Kombiatoik ht. 2011 Kombiatoik: sabbgeomgåg av teoi kap. 1-3 1 Iledig Poblem: Atag att k idetiska golfbolla skall fägas med ågo av giva fäge. Hu måga olika fägläggiga fis det? Om x 1 betecka atalet bolla som målas i de fösta fäge,..., x atalet som målas i de -te fäge, se vi att det sökta atalet ä lika med atalet lösiga i ickeegativa heltal till ekvatioe x 1 + x 2 + x 3 +... + x 1 + x = k. Betecka detta tal med f(, k). Någa specialfall: (1.1) f(1, k) = 1, k 1 (1.2) f(, 1) =, 1 f(2, 2) = 3, f(2, 3) = 4, f(2, k) = k + 1, k = 4, 5,... Som e itoduktio till kombiatoisk metodik peseteas eda te olika metode att bestämma tale f(, k). Fösta metode: ekusio Det visa sig att fuktioe f (av de två vaiablea och k,, k 1) uppfylle ekusiosfomel (1.3) f(, k) = f( 1, k) + f(, k 1),, k 2 vilket tillsammas med advillkoe (1.1) och (1.2) ova äcke fö att bestämma f, dvs. fö godtyckligt och k ka f(, k) beäkas geom uppepad avädig av (1.1), (1.2) och (1.3). Lijäa ekusioe elle lijäa diffeesekvatioe av e vaiabel behadlas i Bjo m.fl.: Numeisk och disket matematik, Sigma vid Åbo Akademi 1989, kap. 5. 1
Exempel på ekusioe: a = a 1 + a 2, 3, a 1 = a 2 = 1 ge de välkäda följde, jf. Åbo eegiveks skoste, föst beskive av Fiboacci 1202. Om a = a 1, 2, a 1 = 1 så ä a =!. Ada metode: geeade fuktio Betakta -te potese av uttycket 1 + x + x 2 + x 3 +.... (1.4) (1 + x + x 2 + x 3 +...) (1 + x + x 2 + x 3 +...) (1 + x + x 2 + x 3 +...) dä atalet faktoe (= atalet paetese) ä. Om vi utfö multiplikatioea bli esultatet e heltalig lijä kombiatio av potese av x. (x 0 = 1.) Exempelvis fås x 2 som podukte av ett x få fösta och ada faktoea med etto få de öviga faktoea. Vad bli koefficiete fö x k? Mao. hu måga gåge upptäde podukte av fome x t 1 x t2 x t dä vi valt teme x t 1 u de fösta paetese, teme x t 2 u de ada,..., x t u de -te och dä t 1 + t 2 +... + t = k? Vi se att koefficiete fö x k bli pecis f(, k): (1 + x + x 2 + x 3 +...) = f(, 0) + f(, 1)x + f(, 2)x 2 + f(, 3)x 3 +... + f(, k)x k +... Eftesom (åtmistoe fö tilläckligt små x) ises att 1 + x + x 2 + x 3 +... = 1 1 x (1.5) (1 x) = f(, 0) + f(, 1)x + f(, 2)x 2 + f(, 3)x 3 +... + f(, k)x k +.... Vi säge att (1 x) ä geeeade fuktio fö talföljde f(, k), k = 1, 2,.... Eligt e följdsats till biomialteoemet (se kapitel 2) ä (1 x) = 1 + 1 ( + 1) x + x 2 + 1 2 2 ( + 1)( + 2) x 3 +... 1 2 3
vilket betyde att vi måste ha (1.6) f(, k) = ( + k 1)! ( 1)!k! Tedje metode: kombiatioe Vi täke oss att vi ha = 5 fäge och k = 7 bolla. Vi ka uppgöa ett potokoll öve fägläggige t. ex. på följade sätt: Vi skive ett kyss fö vaje boll som fägas med fösta fäge, seda e olla 0 som makea byte av fäg, seda ett kyss ige fö vaje boll som målats med fäg 2 osv. Beteckige 0 00 0 iebä således att 2 bolla målats i fäg 1, 3 i fäg 2, ige i fäg 3, 1 i fäg 4 och 1 i fäg 5. E följd med 1 ollo och k kyss svaa omvädbat etydigt mot fägläggig av k bolla med fäge. f(, k) ä tydlige atalet möjliga sådaa följde. E följd kaakteiseas av va kysse placeas. Vi bö alltså bestämma på hu måga sätt de k kysse ka placeas ut på de + k 1 tillgägliga platsea. E -elemetig delmägd av e mägd med m elemet kallas e kombiatio av u (= utvalda blad) m. E av kombiatoikes mest gudläggade fågo ä just dea: Hu måga sådaa kombiatioe fis det, dvs. på hu måga sätt ka ma välja ut exakt elemet i e m-elemetig mägd? Stadadbeteckige fö detta atal ä biomialkoefficiete m öve. Med dea beteckig bli m, + k 1 f(, k) =. k 3
