NUMOPEN Om kvadratur. Exempel. NUMOPEN VT11 Förel JOp p 1(9) ν c. 10 tentor, Trapetsmetod poäng

Transkript

1 Jp p 9 UMPE --7 m vdrtur tentor, rpetsmetod poäng Del p Del 5p / /5 ALLSÅ ör % v tiden ägns trpetsmetoden? - ormler - el - Etrpoltion mtls untioner QUAD, QUADL, QUADGK - Generliserde integrler singulritet oändligt intervll - Multipelintegrler Att unn: ormel, el; Etrpoltion, Simpsons ormel; svnspning Eempel ormlördelning med medelvärde m oc vrins σ: m σ, σ e σ π Boltzmnns strålningslg: ν de ν dν ν c e Geometri Kurvlängd, yt, volym L t e & y& z& dt t, y t, z t Bézierurv, URB

2 Jp p 9 Härledning Integrllylens undmentlsts: d,.., /, ;,,,, etc Dierenspproimtion, centrl,,,, Summer! Men enelsidig dierenspproimtion -, oc så år vi: rpetsregeln med steg, Eng. trpezoidl rule. el m är ontinuerligt deriverr i [,] så: K d m är mång gånger ontinuerligt deriverr i [,] så gäller Euler-McLurins summtionsormel! 7 B d B är Bernoulli-tlen, B /, B /6, B /, B 6 /, B 8 / Serien är i llmänet inte onvergent när ntlet termer ör; men ör givet ntl termer lir resttermen mindre med.

3 Jp p 9 Etrpoltion till : Ricrdson-etrpoltion q q S I q c q I c I Simpsons ormel: 6 S Prov på. -, q. / / / S / - / / / / -/6 / dvs. et. örlring ges te v Euler-McLurins ormel r -eltermen inns!? Du?

4 Jp p 9 Eempel mnuell räning sinπ I d s: /. Gränsvärdet är π /..5 /..578 / /.5/../.578./.785 / /.5/ /.785/.88.98/.855 Etrpoltion di di/ di di/ ogg.ordning 6 Pessimistis eluppsttning v.85.5/5 QUADL med tolerns - ger.85975

5 Jp p 59 Generliserd integrl Integrel singulritet π d / Integrel singulritet i åd intervllgränsern: δ Cδ En sustitutions sin t eliminerr singulriteten. Prov utn med trpetsregeln oc QUADGK. rpetsregeln Evluerr i ändpuntern där lir oändlig, så vi tr δ π d δ oc år med δ - n 7.7e.9e I sälv veret eövs lltså tt / δ << ör tt det s li litet el. Det duger inte.. QUADGK p lrr det glnt. Sägs unn integrer änd-singulriteter log oc, p > / oc -/ ungerr: > qudg@unc,-,:.578 med 5 -evlueringr ändligt intervll Sustitution n yt oändligt intervll mot ändligt intervll med integrel singulritet; Rätt sustitution n trnsormer till ändligt intervll utn singulritet. Generellt: svnspning A d d S A, S A d A där A väls så tt svns-integrlen n örsumms eller tillräcligt nog eräns pproimtivt. Antg tt elet s li < tol. Då ser vi till tt svnsen lir < / tol oc spr A / tol ör numeris eräning v d Alltså s vi ör, säg A >, inn ett så litet A som möligt som ger SA < tol/. Eempel Påittt ör tent-tl d d I d. Vi år S A < sin A sin A så vi väler A.ör tol -6 lir A c. tol A orts.

6 Jp p 69 Listigre är örstås tt lägg till uppsttningen. Då lir elet r sin E A d, d d E A < 8 7 A sin A sin A 7A så nu räcer det med A 7, ungeär ör tol -6 - en väsentlig minsning! tol

7 Jp p 79 Eempel Vilen noggrnnetsordning r mtls QUAD? I elp står recursive dptive Simpson qudrture. ntyder ordning. I oden står: % ree point Simpson's rule. Q /6* *c ; % ive point doule Simpson's rule. Q /* *d *c *e ; % ne step o Romerg etrpoltion. Q Q Q - Q/5; dvs. en etrpoltion v -ormler, så elet ör li 6. QUAD nvänder inte onstnt steglängd, så vi ränr ur mång punter n integrnden evluers i. Då lir -/n. Vi provr på sin d / cos8 oc visr solutel, tolerns, oc n i ett log-log digrm. Det ör li ungeär smm steg i el intervllet oc det lir det. Liner med lutning,, 6 oc 8 rits in som ämörelse. m el K p så logel log K p log så tt smndet melln el oc steglängd linr en rät line i ett loglog-digrm Det ser ut som tt: el-urvn r lutning 6 men tolerns-urvn lutr c. 5.

8 Jp p 89 Guss-vdrtur De ndr mtl-vdrturuntionern ygger på Guss-vdrtur. QUADL reommenders ör snäll integrnder: recursive dptive Lotto qudrture. QUADGK Guss-Kronrod my e most eicient or oscilltory integrnds nd ny smoot integrnd t ig ccurcies. It supports ininite intervls nd cn ndle moderte singulrities t te endpoints. It lso supports contour integrtion long piecewise liner pts. Vi r ovn nvänt evidistnt punter tt evluer integrnden i. m mn år väl puntern ritt n ormeln li mycet noggrnnre. En Guss-vdrtur-ormel G deiniers v sissorn,,, oc vitern w, n G w ξ, R d G Vi r är prmetrr till örognde oc det visr sig, tt mn n estämm sissor oc viter så tt elet R örsvinner när är polynom v grdtl -. rpetsregeln är et ör örstgrdspolynom, Simpsons regel ör tredegrdspolynom, en li oig Guss-ormel lrr emtegrdspolynom. Mn n vis, tt vitern lir positiv, vilet grnterr måttlig tillvät v vrundningsel sissorn är noll-ställen till Legendre-polynomet v grdtl - oc sissorn ligger i det inre v [-,] sissorn är ocså egenvärden till en tri-digonl mtris som inneåller oeicientern till den reursionsormel som Legendre-polynomen stisierr, n n Pn Pn Pn, P, P n n ** igur: Legendre-polynom v ordning 8. ör en tre-puntsormel ** är lltså,,. Vitern w oc w 5 5 v symmetrisäl lir w w - estäms så tt ormeln lir et ör polynom v grdtl,,,, : : w. w: ; : w. /5 w /; Ger w 5/9,w 8/9.

9 Jp p 99 Vi provr om den n integrer ett ärdegrdspolynom et: / 5 / 5 8/ 9 5/ 9 d K. c ll udd-grdspolynom lrs ll integrler lir så ormeln är et ör emtegrdspolynom, - 6-5, K! Eempel Ritigt men rångligre än tent-tl I e d dyer upp i Boltzmnns strålningslg. Mn n vis med onturintegrtion - π se urs i omple vriler - tt I. 9 ämnren lir ör, men tälren ger lim, så vi eöver r p svnsen. e S A d A A A d d < e d e A e e A A A e A A 6A 6 < 6A e A e där vi prtil-integrert tre gånger vilet gv polynomet i A. u återstår tt inn det minst A så tt A A e < tol / oc det gör mn nog enlst genom tt prov någr A;