n ζω ωn π ω ω System av andra ordningen Ett system av andra ordningen har överföringsfunktionen Bodediagram System av första ordningen K K 2 2 2

Transkript

1 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret 8.. Bodediagram System av första ordige K G ( s) =, atages K > Ts + A ( ) = G( j) = R K + ( T ) ϕ( ) = arg G( j) = arcta( T) Detta ka framställas grafiskt i ett Bodediagram, där det ormerade amplitudförhålladet A R / K och fasförskjutige ritas som fuktioer av frekvese: 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret System av adra ordige Ett system av adra ordige har överförigsfuktioe Vi har tidigare härlett ϕ K G( s) =, atages K > s + ζ s + A R = K ζ ( ( / ) ) + ( / ) ζ/ arcta om ( / ) = ζ / arcta om ( / ) π AR/K Fasförskjutig (grader) T T Vi har också visat att vi vid vikelfrekvese = ζ får e resoastopp med amplitudförhålladet A R K = ζ ζ

2 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret AR/K ζ = Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Dödtid För e dödtid L med överförigsfuktioe Gs () = e Ls har vi härlett A R ( ) = ϕ( ) = L Vid växade frekves kommer de egativa fasförskjutige att öka obegräsat, och desto sabbare ju större dödtide är. / AR ζ =. fasförskjutig ( o ) fasförskjutig ( o ) 3 4 L 8 / 5 6 L

3 8. Frekvesaalys 8. Grafiska represetatioer av frekvessvaret Elemet i serie För seriekopplade system med totala överförigsfuktioe G = G G G har vi visat att totala amplitudförhålladet och fasförskjutige ges av A = A A A R R, R, R, ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ Logaritmerig av uttrycket för amplitudförhålladet ger log( A ) = log( A ) + log( A ) + + log( A ) R R, R, R, Eftersom amplitudaxel i Bodediagrammet är logaritmisk, fås totala amplitudförhålladet av ett seriekopplat system geom att helt ekelt addera de eskilda delsystemes logaritmerade amplitudförhållade i Bodediagrammet. Eftersom fasförskjutigsaxel är lijär, fås totala fasförskjutige geom att addera de eskilda delsystemes fasförskjutigar. 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system 8.3. Bodes stabilitetskriterium r + y m Överförigsfuktioe för de öppa sliga ges av kretsöverförige G k G = G G G G Atag Gm = Gv =, G G G c k p G m k m p v c,s e =,5s + och Gc = Kc. Då blir,s c G v Ke Kc = = e,5s+,5s+,s G p y Vid frekvese = 7 rad/mi (atages att dödtide och tidskostate är uttryckta i miuter) fås fasförskjutige ϕ = arcta(,5 7), 7 8 = π De frekves där kretsöverföriges totala fasförskjutig är 8 kallas för systemets kritiska frekves c. Amplitudförhålladet vid de kritiska frekvese blir Kc AR(7) =,7 K + (,5 7) Om K c = /,7 = 8,56 fås A R (7) =. c 8-8-

4 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vi gör följade takeexperimet: Atag att ledvärdet r = si( 7t) och kretse är öppe. Då blir y m = A R (7) si(7 t π ) = si(7 t ) efter e stud. Om kretse då slutes med r =, blir G c :s isigal r y m = si(7 t), dvs samma som tidigare. Kretse fortsätter m.a.o. att oscillera av sig själv!. Atag att K c > 8,56, dvs A R > vid c = 7. Om vi upprepar samma som ova, blir y m = A R si(7 t) i öppe krets. y m:s amplitud är då större ä r :s amplitud. När kretse slutes, har isigale till G c således större amplitud ä tidigare, det ya y m blir äu större, vilket medför expoetiellt ökade oscillatioer. Kretse är istabil!. Atag att K c < 8,56, dvs A R < vid c = 7. När kretse slutes fås då expoetiellt avtagade oscillatioer. Kretse är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är istabilt om A R > vid de kritiska frekvese c för kretsöverförige G k ; systemet är stabilt om AR( c) <. Märk att det är kretsöverförige G k för det oreglerade ( öppa ) systemet som udersökes, me det avgör stabilitete för det återkopplade ( sluta ) systemet med överförigsfuktioe, där G är e godtycklig stabil G + Gk överförigsfuktio. Vid följereglerig är G= G. k 8-8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Vid kritiska frekvese gäller Gk(j c) = och arg Gk( j c) = π som ger jarg Gk(j c) jπ Gk(j c) = Gk(j c)e = e = cos( π) jsi( π) = j = dvs s = jc är e lösig till karakteristiska ekvatioe + G ( s) =. k I praktike bör följade två steg utföras vid stabilitetstest eligt Bodes stabilitetskriterium:. Bestäm de kritiska frekvese c, d.v.s. de frekves som kretsöverförige fasförskjuter med π, dvs 8.. Bestäm kretsöverföriges amplitudförhållade vid de kritiska frekvese ( = AR( c)). Om A R ( c ) <, är de sluta kretse stabil, aars istabil. Dessa två steg ka i si tur utföras på tre olika sätt:. Grafiskt geom att rita ett Bode-diagram för kretsöverförige. De kritiska frekvese c ka utläsas ur fasdiagrammet, och amplitudförhålladet AR( c) vid c ur amplituddiagrammet.. Numeriskt, geom att lösa ekvatioe π = ϕ k ( ), där ϕ k ( ) är kretsöverföriges fasförskjutig. Lösige är = c. Därefter beräkas AR( c) eligt käda formler. 3. Geom simulerig av det återkopplade systemet med e P- regulator på samma sätt som K c,max och c bestämdes experimetellt i avs Eftersom Kc,max AR ( c) =, A ( ) = / K. fås R c c,max 8-3

5 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övig 8.3 Bestäm kritiska frekvese och amplitudförhålladet vid desamma för ett system med kretsöverförige Gk() s = G() s G() s G3() s G4() s där 4s,5 G() s = e, G() s = s +, G,8 3() s =, G4() s = s+ 5s+ Grafisk lösig med Bodediagram G L k G 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Övig 8.4 E process som ka modelleras som e re dödtid regleras med e P-regulator. Reglervetile och mätistrumetet har försumbar dyamik och deras förstärkigar är K v =,5 och K m =,8. När e lite förädrig av ledvärdet görs uppstår svägigar med e kostat amplitud och periode miuter. a) Vilke är regulators förstärkig? b) Hur stor är dödtide? 8.3. Nyquists stabilitetskriterium I ett Nyquistdiagram uppritas realdele av G k, Re Gk (j ), som fuktio av imagiärdele av G k, Im Gk ( j ). De kurva som uppstår kallas Nyquistkurva. Vi börjar med de eklaste variate av Nyquistkriteriet, som är helt ekvivalet med Bodes stabilitetskriterium. argg k G L 3 Det föreklade Nyquist-kriteriet: Om kretsöverförige G k ite har poler i högra halvplaet (dvs är stabilt, ev. med itegrator) är det återkopplade systemet stabilt om Nyquistkurva ( = ) för G k skär egativa realaxel till höger om pukte (-,), aars är det återkopplade systemet istabilt

6 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.. Nyquistkurvora för systemet i Övig 8.3, med K c =,, 49 och, visas i figure. ImG k Imag(G L (j)) K c =, stabilt K c =.49, på gräse K c =, istabilt Real(G L (j)) ReG k Övig 8.5 Udersök stabilitet vid P-reglerig av e dödtid. Kretsöverförige är Kc e Ls. a) Hur ser Nyquistkurva ut? b) Vilket blir stabilitetsitervallet för K c? 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Stabilitetsmargialer Förstärkigsmargial Förstärkigsmargiale (amplitudmargiale) A m säger med vilke faktor kretsförstärkige ka öka uta att de sluta kretse blir istabil. Matematiskt ges förstärkigsmargiale av Am = AR( c) där A R är amplitudförhålladet för kretsöverförige. För stabilitet krävs att A m >. Förstärkigsmargiale ger robusthet ite bara mot variatioer i processförstärkige, uta äve mot variatioer i adra processparametrar (dvs modellfel i allmähet). Exempel 8.3. I börja av avsitt 8.3 studerade vi kretsöverförige Gk =. Bestäm e P-regulator som har för-,s Ke c,5s + stärkigsmargiale A m =, 7. Är de sluta kretse fortfarade stabil om dödtide i stället för, är,5 miuter? Frå tidigare har vi c = 7 rad/mi, AR( c) =,7Kc. Vi kräver A ( ) = A = /,7 som ger K c = 5. R c m För att kotrollera om de sluta kretse är stabil med K c = 5 om dödtide L =,5 mi, ka vi upprita ett Bodediagram för G k med dessa parametrar. Frå diagrammet ka vi på samma sätt som i övig 8.3 avläsa kritiska frekvese c och amplitudförhålladet AR( c). Om AR( c) <, är systemet stabilt

7 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Ett aat sätt är att beräka c och AR( c) umeriskt. För ett första ordiges system med tidskostate T och dödtide L fier vi c geom att lösa ekvatioe π = Lc arcta( Tc) dvs här (efter teckebyte) π =,5c + arcta(,5 c) Vi fier sabbt lösige iterativt med direkt substitutio frå sambadet c = [ π arcta(,5 c)] /,5 Lösige är c =,6 rad/mi. Ett första ordiges system med förstärkige K och tidskostate T (dödtide påverkar ite) har amplitudförhålladet K AR ( ) = + ( T) T =,5, K = Kc = 5 och = c =,6 ger AR( c),85<, vilket betyder att systemet fortfarade är stabilt om dödtide förädras frå L =, till L =,5 mi. 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Fasmargial Fasmargiale ϕ m ager hur mycket mer egativ fasförskjutige kude vara vid de frekves där kretsöverförige har förstärkige uta att de sluta kretse blir istabil. Fasmargiale ger robusthet ite bara mot variatioer i processes fasförskjutig, uta äve mot variatioer i adra processparametrar (dvs modellfel i allmähet) Bodes stabilitetskriterium säger att AR( c) <, dvs om vi vid e frekves g har AR( g) =, så kräver stabilitet att vi vid dea frekves har e midre egativ fasförskjutig ä 8. Frekvese g kallas (amplitudkurvas) överkorsigsfrekves. Matematiskt defiieras fasmargiale (här uttryckt i radiaer) ϕm = ϕ ( g) + π, där g ges av AR( g) =. För stabilitet krävs att ϕ m >. ϕ( g) och AR( g) skall givetvis beräkas för kretsöverförige. Exempel 8.4. Bestäm de P-regulator, för samma krets som i exempel 8.3, som har ϕ m = 3. Är de sluta kretse fortfarade stabil om dödtide i stället för, är,5 miuter? Vi söker först g så att ϕ( g ) = ϕm 8 = 5 = 5 π / 6. För att fia lösige, ka vi rita ett Bodediagram för processes överförigsfuktio G p (dvs G k med K c = ). Vi fier då g vid de frekves där faskurva skär 5. Det skall gälla att KcAR( g) =, där AR( g) är amplitudförhålladet för G p vid = g, som ka avläsas ur Bodediagrammet. Vi får då Kc = / AR( g)

8 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Förstärkige påverkar ite fasförskjutige. Precis som i exempel 8.3, är kritiska frekvese för L =,5 mi c =,6 rad/mi. Vi ka avläsa AR( c) frå Bodediagrammet för G p. A ( ) > / K, är systemet istabilt då L =,5. Om R c c Vi ka också göra beräkigara ret umeriskt. Frekvese g ka lösas ur 5 π / 6 =,g + arcta(,5 g) Iterativ lösig geom direkt substitutio frå sambadet = [5 π / 6 arcta(,5 )] /, g ger sabbt lösige g =, rad/mi. AR( g) = motsvarar Kc A R (,) = = + (,5,) som har lösige K c = 6,4. Om dödtide L =,5 mi, är som ova kostaterats c =,6 rad/mi. Vi får då 6,4 AR( c) = AR(, 6) =, 4 > + (,5,6) vilket betyder att processe är istabil om L =,5 mi då K c = 6,4. g 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Exempel 8.5. Förstärkigs- och fasmargialer ka ekelt avläsas ur ett Bodediagram då regulator är give. För kretsöverförige Gk =,s Ke c,5s + med K c = 5 fås Bodediagrammet eda med agiva förstärkigs- och fasmargialer. G L Gk argg k G L /A m 5 5 fasmargial c g

9 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Numerisk lösig av frekvessambad I exempel 8.3 och 8.4 löstes fasekvatioe m.a.p. frekvese med e ekel umerisk iteratiosmetod. Metode förutsätter att systemet har e dödtid. Så är dock ite alltid fallet, me äve om det fis e dödtid fugerar de ekla metode ite alltid. Vi skall här ta fram e bättre metod för lösig av frekvese både ur fasekvatioe och amplitudekvatioe för ett :te ordiges system med eller uta dödtid. Fasekvatioe Vi utgår frå e allmä överförigsfuktio Gs () K e Ls = ( ) ( N ) Ts Ts T + s + T s där systemets poler och ollställe behöver ite vara reella, trots att vi aväder dea form. Fasekvatioe för detta system har forme ϕ = L arcta( T) + arcta( T) r N i i= i= + där ϕ r är fasförskjutige uttryck i radiaer/tidsehet. Om vi öskar lösa ut kritiska frekvese = c, är ϕr = π överkorsigsfrekvese = g, är ϕr = π + ϕm, där ϕ m är fasmargiale uttryckt i radiaer/tidsehet Vi defiierar f ( ) = ϕ L arcta( T) + arcta( T) r N i i= i= + vilket iebär att vi vill lösa ekvatioe f ( ) =. E iterativ lösig eligt formel k+ = k + α f ( k) i i Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system kovergerar då om α väljes så att < α f ( ) <, där k N k i i L k i= + Ti k i= + + Ti k d f( ) T T f ( k ) = + d ( ) ( ) Av problemets atur följer att f ( ) > i ärhete av lösige till f ( ) =. Om vi som startlösig gissar ett sådat att f ( ) >, ka vi på goda gruder välja α = f ( ) Eklast är att starta iteratioe frå = om f () >. Vi fördubblar dock α :s värde och väljer N α = L+ Ti Ti i= i= + Det fis dock ige garati för att detta ger sabb koverges. Ma ka försöka förbättra kovergese geom att t.ex. fördubbla α :s värde dock med risk för att det börjar divergera. Om systemet har komplexa poler eller ollställe uppträder dessa alltid som komplexkojugerade sådaa. Vi har då också i uttrycke ova två komplexkojugerade tidskostater T j och T j +, som satisfierar uttrycket j+ ζ ( Ts+ )( T s+ ) = ( s + s+ )/ j där ζ och är de två poleras/ollställeas relativa dämpig respektive aturliga egefrekves. Vi har Tj + Tj+ = ζ / och ζ arcta( Tj) + arcta( Tj+ ) = arcta som ka substitueras i uttrycke ova. 8-33

10 8. Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system Amplitudekvatioe Om vi vill bestämma systemets fasmargial med e give regulator behöver vi överkorsigsfrekvese g, som satisfierar ekvatioe Gk( g) =, där G k är kretsöverförige, dvs det oreglerade systemet kopplat i serie med regulator. Ofta är regulator i detta skeda e P-regulator, me vi skall här också beakta att vi ka ha e regulator med itegrerade verka. Vi skriver kretsöverförige i forme Gk() s = GI() s G() s där Gs ( ) har samma allmäa form som för fasekvatioe. Om det fis e regulator med itegratiostide T i > är GI() s = / Ts i, aars är G I () s =. Reste av regulators överförigsfuktio igår i Gs. ( ) Amplitud- (eller förstärkigs- eller belopps-) kurva är Gk(j ) = GI(j ) G(j ) där G (j ) = / T I i TN T [ + ( T+ ) ] [ + ( ) ] G(j ) = K [ + ( T ) ] [ + ( ) ] Vi defiierar g( ) = G(j ) GI (j ) vilket iebär att vi vill lösa ekvatioe g( ) = för att fia lösige till Gk( g) =. E iterativ lösig eligt formel k+ = k + βg( k) kovergerar då om β väljes så att < β g ( k ) <. Här är g () = då G I () s =, vilket iebär att β = g ( ) är ett olämpligt val om ma har för avsikt att starta iteratioe frå =. Ett bättre startvärde torde = c vara, som ofta är Frekvesaalys 8.3 Stabilitetskriterier för återkopplade system käd, eller ka beräkas, är ma vill beräka g. Här föreslås dock N T β = T + Ti Ti, { i om I-verka T = i= i= + aars dvs samma typ av val som vid lösig av fasekvatioe. Märk att det fis e tidskostat Ti = T, i>, om regulator är e PI- eller PID-regulator, vilket iebär att T då i själva verket förkortas bort frå β. Precis som ova torde detta garatera koverges om systemet ite har mycket speciella egeskaper, me sabb koverges ka ite garateras. Ma har full frihet att t.ex. fördubbla β för att förbättra kovergese. Liksom i fallet med fasekvatioe, utgör komplexa poler eller ollställe iget problem. Ifall T j och T j + är komplexkojugerade, vet vi reda hur summa Tj + T j + beräkas i uttrycket för β. I uttrycket för G(j ) fås ζ ζ 4 Tj+ [ + ( Tj) ][ + ( ) ] = + + Övig 8.6 Bestäm K c,max för edaståede system med frekvesaalys. r G c G m G v G p G =, G =, G =, G = K 5s+ s+ s+ p v m c c y 8-35

11 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet I detta avsitt skall vi visa hur PI-, PD- och PID-regulatorer ka dimesioeras så att giva frekvesplasbaserade stabilitets- och prestadakriterier uppfylls. De aväda stabilitetskriteriera är förstärkigsmargiale A m och fasmargiale ϕ m. För väl iställda regulatorer gäller ofta A m och ϕ m = 45 Överkorsigsfrekvese g är ett prestadarelaterat mått ju högre överkorsigsfrekves, desto sabbare reglerig. Ofta ases att g,3c, där c är kritiska frekvese är systemet regleras med e P-regulator, är ett bra värde Dimesioerig av PI-regulatorer Överförigsfuktioe för e PI-regulator är + Ts i GPI() s = Kc + = Kc Ts i Ts i Itegratiostide Ti 5/ g är ofta ett lämpligt val för e PIregulator. Som Bodediagrammet för PI-regulator visar (på ästa sida), ger detta ca fasförskjutig vid frekvese = g. (Ekvatio (8.8) ger det exaktare värdet,3º.) Ma ka utyttja detta för att t.ex. dimesioera e PI-regulator så att det reglerade systemet får e öskad fasmargial ϕ. Tillvägagågssättet är följade: m. Beräka g som de frekves där fasmargiale är ϕ m + ca. extra som itegrerige kommer att bidra med.. Bestäm regulatorförstärkige K c så att AR( g) =. 3. Itegratiostide är Ti = 5/ g Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Bode-diagrammet för e PI-regulator: G lag GPI K argg PI G lag c T i /T i /T i T i Exempel 8.7. Desiga e PI-regulator för systemet som beskrivs av överförigsfuktioe s e Gs () = s + som ger a) ϕ m = 3 b) ϕ m = 6. Beräka äve regulatoriställigar eligt ågra metoder i avsitt 7.4 och

12 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet a) ϕ m = 3 iebär att vi skall beräka g för fasförskjutige ϕ = = 4 = 7 π / 9. Eligt de iterativa lösigsmetode har vi f ( ) = 7 π /9 arcta( ) och α = / ( + ),. Lösig eligt k+ = k + α f ( k) med startlösige = ger efter gaska måga iteratioer g =,975. Kovergese är lågsam, me ma ka på väge göra bättre gissigar av k är ma ser ugefär vart ma är på väg. Regulatorförstärkige K c fås eligt sambadet c r g g K = A ( ) = + ( ) 9,8 och itegratiostide T i eligt T = 5/ 5,3 b) Löses på aalogt sätt. Resultate fis sammaställda i tabelle. 3 Z-N ITAE kost. i g CHR % kost. CHR % kost. K c 9,8 9, 8,5 6, 7, T i 5,3 3,33 3, 4,,3 6 ITAE följe CHR % följe CHR % följe K c 5,43 4,83 3,5 6, T i 9,36 9,87,, Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Figur: Stegsvar med PI-regulatorer med a) ϕ m = 3 (heldrage), b) ϕ m = 6 (streckad). Vi ka äve testa approximativa sambad:, 4 6 stigtide t s och isvägigstide t 5% g gta( ϕm). a) Formel: t s, 4 ; t 5%,7 Ur figur: t s,9, =,8; t 5%,5 =,5 b) Formel: t s,6; t 5% 6,5 Ur figur: t s 3,6, =, 4 ; t 5% 6, = 5, 8-39

13 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Det är ekelt att göra PI-regulatordimesioerig med hjälp av ett Bodediagram. För systemet i exempel 8.7 fås: G G argg G 5 5 Ma ka äve kotrollera de erhålla sluta kretse geom att rita Bodediagram för kretsöverförige Gk = GPIG: G k G L argg k G L Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 8.4. Dimesioerig av PD-regulatorer E realiserbar PD-regulator med ett lågpassfilter har överförigsfuktioe GPDf () s = Kc ( + Td s) + Ts f PD-regulator lågpassfilter PDf-regulators fasförskjutig ges av ( Td Tf) arg GPDf (j ) = arcta( Td) arcta( Tf ) = arcta + TT d f Detta ger e positiv fasförskjutig då T d > T f. Ma ka visa att maximal fasförskjutig fås vid frekvese =, där max = ( TT) d f De maximala fasförskjutige är ϕ / T T = d f max arcta ( / TT d f ) PDf-regulators amplitudförhållade är + ( Td ) PDf = Kc + ( Tf ) G (j ) Vid = (dvs statioärtillståd) är GPDf () = Kc och är, GPDf (j ) Kc Td / Tf. Vid frekvese max fås G (j ) = K ( T / T ) PDf max c d f Med parameterdefiitioe b= Td / Tf fås = b / T, ϕ max = arcta[( b ) / ( b)] max d / max GPDf (j max ) = b Kc, GPDf (j ) = b Kc 8-4

14 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Bodediagrammet för PDf-regulator: GPDf G lead K c b b / b argg G lead PDf /T d b/tb d b/t d Td 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet För att göra detta, behöver ma bl.a. bestämma parameter b utgåede frå ett öskat faslyft ϕ max. Ett sätt att uttrycka formel som ka härledas är + siϕmax b =, ϕmax < 9 siϕ max Sambadet fis också uppritat i edaståede figur ϕ max G lead,max G lead,max ϕ max 4 3 o Dimesioerige av e PDf-regulator utgår ifrå att ma öskar e give överkorsigsfrekves g och e give fasmargial ϕ m. Ma vill med adra ord kombiera prestada och robusthet. Det blir aktuellt att aväda e PDf-regulator om det visar sig att öskad fasmargial ite uppås vid de öskade överkorsigsfrekvese med e P- eller PI-regulator. I dea situatio vet ma hur stort faslyft som behövs för att å de öskade fasmargiale. Idé är att placera PDf-regulators maximala faslyft, lika med det behövliga faslyftet, vid frekvese g Dimesioerige går till på följade sätt:. Kotrollera utgåede frå det oreglerade systemet G (dvs G k uta regulator) om öskad fasmargial uppås vid överkorsigsfrekvese g.. Om ite, beräkas behövligt faslyft eligt ϕ = ϕ arg G( j ) π max m g 3. Parameter b beräkas eller avläses frå figure ova. b 8-43

15 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet 4. Deriverigstide Td = b / g beräkas. 5. Filtertidkostate T f = T d / b beräkas. 6. Regulatorförstärkige Kc = sg G() / ( b G(j g) ) beräkas. Det bör oteras att ovaämda förfarade ite garaterar att desigspecifikatioera ås exakt, eftersom PDf-regulator kommer att påverka de kritiska frekvese c för kretsöverförige Gk(j ) = G(j ) GPDf(j ). Fasmargiale för G k (j ) bör därför kotrolleras. Om det visar sig att de ite är tillräcklig, höjs ϕ max ytterligare och desige upprepas. Ytterligare bör oteras att stora värde på parameter b ger kraftig deriverig. Detta medför bl.a. stora variatioer i styrsigale, vilket ormalt ite är öskvärt. För robusthet räcker det ite att fasmargiale är tillräcklig äve förstärkigsmargiale bör vara tillräcklig. Exempel 8.8. Desiga e filtrerade PD-regulator för systemet som beskrivs av överförigsfuktioe s e Gs () = s + så att fasmargiale ϕ m = 6 erhålles vid överkorsigsfrekvese g = rad/tidsehet. Vi har ϕ ( g) = g arcta( g) =, 47 = 4, me eftersom vi öskar ϕ ( g) =, skall fase höjas med. Vi väljer ϕ max = 5 för att ha litet extra margial. Detta kräver b =,5, som ger T d =, 6 och T f =,63. Slutlige fås K c = + ( ) / b = 6,3. g Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Dimesioerig av PID-regulatorer Äve om vi med e PD regulator ka erhålla sabbhet ( högt g i jämförelse med c) och öskad fasmargial ( ϕ m ), kommer vi att få regleravvikelse då itegrerade verka sakas. Det är därför ädamålseligt att ikludera också itegrerade verka. Eklast görs detta med serieforme av e PIDregulator, dvs e regulator där PI-dele och PD-dele seriekopplas som i blockschemat eda. Dessa ka dimesioeras eligt pricipera i de två föregåede avsittet. r G G u y + - PD Serieforme av PID-regulator med ett filter på derivatadele har överförigsfuktioe + Ts i ( + Ts d ) GPIPDf () s = GPI() s GPDf () s = Kc Ts i + Tfs Dess amplitudkurva ges av och faskurva av PI G p + Ti + Td PIPDf = Kc + ( Tf ) G (j ) [ ( ) ][ ( ) ] PIPDf = i d + f arg G (j ) arcta[( T) ] arcta( T ) arcta( T) Följade figur visar amplitudkurvas pricipiella ( asymptotiska ) utseede. 8-45

16 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet Amplitudkurva för serieforme av e PID-regulator med derivatafilter: GPIPDf K c G PID b K c K c / b b 4 8. Frekvesaalys 8.4 Desig av PID-regulatorer i frekvesplaet PIPDf-regulator ka också represeteras på stadardforme av e PID-regulator med filtrerad D-verka, dvs τ ds GPIDf () s = κ + + τis + τfs Omräkigssambade är τi TT i d τi = Ti + Td Tf, κ = K, τd = Tf, τf = Tf T τ i Exempel 8.8. E process har överförigsfuktioe 3 Gs () = 4/( + s). Bestäm e PID-regulator som ger g = rad/s och fasmargiale 35. De olika stege i ett Bodediagram: i /T =. /T i g d b/t = b/t b d g d = g Td Vi ka dimesioera PID-regulator eligt följade priciper utgåede frå e öskad överkorsigsfrekves g och fasmargial ϕ m :. Beräka itegratiostide eligt Ti = 5/ g.. Beräka fasförskjutige ϕ( g) = arg G( j ) + arg GPI( j ) eller uppskatta de eligt ϕ( g) arg G(j ) + π /8, där G är det oreglerade systemets överförigsfuktio. 3. Beräka behövligt faslyft eligt ϕmax = ϕm arg G( j g ) π. 4. Beräka deriverigstide Td = b / g. 5. Beräka filtertidkostate T f = T d / b. 6. Beräka Kc = sg G() / ( b GPI(j g) G(j g) )