POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio Låt P( ) a a vara ett polyom där a 0, då kallas för polyomets grad och iblad beteckas grad( P( )) Alltså är polyomets grad lika med högsta förekommade epoet i uttrycket a a Eempel Polyomet P ( ) 5 har grad, P ( ) har grad, P ( ) 5 har grad och P ( ) 8 har grad 0 Defiitio Låt P( ) a a vara ett polyom Lösigar till ekvatioe P ( ) 0 dvs a a 0 (ekv) kallas polyomets ollställe Defiitio E ekvatio av type a a 0 kallas för algebraisk ekvatio Defiitio Ratioell fuktio är kvote av två polyom, dvs uttrycket av type a b k k a a b b 0 0 E ratioell fuktio är defiierad edast om ämare är skild frå 0 a Evetuella ollställe till (de ratioella) fuktioe f ( ) b k k a a b b ekvatioe täljare=0, dvs geom att lösa ekvatioe a a 0 0 0 får vi ur Eempel f ( ) är e ratioell fuktio Fuktioe f ( ) är defiierad om Frå ekvatioe "täljare=0" dvs 0 får vi ollstället
Uppgift Bestäm ollställe till följade polyom a) P( ) 9 b) P( ) 9 c) P( ) 5 6 d) P ( ) 5 e) P ( ) 0 0 Lösig a) Nolställe till polyomet ekvatioe 9 0 P( ) 9 får vi geom att lösa (de algebraiska) Vi faktoriserar polyomet och därefter löser eklare ekvatioer, faktor(k) = 0 9 0 ( 9) 0 ( )( ) 0 Alltså är 0,, polyomets ollställe Svar a) 0,, Lösig b) 9 0 ( 9) 0 0 eller 9 0 Frå 9 0 har vi 9 9 i Svar b) 0, i, i Lösig c) 5 6 0 ( 5 6) 0 0 eller 5 6 0 p p 5 5 Vi har 0 och 5 6 0, q, 6 Efter föreklig, Svar c) 0,, Lösig d) För att lösa 5 0 iför vi substitutioe y och löser ekvatioe y 5y 0 som ger y, y Frå har vi Frå har vi, Svar d),,,, Lösig e) De här gåge faktoriserar vi polyomet geom att gruppera första två och sista två termer 0 0 ( ) 0( ) ( )( 0) Alltså 0 0 0 ( )( 0) 0, 0, 0 Svar e), i 0, i 0 i i ================================================================= Följade formler aväder vi ofta vid faktoriserig av ett polyom:
i) a ( a)( a) ii) a ( ai)( ai) p p iii) p q ( )( ) { där, q iv) a ( a)( a a ) v) a ( a)( a a ) Amärkig: I formel iv) ka ma fortsätta och faktorisera vidare uttrycket komplea faktorer ( eligt formel iii) Samma gäller för formel v) } a a i vi) a ( a )( a ) ( a)( a)( a ) { = ( a)( a)( ai)( ai) om vi vill ha komplea faktorer} vii) a ( a)( a a a ) (Mer om faktoriserig av ett polyom kommer i adra dele av de här stecile) Uppgift Faktorisera följade polyom i reella faktorer a) b) 5 c) 0 d) e) 5 5 0 f) 8 g) h) i) 6 j) 5 Svar a) ( )( ) b) 5 ( 5) ( 5)( 5 ) c) 0 ( 5 6) ( )( ) ( )( ) d) ( )( ) ( )( ) e) 5 5 0 5( 6) 6( )( ) f) 8 ( )( ) g) ( )( ) h) ( ) ( )( ) i) 6 ( ) 6( ) ( )( ) 6( ) ( ) 6 ( )( 6) ( ) 5 j) ( )( ) Uppgift Faktorisera följade polyom i lijära faktorer Faktorera får iehålla komplea tal a) b) 5 c) Lösig: a) ( i)( i) b) Först vi löser ekvatioe 0 i, i
