Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar. Ofullstädiga lösigar, eller lösigar som är svåra att följa ger poägavdrag. Skriv tydligt! Motivera väl! Edast svar accepteras ej! För bedömig och betygsgräser se kurses hemsida. Lösigsförslag aslås på kurses hemsida efter tetame. Lycka till! Bertil Del A Hadräkig, p/uppgift.. Om ett ibrott görs e att så riger tjuvlarmet med saolikhete 0.999. Om iget ibrott görs riger larmet med saolikhete 0.0. Atag att saolikhete är 0.00 att ett ibrott iträffar uder e viss att. E att riger tjuvlarmet. Vad är saolikhete att ett ibrott har skett? Lösigsförslag: Låt I = Ibrott, P I = 0.00 och L = Larmet går, P L I = 0.999 och P L I C = 0.0. Vi söker P I L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P L I P I P L I 0.00ÿ0.999 Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P L P I P L I + P I c P L I C 0.00ÿ0.999 + 0.999ÿ0.0 º 0.09 0.00 I 0.999 0.00 L L c 0.999 I c 0.0 0.99 L L c. Varje vecka ordar MC-klubbe Hjulkul ett lotteri. Saolikhete att via på e lott e give vecka är p = 0.04. Vad är saolikhete att via åtmistoe ågo gåg uder 5 veckor om ma köper e lott per vecka? Lösigsförslag: Låt x = atal vistlotter av 5, då är x œ Bi 5; 0.04 (oberoede upprepigar med samma p). Så P mist vist på 5 veckor = P x = - P x = 0 = - - 0.04 5 º 0.88. 3. Eva har e arkitektfirma och tar betalt för varje uppdrag ho får eligt formel x = 800 + 500 h, där x är ikomst i kr och h är atalet arbetade timmar i uppdraget. h atas vara N 5; 5 (ehet timmar). a) Hur mycket pegar tjäar ho i geomsitt per uppdrag och vilke fördelig har x? b) Vad är saolikhete att ho tjäar mer ä 0000 kr på sitt ästa uppdrag? Lösigsförslag: a) Vi får vätevärdet E x = E 800 + 500 h = 800 + 500 E h = 3300 och tillsammas med V x = V 800 + 500 h = 500 V h = 650000 har vi fördelige x œ N 3300; 500. b) P x > 0000 = - P x 0000 = -F ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0000-3300 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = -F -.3 =F.3 = 0.9066 500 4. Eergi (mätt i ågo lämplig ehet) hos e viss partikel ka betraktas som e diskret stokastisk variabel x med saolikhetsfuktioe x 3 4 p x 0.4 0.3 0. 0. Eergi hos olika partiklar ka atas vara oberoede.
a) Bestäm E x och D x. b) Bestäm ett tal w så att summa av eergi hos 50 partiklar överstiger w med saolikhete 0.90. (Lämpliga och väl motiverade approximatioer tillåta) Lösigsförslag: a) Vi får 4 E x = i= x i p x i = och V x = E x -E x 4 = i= x i p x i - = fl D x = V x = b) Låt z = 50 i= x i vara sammalagd eergi för 50 partiklar, så har vi E z = E 50 i= x i = 50 i= E x i = 50 ÿ = 00 V z = V 50 i= x i = 50 i= V x i = 50 ÿ = 50 Nu är z º N 00; 50 så CGS P z >w = 0.90 ñ P z w = 0.0 ñf ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ w-00 w-00 = 0.0 ñ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =-.86 ñ w = 90.94 50 50 5. E läkemedelstillverkare aväder iblad e viss läkemedelsfärg och ma vill veta hur färge påverkar utseedet hos framställda läkemedlet. Ur tillverkige tar ma därför på måfå tio förpackigar och mäter grumlighete (i ågo lämplig ehet) i iehållet efter e tids lagrig. Resultat: 4.05 4. 4.4 4.0 3.95 4.30 4. 4.40 3.80 4.9 Uta färgtillsats brukar de geomsittliga grumlighete m =4.00. Materialet ases vara ett slumpmässigt stickprov frå N m; s. Hur klarar sig läkmedel med färgtillsats i förhållade till läkemedel uta tillsats? Besvara fråga geom att beräka och tolka ett kofidesitervall för m med kofidesgrad 95%. Lösigsförslag: m * = êê x = 4.55, s * 9 = s = 0.044, = 0 och t 0.05 =.6. Ett kofidesitervall för de geomsittliga grumlighete ges av m œ x êê 9 s t 0.05 ÅÅÅÅÅÅÅÅ (95%) så mœ 4.55 0.46 95 % flmœ 4.008, 4.30 95 %. Det är alltså statistiskt säkerställt att grumlighete förädras, med felrisk (sigifikasivå) 5%. Grumlighete ökar då kofidesitervallet ova med 95% säkerhet ite iehåller m = 4.00. Del B Avädig av Mathematica. Markera alla stora bokstäver i Mathematica geom att stryka uder dem! Skilj oga på ()[]{}.ä! Age om du aväder Palette eller Â-sekveser! Aväd gära förklarade text&pilar! p/uppgift. 6. Beräka medelvärdet, mediae, variase och stadardavvikelse för thedata 9.83544, 6.933, 7.3600, 7.33969, 5.3, 6.374,.35077, 3.6377, 4.56, 4.95668 Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggda fuktioer i Mathematica... thedata 9.83544, 6.933, 7.3600, 7.33969, 5.3, 6.374,.35077, 3.6377, 4.56, 4.95668 ; Mea thedata 5.859 Media thedata 5.843 Variace thedata 4.84336
