Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Relevanta dokument
Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

101. och sista termen 1

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

som är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)

Om komplexa tal och funktioner

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

Andra ordningens lineära differensekvationer

Föreläsning 2: Punktskattningar

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Trigonometriska polynom

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Svar till tentan

Räkning med potensserier

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

Två enkla egenvärdesproblem. Två - gissningsvis välbekanta - egenvärdesproblem

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.

Funktionsteori Datorlaboration 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

Datum: 11 feb Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Uppgift. Uppgift 2 2. Uppgift. Beräkna.

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

================================================

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Föreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Stela kroppens rotation kring fix axel

Introduktion till statistik för statsvetare

Cartesisk produkt. Multiplikationsprincipen Ï Ï Ï

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Föreläsning G04: Surveymetodik

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Bertrands postulat. Kjell Elfström

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

Betygsgränser: För (betyg Fx).

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

Transkript:

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk process Radvärdesprolemet estår av ekv 1 och fra villkor som iehåller värde av fuktioe eller dess derivator lägs de fra sidora av rektagel a, För att lösa ett sådat radvärdesprolem aväder vi följade tre steg: Steg 1 Med hjälp av variaelseparatio estämmer vi alla produktlösigar u, X Y Steg Blad lösigar som vi får i steg 1, väljer vi de som uppfller giva homogea villkor, sådaa eteckar vi med u, Steg 3 Slutlige ildar vi e oädlig summa u, u, av lösigar i steg och estämmer koefficieter så att u, uppfller det icke-homogea villkoret eller de ickehomogea villkore =============================================================== Amärkig 1 Fuktioe u, är e lösig de triviala lösige till ekvatioe och homogea villkor me ite till icke-homogea villkor I fortsättig atar vi att mist ett villkor är icke-homoge, Därmed förkastas lösige u, ===================================================== 1 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Amärkig I ågra uppgifter med aplaces ekvatio är det lämpligt att aväda hperoliska fuktioer cosh och sih som defiieras eligt följade def cosh e e och sih def e e Med adra ord är cosh är medelvärdet t av e och e, meda är sih fuktioera: medelvärdet av e ochh e Detta ger att vii ekelt ritarr grafe till Följade viktiga egeskaper kommer direkt frå defiitioe: cosh 1, sih d d cosh sih, d d sih cosh, cosh sih 1 Notera mella hperoliska och trigoometriska fuktioer, l aat: cosh sakar ollställe, sih har edast ett ollställe = Eempel 1 Bestäm de allmäa lösige till epoetialfuktioer och trigoometriska fuktioer r ösig: Asatse e ger de karakteristiska ekvatioe r 16 r 4 Därför är e 4 och e 4 lijärt oeroede aslösigar r och därmed är Ae Be 4 de allmäa lösige 4 4 4 4 e e e e 4 Eftersom cosh 4 och sih4 lösigar ka vi age de allmäa lösige på forme C cosh 4 D sih 4 16 Age A svaret med åde är också lijärt oeroede av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Amärkig 3 På likade sätt ka vi i allmät age de allmäa lösige till, där på två olika sätt: Ae Be, C cosh Dsih Vi aväder det sätt som är mest praktiskt i e uppgift Uppgift 1 ös PDE med tillhörade radvillkor: u, u,,, ekv1 Villkor 1: u,, för Villkor : u, för alla, Villkor 3: u, för, Villkor 4: u, f 5 för, ösig: Steg 1: Vi örjar med produktasatse och variaelseparatio åt u, X Y P1 Vi sustituerar P1 i ekv1 och får X Y Y X eller X Y X Y * Eftersom västerledet eror av och högerledet eart av, måste de vara kostata och ha samma värde som vi eteckar med Vi eteckar kostate med för att efterlika eteckig i kursoke, aars ka vi aväda Alltså X Y X Y ** där är ett reellt tal just u vilket som helst Frå ** får vi två ekla ODE med kostata koefficieter: 3 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Frå X X och Y Y får vi X X ekv a och Y Y ekv Vi etraktar tre fall, och I Om lir ovaståede ekvatioer X och Y som ger X A B och Y C D Därmed lir u, X Y = A B C D II Om ka vi av praktiska skäll etecka där är ett positivt tal Frå ekv a får vi X X som gör X Ae Be Vi ka äve aväda X Acosh Bsih som är ilad eklare att hatera Frå ekv har vi Y Y som ger Y C cos Dsi Därmed u, X Y = Ae Allterativt ka vi skriva u, Acosh B sih Be C cos Dsi, där C cos Dsi, III Om ka vi etecka där är ett positivt tal Frå ekv a får vi X X som gör X Acos Bsi Frå ekv får vi Y Y som ger Y C cosh Dsih Därmed u, X Y = Acos Bsi C cosh Dsih, där Sammafattigsvis har vi fått följade produktlösigar till ekv1: I u, A B C D om 4 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe II u, = Acosh B sih