Nu har vi ( )( ) ( i) ( i) Svar a) ( i)( i) b) ( i) ( i) POLYNOMDIVISION: Defiitio: Om för polyome P (), Q (), K () och R () gäller (*) P( ) R( ) K( ) där grad( R( )) grad( Q( )) Q( ) Q( ) så kallar vi K () för kvote och R () för restterm vid divisio av P() med Q () Sambadet (*) ka också skrivas som (**) P( ) Q( ) K( ) R( ) ------------------------------------------------------------------- Om R( ) 0 säger vi att polyomet P() är delbart med Q () Då gäller P( ) Q( ) K( ) Eempel Utför divisioe Kotrollera resultat Lösig: 6 8 dvs bestäm kvote och reste STEG Vi delar först terme med största epoete i täljare ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall ) Alltså / = Därefter beräkar vi gåger ( ) och subtraherar produkte ( ) frå polyomet P()= 6 8 och får REST= ( 6 8) ( ) 8 Detta utförs eklast med hjälp av e tabell ( 6 8 ) / ( ) = ( ) 8 rest
STEG Vi delar rest med ämare (+) på samma sätt som i STEG dvs vi delar terme med största epoete i rest, ( i vårt fall ) med terme som har största epoete i ämare ( i vårt fall ) Alltså vi delar / = + Vi adderar + i kvote och därefter subtraherar (+)*=+8 Vi gör detta direkt i tabelle : ( 6 8) / ( ) = ( ) 8 rest -( ) rest Vi ka ite fortsätta eftersom reste har midre grad ä ämare + Därmed blir kvote = och reste = Alltså vi ka skriva P( ) R( ) K( ) Q( ) Q( ) dvs 6 8 Amärkig: Ett aat sätt att tolka resultat är att skriva P( ) Q( ) K( ) R( ) dvs 6 8 ( )( ) Kotroll Vi kotroller resultat geom att beräka högerledet i resultatet: Högerledet= = 8 = = västerledet Svar 6 8 Uppgift Utför divisioe P( ) Q( ) och bestäm om polyomet P () är delbart med Q () a) 6 9 b) 6 8 5 5
Lösig: a) ( 6 9 ) / ( ) = ( ) 9 rest ( 9) 0 rest Reste R = 0 Med adra ord är polyomet P () = 6 9 delbart med Q () = Vi ka skriva 6 9 = eller ( 6 9) ( )( ) b) ( 6 8 5) /( ) ( 6) Svar 5 rest ( 6) rest 6 8 5 Polyomet P () = 6 8 5 är INTE delbart med Q () = eftersom reste R = är skild frå 0 FAKTORISERING AV ETT POLYNOM Låt P () vara ett polyom Efter att vi utför polyomdivisio och delar P () med ( a) ka vi skriva P( ) ( a) K( ) R Då uppebart gäller { P () är delbart med ( a) ] } {R=0} { P( ) ( a) K( ) } { P ( a) 0 } Faktorsatse Ett polyom P () är delbart med ( a) om och edast om P ( a) 0 6
Med adra ord: Ett polyom P () är delbart med ( a) om och edast om a är ett ollställe till P () Uppgift 5 Bestäm om talet a är ett ollställe till polyomet P () där a) P ( ) 6, a b) P ( ) 6, a c) P ( ) i, a i Svar: a) Ja eftersom P ( ) 0, b) Nej eftersom P ( ) 0 c) Ja eftersom P ( i) 0 Uppgift 6 Talet är e lösig till ekvatioe 0 a) Bestäm alla lösigar Lösig: Polyomet är delbart med ( eligt faktorsatse) Polyomdivisioe ger a) ( ) / ( ) = ( ) rest ( ) rest ( ) 0 rest Vi har kvar adragradsekvatioe 0,, och Svar:,, ---------------------------------------------------------------------------------------- Följade sats ka vi aväda för att fia evetuella heltalslösigar till e algebraisk ekvatio Sats om heltalslösigar Om de algebraiska ekvatioe a a 0 har heltalskoefficieter och e heltalslösig k ( dvs k är ett hel tal) då är de kostata koefficiete a0 delbart med k 7
