Ovn ngsuppgifter. Analys

! Ov gsuppgifter Aalys (e variabel> JAN BOMAN!., MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET :a uppl. 978

FÖRORD Detta häfte är avsett att avädas tillsruamas med läroboke Courat-Joh, Itroductio to Calculus ad Aalys i s, vol., kap -5. Förutom övigsuppgifter iehåller häftet ett atal lösta eempel för varje avsitt i tete samt kommetarer till tete. Kommetarera är avsedda för det första att hjälpa läsare att strukturera iehållet i läroboke, t.e. geom att framhålla viktiga begrepp och satser och geom att påpeka motiverige - bl.a. ur fysikalisk sypukt - till iföradet av ya matematiska begrepp. För det adra avser kommetarera att hjälpa läsare att självstädigt lösa övigsuppgiftera. Häftets grudläggade filosofi är att betoa differetial- och itegralkalkyles roll iom fysike och adra tillämpigsområde. E såda betoig iebär eligt mi meig igaluda att matematike reduceras till e receptsamlig för specifika kalkyler. Tvärtom, utyttjade av matematiska metoder iom fysike och adra tillämpigs äme kräver god isikt om de matematiska begreppes iebörd och om de ire sammahage i de matematiska teori. Detta häftes teoretiska ambitiosivå är därför ite lägre ä på traditioella uiversitetskurser i aalys. Däremot har speciell omsorg ägats åt att stimulera läsares ituitiva begreppsförståelse. Dea ambitio avspeglas både i kommetarera och i urvalet av uppgifter - måga tillämpigsuppgifter, särskilt geometriska och fysikaliska. God ituitiv! begreppsförståelse tror jag är ett eftersträvasvärt mål ite blott för blivade fysiker uta för alla matematikstuderade. De fysikaliska tillämpigsuppgiftera har författats i samarbete med Guar Edvisso. Kapitelagivelser hävisar till Courat-Joh om ite aat sägs. För att uderlätta akytige till gymasiets matematikkurs ges refereser till de oftast aväda gymasieläroboke i matematik, NE. Vidare förekommer hävisigar till läroboke i mekaik, F. Stockholm i jui 978 Ja Boma

LITTERATURHÄNVISNINGAR CJ R. Courat och F. Joh, Itroductio to Calculus ad Aalys, Vol, Wiley 965. NE B. Nyma och G. Emauelsso, Matematik för gymasieskola, N- och T lijera, del -3, Läromedelsförlage 969. F T. Eriksso, T. Lagervall och O. Beckma, Fysik, (mekaik, värmelära). Almqvist och Wiksell 970. Mathematics preseted as a closed, liearly ordered, system of truths without referece to origi ad purpose has its charm ad satisfies a philosofical eed. But the attitude of itroverted sciece is usuitable for studets who seek itellectual idepedece rather tha idoctriatio; disregard for applicatios ad ituitio leads to isolatio ad atrophy of mathematics. Richard Courat och Fritz Joh i Itroductio to Calculus ad Aalysis

INNEHÄLLSFöRTECKNING KAPITEL. INTRODUKTION (Aalyses grudbegrepp) Svar och avisigar kap. sid 6 KAPITEL. DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYLENS HUVUD IDEER 30 Svar kap. 46 KAPITEL 3. 48 Svar kap. 3 73 KAPITEL 4. 77 Svar kap. 4 97 KAPITEL 5. 00 Svar kap. 5 04

- - KAPITEL. INTRODUKTION (Aalyses grudbegrepp) Kap.. a,b. Defiitiosmägd (domai) och värdemägd (rage) för e fuktio defiieras på sida 8 i ej. Observera att är ma ager e fuktio måste ma tala om dels vad defiitiosmägde D är, dels hur fuktiosvärdet är bestämt för varje pukt i D (t. e. fuktioe f defiieras f f geom f() = /-, D f = [0,]) Oftast ages fuktiosvärdea geom ågo "formel" (kallas äve "aalytiskt uttryck"), såsom i det yssämda eemplet. Ma brukar då aväda sig av kovetioe att om igetig sägs om D f ' uttrycket så är D lika med mägde av alla reella tal för vilka det giva f är meigsfullt (jfr Nyma-Emauelsso del, kap. 7., sid. 3). Eempel. Fuktioe f() defiieras geom f() = /_. Age D f. Lösig. Eligt kovetioe skall D f består av alla för vilka uttrycket - är meigsfullt. Me detta är precis de för vilka - > O, Tre Tre V' f o o D l- Tre dvs <, dvs -y < < YG. ~ ar allts a f = -YG, YG Tre, -J Eempel. Fuktioe f() defiieras geom f() = /( - 3). Age D f Lösig. Uttrycket är meigsfullt om ämare - 3 är skild frå oll, aars ej. Alltså är D f = { le R ;,,!3 och X" -!3}. Övig. Age D f om f() defiieras geom a) b) c) d) e) f) f() f() f() f() f() f() = I+/ =/~ = /I~ = _ - = e g) f() = /si h) f() = log(si ) Eempel 3. Låt f() = - och D = [,J. Age värdemägde V f f Lösig. Ma ser lätt på fuktioes graf (upprita dea!) att V f = [f(),f()] = t-,-3] = t-3,-]. Ma ka också resoera så här. Eligt defiitioe skall V bestå av precis de tal y för vilka ekva- f tioe - = y har ågo lösig.!! tillhör D f. Lösige är = ( - y)/ Me att ( - y)/ E- D f är detsamma som att

- - < ( - y).:: _ dvs < - y ~ 4 dvs y ~ - och y ~ -3 dvs -3':: y.:: - Eempel 4. Låt f() = och D f = ::-,J. Age V f. Lösig. Upprita fuktioes graf och markera D f på -ael. Ma ser lätt att det avsitt av y-ael som svarar mot -värde i D f är V f = [flo),f()] =[o,4j övig. Age V f om f() är defiierad geom a) f() = - 3 D = f [,4J b) f() = li, D = f [-,3J c) f() = D = f [-,J L.J [3,4J d) f() = h- e) f() = I. Övig 3. Ett söre, som har lägde meter då det är obelastat, töjs 0.003 meter då det sträcks med krafte N (ewto). Vid belastig med 00N brister söret. Mella vilka gräser ka sörets lägd variera? Övig 4. E bil färdas på e ladsväg med ord-sydlig sträckig uder tidsitervallet O < t < 5 miuter på så sätt att bile vid tide t befier sig km orr om e pukt P, där = 0 O.:: t.:: 5. Vilka pukter på väge passeras av bile? Övig 5. Samma uppgift som i uppgift 4, fast sambadet mella och t är givet eligt formlera = 50 O < t < 5 = 55 - t 5<t<5. Övig 6. Vad är det för fel på följade försök till lösig av Eempel 4 ova: V f består av de tal y för vilka ekvatioe y = har ågo lösig som tillhör D = [-,J Lösige är = f ±/y Vi söker alltså de ger < y.:: 4. y för vilka - Alltså V f = [,4J < ±/y.::. Kvadrerig

- 3 - såväl defiitiosmägd som värdemägd för e fuktio ka bestå av adra slags objekt ä reella tal. Viktigt i mekaike är det fall då värdemägde består av vektorer i R eller R 3 (NE del 3, kap. 6.4, del kap. 7.; F sid. 45). Vi ger ågra eempel på detta. Eempel 5. Sätt f(t) = (t,t+) för te R Fuktioe f avbildar alltså ted f = R på vektor ( t, t+ )E. R Beräka f( -l), f( O) och f( ) Age V f Lösig. f(-l) = (-,0), f(o) = (0,), f(l) = (,). Ma ser efter isättig av ytterligare ågra t-värde att V måste utgöras av de oädligt f låga räta lije varav e del är utritad i figure. y Övis;. Sätt f(t) = (t,t-), D f = @,~ Beräka f(o) och f( ). Age V f Övis; 8. Sätt f(t) = (t,t ), D f = {t;t :. O}. Beräka f( O), f( ), f( ), f(3). Skissera V f Vad är V f för e kurva? Övis; Sätt f(t) = (eos t, si t), D f = @,~ Beräka f( O), f('it/4), f('it/), f(3'it/4), f('it) osv äda till f('it) Upprita V f Kap..c. Det som i ej (sid. 9) kallas mooto fuktio brukar i de flesta böcker kallas sträs;t mooto fuktio. I sådaa fall avser ma med eempelvis väade fuktio e fuktio f såda att l < > f( ) ~ f( ). E fuktio som är kostat på ett itervall blir alltså väade eligt dea defiitio. Här skall vi aväda dea sistämda termiologi. För att avgöra "aalytiskt", dvs med hjälp av fuktiosuttrycket, om e give fuktio är mooto måste vi, ia bättre metoder är utvecklade, aväda defiitioe direkt. E eklare me ite fullt så striget metod är att rita upp fuktioes graf och avgöra vilka delar av dea som "sluttar" uppåt respektive edåt;.

