TEN2. Moment: Program: Rättande. lärare: st & Jonas Stenholm Niclas Hjelm Datum: Tid: lösningar. Lycka till!

Transkript

1 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtikk C TEN Tekniskt bsår Anders Clennder, Svnte Grnqvis st & Jons Stenolm Nicls Hjelm Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -pp För - D - 5-7pp För - C - 8-pp För - B - -pp För - A - -6pp Till smtlig uppgiter krävs ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd sklll motivers. Skriv elstt med blyertspenn! Lyck till!

2 Är du godkänd på KS oppr du över uppgit -.. Bestäm med jälp v derivtns deinition. p. y e. Bestäm ekvtionen ör den tngent till kurvn som r tngeringspunkt med -koordinten. p. Bestäm störst oc minst värdet ör unktionen 6 9 i intervllet < < 5. p Är du godkänd på KS 5 oppr du över uppgit -6. I en geometrisk tlöljd är n n. Vis tt s n n n. p 5. Kurvn y r en etrempunkt. Bestäm läget v denn smt vgör om det öreligger ett mimum eller ett minimum. 6. Tlen i en ritmetisk tlöljd beteckns,,, K. Mn vet tt oc tt. Bestäm det emte tlet i tlöljden. Dess uppgiter gör ll 7. y. Bestäm ekvtionen ör de tngenter till kurvn som går genom origo. p p p Beräkn. p 9. Klle sätter in 5 kronor på ett bnkkonto med årsräntn %. Två år senre sätter Kjs in kronor på ett nnt bnkkonto med årsräntn 5 %.. Hur lång tid tr det innn Kjs oc Klle r lik mycket pengr på sin konton? b. Bestäm tillvättkten, uttryckt i kronor per år, på Klles oc Kjss bnkkonton em år eter Klles insättning. p p. Bestäm konstntern oc b i unktionen b 9 så tt tt r etremvärden ör ±. p. Genertrisen, s, os en rät cirkulär kon r längden, cm se ig.. Bestäm ur stor volym konen mimlt kn. s p

3 . Lösningsörslg 6 då. Svr: 6.. y e y e. y e e. y e e. Alltså är punkten ; e tngeringspunkt. Tngentens ekvtion: y e m. ; e ligger på tngenten. Alltså: e e m m. Svr: Tngenten r ekvtionen y e om 9 ± ±.,. Funktionsvärden i intervllets ändpunkter smt i derivtns nollställen studers: Funktionsvärden i intervllets ändpunkter kn inte nts, dvs. störst värde skns etersom 9 >, där är det lokl mimivärdet i intervllet. Minst värde är däremot. Svr: Störst värde skns, minst värdet är.. n n. s n k k n n n n. Alltså:. k s n n n. n

4 5. y. y. y. y om. y 6 y ; 6 är en minimipunkt. y > Svr: ; 6 är en minimipunkt oc. 8d 8d 8 d. 5 d. Svr: y y Antg tt tngeringspunkten r koordintern är ; oc ; två punkter på tngenten. y y k. ;. Tngenten går genom origo. Alltså k ±. k y Alltså är tngeringspunktens -koordint eller -, vilket ger tt tngentens k-värde är eller -. Därmed r tngenten ntingen ekvtionen y eller y. Etersom båd tngentern går genom ; r de m-värdet. Svr: y eller y Svr:. 5.

5 9. Antg tt det tr år. 5,, 5 ln5 ln, ln ln, 5 ln5 ln ln, 5 ln5 ln ln, 5 ln, 5 ln, 6, 68. ln, 5 ln, b. Klles kpitl: y 5, y 5 ln,,. 5 y 5 5 ln,, 5,. Kjss kpitl: y,5 y ln,5,5. 5 y 5 ln,5,5 67,78. Svr:. 7 år, b. Klles kpitl r tillvättkten 5: kronor/år, Kjss kpitl r tillvättkten 67:78 kronor/år.. b 9 b 9. b 9 b 9. Om ekvtionern dders år mn 6 8. Insättning i den nedre v ekvtionern ger b 9 b Svr:, b.. V π R. Pytgors sts ger R R. Alltså: V πr π π, där,. V π. V π s R V om π ± ± 8. Endst det positiv värdet ingår i deinitionsmängden. π V 8 V '' 8 π π < Q Mimum Svr: Den miml volymen är 696 cm

6 Rättningsmll. Ej utnyttjt dierenskvoten: p. Fel tngeringspunkt, rätt ör övrigt: Avdrg p. Anger 9 som unktionens störst värde: Avdrg p. Fel kvot: Avdrg p 5. Felderivering: p 6. Misstr det emte tlet ör något nnt tl: Avdrg p 7. Svrr med endst en tngent: Avdrg p 8. Felderivert: p 9. Fel enet i svret på b.: Inget vdrg. Felderivert: p Fel i lösningen v det uppkomn ekvtionssystemet: Avdrg p.. Motiverr inte tt det öreligger ett mimum: Avdrg p

7 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtikk C TEN Tekniskt bsår Anders Clennder, Svnte Grnqvis st & Jons Stenolm Nicls Hjelm Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -pp För - D - 5-7pp För - C - 8-pp För - B - -pp För - A - -6pp Till smtlig uppgiter krävs ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd sklll motivers. Skriv elstt med blyertspenn! Lyck till!

8 . Bestäm med jälp v derivtns deinition då p. Bestäm då 8. Bestäm störst oc minst värdet i intervllet ör unktionen p p. Skidåkren Gunde är på ett dgr långt träningsläger. Den örst dgen åker n L km. Gunde ökr träningsdosen, så tt n vrje dg åker Δ L km k längre än dgen innn. På dett vis blir det så tt n den elte dgen åker precis dubbelt så långt som den örst dgen. Gunde konstterr däreter tt n smmnlgt under sitt s träningsläger åkt km. Hur lång sträck åkte Gunde den örst dgen? p b Hur mycket ökde Gunde träningsdosen rån en dg till nästöljnde dg? p 5. Av en kvdrtiskk plåtskiv med sidn cm sk mn gör en låd utn lock genom tt klipp bort lik stor kvdrter i vrje örn oc sedn vik upp kntern vid de streckde linjern. Mn vill tt lådns volym sk bli så stor som möjligt. Hur stor sid år då lådns botten sträckn mrkerd med i iguren? p cm cm 6. Ke älls i en termos. Ketemperturen ges v uttrycket t 65 e t är temperturen i C oc t är tidenn i timmr eter det tt ket k älltss i. Beräkn '5 b Tolk resulttet rån i ord.,8t där p p

9 7. Funktionen r egenskpern ' oc Gren till inns blnd nednstående grer. Ange vilken gr det är. Endst svr erordrs. p A B C y y y D y E y,t 8. Förlyttningen v ett ordon st meter ges v unktionen s t 8 8 e där t är eter t sekunder. Bestäm ordonets medelstiget i intervllet t 5 p 9. I den punkt på kurvn y som r -koordinten drs en tngent. Bestäm en ekvtion ör denn tngent. p. Bestäm eventuell lokl mimi-, minimi- oc terrsspunkter till unktionen. p. En cylinderormd burk utn lock sk tillverks. Volymen sk vr,5 liter d v s,5 dm. Bestäm vilket mått på rdien mn skll välj, ör tt mterilåtgången skll blir så liten som möjligt. p. Sprsmm Soi stte i börjn v vrje år in kronor på ett konto med den årlig räntestsen,5%. Först insättningen gjordes 98 oc den sist 999. Hon de dock inte råd tt gör någr insättningr 99 oc 99. Hur mycket pengr nns det på kontot direkt eter tt den sist insättningen gjorts? Avrund svret till el kronor. p

10 Lösningr. lim lim lim lim lim lim. 6 ' 8 ' 8 8 / /. ger ' ' Av dess ligger smt i intervllet. Vi beräknr nu unktionens värde ör dess -värden smt i intervllets ändpunkter. 6 Svr: Funktionens störst värde är, unktionens minst värde är -6

