F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2. Påståedet, som var ett förmodade frå 1845 av de fraske matematiker Joseh Bertrad, bevisades 1850 av de ryske matematiker Pafutij Tjebysjov. Det bevis, som reseteras här, överesstämmer i allt väsetligt med det elemetära bevis, som de ugerske matematiker Paul Erdős lät ublicera 192 [1]. Några olikheter Lemma 1 Det gäller att Bevis Det räcker att visa att och dea olikhet är ekvivalet med Derivatio ger att och att 2 x x 2 1 > xx 2 2x, x 1024. 2 x x 2 > xx 2 2x, x 1024, f(x xl2 2lx xlx 2xl2 f (x l2 2 x 2+lx 2 x, f (x 2 x 2 + lx 4x x. > 0, x 1024. Eftersom f (x 0 då x 1, är f växade å itervallet [1,. Eftersom f (1024 l2 2 1024 2+l1024 2 17l2 17 1024 96 512 17 ( l2 96 16 så är f växade å [1024,. Av att 0, f(1024 1024l2 2l1024 1024l1024 2048l2 följer det slutlige att f(x > 0 då x 1024. 4l2 > 0 Coyright c 2014 by Kjell Elfström 1
Sats 1 Det gäller att 4 4 2 1 > (2 2 4 2, 512. Bevis Påståedet följer, om vi sätter x 2 i lemma 1. Sats 2 Om > 5, så gäller det att 2 > 2. Bevis Eftersom > 5, så är 4 > 20 > 18. Detta ger att 4 2 > 18, varav (2 2 2 > 2. De cetrala biomialkoefficiete Lemma 2 Om k och är aturliga tal, och 0 k 2, så gäller det att ( ( 2 2. k Bevis På grud av symmetri räcker det att visa åståedet, då 0 k. Påståedet är då ekvivalet med (! 2 (2 k!k!, vilket i si tur är ekvivalet med Dea olikhet ka skrivas! k! (2 k!.! ( 1 ( ( k 1 (2 k(2 k 1 (2 k ( k 1 och är giltig, ty ( i (2 k i, då i 0,..., k 1. Sats Det gäller att ( 2 4 2+1, N. Bevis Det gäller eligt biomialsatse och lemma 2, att Exoeter 4 2 2 (1+1 2 2 k0 ( 2 k 2 k0 ( 2 (2+1 ( 2 Defiitio 1 Om är ett rimtal och ett ositivt heltal, defiierar vi exoete l ( av i som det största aturliga tal k, för vilket k. Lemma Om m och är ositiva heltal, så gäller det att l (m l (m+l (, och om m, att l (/m l ( l (m. Bevis Påståedet följer av aritmetikes fudametalsats.. 2
Följade sats bevisades 1808 av Adrie-Marie Legedre [2]. Sats 4 Om är ett aturligt tal och ett rimtal, så är l (! k. Bevis Vi oterar att k {j Z; 1 j, k j}. Defiiera för k Z + fuktioe f k : Z + {0,1} geom { 1 om k j, f k (j 0 aars. Då är l (j f k (j. Vi ka u geomföra beviset av satse med iduktio över. Då 0, är åståedet trivialt sat. Atag att likhete gäller, då m. Då är, eligt lemma, m l ((m+1! l (m!+l (m+1 k + f k (m+1 ( m k +f k (m+1 ( {j Z; 1 j m, k j} +f k (m+1 {j Z; 1 j m+1, k j} m+1. Summa i satse iehåller bara ädligt måga termer skilda frå oll. Om Z +, ka vi låta k löa frå 1 till log. Lemma 4 Om är ett aturligt tal och ett rimtal, så gäller det att 2 0 k 2 k 1. Bevis Det gäller eligt divisiosalgoritme, att det fis ett heltal r, sådat att k k +r, 0 r < k. Det följer att varav 2 2 k k +2r, 0 2r < 2 k, { 2 0 om 2r < k, k 2 k 1 om 2r k. k
