8. Frekvesaalys Vi har hittills studerat systems egeskaper både i tidsplaet (t.ex. stegsvar) och i Laplaceplaet (t.ex. stabilitet). I detta kapitel skall vi aalysera systemegeskaper i frekvesplaet geom att studera systemets statioära beteede är det exciteras av e siusformigt svägade isigal med give frekves. Med statioärt beteede avses beteedet är evetuella iitialeffekter dött ut, dvs är tide t. Utsigale för ett lijärt system kommer då också att sväga siusformigt med vissa karakteristiska egeskaper beroede på systemet samt isigales frekves och amplitud. När dessa egeskaper uttrycks som fuktio av isigales frekves talar vi om frekvessvaret. Allmät kallar vi de aalys som ka göras med hjälp av frekvessvaret för frekvesaalys. Varför vill vi studera systemets beteede uder dylika betigelser? Det fis flera orsaker. Tidsvarierade störigar som påverkar ett system likar ofta siusformigt oscillerade sigaler. Dessutom ka ästa alla fuktioer och därmed ästa godtyckliga isigaler via Fouriertrasforme uttryckas som e summa av sius- och cosiusfuktioer vid ett (ev. mycket stort) atal frekveser. Detta möjliggör mycket effektiva geeraliserigar vid aalys av lijära system. 8. Frekvessvaret för ett stabilt system Vi skall härleda frekvessvaret för ett godtyckligt lijärt system uder förutsättige att det är stabilt. För att stegvis kua itroducera ya begrepp och därmed uderlätta härledige betraktar vi först ågra ekla systemtyper, som i huvudsak sakar dyamik (trasieta effekter), me som ofta igår som delkompoeter i mera allmäa system. Först därefter behadlar vi system av första och adra ordige, där dyamike spelar e mer framträdade roll. Dea behadlig ligger äve till grud för härledige av frekvessvaret för system av högre ordig. Som vi skall se, är det dock eklare, och med midre risk för fel, att beräka frekvessvaret för ett system av högre ordig geom uppdelig av systemet i eklare seriekopplade delsystem. Avslutigsvis sammafattar vi därför frekvessvaret för de geomgåga eklare systeme. 8.. Ekla systemelemet: förstärkig, deriverig, itegratio, dödtid Statiskt system Ma ka kappast täka sig ett eklare system ä ett lijärt statiskt system. Om systemets isigal beteckas ut (), dess utsigal y() t och dess förstärkig K, gäller för ett sådat system y() t = Ku() t. (8.) Ifall systemets isigal sväger siusformigt såsom ut () = Asiωt, (8.) där ω 0 är siussvägiges vikelfrekves (uttryckt i radiaer per tidsehet) och A > 0 är dess amplitud, sväger utsigale siusformigt eligt y() t = KAsiωt. (8.3) Vi ka särskilja två situatioer. Om K > 0, sväger utsigale helt i fas med isigale; om K < 0, sväger utsigale med motsatt fas, vilket betyder att utsigale har miimum är isigale har maximum och vice versa. I det seare fallet är utsigale således fasförskjute med e halv period, dvs ± π radiaer, getemot isigale. 8-
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system Vi vill gära skriva ekvatio (8.3) så att fasförskjutige framgår mera explicit samt så att utsigales amplitud skrivs som ett positivt tal äve är K < 0. För att åstadkomma detta skriver vi yt () = KAsi( ωt+ ϕ), (8.4) där 0 om K > 0 ϕ =. (8.5) π om K < 0 är utsigales fasförskjutig, äve kallad fasvridig, i förhållade till isigale. Ofta säger vi att systemet förorsakar (eller har ) dea fasförskjutig. Här är valet ϕ = π ekvivalet med ϕ =+ π är K < 0 eftersom vi på grud av siusfuktioes periodicitet ka addera e godtycklig positiv eller egativ multipel av π till fase uta att sigales värde ädras. Vi föredrar dock de egativa fasförskjutige i elighet med de fasförskjutig dyamiska system i allmähet har (se lägre fram). Förutom utsigales fasförskjutig är förhålladet mella utsigales och isigales amplituder av itresse. För ett statiskt system gäller att amplitudförhålladet A helt ekelt är AR R = K. (8.6) För att udvika oödiga upprepigar i fortsättige kostaterar vi reda här att de siusformade isigale defiierad av ekvatio (8.) för system som sakar trasieta effekter ger e utsigal som allmät ka skrivas yt () = A Asi( ωt+ ϕ), (8.7) där amplitudförhålladet system det är fråga om. A R och fasförskjutige ϕ ges av giva uttryck beroede på vilket Deriverade system Ett system med överförigsfuktioe Gs ( ) = Ks har e utsigal som är lika med isigales tidsderivata förstärkt med faktor K, dvs När isigale sväger siusformigt såsom i ekvatio (8.) får vi då där vi utyttjat sambadet d d si ωt = ω cos ωt. t d dt yt () = K ut (). (8.8) d dt y() t = K ( Asi ωt) = KAωcosωt, (8.9) Här är utsigale e cosiussigal, me geom lämplig förskjutig av dess fas ka de skrivas som e siussigal. Eligt det trigoometriska sambadet cosωt = si( ωt+ π / ) får vi då yt () = Kω Asi( ωt+ π /). (8.0) Märk att vi här har valt fasförskjutige + π /, ite 3 π /, som dock skulle ge utsigale samma umeriska värde. Orsake är ite de att + π / ligger ärmare, uta de att deriverige ger e prediktio av isigales beteede och därmed ka utsigale verklige ases ha samma värde som isigale före isigale har det. Aorluda uttryckt ka vi säga att utsigales fas ligger före isigales fas. R 8-
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system Ifall förstärkige K < 0 bör vi beakta detta på samma sätt som ova. Utsigale ges då allmät av ekvatio (8.7) med AR = K ω, (8.) π / om K > 0 ϕ =. (8.) π / om K < 0 Vi oterar att amplitudförhålladet är lijärt beroede av frekvese meda fasförskjutige är oberoede av frekvese. Vi skall här ytterligare betrakta e parallellkopplig av ett statiskt och ett deriverade system. Ett sådat system ka beskrivas med överförigsfuktioe Gs () = K( + Ts). (8.3) Detta ka t.ex. vara överförigsfuktioe för e PD-regulator, me helt allmät har system med ollställe dylika faktorer i överförigsfuktioes täljare. I tidsplaet ges utsigale av d dt d dt yt () = Kut () + KT ut () = K( + T ) ut () (8.4) och är isigale är e siussigal såsom i ekvatio (8.) fås Eligt det trigoometriska sambadet ka detta skrivas d dt yt ( ) = K( + T ) Asi ωt = KA(siωt+ Tωcos ωt). (8.5) siωt+ xcosωt = + x si( ωt+ arcta x) (8.6) y() t = KA + ( Tω) si( ωt+ arcta Tω). (8.7) Vi bör också här beakta de extra fasförskjutige om K < 0. Någo motsvarade korrigerig behöver ite göras för ett egativt T, eftersom arctatω här automatiskt ger e positiv eller egativ faskorrigerig helt i elighet med T :s tecke. Med beaktade av K :s tecke ges utsigale av ekvatio (8.7) med AR = K + ( Tω), (8.8) arctatω om K > 0 ϕ =. (8.9) π + arctatω om K < 0 Vi ser att amplitudförhålladet för stora värde på Tω växer asymptotiskt lijärt med Tω (eftersom etta i kvadratrote blir försumbar) meda fasförskjutige ϕ π / är Tω. Itegrerade system Ett system med överförigsfuktioe Gs () = Ks har e utsigal som är lika med isigales tidsitegral förstärkt med faktor K. Här behadlar vi detta fall eklast geom att i stället betrakta utsigales tidsderivata. Vi har då d d () () t yt = Kut (8.0) och med de siusformade isigale får vi d d () si t y t = KA ωt. (8.) 8-3
