NUMERISK VÄRDERING AV AMERIKANSKA OPTIONER

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "NUMERISK VÄRDERING AV AMERIKANSKA OPTIONER"

Transkript

1 NUMERIK VÄRERING AV AMERIKANKA OTIONER Av Hera eerso poäg

2 Absrak e här är e geogåg av olka exserade uerska eoder för a värdera aerkaska opoer. Arbee ofaar edas aerkaska köp- och sälopoer där de uderlggade llgåge är e ake. Förs sker e kor geogåg av Black och choles odell. eda beskrvs de olka odellera so ag har val. lulge görs e geogåg av de uerska resulae för de olka eodera.

3 Iehållsföreckg INLENING... 4 BLACK AN CHOLE ARTIELLA IFFERENTIALEKVATION... 5 TRÄ MOELLER... 9 COX-RO-RUBINTEIN 979 C-R-R...9 RENLEMAN BARTTER 979 R-B... BREEN ACCELERATE BINOMIAL TIAN 99 TRINOMIAL MOELL... LEIEN-REIMER 996 L-R...4 BINOMIAL MOELL ME LUMMÄIG TI...7 BINOMIAL ME BLACK-CHOLE BB...8 CONTROL VARIATE TEKNIK... 9 HULL-WHITE MOELLEN 988 H-W...9 OTIONRIET OM EN FUNKTION AV UNRE OCH ÖVRE BEGRÄNNINGAR... JOHNON BROAIE-ETEMLE MOELLER VÄRET UTTRYCK OM EN OÄNLIG UMMA... GEKE JOHNON 984 G-J... BUNCH-JOHNON 99 B-J...4 ANALYTIK AROXIMATION... 4 MACMILLAN BARONE-AEI OCH WHALEY 988 B-A O W...6 FINITE IFFERENCE... 8 METHO OF LINE... LINJÄR ROGRAMERING... NUMERIK INTEGRATION OCH INTEGRAL EKVATIONER... ARKINON HUANG-UBRAHMANYAN-YU H--Y JU BUNCH OCH JOHNON...5 AROXIMATION ME OTIONER ME LUMMÄIG LÖTI... 6 CARR IMULERING... 7 LONGTAFF OCH CHWARTZ...7 VALUING AMERICAN UT OTION UING GAUIAN QUARATURE AV ULLIVAN 8 IMLEMENTERING AV METOEN...4 JÄMFÖRELE AV OLIKA METOER REFERENFÖRTECKNING... 49

4 4 NUMERIK VÄRERING AV AMERIKANKA OTIONER Iledg yfe ed de här arbee är a gå geo de olka uerska lösgseoder so fs leraure för prssäg av e aerkask opo. Jag börar korfaa ed a a upp Black och choles - forel och de aagade so görs agåede arkade. I de saahage beskrver ag också de alläa prsgräser so fs för e aerkask opo och är de ka vara lösa a uya opoe före sludage. o adra puk beskrver ag olka uerska lösgsekker för prssäg av e aerkask opo. I puk re beskrver ag ullvas arkel Valug Aerca u Opos Usg Gaussa Quadraure The Revew of Facal udes Vol. No er gåede. Avslugsvs gör ag äförelser ella de olka eodera ed avseede på sabbhe och llförllghe. Tll a böra ed ågra basfaka för koade frasällg. Köpopo: ehavare av e såda äger räghe a köpa e besä aal aker eller aa uderlggade llgåg ll e förubesä prs. Usällare av köpopoe är skyldg a säla akera eller aa uderlggade llgåg ll de förubesäda prse o ehavare av opoe vll uya räe. älopo: ger ehavare räghe a säla e besä aal aker eller aa llgåg ll e förubesä prs och usällare av sälopoe är skyldg a köpa llgåge ll de förubesäda prse o ehavare vll säla. e uderlggade llgåge ka vara vlke fasell llgåg so hels. O opoe är av europesk yp ka ehavare bara uya opoes löserä vd opoes sludag eda e aerkask opo ger ehavare räghe a uya oposräe är so hels uder opoes löpd. e exserar också adra yper av opoer ex sådaa so ger ehavare av opoe rä ll e besä belopp o ake håller sg o e förubesä kurservall uder opoes löpd. I uppsase koer ag a ugå frå a de uderlggade llgåge är e ake. Vad gäller opoer av europesk yp vsade Black och choles 97 a de fs e aalysk lösg ll värdergsproblee. För e aerkask sälopo fs däreo ge aalysk lösg. Värdergsproblee för e aerkask köpopo är beroede av o ake ger udelg eller e uder opoes löpd. O llgåge e ger ågo udelg är de aldrg opal a lösa e aerkask köpopo förd. Vlke ger a värde är desaa so för e europesk köpopo. å ake ger udelg fs vsa fall aalyska lösgar. Me Black-choles odelle exserar e uk värde för opoe fas värde e alld går a urycka e slue forel. Me de fs e aal uerska eoder för a prssäa aerkaska opoer. E aal av dessa koer a beskrvas uppsase. I uppsase aväder ag lkhesecke fas a de är e approxav relao so gäller e ag ror a de fragår av exe är de är e approxav relao respekve då lkhe råder.

5 5 BLACK AN CHOLE ARTIELLA IFFERENTIALEKVATION Jag ar här upp Black och choles odell och dess aagade beskrver är de är opal a uya e aerkask opo före sludage och ger e beskrvg av värde för e aerkask opo so e opergsproble. Aledge ll a ag beskrver Black och choles odell är a de adra uerska eodera bygger hel eller delvs på saa aagade. E av kopoeera vssa uerska eoder är värde för e europesk opo gve av Black och choles forel. Black och choles B- odell bygger på aagadea a akörera på arkade är vsaxerade arkade är frkoslös d.v.s. de exserar ga rasakoskosader ga skaer ge resrko för kora posoer och alla llgågar är delbara. Modelle förusäer också a vare veserare ror ha ka säla och köpa hur åga adelar av e llgåg ha vll ua a dea påverka prse d.v.s. copeve arkad. Vdare görs aagade a ake subscrp är de föler fölade prsprocess e så kallad geoersk/expoeell browsk rörelse GBM d d dw där W är e sadard browsk rörelse. Vdare exserar e oblgao so föler prsprocesse d r d där ge sluper fs ed så oblgaoe föler e deerssk prsprocess. Vad Black-choles vsade var a e opos värde F sasferar fölade parella dffereal ekvao E rf F rf F och löse de ed avseede på radvärdesvllkore för e europesk opo. är värde F är e fuko av akekurse vd dpuke och löpde. ludage T aas vara fx gve av oposkorake eda värdergsdpuke ka varera. å löpde ges av sludage T us värdergsdpuke där T avädes edas värdergsdpuke so daa e uderförså fs e fx sludag för korake so e urycks explc. Värde för opoe koer geogåede a uryckas på dea sä o ge aa ages. Aledge ll a e akekurses dpuk skrvs u är a de överessäer ed värdergsdpuke så subscrp har raoalseras bor. Vlke också är de valga skrvsä de här saahage. e fs ge käd aalysk lösg för e aerkask sälopo ed radvärdesvllkore -5 se Cox-Rubse 985 kap 4 eller Mero 97 E kor poso har veserare då ha har e egav expoerg av llgåg så o llgåges prs går er äar ha på posoe och de o väda o de går upp.

6 6. T T ax K T ;. ax K ;. K ; 4. ; 5. l där K är opoes löseprs värdergsdpuke är akekurse vd dpuke och T är opoes sludag. Någo for av uersk lösgsekk åse begagas för a lösa E:. För de ovasåede fe vlkore har de för akekurse agvs. ea koer e a göras geerell de edasåede exe. För e aerkask köpopo C är suaoe aorluda. O ake e ger ågo udelg uder opoes löpd är de aldrg opal för e veserare so är vsaxerade a uya löseräe före dpuke T. Vlke fragår av fölade proposo age frå Cox-Rubse 985 kap 4-. Värde av e köpopo är aldrg dre ä de sörsa av fölade al a oll b akekurse us löseprse c akekurse us uvärde av löseprse us uvärde av de axala udelgara so sker uder opoes löpd. essuo är värde aldrg sörre ä akekurse C ax K Kr. är är uvärde av de uppskaade axala udelgara uder opoes löpd. roposoe leder fra ll a prse för e aerkask köpopo är desaa so för e europesk köpopo o ake e ger ågo udelg. I de fall då udelge är käd på förhad fs de också aalyska lösgar ll de aerkaska köpopoe se Hull 99 sd Cox-Rubse 985 kap 4- bevsar också är de är opal a lösa e aerkask köpopo. a E köpopo ska aldrg uyas förrä vd opoes sludag eller us a ubealge av e udelge. b O uvärde av de axala udelgara är dre ä de ed avseede på d osvarade uvärde av räa so ka äas på löseprse vd vare dpuk fra ll sludage är de aldrg opal a uya opoe före sludage. E aerkask sälopo är svårare a värdera ä e aerkask köpopo eferso de ka vara opal a uya sälopoe är so hels uder löpde. I prcp åse vd vare ax K korolleras. I kap. 4- vsar Cox-Rubse dpuk vllkore o vlka gräser so sälopoes prs åse hålla sg o för de e ska exsera ölgheer ll arbrage. rse för e sälopo är aldrg dre ä de sörsa av ale

7 7 a oll. b löseprse us akekurse c uvärde av löseprse plus uvärde av de sa udelgara opoes löpd us akekurse Värde är aldrg sörre ä löseprse så fölade olkhe gäller K ax K Kr so bealas u uder är är uvärde av de ala uppskaade udelgara uder opoes löpd. e bevsar också: O de exserar e perod [ ' ] där ' T och uvärde av de sa udelgara so bealas u uder perode vd vare dpuk är sörre ä uvärde av räa so äas på löseprse uder perode då ska sälopoe aldrg uyas ella dpukera och '. ea resula koer a hävsas ll uppsase. Nedasåede oao koer a avädas uppsase. C är värde på e aerkask köpopo; c är värde på e europesk köpopo; är värde på e aerkask sälopo; p är värde på e europesk sälopo; är akekurse; T är opoes sludag; är dpuk för värderge av opoe; är volalee för opoe; r är de rskfra räa; är akekurse vd dpuke. Black och choles prssägsforel för e europesk köpopo är där r T c N d Ke N d d d l / K r / T T d T och N är oralfördelgsfukoe. Värde för de europeska sälopoe ges av sälköp paree p c e r T där räa är uryck so kouerlg räa. Värdergsproblee för e aerkask opo går också a beraka so e opergsproble. Lå vara ubealgsfukoe/processe för e aerkask opo X

