ANDREAS REJBRAND NV2ANV Matematik Derivator

Transkript

1 ANDREAS REJBRAND NVANV 5--8 Mtemtik ttp://

2 Inneållsörteknin DERIVATOR... INNEHÅLLSFÖRTECKNING... INLEDNING... DERIVATANS DEFINITION... GRUNDLÄGGANDE DERIVATOR... 7 Konstnt o linjär unktioner... 7 Potensunktioner... 7 Eponentilunktioner... 9 SAMMANSATTA DERIVATOR... Derivtn v en summ... Derivtn v en produkt... Derivtn v en smmnstt unktion... Derivtn v en kvot... FLER GRUNDLÄGGANDE DERIVATOR... Derivtn v en llmän eponentilunktion... Loritmisk unktioner... 5 Derivtn v en llmän potensunktion... 5 TRIGONOMETRISKA FUNKTIONERS DERIVATOR... 5 Sinus... 5 Cosinus... 6 Tnens... 7 Arusunktioner... 7 Arsinus... 7 Arosinus... 8 Artnens... 9 FUNKTIONSANALYS... 9 EXEMPEL PÅ PRAKTISKA APPLIKATIONER... 6 SAMMANFATTNING... REFERENSER... /

3 Inlednin De llr lest enomen i nturen kn eskrivs med unktioner, d.v.s. smnd melln storeter. Eempelvis är stieten os ett ritt llnde öremål en unktion v lltiden, dynsmedeltemperturen eror på den på året, tiden ör en ilärd eror på ärdens sträk o ilens medelstiet o ren v ett område eror på dess sidoränser. En unktions derivt ner med vilken stiet unktionsvärdet den eroende vrieln ändrs när den oeroende vrieln ändrs, o säer således myket om ur unktionen uppträder. Denn uppsts deinierr derivtn v en unktion, ärleder reler ör rmtnin unktioners derivtor deriverin smt er prktisk eempel på nvändninsområden. /

4 Derivtns deinition Derivtn v en unktion ner unktionens örändrinsstiet, d.v.s. ur myket unktionsvärdet ökr när ökr en enet. Etersom örändrinsstieten inte måste vr konstnt ör ll i en unktion, är även derivtn en unktion v. Derivtn v unktionen etekns utläses prim v. En unktions örändrinsstiet ör är ett öljktlien ett värde o skrivs. Om en unktion y rits upp i ett koordintsystem är unktionens derivt ör lik med rens lutnin i punkten,, etersom lutninen just ner ur myket y ökr när ökr en enet. Derivtn är således riktninskoeiienten ör tnenten i punkten. Vi kn ör ll kontinuerli unktioner estämm en pproimtion v derivtn ör enom tt estämm riktninskoeiienten k ör en seknt till ren som år enom punkten, smt en näreläen punkt. Vi år således k. Sekntens riktninskoeiient är enkel tt estämm då vi känner två punkter på seknten,, smt,. y, y, Riktninskoeiienten lir k y. Dett tl, dierenskvoten ändrinskvoten k, är unktionens medellutnin i intervllet omkrin i dett ll str eter. Lutninen i just punkten är dok svårre tt estämm, etersom tnentens riktninskoeiient inte kn eräkns enkelt då endst en koordint är känd, vrvid inen dierenskvot kn ställs upp. Emellertid lir pproimtionen k lltättre ju mindre Δ lir. Om Δ närmr si oeränst år mot,, kommer seknten tt överå till tnenten i punkten, o riktninskoeiienten k kommer tt å mot derivtn lutninen i punkten,, k. /

5 Derivtn till unktionen lir således lik med ränsvärdet v dierenskvoten omkrin när. Om vi ör enkelets skull eteknr dierensen melln punkterns -koordinter år vi den vnliste ormen v derivtns deinition: Det kn vr svårt tt direkt vör vilket värde derivtn i en viss punkt r enom tt nvänd derivtns deinition. Ilnd kn dierenskvoten örenkls så tt det tydlit rmår vilket värde kvoten år mot när. Otst är kvoten dok svårörenkld; då kn istället en numerisk kontroll utörs, där dierenskvoten eräkns ler åner ör små o minsknde värden på. Om kvoten öreller stnn på ett visst värde när livit tillräklit litet, kn det nses trolit tt derivtn lutninen, örändrinsstieten i punkten r det värdet. EXEMPEL : Funktionen,5. är iven. Bestäm unktionens örändrinsstiet derivt ör LÖSNING: Vi nvänder derivtns deinition ör tt å rm just denn unktions derivt. När kommer uttryket tt å mot. Vi ser tt unktionen,5,5. r derivtn. Derivtn ör, 5 lir då Svr:,5 EXEMPEL : Funktionen är iven. Bestäm unktionens örändrinsstiet derivt ör med yr deimler. 5/

6 LÖSNING: Här er derivtns deinition, vilket är svårt tt örenkl direkt. Istället kn vi lös uppiten numeriskt pproimtivt. Vi eräknr dierenskvoten ör o når små, minsknde, tl :,,,,,,, dierenskvot,5768,57687,577,5775,5775,5775,5775 Det är rimlit tt nt tt, Svr:, 577 dy Om y kn derivtn okså etekns y eller. Om den oeroende vrieln o den eroende vrieln y r eneter, kommer derivtn okså tt å en enet. E- d tersom derivtn ner ur myket y ändrs per enet, kommer derivtns enet tt li kvoten v y:s o :s eneter. EXEMPEL : En sten släpps rån en öjd o år ll ritt. Fllsträkn s meter eror på tiden t sekunder som stenen llit. Mn inner öljnde smnd melln s o t: s t,9t Beräkn o tolk s. LÖSNING: Derivtns deinition er s t s t,9 t,9t s t,9 t t,9t,9t 9,8t,9 9,8t,9 9,8t,9 9,8t,9t Derivtn s t ner ur mån meter sträkn ökr när tiden ökr en sekund vid tiden t, d.v.s. rörelsens momentn- stiet vid tiden t. Etersom sträkunktionens derivt är lik med stietsunktionen ör smm rörelse kn vi således skriv v t 9, 8t. Vi ser tt dett är ysikens ormel ör stieten vid konstnt elertion utn ursprunsstiet, v t t, vilket stämmer väl. Noter tt 9,8 m/s är jordens tyndelertion. Svr: Stenens llstiet eter tiden t s är s 9,6 m/s. 6/

7 7/ Grundlände derivtor Vid deriverin v unktioner är det otst åde inekt o onödvändit tt utå rån derivtns deinition. Istället kn mn leriskt ärled derivtor till vnli rundunktioner. Konstnt o linjär unktioner All konstnt unktioner C r smm unktionsvärde, C, ör ll, vilket inneär tt ren lir en rät, orisontell linje utn lutnin o derivtn lir ör ll. Mtemtiskt kn dett viss utirån derivtns deinition. C C C All linjär unktioner m k r en konstnt lutnin k, vilket inneär tt derivtn är k ör ll. k k k k m k m k k m k m k m k Fiur Eempel på en konstnt unktion o en linjär unktion. Potensunktioner Lutninen os potensunktioner vrierr dok eroende på. Etersom en rundlände potensunktion kn skrivs ser vi tt dierensen melln unktionsvärden v två på C m k

8 8/ vrndr öljnde nturli -värden inte är smm ör ll -pr. Om ökr dierensen när -värden ökr. Gren till en potensunktion visr okså tt lutninen är vriel: Fiur Eempel på en potensunktion. Vi kommer senre tt leriskt ärled derivtn till en llmän potensunktion. Nu sk vi endst studer speilll ör tt se om de ntyder nåon llmän reel. Vi nvänder derivtns deinition ör tt ärled derivtorn v, smt.

9 9/ Vi år öljnde resultt: Det öreller som om unktionen r derivtn. Försök med större eponenter ekrätr ypotesen. Vi kommer emellertid senre tt presenter ett llmäniltit evis i orm v en ärlednin v den llmänn potensunktionens derivt o inte endst speilllen med eponentern, o. Eponentilunktioner En rundlände eponentilunktion kn skrivs. Vi vill nu llmänt ärled unktionens derivt utirån derivtns deinition. Vi ser tt derivtn till unktionen är lik med produkten v unktionen o ett ränsvärde som eror på sen. Vi kn numeriskt med, eräkn dett ränsvärde ör når olik ser ränsvärde,,69,986,86,69,798,959,79,97,6 Vi kn okså rit upp en r med ränsvärdet som en unktion v.