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system Eftersom d d cos ωt = ω si ωt, satisfieras ekvatio (8.) av t yt () = KAω cosωt. (8.) Isättig av cosωt = si( ωt+ π / ) = si( ωt π / ) i ekvatio (8.) ger med beaktade av K :s tecke ekvatio (8.7) med = K ω, (8.3) AR π / om K > 0 ϕ =. (8.4) 3 π / om K < 0 Här gäller att amplitudförhålladet är omvät proportioellt mot isigales vikelfrekves ω meda fasförskjutige är frekvesoberoede. E parallellkopplig av ett statiskt och ett itegrerade system ka beskrivas med överförigsfuktioe Gs () = K( + ). (8.5) Ts Detta ka t.ex. vara överförigsfuktioe för e PI-regulator. Utgåede frå ekvatio (8.3) och (8.) är det klart att de siusformade isigale defiierad i (8.) ger utsigale ( ) y( t) = KAsi ωt KA( Tω) cosωt = KA si ωt ( Tω) cosωt, (8.6) varefter beaktade av det trigoometriska sambadet i ekvatio (8.6) och K :s tecke ger ekvatio (8.7) med AR = K + ( Tω), (8.7) Tω K > arcta[( ) ] om 0 ϕ =. (8.8) π arcta[( Tω) ] om K < 0 Vi ka otera att amplitudförhålladet för stora värde på Tω är praktiskt taget oberoede av Tω meda det för små värde på Tω är asymptotiskt omvät proportioellt mot Tω. För fasförskjutige gäller, då K > 0, att de går frå π / mot 0 är Tω växer frå oll. Dödtid E dödtid av storleke L har som bekat överförigsfuktioe Gs () = e Ls och sambadet mella ut- och isigal i tidsplaet ges av det ekla uttrycket y() t = u( t L). (8.9) De siusformade isigale i ekvatio (8.) ger då, med beaktade av tidsargumetet t L, yt () = Asi[ ω( t L)] = Asi( ωt+ ϕ), (8.30) där ϕ = Lω. (8.3) Såsom framgår, har e re dödtid amplitudförhålladet A R = (8.3) samt e egativ fasförskjutig, som är proportioell med vikelfrekvese ω och dödtides storlek och som därmed ka bli godtyckligt stor. 8-4
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system 8.. System av första ordige Vi har tidigare kostaterat att ett första ordiges system uta dödtid ka beskrivas med differetialekvatioe dy T y() t Ku() t dt + =, (8.33) där ut ( ) är systemets isigal, y( t ) dess utsigal, K dess förstärkig och T dess tidskostat, som är positiv är systemet är stabilt. Laplacetrasformerig ger som bekat K Y() s = G() s U() s, Gs () = Ts +, (8.34) där U() s är Laplacetrasforme av ut (), Ys () är Laplacetrasforme av yt () och Gs () är systemets överförigsfuktio. Det är svårare att lösa detta fall direkt i tidsplaet ä falle i föregåede avsitt. Vi skall därför härleda frekvessvaret via Laplaceplaet. Om isigale varierar siusformigt såsom i ekvatio (8.) har de Laplacetrasforme som isatt i (8.34) ger Aω U() s =, (8.35) s + ω Aω K Aω Y() s = G() s =. (8.36) Ts s + ω + s + ω Vi ka fia tidssvaret y( t ) geom iverstrasformerig med hjälp av Laplacetrasformtabelle i avsitt 4., me det är istruktivt för de fortsatta behadlige att härleda svaret via partialbråksuppdelig. Eftersom adragradspolyomet s + ω har komplexkojugerade rötter, ka vi göra partialbråksuppdelige B Cs + D Y() s = +, (8.37) Ts + s + ω där koefficietera B, C och D bör bestämmas så att (8.36) och (8.37) blir ekvivaleta. Ia vi gör det, ka vi dock härleda tidssvaret som fuktio av dessa koefficieter. Iverstrasformerig med hjälp av puktera 5, 38 och 39 i Laplacetrasformtabelle ger B t/ T D y() t = e + Ccosωt+ siωt. (8.38) T ω Vi är itresserade av utsigales beteede är t. Eftersom T > 0 (och B ädlig) fås t 0 y() t lim y() t = Ccosωt+ Dω siωt, (8.39) vilket betyder att vi ite behöver bestämma koefficiete B ifall vi ka bestämma C och D på ågot av B oberoede sätt. Vi ka också otera att de del i partialbråksuppdelige som ges av systemets överförigsfuktio, fråsett dess ev. effekt på C och D, edast ger e trasiet effekt som dör ut med tide. Vi ka bestämma koefficietera C och D på traditioellt sätt geom att likställa (8.36) och (8.37) samt var för sig betrakta koefficietera för varje potes av s i de två täljarpolyome. 8-5
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system Vi skall här dock gå e aa väg. Geom kombierig av (8.36) och (8.37) ka vi skriva ( s + ω ) B Cs + D G() s Aω. (8.40) Ts + Dea idetitet gäller för godtyckliga värde på s. Geom att välja s = jω, som iebär att s + ω = 0, får vi Cω j + D G(j ω) Aω. (8.4) Idetitete (8.4) kräver att de reella och imagiära delara satisfieras var för sig. Eftersom G(j ω ) är ett komplext tal med realdele Re G(j ω ) och imagiärdele Im G( j ω ) fås C = AIm G( j ω), D= Aω Re G(j ω). (8.4) I detta fall har vi eligt ekvatio (8.34) K K Tω j K KTω j G(j ω) = = = (8.43) Tωj+ + Tωj Tωj + ( Tω) dvs K KTω Re G(j ω) =, Im G( j ω) =, (8.44) + ( Tω) + ( Tω) vilket isatt i (8.4) och vidare i (8.39) ger KA y() t = ( siωt Tωcosωt). (8.45) + ( Tω) Tillämpig av det trigoometriska sambadet i ekvatio (8.6) ger KA y( t) = si( ωt arcta Tω). (8.46) + ( Tω) Vi ser att vi äve i detta fall, efter att de trasieta effektera dött ut, ka uttrycka (8.46) i samma form som (8.7), dvs yt () = A Asi( ωt+ ϕ). (8.47) R Då förstärkige K :s tecke beaktas på samma sätt som tidigare, fås för amplitudförhålladet och fasförskjutige uttrycke K AR =, (8.48) + ( Tω) arctatω om K 0 ϕ = >. (8.49) π arctatω om K < 0 Vi ka kostatera att amplitudförhålladet avtar frå sitt maximala värde K är Tω växer för att för stora värde på Tω asymptotiskt avta omvät proportioellt mot Tω. För fasförskjutige gäller, då K > 0, att de går frå 0 mot π / är Tω växer frå oll. Fasförskjutige för ett första ordiges system med K > 0 ka således ite vara mer ä π / radiaer. 8-6