8 8 säloposfalle är X K och är ägde av soppder so aar sa värde ervalle [ T ]. å ges värde för de aerkaska opoe av F sup T Q T X T T där Q är argaleåe T exp r s ds och r s är de rskfra räa. e uffe 99 för vlka ekska vllkor so åse vara uppfyllda för a de ska exsera e uk soppd so löser opergsproblee och a har ädlg väevärde uder åe Q. X Ovasåede forulerg av värdergsproblee leder också fra ll a R [ T] går a dela upp vå delägder löseregoe och forsägsregoe. O akekurse är löseregoe ska opoe uyas drek. I aa fall ska de e uyas. roblee är bara a de flesa falle är de väldg svår a besäa dessa regoer. Me för e aerkask sälopo skls dessa regoer å av de opala lösegräse. O ska e sälopoe uyas och o ska de uyas drek. Vdare är e växade kouerlg dffereerbar fuko för e aerkask sälopo. Åerge är problee a de prakke är svår a besäa. Neda koer ag a redovsa ågra av de förslaga approxaoera av. E väselg del av värdergsproblee är a besäa o opoe ska uyas drek eller e. Oberoede av varadra vsade Carr. fl. 99 K 99 och Jacka 99 a e aerkask sälopo går a dela upp vå olka delar dels de osvarade värde av e europesk sälopo och dels pree för ölghee a kua uya opoe a sludage. O akekurse befer sg forsägsregoe för de aerkaska sälopoe ges värde för sälopoe av T rs l s / s p rk e N ds s där r och N är oralfördelge. e ovasåede uppdelge är age frå Carr. fl. 99. roblee ed de här forel är a a e förhad fårhad ve o akekurse befer sg forsägsregoe eller e.

9 9 NUMERIKA METOER Här ar ag korfaa upp e aal arklar so beskrver uersk värderg av aerkaska opoer. Några le er gåede. Vssa av arklara beskrver bara värderg av aerkaska sälopoer eferso de e exserar ågo aalysk lösg för e aerkask sälopo. Jag har gor e egehädg klassfcerg av eodera o klasser. Io vare klass beskrver ag eodera kroologsk ordg. Me uvecklge o vare klass beror delvs på a a har aaa déer frå de adra ekkera. å blad äer ag e arkel vlke koeeras lägre fra exe. Träd Modeller Cox-Ross-Rubse 979 C-R-R Cox-Ross-Rubse odelle ka berakas på vå olka sä. Age so e dskre approxao av B- odell eller so e ege odell av e akes prsprocess och/eller e opos prsprocess. rocessera är dskrea och ella vare dpuk ka processe bara aa e av vå ölga llsåd. O är akes prs vd ka akekurse aa värde u ed saolkhee p och värde d ed saolkhee p vd dpuke. Vllkore u r d där r är räa åse vara uppfyll för a e e rval ölghe ll arbrage ska exsera. E ake ka aa e av fölade prs vd olka dpuker. Td rs d u du u d d d u du u : : : E opo föler e lkade prsprocess. Aag a C är e köpopo vars löseprs är K och a sludage är o e perod allså T. Jag skrver e u de explc här. O veserare är vsaxerade så aar opoes värde vd perodes slu e av de vå värdea C u axu K respekve C d axd K. e är ölg a kosruera e porföl besåede av de uderlggade ake och av rskfra oblgaoer. är är aale aker B är aale oblgaoer. orföles vker åse uppfylla fölade leära syse vd perodes slu. u rb d rb C u C d vlke ger fölade porfölvker

10 Cu Cd och u d ucd dcu B. u d r Vd dpuke ka e C B för o så är falle exserar de e ölghe ll arbrage. ea föler av arbragesraeg säl porföle och köp opoe. e går e a säa lkhesecke ella C och B vd dpuke oll. O B C K går de e a göra e arbragevs geo a säla opoe och köpa porföle eferso de so köper opoe koer a uya de drek. Iehavare erhåller beloppe K o ha säler ake drek och ka köpa porföle B och får dessuo pegar över. Usällare är de so skapar ölghee ll arbrage. Opoes prs vd dpuke oll är därför ax B K. O räa är posv så är K B. efera och r d q : u d C : qcu q Cd B. r O u K så är K och C C K och o K d är C qu q d K r / r r d ur u d / r ud ud K / r K / r K. å u K d är C qu K r och är är C K. Aag a r olkhee går då a skrva o ll fore ur r q K r qu r u d u r d / u d d qd då K d föler a C K så olkhee K B gäller. Uvdgg ll flera peroder sker på aalog sä geo a a ve opoes värde vd de olka llsåde på sludage. essa värde aväder a för a beräka opoes värde vd de olka llsåde vd äsa dpuk räde. ea upprepas lls dess a sardage ås. O ake ger udelg aar C-R-R a föreage föler e udelgspolcy so ger e kosa avkasg. ea edför a e uppgåg föld av e edgåg resulerar saa llsåd räde so vd e edgåg föld av e uppgåg. Uder aagade a föreage sälle delar u e kosa belopp uder opoes löpd ger allähe e e uppgåg föld av e edgåg saa llsåd räde so e edgåg föld av e uppgåg. Aale llsåd ökar vd kosa udelg och resulerar således e er beräkgsesv algor. E oposvärderge går a göra efer saa prcp so ova. Aag a och v är käda på förhad där o ake ger udelg uder perode k k v k aars är v k sa a peroder åersår för opoe. Lå V vara aale udelgar uder de äsa perodera så V uppfyller fölade relao ud

11 V : v k k C är värde för köpopoe för peroder frå värdergsdpuke gve a V akes uvarade prs har ädras ll u d där.... Värde för opoe beräkas seda geo a a besäer oposvärdea vd sludage de olka llsåde så C ax u d V K för.... Och geerell erhålls värde för peroder a sludage av V C ax u d K r pc p C för.... Ma börar vd sludage och arbear sg llbaka ll sardpuke. Alla värde so behövs vd äsa perod får a frå föregåede föruo u d och r. C-R-R delar upp löpde sycke lka låga dsperoder =. och säer u d och r ll d u : u : exp r : r års är akes volale r års är räa uryck på års bass och r är perod räa. O paraerara väls på de här vse erhålls koverges o B- odell de asyposka falle.obs paraerara ka välas på adra sä också för a få koverges o B- odell. Är de försa ere sörre axurycke är de opal a lösa opoe drek. älopoe värderas elg saa prcp e vd sludage blr opoes värde de olka llsåde lka ed ax K u d V för.... Lkade förädrg vd de adra. Redlea Barer 979 R-B Ugefär sadg ed C-R-R ko R-B på saa ekk för a värdera opoer. Me R-B härledde s odell på e aa sä och ag aser a deras härledg är på sä och vs geerellare ä C-R-R:s odell. Fas R-B:s paraeereserg är osädgare. e förusäer också a opoe reda hadlas så a de ka köpa och säla opoe är de dyask ädrar replkergsporföle. C-R-R:s eod går a geeralsera så a de gäller för saa process so R-B odelle. e är också ekel a ädra R-B:s odelle så a de dyaska förädrge porföle görs geo a a hadlar ake sälle för

12 opoe. lusase blr a ag ycker a de är er eller dre saa odell. Jag koer ädå a beskrva R-B:s härledg. R-B aar a ake ädrar sg bara vd dskrea dpuker. Uder perode [ ] ka akes kurs aa e av vå ölga llsåd. å ake värde ökar respekve skar är avkasge respekve. Aalog gäller saa för opoer där opoes värde vd perodes slu är age V o ake går upp och V o de går er. Vad R-B såg gve aagadea o processera var a de går a skapa e rskfr porföl. e har saa värde vd de båda llsåde. Arbrageprssäges ara ger a avkasge för porföle åse vara lka ed de rskfra räa. R-B kosruerar s porföl geo a vesera e kroa ake och köper eheer av opoe ll prse väls så a Vlke ger V V V V och o har opoer usälls. Vd dpuke är porföles värde och porföles värde vd perodes slu ges av e av sdora ekvaoe ova. å porföles avkasg är lka ed de rskfra räa r edför de a r V och V r V r. r är kosade för a ska replkergsporföle vd de olka odera vlke od de är fragår e av fukoe. å e aerkask opo ka uyas vd vare dpuk ges värde för opoe av V ax K för e köpopo och V ax K för e sälopo. eda aväds saa eod so C-R-R odelle. Algore börar vd opoes sludag där värde för opoe är kä för de olka llsåde. eda arbear a sg bakå räde lls sarpuke ås. O aagade görs a de relava prsförädrge för ake är kosa uder opoes löpd föreslår R-B a och väls på fölade sä och exp N N

13 exp N N är r är akes volale och N är aale peroder. Bree Acceleraed Boal 99 Bree aväder sg av saa ekk so Geske - Johso G-J 984 beskrvs eda fas ha lläpar de på C-R-R odelle. Ha aar a ake e ger ågo udelg och a de boala odelle besår av peroder. Bree kosruerar seda e föld av oposvärde. är går edas a uya vd dpuke T har vå lösedagar vd T och T har re lösedagar T T och T och så vdare. eda aväder Bree Rchardsos exrapolao för a approxera värde för e aerkask opo. Rchardsos exrapolao är e ekk för a sabba upp kovergese av e föld o de korreka värde. Exepelvs o edas re värde frå földe aväds fås approxaoe 7. C-R-R:s boal odell kräver a sycke odvärde beräkas eda Acceleraed Boal kräver a edas 4+ värde beräkas. ea värde är age värde för löse vd ode eller de rskeurala väevärde frå föregåede perod. För e opo usälld på e ake ed udelg uder opoes löpd föreslår Bree saa ekk so G-J vd osvarade fall se eda. Ta 99 Troal odell Boyle 986 var de försa so beskrev e opos värdergsodell där de uderlggade llgåge och opoe föler e roal process beskrvs eda. Jag beskrver edas Tas vå odeller. Me de bygger på saa prcp so Boyles odelle. e so skler de å är hur parerara väls för räde. Troal odell: I e såda odell aar akekurse e av re ölga llsåd vd äsa perod o vå boal falle. Opoes löpd delas sycke ervall där vare ervall har lka lägd. Gve... aar akekurse e av fölade re värde äsa perod age upp ll u ella värde eller er ll u d u och d. d. är Modelle har sex sycke paraerar u d p p och p där p är saolkheera för de olka rörelsera räde allså p är saolkhee a äsa rörelse blr uppå räde osv. För a roal processe ska kovergera o B- odelles prsprocess gräsfalle då åse fölade vllkor vara uppfyllda