10 ,5 Vi ser tt det orde inns en s ör vilken ränsvärdet lir tydlit syns tt. Derivtn v en eponentilunktion med denn s lir öljktlien lik med själv unktionen åner. Vi söker nu denn s, som vi enämner e. e e e e vilket inneär tt e. En numerisk nlys er ett närmevärde till e.,e-,e-,e-,e-5,e-6,e-7,e-9,e- e,78,769,786,7868,788,788,788,788 Vi inner tt e, 788. Eponentilunktionen e. Dett etyder tt lutninen på ren till e r således derivtn e vid är lik med unktionsvärdet ör smm. Nu vill vi ärled derivtn till den llmänn eponentilunktionen skriv om den med sen e. Den invers unktionen till, enom tt y e är ivetvis lo e y, vilket ln ln dok otst skrivs endst ln y. Vi år e e. För tt deriver dett måste vi dok kunn deriver en unktion v en unktion, vilket vi återkommer till. /

11 Smmnstt derivtor De lest unktioner är inte enkl rundunktioner, utn mer smmnstt unktioner. Betrkt som eempel öljnde unktioner: Summor o dierenser summn v en potensunktion o en linjär unktion dierensen melln en potensunktion o en linjär unktion Produkter o kvoter 5 produkten v en konstnt unktion o en potensunktion kvoten v en summ o en eponentilunktion Smmnstt unktioner u e en eponentilunktion e inneållnde en nnn linjär unktion u Vi sk nu ärled llmänn derivtor till summor o dierenser, produkter o kvoter smt smmnstt unktioner. Derivtn v en summ Låt. Vid punkten ökr unktionsvärdet os termen med per enet, medn unktionsvärdet os termen ökr med per enet. Dett inneär tt unktionen totlt kommer tt ök med per enet. Låt. Smm resonemn er då tt. Summreeln o dierensreeln: Om så äller. Om så äller /

12 / Gren ovn visr ett eempel med två linjär unktioner, med lutninrn respektive, smt summn v unktionern. Summunktionen år då lutninen 5. EXEMPEL : Låt 5. Med vilken stiet ökr unktionsvärdet när 5? LÖSNING: Funktionen är summn v en potensunktion o en linjär unktion. Derivtn lir 5, vilket er 5 5. Svr: När 5 ökr unktionsvärdet med 5 y-eneter per enet. Derivtn v en produkt Vi sk nu se tt även produkter kn derivers med en llmän ormel. En llmän unktion med en produkt kn skrivs. Vi vill nu inn ett enkelt uttryk ör. Derivtns deinition er lnd inte iop unktionen med vrieln : För en llmän unktion äller tt unktionsvärdet ör där är litet är uneär lik med unktionsvärdet ör plus ökninen per enet, d.v.s., åner så mån eneter unktionen sk ök, d.v.s.. Dett er tt. Om smt i ormeln ovn skrivs om på dett sätt ås öljnde uttryk: ] ][ [ Funktionen r således derivtn, d.v.s. tt derivtn v en produkt v två unktioner är lik med den en unktionen åner den ndrs derivt, plus den ndr unktionen åner den örsts derivt. Om unktionen är linjär, d.v.s. r en konstnt derivt, äller smndet ekt även ör större.

13 / Om en v ktorern är en konstnt år vi en ännu enklre derivt. Låt o sätt C. Dett er derivtn C C. Derivtn v en konstnt åner en unktion, är således lik med konstnten åner unktionens derivt, C C. Tidire konstterde vi tt potensunktionen r derivtn. Dett kn vi nu utvid till tt llmänn potensunktionen C r derivtn C. EXEMPEL 5: Lös Eempel med deriverinsrelern. LÖSNING: Funktionen,9 t t s r derivtn t t t s 8 9,,9. Vi märker tt deriverinen lir myket enklre om deriverinsrelern nvänds istället ör derivtns deinition. Svr: Fllstieten eter två sekunder är m/s 9,6 v. Derivtn v en smmnstt unktion När vi studerde eponentilunktioner eövde vi deriver unktionen e ln, vilket vi inte kunde. Vi kunde endst deriver e uppöjt till, inte e uppöjt till en unktion v. Vi sk nu ärled en llmän derivt till en smmnstt unktion. Låt o inn ett uttryk ör. Vi utnyttjr även är tt ör små. Vi utveklr därmed. Nu r vi ått unktionen v en summ där den ndr termen är liten ty den inneåller ktorn som år mot noll, vrör även den kn utvekls med smm smnd.

14 I den smmnstt unktionen klls u den yttre unktionen o u den inre unktionen. Vi ser tt derivtn v en smmnstt unktion är lik med produkten v den yttre unktionens derivt v den inre unktionen o den inre unktionens derivt. Om vi sätter y u smt u år vi med lterntiv nottion tt Denn reel enämns kedjereeln. Derivtn v en kvot dy d dy du. du d Etersom en kvot kn skrivs som produkten v täljren o det inverterde värdet v nämnren, kn produktreeln nvänds ör tt ärled en llmän derivt till en kvot v två unktioner. Produktreeln er: Om ör termen örläns med kn summn skrivs om som ett end råk: Vi ser tt derivtn v en kvot v två unktioner, är lik med nämnren åner täljrens derivt minus täljren åner nämnrens derivt, dividert med kvdrten på nämnren. Fler rundlände derivtor Derivtn v en llmän eponentilunktion Nu kn vi ärled den llmänn derivtn till eponentilunktionen. Vi konstterde tt ln ln e e o vet tt y e r derivtn y e. Funktionen ln e u är en smmnstt unktion estående v den yttre eponentilunktionen e o den inre linjär unktionen u ln ln är konstnt. Vi kn är nvänd kedjereeln: e e ln ln ln e ln ln ln Vi ser tt derivtn till eponentilunktionen nturli loritmen ln v sen. är lik med produkten v unktionen o den /

15 Loritmisk unktioner Vi sk nu ärled derivtn till den llmänn loritmisk rundunktionen lo. y lo y Vi deriverr nu åd leden i den ör ekvtionen. y ln y y y ln ln Vi ser tt den loritmisk unktionen lo r derivtn. ln Speilllet ln lo år således derivtn e. ln ln e Derivtn v en llmän potensunktion Tidire, när vi studerde potensunktioner på sidn 7, ärledde vi derivtorn ör speilll v potensunktioner, o nto utirån resulttet derivtn v en llmän potensunktion. Det är emellertid åde mtemtiskt säkrre o snyre tt direkt ärled derivtn ör den llmänn potensunktionen, vilket vi nu sk ör. Låt y. Vi loritmerr åd leden o örenklr sedn det ör ledet. ln y ln ln y ln Vi deriverr nu åd leden vr ör si. y y y y y y y Vi år smm resultt som vi tidire ntit, men vi r nu presentert ett llmäniltit evis som dessutom är etydlit enklre än de opertioner vi utörde på sidn 7. Trionometrisk unktioners derivtor Mån eometrisk uträkninr inneåller trionometrisk unktioner, liksom unktioner som eskriver periodisk enomen. Vi sk nu ärled de trionometrisk unktionerns derivtor. Sinus Om sin så er derivtns deinition öljnde: 5/

16 sin sin sin os os sin sin os sin sin os os sin sin os os sin En numerisk nlys ör, visr tt o tt. Dett er derivtn sin os os. Sinusunktionens derivt är således lik med osinusunktionen. Om sinusunktionen o osinusunktionen rits upp i smm koordintsystem ser mn tydlit tt dett är rimlit; lutninen på sinuskurvn vid en viss punkt är lik med osinuskurvns y-värde ör smm. Till eempel ser vi tt där sinuskurvn vänder vid mimum o minimum, där den är orisontell är osinuskurvn vid. När sinuskurvn är vid o sjunker som mest, är osinuskurvn vid -. När sinuskurvn är vid o stier som mest, är osinuskurvn vid. os,5 sin -,5 - / π π / π π 5/ π π 7/ π π Cosinus Lås oss nu inn derivtn v osinusunktionen. os os os os os sin sin os os sin os sin os sin os sin os Enlit tidire vet vi tt sin o. 6/

