2. Beskrivning och analys av dynamiska system

Transkript

1 . Dyamka yem. Bekrvg och aaly av dyamka yem. Dyamka modeller dkouerlg form För yem med måga galer och måga ugaler MIMO-yem blr de bevärlg a arbea med överförgfukoer mella varje ugal och gal. Ma ökar e kompakare och mer överkådlg modellform. E åda modellform är e llådmodell. E llådmodell bygger på begreppe llådvarabler och aväder formalm hämad frå de ljära algebra marer och vekorer. För övrg är begreppe llådvarabler e aurlg begrepp. Tllådvarablera är.k. eva orheer, om bekrver llåde ho e yem. Tllådvarablera är ofa me e alld aurlga procevarabler åom ryck, emperaur, kocerao, ec. Reglerekk II Tllådmeoder 493

2 . Tdkouerlga dyamka modeller.. Grudläggade begrepp och defoer Aag a e yem llåd vd dpuke fullädg ka bekrva med e ädlg uppäg orheer x, x,, x. Dea orheer kalla yeme llådvarabler. För a möjlggöra e kompak yembekrvg amla llådvarablera e llådvekor x x x x [ ] x x x Vdare har v ormal e aal galer u, u,, um, om ka amla e galvekor u u u um [ ] u u um. Bekrvg och aaly av dyamka yem T T

3 .. Begrepp och defoer Yerlgare har v e aal ugaler y, y,, yp, om ka amla e ugalvekor y y T y y y yp yp För e dkouerlg dyamk yem ka ambade mella dea varabler krva om e yem av föra ordge dfferealekvaoer d x d x f x, u, x x y h x, u... Tdkouerlga dyamka modeller 3

4 .. Begrepp och defoer Med ledg av.. ka llådvarablera defera på följade ä: E yem llåd vd dpuke ge av de ma aale orheer x, x,, x, om llamma med galera ll yeme för är ödvädga för a bekrva yeme beeede för alla. Tllådvarablera och yeme llåd får på dea ä e revlg fykalk olkg: Tllåde för e yem repreeerar de ma möjlga formao om yeme förhora om är ödvädg för a föruäga yeme framda beeede.. Tdkouerlga dyamka modeller 4

5 .. Begrepp och defoer 4Exempel. E ljär dvara yem med e gal och e ugal. V kall dea exempel llurera ekvvalee mella yembekrvgar med överförgfukoer och llådvarabler. Beraka e yem med överförgfukoe Y k G.. 3 U a a a3 eller 3 a a a3 Y ku..3 om geom ver Laplaceraformerg ger dfferealekvaoe y ay ay ay ku..4 med begyelellåde. 3 Vd llådvarabelrepreeao aväder ma dfferealekvaoer av föra ordge dervaor av högre ordg får e gå.. Tdkouerlga dyamka modeller 5

6 .. Begrepp och defoer V deferar därför,.ex. x y, x y, x 3 y..5 om a..4 ger x a x a x a x ku Ekvaoera..5 och..6 ger då ekvaoyeme x ax ax a3x3 ku, x x x x x 3 x x3 y x 3..7 om är av de allmäa forme... Med marer och vekorer ka dea krva. Tdkouerlga dyamka modeller 6

7 .. Begrepp och defoer eller mera kompak x a a a3 x k x x x u, x x3 x3 x3 x y [ ] x x3 där mare A kalla yemmare. x Ax bu, x T y c x..8 V ka koaera, och de gäller allmä, a e överförgfuko av :e ordge movarar dfferealekvaoer av föra ordge. Syeme bekrv m.a.o. av ycke llådvarabler. Yerlgare bör beoa a v gjorde e godycklg val vd defoe av llådvarablera. Allmä gäller a llådvarablera e är uka! 3. Tdkouerlga dyamka modeller 7

8 . Tdkouerlga dyamka modeller.. Uppällg av modeller Procemodeller form av llådmodeller ka härleda ugåede frå balaekvaoer och llämplga kouva relaoer. Exempel på balaekvaoer är maere- och eergbalaer, meda de kouva relaoera är uryck för raporlagar, reakokek, o.dyl. V llurerar modellergprcpe med följade exempel. 4Exempel. Modellerg av e kemk reakor. I e fullädg åerbladad kemk reakor ker vd koa emperaur de kemka reakoera A B h A B r k c k mol/l h B D r k c k..9 V, c, c, c f Af Bf Df cd Reakor har e kouerlg llflöde V f och e kouerlg uflöde V ehållade kompoeera A, B och D upplöa väka, å a dera koceraoer är A c, c B rep. c D. Koceraoera är relav låga, vlke ebär a v ka aa koa väkedee. c c A B V V, ca, cb, cd. Bekrvg och aaly av dyamka yem 8

9 .. Uppällg av modeller V ka uppälla de oala maerebalae där deeera förkora bor d V V V f d.. am de parella maerebalaera d VcA Vc f Af Vc A V r d d VcB V fcbf Vc B V rv r.. d d VcD Vc f Df Vc D V r d Uvecklg av dervaora elg prcpe d Vc A d A d V c c V A.. d d d am elmerg av d V /d med.. och komberg med..7 ger. Tdkouerlga dyamka modeller 9

10 .. Uppällg av modeller d ca V V f caf ca V kca d d cb V V c c V k c V k c d d cd V V f cdf cd V kcb d f Bf B A B..3 Med defoera x c A, x cb, x3 cd och u c Af, u c B f, u3 c D f, u4 V f är dea ekvaoer uder aagade av koa reakorvolym,.ex. pga reglerg av forme x f x, x, x3, u, u, u3, u4 eller kompakare x f x, u..4 om är av de allmäa forme... Dea är e yem av oljära föra ordge dfferealekvaoer. För a kua uyja de ljära algebra aaly- och degmeoder behöver v dock ljära DE:r. 3. Tdkouerlga dyamka modeller