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system 8..3 System av adra ordige För beskrivig av adra ordiges system existerar som bekat olika stadardformer. Vi skall här välja e beskrivig som är lämplig för adra ordiges system med komplexkojugerade poler. Ett sådat system (uta dödtid) ka beskrivas med differetialekvatioe d yt ( ) d yt ( ) + ζω + ω y( t) = Kωu( t) (8.50) dt dt och överförigsfuktioe Kω Gs () =, (8.5) s + ζω s+ ω där K är systemets förstärkig, ζ är dess relativa dämpig och ω > 0 är dess aturliga frekves. Vi beaktar edast stabila system, vilket iebär att ζ > 0. Vi öjer oss här med ett adra ordiges system uta ollställe, eftersom ett system med ollställe ka behadlas eligt de metoder som beskrivs i avsitt 8..5 geom e seriekopplig av överförigsfuktioer av forme (8.3) och (8.5). Adra ordiges system med reella poler ka beskrivas med (8.50) och (8.5) me i praktike är det eklare att också i detta fall tillämpa metodera i avsitt 8..5. De siusformade isigale, med Laplacetrasforme give i ekvatio (8.35), ger aalogt med (8.36) utsigale Aω Kω Aω Y() s = G() s =. (8.5) s s + ω + ζω s + ω s + ω Då ζ 0 existerar alltid e partialbråksuppdelig Bs + B Cs + D Y() s = +. (8.53) s + ζωs+ ω s + ω Eligt vår Laplacetrasformtabell i avsitt 4. har första terme i högra ledet e iverstrasform ζω som iehåller faktor e t, där t beteckar tide. Eftersom ζω > 0, kommer tidsfuktioe iehållade dea faktor att dö ut är t. Systemets statioära beteede ges då också i detta fall av ekvatio (8.39). Koefficietera C och D ka bestämmas eligt samma tekik som i föregåede avsitt. Resultatet är att de ges av ekvatio (8.4) med i detta fall Kω Kω Kω ω ω ζωω + + + + ( j) G(j ω) = = =, (8.54) (j ω) ζω jω ω ω ω ζω ωj ( ω ω ) ( ζω ω) där sista ledet fås geom förlägig med ämares kojugattal i föregåede led. Vi har m.a.o. Kω( ω ω ) + Re G(j ω) = ( ω ω ) ( ζω ω) som isatt i (8.4) och vidare i (8.39) ger, 3 Kζωω + Im G( j ω) = ( ω ω ) ( ζω ω), (8.55) Kω( ω ω ) ζωω y() t = A si t cos t ω ω ( ω ω ) + ( ζωω) ω ω, (8.56) 8-7
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system där vi tills vidare atar att ω ω. Tillämpig av det trigoometriska sambadet (8.6) ger då ω sg( ω ω ) + K yt () = Asi( ωt+ ϕ) ( ω ω ) ( ζω ω), ϕ = arcta ω ω ζωω, (8.57) där tecket sg( ω ω ) behövs för att beakta att isigales vikelfrekves ω ka vara större eller midre ä systemets aturliga frekves ω. Liksom tidigare föredrar vi ett uttryck där koefficiete framför siusfuktioe är positiv. När tecket för K sg( ω ω ) beaktas ges utsigale då av ekvatio (8.47) med amplitudförhålladet A och fasförskjutige ϕ giva av R A R K ω K = = ( ω ω ) ( ζω ω) ( ( ω/ ω ) ) ( ζω/ ω ) + +, (8.58) ζωω ζω / ω arcta = arcta om Kω > Kω ω ω ( ω/ ω) ϕ =. (8.59) ζωω ζω / ω π arcta π arcta om Kω = < Kω ω ω ( ω/ ω) Märk att de ågot speciella forme på olikhetera i ekvatio (8.59) medför att K :s tecke avgör om ifrågavarade fall gäller för ω > ω eller ω < ω. Vi skall äve betrakta specialfallet ω = ω. Av ekvatio (8.55) framgår att G(j ω ) då är ret imagiär och eligt ekvatio (8.4) och (8.39) är det statioära frekvessvaret e cosiussigal. När dea, som i fallet med e itegrator, uttrycks med hjälp av e fasförskjute siussigal, fås K AR =, ω = ω, (8.60) ζ π / om K > 0 ϕ =. (8.6) 3 π / om K < 0 I själva verket fås dessa ekvatioer också geom isättig av ω = ω i (8.58) och (8.59). Vi ser att A är ζ 0, vilket är helt aturligt, eftersom systemet då går mot istabilitet. R Äve om ω ω, ka utsigales amplitud förstärkas kraftigt för uderdämpade system. Detta ka ekelt härledas frå ekvatio (8.58). Deriverig av A R med avseede på ω i ekvatio (8.58) visar att derivata har ett ollställe om ζ < / 0,7. Detta ollställe uppås med e isigal med vikelfrekvese ω = ω ζ. (8.6) Vid dea frekves har amplitudförhålladet ett maximum A R K = ζ ζ, (8.63) som äve kallas resoastopp. Detta betyder att periodiska sigaler i ärhete av ett uderdämpat systems aturliga frekves ka förstärkas kraftigt ma ka m.a.o. få kraftig resoas. 8-8
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system 8..4 System av högre ordig För ett system av högre ordig (uta dödtid) ka vi, då isigale sväger siusformigt som i ekvatio (8.), göra e partialbråksuppdelig likade dem i ekvatio (8.37) och (8.53), så att varje reell systempol eller komplexkojugerat polpar ger e term i partialbråksuppdelige. Såsom ova framgått, ger varje såda term för ett stabilt system ett bidrag till utsigales tidssvar som med tide dör ut. Eligt stabilitetsbehadlige i avsitt 6. gäller detta äve för multipla poler. Utsigales statioära beteede beskrivs då också för ett godtyckligt lijärt system av ekvatio (8.39), med koefficietera giva av ekvatio (8.4). För att förekla beteckigara i de fortsatta behadlige defiierar vi R( ω) Re G(j ω), I( ω) Im G(j ω). (8.64) Isättig av ekvatio (8.4) i (8.39) ger då I( ω) y( t) = A( R( ω)si ωt+ I( ω)cos ωt) = R( ω) A siωt+ cosωt R( ω), (8.65) varefter tillämpig av det trigoometriska sambadet i ekvatio (8.6) ger där I( ω) yt ( ) = R( ω) + Asi( ωt+ ϕ) = sg( R( ω)) R( ω) + I( ω) Asi( ωt+ ϕ) R( ω), (8.66) arcta I( ω) ϕ =. (8.67) R ( ω ) Eftersom G(j ω ) är ett komplext tal ka det karakteriseras med hjälp av absoluta beloppet, eller magitude, G(j ω ), och argumetet G(j ω), äve beteckat arg G( j ω ). Vi har eligt teori om komplexa tal I( ω) G(j ω) = R( ω) + I( ω) och ta arg G(j ω) =. (8.68) R( ω) Om vi i ekvatio (8.66) beaktar tecket sg( R( ω )) på samma sätt som förstärkiges tecke i tidigare avsitt, ka vi skriva yt ( ) = G(j ω) Asi( ωt+ arg G(j ω)), (8.69) där arcta ( I( ω) / R( ω) ) om R( ω) 0 arg G( j ω) =. (8.70) arcta ( I( ω) / R( ω) ) π om R( ω) < 0 Vi ser att absoluta beloppet G(j ω ) är lika med amplitudförhålladet meda argumetet arg G(j ω ) är lika med fasförskjutige, dvs AR = G(j ω), ϕ = arg G(j ω). (8.7) Figur 8. visar hur dessa storheter ka utläsas grafiskt frå sambadet mella e siusformad isigal och motsvarade statioära utsigal. 8-9
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system u(t) G Normerad sigal 0 y(t) argg ωt Normerad tid Figur 8.. Illustratio av frekvessvaret för ett system av första ordige. Eftersom fuktioe arcta edast atar värde mella π / och + π /, följer av (8.70) att 3 4 π ϕ π. (8.7) Vi bör dock observera att på grud av siusfuktioes periodicitet ka e godtycklig multipel av π adderas till (eller subtraheras frå) ϕ uta att siusfuktioes värde ädras. Detta betyder också att ekvatio (8.70) ite ager hur måga fulla faser (multipler av π eller 360 ) som utsigale är förskjute i förhållade till isigale, edast bråkdele av e fas eligt (8.7). Dea iformatio framgår ite heller om i- och utsigale uppritas som fuktio av tide såsom i figur 8.. De verkliga fasförskjutige har dock betydelse vid stabilitetsaalys av återkopplade system, vilket vi återkommer till seare i detta kapitel. Lyckligtvis fis det dock e lösig på problemet, såsom framgår av följade avsitt. 8..5 Seriekopplade delsystem I avsitt 4.3.3 visades att överförigsfuktioe Gs () för ett system beståede av ett atal seriekopplade delsystem med överförigsfuktioera Gi ( s ), i =,, N, är lika med produkte av dessa överförigsfuktioer, dvs N = N = i= Gs () G() sg() s G () s G() s. (8.73) Omvät ka ett system med överförigsfuktioe Gs ( ) faktoriseras utgåede frå systemets poler och ollställe, eller motsvarade tidskostater, och e evetuell dödtid, så att ( T+ s+ ) ( T+ ms+ ) Ls Gs () = K e. (8.74) ( Ts + )( T s + ) ( T s + ) Varje såda faktor ka betraktas som ett delsystem Gi ( s ). Ifall systemet iehåller komplexkojugerade poler eller ollställe (eller som här, tidskostater) ka dessa sammaslås till e adragradsfaktor. i 8-0