Kombiatoik ht. 2011 2 Uval och biomialkoefficiete 2.1 Pemutatioe E uppäkig av elemete i e mägd M i e viss odig kallas e pemutatio av mägde. Alteativt ka vi defiiea pemutatio som e bijektio få M till M. E pemutatio av e -elemetig mägd kallas ofta pemutatio av elemet, tecke, objekt etc. (uta ämae specificeig av mägde). Om atalet pemutatioe av elemet beteckas med p() så gälle p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 6 och allmät (multiplikatiospicipe) p() = p( 1), dvs. (2.1) p() =!. Exempel. Atag att e tidig vill pesetea de tio lage i Tipsliga (i fotboll) ude tio på vaada följade daga. Odigsföljde ka då väljas på 10! olika sätt. Hu måga sätt bli det om det kävs att de två åbolage TPS och Ite peseteas efte vaada? (2 9!) Om det kävs att de två åbolage peseteas föst och de te östebottiska lage ude te på vaada följade daga? (2 6 6!) 2.2 Uval dä odigsföljde beaktas E geealiseig av ovaämda poblem ä följade: På hu måga sätt ka vi äka upp elemet utvalda blad? Betecka detta atal med p(, ). Det fösta elemetet i uppäkige ka väljas på sätt och då detta ä valt de öviga 1 på p( 1, 1) sätt. E tillämpig av multiplikatiospicipe ige ge vid hade att p(, ) = p( 1, 1) med advillkoet p(s, 1) = s fö alla s. Rekusioe ha lösige (2.2) p(, ) = ( 1) ( + 2)( + 1) =! ( )!. Iblad ä vi itesseade av uppäkiga av elemet som ka uppepas, s. k. dagig med åteläggig. Exempel. Jag köpe vaje dag e mogotidig. Atag att jag ka välja mella fya olika tidiga. Ude e abetsvecka (mådag - fedag) ka jag skaffa mig 4 4 4 4 4 = 4 5 4
olika uppsättiga tidiga. Atalet uppäkiga av k elemet utvalda blad så att uppepiga ä tillåta ä givetvis k. 2.3 Uval uta avseede på odigsföljde Att välja ut elemet blad uta avseede på odigsföljde betyde helt ekelt att specificea e -elemetig delmägd av e mägd med elemet. Betecka atalet av sådaa kombiatioe av u (se kapitel 1) med c(, ) elle. Eftesom totala atalet odade uppäkiga av elemet utvalda blad ä ( 1) ( + 1) få vi!!c(, ) =! = ( )! dvs. (2.3) =!!( )!. Exempel. Tale f(, k) = c( + k 1, 1), jf. kapitel 1. Teoem 2.1. Om vi ifö kovetioe c(, 0) = 1 fö alla, så gälle =, 0. Teoem 2.2. Låt vaa ett positivt ( heltal. ) Om vi utveckla uttycket (1 + x) efte potese av x så ha x koefficiete. Teoem 2.3. = 1 + 1 1, 1 1. 0 Tale, 0, = 0, 1, 2, 3,... (dä vi tilldela vädet 1) buka ogaiseas i ett tiagulät schema, Pascals tiagel (Blaise Pascal (1625-1662)). Tale kallas 0 valige biomialkoefficiete pga. följade faktum. 5
Teoem 2.4. (Biomialteoemet) Fö godtyckliga eella tal a och b gälle > 0 : (a + b) = =0 a b. Biomialkoefficietea geeeade fuktio (se kapitel 1) ä (1 + x). Nästa esultat följe omedelbat av biomialteoemet. Teoem 2.5. > 0 : (1 x) = =0 ( 1) x. I aalyse visas att följade gälle fö små x och godtyckligt m (1 + x) m = (2.4) 1 + mx + m(m 1) x 2 +... + 2 m(m 1) (m + 1) x +....! Då m ä ett positivt heltal ä seie ädlig, me om m ä ett egativt heltal elle ickeheltaligt få vi e (fö små x koveget) oädlig seie. Speciellt ha vi Teoem 2.6. Fö positiva heltal gälle (1 x) = + 1 x. =0 Detta esultat visades i kapitel 1 dä vi kostateade att geeeade fuktio fö f(, ) ä (1 x) f(, ) ä ju atalet lösiga i ickeegativa heltal till x 1 + x 2 +... + x =. Det ä samtidigt atalet sätt att da elemet u med åteläggig. Låt ämlige x 1 vaa atalet gåge vi da elemet 1, x 2 atalet gåge vi da elemet 2 osv. Totalatalet elemet som vi da ä. 6