11 . Tdkouerlga dyamka modeller..3 Ljärerg av yem av DE:r Såom ova framgck, blr e llådmodell härledd frå fykalka och kemka lagar ofa oljär. V kall här va hur e åda ka ljärera. Beraka de oljära llådmodelle dm x, dm u m, dm y p x f x, u..5 y h x, u V ka ljärera de geom Taylorereuvecklg krg e aoärllåd xu, geom a ebar beaka ermer upp ll föra ordge dervaor ereuvecklge. För de :e llådvarabel ger ambade x f x, u då f, f, x x u x u f xu, x x u u x..6 x x u x x u u u u där paraldervaora m.a.p. vekorera x och u blr radvekorer e.ex. TG: formelamlg å a. Bekrvg och aaly av dyamka yem

12 ..3 Ljärerg av yem av DE:r f xu, f xu, f xu, f xu, f xu, f xu, x x x, u u u Om x, u x, u är e aoärllåd, där x f, Om v vdare för beeckgara..7, gäller elg..6 xu..8 δ x x x, δ u u u..9 och oberverar a x δ x får v δ f x, u f, x δ x u δ u x x x x u x x u u u u.. För y gäller vd aoärllåde xu, a y hxu., För y j få, då δ y y y, δ hj x, u hj, y j δ x u x δ u x u x x x x u u u u... Tdkouerlga dyamka modeller

13 ..3 Ljärerg av yem av DE:r Då varje llåd x och ugal där y j beaka, ka.. och.. ammaälla ll δ x Aδx Bδu δy Cδx Dδu f x, u / x, f, / fx u x u x x x x u u f x, u/ x x x u u A h x, u / x, h, / hx u x u x x x x u u hp x, u / x x x u u C,, f x, u/ u.., f, / fx u x u u u x x u u f x, u / u x x u u B h x, u/ u, h, / hx u x u u u x x u u hp x, u / u x x u u D där A har dmeoe, B dmeoe m, C dmeoe p och D dmeoe p m. Ofa är D...3. Tdkouerlga dyamka modeller 3

14 ..3 Ljärerg av yem av DE:r Övg.. Ljärera de kemka reakor, om bekrv av ekv...3, krg de forfarghellåd om ge av c Af mol l, cbf cdf mol l, V 3 3 3m h, V, 5 m. Skrv de ljärerade modelle på llådform.. Tdkouerlga dyamka modeller 4

15 . Tdkouerlga dyamka modeller..4 Expermeell modellerg geom procedeferg Ova härledde på eorek väg e oljär modell för e kemk reakor om äve ljärerade geom Taylorereuvecklg krg e gve drfllåd. V ka koaera a modellbygge ugåede frå ebar eoreka fykalk-kemka ambad om regel är rä bevärlg modelle blr ofa komplcerad och får lä e åda form.ex. oljär a de e är drek lämplg för regulaordeg Om procee exerar dv f drf och om de ökade modelle kall aväda för regulaordeg, är de ofa lämplgare a beämma modelle expermeell geom procedeferg. Experme aväd äve för a ea eoreka modeller beämma dålg käda paramerar. Bekrvg och aaly av dyamka yem 5

16 ..4 Procedeferg För beämg av e dyamk modell räcker e daa för e eller flera aoärllåd kräv daa om bekrver raea förlopp Dea ebär a procee måe öra eller excera. Iblad ka aurlga örgar procee vara llräcklg. Normal måe dock avklga örgar föra. Ofa aväda excaoer är eg olka yper av puler,.ex. mpuler De f e or mägd olka ekker för modellbeämg ugåede frå de expermeella reulae. I grudkure har ekla grafka meoder behadla. Vd mer krävade modellerg aväd umerka opmergmeoder för apag av e modell ll expermeella daa.. Tdkouerlga dyamka modeller 6

17 ..4 Procedeferg Alla prakka yem är mer eller mdre oljära, me v vll ofa ädå ha e ljär modell.ex. för regulaordeg. Ma bör då räva ll a excera procee alla rkgar dv både uppå och edå krg e öka drfllåd för a på å ä erhålla lämplga medelvärde för de oljära procee paramerar e ljär modell om väl bekrver procee vd drfpuke fråga. Tdkoaer ka.ex. beämma om medelvärde av dkoaera vd e egförädrg uppå och edå e fg. För proceparamerar om krafg påverkar de uppåelga reglerkvalee,.ex. dödder, ka de vara förufg a välja e mera ogyam värde för a på å ä e äveyra äkerhemargaler vd regulaordeg.. Tdkouerlga dyamka modeller 7

18 ..4 Procedeferg Vd avädg av umerka opmergmeoder för modellbeämg behöver ma e begräa g ll ekla eg och puler om excerggaler. Ma ka älle aväda galer om bäre excerar procee raea egekaper bekrver procee ypka beeede vd reglerg. E åda galyp är.k. PRBS-galer Peudo Radom Bary Sequece, om har de egekape a gale värde växlar mella vå olka värde å a övergåge mella dem prcp ker lumpmäg.. Tdkouerlga dyamka modeller 8

19 ..4 Procedeferg Modelle De bör krafg beoa a de kappa f ågo om MODELLEN för e yem.... Tdkouerlga dyamka modeller 9

20 ..4 Procedeferg. Tdkouerlga dyamka modeller

21 . Dyamka yem. Ljära dkouerlga llådmodeller Tllådform E ljär, dvara, dkouerlg och kaual yem ka allmä bekrva med llådmodelle x Ax Bu.. y Cx Du där A R, x R, m B R, m u R, y R p C R, p D R x kalla yeme llådvekor, A kalla yemmar; blad kalla B galmar och C ugalmar. p m E yem krve på llådform ka ex förkora A, B, C, D. Procereglerg 385

22 . Ljära llådmodeller.. Frå llådmodell ll överförgmar Laplaceraformerg av e modell på llådform Vdare ger.. x Ax Bu X x AX BU.. y Cx Du Y CX DU..3 I A X x BU X I A x BU om a..3 ger Y C I A x C I A BU DU Om begyelellåde x få där Y C I A B D U G U. Bekrvg och aaly av dyamka yem..4 G C I A B D..5 är yeme överförgmar, dv e mar av överförgfukoer.