14 4 p p p p p p p dp M M exp r up u E aa aurlg vllkor är a p ud p d p M V V exp. för a ska aale oder so räde aar frå ll. Vdare föreslår Ta s försa odell också a vllkore Vlke ger a paraerara får fölade for p p p ska vara uppfyll. p p p u K K d K K M V där V K M. 4 I s adra odell föreslår ha a roal processe ska ha saa rede och färde oe so de osvarade kouerlga processe har B- odelle. e vå adra vllkore blr då och u u 4 p p 4 p p d d 4 p p M M V 4 V 6. Jag skrver e er urycke för paraerara de adra falle. För de olka esera av de båda odellera so Ta gör vsar a de adra odelle är dre exak ä de försa. Ta föreslår också s arkel a paraerara boal odell väls så a de dskrea och kouerlga processe B- odell har saa rede oe. Försa och adra oee åse vara lka för a boal processe ska kovergera o de kouerlga. e eda för pareraras explca for. Lese-Reer 996 L-R e udersöker förs kovergese o de korreka värde för re adra boala odeller. Alla bygger på C-R-R eode e förfaara har kosruera räde på olka vs. rse på e europesk köpopo elg C-R-R ges av a; p Kr a; p c

15 5 där a; p p p är boal fördelgsfukoe är aale peroder a exp r r p helalsdele av ale. r d u d r u l K / l d p p a där är lu l d e olka boala odellera skler sg å hur u och odeller. d väls. L-R udersöker fölade C-R-R Jarrow-Rudd Ta u exp u exp d d r v exp u r v v r v exp d r v v r r exp r v exp L-R vsar a de boala odellera oscllerar ru osvarade prs så so fassälls av B- forel är aale peroder ökar. Aledge ll de är a löseprses plas räde är oberoede av rädes useede och a saolkhesassa so är kocererad ll de olka sluodera ädras vd vare ökg av aale peroder. e udersöker ed vlke hasghe de olka odellera kovergerar o B värde. Kovergese sker ed ordg > o de exserar e kosa k > så a k Ν : e och där e : C C. e är fele för boal odelle ed peroder o B- värde C. e bevsar därefer a alla re odellera kovergerar ed ordg. L-R föreslår e eod för a förbära kovergese och beräkgspresada. I sälle för a beräka boal fördelge ed ågo av de reda föreslaga saolkheera föreslår L-R a saolkheera ska approxeras ed hälp av oralfördelge. e aväder sg av e Movre-Laplace sas so grov säger a [ a; p] N h a p där N är oral fördelgsfukoe vars varabel besäs av e usergsfuko h a p där a är aale förflygar uppå räde aale peroder och p är

16 6 argale åe. å gve fxa a och ka h berakas so e fuko av p och då exserar verse h ll h. e exserar e aal föreslaga usergsfukoer L-R udersöker fölade re verser. A Cap-aulso-vers h y x x y x y y x xy 9 9 y y ed x a y a är varabel för oralfördelge. B eer-ra-meod--vers fall: a a a 5 5 5exp h 5 5 5exp 6 C eer-ra-meod--vers fall: a a a h L-R aväder e av ovasåede fukoer h och ar so daa d och d frå B- forel för a besäa p och p. ärefer lläpar de vllkore p r d /u d so åse vara uppfyll för a ge arbrage ska exsera och defoe p u rp för a besäa u och d och får resulae p h d p h d u r p/ p och d r pu p araeer a ka välas ex ae så a löseprse lgger räde. Aväds Cap- aulso:s eod erhålls koverges av ordg e ed kosae ugefär lka ed e. e re boala odellera har kosae fyra. Kovergese för Cap-aulso:s eod sker också ooo sälle för a oscllera so falle är ed boal eodera. 6 e olka eer-ra eodera B och C är sor sä lkvärdga. Tll skllad frå de adra eodera ger sulerg resulae a kovergese ske ed ordg vå. Me deras sas för övre kovergeshasghe säger a eodera kovergerar av ordg.

17 7 Boal odell ed slupässg d I e arkel frå 998 beskrver blad aa Lesse hur a kosruerar e räd där löseprse alld lgger vd e od räde. e leder ll a kovergese o B- värde de europeska falle sker ed ooo koverges. Exrapolaosekk är då fördelakg a aväda. Me kovergese sker forfarade ed oscllao för de aerkaska opoe så ag beskrver e de räde. å ge drek förbärg erhålls förhållade ll de adra räde för de aerkaska opoe. Lesse 999 beskrver e aa räd där dsavsåde ella vå hadelsdagar odelle är slupässg. e är ekvvale ed a de olka perodera har slupässga lägder. eroderas lägd besäs av e osso process. Lå x och vara vå reella földer där x och. Lå vara oberoede expoealfördelade sokasska varabler ed väevärde N och ax. å N är e ossoprocess ed ese och är aale hädelser so har räffa ll och ed dpuk. Lå R vara e föld av oberoede lka fördelade sokasska varabler och vare R är också oberoede av N. R :s fördelg ges av N R x ~ x p p. Lese deferar seda slupds boal odelle RTBM geo N X R och exp X där är prsprocesse för ake. ärefer vsar ha o E R och Var R där och är väevärde respekve varase för de kouerlga processe B- odell så kovergerar o de. Geo de slupässga perodlägdera får odelle e exra rskfakor och odelle blr därför cke fullsädg. För e dskusso o de se Börk 998 sd 5-6. Vlke leder ll a argaleåe e är eydg besä av odelle. Lese föreslår fölade argaleå

18 8 q x där r och är varase för de uderlggade llgåge. O RTBM processe ska kovergera ll osvarade process B- odelle ka e och välas oberoede av varadra. å Lese säer x. x Värde för e aerkask sälopo där de uderlggade llgåge e ger ågo udelg beräkas på fölade vs. Lå vara värde för e aerkask sälopo beräka e peroders boal odell ed paraerara u d r q exp x exp x exp r N där q är so ova. När Lese beräkar byer ha u exp rt. Värde för e aerkask sälopo ges av T r N exp o T q T T e! där är fx. O x så kovergerar ll osvarade värde B- odelle. När Lese pleeerar odelle beräkar ha sua upp ll och ed T där är helalsdele av ale. Ha föreslår också fölade exrapolaosekk för a ska aale erer sua so behövs beräkas för a få e llförllg värde. Aale beräkgar RTBM är av ordg äför ed C-R-R där ordge är av. Me kovergese verkar ske ed ordg vå sälle för ordg e C-R-R odelle. Lese ger ge forell bevs för s påsåede ua hävsar ll sulergar. Boal ed Black-choles BB Broade och eeple 996 beskrev dea eod. e är so C-R-R eode föruo då a arbear sg bakå räde då a byer u forsägsvärde axurycke ll osvarade Black och choles värde dssege före sludpuke. Fördele ed a bya värde ycks vara a a får e sabbare koverges o de korreka värde. ea oscllerar ycke dre ä vad so häder de urspruglga odelle. Vdare föreslår de a a

19 9 aväder BB llsaas ed Rchardsos exrapolao. ea förbärar eodes exakhe och sabbhe vlke fragår av resulae uvärderge. Corol varae ekk Hull-Whe odelle 988 H-W I sabad ed Moe Carlo sulerg av oposprssäg föreslog Boyle 977 dea ekk. Vad H-W vsar är hur ekke ka avädas sabad ed räd-ekke. Corol varae ekke kräver a de fs vå sarlka opoer A och B på de uderlggade llgåge och a saa uerska ekk går a aväda för a värdera båda opoera och a ex B har e llförllg värderg va e aa ekk. ä C B C A C B A B : käda värde för B : eserade värde för A elg de uerska ekke : eserade värde för B elg de uerska ekke : sadard fele för C : sadard fele för C A B B : korrelaoe ella C och E y eserg av A:s värde ges av ˆ A C B C A CB C Vlke har sadardfele C A A B A B so är dre ä o A B. A För aerkaska opoer begagar H-W ekke på e räd av C-R-R yp. B-opoe aas vara e europesk opo och de rkga värde ges av B- forel. aa räd aväds ll a värdera de båda opoera. H-W påsår a fele för prsesergara för vå sarlka opoer har e edes a bl för hög korrelerade. e vsar också a saa ekk går a aväda för a esera de olka dervaora ed avseede på opoes paraerar. Lå vara paraeer fråga. Beräka C och C ed hälp av räde. ä A B C A C B A C A C A

20 desaa för B och där B är e llförllg eserg av B:s dervaa ed avseede på paraeer va exepelvs B- forel. E y eserg av ges av A ˆ A B A B I puke. är de ya eserge har sadardfele A där är sadardfele för C ˆ A A och är korrelaoe ella C ˆ A och Cˆ A. Oposprse so e fuko av udre och övre begräsgar Johso 98 r Ha ugår frå relaoe T p K K p Ke där pk är värde för e europesk sälopo ed löseprse K. rse beror också här på akekurse och löpde e de sabade skrvs e u explc. K är osvarade värde för e aerkaska sälopo. e ssa olkhee häar ha frå Margrabe 978 so säger a e aerkask opo vars löseprs ökar ed de rskfra räa aldrg är opal a uya a sludage så dess r värde blr desaa so e europesk sälopo ed löseprse T Ke. r ärefer urycker Johso K so e väg edel av p K och T p Ke geo K p K p Ke r T fferese K p K ella e aerkask och e europesk opo är e kosa är de uderlggade llgåge eller är värdergsdpuke ädrar sg ädras dfferese också ella opoera. ea ebär a åse vara e fuko av e eller flera varabler. För skag av fukoe aväder sg Johso av regressosekk. aa ll skage av fukoe ar ha frå abellera arkso 979 och Cox-Rubses bok 985. Frå de skaade oposprsea föreslår ha fölade fuko so är e fuko av produke av löpde T och räa r. är r T r T a r T a. l / L l K / L

21 och är de opala lösegräse för opoe för värde uder ska opoe uyas drek. Vlke leder ll a e y fuko åse skaas so sker geo och K T T b T b r där är e fuko av produke av akes volale och löpde T. araerara b a a och b ar Johso fra geo regresso där ha aväder sg av daa frå arkso 979. Forel gäller bara för e ake so e ger ågo udelg. Broade-eeple odeller 996 Broade-eeple aväder sg av saa ekk so Johso 98 e på e ycke er sofskera sä. e kosruerar udre och övre begräsgar för oposprse och urycker seda oposprse so e fuko av gräsera. För e aerkask köpopo där de uderlggade llgåge aas föla prsprocesse d r d dw Tllgåge ger fölaklge e kouerlg udelg. e opala lösepolcy ges av fukoe. o udre gräs för opoes värde aväder de capped call opoer. Vlka har ubealgsfukoe ax L K där L är ake och opoe är europesk o L e åse uyas drek då år L. Värde för e såda opo beeckas C L. E: för e capped call har e aalysk lösg. å c = l C L för då L blr C L e valg europesk opo och L eferso e aerkask köpopo ka uyas är so hels och då vd olkhe C L C so gäller för alla L. e väler so udre begräsg l C : axc L C L =L föler fölade so är e dffereal opergsproble ll vlke de exserar e aal lösgseoder. l l O så är också L och då C är de axala värde över alla L föler a c C. För a besäa de övre begräsge aväder de sg av Ks 99 ekk a urycka e aerkask oposvärde so e fuko av e europesk opo plus e rskpree C c E

