1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar. Ofullstädiga lösigar, eller lösigar som är svåra att följa ger poägavdrag. Skriv tydligt! Motivera väl! Edast svar accepteras ej! För bedömig och betygsgräser se kurses hemsida. Lösigsförslag aslås på kurses hemsida efter tetame. Lycka till! Mats 0739 474 859 Del A Hadräkig, uppgift 1-6 p/uppgift och uppgift 7 3 p. 1. Låt A och B vara två hädelser med P A 0.4, P B 0.3 och P A B 0.6. Beräka saolikhete P A B. Eligt additiosstase gäller P A B P A P B P A B. 0.6 0.4 0.3 P A B P A B 0.1.Mägde socker som ma fyller i kg-förpackigar ka atas vara ormalfördelad med vätevärde.05 kg och stadardavvikelse 0.05 kg. E perso köper 5 förpackigar socker där viktera ka ases vara oberoede av varadra. Vad är saolikhete att persoe får mer ä 10 kg socker totalt? Ξ k sockermägd i paket k, Ξ k N.05; 0.05. 5 Y Ξ k Ε N 5.05; 0.05 5, sockermägd i 5 paket k 1 P Y 10 1 P Y 10 1 10 10.5 0.05 5 1 5 5 0.9873 µ 5.05, Σ 0.05 5, 1 CDF NormalDistributio µ, Σ, 10 10.5, 0.111803, 0.98736 3. Låt Y vara summa av 50 oberoede expoetialfördelade stokastiska variabler med Λ = 1 3. Bestäm approximativt P Y 15. Då Ξ i Exp Λ är E Ξ i 3 och D Ξ i 3 Låt u Y 50 i 1 Ξ i N 50 E Ξ i ; 50 D Ξ i dvs Y N 50; 15 och P Y 15 15 150 15 1.18 1 1.18 0.1 µ 50 Mea ExpoetialDistributio 1 3, Σ 50 Variace ExpoetialDistributio 1 3, CDF NormalDistributio µ, Σ, 15., 15. µ Σ 150, 15, 0.11996414658177`, 1.1785113019775793`
7. I ett lotteri där varje lott kostar 1 kr igår 1000 lotter med vister eligt tabelle eda. Låt Ξ vara viste för e lott. 4. I ett väldigt stort fläktsystem fis 5 st kretskort. Frå isamlade data aser ma att 1% av kretskorte är defekta. Fläktsystemet ases vara defekt om mist två kretskort är defekt. Bestäm saolikhete att ett slumpvis valt fläktsystem fugerar. Låt p 0.01, saolikhete att ett kretskort är defekt. Sätt Ξ atal defekta kretskort av 5. Atag att fele uppkommer oberoede mella plattora. Då är Ξ Bi 5; 0.01 P Ξ 1 P Ξ 1 Då 10 och p 0.1 är Ξ Po 5 0.01 1 0.9735 0.065 "P Ξ ", 1 CDF PoissoDistributio 5 0.01, 1, "exakt", 1 CDF BiomialDistributio 5, 0.01, 1 P Ξ, 0.06499, exakt, 0.057591 5. Vid e kemisk idustri vill ma bestämma medelavkastige (vätevärdet av avkastige) Μ, för e viss kemisk process. Uder tio dagar fick ma följade avkastigar (ehet: to): Atag att mätvärdea kommer frå e N Μ; Σ. 7.3 7. 7.8 7.1 6.9 6.8 7.3 7.3 6.9 7. Bestäm ett 95% kofidesitervall för Μ. Är det troligt att de geomsitliga avkastige för processe är över 7 to?.6. Ett kofidesitervall för de geomsit- Μ x 7.51, Σ 9 s 0.399, 1 och t 0.05 tligt avkastige ges av 9 Μ x ± t 0.05 s (95%) så Μ 7.51 ± 081 95 Μ 7., 7.80 95. Ja ha har lyckats. Med e felrisk (sigifikasivå) på 5% ka ma påstså att det geomsittliga avkastige är över 7 to. Needs "HypothesisTestig`" Data 7.3, 7., 7.8, 7.1, 8.0, 6.9, 7.5, 8.1, 7.7, 7.5 ; Mea Data, StadardDeviatio Data, IverseCDF StudetTDistributio 9, 0.975 MeaCI Data 7.51, 0.39853,.616 7.897, 7.79103 6. Ur e grupp med 5 persoer ska e kommitté med 7 persoer väljas. Seda ska två av dessa 7 utses till ordförade och vice ordförade. Hur måga olika kommittéer ka väljas? Drag uta återlägg och multiplikatiospricipe ger 5 7 7 10 094 700 Biomial 5, 7 Biomial 7, 10 094 700
7. I ett lotteri där varje lott kostar 1 kr igår 1000 lotter med vister eligt tabelle eda. Låt Ξ vara viste för e lott. Vistbelopp lott i kr Ξ 0 10 40 00 Atal lotter 964 30 5 1 P Ξ k 0.964 0.03 0.005 0.001 Atag att olika uppdrag förseas oberoede av varadra. a) Bestäm vätevärde och stadardavvikelse för Ξ om ma köper 1 lott. b) Om ma köper totalt 30 lotter, vad är saolikhete att ma går med vist, dvs att de sammalagda viste är mer ä 30 kr? a) E Ξ 00 k 0 kp Ξ k 0.7 och V Ξ E Ξ E Ξ 00 k 0 k P Ξ k 0.8 50.51 D Ξ V Ξ 7.11 b) Låt Ζ totala vistbeloppet, Ζ 30 i 1 Ξ i N 30 0.7; 30 50.51, mha. P Ζ 30 1 P Ζ 30 1 30 1 30 50.51 1 0.3 0.41 0, 10, 40, 00 ; 0.964, 0.03, 0.005, 0.001 ; µ., Σ. µ, Σ Σ, yσ 30 Σ, yµ 30 0.7, "P Ζ 30 ", 1 CDF NormalDistributio yµ, yσ, 30 30 yµ yσ 0.7, 50.51, 7.10704, 38.969, 1., 0.3103 P Ζ 30, 0.408579 del B på ästa sida! 3
Del B Modellerig och hadräkig, 5 p/uppgift. 8. I sambad med lottige till EM fotboll 016 geomfördes e udersökig av A-poste. E timme efter att lottige var klar hade 567 persoer av A-postes läsare svarat JA på fråga: Spelar Sverige i fotbolls EM 016? Ka ma med utgågpukt frå dea udersökig säga att e majoritet av A-postes läsare är optimistiska med avseede på Sverges möjligheter att spela i Fotbolls EM 016? Besvara fråga med ett 95% kofidesitervall för p = adele JA-svar. I udersökig deltog 936 persoer. Atar att atalet läsare av A poste, N, är väldigt stor och att 936 N 0.1 Ξ atal JA svar, Ξ Hyp N, 936, p Bi 936; p, p skattas med p Ξ 936. E p E Ξ p och 936 V p V Ξ p 1 p och p N p; 936 936 p 1 p 936 Ett 95 kofidesitervall ges av p p obs ± Λ 0.05 Σ p med p obs 567 0.606 fås Σ 936 p 0.606 1 0.606 936 och Λ 0.05 1.96 p Ε 0.606 ± 0.0313 eller p Ε 0.574, 0.638, 95 Med e felrisk på 5 kofidesgrad 95 igår ite 0.5 i itervallet. E majoritet av A postes läsare tror att Sverige spelar i fotbolls EM 016. 9. Vid e friidrottstävlig aväds samtidigt automatisk och mauell tidtagig för varje deltagare. De automatiska betraktas som felfria meda de mauella har ett systematiskt fel. Atag att Ξ i automatisk tid för deltagare i och Ξ i Ε N Μ i ; Σ 1 och Η i mauell tid för deltagare i och Η i Ε N Μ i ; Σ. Följade data erhölls är 15-åriga flickor sprag 80 m (tidsehet sek): Deltagare 1 3 4 5 6 Automatisk tid 10.03 10.17 10.10 10. 10.88 11.03 Mauell tid 10.18 10.35 10.7 10.40 11.07 11.18 Ka ma med rimlig säkerhet påstå att = 0.15? Modell: stickprov i par. Atag att Ξ i automatisk tid för deltagare i och Ξ i Ε N Μ i ; Σ 1 Η i mauell tid för deltagare i och Η i Ε N Μ i ; Σ Atag vidare att alla tider är uppmätta oberoede avvaradra. Då är Ζ i Η i Ξ i N ; Σ där Σ Σ 1 Σ och okäd. Deltagare: 1 3 4 5 6 Automatisk tid Ξ: 10.03 10.17 10.10 10. 10.88 11.03 Mauell tid Η: 10.18 10.35 10.7 10.40 11.07 11.18 Skillad Ζ = Η - Ξ: 0.15 0.18 0.17 0.18 0.19 0.15 Ett kofidesitervall för ges av Ε x 1 s ± t Α 1 Α 100 4
Skillad Ζ = Η - Ξ: 0.15 0.18 0.17 0.18 0.19 0.15 5 Ett kofidesitervall för ges av Ε x 1 s ± t Α 1 Α 100 I vårt fall är 5 x = 0.17, = 6, s = 0.016733 och t 0.05.571 vilket ger Ε 0.17 ±.571 0.016733 (95%) vilket blir Μ Ε (0,15;0,188) (95%) 6 Eftersom = 0.15 ite fis med i itervallet, 95% säkerhet, ka ma ite påstå att så är fallet. 10. Processe i e destruktiosaläggig för miljöfarligt avfall ka delas upp i två steg. Tidsåtgåge för ett parti avfall i steg 1 ka betraktas som e stokastisk variabel, Ξ 1, som är likformigt fördelad mella 0.5 och 1 timme. Oberoede av tidsåtgåge i steg 1 sker i steg de slutliga destruktioe av partiet uder e tid, Ξ, som ka atas vara expoetialfördelad med Λ = 1/4. Först är ett parti geomlöpt hela processe ka ästa parti komma i för destruktio. Destruktiostide för olika partier ka betraktas som oberoede. a) Hur låg är de geomsittliga destruktiostide för ett parti. b) Ma är itresserad av att kapacitetsbedöma aläggige. Bestäm därför ett approximativt värde på saolikhete att ma uder e veckas kotiuerlig drift (168 timmar) ka klara av destruktioe av mist 35 partier. a) Sätt Ξ 1 tid steg 1, Ξ 1 U 0.5; 1 och Ξ tid steg, Ξ Exp 1 4 Ζ i Ξ 1 Ξ tid för destruktio av ett parti E Ζ i E Ξ 1 Ξ E Ξ 1 E Ξ 1 0.5 1 1 4 4.75 Geomsittliga destruktiostide för ett parti är 4.75 timmar. Låt Ζ 35 i 1 Ζ i totala destruktiostide för 50 partier. Ma vill veta P Ζ 168 E Ζ E 35 i 1 Ζ i 35 i 1 E Ζ i 35 4.75 166.5. V Ζ V 35 i 1 Ζ i 35 i 1 V Ζ i 35 16.008 560.79, där V Ζ i V Ξ 1 Ξ V Ξ 1 V Ξ 1 0.5 1 1 1 4 16.008 Nu är Ζ N 166.5; 560.79 och P Ζ 168 168 166.5 560.79 0.074 0. 595 Saolikhete att är ugefär 53% att fabrike klarar av destruera 35 partier i vecka.