11 . Med sedvnlig beteckningr ås n L L sn n s 6 L L km L L b kn uttrycks på två sätt n L n d L ΔL Sätt nu dess uttryck lik så ås ekvtionen L ΔL L L ΔL L ΔL ΔL, km 5. V y där y V 5 5 V ' V ' ger y 5 < < Endst är tillåten. V ' V '' V '' < Q Mimum Svr: Bottenytns sid skll väljs till / 6,7 cm

12 6. C/,,,8 65 '5,8 65 ' 65,8 5,8,8 e e t e t t t Eter 5 timmr minskr ketemperturen med stigeten C/, 7. Svrslterntiv E 8.,5 m/s ,, 5, Δ Δ Δ Δ e e s s t s t t s s t s e t s t 9.,75,75,5,75 ' ' ;,5,, : Tngeringspunkt y m m m k y y k y y y

13 . ' ' ger '' 6 '' '' 6- > Q Vi måste gör teckenstudium! Q Minimipunkt För tt vgör krktären då bestämmer vi derivtns värde i enn punkt till vänster om smt i en punkt till öger om dock måste ju den sistnämnd ligg till vänster om. ' ',5,5,5 <,5,5 < Vi r teckenvälingenn vilket gör tt vii r en terrsspunkt! Svr: Terrsspunkt: ; Minimipunk kt: ;,5. Cylinderns volym V π r,5 πr Mterilåtgången bestäms v totl begränsningsytns re A A πr A r πr πr πr, 5 πr πr πr r r r >

14 A r πr r π r r A r r π πr r,,59 dm πr πrπ r r π A r π r A'',59... > π r Q minimum Svr: r, 5 dm. I iguren nedn r inbetlningrn åskådliggjorts på smm sätt s som i kurslitterturen. Utelämnde pilr r mrkerts med Det sökt beloppet beräknss enklst som genom tt beräkn två delsummor, kllde s I oc s II i iguren I: Värdet vid börjn v 999, v de insättningr som gjordes 98 t o m 989. II: Värdet vid börjn v 999, v de insättningr som gjordes 99 t o m 999. s s s I II TOT Geometrisk summ,5,5 98,, 5, k,5, n,5 8 Geometrisk summ,5 98,,, k,5, n 8,5 s 86 kr I s II

15 Anm: Den örst summn kn även beräkns som s I Värdet v de örst insättningrn vid989 års slut multiplicert med,5,5,5,5 98,

16 Rättningsmll I smtlig ll gäller: deriveringsel -p Använder ej derivtns deinition -p lim skns elt -p lim skns på något enstk ställe ej vdrg. Korrekt uttryck ör derivtn ' men el vid beräkning v ' -p. Undersöker endst ändpunkter -p Undersöker endst punkter där ' -p Svrr med punkter, ej med -värden -p. Rätt eller el 5. Påvisr ej mimum -p Anger vrken deinitionsmängd eller kollr tt / är möjligt -p 6. Felktig enet/enet skns -p 6b. Det rmgår ej tt temperturen minskr -p Enet skns/elktig enet -p Beräknr momentnstiget -p 9. Rätt lutning på tngenten, sedn el -p. Bestämmer inte punkterns krktär -p en gång Drr den elktig slutstsen '' terrsspunkt -p dock inte ytterligre vdrg om vdrg enligt regeln på örst rden gjorts Beräknr vid teckenstudium kring derivtn i en punkt > -p dock inte ytterligre vdrg om vdrg enligt regeln på örst rden gjorts Svrr med -värden istället ör punkter -p. Korrekt reunktion i en vribel, sedn el -p Påvisr inte minimum -p. Räknr med insättningr istället ör oc/eller 7 år istället ör 8 -p Räknr som om mn gjort insättningr utn uppeåll -p Räknr som om mn gjort insättningr utn uppeåll smt subtrerr eller dett belopp multiplicert med någon örändringsktor -p

17 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtik C TEN Tekniskt bsår Bengt Anderssonn & Stn Linneus Nicls Hjelm Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -p För - D - 5-7p För - C - 8-p För - B - -p För - A - -6p Till smtlig uppgiter krävs k ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd skll motivers. Skriv elst med blyertspenn! Lyck till!

18 Hopp över uppgit - om du är godkänd på kontrollskrivning.. En unktion deiniers v 7. Beräkn p b p. Bestäm störst oc minst värdet v unktionen 6 9 i intervllet -. p. Beräkn derivtn v unktionern y e. p b y. p Hopp över uppgit -6 om du är godkänd på kontrollskrivning 5.. Bonden Per-Erik sk ägn in två lik stor gr vid en strnd enligt iguren. Per-Erik r m stängsel. Ställ upp ett uttrycke ör grns smmnlgd re som unktion v grns bredd. Ange deinitionsmängden ör unktionen. p b Bestäm så tt grn år så stor re som möjligt. p 5. Beräkn summn p 6. Mrtin överväger tt börj spr pengr på bnken ör tt dryg ut sin pension. Hn tänker sätt in kr. vrje år med börjn på sin 5-årsdg. Den genomsnittlig årsräntn uppskttr Mrtin örsiktigtvis till, %. Hur mycket pengr kn Mrtin räkn med tt på kontot eter sist insättningen på 65-årsdgen? Avrund svret till el kr. p

19 Uppgit 7- sk ll gör. 7. Bestäm ekvtionen ör tngenten till kurvn y 5 i punkten,-. 8. Lös ekvtionen n, där -. p p 9. Bestäm koordintern ör smtlig m-, min- oc terrsspunkter till 5 5. p. Bilden visr ett kortus med yr våningr. Hur mång kortt beövs örr tt bygg ett kortus med n våningr enligt smm modell? p. Beräkn ren v den störst rektngel som år plts i tringeln enligt iguren. p 5 cm 5 cm 8 cm. För unktionenn, där är en konstnt, inns ett värde på så ttt oc. Bestäm dett värde på smt konstnten. p

20 Lösningr b Derivtns nollställen ges v Lösningr enligt pq-ormeln ± ±, dvs oc. Av dess ligger br i det givn intervllet. Funktionsvärdet är Undersök nu intervllets ändpunkter: ; Svr: Störst värdet är, minst värdet är -6. y e. b 8 6e y y... Hgrn utgör tillsmmns en rektngel med sidorn oc m. Aren blir därör A - m. Rektngelns sidor måste vr positiv, dett ger gränsern > oc > <. Svr: Aren ges v A - m, där < <. b A - ger A 6 Andrderivtn 5 -. Derivtn r ett end nollställe 5. A är negtiv, vilket innebär mimum. Svr: Termern utgör en ritmetisk tlöljd med dierensen d. Ur smbndet n n-d kn mn lös ut ntlet termer n n Summormeln ger d d s Eter n insättningr är summn,,,, n- n,, summn 5855 kr.. Totl ntlet insättningr rån 5 till 65 år blir. För n år vi

21 7. Kurvns derivt y 6. Tngenten är en linje med riktningskoeicienten k y. Tngentens ekvtion är därör v ormen y m, där konstnten m bestäms så tt linjen går genom punkten, -. Dett ger - m m -5. Svr: y Sätt in i ekvtionen, 6 oc Dett ger Lösning enligt pq-ormeln ger ± ±. Svr: Lösningrn är oc -. 5 ' ' ger '' 5 '' '' 5 5 > Q Vi måste gör teckenstudium! Q Minpunkt! Vi gör nu teckenstudium v unktionen genom tt beräkn derivtn ör något värde < smt ör något värde < <. Vi beräknr t e ' 5 ' > Derivtn kring r lltså teckenvälingen, vilket innebär tt vi r en mpunkt. 5 6 < Nu återstår br tt beräkn y-koordintern ör de ktuell punktern

22 Svr: Mpunkt, smt minpunkt,. Låt n vr ntlet kort i n:te våningen uppirån räknt. Denn våning består v n upprest kort plus n- kort som tk, vilket ger n n-. Dess tl utgör en ritmetisk tlöljd. Totl ntlet kort i kortuset blir n:te delsummn v denn tlöjd: s n n n n n n n.. Tringelns öjd bestäms med Pytgors sts till cm. Tringelns ögr sid r ekvtionen y. Rektngelns re blir A 6, där < <. Arens derivt A 6 r nollstället Där r ren värdet A 6. Vid intervllgränsern oc ntr ren värdet. Därör måste 6 vr det störst värdet. Svr: 6 cm. y y. ln. Om mn sätter in den övre ekvtionen i den undre, år mn ln e /. Om mn sätter in dett i övre ekvtionen, år mn e ln ln. Svr: ln, e /.