22 där akekurse och lösegräse är för dpuke och radvllkore ges av C K T. Me sälle för a besäa radvllkore uersk för e aal puker och seda aväda exepelvs leär erpolao approxerar de de opala lösegräse uderfrå geo a lösa ekvaoe L. L är dervaa av C L ed avseede på L uräkad då ärar sg L uderfrå. L. beeckar lösge ll ekvaoe L. B- bevsar vå saser so säger a L och C C : C l C u. e bevsar också a skllade ella udre och övre begräsgara går o oll allså C u då ågo av fölade fall räffar och de adra paraerara är fxerade vare eskl fall T eller T eller eller eller eller eller eller r. e föreslår fölade vå approxaoer av e aerkask köpopo och l C C C C C u Och kallar C för LBA Lower Boud Approxao och C för LUBA Lower ad Upper Bouds Approxao. o värde på vkera föreslår de = och = 5 eferso de sa suder aldrg har räffade på e sörre ä. Vkera ka också besäs geo regresso så so hos Johso 98. För aerkaska sälopoer hävsar de ll Mcoald och chroder so vsar fölade lkhe C K r K r Ieoe bako lkhee är a e köpopo ger räghee a växla pegar o llgåge och de osaa för sälopoe. Värde uryck so e oädlg sua Geske Johso 984 G-J e aar a e ake föler e GBM geoersk browsk rörelse och a ake ll e böra e ger ågo udelg. ärefer gör de e oädlg e uppräkerlg paro av opoes löpd där vare delervall har lägde. eda görs aagade a opoe

23 edas ka lösas vd pukera.... e aväder oposeors huvudprcp a vd värderg ska de rskeurala väevärde av frada kassaflöde dskoeras ll uvärde. Vd dpuke räffar e kassaflöde o där är akes opala lösegräs. Ma egrerar löseprse us frada akeprse över ervalle och ähee är de för. ea värde dskoeras ll dpuke. Vd geereras e kassaflöde o gve a så vd beräkas de begade väevärde av K gve a och så vdare för de övrga dpukera. Jag för beeckgara där N d R R är de - desoella ulvarava oralfördelade egrale d är de övre egraosgräsera och är korrelaosarse. är e x ars so ädrar ecke på de ssa eleee e vekor ed elee. ä d : = l / r 5 d : = d. d d : = d -. w : = där R = N d R R w rd : = N R e d. Ovasåede leder då fra ll fölade uryck för värde för e aerkask sälopo Kw För de uerska pleeerge av Kw w föreslår G-J fölade eod. e kosruerar e föld av opoer där har e lösedag vd T har vå lösedagar vd T / :s värde av eller T och w. har lösedagara vd T-/ T-/ och T osv. Exepelvs ges T / N R Ke rt Ke r d R N d N d R N d R är N d och är so föru e urycke för de har useras. e opala löseprse ges av R T / K K T / r.

24 4 Földe :s gräsvärde ska vara värde för e aerkask sälopo. G-J aväder Rchardsos exrapolao för a beräka gräsvärde. e aväder de re försa värdea földe och härleder fölade approxao av värde för opoe. 7 å ake ger udelg exserar e perod a vare udelg där de aldrg är opal a uya sälopoe. G-J föreslår då a de ssa udelge väls us så sor a opoe uder hela perode fra ll :s udelgsdag aldrg uyas. O de fakska udelge väls alla lösedpuker de ssa perode. å föreslår de fölade approxao va lär erpolao där och är värde för sälopoe då ake e har ågo udelg eller e udelg respekve udelg. e uderlggade akekurse löpde och de adra paraerara är de saa föruo udelge för fukoera. Buch-Johso 99 B-J Aväder saa prcp so G-J. Me de föreslår a Rchardsos exrapolao aväds på vå värde sälle vlke ger e äda skllade ella G-J och B-J är hur väls. e försa ölghee ll löse väls frå T /8...7 T /8så a axeras och då koer :s värde ärare gräsvärde för földe. Fördele ed eode är a a slpper beräka e rppelegral vlke är er beräkgskrävade ä opergsproblee. Aalysk approxao MacMlla 986 Ha aar a lösge ll E: för e aerkask sälopo har useede p e är p är osvarade europeska opo. Efer e resoeag o a ävks oposprse kräver kouerlga fukoer föler a e är e kouerlg fuko och e åse uppfylla B- E e re re e

25 5 ed vssa radvllkor. e radvllkor so MacMlla skrver ed osäger sg sälva. I böra av s papper skrev ha ed fölade radvllkor so e aerkask sälopo åse uppfylla. T T ax K T ;. ax K ;. K ; 4. ; 5. l är vllkor 4 är överflödg eferso är e srägare vllkor. eda ädrar ha vllkor för och säer sälle e T. Vlke leder ll T p T ax K T. ärefer skrver ha a a ska lösa ed avseede på vllkore ll 5. e är ärklg för o e ax K blr de aldrg opal a lösa uder opoes löpd för o K är p och dea llsaas ed vllkor för e ger a K. Vdare då K fs de ge kouerlg fuko so uppfyller vllkor för T och e T. ea ebär a vllkor borde vara e ax K p T. MacMlla aar seda a e har fore E g f g r T där g e. får då useede f Mf M g g g f f g f där M r /. Geo a borse frå ere ehållade g g erhålls e OE av Euler yp f Mf M g f ed de karakärsska polyoe h M M g Fukoe f har de geerella fore f a a.

26 6 h har e egav ro och e posv för h M / g o r och h. MacMllas vllkor 5 ger då a a. ärefer besäs a sä a a och geo a K- åse vara agee ll vd de opala lösegräse. å vllkore p g f K och p g f leder fra ll a de opala löseprse är e fxpuk ll fölade ekvao h K p N d där N är oralfördelge och d är so B- forel för köpopoe. efera a N d g och sä N d A ga. MacMlla får således fölade aalyska approxao av sälopoes prs p A. E år seare publcerades vå sarlka odeller. Baroe-Ades och Whaley 987 aväder sg av saa ekk på e er geerell prsprocess där e av falle ger ovasåede resula. Oberg 987 bygger också prcp på saa ekk. Ha aar a de opala lösegräse föler e förubesäd fuko. Me ll slu är ha ädå vuge a aväda sg av ågo uersk fxpuksekk för a få fra e värde. Baroe-Ades och Whaley 988 B-A o W Baroe-Ades och Whaley bygger u MacMllas odell ll a ofaa falle då ake ger e käd udelg uder opoes löpd. Lå vara udelge och är dpuke då udelge räffar. å fs e perod a då de e är opal a lösa opoe. Lå vara dpuke för vlke de dessföra ka vara opal a lösa opoe ges av och Kexp r l K. r

27 7 O är de aldrg opal a lösa opoe a Iräffar löse uder opoes löpd koer de a ske uder ll T. å fs de vå peroder uder vlke löse ka vara opal uder opoes löpd perodera är ll och ll T. Förs redogörs för falle då. B-A o W aväder sg saa ekk so Johso 98. e vll säga udre och övre begräsgar och urycker oposvärde so e väg edel av begräsgara. Jag aväder saa beäckg so B-A o W för de aerkaska sälopoe ; där de uderlggade ake ger e udelg uder löpde. efera exp r och lå vara e aerkask sälopo värderad ed MacMllas ekk och där de uderlggade llgåge e ger ågo udelg och föler GBM processe för. å är e övre begräsg för ; och har e posv saolkhe a bl uyad uder hela opoes löpde. Meda opoe ; edas har lösepree uder perode ll T. e uder begräsge erhålls geo a a bor lösepree e för perode ll frå. är e p deferas geo p e p är e udre begräsge blr e. och p har sludage. Noera a då är låg förhållade ll K ökar saolkhee a ; löses drek efer. ; kovergerar således o e. Approxaoe av ; sker geo fölade forel ; w w e är w är saolkhee a löses drek efer och w w. För a få fra ; :s värde åse beräkas och då erhålls också de opala löseprse w ed vlke saolkheera och w ka beräkas geo där w N b och w N b l ' / b r 5 e adra falle är svårare bl.a. därför a de - desoella fördelgsfukoera behövs beräkas. Tll de föregåede prsforel läggs opoe ll so har sludage vd dpuke och vkera ädras så prsforel blr e w ; w ' w

28 8 där w w w w N och l ' / a : a r 5. so är saolkhee a e opo på e cke udelade ake blr lös vd och w : N a b; / w : N a b; / där N a b; är de desoella oralfördelgsfukoe och är korrelaoskoeffcee. Fe fferece Jag börar ed e korfaad beskrvg av de alläa ekke so bygger på Wlo. fl. 99 kap. 6-. eda ar ag upp deras föreslaga lösgsekk för e aerkask opo. För a seda kor koeera de dgare publcerade arklara. e geerella problee för aerkaska opoer är a a e ve fukoes lösgsdoä på förhad. Aledge är a de opala lösegräse åse besäas sadg ed lösge av prsfukoe. Tekke bygger på a a approxerar de parella dervaora ed dffereser. O exepelvs u x är e fuko av x och ges de parella dervaa ed avseede på x av u u x u x x x x x x och de approxeras seda geo u u x u x x x x x där x är le vlke kallas för bakådfferese. e fs flera olka sä a approxera de parella dervaora ex geo fraådfferese vlke ges av a u x x bys u o u x x bakådfferese. å lkade sä approxeras de högre parella dervaora. Ceraldfferese ges av u u x x u x u x x x vlke är av ordg O x x x ärefer delas fukoes doä e ä där äpukera eller odera har useede x. Aalyse av fukoe u x kocereras ll odera äe. Iför oaoe u : u x och aalog för adra fukoer.

