3. Om matematisk beskrivning av signaler

Transkript

1 Aresmeril, Signler&Sysem I, 003/E.P. 3.. Informell inledning 3. Om memisk eskrivning v signler En signl är för oss e smlingsnmn på någon mär sorhe som vrierr med iden. Exempelvis: [] e vriernde lufryk vid någon punk i rumme (ljudsignl), [] e vriernde srömsyrk (eller spänning) i en elekrisk ledning (elefonsignl), [3] e vriernde elekromgneisk fäl i en viss punk i rumme (rdiosignl, ljussignl), I dess fll hr mn vid vrje idpunk,, en signlsyrk x oh de är nurlig försök eskriv signlen med en funkion x() v den reell vrieln. Sådn signler rukr klls idskoninuerlig. [4] en följd v l eller eken (från någo lfe) som kommer med e viss nl per sekund (digil signl). Signler v de senre slge rukr klls idsdiskre. Efersom e nl eken llid kn kods med l så kn en sådn signl llid eskrivs memisk som en lföljd. Om de olik eknen inkommer vid idpunkern 0, T, T,, nt,, kn mn skriv.ex x(0), x(t), x(),, x(nt),, för den lföljden. Om seglängden T är känd eller oinressn kn mn mn lik gärn eekn x(nt) med x n, eller, som de är kuym i signleoreisk skrifer, med x[n]. Klmmerprenesen skll påminn om n är en hellsvriel i moss ill den reell vrieln i x(). x() x[n] n 3 Tidskoninuerlig reell signl Tidsdiskre reell signl Inensiesvrieln x uppfr mn knske gärn okså som en reell vriel, men de hr vis sig lämplig i llmänhe lå den vr en komplex sorhe: En idel växelsröm eskrivs exempelvis egenligen v en funkion v v ypen x r () = A os (ω ϕ), A x där ω /π är frekvensen, ϕ fsvinkeln oh A mpliuden, men mn föredrr uppf signlen som en komplex sorhe x() = Ae j(ω ϕ). ϕ /ω π/ω Den fysiklisk uppmä spänningen x r ugörs i de här flle v reldelen, x r () = Re x(). Som en förs nss ill en generell memisk eskrivning v signler skulle mn kunn : 8

2 [] [] En idskoninuerlig signl mosvrs llid v någon komplexvärd funkion x() v en reell vriel. En idsdiskre signl mosvrs llid v någon följd v komplex l, x[n], n hell. De hr dok vis sig []-delen är llför inskränknde för äk ehoven inom signleorin somlig signler hr jus ingen vrkighe un kommer som en impuls på nollid. En sådn signl låer sig ine eskrivs v någon funkion, i vrje fll ine som egreppe funkion definiers i den klssisk nlysen. Innn vi modifierr [] på e pssnde sä måse vi därför diskuer denn yp v signler lie närmre. Med impulsen hos en idskoninuerlig signl x() v ypen [] under idsinervlle menr mn värde v inegrlen x()d. ( () Om x() = 0 unför inervlle så är värde v inegrlen () dess ol impuls. Signlens vrkighe är längden på de korse inervll unför vilke den är = 0. x() x() x() 3/ / / / Signlern x() med grfer som i figurern ovn hr ll smm ol impuls, men olik vrkighe (, resp / idsenheer). För smidig kunn hner signler med myke kor vrkighe, men med ol impuls 0 hr mn inom memiken skp därill speiell npssde egrepp de så kllde generliserde funkionern eller disriuionern. En srik memisk definiion v dess skulle för oss för lång or från den här kursens önskde innehåll, så vi nöjer oss med en mer inuiiv eskrivning v dem. /3 /3 En signl som kommer vid iden = 0 med ol impuls oh vrkighe 0 mosvrs v den så kllde delfunkionen δ(). Approximiv svrr signlen mo en puls som den i den vänsr figuren här redvid oh δ- funkionen själv rukr grfisk illusrers som i den högr figuren med en uppårikd pil med längd ugående från origo. δ() re = δ() I δ( ) re = I I I δ( ) På mosvrnde sä kommer en impuls v sorleken I, som kommer vid idpunken mosvrs v den generliserde funkionen I δ( ) Vi kllr dess signlyper delpulser. Punken klls pulsens singulrie. Mn överenskommer vidre δ() = 0 då oh sknr värde då =. Orde impuls får ine llid s oksvlig i fysiklisk mening (någo med dimensionen krf id) för.ex. en elekrisk signl, där x eeknr srömsyrkn, så kommer impulsen vr den lddningsmängd som psser under idsinervlle. De klls okså Dirpulser (eller Dirfunkioner) efer den engelske fysikern oh Noelprisgren Pul Dir (90 984). 9