23 Rättningsmll. Rätt eller el på oc b.. Korrekt beräknt mimum men inte kollt ändpunktern: p.. Rätt eller el på oc b.. Ej ngivit deinitionsmängd: - p. b Ej motivert mimum: - p. Som motivering godts ndrderivt, teckentbell eller örnutsresonemng, t.e. tt A är positiv smt går mot i ändpunktern. 5. Rätt eller el. 6. Fel ntl insättningr: - p. 7. Br beräknt derivtn: - p. 8. Rätt ekvtion men el lösning: - p. 9. Misst ett nollställe till derivtn: - p. Utebliven eller elktig motivering ör m/min/terrss ger - p per gång.. Missuppttning v iguren som inte leder till väsentligen lättre problem: - p.. Felktigt uttryck ör ren som inte leder till väsentligen lättre problem: - p. Ej motivert mimum: - p. Ej ngivit deinitionsmängd: Inget vdrg.. Rätt uppställt ekvtionssystem: p.

24 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtikk C TEN Tekniskt bsår Anders Clennder, Svnte Grnqvis st & Jons Stenolm Nicls Hjelm Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -pp För - D - 5-7pp För - C - 8-pp För - B - -pp För - A - -6pp Till smtlig uppgiter krävs ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd sklll motivers. Skriv elstt med blyertspenn! Lyck till!

25 . Bestäm med jälp v derivtnss deinition, då p. Funktionen y g deinierd ör > r ett loklt mimum då Vilket värde r? Endst svr ordrs.b Nedn inns gren till unktionen y g där 5 5 I vilk intervlll är unktionens derivt negtiv d.v.s. g <? Endst svr ordrs p p. Bestäm ' ekt till unktionen 6. En boll ksts rkt upp i luten. Bollens öjd kn beskrivs som,5 5 5, där S är öjden i meter oc t är tidenn i sekunder. Hur ögt når bollen? p p 5. Bestäm konstnten så ttt p r ett loklt etremvärde då. Bestäm även vilken typ v etremvärde det är. 6. Mormor Stin sätter vrje år in kronor på ett bnkkonto. Hur mycket pengr inns på kontot precis eter den :e insättningen? Kontots årlig räntsts ärr,5%. 7. Bestäm störst oc minst värdet som unktionenn 5 ntr i intervllet 6 8. Den 5:e termen i en ritmetisk tlöljdd är -5. Den 6:e termen i tlöljden är 8 Beräkn summn v de örst termern i tlöljden. p p p

26 9. Budirmn Spring r ett mycket örmånligt pris ör tt del ut ekomomipket För ekonomipketen, som r ormen v ett rätblock, gäller dock öljnde storleksbegränsningr: p Längd bredd bredd öjd öjd år mimlt vr 7 cm Bredden måste vr dubbelt så stor som öjden Du vill skick ett pket med så stor volym som möjligt. Vilk mått sk ditt pket?. Tevtten i en termos vsvlnr enligt den eponentiell modellen p C där vttnets tempertur är T enet: C, timmr eter tt vttnet älldes i termosen. Rummets tempertur är el tiden C. Eter riktigt lång tid är T ungeär C. Klockn 5. vr temperturen i termosen 8 C oc temperturen minskde just då med,88 C/timme. När älldes det koknde vtten, C, i termosen?. Kurvn går genom punkten b ; d.v.s.. Linjen g tngerr kurvn i punkten b ;. Linjen g skär -eln i punkten ; < <b p Bestäm värdet på oc b. OBS! Bilden B är inte sklenlig

27 Lösningsörslg: L. lim lim lim lim lim Svr: L. g L.b - < < - oc < < L. 6 6, 8,5, 8,5, 7,5 Svr: 7,5 L., Sätt S t till noll ör tt inn vändpunkten 5,5 Undersök typ v etrempunkt:,5 Alterntiv: t.5 S t St M Beräkn punktens y-koordint:,5,5 5,5 5,5,75 L5., 8 8 Sätt derivtn till noll ör tt inn i etrempunkten 8 Undersök typ v etrempunkt: 8 Svr: ger mimum i punkten Geometrisk summ: L6. n,, k,5,5,5 5

28 L Sätt derivtn till noll ör tt inn etrempunkter 6 5 5, 5 Undersök unktionsvärden i etrempunkter oc i intervllens ändpunkter: - ingår ej i intervll Svr: Störst värde är oc minst värdee är i intervllet L8. Aritmetisk summ: n n d ger d 5 5d d 8 5 d d d 8 smt Dett ger det :e tlet i tlöljden: 7 n n 77 S n S 5 Svr: S 5 L9., , >, b>, l> Modell:Volymen är V cm då öjden är cm 5 där Sätt derivtn till noll ör tt inn etrempunkter: ej lösning -tillör ej deinitionsmängden Undersök typ v etremvärde: 8 7 Alterntiv: V V M Beräkn måtten när Volymen V är miml: Svr: Lådn sk cm, b6 cmm oc l9 cm ör tt å miml volymm l b [cm]

29 L. Modell:Vttnets tempertur vid tiden timmr rån kl 5:, T 8 Ce 8 C 6,88 T ',88 6ke,88 k k,8 6,8,8 8,8 T 6e e ln e ln 6 ln ln,8 ln e ln ln 6,,8 Deinitionsområdet blir 6 Dvs klockn 5. de det gått 6 timmr sedn vttnet älldes i. d.v.s vttnet älldes i 9:. L., b o<<b Tngenten g:,,, g > ö ö Funktionen : b > ö ö Svr: oc b

30 Rättningsmll. --..b nvänder slutn intervll -p. beräknr men inte -p. ej undersökt typ v etremvärde inget vdrg ittt unktionens etremvärden p 8. ittt d eller p 9. ittt uttryck ör Vl, Vb eller V p ej undersökt typ v etremvärde -p ej ittt oc örkstt -p. ställt upp tre ekvtioner som beskriver smbnden p br beräknt tiden6 inte klockslget -p. kommit rm till tt b ej ittt oc örkstt b, en eller båd -p elktig nsts på tngentens lutning -p

31 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtik C TEN Tekniskt bsår Bengt Andersson, Svntee Grnqvist & Stn Linneus Nicls Hjelm Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -p För - D - 5-7p För - C - 8-p För - B - -p För - A - -6p Till smtlig uppgiter krävs k ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd skll motivers. Skriv elst med blyertspenn! Lyck till!

32 Hopp över uppgit - om du är godkänd på kontrollskrivning.. Bestäm då p. Bestäm med jälp v derivtns deinition, då p. Bestäm derivtn v dess unktioner: 5 5 p b e p Hopp över uppgit -6 om du är godkänd på kontrollskrivning 5.. En boll ksts rkt upp i luten. Dess öjd kn beskrivs som p t,5 6,9t,9t, t > där är öjden över mrken i meter oc t är tiden i sekunder. Funktionens end etremvärde är ett mimum. Hur ögt når bollen? 5. En boll ksts rkt upp i luten. Dess öjd kn beskrivs som p t,5 6,9t,9t, t > där är öjden över mrken i meter oc t är tiden i sekunder. Vd är bollens stiget precis innn den når mrken? 6. Beräkn summn v tlen i denn tlöljd: 9,, 5, 76, 79, 8 p

33 Uppgit 7- sk ll gör. 7. Bestäm derivtn till unktionen 8. Bestäm konstnten så tt >, r ett etremvärde då. Bestäm även vilken typ v etremvärde det är., 9. Funktionenn e ärr deinierd ör. Bestäm unktionens störst oc minst värde i intervllet. Ange svret med två värdesiror r. Grest kommun sk bygg en bollpln. Den sk vr rektngulär med stängsel runtomkring. För tt inte bollrn sk mn utee på vägen bestämmer mn sig örr tt bygg ett ögre stängsel på den sid s som ligger närmst vägen, se igur. p p p p Kommunenn r bestämt tt stängslet mimlt år kost kr. Det lägre stängslet kostr 5 kr/m oc det ögre 5 kr/m. Kostnden ör stolpr oc grindr ingår i priset ör stängslet.. Beräkn bollplnens miml re.. Frbror Jon bestämmer sig ör tt sätt in kr på ett bnkkonto vrje år. När n sätter in pengr den :e gången är dock beloppet kr. De öljnde åren ortsätter insättningrn som vnligt med kr. 7 år eter den örst nsättningen gör n en sist insättning. p Hur mycket pengr inns på kontot direkt eter denn insättning. Räntn är el tiden % %. Ange svret i el kronor. För en unktion gäller. Med jälp v derivtns deinition bestäms ör smm unktion derivtn i en punkt P: p, p y enligt öljnde p lim p p Beräkningen ger resulttet 6.. En tngent drs i punkten P. Bestäm tngentens ekvtion.

