Primtalssatse Två olika bevis Eamesarbete för kadidateame i matematik vid Göteborgs uiversitet Joha Davegård Tobias Magusso Feras Mofleh Istitutioe för matematiska veteskaer Chalmers tekiska högskola Göteborgs uiversitet Göteborg 06
Primtalssatse Två olika bevis Eamesarbete för kadidateame i matematik vid Göteborgs uiversitet Tobias Magusso Eamesarbete för kadidateame i matematik iom matematikrogrammet vid Göteborgs uiversitet Joha Davegård Feras Mofleh Hadledare: Julia Brades Per Salberger Eamiator: Maria Rogiskaya Istitutioe för matematiska veteskaer Chalmers tekiska högskola Göteborgs uiversitet Göteborg 06
Poulärveteskalig resetatio Bakgrud Vad är ett rimtal? De flesta ersoer har säkert memorerat matrat ett rimtal är ett tal som bara är delbart med och sig själv, me kaske ite fuderat mycket mer å det ä så. Primtal är dock oerhört viktiga för om vi istället defiierar rimtal som icke sammasatta tal och sammasatta tal som tal som ka skrivas som e rodukt av två tal som båda är större ä blir det tydligt att varje tal består av rimtal. Låt oss ta 05 som ett eemel. Ma ser gaska fort att 05 = 3 35. Här är 3 ett rimtal, och 35 ett sammasatt tal, som å samma sätt ka delas u Här är både 5 och 7 rimtal. Så 35 = 5 7. 05 = 3 5 7. Nu fis bara rimtal kvar, och vi har alltså demostrerat att 05 består av rimtal. Det faktum att alla tal består av rimtal kallas för aritmetikes fudametalsats. Att studera rimtal är alltså recis lika viktigt som att studera grudäme iom kemi. Precis som det är itressat att hitta alla grudäme ka det vara itressat att hitta alla rimtal, me är detta es möjligt? Svaret är, ej! Euklides av Aleadria bevisade ämlige c. 300 f. v. t. att det fis oädligt måga rimtal. Me vi ka recisera oss ågot, och istället fråga hur måga rimtal fis det som är midre ä ett givet tal. Ma sökte svaret läge och har äu ite fått ett eakt svar. Ett aroimativt svar gavs dock å set 700-tal, me det tog ästa 00 år att bevisa att det stämde. Resultatet kallas umera kort och gott för rimtalssatse. Primtalssatse För att förekla diskussioe iför vi e beteckig. π = atal rimtal som är midre ä eller lika med
π / l fel relativt fel 00 5.7 3.3 3.% 000 68 44.8 3. 3.8% 0000 9 085.7 43.3.7% 00000 959 8685.9 906. 9.4% 000000 78498 738.4 65.6 7.8% 0000000 664579 6040.7 4458.3 6.6% Det relativa felet som fuktio av. Symbole π är de samma som aväds för 3.459... me i detta fallet beteckar de e fuktio. Primtalssatse är åståedet att π l, l kommer där l är de aturliga logaritme, samt att det relativa felet mella π och ärmare 0 ju större blir. Vi visar aroimatioe, felet, och det relativa felet i eda tabell och graf. I vår usats bevisar vi rimtalssatse å två olika sätt. Dels å det klassiska sättet som har aor till e memoar författad 859 av Berhard Riema, och dels å det retetiösa sättet som utvecklats av Adrew Graville och Kaa Soudararja uder de seaste tio åre. Det klassiska sättet bygger å komleaalys studiet av derivator och itegraler av fuktioer av komlea tal, det vill säga tal med e realdel och e imagiärdel. Komleaalys är e kraftfull metod för att t.e. studera ollställe till fuktioer. Det klassiska beviset aväder de så kallade zeta-fuktioe, vars ollställe aväds för att ge e formel för e fuktio besläktad med π. Primtalssatse erhålls seda geom e oggra uskattig av formel. Det retetiösa sättet aväder sig också av komleaalys me iehåller därtill e
geerell teori för avståd mella e viss ty av fuktioer defiierade å de aturliga tale. Kära i det retetiösa beviset ligger i Halász sats, som ger e uskattig i termer av avstådet av små fuktioer av dea ty. Med Halász sats ka ma begräsa medelvärdet av e fuktio som kallas Möbius-fuktioe. Ma ka visa att detta medelvärde är besläktat med ett aat medelvärde som i si tur är besläktat med π. På så sätt erhåller ma rimtalssatse. Ma ka fråga sig varför två olika bevis behövs, och för att förklara det behöver vi tala lite om feltermer. Feltermer log och Ma ka bevisa rimtalssatse med olika uskattigar å felet mella π och aturligtvis vill ma få felet så litet som möjligt. Helge vo Koch bevisade 90 att det fis e bästa felterm och att eistese av dea är ekvivalet med Riemahyotese e gaska ivecklad hyotes ställd av de ova ämda Berhard Riema om beteedet av ollställea till zeta-fuktioe. De itresserade läsare ombedes läsa Itroductio to Aalytic Number Theory av Tom Aostol, för mer detaljer. De bäst käda felterme kude läge edast erhållas med Riemas metoder, me med e artikel författad 03 av Dimitris Koukoulooulos förädrades detta. Ha visade att Gravilles och Soudararajas metoder är tillräckliga för att erhålla de bäst käda felterme. Syftet med vår usats är att ge e förklarig av båda agressätte och därmed syliggöra skilladera och likhetera mella det klassiska och det retetiösa sättet. Vidare ka ma med Koukoulooulos resultat ifrågasätta de cetrala roll som Riemas metoder har och har haft iom de aalytiska talteori. Om de ite är ödvädiga för att erhålla de bäst käda felterme, är de kaske ite ödvädiga för adra resultat heller? Kaske fis det öa roblem iom talteori som bäst löses med retetiösa metoder?
Sammafattig Dea raort är ett kadidatarbete i matematik, och secifikt aalytisk talteori. Till e börja itroducerar vi otatioera som behövs för grudläggade aalytisk talteori, och därefter reseterar vi ett bevis av rimtalssatse å två sätt. Först å det klassiska sättet, och därefter å det yare retetiösa sättet. I det klassiska sättet formuleras först rimtalssatse å ett aat sätt och detta aväds seda tillsammas med Perros formel för att göra rimtalssatse till ett aalytiskt åståede som ka bevisas med residykalkyl och uskattigar. Detta utgör de seare och största dele av det klassiska beviset. Därefter itroduceras det retetiösa sättet och till det relevata satser ur elemetär talteori. Seda görs uskattigar och ett åståede som är ekvivalet med rimtalssatse bevisas geom Halász sats. Slutlige erhålls rimtalssatse med två olika feltermer, där de klassiska är asymotiskt midre ä de retetiösa.