C cos Dsi, där III u, Acos Bsi C cosh Dsih, där just u är vilket som helst positivt tal Amärkig: Vi ka etecka kostater med olika okstäver i I, II och III t e A 1,A,A 3 B 1,B,B 3, me då lir eteckige kråglig Steg : Fråga är vilka av ovaståede lösigar uppfller också villkore V1,V,V3 och V4 Vi ska sart visa att edast fall III är itressat för oss i detta prolem eftersom I och II leder till de triviala lösige u, som ite uppfller V 4 Vi örjar med s k homogea villkor som har i högerled i vårt fall V1 och V Notera att u, ite är e lösig till prolemet eftersom de triviala lösige ite uppfller icke-homoget villkor 4 Först apassar vi V1 och V till vår produktlösig Eftersom u, X Y ka vi skriva V1: u,, för som X Y för Detta ger X eller Y Me, eftersom Y ger u, kvarstår att X På samma sätt drar vi slutsats att V: u, medför X Y och därmed X Nu udersöker vi vilka produktlösigar som uppfller V1 : X och V : X I Om X A B då får vi frå V1 och V att B= och A= Därför lir X som ger de triviala lösige u, som i si tur ite uppfller V4 Därmed utesluter vi tp I lösigar II På likade sätt ka vi visa att tp II lösigar också leder till u, eftersom Frå villkor V1 har vi: A cosh B sih som ger A, därefter B sih som ger B, eftersom sih edast om = otera skillade mella de hperoliska och de trigoometriska siusfuktioe 5 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Därför utesluter vi fall II III Kvarstår lösigar av tp III dvs X Acos Bsi och därmed Y C cosh Dsih Vi ska estämma alla värde på så att X uppfller åde V1 och V V1 : Frå X har vi A cos Bsi A Alltså X Bsi V : Frå X har vi Bsi Härav si eftersom B= leder till triviala lösige, och därför där 1,,3,4, otera att eligt atagade Därför är X B si, där 1,,3,4, och B e kostat Villkor V3: u, för, som är också homoge, ger X Y dvs Y Om X då u, Vi tillämpar Y på Y C cosh Dsih där och får C cosh Dsih C Därför Y Dsih Dsih och därmed är u, c si sih, =1,,3, tillhörade produktlösigar De uppfller ekv1, V1, V och V3 Steg 3: Vi ska udersöka om vi ka ilda e oädlig serie med oestämda koefficieter c u, t 1 c si sih ekv så att serie uppfller villkor 4 Sustitutioe av serie i villkoret 6 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe u, f 5 för, ger 1 c si sih f eller 1 c sih si f =5 ekv3 Frå ekv3 ser vi att c sih är Fourierkoefficieter vid utvecklig av f i vårt fall f 5 siusserie på itervallet [,] Notera att och T Ma ka ise detta geom att jämföra väster ledet i ekv : V 1 c sih si med höger ledet i ekv utvecklad i Fourierserie: H si 1 Då ser ma att Med adra ord c sih för =1,,3, T 4 c sih f si d i vårt fall f 5 = T 4 5 si d 5 si d 1 1 1 1 11 1 cos Alltså: c 11 1 sih 7 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Härav c 11 1 sih Slutlige sustituerar vi c 11 1 i ekv och får sih lösige till prolemet u, 1 11 1 si sih sih ================================================ I edaståede uppgift är V3 och V4 homogea villkor som leder till Y= och Y= Tp II lösigar lir itressata i det här fallet Uppgift Jämför upp 15 7 i Zill-Wrigt för villkor och och e midre ädrig i ös PDE med tillhörade radvillkor: u, u,,, ekv1 Villkor 1: u, u,, för Villkor : u, f 4 för alla, Villkor 3: u, för, Villkor 4: u, för, ösig: Steg 1 På samma sätt som i Uppgift 1 får vi produktlösigar u, X Y till ekv1: I u, A B C D om II u, = Acosh B sih C cos Dsi, där III u, Acos Bsi C cosh Dsih, där just u är vilket som helst positivt tal 8 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe Steg Vi ska vissa att edast tp II lösigar uppfller V3 och V4 Vi apassar homogea villkor V3: och V4: till produkt lösigar u, X Y : u, för dvs X Y för ger Y På likade sätt u, för ger Y Detta tillämpas på produktläsigar i ovaståede tre fall I, II och III: I u, A B C D Om vi aväder Y och Y på lösigar i I där Y C D får vi C= och D= dvs Y= och därmed lir u, X Y som vi förkastar II u, = Acosh B sih Här är Y C cos Dsi C cos Dsi, där Y ger C cos Dsi C och därför Y Dsi Frå Y har vi D si Alltså Y Dsi Motsvarade produktlösigar i fall II har forme Acosh B sih si u Me, villkor V1 som ka skrivas som, u, avseede på u, och dess derivator är också homoge med Vi tillämpar V1 för att äu mer förekla produktlösigar u Frå, u,, för har vi X Y X Y eller X Y X som ger X X eftersom Y ger de triviala lösige Alltså V1 ger X X Frå X Acosh Bsih har vi 9 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe X A sih B cosh Därför X X A B Alltså X B cosh B sih Produkt lösigar u XY B cosh sih si eller u, = c cosh sih si uppfller ekv1 och homogea villkor V1, V3 och V4 III Det är ekelt att tp III lösigar, tillsammas med villkor 3 och 4, ger edast triviala lösige de här gåge Kotrollera själv Steg 3: Vi ska udersöka om vi ka ilda e oädlig serie med oestämda koefficieter c u, = c 1 cosh sih si ekv så att serie uppfller villkor Sustitutioe av serie i villkoret u, f 4 ger 1 c cosh sih si f Frå ekv ser vi att c cosh sih är Fourierkoefficieter vid utvecklig av f i vårt fall f 4 siusserie på itervallet [,] Notera att och T 1 av 11

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe 11 av 11 Alltså sih cosh c = 4 vårt fall i si 4 f d f T T = d d 4 si 4si 4 1 81 1 1 8 cos 8 Alltså: sih cosh c = 1 1 1 Härav sih cosh 1 11 c sustitutioe i ekv ger svaret:, u = 1 si sih cosh sih cosh 1 11