34 Lösningsörslg: L, ', ' 5 Svr: ' 5 L ' lim lim lim lim Svr: ' L ' Svr: ' Lb e, e e ' Svr: e ' L t,5 6,9t,9t, t >, ' t 6,9 9, 8t Miml öjd när ' t : 6,9 9,8t > 6,9 t, 7s 9,8 Höjden när t, 7s :,7, m,7,5 7,7,9 9 Svr: Den miml öjden är,9 m L5 t,5 6,9t,9t, t >, ' t 6,9 9, 8t Vid mrken är t :,5 6,9,9 6,9,5 t t > t t,9,9 6,9 t ±,9 6,9,9,5,9 t, 65 s ej lösning etersom t>, t, 5995s Hstigeten när t, 5995s : ',5995 6,9 9,8,5995 8,8 m/s Svr: Vid mrken är stigeten 8,8 m/s riktd nedåt

35 L6 9,, 5, 76, 79, 8 är en ritmetisk summ där 9,, 8 n oc d 9 n 8 9 n n d > n 9 d n S 9 86 Svr: Summn v tlen i tlöljden är S 9 86 L7,5, L8, ', '' Etrempunkt när ' : >,5 ',5 Svr: ' Typ v etremvärde: '' < d.v.s. mimum Svr: Det blir ett mimum i om,,, L9 e, ' e, e Etrempunkt när ' :,, e > e >, ln > ln, Aktuell värden:, e,ln, ln e 6, minst värde,, e störst värde Svr: Störst värde är oc minst värde är 6,

36 L Längden på ög stängslet m: Längden på låg stängslet m: z Meterpriset på ögt stängsel kr/m:5 Meterpriset på lågt stängsel kr/m:5 Priset kr: P 5 5 z oc P > z > 6 z > z Aren m : A z A' ; A '' Etremvärde ör ren när A ' : > > m Typ v etremvärde: A '' < > mimum Miml re: A m Svr: Miml re är m z m L Just eter den 8:e insättningen kommer insättning nr tt värdet, 7 kr nr tt värdet, 6 kr.. nr tt värdet, 7 kr nr tt värdet, 6 kr dvs nr, 6 kr smt etr insättning, 6 kr nr tt värdet, 5 kr nr 7 tt värdet, kr nr 8 tt värdet kr Dvs nästn en geometrisk med summ S n där insättning nr 8 är örst term:, k, oc n 8. En etr term bestående v, 6 läggs till ör tt kompenser ör de etr kr som sttes in vid den :e insättningen. Summn eter den 8:e insättningen blir lltså: S 8, 6 8, 6, 89kr, Svr: 7 år eter den örst insättningen inns 89 kr på kontot

37 L Enligt derivtns deinition: lim p p ' p lim p lim p p lim p p p Q ' Vi kn lltså dr slutstsen tt där är en konstnt. ' p 6 p 6 p p Vi beräknr nu p y : y Tngenten y t r lutningen: k ' p 6 yt p y k p Enpunktsormeln ger: Svr: Tngentens ekvtion är y t 6 7 y t 6 y t 6 7

38 Förslg på rättningsmll: R Felderivert -p R Använder ej derivtns deinition -p R-b Inte elt korrekt -p R Visr inte tydligt tt t undersöks -p R5 Visr inte tydligt tt t undersöks -p R6 Motiverr inte d inget vdrg Motiverr inte n9 -p R7 Inte elt korrekt -p R8 Visr inte tydligt tt undersöks -p Motiverr inte typ v etremvärde -p R9 Visr inte tydligt tt undersöks -p Svrr ej med ± värdesir -p R Uttrycker Aren korrekt oc med en vribel p Visr inte tydligt tt A undersöks -p Motiverr inte typ v etremvärde -p R Beräknr med 7 insättningr -p Ingen änsyn till :e insättningen -p Felktig änsyn till :e insättningen -p R Hittr oc motiverr k p Hittr p p

39 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtikk C TEN Tekniskt bsår Bengt Andersson, Svnte Grnqvist t & Stn Linneus Nicls Hjelm Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -pp För - - D p För - - C p För - - B - - -p För - - A p Till smtlig uppgiter krävs ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd sklll motivers. Skriv elstt med blyertspenn! Lyck till!

40 . Härled genom tt nvänd derivtns deinition derivtn till p. Låt p Beräkn. Bestäm störst oc minst värdet till unktionen p på intervllet <. En rätblocksormd låd med kvdrtisk botten, oc utn lock sk tillverks v p krtong. Mn år nvänd mimlt dm krtong, vilken är den störst volym som lådn kn? 5. Beräkn summn p 6. Osqur r stt in 7 5 kronor den : jnuri vrje år sedn 99. Årsräntn p är,65 %. Hur mycket pengr inns på kontot december? 7. Ekvtionen r en lösning e. Bestäm. p 8. Bestäm ekvtionen ör tngenten till kurvn y e e i punkten där p 9. Bestäm koordintern till smtlig min- m- oc terrsspunkter till p Ange ör vr oc en v punktern om de är min-, m- eller terrsspunkt.. Givet unktionern oc g 6, bestäm smtlig p värden på konstnten så tt g.

41 . Tänk dig tt du skickr ett så kllt kedjebrev till n v din vänner oc ber dem tt vr oc en i sin tur skick en kopi v brevet till n v sin vänner o.s.v. Eter m genertioner, där du är den örst, r el jordens beolkning s ått en kopi v brevet.. Härled en ormel ör ur mång genertioner m som beövs ör tt jordens el p beolkning sk å en kopi v brevet, givet tt ingen år brevet mer än en gång oc tt ll verkligen skickr n brev, smt börj med dig själv som om du ått ett brev. 9 b. Antg tt s 7, oc n oc beräkn m. p. En mburgerresturng säljer ett mburgermål till priset p kr. Mn vet tt p ntlet såld mburgre n på en dg ges v ormeln p n p Ställ upp ett uttryck ör resturngens totl intäkt Tp under en dg rån mburgermålet. Beräkn vilket p som ger störst värdet på Tp. Avrund svret till el kronor.

42 Lösningr. Härled genom tt nvänd derivtns deinition derivtn till p 6 6 lim 6 lim 6 lim 6 lim lim lim lim. Låt p Beräkn 5. Bestäm störst oc minst värdet till unktionen p på intervllet < Sök derivtns nollställen: ± ± De som är intressnt tt undersök är lltså: Minst värdet inträr i ;, störst värdet inträr i ;,. Båd punkterns -värden ligger inom intervllet. Svr Minst värdet är, störst värdet är.. En rätblocksormd låd med kvdrtisk botten, oc utn lock sk tillverks v p krtong. Mn år nvänd mimlt dm krtong, vilken är den störst volym som lådn kn?