Abstract The followig is a bachelor thesis i mathematics, ad i articular aalytic umber theory. We begi by itroducig the otatios eeded i basic aalytic umber theory, ad cotiue by resetig a roof of the rime umber theorem i two differet ways. First, the classical way, ad the the ewer retetious way. The classical way begis with a formulatio of the rime umber theorem i a differet way ad this is the used together with Perro s formula i order to make the rime umber theorem a aalytical statemet that ca be rove with residue calculus ad estimatio. This costitutes the latter ad largest art of the classical roof. We the itroduce the retetious way ad with that relevat theorems from elemetary umber theory. After that we carry out estimatios ad rove a statemet equivalet to the rime umber theorem by usig Halász theorem. Fially we obtai the rime umber theorem with two differet error terms, of which the classical error term is asymotically smaller tha the retetious error term.
Iehåll Iledig och otatio 3. Iledig...................................... 3.. Primtalssatse............................... 4.. Feltermer.................................. 5..3 Klassiskt bevis............................... 6..4 Pretetiösa metoder............................ 6..5 Läsguide................................... 7. Notatio....................................... 8.. Asymtotisk otatio........................... 8.. Fuktioer................................. 8..3 Övrig otatio............................... 8 Ett klassiskt bevis 9. Primtalssatse och ekvivaleta åståede.................... 9. Egeskaer hos ζ.................................. 9.. Eulers roduktformel............................ 9.. Aalytisk fortsättig av ζ och fuktioalekvatioe.......... 0..3 Mer om log ζs och ζ /ζ......................... 3..4 Nollställe till ζs och område uta ollställe............ 4.3 Elicit formel för ψ................................ 9.4 Bevis......................................... 3 Ett retetiöst bevis 5 3. Grudläggade teori om Dirichletserier...................... 6 3. Grudläggade lemma.............................. 7 3.3 Avstådsbegräsig................................ 9 3.4 Halász sats..................................... 35 3.5 Primtalssatse................................... 37 A Aedi 39 A. Partiell summatio................................. 39 A. Gamma-fuktioe................................. 40 A.3 Eulers summatiosformel............................. 4 A.4 Bevis till grudläggade teori om Dirichletserier................ 43 A.5 Grudläggade aalytisk talteori......................... 45 A.6 Om Λ f och Λ µ................................... 5 A.7 Om ζs....................................... 53 A.8 Utelämade bevis till de klassiska dele..................... 56 A.9 Pretetiösa lemma................................ 60 A.0 Asymtotisk begräsig av ψ frå asymtotisk begräsig av M 60
Förord Detta är ett kadidatarbete i matematik vid Göteborgs uiversitet gjort av Joha Davegård, Tobias Magusso, och Feras Mofleh. Syfte Vi ämar att ge e itroduktio till aalytisk talteori och dess mest käda resultat, rimtalssatse, å e ivå som assar tredjeårsstudeter i matematik eller likade. E itroduktio till de begre som är ödvädiga för att förstå de grudläggade metodera i aalytisk talteori ges och därför atas läsare edast ha e god grud i komle aalys och elemetär talteori. Vidare sakas för uvarade e itroduktio å kadidativå till Graville och Soudararajas retetiösa metoder, del två fyller detta tomrum. Avgräsigar Vi begräsar oss till feltermer som ite är de bäst käda ty att ge ett bevis för dessa skulle iebära e oödigt tekisk raort uta att bidra till större förståelse för ämet. Av samma aledig ges iget bevis av Halász sats. Metod och geomförade Raorte har tagits fram geom litteraturstudier och övigar. Litteraturstudier har bestått i att fylla i bevisdetaljer och förtydliga källoras argumet. Disositio Raorte är idelad i två delar. De första täcker det klassiska beviset och ödvädig teori för att förstå det. De adra täcker det retetiösa beviset och ödvädig teori för att förstå det. Författaras asvarsområde Joha Davegård har haft asvaret för det klassiska beviset. Tobias Magusso och Feras Mofleh har haft asvaret för det retetiösa beviset. Vi har tagit gemesamt asvar för iledig, förord, och gemesam otatio. Det har förts e dagbok och idividuella tidsloggar. Slutlige vill vi tacka Julia Brades och Per Salberger för hadledige och idé till rojektet.
Kaitel Iledig och otatio. Iledig Primtal har fascierat mäiska i över två tuse år. Omkrig 300 f.v.t. bevisade Euklides av Aleadria att det fis oädligt måga rimtal [9, bok 9, ro. 0]. Seda dess har matematiker ställt sig frågor agåede rimtales fördelig, frågor som ite är helt ekla att besvara, me som dea usats ämar klarlägga ågot. År 737 gav Leohard Euler ett bevis av Euklides resultat som var av e helt aa karaktär [5, s. 73] ä det ursrugliga beviset. Med dages mått mätt är Eulers bevis ite tillräckligt rigoröst, då det är e maiulatio av e kvatitet vi seda tidigare vet är oädlig. När vi seare i usatse aväder.. eda, ger vi därför först ett rigoröst bevis. Det viktiga är dock idé, att aväda aalytiska metoder för att bevisa resultat om rimtal. Det är just de idé som ligger till grud för de flesta bevis av usatses huvudäme, rimtalssatse. Vi återger u Eulers bevis med moder otatio. Betrakta följade summa N = + + 3 + 4 + 5 +..., det är allmät kät att de är oädligt stor. Vi får u att N = + 4 + 6 + 0 +..., där ämara traverserar alla multiler av två. Detta ger att N N = N = + 3 + 5 + 7 + 9 +..., där ämara traverserar alla aturliga tal som ite är multiler av. Vi fortsätter N = 3 3 + 9 + 5 + + 7 +..., u traverserar ämara alla aturliga tal som är multiler av 3 me ite av. Detta ger att N N = N = + 3 3 5 + 7 + + 3 +..., där ämara traverserar alla aturliga tal som varke är multiler av 3 eller. Fortsätter vi att sila bort alla rimtalsmultiler å detta vis får vi N =, 3 5 7 3