3 Oserver δ-pulsern ine är någr funkioner i vnlig mening! För en vnlig funkion x() som är = 0 då 0, så är x() d = 0, medn de för δ-pulsen förväns gäll x() d =. δ- pulsen är llså en ny sors funkion. Lie slrvig (men räffnde) kn mn säg ['] idskoninuerlig signler är, memisk se, uppyggd v summor v funkioner v en vriel oh delpulser sm ders derivor 3. Övning 3.: Lå x() = sin π, då oh = 0 för övrig -värden. Ri grfern för. x( + ) + δ( ),. x( ) δ( + ),. k δ( k +/4). k = Innn vi går vidre med signleorin måse vi i lie närmre på 3.. Egenskper hos generliserde funkioner oh hur mn räknr med dem Inegrion v δ-pulser Delpulsern kn inegrers över inervll där ändpunkern är den singulär punken: Berk.ex. pulsen δ(). Om är e inervll som hr den singulär punken = 0 i si inre, så kommer de signler x ε () som pproximerr δ() oh hr illräklig kor vrkighe, vr 0 r i en del v de inervll. Efersom mn då hr x ε () d =, så är okså δ () d =. Om å ndr sidn punken = 0 liggr unför inervlle,så är x ε () = 0 i inervlle, dvs. x ε () d = 0, vrför okså δ () d = 0. På mosvrnde sä får mn δ ( ) d =, om är inre punk i inegrionsinervlle, 0, om är yre punk ill inegrionsinervlle. () Övning 3.: Beräkn inegrlern över inervlle 0 3 för funkionern i uppgif. 3 Vi kommer ill vd dess är nedn ( 3..6). 4 Resonemngen i de här vsnie är heurisisk. (Heurisik = Meod uppäk eller ild ny kunskp.) Någr srik evis för smnden i de vsni kn ine ges här, efersom vi ine hr någon en formell definiion v vd generliserde funkioner är för någo ugå ifrån. 0

4 3... Muliplikion med δ-pulser ε/ x () δ ( ) ε + ε/ re = Lå x ε () vr en funkion som pproximerr δ( ) oh som hr en kor vrkighe ε, d.v.s. x ε () = 0, då ε / oh x ε () d = om ε /, + ε/. Om nu y() är en funkion som är koninuerlig i x =, så är för små ε, y() y() då ε /. De inneär y() x ε () y() x ε () för ll dess oh pproximionen kn förväns li äre oh äre ju mindre ε är. Låer men ε 0+ får mn oh y() δ( ) d = y() δ( ) = y() δ( ) (3) y() δ( ) d = y() δ( ) d, dvs enlig (): y() δ( ) d = y(), om < < oh y() är koninuerlig i =, 0, om ligger unför inervlle. (4) Anmärkning: Förfrnde förusäer den funkion y() som mn muliplierr med är koninuerlig i δ-pulsens singulrie. Vi väljer ine definier muliplikion med ndr funkioner y än dess! De verkr knske lie ofullsändig men är egenligen inge konsig. Jämför med mrismuliplikionen som heller ine är definierd melln godyklig mriser un r för sådn som hr pssnde form Linjrie vid inegrion Inegrionsreglern för generliserde funkioner är i mång oh myke desmm som för de vnlig envrielfunkionern. Mn hr exempelvis (k x() + l y()) d = k x() d + l y() d, (5) där k oh l är konsner, okså gäller för generliserde funkioner x() oh y(). Exempel 3.: Om x() = sin π + 3 os π oh y() = δ( + ) δ(), så är 3 = x() y() d = 3 ((sin π + 3 os π )δ( + ) ( sin π + 3 os π )δ()) d = Enlig (5) 3 (sin π + 3 os π )δ( + ) d 3 (sin π + 3 os π )δ() d = Enlig (4) (sin π + 3 os π ) = 0 = [0 + 3 ( )] [0 + 3 ] = 6. = [(sin π + 3 os π )] = [ ]