29 9 eda as dfferesapproxaoer för de parella dervaora och soppas E:. För vare od erhålls e dfferesekvao sälle. Två vkga begrepp dea avseede är sable och koverges. ablesbegreppe har a göra ed o dfferesekvaoer är käslga för så fel daa. Ekvaoera ger upphov ll e rekursv syse och o fele försoras vd vare y beräkg säges sysee vara sabl. ysee är koverge o dfferesera kovergerar o de räa värde då x och går o oll. Wlo. fl. vsar a Black och choles ekvao ka rasforeras ll fölade kap och hävsgar där u u x där u ka age vara e säl- eller köpopo värde. e aar också a ake ger e kosa udelg. älopoe har fölade al- och radvärdesvllkor k exp k u ax exp k 4k ax exp k exp k u exp l u 4 där k r / och k r / är de kouerlga udelge. roblee går a skrva o ll så kallad lär kopleeär for vlke ger g g. där g är de rasforerade ubealgsfukoe för sälopoe ges av k 4k k k 4 ax g e e e. Fördele ed de lära kopleeära fore är a där dyker e de fra radvärdesvllkore upp urycklge ua besäs eferå av vlkore g g för. och e aväder seda fölade approxao av E:

30 x x där. å ges de explca dfferesapproxaoe x ger Crak-Ncolsos approxao och ger de plca dfferesapproxaoe. Vllkore och säs ges fölade olkhe / / / x. e rasforerade problee är defera på a oädlg ervall så är de dskrea problee ska beräkas åse ervalle rukeras så a e ädlg ervall erhålls. ä de rukerade ervalle ll. Ovasåede proble går då a skrva på fölade ars for x x N x x x N x. g b b g är och A är e kvadrask syersk och redagoal ars b N N och b sa lkade för de N N b b adra koluera. går a beräka explc vare seg och de adra koluera föreslår de beräkas geo e uvdgad for av OR uccessve Over Relaxao algor se sd 8. e föreslaga ekke är sabl för b o och för är approxaoe sabl o. Brea och chwar 977 aväder sg av explc dfferesapproxao drek på Black och choles ekvao. Me so de äer s arkel frå 978 ka approxaoe vara sabl övrg hadlar arkel o a dfferesekvaoera ka berakas so e sokassk process och dess koverges ll dffusosprocesse. Wlo. fl. har e uförlgare dskusso o de på sdora 88-9 och säger a approxaoe ka var sabl ua a kovergera. e axala dssege för sable beror edas på aale seg -led e e seglägde på dessa. Courado 98 aväder sg av Crak-Ncolsos eod. Me ha lläpar edode edas på e köpopo där de uderlggade ake e ger ågo udelg. Geske och hasr 985 udersöker fyra olka dfferesapproxaoer. Två so bygger på a B- ekvaoe rasforeras geo. e vå adra bygger på a B- ekvaoe y l

31 rasforeras ll u / ak u / y. ärefer udersöker de explc och plc dfferesapproxao på de vå rasforerade problee. Mehod of les Meyer och va der Hoek 997 beskrver hur ehod of les ka avädas vd värderg av aerkaska opoer. Meode bygger på a de kouerlga dsdervaa bys u o e dffereselee sälle. å de ya problee får dskre d. Förfaara aväder s arkel försa och adra ordges bakåapproxao vlke ger a problee blr obega sabl. å edas dsdervaa approxerars erhålls sälle e syse av försa ordges dfferealekvaoer. Lösgara ll sysee häger hop geo Rcca rasforaoe. fferealekvaoera är av ype begyelse värdesproble vlka de löser ed rapeodal egrerg över e fas ä. Aledge ll a de aväder e fas ä är a då har de alla värdea för lösge äsa seg. Vd vare dsseg efer a de har lokalsera ella vlka oder so de opala lösegräse lgger approxeras de ed hälp av värdea fyra olka oder. Vlke ger a lösegräse e behöver lgga på e av de förubesäda odera. Lär prograerg epser och Huo 996 skrver o B- ekvao för e aerkask sälopo ll e lär kopleeär proble. I vlke de seda approxerar dervaora ed osvarade dffereselee. ea proble har seda e ekvvale lär progra vlke de löser ed hälp av plexeode. e sease åres uvecklg av plexalgorer gör a de är e kokurreskrafg eod. Nuersk egrao och egral ekvaoer arkso 979 arkso har föreslag e uersk eod för a värdera e aerkask sälopo där de uderlggade llgåge är e cke udelade ake och löseprse är K. Meode bygger på a opoe approxeras ed vad ha kallar seaerkaska opoer. essa är opoer so bara går a uya uder e ädlg N aal llfälle uder oposlöpde. arkso påsår a då N erhålls de rkga värde för e aerkask opo. Ha delar opoes löpd N sycke delervall N N... T. Obs dexerge är å adra hålle här förhållade ll de adra odellera. Med böra bakfrå och räka u värde för. ärefer as ax K so radvärde för äsa perod och så vdare bak ll. roblee är bara a a e ve värde för. arkso föreslår då fölade uerska eod för a beräka värde. vd dpuke

32 y arkso defera y dy där dy är seglägde... ; b e y där är Heavsde fukoe ; d T d... där d är fx och deferas eda; : y. eda föreslår ha e dskre approxao av de successva europeska opoera ed ova äda radvllkor elg fölade; ax b q y y d där q y är de logorala fördelge varvd sua är e approxao av e rd Q d obs beraka so d. Tll slu görs också e dskre approxao av q y. Geo a säa : u rdy ; a : 5u 5u ; a : 5 a ; d : a ady och e e c= e rd rd rd a a a a ; vlke ger a ax b c c c Vd pleeerge behöves e udre och övre gräs välas för och värde för dy besäas exepelvs aväder arkso dy vd sa beräkgar. Observera så so d är defera så gve e fx dy ka opoe edas värderas vd dskrea dpuker. Huag-ubrahaya-Yu H--Y 996 För a prssäa e aerkask sälopo aväder sg Huag-ubrahaya-Yu av Carrs. fl. ekk a dela upp e aerkask opo vå delar. e ea dele är de osvarade europeska opoe och de adra dele är pree för räghee ll löse uder hela opoes löpd. å de egelga problee blr a approxera lösegräse. O akekurse lgger uder lösegräse är de opal a uya opoe. ea gräs är väldeferad uk och har kouerlg realserg. H--Y härleder fölade uryck för opoes värde där de uderlggade llgåge föler e GBM och vars cos of carry är b x x x Cos of carry är exeplvs r för aker och r-r för valuaopoer där r är de adra lades rskfra räa.

33 T rs s p rke N d s s e N d Bs s ds där r b N är oralfördelge och d x y s d x y s l x / y b / s / s d s Lösegräse vd dpuke uppfyller fölade ekvao K T rke Ke r r N d K e N d e N d ds N d K där T och s. e vå försa erera osvarar värde för e europesk opo ed forwardsprse. Trede ere ger räevse av förda löse och de färde och ssa ager förluse av försäkrgsvärde. Fördele ed ovasåede forel är a då a har besä är de bara a dervera urycke för a få fra hedgeparaerara. Tll skllad o adra eoder där a behöver ädra de uderlggade llgåges gågsvärde och seda beräka värde åer ge för opoe för a kua skaa dervaora uersk. Ipleeerg av eode: förs åse lösegräse approxeras på ågo vs eferso de e har ågo aalysk lösg. Iervalle T delas N sycke delervall... T. Gve gräsvllkore N K rk / ka N T : N är e cke lär egralekvao so löses ed hälp av ågo uersk eod. Mella på dpuker och ka approxeras ed lär erpolao. H--Y föreslår e a beräkas rekursv ed hälp av N sycke gåger. Ekvaoe a aväder Rchardsos exrapolao vd beräkge av för a ska aale dpuker där lösegräse behövs approxeras. O re pukers Rchardsos exrapolao aväds fås fölade uryck 9 / där är värde på opoe där egrale har approxeras ed e sua. å sä sua ll oll. Vd approxeras fukoe egrale ed e kosa fuko och so värde på kosae as fukoes värde puke T-/. För approxeras fukoe ed hälp av e rappsegsfuko ed e seg där värdea för de olka sege ges av de urspruglga fukoes värde pukera T-/ och T-/. å ake e ger ågo udelg ges av uder förusäge a p

34 4 / / / T d N e rkt p T rt / / / / / / T d N e T d N e rkt p T rt T rt. Edas re sycke gräspuker behövs således skaas. Ju 998 Ju ugår frå Carrs. fl. 99 ekk a urycka värde för e aerkask sälopo so värde av e osvarade europeska och rskpree för räghee a uya opoe uder hela löpde. Isälle för a försöka besäa de opala lösegräse approxera ha de geo e expoealfuko så so Oberg 987. Fas Oberg aväder e s approxava lösegräs drek vd värderge av e aerkask sälopo. e ssa ege är e hel korrek. För sälvklar är e del av värdergsproblee a besäa o a ska uya opoe drek eller e. Me Oberg aväder e expoealfukoe s aalyska approxaosforel. Fördele ed a approxera lösegräse ed e expoealfuko på fore är a de då fs e prv fuko ll egrale för lösepree. B expb I de edasåede frasällge aas ake e ge ågo udelg. O ake aages ge e kouerlg udelg fs också aalyska lösgar ll värdergsproblee gve a lösegräse approxeras ed e expoealfuko. Ju börar ed a skrva o rskpree där och är vd dpuke så a T rs r ds s d N re K e K där T och r y x y x d / l B expb. ärefer delar ha ervalle sycke lka låga delervall och approxerar lösegräse vare delervall ed e expoealfuko på fore. Iegrale dvderas ed K ger då lösge e delervall T N N e N N e N e N e r b B I r r

35 5 där r b l / B och r. O lösegräse edas approxeras ed e fuko aerkask sälopo geo B e b erhålls värde för e p K e K r T KI T B b r B B e e b b. För a besäa paraerara B och b där är aale delervall och är vlke av delervalle räka frå T expoealfukoera aväder sg Ju av a fölade vå lkheer gäller vd lösegräse och K b e b T / B e b T / T / där är forel för e aerkask sälopo där lösegräse approxeras ed sycke expoealfukoer. För e dskusso o de adra vllkore se Wlo. fl Gve e fx åse a böra ed och arbea sg bakå ll. å de föregåede värdea för och där... k behövs för a besäa och. Ju föreslår B a a aväder sg av de -desoella Newo-Raphso eode för a besäa de olka B:a och b:a. o sarvärde för Newo-Raphsos eod föreslår ha a a ar MacMllas 986 approxao so B och säer b. o sarvärde vd beräkge och b ar ha och b och så vdare för de adra paraerara. O B b B MacMllas 986 approxao av är dre ä 5% av T K värde aser ha a de B e är ågo drek dé a approxera ed expoealfukoer. Ua de går lka bra a approxera ed e segvs kosa fuko. Tll ss förordar Ju a a också ska aväda Rchardsos exrapolao vd pleeerge för a ska aale delervall e ädå få e llförllg lösg. O re pukers Rchardsos exrapolao avädes beräkas värde geo B k b k där är värde för e sälopo där lösegräse har approxeras ed hälp av sycke expoealfukoer. Buch och Johso