Bevis Om k är e heltalslösig då gäller a k ak 0 som vi ka skriva som a k ak a0 Väster ledet är delbart med k (otera att alla koefficieter a j är eligt atagade hela tal och att k fis i varje term) Därmed är också a0 delbart med k Uppgift 7 Bestäm om följade ekvatioer (med heltalskoefficieter) har heltalslösigar Lös ekvatioer om så är fallet a) 8 0, b) 6 5 0 c) 0 Lösig a) Evetuella heltalslösigar är faktorer i de kostata terme dvs fis blad Vi testar alla fyra och iser att är e lösig till 8 0 Polyomdivisio ger ( 8 ) /( ) Frå 0har vi, 5 Svar a), Svar b),,, 5 Lösig c) Ige av faktorer uppfyller ekvatioe implicerar att ekvatioe ite har ågo heltalslösig Amärkig: Vi ka faktorisera ekvatioe geom att gruppera första två termer: ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Härav / och, i (me ige heltalslösig) Algebras fudametalsats Varje polyom P () av grad har mist e (reell eller komple) rot Med hjälp av de här satse och faktorsatse drar vi slutsatse att varje polyom ka faktoriseras i lijära faktorer eligt följade: a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( där k är polyomets ollställe ( reella eller komplea) 8
Uppgift 8 Låt P( ) 0 50 60 a) Bestäm polyomets ollställe b) Faktorisera polyom i lijera faktorer Lösig: Vi får ollställe frå 0 50 60 0 Vi kombierar faktoriserig och formel för adragradsekvatioer: Först bryter vi ut 0 och får ekvatioe 0 ( 5 6) 0 Härav först 0 och ( frå adragradsekvatioe 5 6 0 ), Faktoriserig: ) a ( )( )( ) 0( 0)( )( ) P( Svar a) 0,, b) P ( ) 0( 0)( )( ) ----------------------------------------------------------- Polyom med reella koefficieter Om polyomets koefficieter a k är reella tal då evetuella komplea ollställe förekommer i kojugerade par k a bi, k a bi Om vi öskar faktoriserig i reella faktorer då grupperar vi motsvarade kojugerade par: ( ( a bi))( ( a bi)) ( a bi)( a bi) ( a) ( bi) ( a) b a a b Alltså för att få e reell faktoriserig, ersätter vi ( ( a bi))( ( a bi)) i F med adragradspolyomet a a b Uppgift 9 Låt P( ) 5 a) Bestäm polyomets ollställe b) Faktorisera polyom i lijära faktorer c) Faktorisera polyom i reella faktorer ( som då får iehålla adragradspolyom) Lösig: a) 5 0 ( 5) 0 0, i, i b) Faktoriserig i lijära faktorer: 9
P( ) a( )( )( ) ( 0)( ( i))( ( i)) ( i)( i) c) Faktoriserig i reella faktorer ( som då ka iehåller adragradspolyom) har vi reda fått i börja av uppgifte : ( 5) Svar a) 0, i, i b) P( ) ( i)( i) c) P ( ) ( 5) Uppgift 0 Det komplea talet z 5z z 5 0 z i är e lösig till ekvatioe Bestäm alla lösigar Lösig: (Ekvatioe har reella koefficieter och z i är e lösig ) z i är också e lösig till ekvatioe och därför är ekvatioe delbart med ( z z)( z z ) ( z i)( z i) ( z ) i z z Polyomdivisioe ger (z 5z z 5) /( z z 5) (z ) dvs (z 5z z 5) ( z z 5)(z ) De tredje lösige får vi ur ( z ) 0 z 5 Svar z i, z i, z / Uppgift Det komplea talet z i är e lösig till ekvatioe z 5z 6z 0 Bestäm alla lösigar Lösig: (Ekvatioe har reella koefficieter och e komple lösig z i ) z i är också e lösig till ekvatioe 0
Därför är ekvatioe delbart med ( z z)( z z ) ( z i)( z i) ( z ) z z (z 5z 6z ) /( z z ) z De tredje rote får vi ur z 0 z Svar z i, z i, z Uppgift z i är e lösig till ekvatioe z z z z 0 Bestäm alla lösigar Lösig: (Ekvatioe har reella koefficieter och z i är e lösig ) z i är också e lösig till ekvatioe och därför är ekvatioe delbart med ( z z )( z z ) ( z i)( z i) z i z Polyomdivisioe ger ( z z z Två lösigar till får vi ur z Svar z ) /( z z 0 z, z ) z z i, z i, z, z ---------------------------------------------------------------- z Nollställe av högre multiplicitet Det ka häda att vi får ågra lika lijära faktorer termer i faktoriserige a a a a a )( ) ( ) (F) 0 ( Om vi grupperar lika lijära faktorer då ka vi skriva (F) på ekvivaleta forme a a a a ( j ) j K j (F) Epoetera K j visar hur måga gåger upprepas faktor ) i formel F ( j Vi säger att j är e rot av multiplicitete K j Om t e K j är ( eller ) då säger vi att j är e dubbel rot ( trippel rot) till ekvatioe
Uppgift Bestäm polyomets ollställe, faktorisera polyom i lijära faktorer, och bestäm ollställeas multiplicitet, då a) P ( ) 6 b) P ( ) 6 9 Lösig: a) 6 0 ( 6) 0 0,, Alltså har polyomet ollställea 0, och Faktoriserig: P ( ) ( )( ) Eftersom varje faktor, ( ) och ( ) förekommer eakt e gåg i faktoriserige, ser vi att varje ollställe har multiplicitete b) 6 9 0 ( 6 9) 0 0,, Alltså har polyomet ollställea 0, och, ( dubbelrot) Faktoriserig: P ( ) ( )( ) ( ) Härav ser vi att ekvatioe har två olika rötter ( tre totalt om ma räkar med deras multipliciteter) : Rote 0 ( dvs 0) har multiplicitete = meda rote = ( dvs ) har multiplicitete =, Uppgift Låt P ( ) Bestäm polyomets ollställe, faktorisera polyom i lijära faktorer, och bestäm ollställeas multiplicitet Tipps: Ma ka aväda formel ( a b) a a b ab b Lösig: Om vi aväder formel ( a b) a a b ab b med a och b får vi ( ) [ Alterativt ka ma fia e rot blad heltals delare ( + och -) till de kostata terme ( dvs ) i polyomet ] Härav får vi direkt att ekvatioe P( ) 0 har e trippelrot,, Alltså är e rot med multiplicitete = Svar:,, P ( ) ( ) Rote har de algebraiska multiplicitete = Amärkig: Ma ka äve defiiera multiplicitete av e rot på fäljade ekvivaleta sätt: Defiitio ( E ekvivalet defiitio för multiplicitete av ett ollställe) Om i är ett ollställe till polyomet P () och K P( ) ( i ) g( ) där g ( i ) 0,för ett positive heltal K, då säger vi att i har multiplicitete K PARTIALBRÅKSUPPDELNING
Partialbråksuppdelig av e ratioell fuktio är ett viktigt verktyg i itegralkalkyl och trasformmetoder Dea metod aväds för att dela e ratioell fuktio upp i eklare ratioella fuktioer Utgågspukte är att fuktioe är ett äkta bråk dvs att grad(s()) < grad(q()) Om detta ite stämmer, dvs om vi har e fuktio där grad(p()) grad(q()), utför vi polyomdivisio av P() med Q() och skriver, ä S Q Vi faktoriserar ämare Q() och delar i partiella bråk Vi faktoriserar ämare Q() i reella faktorer (lijära faktorer eller adragradspolyom) Därefter gör vi e asats eligt följade ledig: Faktor i ämare Motsvarade bråk i asatse a A a ( a) A A A a ( a) ( a) a b A B a b ( a b) A B A B A B a b ( a b) ( a b) 5 Eempelvis: För att dela ( )( )( ) ( )( ) följade asats: i partiella bråk börjar vi med 5 ( )( )( ) ( )( 8) A B C C C D E F G F G ( ) ( ) 8 ( 8) = (*) Notera att har komplea ollställe och ka ite faktoriseras i reella lijära faktorer Ovapå sådaa ämare har vi i asatsee lijära täljare Därefter bestämmer vi kostatera A,B så att (*) blir sat ================================================
I edaståede eempel visar vi i detaljer hur ma delar upp i partiella bråk Vi börjar med ett ekelt eempel (där ämare är reda faktoriserad) Uppgift 5 Dela upp 7 i partiella bråk ( )( ) Lösig: Vi ska försöka skriva bråket som summa av ekla bråk asatse A B och Vi börjar med 7 ( )( ) A B (*) Okäda kostater A och B ska vi bestämma så att (*) blir sat för alla Eklast är att multiplicera (*) med gemesamma ämare ( )( ) Vi får att fäljade måste gälla (för alla ) : 7 A( ) B( ) (**) Härav ka vi fortsätta med två metoder: Metod : Vi ordar båda sidor som polyom och därefter idetifierar koefficieter fraför lika poteser Vi har 7 A A B B eller 7 ( A B) A B De två polyom (västerledet och högerledet) är lika om och edast om deras motsvarade koefficiet är lika Alltså har vi följade ekvatioer: ekv: ekv: A B (eftersom koefficietera framför är lika) 7 A B (eftersom kostatera på båda sidor är lika) Vi ka lösa ovaståede ekvatiossystem på flera sätt, eempelvis med substitutiosmetode: Frå ekv har vi A B som vi substituerar i ekv och får 7 ( B) B som ger B Därför A B =
Slutlige, eligt asatse 7 ( )( ) A B Därmed har vi delat fuktioe i partiella bråk 7 ( )( ) Metod Vi gör på samma sätt till 7 A( ) B( ) (**) Eftersom (**) ska gälla för alla ka vi välja två olika -värde substituera i (**) och få två ekvatioer med obekata A och B (Amärkig: Om vi har tre kostater A,B och C i asatse då väljer vi tre olika värde på och får tre ekvatioer med obekata A,B och C Har vi kostater väljer vi olika - värde osv) Som sagt ka vi välja vilka som helst olika -värde och substituera i (**) me vi väljer, av praktiska själ, sådaa som ger ekla ekvatioer på A och B i) Om vi väljer = då försvier A och vi får e ekv med ebart B som obekat: ( ) 7 A ( ) B( ) dvs B Härav B= ii) Om vi i (**) väljer = får vi A B 0 dv A= Frå A= och B= och asatse (*) har vi 7 ( )( ) Svar: 7 ( )( ) Kommetar: I de flesta fall är metod eklare ä metod Uppgift 6 Dela upp i partiella bråk Lösig: Först faktoriserar vi ämare Vi har 5
( ) Nu gör vi asatse ( ) A B (*) Härav A( ) B (**) Vi aväder metod och väljer två lämpliga -värde (sådaa som aullerar e variabel) i) = ger B dvs B ii) = 0 ger A Alltså ( ) På likade sätt gör vi om vi har tre lijära faktorer som i edaståede eemple Uppgift 7 Dela upp i partiella bråk ( )( )( ) Lösig: Nämare i bråket är reda faktoriserad Vi startar med asatse ( )( )( ) A B C (*) multiplikatioe med gemesamma ämare ger A( )( ) B( )( ) C( )( ) (**) Vi aväder metod Vi väljer lämpliga -värde som vi substituerar i (**) i) = ger =A och därför A=/ ii) = ger 7= B och därför B= 7/ iii) = ger = C och därför C= Därmed ( )( )( ) / 7/ Svar: 7 ( )( )( ) ( ) ( ) 6
I följade eempel har vi, efter faktoriserig av ämare, e faktor av grad (polyom ) som ka ite faktoriseras i reella lijära faktorer (polyomet har komplea rätter) I sådaa fall har vi asats med e lijär faktor i motsvarade täljare, som vi visar i edaståede eempel Uppgift 8 Dela upp Lösig: i partiella bråk (otera lijära uttrycket B+C ovapå +) (Vi aväder metod) Vi idetifierar koefficieter och får tre ekvatioer: Härav,, och därför = Svar: = 7