ty är det eda tal som ite är e rimtalsmultiel. Det gäller alltså att N = 3 5 7 vilket med rodukt- och summaotatio ka skrivas som,... = =... Ata att det fis ett ädligt atal rimtal, då är rodukte ädlig, me då är summa ädlig, vilket är e motsägelse... Primtalssatse För att kua förklara vad rimtalssatse är behöver vi recisera vår tidigare frågeställig och istället ställa följade fråga. Hur måga rimtal fis det som är midre ä ett givet tal? Om vi låter π betecka atalet rimtal midre ä eller lika med övergår fråga till Vilket värde har π för ett reellt tal? T.e. så fis det fyra rimtal midre ä eller lika med tio, ämlige, 3, 5 och 7. E eakt formel för π har ma ite kuat ge, me ma har kuat ge gaska bra gissigar. Gissigara görs med så kallad asymotisk likhet, vilke defiieras eda. Defiitio. Fuktioe f säges vara asymotiskt lika med g om Detta beteckas f lim g =. f g. Adrie Marie Legedre gissade i Essai sur la théorie des ombres ublicerad 808 [3, s. 8] att π = A log + B där A = och lim B.08366. Carl Friedrich Gauss åståd i si tur i ett brev 849 [6, s. 447] att ha 79 eller 793 gissat π dt log t. Det skulle seare visa sig att Legedres gissig ite riktigt stämde, me att Gauss hade gissat rätt. År 896 gjorde Jacques Hadamard [8], och Charles de la Vallée Poussi [3] oberoede av varadra Gauss förmodade till e sats. Sats Primtalssatse. Det gäller att π li,.. där li = dt log t. 4
Iblad uttrycks rimtalssatsse som π log vilket vi seare ska se är ekvivalet med... Viktigare ä deras bevis var väge dit. Båda bevise byggde å de ideér som Berhard Riema itroducerade 859 i memoare Ueber die Azahl der Primzahle uter eier gegebee Grösse [5]. I fokus var zeta-fuktioe. Defiitio. Låt s vara ett komlet tal med realdel större ä. Vi låter ζs = s, där ζ utläses zeta. = Riema kude aalytiskt fortsätta zeta-fuktioe till alla komlea s, bevisa att zetafuktioe ufyller e viss fuktioalekvatio, och ge e formel för e fuktio besläktad med π i termer av zeta-fuktioes ollställe. För att kua åstadkomma detta utyttjade ha metoder frå både komleaalys och fourieraalys. Primtalssatse övergick till ett aalytiskt åståede som kude bevisas med förbättrade uskattigar. Det var recis det seare som Hadamard och de la Vallée Poussi stod för. I samma memoar förmodade Riema att alla ollställe till zeta-fuktioe atige är egativa jäma heltal, de så kallade triviala ollställea, eller har realdele, de icke-triviala ollställea. Detta förmodade går uder amet Riema-hyotese och sakar tusetals försök till trots fortfarade bevis. Vad som däremot är kät är att alla icke-triviala ollställe har realdel mella 0 och... Feltermer Äve om rimtalssatse ofta formuleras som.. är det umera valigare att ge de å de starkare forme där π = li + ERR, ERR lim = 0. li Fuktioe ERR beskrivs med stort ordo och kallas felterm. De första felterme gavs 899 av de la Vallée Poussi i e uföljare [4] till artikel ha ublicerade 896. Ha erhöll ERR = O e a log,..3 där a är e ositiv kostat. Det är också dea vi ger ett bevis av i vår klassiska del. Ma vill helst ha e felterm såda att ERR/li går så fort som möjligt mot 0, Helge vo Koch visade ämlige 90 [8] att Riema-hyotese är ekvivalet med att ERR = O log...4 Löst uttryckt ka ma säga att ju ärmare..4 ma kommer, desto ärmare kommer ma till ett bevis av Riemahyotese. De bäst käda felterme som ite beror å Riemahyotese erhölls först av Viogradov[7] och Korobov[0] oberoede av varadra 958. De är ERR = O e alog 3 5,..5 där a är e ositiv kostat. Då beviset av..5 är ivecklat och ite bidrar till större förståelse har vi valt ite behadla det. Det har visat sig att π ite är helt ekel att arbeta med, och därför formuleras rimtalssatse iblad med hjäl av e aa fuktio, ψ. Det gäller att ψ = + ERR, där lim ERR/ = 0, om och edast om rimtalssatse är sa. 5
..3 Klassiskt bevis I de klassiska dele följer vi ulägget i [] och bevisar tre viktiga resultat för att komma fram till rimtalssatse. För att bevisa dessa behövs goda kuskaer om hur zeta-fuktioe beter sig, framförallt i området 0 Res. Det första resultatet ger e uskattig å hur måga ollställe det fis i detta område u till ågo viss höjd T å imagiärael. Riema gissade att detta atal var T π log T π T π + Olog T vilket bevisades av vo Magoldt 905 []. Resultat ummer två säger ågot om var zetafuktioe är ollskild ära Res =. Mer secifikt att zeta-fuktioe är ollskild till väster om Res = i ett område vars bredd är roortioellt mot log t, där t = Ims, vilket bevisades av de la Vallée Poussi 899 [4]. Slutlige bevisar vi att fuktioe ψ ufyller de elicita formel ψ = ζ 0 ζ0 ρ ρ ρ log, där ρ löer över alla icke-triviala ollställe till ζs. Detta resultat erhålls med hjäl av residykalkyl och Perros formel, e sats som ger uskattigar av e secifik ty av lijeitegraler. Med hjäl av dessa tre resultat bevisar vi rimtalssatse, med felterme..3. Bevis av vissa viktiga resultat som aväds har utlämats, då dessa är mer allmäa ä det vi vill åstadkomma här. Dessa ikluderar