Kombiatoik ht. 2011 Vi ka sammafatta de kombiatoiska esultate i kapitel 2 som följe Atalet sätt att välja k elemet blad -uta åteläggig me med häsy till odigsföljde:! ( k)! -uta åteläggig och uta häsy till odigsföljde: k -med åteläggig och med häsy till odigsföljde: k -med åteläggig me uta häsy till odigsföljde: + k 1 k 7
Kombiatoik ht. 2011 3 Tilldeligspoblem 3.1 Pabildig och patitioeig iom e mägd Atag att vi ha e mägd med 2 elemet. På hu måga olika sätt ka vi dela upp de i pa? Till skillad få situatioe i ästa avsitt betaktas alla elemet i mägde som idetiska. Om vi exempelvis skall dela i e klass på 20 eleve i pa uta begäsiga följe vi teoi i detta avsitt me om det skall ske så att pae bestå av e gosse och e flicka behövs teoi i avsitt 3.2. Atalet pa i e mägd med 2 elemet visa sig vaa (3.1) (2)! 2!. Teoem 3.1. Låt mägde S bestå av m elemet. Då ka vi södedela mägde S i stycke m-elemetiga delmägde på olika sätt. (m)! (m!)! Exempel. E telefofösäljigsfima födela 20 kude på sia 5 fösäljae så att va och e få 4 kude på si lott. På hu måga olika sätt ka det göas? ( 20! (4!) 5 ) I paktike fis det dock e hel mägd estiktioe som komplicea pabildig och patitioeig. I exemplet ova vet ma kaske att vissa kude ite ka betjäas av fösäljae A meda ada kude speciellt öska betjäig av fösäljae C elle D. Om e klass skall delas upp i pa fö ett visst guppabete vet kaske läae att elevea A och B absolut ite ka paas ihop elle att C måste jobba med atige D, E elle F. Exempel. I figue eda epesetea de sex puktea pesoea A - F. E lije mella två pukte (pesoe) age att de ka samabeta. Fis det ågot sätt att bilda te pa med beaktade av samabetsmöstet? (Nej) Ett diagam av dea typ kallas e gaf. E gaf bestå alltså av pukte, ode elle hö, sammabuda av lije, läka, kate. Dessa ka också vaa iktade. I så fall 8
tala ma om e iktad gaf. Vi komme i kuse att baa stöta på sådaa gafe dä vaje pa av ode sammabids av högst 1 läk. E gaf dä det fis läka mella vaje pa av ode kallas fullstädig. I exemplet ova skulle fullstädighet iebäa att samtliga pesoe ka samabeta. Osake till det egativa svaet i exemplet stå att söka i biste på läka. Atalet läka som utgå få e od kallas odes gad. I e fullstädig gaf med ode ä samtliga av gade 1. Teoem 3.2. Atag att e gaf ha 2 ode. Om alla odea ä av gad så ka de idelas i pa ( pefect matchig ). Bevis: (Iduktio öve ) 1 pa ka alltid bildas eftesom det fis åtmistoe 1 läk. Atag u att < pa bildats. Vi måste visa att vi ka bilda + 1 pa. Om det fis e läk mella ågot pa av de 2( ) ode som äu ite paats ihop välje detta pa som våt pa + 1. Om det ite fis ågot sådat pa ä vi tvuga att justea blad de hittills utvalda pae. Låt a och b vaa godtyckligt valda ode blad dem som vi äu ite paat ihop. Vi skall visa att det fis ett pa u och v blad de pae sådat att det gå e läk mella u och a och e mella b och v. Vi esätte då paet (u, v) med (u, a) och lägge till paet (b, v) till lista på pa. Atalet fua pa ä u + 1. Ä detta möjligt? Atag att det ite ä det. Få a (b) utgå mist läka, av vilka