17 Därör lir derivtn os sin sin. Vi ser tt osinusunktionens derivt är lik med den netiv sinusunktionen. Även dett ser rimlit ut i ett koordintsystem. Vi ser tt osinusrens lutnin vid är lik med unktionsvärdet v den netiv sinusunktionen vid. os,5 -sin -,5 - / π π / π π 5/ π π 7/ π π Tnens Lås oss nu studer tnensunktionens derivt. Etersom tnens ör är kvoten v sinus o osinus ör smm värde, kn vi utå rån dess unktioners derivtor. sin tn os os os sin sin os os Dett kn okså uttryks med tnens: sin os os os sin os sin tn os os os Arusunktioner Arusunktionern rsinus, rosinus smt rtnens är de invers unktionern till sinus, osinus smt tnens. Vi sk nu ärled ders derivtor. Arsinus y rsin sin y sin y os y y y os y os rsin Derivtns nämnre, os rsin, kn örenkls med jälp v en rätvinkli trinel. 7/

18 8/ Vi vill uttryk rsin os utn trionometrisk unktioner vilket lir åde enklre o ektre. os rsin os os er där os rsin rsin v v v v Byter vi ut nämnren i derivtn år vi y. Arosinus y y y y y y sin ros sin sin os ros Även är kn vi örenkl nämnren. Se trineln vid örenklinen v rsinus derivt. sin ros sin sin ros sin sin ros ros v v v v v

19 Byter vi ut nämnren i derivtn år vi y. Artnens y rtn tn y y os y y os y y os y os rtn Vi vill nu örenkl derivtn o å ort de trionometrisk unktionern. v rtn rtn os os os os os v v v v v os rtn Byter vi ut uttryket ör derivtn år vi Funktionsnlys y En unktions derivt, som ner unktionens örändrinsstiet, klls okså unktionens örstderivt. Derivtn v örstderivtn, som ner örändrinsstieten os unktionens örstderivt, klls unktionens ndrderivt. Andrderivtns derivt klls unktionens tredjederivt, o.s.v. Följnde etekninr nvänds ör olik derivtor: Ordnin Betekninr n n dy d d y d n d y n d 9/

20 utläses is v. Funktionen sträkn v tiden s t r eempelvis örstderivtn stieten v tiden s t v t o ndrderivtn elertionen v tiden s t v t t. Förstderivtn ner som eknt lutninen till unktionen. Dett inneär tt om i ett intervll så väer unktionsvärdet os i intervllet o ren stier. Om i ett intervll så vtr unktionsvärdet os i intervllet o ren ller. Om vid en viss punkt är unktionsvärdet konstnt o ren åtminstone dess tnent orisontell där. Om unktionen o dess derivt är kontinuerli kn derivtn endst yt teken vid dess nollställen, vrör den säer myket om ur ren till ser ut. Studer ren nedn. Gren stier Gren ller Gren stier m Gren är orisontell n Gren är orisontell Före punkten m stier ren o eter punkten ller ren. Dett er ren ett loklt mimum ör m. Före punkten n ller ren o eter punkten stier ren. Dett er ren ett loklt minimum ör n. Dess punkter klls ör lokl mimipunkt respektive lokl minimipunkt. Här är örstderivtn lik med noll. Funktionens värden vid punktern klls loklt mimivärde smt loklt minimivärde. Studer nu rern nedn. /

21 Gren stier Gren stier Gren ller Gren ller m Gren är orisontell n Gren är orisontell Gren stier åde öre o eter m, men är orisontell vid m. Dett ör punkten m till en terrsspunkt. Gren ller åde öre o eter n, men är orisontell vid n. Dett ör punkten n till en terrsspunkt. Funktionsvärdet vid en terrsspunkt klls terrssvärde. Där örstderivtn till en unktion är noll,, kn derivtn således yt teken. Vid sådn punkter o nästn enrt vid sådn punkter r unktionen således ett loklt mimum, ett loklt minimum eller en terrsspunkt. Funktionen r ett loklt mimum i punkten om örstderivtn är positiv ren stier öre punkten o är netiv ren ller eter punkten. Tekenvälinen os örstderivtn är då +. Funktionen r ett loklt minimum i punkten om örstderivtn är netiv ren ller öre punkten o är positiv ren stier eter punkten. Tekenvälinen ör örstderivtn är då +. Funktionen r ett terrssvärde i punkten om tekenvälinen är + + ren stier öre o eter punkten eller ren ller öre o eter punkten. Mn kn å en enkel uppttnin om en r o ivetvis okså den enerernde unktionen enom tt studer tekenvälinen os örstderivtn utör ett s.k. tekenstudium. Genom tt solver ekvtionen med vseende på inn örstderivtns nollställen smt t red på örstderivtns teken melln nollställen, ser vi när ren till unktionen stier o ller smt när den r mimi-, minimi- o terrssvärden. EXEMPEL 6: Finn ll lokl mimi- o minipunkter på ren till unktionen y 6 7. Svr med tre ällnde siror. /

22 LÖSNING: Funktionen kn endst mimum o minimum där örstderivtn yter teken, d.v.s. där y. y , smt 9,786 Vi vill nu vet om ren r mimipunkter-, minimipunkter eller terrsspunkter ör dess - värden. Vi vet tt det endst är vid dess -värden örstderivtns nollställen som örstderivtn kn yt teken. Därör r derivtn smm teken ör ll, ör ll smt ör ll. Vi eräknr nu derivtn ör ett -värde inom respektive intervll ör tt estämm örstderivtns teken i intervllet, d.v.s. om unktionen väer eller vtr. y MAX MIN y' Vi ser tt er ett loklt mimum o ett loklt minimum. Funktionsvärden lir y m y 8,7 o y min y 98, 5, vilket er koordintern,;8,7 ör mimum o,786; 98,5 ör minimum. Vi kontrollerr vår lösnin med ren: Svr: Funktionen r mimum vid,;8,7 smt minimum vid,786; 98,5. /

23 Istället ör tt direkt studer örstderivtns tekenvälin, kn mn ot nvänd ndrderivtn ör tt vör uruvid en etrempunkt är en mimi- eller minimipunkt. Om en punkt är en mimipunkt måste örstderivtn vid punkten utör tekenvälinen +. Förstderivtn måste lltså vt. Dett inneär tt ndrderivtn ör men måste inte lltid vr netiv i punkten,. Om en punkt istället är en minimipunkt måste örstderivtn vid punkten utör tekenvälinen +. Förstderivtn måste lltså vä. Dett inneär tt ndrderivtn ör vr positiv, i punkten. Om ndrderivtn däremot är noll,, är punkten snnolikt ett terrssvärde. Det kn dok även då rör si om ett etremvärde i det llet örstderivtn r ett terrssvärde i punkten. Om unerr således inte testet med ndrderivtn, utn mn måste mnuellt kontroller örstderivtns tekenvälin. De två örst llen eempliiers v de två öljnde unktionern smt ders örst- o ndrderivtor på näst sid. /

24 ,,5 y -,5 y, -,,5 -,5, -,,5 -,5, -,,5 -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5, -, -,5 -, -,5,,5,,5, y y , -,5 -, -,5,,5,,5, -, -,5 -, -,5,,5,,5, y y , -,5 -, -,5,,5,,5, -, -,5 -, -,5,,5,,5, /

25 Det värde som verklien är öst eller läst inom ett intervll kn vr det öst/läst lokl etremvärdet eller nåot värde vid intervllets ränser. Följnde r visr en unktion i intervllet. C B D A Gren r en lokl minimipunkt A smt en lokl mimipunkt B. Det läst värdet i intervllet är örvisso det ör minimipunkten A. Det öst värdet i intervllet är dok det ör ändpunkten C. 5/