Stirligs formel för Gamma-fuktioe och teori om Riema-Stieltjes itegrale. Refereser till dessa ges för de itresserade läsare...4 Pretetiösa metoder I de seare dele av usatse bevisar vi rimtalssatse å ett sätt som i ågo meig är det rakt motsatta till det Riema stakade ut i [5]. Riemas metod går ut å att utyttja zeta-fuktioes egeskaer i området där 0 Res och å så sätt erhålla rimtalssatse. Metode i de seare dele av raorte utyttjar däremot zeta-fuktioes egeskaer edast i området där Res > me erhåller likväl rimtalssatse. De är e del av ytt sysätt iom aalytisk talteori som formulerats av Adrew Graville och Kaa Soudararaja det så kallade retetiösa sysättet. Vi citerar frå [7], som också är vår huvudsakliga källa. Util ow there has bee o other coheret aroach that was caable of addressig all of the cetral issues of aalytic umber theory. I this book we reset the retetious view of aalytic umber theory; allowig us to recover the basic results of rime umber theory without use of zeros of the Riema zetafuctio ad related L-fuctios, ad to imrove various results i the literature. [7, s. 3] Terme retetiös kommer frå egelskas retetious, och har sitt ursrug i att metode utyttjar att vissa fuktioer av de aturliga tale tycks utgöra sig för ågot aat ä vad de egetlige är de låtsas egelska, reted vara ågot aat. Kära i metode, Hálasz sats, ger e uskattig av medelvärdet till fuktioer i termer av deras retetiösa avståd till fuktioe f = iα. Med detta och ett atal välkäda asymtotiska resultat ka rimtalssatse erhållas. Vi bevisar secifikt att ψ = + O log log 5 log vilket ite är lika bra som..3, me med mer möda ka ma bevisa..4 vilket Dimitris Koukoulooulos gjorde 03 i []. Detta leder till e itressat frågeställig. Om ma ite behöver aväda Riemas taktik för att reroducera Viogradovs och Korobovs resultat, är det då möjligt att det retetiösa sysättet är starkt og att bevisa Riemahyotese, eller lösa adra öa roblem iom de aalytiska talteori? 6
Vi ka aturligtvis ite besvara dea fråga, me vi hoas att de ågo gåg får ett svar...5 Läsguide Dea kadidatusats består av två i stort sett oberoede delar. De läsare som edast itesserar sig för e av delara ka uta roblem välja att bara läsa dea. Av ett atal skäl fis äve e aedi där vi valt att lägga e del resultat som atige bara aväds flyktigt å väge, eller som är för allmäa för att edagogiskt assa i i ågo av de två delara. Dessutom har vi valt att lägga bevis till ågra resultat där, för att läsare lättare ska kua ta till sig och förstå de viktiga delara i bevise. Författara har strävat efter att vara så fullstädiga i si redogörelse som möjligt och därför fis bevis till ästa alla aväda satser. När bevis sakas ges referes till detta för läsare att söka u. 7
. Notatio I följade usats beteckar alltid rimtal, och log beteckar alltid de aturliga logaritme... Asymtotisk otatio Vi aväder följade asymotiska otatioer. Låt f, g : M C där M C vara godtyckliga fuktioer och låt K vara e ositiv kostat. Då gäller.. Fuktioer fs = Ogs K > 0. 0 N. s > 0. fs K gs, fs fs = ogs lim gs = 0, fs gs fs = Ogs, fs gs gs fs, fs gs fs gs och gs fs. Det fis ett atal återkommade fuktioer ζs = s, = π =, τ =, d 0 om, µ = r om är e rodukt av r distikta rimtal, om =, { log om = k, för ågot k N, Λ = 0 aars, =, för alla N, { om =, δ = 0 aars, ψ = Λ, M = µ, li = dt log t. Av dessa är τ, µ, Λ,, och δ aritmetiska fuktioer, d. v. s. fuktioer defiierade å de aturliga tale. E aritmetisk fuktio f sägs vara multilikativ om fab = fafb då a och b är relativt rima...3 Övrig otatio Vi aväder = största heltal midre ä eller lika med, {} =. 8
Kaitel Ett klassiskt bevis Vi kommer i dea del att ge ett klassiskt bevis av rimtalssatse. Klassiskt därför att det ligger ära hur både de la Vallée-Poussi och Hadamard gick tillväga. Ulägget ligger ära det i [], vilket varit de främsta källa.. Primtalssatse och ekvivaleta åståede I iledige hävdade vi att rimtalssatse ka uttryckas både som π li och π. Detta åståede följer ekelt med hjäl av artiell itegratio. Vi har att log li = [ ] t + log t dt log t = log + O log π log så om då så måste äve π då. Vi ämer äu li ett ekvivalet åståede till rimtalssatse, som aväder fuktioe ψ istället, då det ψ i första had är dea som kommer avädas: då. Det är e gaska ekel övig i artiell summatio se roositio A.. att ise att dessa åståede är ekvivaleta, me vi vätar med det till kaitel.4 då det ger oss mer att visa det där.. Egeskaer hos ζ Vi börjar u med att lägga grude till delara som behövs i beviset. ζs kommer att avädas väldigt mycket och vi behöver därför god kuska om hur dea beter sig. Vi börjar med e kovetio och låter s = σ + it... Eulers roduktformel Vi ska u se ett sätt som ζs är relaterat till rimtal å. Euler bevisade att ζ ka skrivas som e rodukt över rimtale, ζs =, σ >... s Bevis. Vi börjar med att ise att ζs är absolutkoverget för Res >, och att vi dessutom ka skriva s = ks, som e geometrisk serie. Vi har alltså att s = 9 k=0 k=0 ks.
För ett givet rimtal P ka vi av aritmetikes fudametalsats skriva ks = s, P k=0 där summa i högerledet löer över alla som har samtliga delare P. Vi väljer u N så att < ɛ och vi får således att vilket bevisar åståedet. ζs N N s s s < ɛ, N.. Aalytisk fortsättig av ζ och fuktioalekvatioe I detta avsitt ska vi bevisa två resultat om ζs, först bevisade av Riema. Aalytisk fortsättig Lemma... För > 0 gäller det att eller med θ = Z e π Bevis. Se aedi A.8. Z e π/ = Z Vi ska u härleda fuktioalekvatioe för ζs. Sats... ζs ufyller fuktioalekvatioe Bevis. Betrakta och sätt t = π. Vi får e π, θ = θ/... π s Γ sζs = π s Γ[ s]ζ s...3 Γ s = e t t s dt Γ s = e π π s dπ = Efter omflyttig har vi 0 0 π s s Γ s = s e π d. Om vi låter σ > och summerar över har vi att π s Γ sζs = s 0 0 0 = e π π s s s d. e π vilket gäller eftersom västerledet kovergerar. Låt u summa i västerledet beteckas med ω, dvs. ω = e π. Vi får således att π s Γ sζs = s ωd. 0 0 d