ige till ågo av de opaade odea. Betakta ett pa (x, y) blad de utvalda pae. Av de möjliga läkaa xa, xb, ya, yb mella x och y å ea sida och a och b å de ada ka högst två fias i gafe. Totalatalet läka till a och b bli då högst 2 av vilket det följe att åtmistoe de ea ha gad <, e motsägelse. Am. Villkoet i teoemet ä tilläckligt me ite ödvädigt! (Vafö?) 3.2 Tilldelig mella två mägde. Giftemålspoblemet I detta avsitt behadlas tilldeligspoblem mella två olika mägde. Vi ka t. ex. täka på e mägd P av abetssökade pesoe och e mägd J av jobb och fåga ä på hu måga sätt de abetssökade ka tilldelas va sitt jobb. Speciellt itessat bli poblemet om t. ex. kvalifikatioea fö jobbe ä olika. (Gudfåga då ä om det fis ågot sätt övehuvudtaget.) E matematiskt ekvivalet poblemställig ä uppgifte att tilldela e mägd G gossa va si flicka u mägde F att gifta sig med. Exempel. Fem jobb ä tillgägliga. Sju sökade A - G ha sökt platsea. Fö jobb 1 ä A, B, C och G kvalificeade; sätt S 1 = {A, B, C, G}. S 2 = {D, E} betyde att D och E ä kvalificeade fö jobb 2. Vidae ha vi S 3 = {D}, S 4 = {E} och S 5 = {A, E, F, G}. Ka platsea besättas? (Nej!) Vi ka matematisea fåga: Givet S i, i = 1, 2,... 5, fis det e mägd beståede av sisemella olika epesetate få S 1 - S 5 (ett s. k. tväsitt av S i, i = 1, 2,... 5)? 9
Uppebalige ite eftesom uioe av de ada, tedje och fjäde mägde bestå av baa 2 elemet. Allmät se vi alltså att det existea ett tväsitt av mägdea S i, 1, 2,... om och edast om (3.2) uioe av vilka k av mägdea som helst iehålle mist k elemet, k = 1, 2,.... Det visa sig att detta villko ä både ödvädigt och tilläckligt. Teoem 3.3. (Philip Halls teoem) Det existea ett tväsitt av mägdea A 1,A 2,... A om och edast om det fö vaje k, 1 k, vaje uio av k av de mägdea A i, 1 i, iehålle mist k elemet. Koollaium. (Tilldeligsteoemet) Tilldeligspoblemet ha lösig om och edast om det fö alla täkbaa uppsättiga av k abete alltid fis sammalagt mist k st. kvalificeade sökade. Koollaium. (Giftemålsteoemet) Givet e mägd mä och e mägd kvio och det atages att va och e av de mäe gö upp e lista på de kvio ha ä villig att gifta sig med. Då ka vaje ma gifta sig med e kvia på has lista om och edast om ( ) fö vaje val av k listo, 1 k, iehålle uioe av dessa mist k kvio. Bevis. Villkoet ä givetvis ödvädigt så vi kocetea oss på tilläcklighete, dvs. om villkoet ä uppfyllt så ka vaje ma hitta e lämplig kvia att gifta sig med. Bevis ä ett iduktio öve. Fö = 1 ä sake kla eftesom alla listoa ä icke-tomma eligt våt atagade. Vi utgå alltså ifå att < av mäe lyckats hitta e kvia att gifta sig med och vi vill visa att det gå att hitta ett + 1-sta pa. Om det fis e ledig ma som på si lista ha ågo av de lediga damea så bilda ha och ho paet + 1. Om däemot alla lediga mäs listo baa iehålle am på eda eseveade kvio ä vi tvuga att byta upp ågot elle åga av de tidigae bildade pae. Välj e ledig ma a 0. Has lista ä ite tom [( ) med k = 1] så det fis e kvia b 1 på has lista. Ho ä emelletid upptage av e ma som vi kalla a 1. a 0 :s och a 1 :s listo uppta åtmistoe e aa kvia b 2 [( ) med k = 2]. Om b 2 ä ledig, staa vi pocesse dä. Aas kostatea vi att ho ä upptage av a 2. Me a 0, a 1, a 2 ha mella sig ämt mist e dam till, a 3... Pocesse fotsätte tills vi hitta e ledig dam b s. Detta ske seast då vi komme till a. a 0, a 1,...a k ha på sia listo ämt mist 10
+ 1 dame av vilka baa ä upptaga. - Vi kostatea att kostuktioe diekt ge följade: b i fis på mist e lista hos e hee a j dä j < i. b s, de i pocesse ova sista valda dame, ä ledig. Ho fis på a t :s lista dä t < s och vi paa ihop dessa två. b t bli däigeom ledig! Ho ka paas ihop med e hee a j, j < t. Pocedue fotsätte tills e av de dame som blivit fia fis på a 0 :s lista. 3.3 Tillämpig på latiska kvadate och tueiga E latisk kvadat ä e kvadatisk matis dä (1) vaje ad iehålle tale 1, 2, 3,... pecis e gåg, (2) vaje kolo iehålle tale 1, 2, 3,... pecis e gåg. E latisk ektagel ä e matis med ade och koloe, dä, och (1) vaje ad iehålle tale 1, 2, 3,... pecis e gåg, (2) ige kolo iehålle ågot tal me ä e gåg. Vi tillämpa teoi i föegåede avsitt på latiska ektagla: Teoem 3.4. Om < ka vaje latisk ektagel utvidgas till e ( +1) latisk ektagel. [Odet utvidgig aväds fö att idikea att iga ade i de gamla ektagel behöve ädas.] Nästa tillämpig gälle tueiga. Vi täke oss att vi ha lag som och alla lag spela exakt e match mot va och e av motstådalage. Det ä ( alltså ) fåga om e s. k. ekel seie elle oud-obi touamet. Atalet matche ä. 2 Atag vidae att eglea ä sådaa att det utses e viae i vaje match. Viae få 1 poäg och föloae 0. Lages totalpoäg odas i stoleksodig med bästa laget föst i e scoe sequece, ug. esultatföljd, fö tueige. Exempel. (2, 2, 1, 0) ä ige såda eftesom summa ä 5. Däemot ka ma lätt kostuea e tueig med följde (2, 2, 2, 0). (5, 4, 4, 1, 1, 0) duge ite eftesom de te bottelage utkämpa te matche sisemella. De bode alltså ha komma upp till mist te poäg tillsammas. Vi måste ha åtmistoe följade elatioe uppfyllda (3.3) a k = k=1 11, 2
(3.4), 2 : k= +1 a k. 2 Itessat og ä dessa ekla ödvädiga villko också tilläckliga. Teoem 3.5. (Ladau) De ickeegativa heltale a 1 a 2... a 1 a ä e scoe sequece, dvs. uppstå som esultatet av e ekel seie fö lag, om och edast om villkoe (3.3) och (3.4) ä uppfyllda. Ladaus teoem bevisas med hjälp av e geealisead vesio av Giftemålsteoemet: Teoem 3.6. (Haemsteoemet) Låt w 1,... w vaa ickeegativa heltal och atag att va och e av mäe M 1,... M gö upp e lista på kvio ha ka täka sig att gifta sig med. Då ka vaje ma M i gifta sig med w i kvio på has lista om och edast om det fö vaje delmägd {i 1,... i } av 1,... gälle att uioe av listoa som mäe M i1,... M i skivit iehålle mist w i1 +... w i am. 3.4 Om optimala tilldeliga I avsitt 3.2 udesöktes existese av tilldeliga som uppfylle vissa absoluta kav. Hä mildas villkoe ågot: blad måga me elle mide goda tilldeliga fösöke vi välja ut de bästa. Atag att vi ha fya jobb som skall tilldelas fya abetssökade. Dessas lämplighet fö ett visst jobb uttycks med ett talväde, poäg. Uppgifte ä u att födela jobbe så att de sammalagda lämplighetspoäge bli så sto som möjligt. Kalla jobbe a, b, c och d och de sökade A, B, C, D. Det visa sig bekvämast att äka med kvatitativa uttyck fö sökades bist på lämplighet, olämplighetspoäg. Låt dessa ges av följade tabell A B C D a 5 7 15 12. b 8 3 9 10 c 4 14 2 5 d 6 3 1 14 Om exempelvis A tilldelas jobb a, B jobb b, C jobb c och D jobb d så bli olämplighetspoäge 24, vilket atuligtvis ite ä miimalt. [Om C och D byte jobb bli poäge geast läge.] 12