5 Övning 3.3. Lå y() vr den generliserde funkionen i övning 3.. Beräkn 0 e y() d. Okså susiuionsregeln för inegrion gäller oförändrd för de generliserde funkionern. Exempelvis hr mn för konsner > 0: δ () ϕ()d = = τ, d = dτ/, ± τ ± = 3..4 Likhe melln generliserde funkioner. Sklning v δ-funkionen δ (τ) ϕ(τ/)dτ = ϕ(0) Funkionern x () =, om 0, 0, om < 0 oh x () =, om > 0, 0, om 0 är ine idenisk efersom x (0) x (0). x () x () x () x () Men om de däremo är eskrivningr på signler finns de ingen nledning erk dem som olik efersom skillnden ine går deeker med någr fysiklisk insrumen. Mn överenskommer l.. därför erk vå generliserde funkioner (signler) x () oh x () som lik om (x () x ())ϕ () d = 0 x ()ϕ () d = x ()ϕ () d för godyklig (illräklig regulär) funkioner ϕ(). Exempelvis hr mn enlig de föregående vsnie δ () ϕ() d = ϕ(0) = δ () ϕ() d för godyklig funkioner ϕ(). D.v.s. δ () = δ() om > 0. (6) Övning 3.4: Vilken likhe får mn i sälle för (6) om < 0? 3..5 Generliserd derivering v koninuerlig funkioner E v de mes fundmenl smnden melln egreppen deriv oh inegrl är som ekn: x () d = x() x(). (7) Enlig denn kn mn exk eräkn en funkions ll värden om mn känner dess deriv oh dess värde i en end punk. I evisen för de rukr mn förusä x () exiserr i vrend punk i inervlle, men relionen är fkisk rikig okså om x() uppfyller de svgre villkore vr koninuerlig oh sräkvis deriverr med evenuell olik höger- oh vänserderiv i ensk punker.

6 A koninuieen är en väsenlig inskränkning syns l.. v följnde: Exempel 3.: Berk enhessprånge (5 u() =, om > 0, 0, om < 0. u() Dess deriv u () är uppenrligen = 0, då 0 medn den enlig den klssisk nlysens definiioner sknr deriv då = 0. Här kn mn ine med enr kännedom om derivn oh exempelvis u( ) = 0, esämm värde v u() informion om språnges sorlek för = 0 skns! ε/ ε/ u () ε Approximers u() med deriverr funkioner u ε () som i figuren ill vänser, där mn i de kor inervlle ε/ ε / skrv i den övrig delen v grfen för u med en slä växnde kurv, så får mn däremo en funkion för vilken huvudssen (7) illämplig: u ε () d = u ε () u ε ( ) = u ε () =, om > ε/, 0, om < ε/. Ovse hur u ε () hr definiers i inervlle ε/ ε/, så kommer u ε () h prinipuseende u () δ () ε re = ε/ ε/, d.v.s. u ε () pproximerr δ() då ε 0+. De är därför moiver uppf δ() som (den generliserde) derivn v segfunkionen u(): u () = δ() (8) Med de generliserde derivegrepp kommer likheen (6) vr gilig även för funkionen u(): u () d = δ() d =, om > 0, = u() u( ). 0, om < 0. På mosvrnde sä kn mn generliser deriver funkioner vrs grfer esår v sykvis slä kurvor så när som på isolerde språng. En funkion med en grf som 5 Se.9 3