- 4 - Ofta har ma avädig av följade observatioer () Om f() och g() är väade (avtagade) så är f() + g() väade (avtagade). () Om f() är väade (avtagade), så är -f() avtagade (väade) Övig 0. Om f() är väade, vad ka då sägas om l!f()? Eempel 6. Visa att f() =!(+l) är avtagade för > O. Lösig. f( ) - f( ) = = ( +l) - ( +) (X +l )( +) Eftersom ll,ämare i' det sista uttrycket alltid är > O om Xl och o är > O, följer - sa att f(x ) - f(x ) måste vara > O om - Xl > O Därmed är visat att f är väade, ja l själva verket strägt väade. Eempel 7. Visa att fuktioe O < < och avtagade för >. f() =!( + ) är väade för Lösig. Atag att Xl < Vi får ( -X )(-X ) f(x ) ~ f(x ) = ( +l) (X +) Faktor ( - )![(X~+l )(X;+l)] är positiv, varför f(x ) - f(x ) har samma tecke SOm - Me det är klart att - < O Om.::.. Xl < och - > O om O.::.. Xl < < (täk efter:). Därmed är påståedet visat. (Kotrollera resultatet geom att skissera fuktioskurva.) Övig. Visa att fuktioe f() = - 8 är avtagade för < 4 och väade för > 4 Ledig: bilda uttrycket f(x ) - f( ) och bryt ut Övig. Visa att fuktioe O < a <. (Förutsätt kät att f() b a = a < är avtagade om a < och (på hela b > O.) R) om

- 5 - Övig 3. E bils rörelse beskrivs uder tide O < t < 0 på följade sätt. Vid tide t befier sig bile på e pukt rakt orr om e pukt P och på avstådet t + 3t-4 frå P Uder vilka tidsperioder rör sig bile åt orr respektive söder? (Ledig: upprita grafe för fuktioe f(t) = t + 3It-4.) Övig 4. E fjällvadrare befier sig vid tide t y meter över havet, där miuter på e höjd av ft Y = 000 + 50 eos 5 för O ~ t ~ 60. Uder vilka tidsitervall har vadrare uppförsbacke? Ofta är det svårt att direkt med hjälp av formeluttrycket för e fuktio avgöra om fuktioe är väade eller avtagade. I måga fall ka grafiska metoder vara avädbara, såsom i följade eempel. Övig 5. Atalet ivåare i ett lad ages approimativt av fuktioe y = f(t) = 0e O,03t - 0,5t för O < t ~ 50, där tide t är mätt i år och y i millioer ivåare. Udersök geom att skissera fuktioes graf uder vilka tidsitervall som ladets ivåaratal är statt i väade respektive avtagade. (Aväd gära fickkalkylator för beräkig av fuktiosvärdea.) Jäma (eve) och udda (odd) fuktioer defiieras på sida 9 l ej. Eempel 8. Visa att fuktioe f() = si är udda och att fuktioe g() = Sl är jäm. Lösig. Eligt defiitioe är f udda om det gäller att f(-) = f() för alla. Vi vet att si(-) = -Sl för alla. Fuktioe si är alltså udda. på aalogt sätt ises att fuktioe g() = Sl är jäm, eftersom g(-) = (-) si(-) = si = g() för alla. Observera att de flesta fuktioer är varke jäma eller udda, såsom t.e. fuktioe f() = +. A adra sida är förstås fuktioe som är idetiskt lika med O både jäm och udda.

- 6 - Övis 6. Avgör vilka av följade fuktioer som är jäma respektive udda. a) f() = eos b) f() + = c) f() = 3-4 d) f() = e e) f() = e f) f() = 3 + g) f() 4 = h) f() = ll l i) f() = 3 - ll Kap..d. på sida 3 förklaras i ågot oprecisa me ituitivt förståeliga termer vad som meas med att e fuktio är kotiuerlig (jfr NE del, kap.. 5.6) Lös edaståede uppgifter med hjälp av det ituitiva kotiuitetsbegreppet. E fuktio som ite är kotiuerlig kallas diskotiuerlig. Eempel 9. Vilka av edaståede fuktioer är kotiuerliga på hela R? a) fl () = - 3 b) fl () = / + c) f (X) 3 d) f () 4 =f + för < O L för > O ={ + för < O + för > O e) f (X) 5 = l/ för # O, f(o) = O f) f () 6 = - 3 för # f () 6 = 3 Lösis Fuktioera fl och f är kotiuerliga, eftersom deras grafer består av ett eda sammahägade stycke. Efter kotroll ser ma att detsamma gäller fuktioe f, 3 ty de bägge delara av f :s graf häger ihop i 3 pukte (0,). Däremot är f diskotiuerlig, eftersom de bägge delara 4 av grafe ite häger ihop vid = O. Fuktioe f har ett språs (eg: 4 jump) l = O. på aalogt sätt ises att f är diskotiuerlig. Fuktioe 5 f, slutlige, är diskotiuerlig, eftersom dess graf består av två 6 separata stycke, ämlige lije y = - 3 så är som på pukte (.) samt pukte (.3).

- T - Det är mycket viktigt att ma väjer Slg vid att betrakta e såda fuktio som eempelvis f som e fuktio och ite två. Fuktiosvärdea för e 3 fuktio får ju beskrivas på vilket sätt som helst, således eempelvis geom två eller flera olika formler giltiga i olika delar av defiitiosmägde. Övig 7. Vilka av följade fuktioer är kotiuerliga i hela R? a) f () = l ( + ) b) f (X) = l ( - ) =f eos för < O LX+l för > O {'" för eos < O för > O Övig 8. Rörelse hos e boll beskrivs ave fuktio y = f(t) på så sätt att bolle vid tide t sekuder befier sig y meter Över marke. Bolle rör sig edast i vertikalled. Vilka av edaståede rörelseförlopp aser Du är fysikaliskt rimliga? a) f (t) = I- t för O < t < lt - för < t.::. 5 f 5 - t för O < t < L t för < t < 5 För att kua uttala och bevisa geerella utsagor om kotiuerliga fuktioer (t.e. "produkte av två kotiuerliga fuktioer är alltid kotiuerlig") måste ma med full precisio fastställa vad det skall betyda att e fuktio är kotiuerlig. Det är därvid öskvärt att ha e defiitio som är baserad direkt på fuktioes värde och ite går via fuktioes graf som ju ka vara svår att upprita, och framför allt ite är baserad på det oprecisa begreppet "består av ett sammahägade stycke". De precisa defiitioe av att fi) är kotiuerlig i e pukt bör kompletteras med att e fuktio kallas kotiuerlig om de är kotiuerlig i alla pukter i si defiitiosmägd. o fis mitt på sida 33 i ej. Defiitioe Iebörde av villkoret i defiitioe brukar ta ågo tid att förstå. Vi ger ågra övigar för att belysa iebörde.