23 . Ljära llådmodeller.. Syrbarhe och oberverbarhe Är A, B, C, D och G alld ekvvalea? 4Exempel: x x x x u x x x x u x y x u y [ ] u x Här har v e llådekvao av adra ordge med e gal och e ugal. Överförgfukoe blr G [ ] [ ] I [ ] [ ] dv G ro a yeme är av adra ordge! Förklarg: Två poler har förkora bor mo vå ollälle. 3. Bekrvg och aaly av dyamka yem 3

24 .. Syrbarhe och oberverbarhe Syrbarhe E llåd x är yrbar om de f e yrgal u om på ädlg d överför llådvekor ll orgo, dv ll x. E yem är yrbar om alla llåd är yrbara. Oberverbarhe E llåd x y,. är cke-oberverbar om, då x x och u,, ugale E yem är oberverbar om de akar cke-oberverbara llåd.. Ljära dkouerlga llådmodeller 4

25 .. Syrbarhe och oberverbarhe Kalma uppdelga E ljär yem S på llådform ka uppdela fyra delyem E delyem S co om är yrbar corollable och oberverbar E delyem S cu om är yrbar me cke-oberverbar uobervable E delyem S uo om är cke-yrbar ucorollable me oberverbar E delyem S uu om är cke-yrbar och cke-oberverbar Mmal realao E llådbekrvg om är både yrbar och oberverbar äg vara e mmal realao av yeme. Ekvvale mella G och A, B, C, D Överförgmare G, om ju ager ambade mella Y och U, ugör e fullädg bekrvg av e yem om och eda om yeme är åväl yrbar om oberverbar dv yembekrvge är e mmal realao.. Ljära dkouerlga llådmodeller 5

26 .. Syrbarhe och oberverbarhe Te av yrbarhe Syeme A, B är yrbar om och eda om yrbarhemare har full rag, dv Γ c c rag Γ. [ ] B AB A B A B..6 Te av oberverbarhe Syeme A, C är oberverbar om och eda om oberverbarhemare CA C Γ o CA CA har full rag, dv rag Γ. o Övg.. Uderök yrbarhee och oberverbarhee för yeme exemple av Ljära dkouerlga llådmodeller 6

27 . Ljära llådmodeller..3 Ljära varabelraformaoer Ljär varabelraformao av llådvekor V har llådmodelle E eydg varabelraformao ger dv x Ax Bu y Cx Du z Tx, x T z z Tx TAx TBu z TAT y CT z Du z TBu Tllådbekrvge A -, B - och C-marer förädra ålede av varabelraformaoe å a A, B, C, D TAT, TB, CT, D..... Bekrvg och aaly av dyamka yem 7

28 ..3 Ljära raformaoer Påverka G av e ljär varabelraformao? För de oraformerade yeme A, B, C, D är överförgfukoe G C I A B D.. För de raformerade yembekrvge TAT, TB, CT, D eller G CT I TAT TB D..3 G CT T I A T TB D CT T I A T TB D C I A B D Hel aurlg förädra överförgmare e eferom y och u e förädra. få..4. Ljära dkouerlga llådmodeller 8

29 ..3 Ljära raformaoer Påverka yemmare egevärde av e ljär raformao? Egevärdea λ,,,, för yemmare A ge av lögara ll ekvaoe de λ I A..5 För de raformerade yemmare Amärkg Ofa aväd forme de A λi de λi TAT för beräkg av A: egevärde. Formulerge är hel ekvvale med..5, om aväd dea kur. de de TT TAT få [ ] T λi A T de T de λi A de T de T de T de λi A de λi A de λi A de I de λi A De raformerade yemmare har ålede amma egevärde om de oraformerade yemmare...6. Ljära dkouerlga llådmodeller 9

30 ..3 Ljära raformaoer. Ljära dkouerlga llådmodeller 3 Laboraore för Propra yem med e gal och e ugal Överförgfukoe för e :e ordge proper yem med e gal och e ugal SISO-yem ka krva d a a a a b b b b U Y G..7 Dagoalform modal kaok form Om de karakerka ekvaoe röer dv ämare ollälle är reella och dka dv olka ora ka G med hjälp av paralbråkuppdelg krva d k k k k U Y G λ λ λ λ..8 där k,,,, är koaer om bör beämma å a paralbråkuppdelge gäller. Ifall ämare ll G ekv..7 fakorera beäm k bekväm elg lm G k λ λ..9

31 ..3 Ljära raformaoer. Ljära dkouerlga llådmodeller 3 Laboraore för Defera.ex. U k X λ.. vlke a..8 ger d U X X X X Y.. Iver Laplaceraformerg av.. och.. ger u k x x λ,,, du x x x x y eller T du y u x c b Λx x.. där λ λ λ Λ, k k k b, c..3

32 ..3 Ljära raformaoer Ma ka äve härleda dagoalforme drek frå e aa llådform A, B, C, D. Om λ är e egevärde och movarade väeregevekor ll mare A å gäller där T T T T λ I A eller λ A,,, ΛT TA..4 T T T T, λ λ Λ..5 Om T är vererbar, vlke alld gäller om egevärdea är reella och dka am va adra fall få de dagoala yemmare Λ elg Λ TAT..6 vlke movarar varabelraformaoe z Tx, x T z..9 om ger dagoalforme aalog med dgare ljära varabelraformao. λ. Ljära dkouerlga llådmodeller 3

33 ..3 Ljära raformaoer Syrbar kaok form E yem bekrve med överförgfukoe G Y U b a b a b a b a d..7 ka drek krva på e llådform om kalla yrbar kaok form eferom galmare B får pecell ekel form: a a a a x x u [ ] y b b b b x du..8. Ljära dkouerlga llådmodeller 33

34 ..3 Ljära raformaoer. Ljära dkouerlga llådmodeller 34 Laboraore för Oberverbar kaok form E yem bekrve med överförgfukoe d a a a a b b b b U Y G..9 ka drek krva på e llådform om kalla oberverbar kaok form eferom ugalmare C får pecell ekel form: [ ] d u y u b b b b a a a a x x x..3