Sats 5 Om är ett ositivt heltal och ett rimtal, så är (( 2 l log 2. Om > 2, så är (( 2 l 2 2 1. Bevis Eligt lemma, sats 4 och lemma 4 är (( 2 l l ((2! 2l (! log 2 ( 2 k 2 k log 2 2 k 2 log k log 2 log 2. Det adra åståedet i satse följer av lemma 4 och det faktum att 2 k 2 k 0, om k > 1 och > 2. Primultet Defiitio 2 Om är ett aturligt tal, defiierar vi -rimultet som #, därgeomlöer mägdeav rimtal,som är midreäeller lika med. Eligtdevaliga kovetioera för rodukter är 0# 1# 1. Lemma 5 Om är ett aturligt tal, så gäller det att ( 2+1, där rodukte är över rimtal. +2 2+1 Bevis Om rodukte är tom, är olikhete ufylld. I aat fall delar vart och ett av de igåede rimtale högerledet, vilket därför också delas av deras rodukt. Lemma 6 Om är ett aturligt tal, så gäller det att ( 2+1 4. Bevis Påståedet följer av att ( ( 2+1 2+1 2 + ( 2+1 +1 2+1 k0 ( 2+1 2 2+1 2 4. k 4
Sats 6 Om är ett aturligt tal, så gäller det att # 4. Bevis Vibevisaråståedetmediduktioöver.Då0 2,fiermaattolikhete är ufylld geom uträkig. Atag att m, och att olikhete gäller, då < m. Om m är ett jämt tal, så är m ite ett rimtal, och ma får att m# (m 1# 4 m 1 4 m eligt iduktiosatagadet. Atag att m 2k +1 är udda. Då är m# (2k +1# ( ( (k +1# ( 2k +1 4 k+1 k 2k+1 k+1 4 k+1 4 k 4 m eligt iduktiosatagadet och lemma 5 och 6. Bertrads ostulat k+2 2k+1 k+2 2k+1 Sats 7 Om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2. Bevis Vi bevisar först åståedet, då 512. Då gäller det eligt sats 2, att Om är ett rimtal, och gäller det därför eligt sats 5, att (( 2 0 l Det följer att ite delar 2 < 2 < 2 1. 2 <, 2 2 ( 2. 2 2 0. Om rimtalet delar dea cetrala biomialkoefficiet, så gäller det att (2!, och därför att k för ågot heltal k, sådat att 1 k 2. Eftersom 2 ite är ett rimtal, så gäller det att < 2. Atag u att det ite fis ågot rimtal, sådat att < < 2 2. Om rimtalet delar biomialkoefficiete, så gäller det då att 2 eller 2 1, eftersom ite heller 2 2 är ett rimtal. Om 2 1 är ett rimtal, så är självklart (( 2 l 1. 5
Vi får därför att ( 2 ( l((2 l((2 2 ( 2< 2 l((2 (2 1. Eligt sats 5 är l((2 (2 2 (2, 2 2 eftersom atalet rimtal, sådaa att 2, ite överstiger 2. Eligt samma sats gäller det att (( 2 l 1, om > 2. Därför är 2< 2 l((2 2< 2 2 2 # 4 2 2 4 eligt sats 6. Vi får alltså, att ( 2 2 (2 4 2 (2 1, och om vi kombierar detta med sats, får vi 4 4 2 1 (2 2 4 2. Eftersom detta strider mot sats 1, har vi visat åståedet i satse, då 512. Det återstår att visa åståedet, då 4 511. Betrakta följde ( k 10 k0 (4,5,7,11,19,1,59,11,22,44,88, i vilke alla elemet utom 0 är rimtal. Det gäller att k+1 < 2 k 2, då k 0,1,...,9. Om 4 511, väljer vi k, så att k < k+1. Då är 2 2 2 k 2 > k+1, och vi fier, att det för rimtalet k+1 gäller, att < k+1 < 2 2. Det var i själva verket följade ågot mer elegata me svagare sats, som bevisades av Erdős. Korollarium 1 Låt vara ett ositivt heltal. Då fis det ett rimtal, sådat att < 2. Bibliografi [1] Erdős, P., Beweis eies Satzes vo Tschebyschef, Acta Sci. Math. (Szeged 5 (190 192, 194 198. [2] Legedre, A. M., Essai sur la théorie des ombres (2 e éd.. Paris, 1808. 6