Vi delar u itegrale i två itervall, 0 s ωd + s ωd, och observerar att vi ka låta de första itegrale ha samma gräser som de seare, geom variabelbytet. Vi får då s ω/d + Vi observerar här att då ω = e π så har vi att s ωd. θ = Z e π = ω +. Frå lemma.. ova har vi att θ/ = θ och vi får att ω/ = + + ω. Låter vi detta uttryck ersätta ω/ i de högra itegrale ova får vi s + + ω d = s + s + Tillsammas får vi att π s Γ sζs = ss + s ωd. s + s ωd...4 Vi observerar att högerledet är detsamma för s som för s, varav satse följer. Amärkig... Geom att aväda egeska d i roositio A.. får vi att πz ζs = s π s si Γ sζ s...5 Sats... ζs är meromorf i högra halvlaet, dvs. för σ > 0, med s = som eda ekel ol med residy. Bevis. Vi utgår frå defiitioe och ka skriva ζs = s = s s + = = = s + s s 3 s = s = 3 + 3 s 3 4 s... + s d, där sista likhete följer frå itegralkalkyles huvudsats. Vi låter u ersätta och ka göra oss av med summa och skriva s s d. Ersätter vi med {} får vi är vi itegrerar ea terme i itegrade att Av detta ser vi att satse följer. ζs = s s s {} s d...6
ξs och ågra första uskattigar Defiitio... Vi defiierar u ξs = ss π s Γ sζs..7 och ser att ξ ufyller fuktioalekvatioe ξs = ξs eligt..3 och d i roositio A... Proositio... Det fis e kostat C så att lim ξs < s ec s log s. Bevis. Vi observerar att då ξs = ξ s räcker det att visa olikhete för σ. Vi har att ss π s < e C s för ågot ositivt C detta behöver ite vara samma vid varje tillfälle. Vidare, då σ ka vi alicera Stirligs formel, roositio A.., och får således Γ s < ec s log s. Vidare, av..6 följer, för σ, att ζs < C s. Så vilket skulle visas. Sats..3. Låt {ρ } vara ollställe till ξs. Då gäller att ξs < e C s log s,..8 ξs = e A+Bs ρ s ρ e s ρ..9 för ågot val av reella kostater A och B, samt att ρ ɛ är koverget för varje ɛ > 0, me ρ är diverget. Amärkig... De två sista åståedea medför seciellt att ξ har oädligt måga ollställe. Bevis. Se aedi A.8. Det seare resultatet i satse kommer till avädig först lite seare är vi vill hitta ollställe till ζs, me vi fortsätter här med ågra följder av..9. Logaritmerig av ξs ger log ξs = log e A+Bs ρ Deriverig ger u s ρ e s ρ = A + Bs + log s + s. ρ ρ ξ s ξs = B + + ρ. ρ ρ s ρ och vi har alltså kommit fram till att ξ s ξs = B + +...0 s ρ ρ
Geom att betrakta de logaritmiska derivata av..7 ka vi få e formel för ζ s/ζs. Vi har att ξ s ξs = s log π + Γ s + Γ s + + ζ s ζs, så Kombierat med..0 ova får vi ζ s ζs = s + log π Γ s + Γ s + + ξ s ξs. ζ s ζs = B s + log π Γ s + Γ s + +..3 Mer om log ζs och ζ /ζ Av.. har vi att +... s ρ ρ log ζs = log s = log s = = s.. för σ >, vilket ises med hjäl av otesserieframställige log z = z, z <. Deriverar vi med avseede å s får vi ζ s/ζs, å ea sida. Å adra sida har vi att d ds log ζs = d s = log ds s = Λm m s. = = m= Vi ka alltså dra slutsatse att för σ >. ζ s ζs = = Λ s..3 Uskattigar Vi samlar här lite uskattigar som kommer behövas seare. För / < σ < gäller att ζσ = O,..4 σ vilket ises direkt frå..6. Vidare frå detta eller.. har vi att ära s = så är ζ ζ s = O..5 s och seciellt så gäller det att för σ > så är ζ σ ζσ < σ + K..6 för ågo ositiv kostat K. Alicerar vi roositio A.. å.. så har vi att för ågot A > 0 att [ ] ζ Re ζ s < A log t [ Re s ρ + ]..7 ρ ρ 3
i området t och σ. Vi oterar också att ζ s/ζs = Olog t, om σ > + log t och t, ty ζ s ζs = Λ s = = Λ σ = ζ σ ζσ = Olog t..8 eligt..5. Till sist ger vi e uskattig för ζ s i området σ. Fuktioalekvatioe,..3, till ζs ka skrivas ζs som ζ s = π s+ s Γ ζs s Γ s = π s ζs s π si πs Γ s med hjäl av d i roositio A... Vidare, av b i samma roositio får vi och slutlige utyttjar vi att si s si s ζ s = s π s ζsγs siπs π si πs = cos s och erhåller att ζ s = s π s cos πsγsζs. Vi tar u de logaritmiska derivata av dea, och betraktar edast fallet då σ, vilket med hjäl av fuktioalekvatioe ger oss uskattig i det sökta området. Vi har att d ds log ζ s = π ta πs + Γ s Γs + ζ s log log π ζs och vi ser att de två sista termera är kostata, och vållar alltså iget roblem. Stirligs formel, roositio A.., ger att Gamma-terme är Olog s. ζs är begräsad här vilket ka ises geom de ursrugliga defiitioe och kovergestest. Då återstår alltså de första terme, och vi oterar att de har oler i de udda heltale. Således ka vi dra slutsatse att så läge s + för varje Z så är ta πs begräsad. Ekvivalet, ta πs är begräsad om s +, det vill säga om vi ekluderar bollar med radie rut de udda heltale för s eller de jäma heltale för s. Eftersom Gamma-terme är Olog s för s får vi då att de är Olog s för s vilket ger att de är Olog s om vi u låter s. Således har vi kommit fram till att ζ s ζs = Olog s..9 för σ och s, N. Varför vi behöver ekludera omgivigar till de egativa jäma heltale blir förhoigsvis klart eda...4 Nollställe till ζs och område uta ollställe Vi behöver veta ågot om ollställe till ζ för att seare kua få bra uskattigar för bl.a. ψ. Vi börjar med att otera att jäma egativa heltal är ollställe. Amärkig.. säger att πz ζs = s π s si Γ sζ s πs där si = 0 för s =, 4, 6,.... Dessa kallas för de triviala ollställea till ζs. Vi observerar också att Γ har oler i icke-ositiva heltal, så de otetiella ollställea s = 0,, 4,... uhävs. Lite mer itressat, som bevisades av Hadamard är följade resultat. Sats..4. ζs har oädligt måga ollställe i området 0 σ. För att visa detta bevisar vi först följade lemma. Lemma... De eda ollställea till ξs är de icke-triviala ollställea till ζs. 4