7 x() d kn nämligen uppfs som summn v vå funkioner: y() + d d u( ) där den en, y(), är deriverr uom möjligen för = men koninuerlig okså då =, oh den ndr d u( ) är en mulipel v en segfunkion. Mn säer därför x () = y () + d δ( ). Mer llmän om x() är en sräkvis deriverr funkion med språngdiskoninuieer d, d, i punkern,,, så är generliserde derivn v x() = klssisk derivn v x() + d δ( ) + d δ( ) + Exempel 3.3: Signumfunkionen är liksom enhessprånge en sräkvis konsn funkion. Den hr e språng v sorleken + i origo. Allså: d d sgn () = δ(). Smm resul får mn (försås) om mn deriverr relionen: sgn () = u() med hjälp v de vnlig deriveringsreglern. sgn() För den sräkvis konsn funkionen re p () = u( + p/) u( p/) gäller på mosvrnde sä d d re p() = δ( + p/) δ( p/). re () p p/ p/ Exempel 3.4: Prolem: Beräkn den generliserde derivn ill x() =, om <, 0, om >, Lösning: Funkionen x() är deriverr i klssisk mening då ±, men hr språngdiskoninuieer i dess punker med språng +4 resp. 4. Den generliserde derivn ges därför v x () =, om <, 0, om >, + 4δ( + ) 4δ( ). 4

8 4 x() 4 x () 4 Om vi ehöver skilj på den klssisk derivn från den generliserde skriver vi i forsäningen {x ()} eller dx d för den klssisk, medn smm symoler un {}-eknen får så för den generliserde. 6 Högre generliserde derivor eräkns efer smm mönser. Exempel 3.5: Prolem: Beräkn x () då x() =. Lösning: Mn hr x () = om > 0, om < 0. = sgn (), som är sräkvis konsn, med e språng v sorleken + för = 0. Allså är x () = {x ()} + δ() = δ(). x() x () sign() x () δ() Övningr: 3.5 Beräkn för x() som i exempel 3.4:. 0 {x ()} d, x () d. 3.6 Beräkn den generliserde derivn ill funkionern. sgn () os,. sgn () sin,. re [, ] () = u( ) u( ), <, där u() = enhessprånge. (Ri förs grfen!) d. u(). (Ri förs grfen!) *e. e ( /), då > 0 0, då < 0. (Ri förs grfen!) 3.7 Beräkn d ( ) d u() e + u( ) ( + ) 6 Någo llmän vederge eekningssä för de finns veerligen ine (ännu?). 5

9 3.8 Lå x() = (u() u( π)) sin.. Verifier x () + x() = δ() δ( π).. Skisser grfern för x(), x () oh x ().. En pendlnde punkmss hänger i en viklös råd. För små uslgsvinklr x() oh försumr frikion gäller då enlig Newons krflgr : x () + g l x() = f (), där g är yngdelerionen, l rådens längd oh f () en yre krf som påverkr pendeln. Vilken siuion eskrivs v differenilekvionen i -uppgifen? Tolk lösningen x() = (u() u( π)) sin i ljuse v svre på den frågn Derivering v δ-pulser Tnken generliserde funkioner pproximers v deriverr funkioner kn nvänds för definier derivering v generliserde funkioner. Hur de fungerr kn mn n v följnde skissrde exempel: = u () δ () ε re = x l mgx f mg Aelerionen = lx reorn är lik x () δ () ε Berk δ-funkionen. Den pproximers v deriverr funkioner x ε () med grfer som ε/ ε/ i den vänsr figuren. Derivn δ () kommer då pproximers v x ε (), som om ε/ ε/ x ε ():s mximum ns för = 0, kommer h prinipuseende som i den högr figuren. För inervll som hr inervlle ε / ε / i si inre hr mn: x ε () d = x ε () x ε () = 0 oh, mer llmän för godyklig deriverr funkioner y(): y() x ε () d = Priell inegrion = y() x ε () y () x ε () d = 0 y () x ε () d, där den högr lede y () δ() d = y (0) δ() d om ε 0+. De vänsr lede kn uppfs som en pproximion ill y() δ () d oh mn leds ill de relioner som eskriver δ :s väsenligse egenskper: y() δ () d = y (0), om < 0 < oh y() är koninuerlig deriverr, 0, om 0 ligger unför inervlle. (9) Allmännre kn mn definier derivn för en godyklig generliserd funkion så den vnlig räkneregeln för priell inegrion gäller: 6