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system Av ekvatio (8.73) följer att frekvessvaret för det totala systemet ges av sambadet N G(j ω) = G (j ω). (8.75) i= Frå teori om komplexa tal är det bekat att det komplexa talet Gi (j ω ) ka uttryckas med hjälp av talets absoluta belopp Gi (j ω ) och dess argumet arg Gi (j ω ) eligt Isättig i ekvatio (8.75) ger då i jarg G (j ω) G (j ω) = G (j ω) e i. (8.76) i i N N N N N j arg Gi (j ω) jarg Gi(j ω) jarg Gi(j ω) i i i i i= i= i= i=. (8.77) G(j ω) = G (j ω) e = G (j ω) e = G (j ω ) e = Ekvatio (8.76) gäller givetvis äve för det totala systemet, dvs E jämförelse med (8.77) ger då sambade N i= jarg G(j ω) G(j ω) = G(j ω) e. G(j ω) = G (j ω), (8.78) N i= i arg G( j ω) = arg G (j ω). (8.79) Detta betyder att systemets totala amplitudförhållade fås som produkte av delelemetes amplitudförhållade; fasförskjutig fås som summa av de eskilda delelemetes fasförskjutigar. Ma har full frihet att faktorisera systemets överförigsfuktio eligt eget gottfiade, me det fis e uppebar fördel i att välja de ratioella faktorera så att de är av högst adra ordige, och allra helst av första ordige. Ma ka dessutom låta alla delelemet ha statiska förstärkige + och samla upp de totala förstärkige i e eda parameter K, såsom i ekvatio (8.74), som behadlas som ett skilt delelemet. De extra fasförskjutige på grud av e egativ förstärkig ka då edast uppträda i detta elemet, där de är lätt att beakta. E ytterligare fördel med detta arragemag är att ekvatio (8.70) med säkerhet ger rätt fasförskjutig för de eskilda delelemete. Detta beror på att ett elemet av högst adra ordige ite ka förskjuta siussvägiges fas med mer ä π radiaer. 8..6 Sammafattig av frekvessvaret för system av låg ordig För att uderlätta avädige av (8.78) och (8.79), ges här e sammafattig av frekvessvaret, dvs amplitudförhålladet (förstärkigsförhålladet, absoluta beloppet) och fasförskjutige (argumetet), för de ekla system som behadlats ova. Med hjälp av dessa ka frekvessvaret för alla adra system beräkas. Frekvessvare fis sammaställda i tabell 8.. Alla system, utom ett ret statiskt system, har förstärkige K =. Frekvessvaret för ett godtyckligt system med K fås eligt seriekoppligspricipe geom kombiatio med uttrycke för ett statiskt system, atige med förstärkige K > 0 eller K =, eller bådadera. Exempelvis fås frekvessvaret för ett första ordiges system med egativ förstärkig utgåede frå seriekopplige K / ( Ts+ ), där K > 0. i 8-
8. Frekvesaalys 8. Frekvessvaret för ett stabilt system Tabell 8.. Frekvessvaret (förstärkigsförhållade och fasförskjutig) för ekla system. Gs () AR = G(j ω) ϕ = arg G( j ω) π K > 0 K 0 s ω π / + ( Ts) + ( Tω) arctatω / s /ω π / /Ts + + /( Tω) arcta(/ Tω) e Ls Lω s Ts + ω + ζωs+ ω + ( Tω) ζω ω ( ( ω/ ω ) ) + ( / ) arcta Tω ζω/ ω arcta ( ω / ω ) ζω/ ω π arcta ( ω / ω ) ω ω, ω ω, 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Såsom ova framgått iehåller de komplexvärda fuktioe G( j ω ) för ett system med överförigsfuktioe Gs ( ) all iformatio om systemets frekvessvar så är som på e evetuell multipel av π för systemets fasförskjutig. Äve om vi har härlett fuktioe och dess tillämpig geom att betrakta e siusformad isigal, ka G( j ω ) uppfattas som e systemegeskap som ges av överförigsfuktioes värde på de imagiära axel s = jω i det komplexa talplaet. Som e följd av detta kallas G(j ω ) systemets frekvesfuktio. Vi oterar här att frekvesfuktioe i elighet med teori om komplexa tal ka skrivas jarg G(j ω) G(j ω) = Re G(j ω) + jim G(j ω) = G(j ω) e (8.80) Dessa alterativa represetatioer av G(j ω ) atyder flera möjligheter att avbilda frekvesfuktioe grafiskt. E möjlighet är att avbilda Im G(j ω ) som fuktio av Re G(j ω ) i det komplexa talplaet. När vikelfrekvese ω växer frå oll till oädlighete ger detta upphov till ett s.k. Nyquistdiagram, som behadlas ärmare i ästa avsitt. E aa möjlighet är att var för sig upprita G(j ω ) och arg G( j ω ) som fuktio av vikelfrekvese. Detta ger ett s.k. Bodediagram, som behadlas i avsitt 8... Dessa avbildigar och de ekvatioer som ligger till grud för dem är speciellt avädbara vid aalys av stabilitete för återkopplade system, vilket behadlas i avsitt 8.3. 8-
8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret 8.. Nyquistdiagram Ett komplext tal ka som bekat behädigt represeteras i ett tvådimesioellt koordiatsystem, där de två koordiataxlara beteckar talets reella respektive imagiära del. Talet avbildas således i ett pla, som kallas det komplexa talplaet. För e give vikelfrekves ω motsvarar G(j ω ) då e pukt i det komplexa talplaet, såsom illustreras i figur 8.. Det framgår dock ite av figure vilke frekves det är fråga om. Om vi låter vikelfrekvese variera bildar orte för G( j ω ) e kurva i det komplexa plaet. ImG(jω) Då frekvese varierar frå 0 till bildar kurva systemets frekveskurva, som allmät kallas systemets Nyquistdiagram (eller -kurva). Eftersom dyamiska system i allmähet har e egativ fasförskjutig, kommer e avsevärd del av Nyquistkurva ormalt att ligga på de egativa sida av de imagiära axel. Figur R(ω) G(jω) G(jω) I(ω) ReG(jω) 8. illustrerar dock e positiv fasförskjutig. Figur 8.. E pukt av G(j ω ) i det komplexa talplaet. Ekla systemelemet Betrakta e parallellkopplig av ett statiskt system och ett deriverade system, som behadlades i avsitt 8... Eligt ekvatio (8.3) fås för frekvesfuktioe direkt G(j ω) = K(+ Tω j), (8.8) som ekelt ka uppritas som fuktio av frekvese i ett Nyquistdiagram. Se figur 8.3, där de ormerade frekvesfuktioe G N (j ω ) G (j ω )/ G (0) = G (j ω )/ K (8.8) uppritats. För e parallellkopplig av ett statiskt system och ett itegrerade system, som också behadlats i avsitt 8.., fås eligt ekvatio (8.5) G(j ω) = K( + ) K( j) Tω j = Tω. (8.83) Dea frekvesfuktio fis uppritad i figur 8.4 med samma ormerig som ova. Im G N Im G N ω = 0 ω 0,5 0 0,5 Re G N 0,5 Tω = 0,5 0,5 Tω = 0,5 0,5 0 0,5 ω = 0 Re G N ω Figur 8.3. Nyquistdiagram för G N () s = + Ts. Figur 8.4. Nyquistdiagram för G () s = + /( Ts ). N 8-3