Bevis. Av lemma De triviala ollställea till ζ uhävs av Γ s som har oler i 0,, 4,..., så äve ollstället i s = 0 frå faktor s uhävs. Vidare har ζ e ol i s = som alltså uhäver ollstället till faktor s. Återståede ollställe till ξs måste därför vara de icke-triviala ollställea till ζs. Bevis. Av sats Av lemma.. och.. har vi att om ζs har icke-triviala ollställe måste de ligga i 0 σ, ty om ζs = 0 för σ > skulle det fias rimtal så att ågo faktor s = 0 vilket uebarlige är omöjligt då rodukte kovergerar här. Me vi vet eligt sats..9 att ξ har oädligt måga ollställe, vilket medför att ζ har oädligt måga ollställe i området 0 σ. Detta motiverar u följade defiitio. Defiitio... Vi låter NT betecka atalet ollställe till ζs i området 0 < σ <, 0 < t < T. Vi ska stra bevisa e asymtotisk formel för NT, me först visar vi följade två lemma: Lemma..3. Om ρ = β + iγ löer över ollställea till ζs så gäller för stora T att ρ = Olog T...0 + T γ Bevis. Av..7 har vi att Re ζ s ζs < A log t Re + s ρ ρ för ågo kostat A > 0 i området σ och t. Vi låter s = + it. Då är ζ s/ζs begräsad eligt..8, och vi har således att [ Re + ] < A log T s ρ ρ ite ödvädigtvis för samma A, ty summa är ositiv: och olikhete ger oss sökta resultat. β Re = s ρ β + T γ 4 + T γ Två direkta kosekveser av detta är att i atalet ollställe med T < γ < T + är Olog T och ii summa T γ över ollställea som ite satisfieras av i är också Olog T. Lemma..4. För stora t skilda frå imagiärdelara till ollställea, och σ, gäller det att ζ s = Olog t +. ζs s ρ Bevis. Vi betraktar differese med hjäl av.. och..8 och får att ζ s ζs = Olog t + t γ < ζ s ζs ζ + it ζ + it s ρ + it ρ. 5
Vi behöver u visa att de termer som ite ufyller kravet t γ < maimalt bidrar med Olog t. För termera med γ t gäller i det giva området att s ρ + it ρ = σ s ρ + it ρ 3 γ t. Summa över dessa är eligt ii ova Olog T och de termer som ufyller T γ < är till atal också Olog T eligt i. Sats..5. För stora T gäller det att NT = T π log T π T + Olog T... π Bevis. Låt R vara rektagel med hör i, + it,, + it. Vi ka uta iskräkig ata att ξσ + it 0 för σ. Av argumetricie och lemma.. har vi då att πnt = R ξ s ξs ds = Rargξs, det vill säga skillade i argumet för ξs då s löer rut R. Vi oterar att då ξ är ollskild och edast atar reella värde för s R, ädras ite argumetet å lijstycket mella och. Vidare har vi att då ξs = ξ s gäller det att ξσ + it = ξ σ it = ξ σ + it vilket iebär att skillade i argumet då s går frå via + it till + it är samma som frå + it via + it till. Om vi låter L betecka lijestyckea frå till + it via + it får vi att πnt = L argξs πnt = L argξs. Det återstår u att beräka L argξs. Vi gör detta via defiitioe för ξ, med e lite omskrivig, då vi oterar att sγ s = Γ s + eligt a i roositio A... Vi har alltså att beräka L argξs = L args + L argπ s + L argγ s + + Largζs. Vi börjar frå väster och har att L args = arg + it = arg + it = π + arcta T = π + O T, där sista likhete följer frå idetitete arcta = π arcta, >, alterativt geom uskattig av itegralreresetatioe av arcta. För L argπ s skriver vi så π s = e s log π, L argπ s = L Im s log π = L t log π = T log π. Vi oterar att Γs R om s R så L argγ s + = arg Γ s + it = argγ s= +it + 5 4 6
Nu ges argumetet av imagiärdele till log Γ, och vi ka alicera Stirligs formel, roositio A.., och vi får Im [ log Γ it + 5 4 ] = Im [ it + 4 5 log it + 5 4 it 5 4 + log π log it + 5 4 ] + O T = Im [ it + 3 4 log it + 5 4 ] T + O T = T log it + 5 4 + 3 4 arg it + 5 4 + O T = T log T + 3π 8 + O. Vi har u att πnt = T log T T + 3π 8 T log π + π + O T + Largζs NT = T π log T π T + 7 8 + O T + Largζs. π Allt som u återstår är att visa att L argζs = Olog T. Defiitiosmässigt har vi L argζs = O + +it +it Im [ ζ ] s ds ζs där O är bidraget frå lijestycket mella och + it, vilket gäller eftersom argζ = 0 och ζ + it är begräsad. Eligt lemma..4 ova ka vi skriva [ ζ ] s Im = Olog T + [ ] Im. ζs s ρ T γ < Så det gäller u att uskatta itegrale av dessa termer, varav de första trivialt är Olog T och +it [ ] ds = args ρ π. s ρ +it Im Atalet termer i summa är eligt följd i till lemma..3 Olog T och vi ka alltså dra slutsatse att L argζs = Olog T, och således är satse bevisad. Område uta ollställe För seare uskattigar med kurvitegraler vill vi hitta område där ζs alltid är ollskild och vi har följade resultat. Proositio... ζs 0 i området σ. Bevis. Det återstår bara att visa att ζ 0 å de vertikala lije σ = eligt sats..4. Beviset bygger å idetitete 3 + 4 cos θ + cos θ = + cos θ 0, som gäller för alla θ. Vi aväder u dea olikhet för Re [log ζs] med θ = t log. Vi har således = σ 3 + 4 cost log + cost log = 3 log ζσ + 4Re [log ζσ + it] + Re [log ζσ + it] 0. Alltså har vi att ζ 3 σ ζ 4 σ + itζσ + it.. 7