10 y() x () d = y() x() y () x() d, (0) dok med inskränkningen funkionern x oh y ine hr någon gemensm singulrie oh ändpunkern singulrieern. Smnde (8) är e speilfll v (9): y() δ () d = y() δ() y () δ() d = δ() = δ() = 0 oh y () δ() = y (0) δ() = y (0) δ() d. (9 ) Derivor v godyklig ordning kn definiers efer smm mönser. Även dess högre derivor är generliserde funkioner för vilk räknereglern ovn gäller. Mn hr.ex. för δ-funkionens ndrderiv oh vå gånger koninuerlig deriverr funkioner y: y() δ () d = y() δ () y () δ () d = δ () = δ () = 0 oh (8 ) = ( ) y (0) δ() d. På smm sä får mn de llmännre y() δ (n) () d = ( ) n y (n) (0) δ() d. () Exempel 3.6: Prolem: Lå x() =, om, = 0 för övrig -värden. Beräkn x, x oh x. x() Lösning: x() är koninuerlig oh sknr därför språngdiskoninuieer, vrv 0, om <, x () = {x ()} =, om < <, 0, om >. Denn funkion hr e språng v sorleken + för = oh =, men är nnrs koninuerlig. x () Mn får ndrderivn x () = 0, om <,, om < <, 0, om >. + δ( + ) + δ( ). ={x ()} Den förs ermen är en sräkvis konsn funkion med språng för = oh språng + för =, för övrig är den deriverr med derivn = 0. Allså {x ()} = 0 då ± oh x () = δ( +) + δ( ) + δ ( + ) + δ ( ). x () Exempel 3.7: Prolem: Unyj resule i föregående exempel för eräkn inegrlen x() e jω d. 7

11 Lösning: Efersom x() oh dess derivor är = 0 unför inervlle så ger priell inegrion x() e jω d = jω x () e jω d = jω Resule från föregående exempel ger de är x () e jω d = jω 3 x () e jω d. = j ω ( ) 3 [e jω ] = + [e jω ] = + [ jω e jω ] = + [ jω e jω ] = = = j ω ( ) 3 e jω + e jω jω(e jω + e jω ) = 4 ω3 (sin ω ω os ω), där mn nvän e jω e jω = j sin ω oh e jω + e jω = os ω. Övning 3.9: Lå x() = om oh = 0 för övrig -värden.. Beräkn x oh x.. Beräkn med hjälp v resule i -uppgifen inegrlen x() e jω d. 8

12 Svr: /4-5/4 -/4 3/4 7/4 3..,. 0, e 5/ δ() = δ() om < 0. (Smmnfningsvis: δ() = ,. 0. δ() om 0.) 3.6. δ() (sgn ) sin,. (sgn ) os,. δ( ) δ( ), d {0, om < 0, om 0 < <, om > } + δ() e. u() e (/) + δ() u() e S:

13 3.8. x() x () x () 3.8. Pendeln efinner sig i vil då < 0, får en enhesknuff å höger vid = 0, örjr sväng enlig x() = sin, får en ny enhesknuff, den här gången är vänser, vid = π. Denn soppr rörelsen hel x () = {0 om <, om < < 0, om 0 < <, 0 om > } + δ( + ) δ( ), x () = δ ( + ) δ ( ) δ( + ) + δ() δ( ).. ω (ω sin ω + os ω ). S: