 1 + 1 t y y b x b x b (tx 1 + 1 t x ) Olikhetera åt väster är självklara. Olikhetera åt höger fås av att multiplicera olikhetera för (x 1,y 1 ) och (x,y ) med t respektive (1-t) och addera. () x b >0 Mägde för puktera är u: M = x, y 0 x x b, 0 y y b x b x x b + y b y b (x, y) x b x x a, 0 y x b x a x x b + y b Eftersom y b x x x b + y b x x b x b x b + y b är och a edast är x b x, ka dea mägd ka också skrivas: Där y b M = (x, y) 0 x x a, 0 y T(x) y b T x = mi y b x x x b + y b, b x b x a x x b + y b Vi ska som i förra fallet u bevisa att följade gäller för två pukter (x 1,y 1 ),(x,y ) tillhörade M: 0 tx 1 + 1 t x x a 0 ty 1 + 1 t y T tx 1 + 1 t x Liksom förut är olikhetera åt väster självklara. X-olikhete fås på samma sätt som förut, Y- olikhete geom att observera att T(x) eligt sats 10 och sats 15 är kokav: (3) x b <0 ty 1 + 1 t y tt x 1 + 1 t T x T tx 1 + 1 t x Nu är mägde av pukter följade: y b M = (x, y) 0 x x a, 0 y x b x a x x b + y b 3

x, y x b x 0, y b x b x x b + y b y y b x b x a x x b + y b Eftersom y b x b x x b + y b 0 är och edast är x 0, ka mägde också skrivas M = (x, y) 0 x x a, T(x) y x b x a y b x x b + y b Där T x = max 0, y b x b x x b + y b Nu ska vi visa att följade gäller för två pukter (x 1,y 1 ),(x,y ) tillhörade M: 0 tx 1 + 1 t x x a T tx 1 + 1 t x ty 1 + 1 t y x b x a y b (tx 1 + (1 t)x ) x b + y b X-olikhetera är självklara. Y-olikhete åt höger får vi geom att multiplicera olikhetera y i y b x b (x i x b ) + y b med t respektive (1-t) och seda addera. Slutlige får vi Y-olikhete åt väster geom att observera att T är kovex eligt sats 10 och sats 15. QED. I beviset aväder vi oss av kovexa fuktioer. Det verkar som de kovexa mägdera har ett itimt sambad med de kovexa fuktioera. Detta får si förklarig är vi går i på defiitioe av de flerdimesioella kovexa fuktioera. Först ska vi dock studera e kovex mägd av särskilt itresse; ämlige det kovexa höljet till e mägd vektorer. Defiitio 6 : Det kovexa höljet H till e mägd vektorer är de mista kovexa mägd som iehåller alla dessa. Med adra ord, för alla kovexa mägder K iehållade samtliga pukter i mägde gäller det att H K Om vi har e ädlig mägd vektorer är det ite svårt att age dea mägd explicit. Vi gör det med hjälp av följade sats. Sats 6: Låt V= v 1, v v vara e give mägd vektorer. Det kovexa höljet till dea mägd är mägde av alla viktade aritmetiska medelvärdea av dessa vektorer, alltså H = v v = t k v k, där t 1, t t är e tipel av reella tal 0,1 såda att t k = 1 Bevis: Vi börjar med att bevisa att H är e kovex mägd. Vi gör detta geom att observera att sträcka mella två godtyckliga elemet v 1, v i H ser ut på följade sätt; 6 Kaha W, 000 33

θv 1 + 1 θ v = θ r k v k + 1 θ s k v k = (θr k + 1 θ s k )v k Där θ 0,1 och r k, s k är två -tiplar med ova ämda egeskaper. Det gäller u att visa att koefficietera framför v k i det sista högerledet tillhör [0,1], och att deras summa är 1. Detta är lätt, då vi påmier oss om att r k och s k har just de egeskapera. 0 θr k + 1 θ s k θ + 1 θ = 1 (θr k + 1 θ s k ) = θ r k + 1 θ s k = θ + 1 θ = 1 H är alltså kovex. Det gäller u att bevisa att de är de mista kovexa mägde iehållade v 1, v v. Atag att mägde M iehåller samtliga vektorer. Ka de vara kovex uta att iehålla samtliga viktade aritmetiska medelvärde? För att M ska vara kovex måste de iehålla alla vektorer på sträcka mella vektorera v 1 och v ; θ 1 v 1 + 1 θ 1 v (där θ 1 [0,1]) Vidare måste de iehålla alla vektorer på sträcka mella e vektor på sträcka ova och vektor v 3 : θ θ 1 v 1 + 1 θ 1 v + (1 θ )v 3 Där θ [0,1]. Fortsätter vi detta resoemag med ya tal θ k [0,1] till och med v får vi att samtliga dessa vektorer måste tillhöra mägde: Sätter vi u θ 1 θ 1 v 1 + θ 1 θ 1 θ 1 v + θ 1 θ 3 1 θ v 3 + + (1 θ 1 )v 1 t k = 1 θ k 1 j =k θ j (θ 0 = 0) Så gäller det att t k 0,1 Då t k är e produkt av ickeegativa tal som är midre ä eller lika med 1. Dessutom är t k = 1 34