43 > < < d dv d dv V V A Alterntiv lösning : beöver inte undersöks ändpunktern 8 ger ett loklt mimum oc < > V d V d d V d Alterntiv lösning, utn ndrderivt: Undersök värden i den unn punkten oc i ändpunktern: V V V Störst volymen är 8 dm 5. Beräkn summn p Summn är ritmetisk, skillnden melln två på vrndr öljnde tl d är 5, serien inneåller n termer, d n d n n n Dett ger summn n n

44 6. Osqur r stt in 7 5 kronor den : jnuri vrje år sedn 99. Årsräntn p är,65 %. Hur mycket pengr inns på kontot december? Låt vr det årligen instt beloppet oc p örändringsktorn. p,65, 7 5. Sist insättningen örränts till p, näst sist till p osv till den örst som örränts till Vi år en geometrisk summ n p n S S p p p k k n { k p p n } p p p p p p,65,65 S 75 9,9,65 Indt är rimligen ekt, oc svret bör därör vrunds till el kronor oc ören. Svr Osqur r 9,9 kr på kontot december p 7. Ekvtionen r en lösning e. Bestäm. p e e e e då e > måste 8. Bestäm ekvtionen ör tngenten till kurvn y e e i punkten där p y e e y e e e e Tngentens lutning är lltså oc dess ekvtion tngerr kurvn vid y m, dvs en konstnt. Tngenten m y e e e e Svr: Tngentens ekvtion blir y e 9. Bestäm koordintern till smtlig min- m- oc terrsspunkter till p Ange ör vr oc en v punktern om de är min-, m- eller terrsspunkt.

45 ger en minimipunkt 8 ger en mimipunkt ger en minimipunkt 8 > < > Svr Funktionen r minim i -; oc ;, smt ett mimum i ;. Givet unktionern oc 6 g, bestäm smtlig p värden på konstnten så tt g ,, ± ± ± ± ± ± t t t t t t g g Svr -; -; eller. Tänk dig tt du skickr ett så kllt kedjebrev till n v din vänner oc ber dem tt vr oc en i sin tur skick en kopi v brevet till n v sin vänner o.s.v. Eter m genertioner, där du är den örst, r el jordens beolkning s ått en kopi v brevet.. Härled en ormel ör ur mång genertioner m som beövs ör tt jordens el p beolkning sk å en kopi v brevet, givet tt ingen år brevet mer än en gång oc tt ll verkligen skickr n brev, smt börj med dig själv som om du ått ett brev. b. Antg tt 9, 7 s oc n oc beräkn m. p

46 m n n s n s n n s n n ln s n m ln n ln s n m ln n s 7, n 9 m m 9 ln7, m,8 ln Svr b: det beövs minst genertioner ör tt el jordens beolkning sk å brevet eter genertioner r inte el jordens beolkning ått brevet.. En mburgerresturng säljer ett mburgermål till priset p kr. Mn vet tt p ntlet såld mburgre n på en dg ges v ormeln p n p Ställ upp ett uttryck ör resturngens totl intäkt Tp under en dg rån mburgermålet. Beräkn vilket p som ger störst värdet på Tp. Avrund svret till el kronor. p p T p n p p p p T p T p p p p p ± 6 p T p 6 T p p > < p p p 57,7 ger ett mimum Etersom det unn värdet på p ligger vid unktionens end lokl mimum i intervllet måste intäkten vid intervllets gränser vr lägre.

47 Svr Miml intäkt ås om priset sätts till 58 kronor.

48 Rättningsmll. Använder inte derivtns deinition -p lim Kopplingen rmgår inte -p. Rätt/el. Utelämnr intervllgränsern -p Anger svren som tlpr -p. Utelämnr deinitionsområde -p Undersöker vre sig ändpunktern eller veriierr mimum -p 5. Fel n -p 6. Fel ntl år -p Avrundr ej till - värdesiror, el kronor eller el ören -p 7. Påpekr inte tt e > ör ll -p 8. Undersöker ej min/m/terrss -p 9... Avrundr till genertioner -p Svr med endst - eller unktionsvärden -p. Utelämnr/räknr ej med intervllgränsern -p

49 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtik C TEN Tekniskt bsår Stn Linnæus oc Bengt Andersson Nicls Hjelm Godkändd ormelsmling ISBN eller ISBN , miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -p För - D - 5-7p För - C - 8-p För - B - -p För - A - -6p Till smtlig uppgiter krävs k ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd skll motivers. Skriv elst med blyertspenn! Lyck till!

50 Om du är godkänd på kontrollskrivning, kn du opp över uppgit -.. Låt. Beräkn p b p. Bestäm störst oc minst värdet v unktionen - -9 ör -. p. Beräkn med jälp v derivtns deinition, där. p Om du är godkänd på kontrollskrivning 5, kn du opp över uppgit -6.. På ett cé kostr räksmörgåsrn kr. Försäljningen ligger i medeltl på såld smörgåsr per dg. För tt ök intäktern underr mn på tt öj priset. Men ör vrje kron mn öjer priset vänts örsäljningen minsk med smörgåsr per dg. Vilken prisöjning ger den störst intäkten? p 5. En tlöljd deiniers v rekursionsormeln n n, där. Beräkn. p 6. Beräkn summn p Uppgit 7- sk ll gör. 7. Bestäm ll eventuell mimi- minimi- oc terrsspunkter till unktionen Beräkn om. p p 9. Mirjm tänker börj spr pengr ör rmtid beov. Hon r ett konto, där det redn inns 5 kr. På det kontot tänker on sätt in kr vrje år. Hur mycket kn då örvänts på kontot omedelbrt eter den tionde insättningen om årsräntn ligger konstnt på,5%? p. Bestäm tlet så tt linjen y blir tngent till kurvn y e. p. Bestäm det störst eltl n ör vilket,99,99,99 n- < 99. p. En byggnd sk uppörs i orm v en cylindrisk bs oc en lvsärisk kupol enligt iguren. Byggnden sk volymen m. Vilken rdie sk byggnden ör tt den smmnlgd ren v väggrn oc tket sk bli så liten som möjligt? p

51 Lösningr. 6 5 b. Störst oc minst värde kn nts i intervllgränsern eller där derivtn r nollställe. Derivtns nollställen: pq-ormeln ger ± dvs. oc -. Endst - ligger i deinitionsmängden. Funktionsvärde - 5. Intervllgränsern: - -, -. Svr: Störst värdet 5, minst värdet -.. lim lim lim.. Antg prisöjning kr. Priset blir då kr oc ntlet såld smörgåsr. I r ett end Intäkt I Derivtn nollställe. Andrderivtn I ett mimum ör 5. Svr: Prisöjning med kr. ger miml intäkt. < eller teckenstudium visr tt intäkten r 5. Insättning v n i rekursionsormeln ger. n ger, oc n ger. 6. Tlöljden är ritmetisk med oc dierensen d 5, vilket ger n n n. Antlet termer i summn ges v n n 5 n 6. Summormeln ör ritmetisk tlöljd ger s Derivtns nollställen: ger derivtns nollställen oc -. Teckentbell: Terrss - Min - Svr: Loklt minimum,-, terrsspunkt,-.

52 8. Lösning med kedjeregeln: Sätt u. Då gäller Fu, där Fu u. Kedjeregeln ger F u u u 6. Lösning utn kedjeregeln: Belopp eter örst insättningen: b 5. Belopp eter ndr insättningen: b b,5 5,5 Belopp eter tredje insättningen: b b,5 5,5,5 osv, dvs eter n:te insättningen b n,5,5,5 n- 5,5 n-. Med summormeln ör geometrisk tlöljd år vi b n n,5 5,5,5 n. Dett ger slutbeloppet b 885 kr.. Linjen r riktningskoeicienten. Den kn därör br vr tngent till kurvn i en punkt där y e ln e ln ln. I denn punkt sk linjen ln smmnll med kurvn så tt e ln ln. Dett ger e e ln.. Summormeln ör geometrisk tlöljd ger,99,99,99 n- n,99,99 -,99 n. Vi söker nu tlet så tt -, Omskrivning ger,99,. ln, Logritmering ger 58,5766. Det sökt eltlet n är det minst eltl som är ln,99 mindre än, lltså n 58.

53 . Volymen V πr πr V πr ut πr A V πr V r V πr r r π r πr. Aren A πr πr. Etersom volymen är given, löser vi r. Insättning i ormeln ör ren ger πr. Deinitionsmängden ges v r > oc V πr r V r. π V πr För tt itt minimum v A, beräknr vi derivtn A r. Ekvtionen r V A r r den end lösningen r, vilket ligger i deinitionsmängden om mn π tillåter tt cylinderns öjd är. För tt veriier tt det är ett minimum, kn vi t.e. V π beräkn ndrderivtn A r A r > ör ll r >. Alltså måste ren r V minimum ör r π,5 m. Uppgiten vr lite olyckligt ormulerd etersom lösningen innebär tt cylinderns öjd blir.

54 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF Mtemtik C TEN Tekniskt bsår Stn Linneus Nicls Hjelm Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -p För - D - 5-7p För - C - 8-p För - B - -p För - A - -6p Till smtlig uppgiter krävs k ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd skll motivers. Skriv elst med blyertspenn! Lyck till!

55 . Gren visr. Bestäm ändringskvoten ör då ändrs rån till. p b Bestäm ett ungeärligt värde på enbrt svr, med en deciml. p. b Beräkn e 6 om 8 p p. Ett öremåls rörelse kn beräkns med ormeln st t t där s är sträckn är i m oc t är tiden i s.. Beräkn den genomsnittlig stigeten melln t s oc t s p

56 . Bestäm koordintern ör etrempunktern till unktionen. Avgör också vilken typ v etrempunkter det är. p 5. Ett öretg säljer ör 5 kr under denn örst veckn i jnuri. Företget räknr med tt örsäljningen ökr med krr i veckn örr vrje veck som går. Hur mycket räknr öretget med tt sålt ör när lv året r gått? p 6. Bestäm med jälp v derivtns deinitionn då 7. Funktionen r en tngent då. Bestäm tngentens ekvtion. 7 p p 8. Nedn inns gren till.. För vilk värden på r mimi, minimi eller terrsspunkter? Ange också ör vrje värdee om det är råg om en mimi, minimi eller terrsspunkt. Motiver nog. p e 9. Motiver vrör unktionen är vände ör ll. p. Bestäm konstntern oc b, så tt unktionen y b år ett minimum i punkten,. p. Hugo tr en värktblett, mg, vr sjätte timme det kn nts tt tiden rån tblettenss intgnde till tt blodet upptgitt tbletten ärr kort. Eter 6 timmr inns det ortrnde kvr 75 % kvr i blodet v den gml tbletten. Enligt örpckningens tet är den rekommenderde dosen i blodet ögst 5 mg v värktbletten. Hur länge kn Hugo t tblettern utn tt överstig den rekommenderde dosen på 5 mg? Lösning genom prövning godkänns ej. p

57 . En bostdsrättsörening r prkeringspltser till sin medlemmr. Hyrn ör vrje plts är 85 kr/månd oc smtlig pltser är utyrd. Föreningens kssör tänker öj yrn ör prkeringspltsern. Kssören gör en enkät blnd medlemmrn som visr tt ör vrje öjning v yrn med kr minskr ntlet utyrd pltser med två stycken. Kssören vet också tt de pltser som inte blir utyrd vid en yresöjning kn yrs ut ör 5 kr/månd till ett öretg som ligger i näreten. Utirån enkäten, vilket pris sk kssören t ör prkeringspltsern ör tt å så stor intäkt som möjligt? Lösning genom prövning godkänns ej. p

58 Lösningr: Δy. Δ Avläsning ur gren ger Δy 8 7 Δ Δ y 7 Svr: Δ 8 b Dr en tngent då. Uppskttning v lutningen genom vläsning i gren ger Svr:. Svr: b 6 e e 8 6e 6 8

59 Svr: 6e st t t s s 7 6 m/s Svr: Den genomsnittlig stigeten i intervllet är ungeär 7 m/s. Etrempunktern ås rm genom derivt: ± Etrempunktern ± undersöks med jälp v ndrderivtn: 6 > < 6 Andrderivtns tecken ger tt / är en minimipunkt oc / en mimipunkt. Koordintern ör etrempunktern ås genom:

60 Koordintern blir således,,, Svr: Etrempunkterns koordinter är / är det en mimipunkt.,,,. För / är det en minimipunkt smt ör 5. Summn utgör en ritmetisk tlöljd vrs llmänn ormel lyder: n Sn n där, n är örst respektive sist tlet i tlöljden oc n är ntlet tl. I vårt ll är 5 n 6 ås genom n d där d är ökningen kr/veck. n Insättning ger n Insättning i ger 6 S Svr Försäljningen beräkns vr kr eter 6 veckor.

61 6. För gäller lim lim Svr: 7. 7 Tngenten till unktionen kn skrivs på ormen y k m Lutningen, k, då ås genom derivt: ln ln ln dvs. y ln m m värdet ås genom tt sätt in i ln m m 7 7 Tngentens ekvtion blir lltså Svr: Tngentens ekvtion är 6 y ln 7 6 y ln 7

62 8. Enligt gren är då oc. Det innebär tt oc är etrempunkter. För tt vgör vilken krktär de r nvänds ndrderivtn. Enligt gren är >, dvs en minimipunkt smt < dvs. en mimipunkt. Svr: r en minimipunkt då smt en mimipunkt då. 9. Om unktionen e e e sk vr vände ör ll sk >. Men e > oc ör ll. Då är också >.. b. Om unktionen sk ett minimum då sk gäll: Omskrivning ger: ± Värdet på kontrollers med ndrderivtn ör tt se om det ger ett minimum: > Dvs ett minimum. Insättning ger b. Koordintern, ger: b b b 5

63 Svr: Konstntern är oc b5. Den dos som inns i blodet kn beräkns med en geometrisk summ. Eter 6 när Hugo tr en ny dos inns ju,75 mg kvr i blodet oc eter inns ju,75,75,75 mg kvr. Den llmänn ormeln ör en geometrisk summ är n k Sn k ntlet termer. där k är kvoten oc är strtvärdet smt Sn är den totl summn oc n är I vårt ll är k,75 motsvrnde 75%, är mg smt Sn är 5 mg. Gränsvärdet 5 mg nvänds ör tt beräkn ntlet omgångr n v tbletter: n,75 5,75 n,75 5,5 n 75,75 75 n,75 n 75,75 75 n ln,75 ln 75 ln n 9,6 ln,75 Hugo kn lltså t 9 st omgångr med tbletter utn tt överstig den rekommenderde dosen. Då kn n t tbletter i Svr: Hugo kn t tblettern i 5.

64 . Intäktern ör prkeringspltsern kn skrivs I 85 5, där är ntlet prkeringspltser som sägs upp v örenings medlemmr oc I är intäkten per månd i kronor. Vi söker etrempunktern till unktionen dvs, I Förenkling ger I I I 5,75 För tt veriier tt 5,75 är ett mimum nvänds ndrderivtn I < ör ll, dvs. en mimipunkt. Etersom mn br kn yr ut el pltser måste intäktern ör 5 oc 6 beräkns: I I intäktern blir störst då 6, dvs. kssören sk t 85 kr6 kr5 kr ör prkeringspltsern. Svr: Kssören sk t 5 kr ör prkeringspltsern.

65 Rättningsmll:. b Svr i intervllet,5 < <,9 ccepters.. Enet skns Felktigt ntl värdesiror, inget vdrg. Svr inte med koordinter Teckenel någon gång under uträkningen st svret är korrekt Använder inte gränsvärdesbeteckning st svret är korrekt 7. Bestämmer endst k värdet 8. Liknnde motiverde lösningr ccepters. 9. Deriverr el. Väljer elktigt värde vid minimum bestämning Veriierr inte tt det är ett minimum Svrr med unktionen, inget vdrg Bestämmer enbrt värdet på. Svrr med ntlet doser Avrundr uppåt Motiverr eller visr inte tt den rekommenderde dosen kn skrivs som en geometrisk summ. Veriierr inte m. punkt Veriierr inte vilket värde på som ger störst intäkt Svrr med miml intäkten Svrr med ntlet prkeringspltser

66 TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: HF HF Mtemtik C TEN Tekniskt bsår Bengt Andersson, Stnn Linnæus oc Jons Stenolm Nicls Hjelm Godkändd ormelsmling ISBN eller ISBN , miniräknre, pssre, grdskiv oc linjl För betyget E krävs -p För - D - 5-7p För - C - 8-p För - B - -p För - A - -6p Till smtlig uppgiter krävs k ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd skll motivers. Skriv elst med blyertspenn! Lyck till!

67 Om du är godkänd på kontrollskrivning, skll du opp över uppgit -.. Beräkn 9 om 5 p b Beräkn om e. p. Bestäm störst oc minst värdet v unktionen 9 i intervllet -. p. Bestäm med jälp v derivtns deinition om. p Dess uppgiter gör ll. Bilden visr gren till en unktion i intervllet 8,5. För vilk värden på är? p b I vilket eller vilk intervll är >? p Endst svr krävs på denn uppgit. y y Funktionen e - r en etrempunkt. Bestäm koordintern ör denn punkt oc vgör om den är ett mimum eller minimum. 6. Beräkn ren v den störst rektngel, vrs sidor är prllell med koordintlrn, som ryms inuti området melln -eln oc kurvn y För en ritmetrisk tlöljd gäller tt det tredje tlet är oc det åttonde tlet är 8. Beräkn summn v de tio örst tlen i tlöljden. p p p

68 8. Edvrd lddde ner ett dtspel oc spelde örst dgen timmr. Sedn spelnde n vrje dg 5 % mer än dgen innn tills n en dg spelde över timmr. Då bestämde n sig ör tt slut med spelet. Hur mång dgr öll Edvrd på med spelet? Lösning genom prövning godts inte. p b Hur mång timmr spelde n smmnlgt? Avrund svret till el timmr. p 9. Beräkn om -. p U kt. Bestäm konstnten k så tt uttrycket it e blir en lösning till ekvtionen R Ri t Li t U, där R, L oc U är givn positiv konstnter.. Identiier ll eventuell mimi-, minimi- oc terrsspunkter till unktionen p p. Bestäm en ekvtion ör en linje, som är tngent till båd kurvorn y oc y -. p

69 Lösningr Svr: 9 7 b e 6e. Svr: 6e Derivtns nollställen ges v med lösningrn oc, där ligger utnör intervllet. Vi beöver lltså beräkn unktionsvärdet i oc i intervllets ändpunkter Svr: Störst värdet är, minst värdet är -5.. lim lim, där lim lim lim lim Svr: -/..,5 oc,5,5 < <,5 5. e - e. Derivtns nollställen ges v e e ln -ln. Krktären v denn punkt kn bestämms med ndrderivtn 6e ln 8 >. Dett ger tt etrempunkten är ett ln ln minimum. Funktionsvärdet vid minimet:. Svr: Funktionen r ett minimum i punkten ln ln,.,

70 6. Området melln kurvn oc -eln sträcker sig rån - till. Rektngeln med miml re måste två örn på kurvn i punktern, 6- oc -, 6-, < <. Aren blir A Derivtn A - r nollställen ±. Br den positiv lösningen ligger i deinitionsmängden. Dett - 5 värde ger miml ren etersom ren går mot i deinitionsmängdens gränspunkter. Miml ren blir lltså Svr: Miml ren är e. -, 6- y y -6, Antg n n-d. Villkoren, 8 8 ger. d 7, d. Summormeln s n 7d 8 n n ger s 7 5. Svr: Antlet timmr den n:te dgen ges v n,5 n-. Antlet dgr n är det minst eltl som uppyller,5 n- >. Ekvtionen,5 - ln ger lösningen ln,5 5,. Etersom n måste vr större än dett tl, blir n 6. Svr: 6 dgr. b Summormeln ör geometrisk tlöljd ger s 6 6,5 7.,5 Svr: 7 timmr. 9. Yttre derivtn - oc inre derivtn ln ger ln - 6 ln. Svr: 6 ln.

71 . i t U Ue kt U k R e U kl R kt e kt kt. Insättning i ekvtionen ger e U kt U U R e kl R R L U Ue kt kl.etersom e -kt inte kn vr, är end R lösningen k L R. Svr: k L R.. Derivtn 5 5 r nollställen då oc då 5 5. Andrderivtn är i båd dess punkter oc ger därör ingen inormtion. Teckentbell: 5 - Min Terrss 5 Svr: Minimipunkt,, terrsspunkt 5,5.. Antg tt linjens ekvtion är y k m, där k oc m sk bestämms. Linjen måste gå genom en punkt, y på den örst kurvn, dvs k m Kurvns derivt i denn punkt måste vr lik med linjens riktningskoeicient, dvs k. En nnn punkt, y ligger på både linjen oc den ndr kurvn, vilket ger k m -. I denn punkt sk den ndr kurvns derivt vr lik med linjens riktningskoeicient: - k. Vi r nu yr ekvtioner ör tt bestämm de yr obeknt k, m, oc. oc ger m -. oc ger. Alltså kn ll de ndr vriblern uttrycks i. Sätt in dett i :. Sätter vi in dett i oc, år vi k, m 9. 9 Svr: Linjens ekvtion är y eller y 9.

72

73 Rättningsmll. Rätt eller el på vrje deluppgit.. Missr punkten : - p Kollr inte ändpunktern: - p Tr med punkten : - p. Använder ej derivtns deinition: - p. Avläst -värden i iguren år vvik ögst ±, rån cit. 5. Ger inte y-värdet: - p Svrr med ln,5: Inget vdrg. 6. Anger inte deinitionsmängd: - p Tillåter negtiv : Inget vdrg? Vrken kollr ändpunkter eller bekrätr mimum: - p 7. Summerr utn summormel: Inget vdrg. 8. Fel tillvätktor: -p per deluppgit. Använder elktigt resultt rån -uppgiten vid lösning v b-uppgiten: Inget vdrg Summerr utn summormel: Inget vdrg. 9. Rätt uttryck ör : p. -. Missr en etrempunkt: - p. Felidentiierd etrempunkt: - p. Fullständig uppsättning korrekt ekvtioner klrt ngiven: p

74 HF Mtemtik C TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: HF HF Mtemtik C TEN Tekniskt bsår Bengt Andersson, Håkn Strömberg Nicls Hjelm Dtum: -5-7 Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv, linjl För betyget E krävs - p För betyget D krävs 5-7 p För betyget C krävs 8- p För betyget B krävs - p För betyget A krävs -6 p Till smtlig uppgiter krävs ullständig lösningr Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj Inörd beteckningr skll deiniers Uppställd smbnd skll motivers Skriv elst med blyertspenn Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

75 HF Mtemtik C Hopp över uppgit - om du är godkänd på kontrollskrivningen Uppgit p Bestäm derivtn till med jälp v derivtns deinition Uppgit p Givet unktionen Lös ekvtionen 9 Uppgit p Givet unktionen. En tngent till kurvn drs i punkten,6. Bestäm ekvtionen till denn tngent. Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

76 HF Mtemtik C Dess uppgiter räkns v ll Figur : Uppgit p Bestäm med jälp v igur, som visr gren till ett tredjegrdspolynom y, i vilket intervll både < oc <. endst svr krävs Uppgit 5 p Bestäm nollställen till derivtn v Uppgit 6 p En tlöljd är given genom rekursionsormeln n n 7 där 9. Bestäm summn v tlöljdens 8 örst termer Uppgit 7 p Bestäm det störst respektive minst unktionsvärdet ör unktionen på intervllet Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

77 HF Mtemtik C Uppgit 8 p Elvir sätter i slutet på vrje år in kr på ett konto med årlig räntestsen, %. Hur mycket kommer on tt på kontot när on just r gjort sin tjugonde insättning? Avrund till el kronor. Uppgit 9 p En bil strtr på en rksträck. Vi ntr tt under den tid bilen ccelererr, så är smbndet melln sträck oc tid st t 5t Här mäts t i sekunder oc s i meter. Under ur lång tid ccelererr bilen? Uppgit p På kurvn y är punkten A,5 given. Kurvns tngent oc norml i A skär -eln i punktern T respektive N. Beräkn ren v tringeln ATN. Uppgit p Den totl begränsningsren os en rät cirkulär cylinder är lik stor som den totl begränsningsren v ett lvklot med rdie dm. Hur stor är den buktig ytn mntelytn v cylindern då cylinderns volym är den störst möjlig? Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

78 HF Mtemtik C TENTAMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: HF HF Mtemtik C TEN Tekniskt bsår Bengt Andersson, Håkn Strömberg Nicls Hjelm Dtum: -5-7 Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Omttning oc betygsgränser: Formelsmling, miniräknre, pssre, grdskiv, linjl För betyget E krävs - p För betyget D krävs 5-7 p För betyget C krävs 8- p För betyget B krävs - p För betyget A krävs -6 p Till smtlig uppgiter krävs ullständig lösningr Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj Inörd beteckningr skll deiniers Uppställd smbnd skll motivers Skriv elst med blyertspenn Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

79 HF Mtemtik C Hopp över uppgit - om du är godkänd på kontrollskrivningen Uppgit p Bestäm derivtn till med jälp v derivtns deinition Lösning: Med utgångspunkt rån år vi lim lim lim lim lim lim Svr: Uppgit p Givet unktionen Lös ekvtionen 9 Lösning: Vi strtr med tt t rm derivtorn 6 6 Ekvtionen som sk löss Svr: oc 5 Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

80 HF Mtemtik C Uppgit p Givet unktionen. En tngent till kurvn drs i punkten,6. Bestäm ekvtionen till denn tngent. Lösning: 6. Tngenten r k 6. Med jälp v den punkt,6 som är given kn vi bestämm m i y k m genom 6 6 m, ger m Vi plottr ör säkerets skull gren 5 5 Svr: Tngentens ekvtion är y 6 Dess uppgiter räkns v ll Figur : Uppgit p Bestäm med jälp v igur, som visr gren till ett tredjegrdspolynom y, i vilket intervll både < oc <. endst svr krävs Svr: < smtidigt som < då < < 5 Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

81 HF Mtemtik C Uppgit 5 p Bestäm nollställen till derivtn v Lösning: Den som inte kn nvänd kedjeregeln tvings utveckl till. Derivtn. Med kedjeregeln år vi direkt då eller. Kn mn konjugtregeln kn mn direkt skriv oc vi r de tre nollställen, oc Svr:, oc Uppgit 6 p En tlöljd är given genom rekursionsormeln n n 7 där 9. Bestäm summn v tlöljdens 8 örst termer Lösning: Vi ser tt tlöljden är ritmetisk med öljnde strt 9, 66,,,... Vi örstår tt d 7 oc kn nu bestämm summns 8:e term Summn bestämmer vi nu med ormeln s Svr: Summn v de 8 örst termern är Bengt Andersson, Håkn Strömberg STH KTH

82 HF Mtemtik C Uppgit 7 p Bestäm det störst respektive minst unktionsvärdet ör unktionen på intervllet Lösning: Vi strtr med tt t red på eventuell etrempunkter då, oc. Funktionens r etrempunkter då oc. Ingen v dess ligger dock i intervllet. Återstår tt bestämm oc oc 9 6 Svr: Funktionens störst värde på intervllet är 9 6 oc dess minst är Uppgit 8 p Elvir sätter i slutet på vrje år in kr på ett konto med årlig räntestsen, %. Hur mycket kommer on tt på kontot när on just r gjort sin tjugonde insättning? Avrund till el kronor. Lösning: Just eter den :e insättningen kommer insättning nr tt värdet, 9 kr nr tt värdet, 8 kr... nr 8 tt värdet, kr nr 9 tt värdet, kr nr tt värdet kr Det vill säg en geometrisk summ där insättning nr är örst term:, k, oc n. Summn blir då s, kr, Bengt Andersson, Håkn Strömberg 5 STH KTH

83 HF Mtemtik C Uppgit 9 p En bil strtr på en rksträck. Vi ntr tt under den tid bilen ccelererr, så är smbndet melln sträck oc tid st t 5t Här mäts t i sekunder oc s i meter. Under ur lång tid ccelererr bilen? Lösning: Accelertionen erålls genom s t. Först år vi stigeten som unktion v tiden Sedn ccelertion som unktion v tiden s t t t s t t Bilen ccelererr så länge s t >. Ekvtionen s t, som är en rät linje är > rm till t Svr: Bilen ccelererr under de örst sekundern. Uppgit p På kurvn y är punkten A,5 given. Kurvns tngent oc norml i A skär -eln i punktern T respektive N. Beräkn ren v tringeln ATN. Lösning: Vi strtr med tt bestämm k-värden ör tngent oc norml till kurvn i punkten A. y ger k-värdet y. Normlen r då k. Nu bestämmer vi linjens ekvtion ör tngent oc norml. y km ger ör tngenten 5 m, m. Tngentens ekvtion är y. För normlen år vi 5 m, m. Normlens ekvtion y Tringelns öjd är y 5. Bsen år vi genom tt bestämm vståndet melln tngentens oc normlens skärningr med -eln. Vi år som ger oc som ger. Vi kn nu bestämm bsen till 5 Tringelns re blir då A b Svr: Tringelns re är Bengt Andersson, Håkn Strömberg 6 STH KTH

84 HF Mtemtik C Uppgit p Den totl begränsningsren os en rät cirkulär cylinder är lik stor som den totl begränsningsren v ett lvklot med rdie dm. Hur stor är den buktig ytn mntelytn v cylindern då cylinderns volym är den störst möjlig? Lösning: Vi strtr med tt nge de geometrisk ormler som kommer till nvändning är. Klotets begränsningsre πr Cirkelns re πr πr Hlvklotets begränsningsre πr πr Cylinderns buktig begränsningsre πr Cylinderns totl begränsningsre πrπr Cylinderns volym πr Då r os klotet år vi cylinderns re lvklotets re π π π π Vi kn nu uttryck cylinderns totl begränsningsre πr πr π Vi löser ut oc år ππr πr Cylinderns volym som unktion v oc r 6r r V c r, πr Med smbndet ovn kn vi skriv om unktionen med endst vribeln r. V c r πr 6r r πrπr Det är os den är unktionen vi opps på tt inn ett mvärde. V c r π6πr V c r då π 6πr som ger röttern r ±. Den negtiv roten är ej ktuell. Andrderivtn V c r πr ger V c < vilket betyder tt vi r ett mimum. Då r är cylinderns buktig begränsningsre π 6 8π Svr: 8π dm Bengt Andersson, Håkn Strömberg 7 STH KTH

85 . Använder ej derivtns deinition -p Korrekt örenklt uttryck ör derivtn, el vid gränsvärdesberäkningen -p. -. Deriveringsel -p Rätt lutning på tngenten, sedn el -p. Rätt eller el Svr med < eller ccepters 5. Deriveringsel -p Vrje sknd lösning -p 6. Korrekt uppställd summ där strtvärde, dierens oc ntl termer klrt rmgår, sedn el -p 7. Deriveringsel -p Bektr br ändpunktern -p Bektr br de punkter där -p 8. Räknr med ränt-på-ränt ör örst insättningen, o s v -p Räknr med termer -p 9. Deriveringsel -p Korrekt uttryck ör ccelertionen, el vid lösning v ekv t -p. Deriveringsel -p Korrekt uttryck ör tngent oc norml, sedn el -p Korrekt beräknde -koordinter ör T oc N, el vid reberäkningen -p. Deriveringsel -p Korrekt optimlunktion i en vribel, sedn el -p Korrekt beräknd rdie ör störst möjlig cylindern, sedn el -p R: Räknr som om lvklotets begränsningsre är *pi*r^ ger p

86 TENTAMEN Kursnummer: HF HF Mtemtik C Moment: TEN Progrm: Tekniskt bsår Rättnde lärre: Bengt Andersson Emintor: Nicls Hjelm Dtum: -8- Tid: Hjälpmedel: Formelsmling: ISBN eller ISBN utn nteckningr. Ing ndr ormelsmlingr är tillåtn! Miniräknre, penn, rdergummi, linjl, grdskiv Omttning oc betygsgränser: För betyget E krävs -p För - D - 5-7p För - C - 8-p För - B - -p För - A - -6p Till smtlig uppgiter krävs ullständig lösningr. Lösningrn skll vr tydlig oc lätt tt ölj. Inörd beteckningr skll deiniers. Uppställd smbnd skll motivers. Skriv elst med blyertspenn! Lyck till!