StadardDeviatio thedata.0076 7. Beräka 35 6. Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggd fuktio i Mathematica... Biomial 35, 6 6360 8. Låt x œ N 0, 5. Defiiera och rita täthetsfuktioe och fördeligsfuktioe. Lösigsförslag: Direkt avädig av ibyggda fuktioer i Mathematica... ormalfuctio NormalDistributio 0, 5 NormalDistributio 0, 5 pdffuctio PDF ormalfuctio, x - ÅÅÅÅÅÅ 50 x-0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 p Plot pdffuctio, x, 0, 40, PlotStyle Red 0.08 0.06 0.04 0.0 0 0 30 40 cdffuctio CDF ormalfuctio, x ÅÅÅÅÅ erf ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - 0 5 + Plot cdffuctio, x, 0, 40, PlotStyle Darker Gree 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 30 40 9. Låt x œ N 0, 5 och beräka saolikhete att x > 5. Lösigsförslag: Direkt defiitioe i föregåede uppgift. 3
CDF ormalfuctio, 5. 0.58655 0. Lös uppgift 4. Lösigsförslag: Eergiivåera och deras saolikheter. x,, 3, 4 ; p 0.4, 0.3, 0., 0. ; a) Först E x och D x. E x.p. V x.p E. b) Seda E z och V z. E 50 E 00. V 50 V 50. Slutlige de efterfrågade eergiivå w. cdffuctio CDF NormalDistributio E, V,w ÅÅÅÅÅ erf 0. w - 00. + FidRoot cdffuctio 0.9, w, 00 w Ø 90.938 Del C Modellerig och Mathematica, 5 p/uppgift.. Ma vill kotrollera kvalite på ett parti av 000 st μ 4' - brädor. Ma plockar därför ut 0 st slumpvis valda brädor för kotroll. Om samtliga dessa är korrekta godkäs partiet. Om exakt e bräda är defekt tar ma ytterligare 0 slumpvis valda brädor ur partiet. Om samtliga dessa är korrekta godkäs partiet, aars uderkäs partiet. Vad är saolikhete att partiet uderkäs om det iehåller 50 defekta brädor? Lösigsförslag: Låt x vara atal defekta brädor i :a urvalet, x œ Hyp 000; 0; 0.05. Partiet uderkäs om x >. Om x = tas ytterligare 0 brädor blade återståede 000-0 = 980. Låt z vara atal defekta brädor i :a urvalet, zœhyp 980; 0; p där p = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 49 980. Så P Uderkäa partiet = - P Godkäa partiet = - P x = 0 + P x = P z =0 x = = 4
0 0 9 0 0 = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 000 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 000 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 980 º 0.475 0 0 0 Ma ka också räka approximativt med e Poissofördelig då p+ ÅÅÅ Å N 49 x º Po 0 ÿ 0.05 = Po och z ºPo 0 ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = Po 0.5 varav 980 P Uderkäa partiet º - P x = 0 + P x = P z =0 x = = = - 0.3676 + 0.3676 ÿ 0.6065 = 0.4 950 50 950 50 93 49 < 0., så med l =p har vi G G x=0 z=0 x= x> z>0 U U. Iför kommade fotbollallsveska tillfrågades 500 slumpvis utvalda Halmstadbor om Halmstad BK:s chaser. 87 st sa sig vara optimistiska och svarade att de tror att Halmstad BK vier guld. a) Beräka och tolka ett 95% kofidesitervall för adele optimistiska Halmstadbor. b) Hur måga behöver tillfrågas för att ett 99% kofidesitervall för adele optimistiska ska bli högst 5% lågt? Lösigsförslag: a) Låt x vara atal optimistiska, x º Bi 500; p, där p är adel optimistiska. p * = ÅÅÅÅ x º N p; ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p -p p* obs = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 87 500 = 0.74 fls* p = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0.74-0.74 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ º 0.06954 500 Ett kofidesitervall för p med approximativ kofidesgrad ges av p œ p * l p * -p * a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, º -a 00 % där l 0.05 =.96 fås ur tabell. Detta ger p œ 0.74 0.033304, º 95 % eller p œ 0.4, 0.07, º 95 %. Eligt dea udersökig är mella 4.% och 0.7% av Halmstadbora optimistiska och tror att Halmstad BK vier allsveskt guld i fotboll 009. b) Ma ka göra detta uder olika förutsättigar. Vi vill att felmargiale l p * -p * a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0.05. Alt : Vi ka se udersökige om 500 som e förstudie och då vet vi att p º 0.74 så med l 0.005 =.5758 får vi l p * -p * a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0.05 fl ÿ.5758 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0.74-0.74 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b 0.05 fl 56. Om ma vet att p º 0.74 behöver ma fråga mist 56 halmstadbor. Alt : Ma bortser frå tidigare udersökigar. Vi vill fortfarade att felmargiale ska var midre ä 5% det vill säga l p * -p * a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0.05. I så fall måste vi räka med de största stadadavvikelse p * -p * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ och de iträffar då p * = ÅÅÅÅ, så ÿ.5758 ÅÅÅÅÅÅ b 0.05 fl r 654. 4 Om ma gör e förstudie behöver ma fråga mist 56 halmstadbor. Uta förstudie eller om ma bortser frå resultatet i tidigare studier behöver ma fråga mist 654 halmstadbor. 5