- 8 - Eempel 0. Sätt f() = 6 +. a) Bestäm ett tal o > O så att If() - f() I < - 0 för alla för vilka I- < o. b) Låt o positivt vara ett godtyckligt reellt tal och låt E vara ett godtyckligt tal. Bestäm ett tal o > O (som får bero på och E) så att o If() - f() < E o för alla för vilka I- I < o. o Lösig. a) If() - f() = 6(-) = 6I-. Alltså är If(X) - f() < /0 < > I- < /60. Vi ka således välja 0=/60 (Observera att vilket som helst positivt o som är midre ä /60 också duger, t.e. 0=/00 eller 0= /000; kotrollera själv detta!) b) If() - f( ) = 6l- I. Således gäller o o If(X) - f(o) < E < > I-ol < E/6. Vi ka alltså välja o = E/6. (I detta fall beror således o på E me ite på.) o Övig 9. Sätt f() = lfxt. a) Bestäm ett tal o > O så att If() = f(o) < - 0 för alla för vilka li < o b) Låt E vara ett godtyckligt positivt tal. Bestäm ett tal o > O så att If() - f( O) I < E för alla för vilka li < o. Övig 0. Sätt f() = + - 3 a) Bestäm ett tal o > O sa att If() - f( O) I < - 0 för alla för vilka li < O. b) Låt E vara ett godtyckligt positivt tal. Bestäm ett tal o > O så att If() - f( O) I < E för alla för vilka li < o.

- 9 - Kaj..e. E fuktio f kallas omvädbar om det för varje ye V fis f jrecis ett e D (alltså högst ett E D ) så att f() f f = y Om f är omvädbar, o sa kallar ma för iversa fuktioe till f de fuktio g för vilke g(y) är lika med motsvarade tal E D för varje ye V (CJ sid. 45, f f NE del, kap. 9.9). Observera att och Eemjel. Sätt f() = -, D f = @,J. Beräka iversa fuktioe g till f Age också D g Lösig. Ma fier fuktioe g geom att lösa med avseede på y ur ekvatioe y = f() = - I detta fall = (y+l)/, alltså g(y) = (y+l ) / Om ma vill age g med som variabel så ka ma aturligtvis göra det: g() = (+l)/ Vidare är D = V f = [f(o),f(u = [-,3]. g Eemjel. Sätt f() = +, D f = [0,J. Sök iversa fuktioe g till f och age D g Lösig. V = f [,5J ' alltså D = [,5]. Av Y g = + får vi = ±/y - 'l Om y ED är y > varför uttrycket,uder rotmärket alltid är > O. För g att avgöra om vi skall välja + eller -tecket erirar vi oss att g(y) defiierades som det -värde för vilket XE:D f och re) = y. Av de bägge tale ±/y-l är det edast det som är D f. Alltså g(y) = /y-l. > O alltså /y-l, som tillhör Övig. Sätt f() = 3 + 5, D f = {, < < 3} tioe g och dess defiitiosmägd. Beräka iversa fuk- Övig. Samma uppgift då f() = + och Övig 3. Area ave kvadrat med sida är f() = Beräka de iversa fuktioe g till f och age de geometriska betydelse hos g. Övig 4. Visa att fuktioe f() = - 4-5 -.::.-.::.-, är strägt mooto och således omvädbar. Bestäm ett uttryck för iversa fuktioe med agivade av dess defiitiosmägd. Övig 5. Om C är temperature i Celsiusgrader och F l Fahreheitgrader, så gäller sambadet F = f(c) där f() =. + 3 5 Defiitiosmägde för fuktioe f är {; > -73} eftersom absoluta -

- 0 - ollpukte är -73 0 C. Beräka iversa fuktioe g till f med agivade av dess defiitiosmägd, och förklara de fysikaliska betydelse hos g. Övig 6. För s.k. beskattigsbara årsikomster uder 30000 kroor är de statliga ikomstskatte (år 977) bestämd på följade sätt. Om beteckar ikomste och y skatte, så gäller sambadet y = f(), där f() = 0,04 800 + 0,(-0000) 300 + 0,(-5000) för O < < 0000 för 0000 < < 5000 för 5000 < < 30000 Udersök om f() är kotiuerlig. Visa att f() är omvädbar, och beräka iversa fuktioe till f (age defiitiosmägde för g). Förklara betydelse av fuktioe g Ledig: Observera att g måste beskrivas med hjälp av flera formler, giltiga i olika delar av g:s defiitiosmägd. KaE'. 3e. De sammasatta fuktioe f() = g(~()) av två fuktioer ~() och g(u) defiieras på sida 5 l CJ (NE del, kap. 9.4). EemEel 3. Sätt g() = + h() = Beräka g(h() ) och h(g()) Lösig. g(h() ) = h() + = +, och h(g()) = g() = (+ ) EemEel 4. Sätt f() = Beräka h() = g(f()) l/, D f = [,5J ' och g() = - D = R g och age V h Ka ma också beräka f(g())? Lösig. Eftersom D = R så är V f självklart iehålle i D; alltså g g ka vi bilda h() = g(f()). Vi får h() = - (f()) = - (l/), D h = D f = [3,5J. Eftersom h är mooto för (; l,5] (varför?) så får vi V h = [h(),h(5 = ]/4,4/5J. är ej iehålle i D f = [,5]. V g Däremot ka I själva verket är f(g()) ite beräkas, ty V = {y; y < g }. Övig 7. Sätt f() g(f() ). = +, g() = - Beräka f(g() ) och Övig 8. Sätt f() och g(f()) = + 4 och g() = (/) - Beräka f(g() ) Övig Sätt f() = + 4 D f h() = g(f()) och age V h = [0,., och g() = l/ Beräka

-- Övig 30. Atag att ma vid välig av dollar i bak får f() = 4, - 5 sveska kroor; ma får med adra ord betala e fast väligsavgift på 5 kroor oavsett beloppeos storlek. Atag vidare att välig av 6 sveska kroor ger g(y) =,3y - 6 daska kroor. Beräka de sammasatta fuktioe h() = = g(f()) och age dess betydelse. Ka ma också age ågo betydelse för f(g(y))? Övig 3. E fritt fallade kropp som befier Slg l vila vid tide t = O har efter tide hastighete f(t) = gt, där g är tygdacceleratioe. De kietiska eergi hos e kropp med massa m och hastighete v är h(v) = mv /. Beräka de sammasatta fuktioe ~(t) = h(f(t)) och age dess fysikaliska betydelse. Övig 3. Sätt f() = /(+), < < 3. Beräka de iversa fuktioe g (med si defiitiosmägd) Beräka vidare de sammasatta fuktioera h() = g(f()) och k(y) = f(g(y)) (glöm ite defiitiosmägdera) Kap..5. Pricipe för s.k. "iduktiosbevis" förklaras på sida 57 i ej (NE del 3, kap. 9) Ett illustrativt eempel ges på sida 58. Vi ger y tt erligare ett eempel här. Eempel 5. Visa med iduktio formel ( + ) + +... + = för varje heltal >. Lösig. Betecka västra ledet ova med S Vårt påståede ka då skrivas s=(+)/ för varje heltal >. Eftersom S = och (+ )/- =, så gäller formel () för = Atag u att r är ett positivt heltal, och atag att vi vet att () gäller för = r dvs att () Sr = r(r+)/ vi skall u med h.jälp.!y: atagadet i?l visa att () gäller för =r+, dvs att 3) Sr+ = (r+)(r+)! För att göra detta observerar vi att varvid vi får S = S + r + r+ r och aväder (), + = r ( r+ ) + r + = (r+) ( r+ ). Sr+ = Sr + r Därmed har vi visat (3). Eligt pricipe om matematisk iduktio har vi därmed visat att () gäller för alla.