då σ >. Atag u att ζ + it = 0 för ågot t. Vi har att ζσ = O σ då σ +, eligt..4. Vi har alltså i e ol av ordig 3 mot ett ollställe av mist ordig 4. Då måste, för att.. ska vara ufylld, ζ ha e ol i s = + it. Me av..6 följer det att ζσ + it < C σ + it. Detta ger öskade motsägelse, så ζ + it 0, t. Me vi ka göra bättre ä så, och utvidga till e omgivig till väster om σ =. Sats..6. Låt s = σ + it, t,. Då fis e kostat c så att ζs 0 i området σ c log t. Bevis. Vi aväder samma idé som ova, me å ζ s/ζs istället för log ζs. Av..3 har vi att ζ ζ s = Λ s vilke är reellvärd för reella argumet. För komlea argumet har vi att [ ] ζ Re ζ s = = Med t = 0, t, t som ia har vi alltså ] 3 ζ σ + 4Re [ ζ σ + it ζ ζ Re ζ s ζs < A log t = Λ σ cost log. ] + Re [ ζ σ + it 0. ζ De första terme är eligt..5 + K och de seare ka uskattas med..7 σ som säger att för t och σ [ ] Re. + s ρ ρ För att få ett eklare uttryck för högerledet visar vi u att summa är ositiv, så att dea ka utelämas. Vi har att [ ] Re = σ β s ρ s ρ [ ] där β är realdele till ρ och σ > β. Vidare är Re ρ = β ρ. När s = σ + it ka vi alltså göra oss av med summa, det vill säga [ ζ ] σ + it Re < A log t. ζσ + it För s = σ +it låter vi t sammafalla med imagiärdele för ett ollställe. Vi låter s ρ vara dea term. Då gäller att [ ζ ] σ + it Re < A log t. ζσ + it σ β Vi aväder u dessa uskattigar i vår trigoometiska formel och får 4 < A log t + 3 σ β σ, 8
för ågot möjlige aat A. Låt u δ > 0 vara e kostat och sätt σ = + δ. Löser vi log t u ut β får vi β < + δ log t 4δ 3 + Aδ log t och efter lämligt val av δ erhåller vi att vilket skulle bevisas..3 Elicit formel för ψ β < c log t, Vi ska i detta avsitt härleda e elicit formel för ψs, som kommer ligga till grud för beviset av rimtalssatse i ästa avsitt. Eklaste sättet att härleda dea är med hjäl av Perros formel, som vi u formulerar. Sats.3.. Perros formel Låt y, c > 0 Då gäller πi c+i c i y s ds s = 0 om y <, om y =, om y >..3. Låt oss kalla högerledet för hy. E kvatitativ versio lyder: för varje T > 0 gäller det att πi c+it c it Bevis. Se aedi A.8. y s ds ct om y =, s hy mi{y c y c, T log y } aars..3. Eftersom ψ har diskotiuiteter där är e rimtalsotes itroducerar vi e modifierad versio av ψ. Detta för att formel ska gälla äve i dessa ukter. Vi låter ψ ψ 0 = Λ om är e rimtalsotes, ψ aars. Vi är u redo att visa e elicit formel för ψ 0 och formulerar de i följade sats. Sats.3.. För alla gäller det att ψ 0 = ρ ρ ρ ζ 0 ζ0 log.3.3 där ρ är komlea ollställe till ζs. Amärkig.3.. Summa i formel ska förstås som lim T ρ T ρ ρ ρ + ρ det vill säga att komlekojugate av ollställea summeras tillsammas med väade belo av imagiärdele. 9
Bevis. Vi börjar med att kostatera att ζ 0/ζ0 = O. Vidare ger seriereresetatio av de sista terme oss iget aat ä log = = ω ω ω.3.4 där ω löer över de triviala ollställea till ζ, dvs, 4, 6,.... Vi åstår u att för σ > så är ψ 0 = c+i ζ s s πi ζs s ds. c i För att ise detta mis vi att i detta område gäller likhete vilket var... Så vi ka skriva πi c+i c i ζ s ζs = = ζ s s ζs s ds = πi = Λ s, c+i c i = Summa är absolutkoverget för σ > och vi gör omflyttige Λ c+i s ds πi s. c i Λ s s s ds. Vi aväder u Perros formel,.3., å y = och får att itegrale är 0 för <, me och för = resektive >. Således får vi att πi c+i c i ζ s s ζs s ds = Λ + Λ = ψ 0, < där Λ = 0 om / N. Låt u r > 0 vara ett stort udda heltal. Vi ska itegrera västerledet ova i rektagel R med hör i c ± it, r ± it. Då asserar lijestycket frå r it till r + it mella två triviala ollställe till ζs. Vi har av Cauchys residysats att itegrale är summa av residyera till itegrade ζ s s ζs s. Bidraget frå ole i s = ger bidraget, vilket ka ses geom... Pole i 0 till s bidrar med ζ 0. Vidare ser vi att varje ollställe till ζs i R bidrar med ω ζ0 ω. Således har vi att ψ 0 = ζ 0 ζ0 + ρ ρ + + E, T, r. ρ R < r Felterme E, T, r kommer dels frå att vi ite har T = är vi aväder Perros formel så vi får feltermer av tye i.3., vi kallar dea felterm et. Dessutom får vi e felterm frå de adra sidora i rektagel som beror valet av r. Felterme är allstå å forme r+it r it c it E, T, r = O + + + et, c+it r+it r it och vi ska u uskatta dea. Vi börjar med att uskatta et och alicerar Perros formel som ger oss att ψ 0 c+it ζ s s πi c it ζs s ds { c } c Λmi, T log + c T Λ. 0
Vi har alltså att uskatta summa i högerledet. Låt c = + log. Då är c = e. Vi delar u i fall och börjar med 3 4 och 5 4. För dessa ka vi hitta e udre begräsig så att vi ka skriva för log Λmi {..5 ger med s = c att c, } c c T log = O T ζ c ζc = = Olog [ ] Λ c c = O ζ c. T ζc vilket ger oss uskattige O c T log. Näst betraktar vi fallet då 3 4 < <. Låt u vara de största rimtalsotese midre ä och atag att 3 4 < <. För = har vi att log = log = log så Λ mi { c } c { }, T log = O Λ mi, T c ty är begräsad. Λ log så slutlige { } O log mi,. T För i detta område gör vi följade: Låt = v där 0 < v < 4. Då gäller följade log log = log v v. Således blir uskattige över dessa O T 4v< Λ v v T log, ty vi får c C log T för ågo ositiv kostat C. Slutlige betraktar vi fallet < < 5 4 och låter vara de lägsta rimtalsotese större ä. Fallet då = ger, aalogt med ova att och således att dea term i summa är O log mi log {, }. T 4v< För sätter vi = + v med 0 < v < 4 och det följer frå olikhete log + v v att summa ka uskattas till O T log. Tillsammas med de tidigare uskattigara får vi slutlige att ψ 0 c+it ζ s s πi ζs s ds = O T log + log mi c it v {, } T d