36 6 e föreslår vå adra sä a beräka/approxera de opala lösegräse för a kua beräka egrale för lösepree uppdelge av värde för e aerkask sälopo. Förs beskrver de e aa erav ekk för a uppskaa. Tekke bygger på vllkore a de parella dervaa av ed avseede på löpde uräkad puke är lka ed oll. Vlke ger a åse uppfylla fölade ekvao där T och r / K exp g l / / / l g och g är h K / och r r h he där r /. 4 För a besäa vlke ecke so gäller g behöver a vea ollsälle för g. e fs e uk so gör a e de behövs också lösas erav. För o väls de g posva roe och de oväda för. Isälle för a beräka g erav föreslår de fölade approxao l / g. 4er / Vd pleeerge löser de de erava ekvaoe för ed safeguarded Newos eod. Iegrale för lösepree beräkar de på vå sä. I de ea falle ed saa ekk so H--Y beräkar egrale och seda aväder de sg av exrapolao över aale seg so rappsegs ergrade gör. I de adra falle beräkar de egrale av e prograpakee IML och de hävsar ll e ru pakee. / Approxao ed opoer ed slupässg löpd Carr 998 Carrs ekk bygger på a ha uyar expoealfördelges eslöshe. Ha aar a opoes sludag är slupässg och a de besäs av e ossoprocess efer e aal förbesäda hopp. ossoprocesse aas också vara oberoede av de uderlggade prsprocesse. Aag förs a opoes sludag är efer e hopp. å är löpde expoealfördelad vlke leder ll a då de förflyas gve a försa e har räffa koer opoe e ärare sludage och löseprse är därför fx så opoes lösegräs blr också dsoberoede allså kosa. ua av expoealfördelade sokasska varabler är gaafördelade. å o T är de för de :e hoppe är T / där är esee för ossoprocesse. å är

37 7 T / och VarT = /. Väls så a väevärde för T är lka ed löpde för de aerkaska opoe so a egelge vla besäa värde för fås vllkore T T / T VarT T /. När esee ökar ossoprocesse ökar aale hopp so processe gör och varase skar så fördelge kocereras er och er krg de urspruglga opoes löpd. Vd pleeerge av s eod aväder Carr sg av Rchardso exrapolao. Ha härleder fölade N pukers Rchardso exrapolao där de uderlggade llgåge e ger ågo udelg ˆ N N! N N N ˆ T.! ˆ T / är värde för e aerkask sälopo ed hopp ed de förväade perodlägde T-/ för vlke de fs e aalysk lösg. ˆ N är de approxava värde för e aerkask sälopo vd N pukers Rchardso exrapolao. e opala lösegräse besäs relav ekel de här falle ed e rekursv eod. Lösegräse får e rapplkade useede för e aerkask sälopo ed slupässg löpd. ulerg Logsaff och chwar 977 publcerade Boyle e arkel där ha beskrev hur Moe Carlo eode kude avädas för a beräka opoes värde. Me Moe Carlo eode asågs vara e effekv eod för värderg av aerkaska opoer där de ka vara opal a uya opoe före sludage. Lägs vare baa so geereras åse vd de olka dskrea dpukera beräkas o de är opal a uya opoe drek eller e. Meode blr således väldg beräkgsesv. Uder 9-ale har e aal arklar publceras so behadlar Moe Carlo eode eller sulerg. essa arklar behadlar e försa had aerkaska opoer usällda på e ake. Ua ar upp fall där de uderlggade prsprocesse drvs/besäs av fler fakorer ä e för exepelvs e aerkask opo av de axala värde av säg fe aker eller då avkasgskurva odelleras ed hälp av flera fakorer. I dessa fall blr också boal och fe dfferesekkera väldg beräkgsesva och Moe Carlo eode blr e gågbar alerav. För e geogåg av Moe Carlo eoder för llgågsprssäg se Boyle Broade och Glassera 997. Tll Logsaffs och chwar arkel so börar ed aagade a opoe edas går a uya vd sycke llfälle... T. Vd vare dpuk åse ehavare besäa o ha ska uya opoe drek eller hålla opoe vd lv. E av problee vd sulerg är a besäa de opala lösepolcy för e vsaxerade veserare och där lgger de orgella deras arkel.

38 8 Lå F vara e fullsädg saolkhesru och {F : T }är e flrerg ed avseede på prsprocesse. Q är argaleåe se Börk och de berakar edas ubealgsfukoer so lgger L. C s ; T beeckar de opala kassaflöde geera av opoe lägs baa bega av a opoe e har blv uyad före eller vd dpuke. Vd dpuke är kassaflöde kä för drek uyade av opoe e e kassaflöde för a forsäa a eha oposräe. Arbragefr värderg ger a värde vd frada kassaflödea. Vlke ges av urycke eda F =EQ exp r s ds C ; T F för de där r s är de rskfra räa. å ubealgsfukoe aogs vara e elee frå L föler a F är desaa. L är e Hlberru och har e uppräkerlg orhooral bas. å de väler förs M sycke basfukoer och approxerar F ed hälp av dessa. Approxaoe beeckas Fˆ M och de besäs geo a proekera de dskoerade värdea C s ; T för de baora so opoe är -he-oey 4 vd på bas fukoera ed sa kvadra eode. å aale baor N går o oädlghe kovergerar FˆM F M L där FM är proekoe av F på de M sycke bas fukoera. När de begade väevärde är besä/esera för dpuke de är opal a uya e opo vd. O K FˆM går de a besäa o löses opoe drek. e opala lösepolcy går a lösa rekursv för vare baa ed hälp av de eserade begade väevärdea. Värde för opoe beräkas seda geo a a börar vd dpuke och föler seda vare baa fra lls a år e opal lösedpuk. Opoes värde vd de opala lösedpuke as och dskoeras ll dpuke. lulge beräkas edelvärde av alla de sulerade baora och opoes värde aas vara lka ed edelvärde. Clée. fl. aalyserar Logsaff och chwar algor. e vsar a algore kovergerar o de korreka värde. I saa arkel aalyserar de också kovergeshasghee. e beskrver också fördelge för de asyposka oralserade fele för algore. Tsskls. fl. har e arkel föreslag a sa kvadraeodregresso för sulerge görs på e aa sä. Valug Aerca u Opos Usg Gaussa Quadraure av ullva 4 E sälopo är -he-oey då <K och de oväda för e köpopo.

39 9 ullva aväder sg av saa uderlggade odell so B- och a ake e ger ågo udelg uder löpde. Ha gör sadardaagade för uersk värderg av aerkaska opoer de vll säga a opoe edas ka uyas vd sycke llfälle... T och. rse för opoe ges av r ax K e e... där ~ N r är sadardavvkelse och T ax K T. Aledge ll forels useede är a vd dpuke ka opoe uyas och då får a beloppe K eller så väler veserare a hålla opoe vd lv och då räffar äsa ölghe ll löse vd vars värde/kassaflöde är. Värde vd dpuke av värde/kassaflöde frå dpuke e är lka ed de rskeurala väevärde dskoera ll se exepelvs Börk vlke ger urycke. Ake har fördelge. ea föler av a e vd löser E: exp r W W där W är e browsk rörelse d r s d dw där s är e kosa och. Lösge fås geo a defera exp r W W derverg ed avseede på e gåg och W vå gåger vlke ger och seda r W W så Io s forel ger se Börk sd. 8 eller Øksedal sd. 44 a d r dw d r d dw. å W W s är oralfördelad ed väevärde och sadardavvkelse s där s. å gve a är käd föler a har de påsådda fördelge. A har väevärde r / argaleåe. koer av a väevärde för akekurse ska as ed avseede på ' är so dgare de opala lösegräse so ges av

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan

Läs mer

Kvinnors arbetsmiljö. Rapport 2012:11. Tillsynsaktivitet 2012 inom regeringsuppdraget om kvinnors arbetsmiljö. Delrapport

Kvinnors arbetsmiljö. Rapport 2012:11. Tillsynsaktivitet 2012 inom regeringsuppdraget om kvinnors arbetsmiljö. Delrapport Kviors arbesmiljö Tillsysakivie 12 iom regerigsuppdrage om kviors arbesmiljö Delrappor Rappor 12:11 12-5-9 1 (9) Ehee för mäiska och omgivig Chrisia Josso, 8-73 94 18 arbesmiljoverke@av.se Delrappor Tillsysakivie

Läs mer

Programmering Emme-makro rvinst_ic.mac version 2

Programmering Emme-makro rvinst_ic.mac version 2 Uppdragsr: 10109320 2008-08-27 Seh Svalgård PM Programmerig Emme-makro rvis_ic.mac versio 2 Iehållsföreckig Förusäigar...2 Beräkigsuryck...2 Daabaser...4 Marisplaser...4 Aropsparamerar...6 Udaa...6 L:\705x\_SAMSAM\3_Dokume\36_PM\PM

Läs mer

AID:... Lisa börjar spara 1000 per månad från och med nästa månad. Hon sparar under 35 år tills hon fyller 67 år.

AID:... Lisa börjar spara 1000 per månad från och med nästa månad. Hon sparar under 35 år tills hon fyller 67 år. Lösnngar: Akedelen Tena 4-5-5 Uppgf (4 poäng) Defnera ydlg följande begrepp a) APV och skaesköld b) IRR, som bland har lösnngar, när uppsår dessa? c) Asse Bea d) Yeld curve Se exbook and web sources. Uppgf

Läs mer

Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering 2011. Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem!

Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering 2011. Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem! Sysemplanerng 2011 Allmän om kordsplanerng Föreläsnng 8, F8: Kordsplanerng av vaenkrafsysem Kapel 5.1-5.2.4 Innehåll: Allmän om kordsplanerng Allmän om vaenkraf Elprodukon Hydrologsk kopplng Planerngsprobleme

Läs mer

Uppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6

Uppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6 ppgf (max 5p) Exempelena nr 6 ppgfen går u på a förklara några cenrala begrepp nom kursen. Svara korfaa men kärnfull och ange en förklarng på e fåal menngar som ydlg beskrver var och e av de fem begreppen.

Läs mer

Välkommen in i konfirmandens egen bibel!