35 . Ljära llådmodeller..4 Sable, poler och ollälle Lög av llådekvaoe Ekvaoe x Ax Bu..3 har löge x e A x e A Aτ e Bu τ dτ..3 vlke ka va geom derverg av..3 och äg..3. V oerar a T T λ A..33 där λ är e egevärde och T Eferom expoealfukoe kovergerar e A. Bekrvg och aaly av dyamka yem 35 movarade väeregevekor ll mare A. A e ka beräka elg ereuvecklge fall de I! A! A 3! A

36 ..4 Sable, poler och ollälle få geom mulplkao av A e frå väer med T T A T 3 3 e I A A A!! 3! T T T T 3 3 A A A!! 3! T T T T 3 λ λ A λ A!! 3! T T T T 3 λ λ λ A!! 3! T T T 3 T 3 λ λ λ!! 3! T 3 3 T λ λ λ e!! 3! λ..35. Ljära dkouerlga llådmodeller 36

37 ..4 Sable, poler och ollälle Mulplkao av löge T x frå väer med T ger därför λ eller med defoe z x z Med defoera T λ λ τ T x e x e e Bu τ dτ..36 λ T,,,, λ λ e τ e z e Bu τ dτ,,, T T T T ka dea krva kompakare om,. Ljära dkouerlga llådmodeller 37 T..37 λ Λ λ, z Tx..38 λ Λ Λ Λτ z e z e e TBu τ dτ..39

38 ..4 Sable, poler och ollälle Sable Om λ har pov realdel och z eller egrale / för yeme ova kommer z a dvergera, dv yeme är abl. Av dea följer a egevärdea λ,,,, avgör ablee för yeme. V får då följade ablekrerum: E dkouerlg yem var yemmar A har egevärdea λ,,,, är abl om och eda om amlga egevärde har egav realdel, dv om Re λ <,,,..4. Ljära dkouerlga llådmodeller 38

39 ..4 Sable, poler och ollälle Poler Med polera ll e yem mea egevärdea λ,,,, ll yemmare A e mmal llådrealao av yeme dv e llådbekrvg av mmal ordg om är både yrbar och oberverbar. De är av ree a kua beräka yeme poler drek frå e bekrvg med överförgfukoer ua a gå va e mmal realao. Beräkg av poler för e kalär överförgfuko SISO-yem Överförgfukoe för e SISO-yem, dv e yem med e gal och e ugal, ka geom fakorerg krva på forme G Här är m m bm bm b b b m a a a a p,,, z p z p, yeme poler. För reella poler gäller a T där T är e dkoa för yeme. z p. Ljära dkouerlga llådmodeller 39 m..4 p /,,,..4

40 ..4 Sable, poler och ollälle Beräkg av poler för e överförgmar MIMO-yem För MIMO-yem, dv yem med flera galer och ugaler, är de rä bevärlg a beräka polera frå G. V behöver följade defoer: Uderdeerma: E uderdeerma ll e mar A är deermae av e kvadrak udermar ll A erhålle geom rykg av e eller flera rader och/eller koloer. E maxmal uderdeerma är e deerma av e udermar av maxmal orlek. 3 har de 9 uderdeermaera,, 3, 4, 5 och 6 am , 6 3, 3, vlka alla är maxmala uderdeermaer Exempel: Mare 4 5. Ljära dkouerlga llådmodeller 4

41 ..4 Sable, poler och ollälle Polpolyom: Polpolyome G är de ma gemeamma ämare MGN ll alla uderdeermaer av G, kluve deermae av G om G är kvadrak. Exempel: Syeme am deermae de p för e MIMO-yem med överförgmare 3 G har uderdeermaera 3 G. Polpolyome ma gemeamma ämare är ålede p., 3, Sa Poler: Syeme G poler är polpolyome p ollälle. 3 Exempel: Syeme G, med polpolyome p polera dubbelpol och., har. Ljära dkouerlga llådmodeller 4

42 ..4 Sable, poler och ollälle. Ljära dkouerlga llådmodeller 4 Laboraore för Nollälle Beräkg av ollälle för e kalär överförgfuko SISO-yem E yem med e gal och e ugal om har överförgfukoe m m m m m m p p p z z z b a a a a b b b b G..43 har ollällea z, m,,. För reella ollälle gäller a de är lka med egava vere av yeme äljardkoaer.

43 ..4 Sable, poler och ollälle Beräkg av ollälle för e överförgmar MIMO-yem Beräkg av ollälle för e överförgmar G är äu bevärlgare ä beräkg av de poler. V behöver följade defo: Nollällepolyom: Nollällepolyome för G är öra gemeamma delare dv fakor SGD ll äljara för de maxmala uderdeermaera ll G, ormerade å a de har polpolyome p om ämare. Am. För e kvadrak yem G, dv e yem med lka måga galer om de G de maxmala deermae. ugaler, är Sa Nollälle: Syeme G ollälle är ollällepolyome ollälle. Exempel: 3 G har maxmala deermae de G ämare är lka med polpolyome p och därmed reda är ormerad. Syeme ollälle är då äljare ollälle., där. Ljära dkouerlga llådmodeller 43

44 . Ljära llådmodeller..5 Realerg Realerg är a beämma e llådbekrvg ugåede frå e yembekrvg baerad på e överförgmar, dv a ugåede frå Y G U..44 beämma x Ax Bu..45 y Cx Du Dea är e vårare problem ä a beämma G frå e llådbekrvg. E mmal realao är e realao med läga möjlga ordgal. Dea beyder a de är både yrbar och oberverbar. Ma eferrävar mmala realaoer, eferom llådbekrvge aar får godycklga cke-yrbara och cke-oberverbara llåd, om e movera av G. E realao om e ödvädgv är mmal är läare a beämma ä e mmal realao. Eferom äve e cke-mmal realao har korrek gal-ugalambad, ka e åda ro all vara accepabel.ex. för umerka beräkgar.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 44

45 ..5 Realerg. Ljära dkouerlga llådmodeller 45 Laboraore för E ekel realergmeod E realao om e ödvädgv är mmal ka härleda på följade ä. För yeme U U U G G G G G G G G G Y Y Y m pm p p m m p..46 ka varje överförgfuko G j realera.ex. om yrbar eller oberverbar kaok form T u d y u j j j j j j j j j j x c b x A x..47 där ugale y ge av m j j y y..48