- - Övig 33. visa med hjälp av iduktio formel - + + +... + = - - ' samt de allmäare formel (k ~ ) a+ak + ak +... +ak - k _ =a k - Övig 34. a) Visa med hjälp av iduktio formlera --+--+ + ( + ) = --, > ' '3 +, b) 3 + 3 + + 3 = f(~+ )r ' >, c) '+'3 +... + (+) = (+)(+) > 3 Övig 35. visa med hjälp av iduktio att < för varje heltal > o. Kap..6. Begreppet gräsvärde för e talföljd"bör förstås dels ituitivt, dels såsom det med matematisk precisio formuleras i gräsvärdesdefiitioe (CJ sid. 70). I avsitte.6 a-c förklaras gräsvärdesbegreppet ur ituitiv sypukt utgåede frå ågra ekla eempel. Det är viktigt att käa till edaståede s.k. stadardgräsvärde och att kua utyttja dessa för gräsvärdesberäkigar: (Al lim IP= (p >" O) (sid. 64) - (B) lim ~= (sid. 69) -+OO (c) lim a = O om O < a < (sid. 65) -+oo (D) a ~oo då + oo, om a > ( sid. 65) (E) lim -= O, om a > (sid. 70) - a Observera att bevise i ej för dessa fem gräsvärde ka förstås uta full förståelse för gräsvärdesdefiitioe, om ma blott accepterar följade ituitivt lättförståeliga pricip: Om O < a _ < c och lim c = 0, _ (p) sa måste lim a = _

- 3 - I bevise på sidora 64, 65 och 70 tillämpas dea pricip med c c = K/ (K = kostat), på sida 69 tillämpas samma pricip med = K/m. I edaståede övigar föreslås att ma arbetar med ituitivt gräsvärdesbegrepp och att ma övar sig att dra korrekta slutsatser, om ä ej alltid med fullt rigorösa argumet. Eempel 6. Beräka gräsvärdea + a) lim 3 3 + 4 - b) lim 7 3 - + Lösig. a) (Jfr NE del 3, uppg. + l + 3 = ",- 3 + 4 3 +.!! 48. ) Förkorta bråket med : Eftersom 3/ och 4/ går mot O då + 00, så går täljare mot och ämare mot 3. Härav ka vi dra slutsatse (vi hoppar t.v. över beviset) att bråket går mot /3, alltså lim - + 3 3 + 4 = 3 b) (Jfr NE del 3, uppg. 49.) Förkorta bråket med 3 : 7 - - :::5-7 = 3 + + Geom att resoera på aalogt sätt som i a) får vi lim - - 7 3 + O - O = = O + O

- 4 - Övig 35. Beräka gräsvärdet av edaståede uttryck då + '" a) + 7-3 d) 3 + ( - 7 ) b) c) 3 + + e) 5 + - ( + I) + 3 3 + (/il + T)frl f) 4 frl - 3 Då det förekommer adra elemetära fuktioer ä polyomfuktioer måste ma aväda stadardgräsvärdea. Det är praktiskt att lära sig e allmäare variat av stadardgräsvärdet (E), ämlige För godtyckligt reellt tal k och cr > gäller k lim = O. - el Vi bevisar detta för k = och lämar reste som e övig åt läsare (visa först (E') för varje heltal k, och seda för godtyckligt reellt k med hjälp av argumetet (p) ). vi aväder idetitete Eftersom frl> om el >, så går vardera faktor i högra ledet mot oll eligt stadardgräsvärdet (E) Alltså går det hela mot oll. Ma måste också kua utyttja (A) och (B) på t.e. följade sätt: lim 3 =, - ty eligt (A) och (B). Likaså lim Tz =, - ty = eligt (B).

- 5 - Eempel 7. Beräka gräsvärdet då + 00 för vart och ett av uttrycke a) + + b) Lösig. a) Förkorta med, eftersom dea term är störst av de förekommade termera: + + = '- + - ll'- + Här går u täljare mot oll och ämare mot (E), alltså går det hela mot oll. på grud av stadardgräsvärde b) Nämare går mot eligt (A) och 3-3 ( + ) = + 3 3 3 o gar mot O + O = O eligt (E I ) Övig 36. a) b) e) -m+, + 8 5 5 35 + 9 (0) + m + Beräka gräsvärdet för vart och ett av uttrycke c) d) 0, ',I6rl" m + Ofta är det praktiskt att med hjälp av olikheter stäga i de giva talföljde mella två talföljder med ett och samma gräsvärde; därvid behöver ma åberopa följade aturliga utsaga ( Q) Atag att b < a lim b = lim c = A < c för alla och att Då är äve lim a = A.

- 6 - Utsaga (F) ova är ett specialfall av ( Q) svarade mot b = O för alla och A = O Me de allmäare utsaga ( Q) följer geast av (F), ty om, b < a < c sa är O < a - b < c - b, varför eligt (F) måste gälla - - - lim(a - b ) = lim( c - b ) = lim c - lim b = - - - - och således lim a = lim(a - b ) + lim b = O + A = A. -+oo -+oo 0-+<:0 A - A = O, Eempel 8. Beräka gräsvärdet då + 00 av talföljdgra a) I + 3 Lösig. a) Vi har O < -;:::;;:::~ I + 3 < Eftersom lim(!) = O, så måste alltså det sökta gräsvärdet vara O. - b) l + Eftersom då -+ 00. friz = - 5 = friz + (5!) Nu är < + (5!) < +, så följer u av resoemaget ( Q) att Således får vi för alla + (5!) + > 6,. lim I + 5 = lim ;z - lim /, +.. = = Övig 37. Beräka gräsvärdet då + 00 av var och e av talföljdera a) d) I + v'li + b) + e) (O,8) I3 +. c) I +

- 7 - Kap..7. Nedaståede övigar är avsedda att illustrera iebörde av villkoret i gräsvärdesdefiitioe på sida 70 i ej (NE del 3 kap. 4.4, sid. 77). Jfr defiitioe av kotiuerlig fuktio på sida 33. Eempel 9. a) Bestäm ett tal N så att () för alla > N b) Låt vara ett godtyckligt positivt tal. Bestäm ett tal N (som får bero på d så att I ~ för alla > N. Lösig. I ~ I = - ---'--::- Alltså får vi ekvivalesera 0 +. = + + < - 0 < > + > 0 < > > 9 Vi ser således att () måste gälla för alla > 9. Vi ka alltså välja N = 9. Varje tal som är > 9 duger emellertid också som N (varför?). b) på aalogt sätt får vi ekvivalesera --'-.,.. < + < > > Här ka vi alltså som N välja vilket som helst heltal som är > - - o.. om > N och N > - -, sa ar > -, och då måste tydlige gälla. Ty (

- 8 - Övig 38. a) Bestäm ett heltal N så att för alla > N ~ _ < 00 b) Låt vara ett godtyckligt positivt tal. Bestäm ett tal N så att för alla N > Vi såg i lösige till Eempel 9 att vi faktiskt ite behövde de logiska ekvivalese mella de olika lede, uta det hade räckt med implikatioer uppåt, eller bakläges, hur ma u vill uttrycka det, dvs det hade räckt att visa att 0 <= --'-+-;" < O < + > 0 <= > 9 Detta förhållade ka ma ofta utyttja för att med hjälp av olikheter förekla räkigara avsevärt. I sådaa fall fier ma ite det mista N som löser uppgifte, me det gör ju iget; det erfordras ju blott att ma fier ågot sådat N, vilket som helst. Eempel 0. Bestäm ett tal N o sa att för alla Lösig. I + 5 > N. vi utyttjar < 00 olikhete I + 5 <,!ll" = Vi får härigeom följade räcka av implikatioer och ekvivaleser (kotrollera själv! ) I + 5 < 00 <= < 00 > 00 Vi ka alltså eempelvis välja N = 00.

- 9 - Eempel. Bestäm ett tal N så att för alla > N Lösig. Eligt e olikhet på tiode rade på sida TO i ej gäller att < _--==--~ = _--,-, (-)0, 50(-) (här är h =, - = 0,). vi får således såsom l Eempel 0 <= < 0-6 50( -) - > 0000 > 000. vår kalkyl visar således att talet N = 000 säkert duger (me detta värde på N är ite det mista möjliga). Kotrollera gära detta resultat på fickkalkylator geom att beräka /, för ett atal olika värde på. I övigara 39-4 föreslås att Du kotrollerar Dia resultat med hjälp av fick-o kalkylator geom att beräka de giva talföljdes värde för ågra lämpligt valda. Övig 39. Bestäm ett tal N + för alla > N. --- < -- '6b o sa att Övig 40. Bestäm ett tal N o sa att a) - 3 < -- + 5 00 '. b) + 3 < -- + 5 00 för alla > N. Övig 4, Bestäm ett tal N o sa att < -- h + 3 00 för alla > N

- 0 - Övig 4. Bestäm ett tal N så att för alla > N. maget i Eempel.) (Ledig: utyttja att 0 0 = (i 7) och aväd resoe- Vad som meas med att e talföljd är begräsad (bouded) förklaras mitt på sida 7. på sida 74. Termera mootot väade och mootot avtagade defiieras överst Observera (sid. 7) att e talföljd som är både mooto och begräsad måste vara koverget. Två valiga sätt att visa att e följd är mootot väade är att visa att a + - a > O respektive att a +/a > för alla. - - Eempel. a) b) c) a = b = c = ( _ (- )/ Vilka av följade talföljder är begräsade, och vilka är mootoa? d) e) d = - 3 + 5 e =- > 3. Lösig. (a), (b) och (c) och (e) är begräsade. Ty lal ~, Ibl ~ och O < c - < för alla e måste vara begräsad, eftersom de är koverget (sid. 70). Följde d är obegräsad. Uppebarlige är varke mootoa, meda är mootot väade. För att udersöka om bildar vi c d - d = (+) - 3(+) - + 3 = + = 4 + - 3 = 4 -. a d eller b är mooto Eftersom 4 - > O för alla >, så är följde mootot väade. För att udersöka om är mooto bildar vi e + --= ( Om.::3, så är ( + -) följde e mootot avtagade. 4 < (-) - 3 <, och således Alltså är

- - Övig 43. Vilka av följade talföljder är begräsade och vilka är mootoa? a) a = (_) d) d = 3-5 + 7, > - b) b = e) e = > fi+" (,) ( - ) c) c = - f) f = -+ 3 5 Övig 44. a) Vilka av följdera i Eempel är kovergeta? b) Samma fråga för följdera i Övig 43. E oädlig serie kallas koverget, om talföljde s = : a k, k= =,,... av alla series partialsummor utgör e koverget talföljd (ej sidora 75, 76; NE del 3, kap. 4.5). Gräsvärdet () s = lim s _ kallas då för series summa, och ma skriver., s = : k= (Observera således att iebörde av (3), vilke i och för sig ite är självklar, är fastlagd av (), () och defiitioe av gräsvärde för talföljder. ) Eempel 3. Lösig. summa ave Beräka summa av serie., : k=() (Jfr NE del 3, kap. 4.5 Eempel.) Vi käer ett uttryck för ädlig geometrisk serie, 3 + s = : - = -----'''--.- k k=o 3-3" i detta fall =. ( ) 3+

- - Alltså är series summa s = lim s = + O = - Övig 45. Beräka summa av seriera '" '" (_)k+ a) : och b) : k= 5 k k= 5 k Övig 46. Beräka med hjälp av resultatet av Övig 34 a summa av serle : k= Kap..8. Iebörde av uttrycke lim f() och lim f() +a - förklaras på sidora 8-86 i CJ (NE del, kap. 5.3). Såväl defiitioera som metodera att beräka gräsvärdet för e give fuktio är aaloga med vad som gäller för gräsvärde för talföljder. vi behöver dock ett ytt stadardgräsvärde, ämlige (CJ sid. 84) lim +O sj. = Eempel 4. Beräka gräsvärdea a) lim - + v'x+'! b) IX lim -7=si +O Lösig. a) Geom + v'x+'! = att resoera +- på aalogt sätt som l kap..6 får Vl + O =, då + ~

- 3 - sl b) Eftersom lim =, så är äve lim si +O +O = (varför), alltså IX IX + O = O då + O si = si Om ma har att studera lim f() +a bör ma skilja mella situatioe då a 4 D f, t.e. lim +O si eller lim + v'4+x - - och de situatioe då aed f, t.e. lim ~ eller lim Sl. +O +TI/ I det seare fallet ka gräsvärdet ofta beräkas geom isättig av i fuktiosuttrycket, således i eemple = a lim fi+z =!+Q" =, +O lim si +TI/ = T si ~ =..:!!.. Ma bör emellertid ha klart för sig att lim f() +a igaluda är samma sak ~ f(). Att likhete lim f() = f(a) +a gäller i de yssämda eemple beror ämlige på att fuktioe f i dessa fall är kotiuerlig i a.. själva verket är det e viktig poäg med gräsvärdesbegreppet att det hjälper oss att förstå kotiuitetsbegreppet geom att vi iser att likhete () betyder precis samma sak som att f i = a (ej mitt på sida 8; NE del kap. 5.6 sid. 94). är kotiuerlig

- 4 - Iblad är det praktiskt att förläga ett bråk med ett uttryck som möjliggör avädig av kojugatregel. Eempel 5. Beräka lim X..,.O l+ - Lösig. Förläg med /+ + /+ - ( +) - = = ( l+ + ) l+ + Gräsvärdet ka u lätt beräkas och fås till / E valig metod att trasformera ett givet gräsvärde till ett kät sådat är att göra e variabelsubstitutio, eempelvis sätta - a = y lämpligt valt a. Vi illustrerar metode med ett eempel. för ett Eempel 6. Beräka gräsvärdet l. Sl lm (-I) -+7! Lösig. Sätt - = y. Då går y mot O då går mot, alltså är det giva gräsvärdet lika med lim y""o si(y+i ) (Y+'If)Y Me si(y+i) = - si y, alltså si(y+'if) = (Y+I)Y si y y --..,. y+'if -. - = - /'If, 'If då Övig 47. Beräka gräsvärdea a) b) c) lim..,.o lim "" l+ - h- /X- / - eos - d) lim.-

- 5 - e) lim -+oo eos (Ledig: aväd ett resoemag aalogt med (p) ova, kap..6.) f) lim -+oo eos

- 6 - Svar och avisigar kap.. a) {; ::-l, 'f O} b) R c) {; > HU{; < -l} d) {; > HU {;.::. -l} e) R f) {; > H U {; < -l} g) {; 'f mr för alla hel tal } h) {; mr < < (+l)f för ågot jämt heltal }. a) [-,5J b) [0,3J c) [g,~u [9,6) d) [0,] e) {y; y,;. O} 3. Mella m och,6 m. 4. Pukter orr om P pa ett avståd ykm frå P där 0.::. y.::. 5. 5. Pukter orr om P på ett avståd y km frå P, där 5.::. y.::. 50 6. Av olikhete - < - y Eempelvis - < ro sa, - ly ka ma ite dra slutsatse att < me < är falsk. 7. f(o) = (0,-), f( ) = (,) V f är det räta lijestycket med ädpukter i (0,-) och (3,5) - 8. f(o) = (0,0), f() = (,), f() = (,4), f(3) = (3,9). V är höp;ra f hälfte av kurva y = E kurva med dea form kallas för parabel. 9. f(o) = (,0), f(f/4) = (/,/), f(f/) = (0,), f(3f/4) = H/I,l/I), f(f) = (-,0), f(5f/4) = H/I,-l/I), f(3f/) = (0,-), f(7f/4) = (/,-/), f(f) = (,0). V f är cirkel med radie och medelpukt (0,0). 0. f() måste först och främst vara 'f O, ty aars eisterar ite l/f(). Vi påstår u: om f() väade och f() > för alla ED f, så är l/f() avtagade. Ty om Xl < ' så är f(x ).::. f( ) och således