8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Övig 8.. Hur ser Nyquistkurva ut för e re (a) deriverig, (b) itegratio, (c) dödtid? Första och adra ordiges system Vi ka på samma sätt som ova beräka och upprita frekvessvaret för ett godtyckligt dyamiskt system geom substitutioe s = jω i systemets överförigsfuktio Gs. ( ) För system av adra eller högre ordig ka det dock krävas besvärliga omformigar för att få G(j ω ) uttryckt som ett valigt komplext tal. För att udvika dylika hyfsigar ka vi uttrycka G( j ω ) med hjälp av absoluta beloppet G(j ω ) (dvs amplitudförhålladet) och argumetet arg G( j ω ) (dvs fasförskjutige), som vi reda härlett uttryck för i ett atal fall. Utgåede frå ekvatio (8.80) får vi med tillämpig av Eulers formel, jarg G( jω) e = cosarg G(j ω) + jsiarg G(j ω), (8.84) sambade R( ω) Re G(j ω) = G(j ω) cosarg G(j ω), (8.85) I( ω) Im G(j ω) = G(j ω) siarg G(j ω). Figur 8.5 och 8.6 visar Nyquistdiagram, ormerade eligt ekvatio (8.8), för system av första och adra ordige beräkade eligt ekvatio (8.85) med avädig av de uttryck för G(j ω ) ( A R ) och arg G(j ω ) (ϕ ) som härletts i avsitt 8.. och 8..3. Tack vare ormerige ka alla system av första ordige uttryckas med e och samma Nyquistkurva, meda system av adra ordige ger e kurvskara som fuktio av de relativa dämpige ζ. Dessutom är frekvese ormerad så att de i e viss pukt på e kurva är proportioell mot systemets tidskostat T eller aturliga frekves ω. System av högre ordig För system av högre ordig ka det bli besvärligt att utreda vilke de rätta fasförskjutige är, såsom omtalats i avsitt 8..4. Dea komplikatio ka udvikas om ma uppdelar systemet i ett atal delsystem och aväder de metoder som beskrivits i avsitt 8..5 för beräkig av det fulla systemets G(j ω ) och arg G( j ω ) utgåede frå motsvarade storheter för delsysteme. Följade exempel illustrerar metode. Im G 0 0,5 ω 00 ω = 0 G(jω) 0,5 Re G ωt = 5 G(jω) ωt = 0, ωt = ωt = 0,5 ωt = 0,5 0 0,5 ω =,5ω ζ = 0,5 Im G ω 0 ζ = ζ = 0,7 ω = ω ζ = ω = 0 ω = 0,7ω Re G ω = 0,5ω Figur 8.5. Nyquistdiagram för ett system av första ordige. Figur 8.6. Nyquistdiagram för system av adra ordige. 8-4
8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret 4 Exempel 8.. Beräkig av Nyquistkurva för ett system av tredje ordige. Vi skall beräka Nyquistkurva för ett system med överförigsfuktioe 4 Gs () =. () 3 ( s + ) Om vi delar upp överförigsfuktioe i delsystem av första ordige ka vi skriva 3 Gs () = 4 = 4, () ( s+ ) ( s+ ) ( s+ ) ( s+ ) där varje dyamiskt delsystem har förstärkige och tidskostate (med lämplig tidsehet). För beräkig av G(j ω ) och arg G( j ω ) ka vi därmed utyttja de resultat vi tidigare härlett för system av första ordige. Vi får 3 3/ G(j ω) = 4( ) = 4( + ω ), arg G( j ω) = 3arcta ω. (3) + ω i= Figur 8.7 visar de kurva som fås är ω går frå 0 till. Liksom ova, har frekvesfuktioes värde utmärkts med pukter vid ett atal frekveser. E viss pukt på kurva ager frekvesfuktioes komplexa värde vid ifrågavarade frekves. Samtidigt är puktes avståd frå origo lika med frekvesfuktioes absolutbelopp samt de vikel som korda mella pukte och origo bildar med de positiva dele av de reella axel lika med frekvesfuktioes argumet, dvs dess fasförskjutig. Märk att de egativa fasförskjutiges absoluta värde ökar är vikel ökar medurs. 3 ω = Im G 0 3 3 ω 0 ω = 0,5 ω = 0,5 ω = 0 Re G ω = 0, Figur 8.7. Nyquistdiagram för systemet 3 Gs () = 4( s+ ). Övig 8.. Skissera Nyquistkurva för ett första ordiges system med dödtid. (Märk att dödtide ite påverkar amplitudförhålladet, ebart fasförskjutige.) 8-5
8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret 8.. Bodediagram System av första ordige K G ( s) =, atages K > 0 Ts + A ( ω) = G( jω) = R K + ( ωt ) ϕ( ω) = arg G( jω) = arcta( ωt) Detta ka framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det ormerade amplitudförhålladet A R / K och fasförskjutige ritas som fuktioer av frekvese: 0 0 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret System av adra ordige Ett system av adra ordige har överförigsfuktioe Vi har tidigare härlett ϕ Kω G( s) =, atages K > 0 s + ζω s + ω A R = K ζω ω ( ( ω/ ω ) ) + ( / ) ζω/ ω arcta om ω ( ω/ ω ) = ζω / ω arcta om ( ω/ ω ) ω π ω ω AR/K Fasförskjutig (grader) 0 0 0 0 0 0 0 0 ωt 0 0 40 60 80 00 0 0 0 0 0 0 ωt Vi har också visat att vi vid vikelfrekvese ω = ω ζ får e resoastopp med amplitudförhålladet A R K = ζ ζ 8-6 8-7
8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret AR/K 0 ζ = 0. 0. 0.3 0 0 0 0.4 0.5 0.7.0.0 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Dödtid För e dödtid L med överförigsfuktioe Gs () = e Ls har vi härlett A R ( ω ) = ϕ( ω) = Lω Vid växade frekves kommer de egativa fasförskjutige att öka obegräsat, och desto sabbare ju större dödtide är. 0 0 0 0 0 0 0 ω/ω AR 0 0 0 40.0 0. 0.3 0.4 0.5 0.7.0 ζ = 0. fasförskjutig ( o ) 60 80 00 0 40 60 fasförskjutig ( o ) 0 0 0 0 0 0 0 00 00 300 400 ω L 80 0 0 0 0 ω/ω 500 600 0 0 0 0 0 ω L 8-8 8-9
8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Elemet i serie För seriekopplade system med totala överförigsfuktioe G = G G G har vi visat att totala amplitudförhålladet och fasförskjutige ges av A = A A A R R, R, R, ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ Logaritmerig av uttrycket för amplitudförhålladet ger log( A ) = log( A ) + log( A ) + + log( A ) R R, R, R, Eftersom amplitudaxel i Bodediagrammet är logaritmisk, fås totala amplitudförhålladet av ett seriekopplat system geom att helt ekelt addera de eskilda delsystemes logaritmerade amplitudförhållade i Bodediagrammet. Eftersom fasförskjutigsaxel är lijär, fås totala fasförskjutige geom att addera de eskilda delsystemes fasförskjutigar. 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3. Bodes stabilitetskriterium r + y m Överförigsfuktioe för de öppa sliga ges av kretsöverförige G k G = G G G G Atag Gm = Gv =, G G G c k p G m k m p v c 0,s e = 0,5s + och Gc = Kc. Då blir 0,s c G v Ke Kc = = e 0,5s+ 0,5s+ 0,s G p y Vid frekvese ω = 7 rad/mi (atages att dödtide och tidskostate är uttryckta i miuter) fås fasförskjutige ϕ = arcta(0,5 7) 0, 7 80 = π De frekves där kretsöverföriges totala fasförskjutig är 80 kallas för systemets kritiska frekves ω c. Amplitudförhålladet vid de kritiska frekvese blir Kc AR(7) = 0,7 K + (0,5 7) Om K c = / 0,7 = 8,56 fås A R (7) =. c 8-0 8-
8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vi gör följade takeexperimet: Atag att ledvärdet r = si( 7t) och kretse är öppe. Då blir y m = A R (7) si(7 t π ) = si(7 t ) efter e stud. Om kretse då slutes med r = 0, blir G c :s isigal r y m = si(7 t), dvs samma som tidigare. Kretse fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv!. Atag att K c > 8,56, dvs A R > vid ω c = 7. Om vi upprepar samma som ova, blir y m = A R si(7 t) i öppe krets. y m:s amplitud är då större ä r :s amplitud. När kretse slutes, har isigale till G c således större amplitud ä tidigare, det ya y m blir äu större, vilket medför expoetiellt ökade oscillatioer. Kretse är istabil!. Atag att K c < 8,56, dvs A R < vid ω c = 7. När kretse slutes fås då expoetiellt avtagade oscillatioer. Kretse är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är istabilt om A R > vid de kritiska frekvese ω c för kretsöverförige G k ; systemet är stabilt om AR( ω c) <. Märk att det är kretsöverförige G k för det oreglerade ( öppa ) systemet som udersökes, me det avgör stabilitete för det återkopplade ( sluta ) systemet med överförigsfuktioe, där G är e godtycklig stabil G + Gk överförigsfuktio. Vid följereglerig är G= G. k 8-8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vid kritiska frekvese gäller Gk(j ω c) = och arg Gk( j ωc) = π som ger jarg Gk(j ωc) jπ Gk(j ωc) = Gk(j ωc) e = e = cos( π) jsi( π) = 0j = dvs s = jωc är e lösig till karakteristiska ekvatioe + G ( s) = 0. k I praktike bör följade två steg utföras vid stabilitetstest eligt Bodes stabilitetskriterium:. Bestäm de kritiska frekvese ω c, d.v.s. de frekves som kretsöverförige fasförskjuter med π, dvs 80.. Bestäm kretsöverföriges amplitudförhållade vid de kritiska frekvese ( = AR( ωc)). Om A R ( ω c ) <, är de sluta kretse stabil, aars istabil. Dessa två steg ka i si tur utföras på tre olika sätt:. Grafiskt geom att rita ett Bode-diagram för kretsöverförige. De kritiska frekvese ω c ka utläsas ur fasdiagrammet, och amplitudförhålladet AR( ω c) vid ω c ur amplituddiagrammet.. Numeriskt, geom att lösa ekvatioe π = ϕ k ( ω), där ϕ k ( ω ) är kretsöverföriges fasförskjutig. Lösige är ω = ω c. Därefter beräkas AR( ω c) eligt käda formler. 3. Geom simulerig av det återkopplade systemet med e P- regulator på samma sätt som K c,max och ω c bestämdes experimetellt i avs. 7.4.. Eftersom Kc,max AR ( ωc) =, A ( ω ) = / K. fås R c c,max 8-3
8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övig 8.3 Bestäm kritiska frekvese och amplitudförhålladet vid desamma för ett system med kretsöverförige Gk() s = G() s G() s G3() s G4() s där 4s,5 G() s = e, G() s = s +, G 0,8 3() s =, G4() s = 0s+ 5s+ Grafisk lösig med Bodediagram G L k 0 0 0 G 0 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övig 8.4 E process som ka modelleras som e re dödtid regleras med e P-regulator. Reglervetile och mätistrumetet har försumbar dyamik och deras förstärkigar är K v = 0,5 och K m = 0,8. När e lite förädrig av ledvärdet görs uppstår svägigar med e kostat amplitud och periode 0 miuter. a) Vilke är regulators förstärkig? b) Hur stor är dödtide? 8.3. Nyquists stabilitetskriterium I ett Nyquistdiagram uppritas realdele av G k, Re Gk (j ω ), som fuktio av imagiärdele av G k, Im Gk ( j ω ). De kurva som uppstår kallas Nyquistkurva. Vi börjar med de eklaste variate av Nyquistkriteriet, som är helt ekvivalet med Bodes stabilitetskriterium. argg k G L 0 0 0 0 0 ω 0 00 00 300 ω Det föreklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverförige G k ite har poler i högra halvplaet (dvs är stabilt, ev. med itegrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurva ( ω = 0 ) för G k skär egativa realaxel till höger om pukte (-,0), aars är det återkopplade systemet istabilt. 400 500 0 0 0 0 ω ω 8-4 8-5
8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.. Nyquistkurvora för systemet i Övig 8.3, med K c =,, 49 och, visas i figure. ImG k Imag(G L (jω)) 0.5 0 0.5.5.5 3 3.5 K c =, stabilt K c =.49, på gräse K c =, istabilt 4 0 3 4 5 Real(G L (jω)) ReG k Övig 8.5 Udersök stabilitet vid P-reglerig av e dödtid. Kretsöverförige är Kc e Ls. a) Hur ser Nyquistkurva ut? b) Vilket blir stabilitetsitervallet för K c? 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3.3 Stabilitetsmargialer Förstärkigsmargial Förstärkigsmargiale (amplitudmargiale) A m säger med vilke faktor kretsförstärkige ka öka uta att de sluta kretse blir istabil. Matematiskt ges förstärkigsmargiale av Am = AR( ωc) där A R är amplitudförhålladet för kretsöverförige. För stabilitet krävs att A m >. Förstärkigsmargiale ger robusthet ite bara mot variatioer i processförstärkige, uta äve mot variatioer i adra processparametrar (dvs modellfel i allmähet). Exempel 8.3. I börja av avsitt 8.3 studerade vi kretsöverförige Gk =. Bestäm e P-regulator som har för- 0,s Ke c 0,5s + stärkigsmargiale A m =, 7. Är de sluta kretse fortfarade stabil om dödtide i stället för 0, är 0,5 miuter? Frå tidigare har vi ω c = 7 rad/mi, AR( ω c) = 0,7Kc. Vi kräver A ( ω ) = A = /,7 som ger K c = 5. R c m För att kotrollera om de sluta kretse är stabil med K c = 5 om dödtide L = 0,5 mi, ka vi upprita ett Bodediagram för G k med dessa parametrar. Frå diagrammet ka vi på samma sätt som i övig 8.3 avläsa kritiska frekvese ω c och amplitudförhålladet AR( ω c). Om AR( ω c) <, är systemet stabilt. 8-6 8-7