46 ..5 Realerg. Ljära dkouerlga llådmodeller 46 Laboraore för Sammalagg av alla m p delyem ger realaoe u B B B x x x A A A x x x p p p p, u D x x x c c c y p p T T T..49 där m x x x, u m u u, y p y y..5 m A A A, m b b B, [ ] T T T m c c c, pm p m d d d d D

47 ..5 Realerg 4Exempel Beraka yeme G Elg de bekrva realergprocedure få med oberverbar kaok form x y x x u x y x x u vlke ger realaoe A, B, C, D med 3 A, x y B, x [ ] x. Ljära dkouerlga llådmodeller 47 3 u x y x x C, D u dv e yem av feme ordge. Är realaoe mmal? 3

48 ..5 Realerg E mmal realao Glber algorm I de följade bekrv e meod, Glber algorm, för beämg av e mmal realao för e yem G med ekla poler. Dea ebär a varje ekld överförgfuko G j bör ha ekla poler dv e flera lka ora poler. Exempel: G 4 3 G ekla poler mulpla poler Deuom kräv a grävärde lm G är ädlg e mar med ädlga eleme. Lå λ,,, k, beecka alla olka poler om går överförgmare eklda överförgfukoer. I exemple ll väer ekla poler är polera λ, λ och 3 λ. 3. Ljära dkouerlga llådmodeller 48

49 ..5 Realerg Överförgmare G ka då krva där K G lm λ G, λ k K D λ lm G Lå r vara rage av K. Mare K har då r ycke ljär oberoede koloer. Blda e mar C av dea koloer am beäm mare B, B, C, D λir λ I T. Ljära dkouerlga llådmodeller 49 D T C C C K..53 E mmal realao Λ på dagoalform ge då av där λi Λ r k r k I är e ehemar av orleke r mulplcee, B B B r r B k, C [ C C ]..54 C k, vlke ebär a egevärde λ har r,,, k. r. Syeme ordgal är umma av alla..5..5

50 ..5 Realerg 4Exempel Beraka yeme G V har λ och λ, vlke ger K K am lm G lm G lm lm D lm G lm lm. Ljära dkouerlga llådmodeller 5

51 ..5 Realerg Här har v r rag K rag K r vlke ger I I K C, B T T C C C K I C, B C C C K [ ] [ ] Λ, T T B B B, C [ C C ] Realaoe ordg är r r dv e 5 om de cke-mmala realaoe, e heller, om ma kude ro på bae av de akuella överförgmare G. 3 Övg.. Va a realaoe exemple ova ger de ökade gal-ugalambade am a de är mmal,.ex. geom a uderöka yeme yrbarhe och oberverbarhe.. Ljära dkouerlga llådmodeller 5 3

52 ..5 Realerg Approxmaoer De går a beämma mmala realaoer äve för yem med mulpla poler, me förfarade är bevärlg och kommer e a behadla dea kur. Re allmä ka ma uyja formao om yeme poler för a beämma e mmal realao. Om överförgfukoera G ehåller mulpla poler ka ma älle approxmera dea med ärlggade poler. Eveuell bör då ockå äljarkoae ädra fall ma vll bbehålla yeme förärkgar oförädrade. Exempel: G 4 3 4, Ljära dkouerlga llådmodeller 5 G mulpla poler approxmao med ekla poler Dea approxmao är gvev e bäa möjlga, me de har de fördele a de e roducerar ya poler vlke kulle höja yeme ordg. Om överförgfukoera ehåller dödder bör dea approxmera med raoella uryck. Av flera äkbara approxmaoer väljer ma me fördel e om e oöda höjer oala aale olka poler.

53 . Dyamka yem.3 Samplade yem Vad är e ampla yem? u kouerlga fuko- I e dkouerlg yem är alla varabler x, er de de mege a de är deferade för alla. y och I e ddkre yem är galera käda eda vd dkrea dpuker,,. E ampla yem är e yem där e eller flera dkouerlga galer mä vd dkrea dpuker,, ampel ckprov. E ampla yem är ålede e ddkre bekrvg av e dkouerlg yem. Valgv är eller aa galer vara yckv koaa över., amplgervalle [ Procereglerg

54 .3 Samplade yem Varför amplg? Nuförde är å go om alla regleryem mplemeerade dgal e daor. E regleralgorm e daor arbear ekveell med ädlg måga mädaa. De avläer mädaa vd dkrea dpuker och beräkar yrgaler vd dkrea dpuker baerade på dea mädaa. Nackdelar med amplade reglerg I prcp är de vårare a reglera e yem med e amplade regulaor ä med e dkouerlg, eferom e amplade regulaor bara förfogar över e delmägd av de galer om e kouerlg regulaor ka aväda. Samplade regulaorer ka ålede prcp e ge bäre reglerg ä klae av dkouerlga regulaorer. Om amplgervalle är låg, ka beydade aker ke mella amplgögoblcke vlke regulaor e får formao om. Iable åerkopplade yem beror på a ma lar för mycke på för gammal formao. Samplade regulaorer aväder formao om ka vara upp ll e amplgervall gammal.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 54

55 .3 Samplade yem Fördelar med amplade reglerg Daormplemeerg är eklare och bllgare ä aalog mplemeerg. Ma har ga prcpella begrägar på karakäre av reglermekamera komplexa och ofkerade reglerlagar ka ekel mplemeera e program. Oljäreer och vllkor av olka lag.ex. varabelbegrägar ka beaka eklare ä vd dkouerlg reglerg. Syem om ehåller dfördröjgar dödder ka eklare behadla med amplad reglerg ä med dkouerlg reglerg. Vd dfördröjgar y effeke av galer e gea ugalera. För a vea de kommade effeke bör regulaor ma vlka galer om påverka yeme; dea är eklare vd amplad reglerg, där galera är koaa över amplgervalle, ä vd dkouerlg reglerg, där galera varerar godycklg och e ka regrera för alla.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 55

56 .3 Samplade yem Två ypka uaoer för amplg De f vå ypka uaoer då ma vll bekrva e dkouerlg yem med hjälp av e ddkre yem: V har ugåede frå e dkouerlg yembekrvg dega e dkouerlg regulaor, om v vll mplemeera e daor med hjälp av e ddkre regleralgorm. De dkouerlga regulaor bör ålede ampla. V har e dkouerlg bekrvg av e yem, om v för amplar dkreerar för a därefer aväda ddkre degeor för a drek beämma e ddkre regulaor. V kommer a behadla båda falle, dock mera gåede de ddkrea degprobleme.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 56

57 .3 Samplade yem.3. Ljära dvaraa modeller Samplg av e dkouerlg yem Tllådmodelle x Ax Bu.3. y Cx Du har elg dgare löge Eferom k A A e x e A x e I ka dea äve krva För rep. k få då e A k k Aτ u e A τ Bu τ dτ.3. e A x x e Bu τ dτ. Bekrvg och aaly av dyamka yem 57 Aτ.3.3 x x e B τ dτ och e k x x e Bu τ dτ k k A Aτ k

58 .3. Ljära dvaraa modeller Subrako av ekvaoe ll höger frå de ll väer ger Defoe h Om τ < h, få där k A A Aτ k k u k k x e x e k e B τ dτ.3.4 k och bye av egraovarabel kalla dock forfarade τ ger u är koa u k h k Ah k Aτ k x e x e Bu τ dτ.3.5 över amplgervalle [ k x k Fx k Gu k F, dv u u k, k k τ,.3.6 Ah e, h G e d A B Samplade yem 58

59 .3. Ljära dvaraa modeller Om varje amplgervall har lägde h, gäller Aag a u är ko. u k k kh, k,,,.,,,, över varje amplgervall [ Då gäller.3.6 för godycklga helal k, och v ka krva x k h Fx kh Gu kh,,,, k, k k. k.3.8 eller korare, med uderförå amplgervall eller de ormerad å a h, x k Fx k Gu k.3.9 k k k y Cx Numerk beräka marera F och G ekla elg F I AS, G SB.3. där h S e A d I! Ah 3!.3 Samplade yem 59 A Du h 4! A 3 h 3 h.3. Mare F, dv yemmare för e ddkre yem, kalla valge övergågmare.

60 .3. Ljära dvaraa modeller 4Exempel Sampla de ljära kouerlga llådmodelle x,x u y x med amplgervalle h dehe. V får S e, d,, 6, 4,,95658 och F I AS,,95658, 948, G SB,95658, 933 dv x k,948x k,933u k y k x k Fgure dgare var ugale för dea yem med de fgure gva egv varerade gale; heldrage gal ko. modell, puker amplad modell. 3.3 Samplade yem 6

61 .3. Ljära dvaraa modeller Frå ampla yem ll dkouerlg yem Beraka de ddkrea yeme V öker de dkouerlga yembekrvge x k Fx k Gu k.3. x Ax Bu.3. om vd amplg med de koaa amplgervalle h ger de ddkrea yembekrvge. Probleme är prcp ekel a löa. V löer för A ur och därefer B ur A h e F.3.3 h A B S G e d G Samplade yem 6

62 .3. Ljära dvaraa modeller Föruom de re maemaka/umerka probleme a beämma A f vå äkbara komplkaoer: A h e F ka aka lög A h e F ka ha flera lögar 4Exempel på ge lög De ddkrea yeme x k x k u k y k x k har ge kouerlg movarghe med ordgale eferom e lög för a. ah akar reell 3.3 Samplade yem 6

63 .3. Ljära dvaraa modeller 4Exempel på flera lögar De amplade yeme de harmoka ocllaor co αh αh co h k k α x x u k αh co αh αh med amplgervalle h ger e kouerlg yembekrvg med där β A, B β β π β α k h k,, ±, ±, vlke ekel ka verfera geom amplg av de kouerlga yeme. De f ålede oädlg måga kouerlga yem om dea fall ger e och amma amplade yem. 3.3 Samplade yem 63

64 .3 Samplade yem.3. Igal-ugalambad Pulöverförgoperaor H q I aalog med överförgoperaormare G p för e kouerlg yembekrvg, där p d/d är dervergoperaor å a y Gp u, ka v äve för e ddkre yembekrvg härleda e överförgoperaor H q kallad pulöverförgoperaor. Defera förkjugoperaor äve kallad kfoperaor q elg q f f h q f k f k.3.5 f k beeckar de k :e amplge av gale f där ålede e gal e amplg framå de.. Operaor q förkjuer För yeme x k Fx k Gu k, y k Cx k Du k, få då dv q x k x k Fx k Gu k qix k x k qi F CqI F G D u k y k Cx k Du k Gu k y k Hq u k där H q CqI F G D.3.6. Bekrvg och aaly av dyamka yem 64

65 .3. Igal-ugalambad.3 Samplade yem 65 Laboraore för Dffereekvaoer Varje eleme q H mare q H är pulöverförgoperaor för ambade mella e gve ugal k y och e gve gal k u. Dea eleme är raoella uryck q och ka allmä krva q q q A B H där a a a A b b b b B q q q q q q q q.3.7 Eferom q k u H k y få q q q q q q q q k u b b b b k y a a a k u B k y A.3.8 om vd upprepad avädg av defoe på q ger dffereekvaoe k u b k b u k u b k y a k y a k y eller k u b k b u k u b k y a k y a k y.3.9

66 .3. Igal-ugalambad Frå dffereekvao ll llådform Prec om för kouerlga yembekrvgar är de för ddkrea bekrvgar möjlg a beämma e llådmodell ugåede frå e gal-ugalambad, dea fall e dffereekvao. 4Exempel Överför yeme y k,8y k,5y k u k på llådform. Syeme ordg beäm av aale dförkjugar av ugale och är lka med gradale för polyome q. I dea fall är yeme av adra ordge. A V krver yeme om y k,8y k,5y k u k och väljer.ex. llådvarablera x k y k och x k y k, vlke ger x k x, x k y k,8x k,5x k u, y k x k k k eller marform k x k u k,5,8 x, y k [ ] k x 3.3 Samplade yem 66

67 .3. Igal-ugalambad Pulöverförgfukoe H z Aalog med Laplaceraforme för dkouerlga yembekrvgar ka ma för ddkrea bekrvgar aväda e.k. Z-raform, om för e ddkre gal f k defera där z är e komplex varabel. k.3 Samplade yem 67 k F z f k z.3. Med hjälp av Z-raforme ka gal-ugalambade för e ddkre MIMOyem krva Y z H z U z.3. där Y z och U z är Z-raformera av ugale y k rep. gale u k och H z är yeme pulöverförgmar pulöverförgfuko. Pulöverförgfukoe ka erhålla frå e llådbekrvg för yeme elg H z C zi F G D.3.