Välkommen in i konfirmandens egen bibel! L Välkoe kofrades ege bbel! Upptäck Bbel tllsaas ed kofrade! Lbrs ya kofradutgåva av Bbel har två huvudpersoer: Jesus so är Bbels kära och stjära och de uga äska so ärar sg Bbel och tro. Ordet kofrad äs

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

Sammanfattning formler och begrepp, första delen av två

Sammanfattning formler och begrepp, första delen av två Ekoomsk sask, del kurs 6 ael agwall;, vårerme 5 ockholm chool of Ecoomcs ammafag formler och begre, försa dele av vå amle sckrov objek,,,...,, av oulaoes N. Om Varje objek har lka sor saolkhe a väljas

Läs mer

2009-11-20. Prognoser

2009-11-20. Prognoser 29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska

Läs mer

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 64 Orderkvatteter vd begräsgar av atal order per år Olka så kallade partformgsmetoder aväds som uderlag för beslut rörade val av lämplg orderkvattet

Läs mer

Något om beskrivande statistik

Något om beskrivande statistik Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att

Läs mer

Logistikoptimering för kostnadseffektivt underhåll eller Opportunistisk underhållsplanering

Logistikoptimering för kostnadseffektivt underhåll eller Opportunistisk underhållsplanering Logskoperng för kosnadseffekv underhåll eller Opporunssk underhållsplanerng he nforaon conaned n hs docuen s Volvo Aero Corporaon Propreary Inforaon and shall no eher n s orgnal or n any odfed for n whole

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL x + y, där x, y R (rektagulär form r(cosθ + sθ (polär form r (cos θ + s θ De Movres formel y O x + x y re θ (potesform eller expoetell form θ e cosθ + sθ Eulers

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14) AMMANFATTNING AV KUR 6 TATITIK (Newbold katel [7], 8, 9,, 3, 4) INLEDNING 3 Proortoer 3 Proortoer 4 Poulatosvaras 5 KONFIDENINTERVALL 6 Itutv förklarg 6 Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall 7 Tfall. ök

Läs mer

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s. Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,,

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Variansberäkningar KPI

Variansberäkningar KPI STATISTISKA CENTRALBYRÅN Slutrapport (9) Varasberäkgar KPI Varasberäkgar KPI Iledg Grov varasskattg Detaljerade varasskattgar av tuga produktgrupper 5 Rätekostader 5 Charter 6 Böcker 8 Utrkesflyg 0 Iträdesbljetter

Läs mer

0 Testvariabel t, x s n. Lite historia om t-testett. testet. Ett stickprov: Hur räknar r. testet. ett stickprov

0 Testvariabel t, x s n. Lite historia om t-testett. testet. Ett stickprov: Hur räknar r. testet. ett stickprov -ee Le hora om -ee ee ude -e "ude," peudom om aväd av Wllam Goe (bld) Jobbade på Gue brggere Dubl börja av 9-ale allmä beecka alla e om aväder - fördelge om -e uwe.mezel@mah.uu.e Defo för f r -fördelge

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04 Prs Lösgsförslag tll tetame 73G7 Statstk B, 009--04. a) 340 30 300 80 60 40 0 0.5.0.5.0 Avståd.5 3.0 3.5 b) r y y y y 4985.75 7.7 830 0 39.335 7.7 0 80300-830 0 3.35 0.085 74.475 c) b y y 4985.75 7.7 830

Läs mer

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression Matematsk statstk Stockholms uverstet Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Examesarbete 8: Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 6 9 Stockholm

Läs mer

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 16/6 till och med 17/8 2014. www.skelleftebuss.se Tel.

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 16/6 till och med 17/8 2014. www.skelleftebuss.se Tel. Iformatio Dessa biljetter ka köpas på busse; - Ekelbiljett, ige fri övergåg till stadsbussara. - Rabattkort, rabatterade resor med ca 20 %, valfritt atal resor frå 6 resor och uppåt. - Periodkort, gäller

Läs mer

Dagordning. Pågående planering Information om kommunalt VA Hur påverkar VA utbyggnaden fastighetsägaren? Information om avgifter mm Frågor

Dagordning. Pågående planering Information om kommunalt VA Hur påverkar VA utbyggnaden fastighetsägaren? Information om avgifter mm Frågor Daordi Pååede plaeri Iformatio om kommualt VA Hur påverkar VA utbyade fastihetsäare? Iformatio om avifter mm Fråor Pååede plaeri yv ä V ä yv sb ä l v ä me sb y lv Ka a d ö T3 by rs kv ä E ä rsb å e l v

Läs mer

Reflektion och transmission

Reflektion och transmission RfTas / Ljud byggad oh samhäll / VTAF0 Rflko oh asmsso Tdga ha bhadla ågubdg homoga md ua a gå äma å ad som sk ögåg få mdum ll aa ll ad som sk d äda. Da ska äma gå å hä. V ka ll ml äka oss såg a sål som

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9.45. Kursadministratör: Azra Mujkic, tfn 1104, azra.mujkic@liu.

Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 9.45. Kursadministratör: Azra Mujkic, tfn 1104, azra.mujkic@liu. Teknska högskolan vd LU Insuonen för ekonomsk och ndusrell uvecklng Produkonsekonom Helene Ldesam TENTAMEN I TPPE PRODUKTIONSEKONOMI för I,I TISDAGEN DEN 7 APRIL 25, KL 82 Sal: TER, TER4 Provkod: TEN Anal

Läs mer

CONSTANT FINESS SUNFLEX

CONSTANT FINESS SUNFLEX Luex terrassarkiser. Moterigs- och bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX 5 6 Markises huvudkopoeter och ått Placerig av kobikosol rklockor och justerig Parallelljusterig vädig och skötsel Huvudkopoeter och

Läs mer

Formler, grundläggande statistik

Formler, grundläggande statistik Formler, grudläggade aiik Medelvärde N X μ σ Sadardavvikele, populaio Sadardavvikele, ickprov Sadardavvikele, räkevälig z Z-poäg z z r Pearo korrelaio, urpruglig r Pearo korrelaio, räkeväligare Oe ample

Läs mer

Modellering och prediktion av tidsserier gällande sjukförmåner inom socialförsäkringen

Modellering och prediktion av tidsserier gällande sjukförmåner inom socialförsäkringen Maemaisk saisik Sockholms uiversie Modellerig och predikio av idsserier gällade sukförmåer iom socialförsäkrige Per Johasso Examesarbee 6:8 Posal address: Maemaisk saisik Dep. of Mahemaics Sockholms uiversie

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Relationen mellan avkastning och löptid hos extremt långa obligationer

Relationen mellan avkastning och löptid hos extremt långa obligationer NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala unverse D/Examensarbee Förfaare: Mkael Larsson Handledare: Annka Alexus HT 2005 Relaonen mellan avkasnng och löpd hos exrem långa oblgaoner Sammanfanng I den klassska

Läs mer

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma

Läs mer

Var är tvålen. o dk sj jz kkk. um ba - um. um um um um 2 4 j. stan - na upp ett tag och grub - bla, är det nå n som sett min tvål?

Var är tvålen. o dk sj jz kkk. um ba - um. um um um um 2 4 j. stan - na upp ett tag och grub - bla, är det nå n som sett min tvål? är våle Pver Rel rr. Erc Srby Spr Al1 Al 2 Ter Bss 1 Bss 2 Spr f f D G =80 Al f f D 1 Al f f D 2 Ter f f D l M Bss 1 jz d sj jz u b - u u - j u b - u u j s j jz u b - u u s j jz f f f N s v-drr ge- l-ve

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Barn i Guds tid. Nattvardsmässa för barnkör, diskantkör och instrument. Församlingsagenda

Barn i Guds tid. Nattvardsmässa för barnkör, diskantkör och instrument. Församlingsagenda Barn Guds td Nattvardsmässa för barnkör dskantkör och nstrument Församlngsagenda Barn Guds td Nattvardsmässa för barn Text: Eyvnd Skee Sv. text: Chrstna Lövestam Musk: Johan Varen Ugland 1. Processon med

Läs mer

Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför?

Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför? Emj www.mf.smj Smällsm fö u Emf uvcl d slml sm mlm ll läudvs smällsus. Syf ä lv övd fösåls fö u smällsm fu. Ml båd s c s fösåls fö u d s u Sv. Ml bså v fy s övd uf sm bdl usdl, bsmd, fsmd c ffl m. Uf bsvs

Läs mer

Arborelius, Olof Per Ulrik. Olof Arborelius. : Minnesutställning anordnad af Svenska konstnärernas förening Stockholm 1916.

Arborelius, Olof Per Ulrik. Olof Arborelius. : Minnesutställning anordnad af Svenska konstnärernas förening Stockholm 1916. Arborelus, Olof Per Ulrk Olof Arborelus. : Mnnesutställnng anordnad af Svenska konstnärernas förenng 1916. Stockholm 1916. EOD Mljoner böcker bara en knapptrycknng bort. I mer än 10 europeska länder! Tack

Läs mer

TENTAMEN TE 12. HÖGSKOLAN I BORÅS Textilhögskolan Olle Holmudd. VÄVERITEKNIK, 4,5 högskolepoäng, Ladokkod TVT10A. Datum: 2012.11.09. Tid: 09.00 13.

TENTAMEN TE 12. HÖGSKOLAN I BORÅS Textilhögskolan Olle Holmudd. VÄVERITEKNIK, 4,5 högskolepoäng, Ladokkod TVT10A. Datum: 2012.11.09. Tid: 09.00 13. HÖGSKOLAN I BORÅS Texthögoa Oe Homudd TENTAMEN TE 12 VÄVERITEKNIK, 4,5 högoepoäg, Ladood TVT10A Datum: 2012.11.09. Td: 09.00 13.00 Hjäpmede: Räare, färgpeor, upp, ja, petå, tejp Aayad och formead Ata dor:

Läs mer

Pingsteld över Maramba, Zambia

Pingsteld över Maramba, Zambia Nyhesbrev Nr 10 2014 Jesus är desamme i går och idag och i evighe. (Hebr. 13:8) Pigseld över Maramba, Zambia Maramba är e kåksad srax uaför sade Livigsoe i Zambia. I dea yhesbrev vill jag rapporera frå

Läs mer

F & 34 ø øl ø øl ø V. ø øl ø. &øl ø# øl ø øl ø ? F. &speg - lar Hår - ga - ber - get. ? ú ø ú ø ú ø. Hårga-Låten. som - mar - nat - ten, i

F & 34 ø øl ø øl ø V. ø øl ø. &øl ø# øl ø øl ø ? F. &speg - lar Hår - ga - ber - get. ? ú ø ú ø ú ø. Hårga-Låten. som - mar - nat - ten, i L L L L V Hm l är blek VSpel man n är HårgaLåt L L L mar nat t, n g matt, L Text: Carl Peter Wckström Sats: Robert Sund (.2) L L # Ljus L nans vat t sg be satt L # Hm l är blek Spel man L n L är V mar

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el.