8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Ett aat sätt är att beräka ω c och AR( ω c) umeriskt. För ett första ordiges system med tidskostate T och dödtide L fier vi ω c geom att lösa ekvatioe π = Lωc arcta( Tωc) dvs här (efter teckebyte) π = 0,5ωc + arcta(0,5 ωc) Vi fier sabbt lösige iterativt med direkt substitutio frå sambadet ωc = [ π arcta(0,5 ωc)] / 0,5 Lösige är ω c =,6 rad/mi. Ett första ordiges system med förstärkige K och tidskostate T (dödtide påverkar ite) har amplitudförhålladet K AR ( ω) = + ( Tω) T = 0,5, K = Kc = 5 och ω = ωc =,6 ger AR( ωc) 0,85<, vilket betyder att systemet fortfarade är stabilt om dödtide förädras frå L = 0, till L = 0,5 mi. 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Fasmargial Fasmargiale ϕ m ager hur mycket mer egativ fasförskjutige kude vara vid de frekves där kretsöverförige har förstärkige uta att de sluta kretse blir istabil. Fasmargiale ger robusthet ite bara mot variatioer i processes fasförskjutig, uta äve mot variatioer i adra processparametrar (dvs modellfel i allmähet) Bodes stabilitetskriterium säger att AR( ω c) <, dvs om vi vid e frekves ω g har AR( ω g) =, så kräver stabilitet att vi vid dea frekves har e midre egativ fasförskjutig ä 80. Frekvese ω g kallas (amplitudkurvas) överkorsigsfrekves. Matematiskt defiieras fasmargiale (här uttryckt i radiaer) ϕm = ϕω ( g) + π, där ω g ges av AR( ω g) =. För stabilitet krävs att ϕ m > 0. ϕ( ω g) och AR( ω g) skall givetvis beräkas för kretsöverförige. Exempel 8.4. Bestäm de P-regulator, för samma krets som i exempel 8.3, som har ϕ m = 30. Är de sluta kretse fortfarade stabil om dödtide i stället för 0, är 0,5 miuter? Vi söker först ω g så att ϕ( ωg ) = ϕm 80 = 50 = 5 π / 6. För att fia lösige, ka vi rita ett Bodediagram för processes överförigsfuktio G p (dvs G k med K c = ). Vi fier då ω g vid de frekves där faskurva skär 50. Det skall gälla att KcAR( ω g) =, där AR( ω g) är amplitudförhålladet för G p vid ω = ωg, som ka avläsas ur Bodediagrammet. Vi får då Kc = / AR( ωg). 8-8 8-9
8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Förstärkige påverkar ite fasförskjutige. Precis som i exempel 8.3, är kritiska frekvese för L = 0,5 mi ω c =,6 rad/mi. Vi ka avläsa AR( ω c) frå Bodediagrammet för G p. A ( ω ) > / K, är systemet istabilt då L = 0,5. Om R c c Vi ka också göra beräkigara ret umeriskt. Frekvese ω g ka lösas ur 5 π / 6 = 0,ωg + arcta(0,5 ωg) Iterativ lösig geom direkt substitutio frå sambadet ω = [5 π / 6 arcta(0,5 ω )] / 0, g ger sabbt lösige ω g =, rad/mi. AR( ω g) = motsvarar Kc A R (,) = = + (0,5,) som har lösige K c = 6,4. Om dödtide L = 0,5 mi, är som ova kostaterats ω c =,6 rad/mi. Vi får då 6,4 AR( ω c) = AR(, 6) =, 04 > + (0,5,6) vilket betyder att processe är istabil om L = 0,5 mi då K c = 6,4. g 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.5. Förstärkigs- och fasmargialer ka ekelt avläsas ur ett Bodediagram då regulator är give. För kretsöverförige Gk = 0,s Ke c 0,5s + med K c = 5 fås Bodediagrammet eda med agiva förstärkigs- och fasmargialer. G L 0 Gk argg k G L 0 0 /A m 0 00 50 0 0 0 ω 0 0 0 50 fasmargial 00 0 0 0 0 ω 0 c ω ω g 8-30 8-3
8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3.4 Numerisk lösig av frekvessambad I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvatioe m.a.p. frekvese med e ekel umerisk iteratiosmetod. Metode förutsätter att systemet har e dödtid. Så är dock ite alltid fallet, me äve om det fis e dödtid fugerar de ekla metode ite alltid. Vi skall här ta fram e bättre metod för lösig av frekvese både ur fasekvatioe och amplitudekvatioe för ett :te ordiges system med eller uta dödtid. Fasekvatioe Vi utgår frå e allmä överförigsfuktio Gs () K e Ls = ( ) ( N ) Ts Ts T + s + T s + + + där systemets poler och ollställe behöver ite vara reella, trots att vi aväder dea form. Fasekvatioe för detta system har forme ϕ = Lω arcta( Tω) + arcta( Tω) r N i i= i= + där ϕ r är fasförskjutige uttryck i radiaer/tidsehet. Om vi öskar lösa ut kritiska frekvese ω = ωc, är ϕr = π överkorsigsfrekvese ω = ωg, är ϕr = π + ϕm, där ϕ m är fasmargiale uttryckt i radiaer/tidsehet Vi defiierar f ( ω) = ϕ Lω arcta( Tω) + arcta( Tω) r N i i= i= + vilket iebär att vi vill lösa ekvatioe f ( ω ) = 0. E iterativ lösig eligt formel ωk+ = ωk + α f ( ωk) i i 8-3 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system kovergerar då om α väljes så att < α f ( ω ) < 0, där k N k i i L k i= + Ti k i= + + Ti k d f( ω ) T T f ( ωk ) = + dω ( ω ) ( ω ) Av problemets atur följer att f ( ω) > 0 i ärhete av lösige till f ( ω ) = 0. Om vi som startlösig gissar ett ω 0 sådat att f ( ω ) > 0, ka vi på goda gruder välja 0 α = f ( ω0) Eklast är att starta iteratioe frå ω 0 = 0 om f (0) > 0. Vi fördubblar dock α :s värde och väljer N α = L+ Ti Ti i= i= + Det fis dock ige garati för att detta ger sabb koverges. Ma ka försöka förbättra kovergese geom att t.ex. fördubbla α :s värde dock med risk för att det börjar divergera. Om systemet har komplexa poler eller ollställe uppträder dessa alltid som komplexkojugerade sådaa. Vi har då också i uttrycke ova två komplexkojugerade tidskostater T j och T j +, som satisfierar uttrycket j+ ζω ω ω ( Ts+ )( T s+ ) = ( s + s+ )/ j där ζ och ω är de två poleras/ollställeas relativa dämpig respektive aturliga egefrekves. Vi har Tj + Tj+ = ζ / ω och ζωω arcta( Tjω) + arcta( Tj+ ω) = arcta ω ω som ka substitueras i uttrycke ova. 8-33
8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Amplitudekvatioe Om vi vill bestämma systemets fasmargial med e give regulator behöver vi överkorsigsfrekvese ω g, som satisfierar ekvatioe Gk( ω g) =, där G k är kretsöverförige, dvs det oreglerade systemet kopplat i serie med regulator. Ofta är regulator i detta skeda e P-regulator, me vi skall här också beakta att vi ka ha e regulator med itegrerade verka. Vi skriver kretsöverförige i forme Gk() s = GI() s G() s där Gs ( ) har samma allmäa form som för fasekvatioe. Om det fis e regulator med itegratiostide T i > 0 är GI() s = / Ts i, aars är G I () s =. Reste av regulators överförigsfuktio igår i Gs. ( ) Amplitud- (eller förstärkigs- eller belopps-) kurva är Gk(j ω) = GI(j ω) G(j ω) där G (j ω) = / Tω I i TNω Tω [ + ( T+ ω) ] [ + ( ) ] G(j ω) = K [ + ( T ω) ] [ + ( ) ] Vi defiierar g( ω) = G(j ω) GI (j ω) vilket iebär att vi vill lösa ekvatioe g( ω ) = 0 för att fia lösige till Gk( ω g) =. E iterativ lösig eligt formel ωk+ = ωk + βg( ωk) kovergerar då om β väljes så att < β g ( ωk ) < 0. Här är g (0) = 0 då G I () s =, vilket iebär att β = g ( ω0) är ett olämpligt val om ma har för avsikt att starta iteratioe frå ω 0 = 0. Ett bättre startvärde torde ω0 = ωc vara, som ofta är 8-34 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system käd, eller ka beräkas, är ma vill beräka ω g. Här föreslås dock N T β = T0 + Ti Ti, { i om I-verka T 0 = i= i= + 0 aars dvs samma typ av val som vid lösig av fasekvatioe. Märk att det fis e tidskostat Ti = T0, i>, om regulator är e PI- eller PID-regulator, vilket iebär att T 0 då i själva verket förkortas bort frå β. Precis som ova torde detta garatera koverges om systemet ite har mycket speciella egeskaper, me sabb koverges ka ite garateras. Ma har full frihet att t.ex. fördubbla β för att förbättra kovergese. Liksom i fallet med fasekvatioe, utgör komplexa poler eller ollställe iget problem. Ifall T j och T j + är komplexkojugerade, vet vi reda hur summa Tj + T j + beräkas i uttrycket för β. I uttrycket för G(j ω ) fås ζ ζ 4 Tj+ ω ω [ + ( Tjω) ][ + ( ω) ] = + ω + ω Övig 8.6 Bestäm K c,max för edaståede system med frekvesaalys. r G c G m G v G p G =, G =, G =, G = K 5s+ s+ s+ p v m c c y 8-35
8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet I detta avsitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer ka dimesioeras så att giva frekvesplasbaserade stabilitets- och prestadakriterier uppfylls. De aväda stabilitetskriteriera är förstärkigsmargiale A m och fasmargiale ϕ m. För väl iställda regulatorer gäller ofta A m och ϕm 45 Överkorsigsfrekvese ω g är ett prestadarelaterat mått ju högre överkorsigsfrekves, desto sabbare reglerig. Ofta ases att ωg 0,3ωc, där ω c är kritiska frekvese är systemet regleras med e P-regulator, är ett bra värde. 8.4. Dimesioerig av PI-regulatorer Överförigsfuktioe för e PI-regulator är + Ts i GPI() s = Kc + = Kc Ts i Ts i Itegratiostide Ti 5/ ωg är ofta ett lämpligt val för e PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulator visar (på ästa sida), ger detta ca 0 fasförskjutig vid frekvese ω = ω g. (Ekvatio (8.8) ger det exaktare värdet,3º.) Ma ka utyttja detta för att t.ex. dimesioera e PI-regulator så att det reglerade systemet får e öskad fasmargial ϕ. Tillvägagågssättet är följade: m. Beräka ω g som de frekves där fasmargiale är ϕ m + ca. 0 extra som itegrerige kommer att bidra med.. Bestäm regulatorförstärkige K c så att AR( ω g) =. 3. Itegratiostide är Ti = 5/ ωg. 8-36 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Bode-diagrammet för e PI-regulator: G lag 0 GPI K argg PI G lag c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 60 80 ωt i ω/t i 00 0 0 0 0 0 0 ω/t i ωt i Exempel 8.7. Desiga e PI-regulator för systemet som beskrivs av överförigsfuktioe s e Gs () = 0s + som ger a) ϕ m = 30 b) ϕ m = 60. Beräka äve regulatoriställigar eligt ågra metoder i avsitt 7.4 och 7.5. 8-37
8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet a) ϕ m = 30 iebär att vi skall beräka ω g för fasförskjutige ϕ = 80 + 30 + 0 = 40 = 7 π / 9. Eligt de iterativa lösigsmetode har vi f ( ω) = 7 π /9 ω arcta(0 ω) och α = / ( + 0) 0,. Lösig eligt ωk+ = ωk + α f ( ωk) med startlösige ω 0 = 0 ger efter gaska måga iteratioer ω g = 0,975. Kovergese är lågsam, me ma ka på väge göra bättre gissigar av ω k är ma ser ugefär vart ma är på väg. Regulatorförstärkige K c fås eligt sambadet c r g g K = A ( ω ) = + (0 ω ) 9,8 och itegratiostide T i eligt T = 5/ ω 5,3 b) Löses på aalogt sätt. Resultate fis sammaställda i tabelle. 30 Z-N ITAE kost. i g CHR 0% kost. CHR 0% kost. K c 9,80 9,00 8,5 6,00 7,0 T i 5,3 3,33 3,0 4,00,30 60 ITAE följe CHR 0% följe CHR 0% följe K c 5,43 4,83 3,50 6,00 T i 9,36 9,87,0 0,0 8-38 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet.8.6.4. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕ m = 30 (heldrage), b) ϕ m = 60 (streckad). Vi ka äve testa approximativa sambad:, 4 6 stigtide t s och isvägigstide t 5% ω g ωgta( ϕm). a) Formel: t s, 4 ; t 5% 0,7 Ur figur: t s,9, = 0,8; t 5%,5 = 0,5 b) Formel: t s,6; t 5% 6,5 Ur figur: t s 3,6, =, 4 ; t 5% 6, = 5, 8-39
8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Det är ekelt att göra PI-regulatordimesioerig med hjälp av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås: G G argg G 0 0 0 0 50 00 50 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 Ma ka äve kotrollera de erhålla sluta kretse geom att rita Bodediagram för kretsöverförige Gk = GPIG: G k G L argg k G L 0 4 0 0 0 0 50 00 50 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 8-40 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 8.4. Dimesioerig av PD-regulatorer E realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överförigsfuktioe GPDf () s = Kc ( + Td s) + Ts f PD-regulator lågpassfilter PDf-regulators fasförskjutig ges av ( Td Tf) ω arg GPDf (j ω) = arcta( Tdω) arcta( Tf ω) = arcta + TT d fω Detta ger e positiv fasförskjutig då T d > T f. Ma ka visa att maximal fasförskjutig fås vid frekvese ω = ω, där ω max = ( TT) d f De maximala fasförskjutige är ϕ / T T = d f max arcta ( / TT d f ) PDf-regulators amplitudförhållade är + ( Tdω ) PDf ω = Kc + ( Tf ω) G (j ) Vid ω = 0 (dvs statioärtillståd) är GPDf (0) = Kc och är ω, GPDf (j ω) Kc Td / Tf. Vid frekvese ω max fås G (j ω ) = K ( T / T ) PDf max c d f Med parameterdefiitioe b= Td / Tf fås ω = b / T, ϕ max = arcta[( b ) / ( b)] max d / max GPDf (j ω max ) = b Kc, GPDf (j ) = b Kc 8-4
8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Bodediagrammet för PDf-regulator: GPDf G lead K c b b / b argg G lead PDf /T d b/tb d b/t d Td 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet För att göra detta, behöver ma bl.a. bestämma parameter b utgåede frå ett öskat faslyft ϕ max. Ett sätt att uttrycka formel som ka härledas är + siϕmax b =, 0 ϕmax < 90 siϕ max Sambadet fis också uppritat i edaståede figur. 70 60 50 ϕ max G lead,max G lead,max ϕ max 40 30 0 o ω 0 0 Dimesioerige av e PDf-regulator utgår ifrå att ma öskar e give överkorsigsfrekves ω g och e give fasmargial ϕ m. Ma vill med adra ord kombiera prestada och robusthet. Det blir aktuellt att aväda e PDf-regulator om det visar sig att öskad fasmargial ite uppås vid de öskade överkorsigsfrekvese med e P- eller PI-regulator. I dea situatio vet ma hur stort faslyft som behövs för att å de öskade fasmargiale. Idé är att placera PDf-regulators maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvese ω g. 8-4 0 0 5 0 5 0 5 Dimesioerige går till på följade sätt:. Kotrollera utgåede frå det oreglerade systemet G (dvs G k uta regulator) om öskad fasmargial uppås vid överkorsigsfrekvese ω g.. Om ite, beräkas behövligt faslyft eligt ϕ = ϕ arg G( j ω ) π max m g 3. Parameter b beräkas eller avläses frå figure ova. b 8-43