68 .3. Igal-ugalambad H z eller mare z Av ovaåede följer a pulöverförgfukoe H ekla erhålle geom a eräa operaor q pulöverförgoperaor H q eller mare H q med de komplexa varabel z. Obervera aalog med överförgfukoe kouerlga yem. Bakåkfoperaor q G och överförgoperaor p G för Operaor q förkjuer e gal e amplg framå de. Aalog ka v defera e förkjugoperaor q om verkar bakå de elg Allmä gäller där är e godycklg helal. q q f k f k.3.3 f k f k Samplade yem 68

69 .3. Igal-ugalambad Övg.3. Beäm Z-raforme pulöverförgfuko för yeme k x k u k,5,8 x, y k [ ] k x..3 Samplade yem 69

70 .3 Samplade yem.3.3 Val av amplgervall Vad påverkar vale av amplgervall? De amplade yembekrvge x k Fx k Gu k.3. ger de exaka löge ll de kouerlga yeme x Ax Bu.3. amplgdpukera kh, k,,, fall galera är koaa varje ekl kh, k h. amplgervall [ Spelar de då ågo roll hur v väljer amplgervalle uder föruäg a krave på koaa galer alld ka uppfylla? Svar: Ja! För a de amplade yeme kall ge rä bld av de kouerlga yeme egekaper kräv a ge väelg her ke yeme mella amplgpukera. Samplgervalle bör ålede vara llräcklg le, me hur le?. Bekrvg och aaly av dyamka yem 7

71 .3.3 Val av amplgervall E avvägg av olka apeker om borde beaka vd vale av amplgervall e regleryem begrper de öppa dv oreglerade yeme egekaper de lua dv reglerade yeme ökade egekaper meoder för deg av amplade regulaorer mäoggrahe I prcp vll ma ampla å älla om möjlg eferom e oödg le amplgervall ka ge problem med daormplemeerg, lage på älldo am ev. umerka problem pga or daamägd med reduda formao. Krave a uppå ökade reglerpreada.ex. form av ablemargaler kräver dock a ma amplar llräcklg ofa dv llräcklg abb. Dea mordga krav kräver kompromer och kvalava avväggar. Två mäekka fakorer, om har beydele för vale av amplgervall och om ka aalyera mera kokre, är de.k. alaeffeke och behove av mävärdeflrerg..3 Samplade yem 7

72 .3.3 Val av amplgervall Alaeffeke E problem vd amplg är a höga frekveer ka uppräda form av falka lägre frekveer. I lluraoe ll höger har ma geom amplg mellera fgure få fram e aolk beeede edera fgure om e all exerar övera fgure. Omvä ka ma geom amplg med de aväda amplgervalle e klja på frekveera övera och edera fgure amplgreulae blr båda falle de de mellera fgure..3 Samplade yem 7

73 .3.3 Val av amplgervall Vad göra å alaeffeke? Orake ll alaeffeke är a v amplar för lågam förhållade ll e releva frekve de amplade gale. V bör ålede ampla abbare. Me hur abb? Några defoer Samplgfrekvee f / h [Hz], där h är amplgervalle [ek] Samplgvkelfrekvee ω π / [rad/ek] Nyqufrekvee ω ω / π / [rad/ek] Samplgeoreme N h h E kouerlg gal om e ehåller ågo frekve högre ä Nyqufrekvee ω ka exak rekoruera frå amplade daa. N Omvä gäller a ge frekve om är högre ä Nyqufrekvee ω N ka efer, ω. amplg klja frå e lägre frekve ervalle [ ] N.3 Samplade yem 73

74 .3.3 Val av amplgervall Vale av amplgervall Av amplgeoreme följer a formao om frekveer om är högre ä Nyqufrekvee går förlorad vd amplge. Ma bör därför välja amplgervalle å, a frekveer högre ä Nyqufrekvee ω π / h är oreaa, dv me bru. Om ma är reerad av frekveer upp ll frekvee ω, ω, bör amplgervalle h då välja å, a ervalle [ ] max N ω max, dv av frekveer h π / ω max.3.5 Märk a vale av amplgervall ugåede frå amplgeoreme är movera av formao-/mäekka fakorer. De ka fa adra fakorer,.ex. krav på reglerpreada, om gör a ma väljer e amplgervall h < π / ωmax. Då gäller a ω N > ωmax, dv dea frekveer är e deka..3 Samplade yem 74

75 .3.3 Val av amplgervall Flrerg Oberoede av elg vlka krerer ma val amplgervalle h gäller a ma e ka få llförllg formao om frekveer högre ä Nyqufrekvee ω π / h. Om frekveer högre ä Nyqufrekvee förekommer e amplad gal är dea ebar ll kada, eferom de pga av alaeffeke kommer a olka om lägre frekveer. Mäbru bdrar ypk med ådaa frekveer, me de ka ockå vara fråga om mera regelbuda yemegekaper med frekveer ω > ωn, om ma av ågo aledg e vll beaka. Pga alaeffeke bör ådaa frekveer elmera eller dämpa geom flrerg före amplge dv mäge. Därför kall gale före amplge flrera med e lågpafler om elmerar frekveer ω > ωn π / h. E dylk föramplgfler kalla äve aalafler. N.3 Samplade yem 75

76 .3.3 Val av amplgervall Aalaflre Aalaflre uppgf är ålede a elmera högre frekveer ä Nyqufrekvee ω N. Dea ka åadkomma med e lågpafler med e badbredd ω B ågo örre ä ω N. Badbredde ω är de frekve där flre förärkgförhållade är /. B T E föra ordge yem G är e ekel aalog lågpafler. Krave ova ebär a ma bör välja de dkoa T <,3h, där h är amplgervalle för de eferföljade amplge av de flrerade gale. Ideal borde lågpaflre läppa geom alla frekveer upp ll Nyqufrekvee. Dea är dock e möjlg prakke, ua ma måe öja g med e approxmao. E karpare eparerg av frekveer om flrera och e flrera ka dock få med e fler av högre ordg,.ex. G. T De f ockå mer avacerade fler åom Beelfler, Buerworhfler, Chebyjevfler, ITAE-fler..3 Samplade yem 76

77 .3.3 Val av amplgervall Obervera a aalaflre kall flrera e gal a de ampla. Om ma aväder e dgal aalafler bör gale dv flre gal ledgv ampla med hög frekve å a flre approxmav beer g om e aalog fler. Därefer ampla de flrerade gale på y med e amplgervall om beäm elg de ormala krerera ova. E dgal lågpafler av föra ordge har forme x k a x k ay k.3.6 där x k är flrera värde, y k är mävärde och a är e flerkoa åda a e mdre värde, ger krafgare flrerg. ervalle ].3 Samplade yem 77

78 .3.3 Val av amplgervall Följade vå exempel är aga ur Åröm och Wemark Exempel. Alafeomee..3 Samplade yem 78

79 .3.3 Val av amplgervall.3 Samplade yem 79 3

80 .3.3 Val av amplgervall 4Exempel. Förflrerg..3 Samplade yem 8

81 .3.3 Val av amplgervall 3.3 Samplade yem 8

82 .3 Samplade yem.3.4 Sable, poler och ollälle Egevärde Om de dkouerlga yeme x Ax Bu har egevärdea λ och väeregevekorera,,,, gäller T T A λ,,,.3.7 För de amplade yembekrvge x k Fx k Gu k med amplgervalle h gäller Ah 3 3 F e I Ah A h A h.3.8!! 3! Mulplkao frå väer med T ger åom dgare för expoealfukoe T T A h T h e λ F e.3.9 Av dea följer: Om λ är e egevärde ll yemmare A för e dkouerlg yem å är e λh e egevärde ll övergågmare F för movarade amplade yem med amplgervalle h.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 8

83 .3.4 Sable, poler och ollälle Sable E dkouerlg yem är abl om och eda om yemmare A amlga egevärde λ,,,, har egav realdel, dv om λ μ jω, μ <,,,.3.3 Om de dkouerlga yeme är abl måe ockå movarade amplade yem vara abl eferom galera ammafaller amplgpukera. λ För de amplade yeme egevärde h e,,,, gäller e λ h e μ h jω h e λ h μ h e μ h e jω h h co ω j ω.3 Samplade yem 83 e μ h Om μ < är e <, dv e <. Av dea följer: μ h h h h μ h.3.3 e co ω ω e.3.3 λ h De amplade yeme är abl om abolubeloppe av amlga egevärde ll övergågmare F är mdre ä, dv om e λ h <,,,, vlke är ekvvale med a alla egevärde lgger aför ehecrkel de komplexa alplae.

84 .3.4 Sable, poler och ollälle Poler De kouerlga yeme poler är, om yeme är yrbar och oberverbar, lka med A -mare egevärde. Om äve de amplade yeme är yrbar och oberverbar är F -mare egevärde lka med de amplade yeme poler. Uder aagade om yrbarhe och oberverbarhe gäller då: Om de kouerlga yeme poler är λ,,,, å är e λ h,,,, movarade amplade yem poler då amplgervalle är h. V ka koaera a om h, å gäller a e λ h λ dv allmä e h λ /..3 Samplade yem 84

85 .3.4 Sable, poler och ollälle Sambad mella de kouerlga och de amplade yeme poler De reckade område ager lämplg polplacerg för e reglera yem..3 Samplade yem 85

86 .3.4 Sable, poler och ollälle Nollälle De är vår a bekrva ambade mella de dkouerlga och de amplade yeme ollälle. Specell ka oera a De amplade yeme ka ha både fler och färre ollälle ä de dkouerlga. De amplade yeme ka vara cke-mmumfa äve om de dkouerlga är mmumfa och vce vera. De amplade yeme pulöverförgfuko H ka dock aalyera på lkade ä om de kouerlga yeme överförgfuko G för a beämma yeme ollälle. Specell gäller för e yem med e gal och e ugal a ollällea ge av B z B z då z z H.3.33 A z.3 Samplade yem 86

87 .3 Samplade yem.3.5 Syrbarhe och oberverbarhe Syrbarhe Syrbarhe ebär åväl för amplade om kouerlga yem a llåde oll ka yra ll e godycklg llåd på ädlg d. Vd yrg av e ampla yem förfogar ma bara över e delmägd av de galer om ka aväda e dkouerlg yem, ämlge yckv koaa galer. Dea medför a: E ampla yem ka vara yrbar eda om de kouerlga yeme är de. Om amplgervalle är lla val ka de amplade yeme vara cke-yrbar äve om de kouerlga yeme är yrbar. Te av yrbarhe E ampla yem är yrbar om och eda om yrbarhemare Γ har full rag dv rage. c [ ] G FG F G F G Bekrvg och aaly av dyamka yem 87

88 .3.5 Syrbarhe och oberverbarhe Oberverbarhe Oberverbarhe defera om a eda llåde oll ka producera e ugalekve om är dek oll då gale är oll. Om adra llåd ka ge ugale oll är yeme cke-oberverbar. För e dkouerlg yem kräv då a y yem räcker a y,,, kh k för alla, meda de för e ampla Av dea följer a e ampla yem ka vara cke-oberverbar y kh, k,, ro a de kouerlga yeme är oberverbar y /. Te av oberverbarhe De amplade yeme är oberverbar om och eda om oberverbarhemare CF C Γo.3.35 CF har full rag dv rage..3 Samplade yem 88