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM

KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM Magus Bodesso Isiuioe för Daaveeskap 999-02-04, 200-02-0 (red), 2003-02-05 (red) Allmä om kurvapproximaio med polyom Dea papper ersäer framsällige i HB: 35-354, FvD:

Läs mer

Mening med ditt liv G/H. o n G/H

Mening med ditt liv G/H. o n G/H =132 J f s s Meg ed d v /H s s s Kr-ur Svesso 1.De vr e gåg e - e po so yc-e v - e vr för 2.To-år - e gc så sbb för-b, h ev - de v - e så - so h / s s ss s s s s J J f b J f J p o o o J p o o o b s s s

Läs mer

Vi betygsätter årets skatteprogram

Vi betygsätter årets skatteprogram Vi beygsäer åres skaeprogram Tycker du a de är svår a deklarera? Då ka du få hjälp. Här graskar och beygsäer Privaa Affärer markades samliga skaeprogram. För de flesa sveskar är deklaraioe umera e lä mach.

Läs mer

En ALM modell med minimering av CVaR och krav på tillväxt. Tobias Anglevik

En ALM modell med minimering av CVaR och krav på tillväxt. Tobias Anglevik En ALM modell med mnmerng av CVa och krav på llväx av Tobas Anglevk Absrac In hs paper we develope a basc Asse-Lably Managemen model where asses mach he lables ae of reurns are randomly generaed wh Mone

Läs mer

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2 Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT 2009 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α +

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER

LINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER ri Hlilovic: EX ÖVNING Lijär vildigr v pukägder LINJÄ VBILDNING V PUNKE OCH PUNKMÄNGDE vildig v e puk Vi hr defiier lijär vildigr ell vå vekorru Vi k forell erk puker so orsvekorer och däred erk vildigr

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B1862 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 FREDAGEN DEN 1 JUNI 21 KL 8. 13. Examinaor : Lars Hols,

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Sjung och läs nu Bacchi böner (sång nr 57)

Sjung och läs nu Bacchi böner (sång nr 57) Sung läs nu Bacchi öner (sång nr 57) ext musik: Carl Michael Bellman Arr: Eva oller 009 Soprano 1 Soprano. Alto 1 Alto enor 1.Sung läs nu 1.Sung läs nu 1.Sung läs nu Bac - chi ö - ner, Bac - chi Bac -

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176 FÖROR So en sträng å gtrren och so tonern dn vs..., så börjr texten Ulrk Neuns underbr Kärleksvls. Vd kn vr ljuvlgre än gtrrens sröd och nnerlg ton so tllsns ed sången kn sk sådn stänng och rontsk tosfär.

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare. Exempeltetame 3 (OBS! De a te ta m e ga vs i a ku rse delvis bytte i eh å ll. Vis s a u ppgifter s om i te lä gre ä r a ktu ella h a r dä rför ta gits bort, vilket m edför a tt poä gs u m m a ä r < 50.

Läs mer

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin Strukturell utvecklg av arbetskostad och prser de sveska ekoom Alek Markowsk Krsta Nlsso Marcus Wdé WORKING PAPER NR 06, MAJ 0 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET gör aalyser och progoser

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

2015-10-22. Ca 415.000m 3 = 600.000 ton. Masshantering Sven Brodin. Dessa mängder ska Stockholms Stad transportera varje månad.

2015-10-22. Ca 415.000m 3 = 600.000 ton. Masshantering Sven Brodin. Dessa mängder ska Stockholms Stad transportera varje månad. Masshaterig Ca 415.000m 3 = 600.000 to Dessa mägder ska Stockholms Stad trasportera varje måad. The Capital of Scadiavia Sida 2 Till varje km väg som ska byggas behövs ytor på ca 4000m 2 för: Etablerig

Läs mer

Ur KB:s samlingar Digitaliserad år 2013

Ur KB:s samlingar Digitaliserad år 2013 Ur KB:s samlgar Dgtalserad år 2013 v Te/egrafadrfeás ré%dr/(sos LÖöfe?I org,i,u I 1-1 A1 1 r m I 1 j»»l m rl 5% m» se GÖTEB0RG, å, Om lmstgjorda,?gödslgsäme m 111 L Sveske _ L Ladthshållares, Å 0C Säüer

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex.

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex. Ljära ekvatossystem Ljär Algebra obekata & ekvatoer a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b Ljära ekvatossystem där A -matrs och b -vektor Vktga

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Hela denna bilaga är en annons från bråviken bil

Hela denna bilaga är en annons från bråviken bil d b ä os få båk b Ö : Ö 1-17 Ö 1-17 5 6 O VÄ P Ö ORR F R Ö Ö Fä Å o Å Ö u F /F X u o F C o ä u F F C Å 2 % ouä öw cz Y Puo å 38 o u b s VÄj P j F Rju R V FRÄ 2, 5% FjP år: kbox hu sbå Pyso V 2 x V-skäm

Läs mer

3 Rörelse och krafter 1

3 Rörelse och krafter 1 3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Idrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola

Idrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola GOTHENBURG STUDIES IN EDUCATIONAL SCIENCES 355 Idrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola Magnus Ferry GOTHENBURG STUDIES IN EDUCATIONAL SCIENCES 355 Idrottsprofilerad utbildning i

Läs mer

Bröderna fara väl vilse ibland (epistel nr 35)

Bröderna fara väl vilse ibland (epistel nr 35) Brödera fara väl vilse ilad (epistel r 35) Text musik: Carl Michael Bellma Teor 1 8 6 Arr: Eva Toller 2008 Teor 2 6 8 Basso 1 8 6.. Basso 2 8 6 1.Brö- der - a fa - ra väl vil - se i-lad om gla - se me

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 245 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 245 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 42-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen

Tunga lyft och lite skäll för den som fixar felen Tunga lyf och lie skäll för den som fixar felen De fixar soppe i avloppe, de rasiga gångjärne, den läckande vämaskinen. De blir uskällda, igenkända, välkomnade. A jobba hemma hos människor har sina särskilda

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Tentamen i Logistik 1 T0002N

Tentamen i Logistik 1 T0002N Insuonen för ekonom, eknk och samhäe Tenamen Logsk 1 T0002N Daum: 2011-12-20 Td: 4 mmar Hjäpmede: Mnräknare, formesamng Lärare: Dana Chronéer Jourhavande ärare Namn: Dana Chronéer Teefon: 0920-492037,

Läs mer

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08 Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag

Läs mer

Optimering av underhållsplaner leder till strategier för utvecklingsprojekt

Optimering av underhållsplaner leder till strategier för utvecklingsprojekt Opterng av underhållsplaner leder tll strateger för utvecklngsprojekt Ann-Brh Ströberg 1 och Torgny Algren 1. Mateatska vetenskaper Chalers teknska högskola och Göteborgs unverset 41 96 Göteborg 31-77

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Betong Cement Gruvor Papper & Cellulosa Asfalt Grus Kemi Plast Läkemedel Livsmedel Avlopp & Vatten Vätskor Pulver Slurry Flingor Granulater

Betong Cement Gruvor Papper & Cellulosa Asfalt Grus Kemi Plast Läkemedel Livsmedel Avlopp & Vatten Vätskor Pulver Slurry Flingor Granulater Nvåmätg Betg Cemet Guv Pappe & Cellula Afalt Gu Kem Plat Läkemedel Lvmedel Avlpp & Vatte Vätk Pulve Sluy Flg Gaulate Nvåmätg fö pcedut Nvåktll fö: Övefylladkydd Batchktll Pduktmätg Lagektll Säkehetlam

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa.

Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa. Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa. O Y F IS K A R S A B Verksamhetsberättelse för 1969, bolagets 86 verksamhetsär. E x t e m f ö r s ä l j n i n g o c h e x p o r t ( 1 0 0 0 m

Läs mer

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö

Ha kul på jobbet är också arbetsmiljö Tväeri, kök, recepion, konor, hoellrum Här finns många olika arbesuppgifer och risker. Och på jus de här hoelle finns e sälle där de allid är minus fem grader en isbar. Ha kul på jobbe är också arbesmiljö

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25 TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag

Läs mer

Detaljplan Ekedal södra. Behovsbedömning 1/5. Sektor samhällsbyggnad

Detaljplan Ekedal södra. Behovsbedömning 1/5. Sektor samhällsbyggnad 1/5 Sektor samhällsbyggad Datum Beteckig 2015-02-10 PLAN.2014.19 Plaehete Hadläggare Jey Olausso Detaljpla Ekedal södra Behovsbedömig Förslag Geomföradet av plaförslaget bedöms ite medföra ågo betydade

Läs mer

Lycka till och trevlig sommar!

Lycka till och trevlig sommar! UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 07-05-3 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 09.00-5.00 Tllåta hjälpmedel: Tabellsamlg,

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Adagio. œ œ œ œ œ œ œ. œ œ œ œ. & bb 4 4 œ. & bb. œ œ œ œ œ œ œ œ Œ. & bb œ œ œ œ œ œ œ œ. & bb œ œ œ œ œ b D. q = 72. och nar. var 1ens.

Adagio. œ œ œ œ œ œ œ. œ œ œ œ. & bb 4 4 œ. & bb. œ œ œ œ œ œ œ œ Œ. & bb œ œ œ œ œ œ œ œ. & bb œ œ œ œ œ b D. q = 72. och nar. var 1ens. q = 72 & bb 4 4 1. Vatt 2. Mol net rörs nen gli & bb der vin lätt dagio m den spe lar, vind som vi ta sva nar vat ö ten tar ver him F B b Text: Bo Bergman Musik: Lasse ahlberg var 1ens ann. sjö, Bak men

Läs mer

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed Föroreade område Årsredovisig Örserumsvike Birgit Fleig Auktoriserad revisor Sustaiability Director birgit.fleig@se.ey.com 19 september 2005 1 2 Årsredovisigslage och god redovisigssed Föroreade område

Läs mer

Arturo Art Systems Tel 00 46 739 74 13 99 E-mail arturomont@hotmail.com Website www.arturo.se Stockholm - Sweden

Arturo Art Systems Tel 00 46 739 74 13 99 E-mail arturomont@hotmail.com Website www.arturo.se Stockholm - Sweden Au A Ssems Tel 46 739 74 3 99 E-mal aumn@mal.cm Webse www.au.se Scklm - Sweden Aumasen Au A ssems Paenen 986 C Au Mnalv Bel +46 73 974 3 99 aumn@mal.cm Scklm - Svee www.au.se Aumasen Blnfann (Saned Glass)

Läs mer

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00 (4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.

Läs mer