Vi visar detta med iduktio. För = är det självklart (θ 1 + (1-θ 1 )=1). Så atar vi att det stämmer för alla p-tupplar av θ-tal. Det som ska visas u är att det stämmer äve för e godtycklig (p+1)-tuppel av θ-tal, alltså att p+1 τ k = 1 Där τ k ges av p p 1 τ k = 1 θ k 1 θ j = θ p 1 θ k 1 θ j = θ p t k, 1 k p j =k j =k τ p+1 = 1 θ p Där t k är e sekves geererad av e p-tuppel av θ. Då gäller det eligt iduktiosatagadet; p+1 k =1 τ k = 1 θ p + θ p t k p = (1 θ p ) + θ p = 1 Nu ger iduktio att det stämmer för alla -tiplar för ett godtyckligt heltal. Detta småplottriga iduktiosbevis har hur som helst bevisat att om M ska vara kovex och iehålla alla vektorer i V så måste de iehålla alla aritmetiska medelvärde av vektorera i V. H måste alltså vara e delmägd av M. Detta tillsammas med att H är kovex ger oss att H är det kovexa höljet. QED. Nu ska vi defiiera kovexa fuktioer som beror av flera variabler. Kovex fuktio geeraliserad defiitio Låt oss först titta på de valiga edimesioella kovexa fuktioera ett slag. Att alla kordor till fuktiosgrafe ligger över desamma iebär att alla sträckor mella två elemet i mägde av alla pukter liggade på eller över fuktiosgrafe är delmägder av desamma dea mägd är alltså kovex. Dea mägd kallas för fuktioes epigraf. Vi defiierar flervariabla kovexa fuktioer på precis samma sätt deras epigrafer är kovexa mägder. Dea mägd är alltså kovex för e kovex fuktio f: E f = v, μ : μ f(v) Detta iebär att fuktioes defiitiosmägd måste vara e kovex mägd aars skulle sträcka mella vissa vektorer i defiitiosmägde ite i si helhet ligga i defiitiosmägde. Sträcka mella dessa vektorers pukter i epigrafe skulle då självklart ite heller ligga epigrafe i si helhet. 35

() (1) Fig. 17: f är ite kovex. De två sträckora är (1) Sträcka mella v 1 och v i fuktioes icke-kovexa defiitiosmägd. () Sträcka mella puktera (v 1,f(v 1 )) och (v, f(v )) För e kovex fuktio har vi alltså att för samliga v 1,v i e kovex delmägd av R att S v1,v E f Vi ka uttrycka detta lite bekvämare, vilket vi gör i edaståede strikta defiitio. Defiitio 7 : Låt f vara e fuktio defiierad på K, där K är e kovex delmägd av R. De är kovex om de har målmägde R och uppfyller villkoret v 1, v K t 0,1 : tf v 1 + 1 t f(v ) f(tv 1 + 1 t v ) Observera att dea defiitiosolikhet är i pricip de samma som i specialfallet K R. Ia vi tittar på kokreta exempel på flervariabla kovexa fuktioer ska vi ge ett alterativt bevis till Jeses olikhet med hjälp av att E f är kovex. Dea gåg gör vi det så att de gäller i alla dimesioer (vilket det förra beviset med små förädrigar också ka duga till.) Observera att detta bevis ka ge likhet i olikhete, me de gäller för alla kovexa, ite bara de strägt kovexa, fuktioera. Alterativt bevis till sats 7: Låt v 1, v v vara vektorer i f:s defiitiosmägd. Titta på mägde (v k, f(v k ) Eftersom E f är e kovex mägd iehållades alla dessa pukter är det kovexa höljet H e delmägd i dea mägd. H E f Eligt defiitio och sats 6 iebär detta att det för samtliga -tiplar av reella tal t 1, t t, sådaa att deras summa är 1 att: t k k =1 (v k, f v k ) v, μ : μ f(v) Detta betyder att: 7 Lederma Walter, 1985 36

t k f(v k ) f t k v k QED. Nu ett kokret exempel på e flervariabel kovex fuktio. Sats 7: f x 1, x,, x = x k är kovex på R. Bevis: Låt v a =(x 1a,x a,,x a ) och v b =(x 1b,x b, x b ) vara två vektorer i R. Det som ska visas är att t x k a För godtyckliga v a och v b. Vi kvadrerar: + 1 t x k b (tx k a +(1 t)x k b ) t x k a + t 1 t x k a t x ka x k a x k b + t 1 t x k a x k b + 1 t x kb x k b + 1 t x k b x k a x k b Där de sista olikhete fås ur Cauchy-Schwartz (sats 0). QED. Med hjälp av detta resultat ka vi u bevisa att klotet är kovext. Sats 8: Ett klot och dess ire är e kovex delmägd av R 3. Bevis: Ett klot med radie R och dess ire beskrivs av följade mägd: B = (x, y, z) x + y + z R Det som ska visas är alltså att följade gäller för två pukter (x 1,y 1,z 1 ) och (x,y,z ) tillhörade B: tx 1 + 1 t x + (ty 1 + (1 t)y ) + (tz 1 + (1 t)z ) R 3 Eftersom x k är kovex på R 3 gäller det dock att tx 1 + 1 t x + (ty 1 + (1 t)y ) + (tz 1 + (1 t)z ) t x 1 + y 1 + z 1 + 1 t x + y + z tr + 1 t R = R QED. 37