26 Eempel på prktisk ppliktioner Nedn öljer når eempel på prktisk tillämpninr v derivtor. EXEMPEL 7: För ett öremål som släpps rån en öjd meter över mrken o tillåts ll ritt äller tt dess stiet v meter per sekund str innn det slår i mrken eror på llöjden enlit unktionen tyndelertionen 9,8m/s v. Med vilken örändrinsstiet ändrs nedslsstieten när llöjden ändrs vid öjden meter? LÖSNING: Märk tt v. Vi deriverr unktionen med vseende på o eräknr derivtn ör m. v v,7 m/s/m Svr: När öjden är m ändrs nedslsstieten med,7 m/s/m. EXEMPEL 8: Ett stket som sk vräns ett rektnulärt område sk ys. Stketmteril inns ör länden O meter, vilket således lir stketets omkrets. Hur sk örållndet melln områdets öjd o redd vr, om området sk å så stor re som möjlit? Tolk resulttet. LÖSNING: Om redden på området är meter måste öjden vr Produkten er ren A m. O O A Vi söker nu det ör vilket vi eråller miml A. O A O O. 6/

27 Funktionens etremvärden ås endst ör de -värden som er A. O O O Är A ör A O ett mimi- eller minimivärde? Vi undersöker ndrderivtn. O Dett er tt O A o öljktlien tt A är ett mimivärde. O er tt O O o tt. Svr: Miml re ör området erålls när det är lik rett som öt, d.v.s. när åde redden o öjden är lik med en järdedel v omkretsen. Generellt: v ll rektnlr med smm omkrets, erålls den störst ren ör kvdrten. EXEMPEL 9: En tekniker eöver en eållre tt vtten i o tänker tillverk en rån en plåtit som är 6 m lån o m red. Hon tänker skär ort yr örnitr o vik upp de ildde kntern enlit iuren nedn. m, 6, Etersom mterilet är dyrt vill on endst tillverk en eållre o vill tt den sk rymm så myket vtten som möjlit minst 8 liter. Vilken öjd m sk on välj så tt volymen lir så stor som möjlit? Vilk dimensioner o vilken volym år eållren då? 7/

28 LÖSNING: Lådn år länden l 6, m, redden, m smt öjden m. Dett er volymen som en unktion v öjden enlit ormeln V 6,, där V er volymen i kuikentimeter. Vi deriverr volymunktionen o söker de -värden som er V. V ,5 m 7,8 m vilket stisiers v Enlit iuren inns de tillåtn -värden i intervllet m m om m lir redden m. Roten är således oilti. Är V ett mimi- eller minimivärde? Vi undersöker ndrderivtn. V V Etremvärdet V är öljktlien ett mimivärde. Vi år således den störst volymen om öjden är 7,8 m. Dett er länden l 6,, m smt redden,, m. Volymen lir V 85 m 8,5 dm. Svr: Beållren år öst volym om öjden är 7,8 m. Då lir länden, m o redden, m. Den erålln volymen är 8,5 dm. Beållren rymmer lltså nåot mer än krvet på 8 liter. 8/

29 V/m /m Svret ekräts v ren till unktionen V. 9/

30 Smmnttnin Derivtn till en unktion ner unktionens örändrinsstiet o är okså en unktion v dy den oeroende vrieln. Derivtn till unktionen y etekns y. d C k k ln Speiellt: e e lo ln Speiellt om e : ln sin os os sin tn tn os rsin ros rtn Speiellt: C C För kontinuerli unktioner äller tt punkter där ntinen är lokl mimum, lokl minimum eller terrssvärden. Om i punkten är den ett mimum. Om i punkten är den ett minimum. Även örstderivtns tekenvälin vid punkten kn nvänds ör tt vör punktens krktär: + er mimum, + er minimum o + + eller er ett terrssvärde. /

31 Reerenser Som reerenser till viss vsnitt r öljnde littertur nvänts: Ekom m.l., Teller o ormler ör NV-prormmet. Fjärde uppln. Lier AB. Mlmö 998. Brolin, Hns; Björk, Lrs-Eri. Mtemtik Kurs C o D. Först uppln, sjätte trykninen. Ntur o kultur. Flköpin. /