- 7 - f(x ) - f( ) f( )f(x )..s.. O, vilket visar påståedet. på samma sätt ka ma visa om f() väade och f() < O för alla ~Df' så är l/f() avtagade. Geomför beviset såsom övig (observera att f(x ) f( ) måste vara > O äve dea gåg). Däremot ka ma ite dra slutsatse att l/f() är avtagade ebart ur förutsättige att f() är väade. Ty eempelvis fuktioe f() =, D f = {;-l ~ ~, i O} är väade, me l/f() är ite avtagade (varför?) (och givetvis ite heller väade).. Xl) och är ~ 4 så är l - 8 < O Följaktlige är f(x ) - f( ) ~ O om - l > O vilket visar att Det adra påståedet visas på aalogt sätt. f är avtagade.. Om och a < så är alltså 3. Av defiitioe av absolutbelopp ser vi att f(t) = t + 3(t-4) = 5t - då t - 4 ~ O, och att f(t) = t - 3(t-4) = -t + då t - 4 < O I det giva itervallets ädpukter har vi f(o) = resp. f(0) = 38. Vidare är f(4) = 8. Fuktioes graf består alltså av två räta lijestycke (rita figur). Fuktioe är avtagade för O ~ t ~ 4, väade för 4 ~ t ~ 0. Detta iebär att bile rör sig åt söder uder tidsitervallet O < t < 4 och åt orr uder itervallet 4 ~ t ~ 0 4. Uppförsbacke uder itervalle 5 ~ t ~ 30 och 45 ~ t < 60 5. Atalet ivåare avtar för O ~ t ~ to ~ 7 år, väer för to ~ t ~ 50 6. Fuktioera b, e, g och i är jäma, a, c och h är udda, d och f är varke jäma eller udda. 7. fl och f 3 är kotiuerliga på hela R, f och f 5 ej. (Fuktioe f är ite es defiierad på hela R, ty puktera och - tillhör ej D f ; f är dock kotiuerlig i si defiitiosmägd, vi återkommer härtill eda.) 8. Rörelse a) är fysikaliskt rimlig, b) däremot ej, ty fl är kotiuerlig, f däremot ej.

- 8-9. a) a = /00 ; b) a = s 0. ". a) Det största å som duger är a = å alltid duger (såvitt det är > 0), a = /0 b) Största möjliga a är a = duger också. g(y) = (y-5)/3, D = [8, 4 g g(y) = /y-, -D = [,0. g, - /+S - l'i7 - Eftersom ett midre så ka ma också välja t.e. Eempelvis a = s/ 3. g(y) = ly. g(y) ager sida av de kvadrat vars area är y 4. g(y) = - /9+y D = [-9,oj g 5. g(y) = (y-3) D = {y ; y > 459}. (Siffra 459 är avrudad,) 9 g g(y) ager atalet Celsiusgrader som svarar mot y Fahreheitsgrader. 6. f() är kotiuerlig, eftersom dess graf består av tre räta lijestycke som häger samma i ädpuktera. Iversa fuktioe g är bestämd så: f5 y för O < Y < 800 g(y) = 0000,+ 0(y-800) för 800 y 300 5000 + 5(y-300) för 300 y 300, och D = [0,300J ' g(y) betyder de ikomst för vilke de statg liga ikomstskatte är y 7. f( g( )) =, g( f( )) = + 8. f(g()) = g(f()) =. Detta iebär att f och g är varadras iverser. 9. h() = /(+4), V h = [/4,/8]. 30. h() = 5,46 -,5 h() är det atal daska kroor ma får för dollar, om ma först välar dollar till sveska kroor och därefter välar det ma då får till daska kroor. Fuktioe f(g(y)) har ite ågo motsvarade tolkig. 3. h(t) = mg t /. Fuktioe h(t) ager kroppes kietiska eergi efter t sekuders fritt fall.

- 9-3. g(y) = y/( l-y) D = [/,3/4J. g h() = D h = D f = [,3J ; k(y) = y D k = D = [/,3/4J g 35. a) -/3 d) -lit b) -00 e) 00 c) O f) -/3 36. a) O d) / b) 00 e) O c) O 37. a) d) O b) e) O el 38. a) N = 0 b) N > l/is (observera att l/is ite behöver vara ett heltal). 39. N = 00 40. a) N = 00 b) N = 500 (här är det praktiskt att aväda olikhete (+3)/( +5) < (+3)/ = 5/.) 4. N = 0 4 4. De uppskattig som ages i Ledige och grov uppskattig uppåt ger N = 300 och f och d är begräsade; är väade, e avtagade. 44. a) b och e divergeta. kovergerar mot O, c mot b) b kovergerar mot, e och f mot är divergeta. 45. a) /4 b) /6 46., a och d är O, a ' c och d 47. a) / d) O b) /( ) e) O c) -7/4 f) O

- 30 - KAPITEL. DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYLENS HUVUDIDEER Om fysikes itegralbegrepp och de matematiska itegraldefiitioe För att motivera defiitioe av itegrale för e fuktio ska vi börja med att betrakta ett fysikaliskt eempel. Vi ska itressera oss för massa hos e tu metalltråd vars s.k. lieära desitet A, ehet, varierar lägs tråde. (De lieära desitete de valiga (rymd-)desitete p på så sätt att A = tvärsittsarea. ) Vi atar att vi käer desitete dvs massa per lägd A förhåller sig till Ap om A är trådes A l varje pukt av ett trådstycke, och vi öskar beräka trådstyckets totala massa. För att formulera problemet matematiskt täker vi oss att de olika puktera på tråde ages geom agivade av avstådet (lägs tråde) till ågo fi pukt på tråde, t.e. trådes ea ädpukt. Desitetes variatio lägs tråde ka därigeom beskrivas som e fuktio av, säg A = f(), O < < b, där b är trådes lägd. Vårt problem är u att med käedom om f() beräka trådes massa M. Det är klart att vi ka besvara fråga om fuktioe f() är kostat; om ämlige f() = c för alla, O < < b, så är massa M = bc på grud av defiitioe av desitete. Atag häräst att desitete är kostat i vardera hälfte av tråde, dvs f() = c för O b/ och f() = c för b/ < < b. Då är givetvis massa för de ea hälfte c b/ och för de adra C b/, alltså hela massa Det är klart att vi på i pricip aalogt sätt ka beräka trådes massa, om desitete har tre eller tio eller etthudra olika kostata värde "lägs lika måga delar av tråde vars lägder vi käer. Övig. Atag att tråde är 6 meter låg och att desitete A är lika med.6 g/m för O < <, lika med 3. g/m för < < 4 och lika med.9 g/m för 4 < < 6 Beräka trådes massa. Övig. Aalog uppgift då tråde är 0 meter låg och desitete A = f() har fem olika kostata värde på följade sätt (ehet g/m) f() = 4. för O < < = 5.0 < < 4 = 4. 4 < < 5 = 4.3 5 < < 6 = 5. 6 < < 0 Beräka trådes totala massa.

- 3 - Det är lätt att sammafatta det vi hittills fuit i e formel. Atag att desitete har det kostata värdet det c i ett aat stycke av lägde Då är trådes totala massa () + c b = Observera att l:i= bi l: i= c. b. ~ ~ i ett stycke av lägde b ' värb osv, totalt trådstycke. måste vara lika med trådes totala lägd b. Om alla småstyckea har samma lägd, säg b -.. - b = h (då måste alltså h=b/), så får vi l: i= c. ~ Atag u att trådes desitet A varierar "kotiuerligt", dvs desitete är ite lägre kostat lägs delar av tråde. vara A = f() = + 0.0, O < < 0. Eempelvis skulle A = f() kua Hur skall vi då beräka trådes massa? De hittills aväda metode duger uppebarlige ite. Problemet ka trots allt sägas vara ett slags summatiosproblem. Ty käedom om desitete i varje pukt iebär att ma käer massa hos små delar av tråde, och det gäller således att addera alla dessa massor. Svårighete är att det är oädligt måga (oädligt) små massor som måste adderas. Dea situatio visar sig vara karakteristisk för problem som leder till e itegral. I vårt eempel ges också lösige ave itegral; det visar sig ämlige att trådes massa är give geom itegrale b () M = f f()d O Här' möter vi således e y räkeoperatio, och ia vi frågar oss hur ma "räkar ut" uttrycket () måste vi fråga oss vad detta egetlige betyder. Med adra ord, iebörde av uttrycket i högra ledet av () måste fastläggas geom e defiitio. Defiitioe, såsom de är formulerad i ej och skall formuleras här, är apassad till itegralkalkyles tillämpigar på så sätt att riktighete av formel () blir e självklarhet så sart ma satt sig i i defiitioe. (Fråga om hur e itegral av forme () skall beräkas för e give fuktio f() som är agive geom e "formel" blir däremot lågt ifrå e självklarhet; dea fråga tas upp i kap..9.) Här skall vi u redogöra för dea defiitio.

- 3 - vi täker oss att vi delar i vår metalltråd i ettuse vart.dera av lägd h = b/l000. Betecka mittpukte i lika låga stycke, det i:te trådstycket (räkat frå äde = O) med ;;. Eftersom vi käer desitete A = f() l i varje pukt på tråde, så käer vi desitetera f( ;;. ) för alla l Det l är u rimligt att ata att desitete varieras Obetydligt i varje litet trådstycke. Massa hos hela tråde bör därför vara ugefär desamma som om desitete varit kostat lika med f(i;;.) i det i:te trådstycket för varje l l Me för dea situatio har vi reda fuit e formel för trådes massa, ämlige 000 h l: i=l f( ;;. ) l Givetvis ka vi täka oss att vi utför e aalog beräkig geom idelig av,tråde i ett godtyckliist atal delar i stället för just 000, stycke dele.r. Vi f?,r de. SOm approimati vt värde på M låt oss säga (3) M ~h l: i=l b f( ;;.) = - l: f( ;;. ). l i =l l Det är u fysikaliskt aturligt att ata att avvikelse mella det saa värdet på M och ärmevärdet i (3) ärmar sig oll då väer mot 00, dvs att likhete (4) b M = lim - l: f(i;;.). l - l=l gäller eakt. Om vi beteckar högra ledet av (4) med b (5) J f()d O så ka formel (4) tydlige skrivas b (4') M = J f()d. O Aorluda uttryckt: härmed har vi defiierat uttrycket (5) som gräsvärdet i högra ledet av (4). Uträkig av summor av type (3) för e give fuktio f för stora värde på är givetvis e mödosam operatio om ma ite har e dator till hjälp. A adra sida är det i detta sammahag ite fråga om uträkig av itegraler för giva fuktioer f, uta det rör sig om e täkt beräkig, som är avsedd edast att ge oss förståelse för det matematiska itegralbegreppets fysikaliska iebörd. Ovaståede defiitio är blott e obetydlig föreklig av defiitioe på

- 33 - sidora 4-5 i ej. För att se sambadet, låt oss i stället idela vår tråd i stycke ite ödvädigtvis lika låga stycke, kalla koordiatera för deligspuktera för ', _ ' ädpuktera för X o och sätt som i ej 6. =. -. för i =,..,, och låt ~. vara '...-. vilke som helst pukt i det i:te itervallet (trådstycket). Eftersom lägde av det i:te trådstycket är 6., så är massa för detta ugefär lika ~ med f(~.)6., om trådstycket är så kort att f() är ästa kostat ~ ~ på detta, och massa för hela trådstycket blir således ugefär lika med (6) l: i=l f(~.)6., ~ ~ vilket är det uttryck som i ej är motsvarighete till summa (3). Ofta väljer ma (6' ) l: i=l ~. =., ~ ~ f(. )6. ~ ~ varvid (6) får forme Beteckige 6. för lägde av delitervalle är praktisk, ty övergåge ~ frå summa (6') till itegrale () blir därigeom mycket aturlig. Här skall vi blott ge ågra ytterligare sypukter på itegralers roli i fysike. I själva verket påstår vi: Varje gåg ma behöver addera oädligt måga (oädligt) små storheter, så är det fråga om e itegratio. vi skall ge ågra eempel på detta. Resoemage i detta avsitt behadlas i NE del, kap. 8.5. Observera dock att NE defiierar uttrycket rbf()d som F(b) - F( a) där F är e primitiv fuktio till F, dvs derivata av F är lika med f Formel. a (NE del, sid. 48; ej "id. 5- b (7. J a f(ld = lim l: f(. l6. ~ ~ ->oo i=l blir då ett påståede som ka bevisas. I ej, liksom i all matematisk litteratur på uiversitetsstadiet, är situatioe de omväda: (7. är defiitio, och formel r b f()d = F(b) - F( al blir därför e sats som måste bevisas. a Eempel. Väg och hastighet. Ett fordo färdas uder tide T med de kostata hastighete v. Då är de tillryggalagda väge s = vt. Om hastighete v varieras med tide eligt fuktioe v = f( t)., O < t <: T, så blir väge

- 34 - T (8) s = J f(t)dt. O Ty om fordoet har de (approimativt) kostata hastighete v = f( t. ) ~ uder det lilla tidsitervallet t. < t < t. + 6t., så är motsvarade vägsträcka får vi : i= f(t. )M.. ~ ~ f(t. )M.. ~ ~ Om vi adderar - - l J. stycke sådaa vägsträckor, så I det geerella fallet ersätts summa (9) av itegrale (8) Eempel. Kraft och momet. De tre kraftera i figure, F, F resp. F 3 har hävstägera, resp. 3 meter relativt pukte P. Då är som bekat krafteras sammalagda momet relativt P lika med I O ---fr-------------~i--~) X O b Om vi i stället täker oss att vi har e kotiuerligt utbredd last i itervallet O < < b med "täthete" F() (kraft per lägdehet) i pukte, så har vi åter e situatio där det gäller att addera oädligt små bidrag till det totala mometet. Krafte på det lilla stycket mella och + 6 är F()6. Mometet för dea kraft är 'F()6. Om vi "adderar" oädligt måga sådaa bidrag till mometet får vi såsom i eemple ova det totala "mometet" till b M = J F()d. O (Observera att de totala krafte däremot är b Of F()d.) Eempel 3. Tryck och kraft. På ett djup av y meter uder e vätskeyta råder trycket pgy, om vätskas desitet är p och g är tygdacceleratioe. Detta iebär att på ett plat ytstycke med area S, vars alla delar befier sig på samma djup y verkar de totala krafte pgys. Atag u att vi vill beräka de kraft som verkar på ett vertikalt rektagulärt

- 35 - ytstycke såsom i figure. Svårighete är att trycket är olika på olika delar av yta. För att bemästra dea svårighet betraktar vi sådaa delar av yta på vilka trycket är approimativt kostat, ämlige horisotella smala strimlor såsom i figure. Atag att ytstycket har de horisotella bredde d, o r 774 ( a t b + 'j t.. '" ----) -"---_._- t i Il Y l J I och att dess övre resp. udre kat ligger på djupet y = a resp. y = b. E smal strimla på djupet y som har bredde 6y har då area d6y, varför krafte på dea blir approimativt pgyd6y Geom "summatio" av kraftera på alla strimlora får vi de totala krafte till b F = f pgyd dy a Eempel 4. Massa och desitet ige. Låt oss beräka massa ave vertikal luftpelare med base vid havsyta, höjde H och geomskärigsarea A. Luftes desitet p ka atas variera med höjde h över havsyta eligt formel p = a e-sh, där a och S är vissa kostater. Svårighete är förstås att desitete ite är kostat i hela luftpelare uta varierar med höjde. I e tu horisotell "skiva" - det är givetvis fråga om e täkt skiva - på höjde h och med tjockleke 6h är emellertid desitete ästa kostat och massa är därför lika med desitete gåger skivas volym (som är A'6h), skivas massa är alltså Summa av massora av alla sådaa skivor, dvs hela luftpelares massa, är därför

- 36 - övigsuppgifter Kap.. (Itegraldefiitioe) Övigara eda är avsedda att öva förståelse för betydelse av uttrycke E f(. )Ll. och E f(s. )Ll. (ej sid. 5) i=l l l i= l l övig 3. Låt f() = + i itervallet [0,J. Beräka s = E f(. )Ll. i=l l l och E f(. )Ll. i=.-. för = 4 och = 8 då X o = 0, " och Xl'"., _ delar iterval let [0,J i lika delar, dvs. = i/, l = O,,..,. Försök l fia uttryck för S och s för godtyckligt Vad ka ma säga om skillade S - s då "'''' (Jfr ej sid. 9-30. ) Övig 4. Låt f() = på [0,J. Låt Xi' i = O,,...,, samt S och s vara defiierade som i föregåede uppgift. Beräka (Jfr ej sid. 30.) Övig 5. Sätt defiiera f() = - på som i uppgift. de geometriska serie ka av C -: - / ) för olika.) [O,lJ, Beräka S' s' S4 och låt. = i/, i = O,l,., och l s4' s0 och s00' (Observera att summeras. Aväd räkedosa för att beräka värdet Övig 6. E metalltråd är tillverkad av ett material med (rymd-)desitete p = 7.6. 0 3 kg/m 3. Trådes tvärsittsyta är överallt cirkulär, me tjockleke varierar. För ett 8 meter lågt tråds tycke uppmätte ma tjockleke på fyra ställe såsom i figure. Beräka ett approimativt uttryck för trådes massa. (Obs! olika svar möjliga.) k..,;.--""", ~-----_._-~-.... _._~.--_._>»<- LlIA M.,"" '0\ a: mm c: 6 mm b: 5 mm d: 3 mm Övig 7. a) Geom ett avloppsrör strömmar vatte med e hastighet som varlerar i tide. Ma vill uppskatta de totala vattevolym som strömmar geom röret uder ett dyg. Låt oss kalla dea kvatitet för U. Ma mätte vattets strömigshastighet var sjätte timme och fick följade värde:

- 37 - Tid (timmar) o 6 8 Strömigshastighet liter/miut) 0 3 6 Age med hjälp härav e.. uppskattig av U b) Samma situatio som i a), förutom att strömigshastighete mätes var tredje timme, varvid följade värde erhålls: Tid (timmar) Strömigshastighet (liter/miut) 0 O 3 4 6 30 9 8 7 5 6 8 3 Beräka med hjälp av dessa data e uppskattig av U Övig 7'. Hastighete hos e bil mättes uder tidsitervallet O < t < 60 sekuder med e oggra hastighetsmätare, och mätresultate registrerades i ett diagram med e skrivare (fig. ) Beräka de vägsträcka som bile färdats uder tidsitervallet geom att räka rutor i diagrammet. Kap..3. Reglera (4), (6), (7) och (8) i ej kap..3 a och b är givetvis mycket viktiga (jfr NE del, kap..3). Vi ger dock övigar edast på.3 d Eempel 5. Beräka medelvärdet av f() = + över itervallet '[,5J och age ett tal ~ för vilket fuktioe atar detta värde. Lösig. Medelvärdet ~ defiieras som (ej sid. 4) ~ = 5- f f()d Itegrale ka i detta fall lätt beräkas (ej sid. 9-30 och 36) J (+)d = J ~d. + 5 f d = (5 _ )/ + (5-) = 0 alltså är ~ = 0/4 = 5 Vi söker således ett ~ för vilket f(~l = 5 dvs ~ + = 5 vi ka således ta ~ = 3 Likhete ~ = f(3), dvs 5 f f()d = (5-)f(3) ka i eemplet tolkas geometriskt som att de två areora eda är lika.

A4

- 38 - Y "- " ; i "'-" \ ~ '-. '" -'7- +-/.>-""- "'-'~. S "- "- "- '" "'- "'- "'- "', -... '" s X I edaståede övigar förutsätts bekat att b f a d = (b + - a + ) för = 0,,. + (Formel gäller i själva verket för godtyckligt reellt # -.) Övig 8. I vart och ett av edaståede eempel beräka medelvärdet av f() Över [ a,b] och age ett tal ~ för vilket fuktioe atar detta värde. a) f() = 4 - a = b = 3 b) f() = + a = O, b = c) f() = (+ ) a = -4, b = d) f() t.-, för O < <, för < < 4, a = O, b = 4. (Är f() kotiuerlig?) Kap..4. E obestämd itegral är e fuktio som ma får geom att låta övre gräse i e bestämd itegral variera. Det är då aturligt att betecka de övre gräse med. E empe l 6. La' t Lösig. vi får f() = +. Beräka de obestämda itegralera = f f(u)du och $() = f f(u)du. O $() = f (u+)du = [u/;d~ + [~~ = O + På aalogt

- 39 - sätt får vi ~() = + -. Observera att ma brukar föredra skrivsättet f f(u)du framför f f()d, a a eftersom förekommer i två olika betydelser i de seare formel ÖviG Låt f() ~ () = f - och = - 3 Beräka f(u)du ~() = f f( u)du, O f f(u)du. 3 de obestämda itegralera ÖviG 0. Verifiera att skillade mella två av de olika obestämda itegralera i föregåede övig alltid är e kostat fuktio, dvs var och e av fuktioera ~l() - ~(), ~l() - ~3() och ~() - ~3() är kostat. övig. Låt f() = - - 4. a) Beräka de obestämda itegralera ~l() = f f(u)du och O f f(u)du - (verifiera att ~() - ~l() är kostat, jfr föregåede övig). b) Bestäm ett tal a så att de obestämda itegrale ~() = f f(u)du a uppfyller ~()= O. övig. Sätt f() = för < O f() = + för > O a) Beräka f f(u)du - LediG. Utyttja att O f f(u)du= f - - f(u)du + f f(u)du O b) Beräka ett uttryck för de obestämda itegrale ~ () = f f(u)du ER. - LediG. ~() måste ages med olika formler för olika -värde.

- 40 - c) Beräka på aalogt sätt som i (b) ett uttryck för de obestämda itegrale Verifiera att = f f(ujdu, O <P () - <P () fr. är kostat på hela R. Kap..5. De s.k. aturliga logaritmfuktioe beteckas i CJ med "log" såsom är brukligt i matematisk litteratur. Här skall vi asluta oss till detta beteckigssätt. Det fis flera olika sätt att defiiera log-fuktioe. De olika sätte är ekvivaleta i de meige att de leder till samma fuktio. Skillade är att e egeskap som är defiitio i de ea framställige blir e sats som måste bevisas i de adra framställige och tvärtom. Det är dock ödvädigt att hålla reda på vad som är defiitio och vad som är sats i de tet ma studerar, ty aars ka ma ite via förståelse för hur logaritmfuktioes olika egeskaper häger samma logiskt. I CJ defiieras log-fuktioe geom formel (sid. 45) ( 0) log = f u: du, > O Avsitt.5 behadlar härledig av de käda räkelagara för log-fuktioe. Observera att själva poäge här är att räkelagara visas vara logiska kosekveser ~ defiitioe (0) Vid bevise måste ma givetvis aväda räkelagar för bestämda itegraler, som ju tidigare bevisats. Vi ger u ågra övigar som har sambad med härledigara i kap..5 Övig 3. Beräka ett approimativt värde på log geom att rita kurva y = / på millimeterpapper och räka rutor uder kurva. Kotrollera resultatet med räkedosa eller tabell. Övig 4. Visa t.e. geom lämpliga skalförädrigar på koordiatalara, att de areor som represeteras av itegralera 3 f du och u 6 f du il är lika. (Rita upp kurvora på rutat papper~)

- 4 - b) Visa på samma sätt att a d f...e. u för godtyckliga a > c) Det är klart att ma på samma sätt som i b) ka ise att ab d f...e. b u för godtyckliga a,b > för godtyckliga a,b ~ Visa med hjälp härav att log (ab) = log a + log b (se ej sid. 47) Övig 5. a) Visa på aalogt sätt som i Övig 4 a) att log(l/) = - log, dvs att f / du = u f du. u b) Visa på samma sätt att loge l/a) = - log a för godtyckligt a >. c) Visa att ma ka härleda formel ur formel log 6 = log + log 3 och resultatet i Övig 5 b. d) Visa på aalogt sätt att formel log (ab) = log a + log b för godtyckliga a,b > O följer av resultate i Övig 4 c och 5 b. (Jfr ej sid. 48.) Sektio.6. Beviset för att log e = på sida 49 i ej bygger på att ma vet att ( +-l) är mycket ära e om är stort ( eligt defii tioe av e ), och att ma visar att log(l +-l) är mycket ära om är stort. Övig 6. Beräka eligt kalkylator. 00 ( + 00) med kalkylator. Jämför med värdet av Verifiera (såsom i ej sid. 49) att e