där d beteckar avstådet till de ärmsta rimtalsotese. Nu återstår att uskatta feltermera för de adra sidora i vår rektagel R. Av Cauchys residysats har vi att ζ s s πi R ζs s ds = ρ ρ ζ 0 ζ0 γ <T 0<<r. Atalet ollställe med T γ < är Olog T eligt följd till lemma..3, så det fis hål med lägd i storleksordig. Vi har då, om vi låter T variera smått att T γ är mist log T av storleksordig för alla ollställe β + iγ. Av lemma..4 har vi för s = σ + it, log T σ att ζ s ζs = T γ < så i detta område gäller att ζ s ζs s ρ + Olog T T γ < s ρ + Olog T T γ < T γ T γ < Eligt ova och atalet termer i summa är Olog T, så vi har att Olog T + Olog T. ζ s ζs = Olog T för σ..3.5 Vi aväder u dea uskattig i de horisotella lijeitegralera i felterme, c+it +it ζ s s ζs s ds log T c σ s dσ log T T c σ dσ log T T log. För resterade del av de horisotella lijeitegralera aväder vi att ζ s/ζs = Olog s, vilket var..9, och får å samma vis att +it r+it ζ s s ζs s ds T logt σ dσ log T T log. Vi ser att detta uttryck är försumbart då det är väsetligt midre ä det förra. Sist uskattar vi de vertikala lijeitegrale, som är r+it r it ζ s ζs r s log r T ds r dt T log r s r T r r. Låter vi u r så försvier dea uskattig, och beroedet å r, och vi får de elicita formel för ψ 0 med log T { } E, T = O + log mi,..3.6 T T d Vi ser att E, T 0 är T för..4 Bevis Vi är u redo att visa att ψ = +Oe clog för ågo ositiv kostat c, och därefter övergå till π och de ursrugliga rimtalssatse. Vi utgår frå de elicita formel för ψ som var sats.3. i förra avsittet, och vi har alltså att uskatta ρ ρ ρ ζ 0 ζ0 log
vilket främst iebär att uskatta summa. Vi har för ρ = β + iγ, ollställe till ζs av sats..6 att om γ < T så är β < c för stora T. Detta medför att log T ρ = β = e β log < e log c log / log T = e c log / log T. Vi tittar äst å ämare: ρ γ så om vi ka uskatta 0<γ<T 0<γ<T är vi klara. Vi låter som ia Nt betecka atalet ollställe till ζs med imagiärdel midre ä t i området 0 < σ <. Vi har då att T γ = dnt = NT T Nt + 0 t T 0 t dt, med A... Nt = Ot log t eligt sats..5 så om vi ersätter itegrale i högerledet med detta får vi Olog T. Slutlige får vi då att ρ ρ = O log T e c log / log T. 0<γ<T Låt u vara ett heltal, detta ka vi göra uta iskräkig. Då gäller det att.3.6 i förra log T avsittet tar forme E, T = O ty d så de seare terme är försumbar. T Vi får då att log T ψ 0 = O + log T e c log / log T. T Vi bestämmer u T som e fuktio av, och sätter log T = log. Vi får att T = e log och ψ 0 = O log e log + loge clog = O e clog γ där c < mi {, c} är e kostat. Således har vi alltså att ψ = + O e clog.4. och vi är redo för övergåge till π. Sats.4.. Primtalssatse Vi har att för ågo kostat c > 0. Bevis. Vi låter Π = π = li + O e clog Λ. Vi ser att termera där är ett rimtal är, 0 om är log e rodukt av två eller fler rimtal och k om = k. Vi ka skriva Π = + + 3 3 Partiell summatio A.. säger följade. Låt f C R, då y< a f = Af Ayfy +... = π + π + 3 π 3 +... y Atf tdt, 3
där A = a. Vi aväder u detta å Π vilket ger oss log Λ + dt Λ t log t = ψ t log + ψt t log t dt. Då vi ova visat att ψ och är asymtotiskt lika,.4., ka vi skriva log + dt log t = li + log. Allt som återstår är u att beräka felterme som blir e clog t dt + e clog. För t < 4 är itegrale midre ä 4, ty itegrade är <. I resterade område gäller det att log t log ty log = 4 log = log 4. Slutlige får vi alltså att Π = li + O e clog.4. där c = c. Dea framställig iehåller felterme för t < 4. Trivialt gäller det att π så Π π = O vilket iebär att π = li + O e c log.4.3 vilket skulle visas. 4
Kaitel 3 Ett retetiöst bevis Vi ger u ett bevis av rimtalssatse å det retetiösa sättet. Det består i att göra uskattigar sats 3.3., lemma 3.3. av multilikativa fuktioers retetiösa avståd till och seda utyttja Halász sats sats 3.4.. De ger e asymotisk begräsig av medelvärdet till multilikativa futioer i termer av det retetiösa avstådet till fuktioe f = iα och alltså ger de tidigare uskattigara e ovillkorlig asymtotisk begräsig av medelvärdet. Vi aväder µ och får således e asymtotisk begräsig av µ. Detta är M/ som är e käd fuktio. Med hjäl av ett atal välkäda asymtotiska resultat lemma 3.5., A.5.5, roositio A.5. får ma geom de asymtotiska begräsige av M/ e asymtotisk begräsig av ψ, frå vilke rimtalssatse erhålles sats 3.5.. För att kua göra uskattigara av det retetiösa avstådet krävs först ett atal grudläggade lemma, vilka i si tur beror å grudläggade teori iom aalytisk talteori. Vi ger därmed först e kocis framställig av de ödvädiga bakgrudsteori och aväder seda detta för att ta fram de lemma som behövs för att uskatta det retetiösa avstådet. För att förekla förståelse ger vi e karta över bevisets beroede. 5
L3.. L3..3.i L3.. L3..3.ii L3..3.iii S3.4. L3.4. L3.3. S3.3. S3.4. L3.4. Primtalssatse L3.5. Figur 3.: Bevisets beroede. S beteckar sats och L beteckar lemma. 3. Grudläggade teori om Dirichletserier Ia vi ger oss kast med att bevisa rimtalssatse behöver vi itroducera grudläggade teori för multilikativa fuktioer. Bevise fis i aedi A.4. Defiitio 3... Låt f och g vara aritmetiska fuktioer. Dirichletfaltige av f och g är fuktioe f g = d fdg/d. 3.. Proositio 3... Låt F vara mägde av alla aritmetiska fuktioer f med f 0. Då är F, e abelsk gru med idetitetselemetet δ. Defiitio 3... Iverse till ett elemet f F kallas Dirichletiverse och beteckas f. Vi har ett atal grudläggade faltigsidetiter. Proositio 3... Vi har följade faltigsidetiter. i Det gäller att µ = δ eller med adra ord att = µ. ii Om f och g är aritmetiska fuktioer så f = g omm µ f = g. Detta kallas Möbiusiversio. iii Vi har idetitetera Λ = log µ samt = τ µ. Vi iför u Dirichletserier. Defiitio 3..3. Låt f vara e aritmetisk fuktio. Dirichletserie F s av f i s är serie F s = f s. Vi aväder kovetiosmässigt stor bokstav för Dirichletserier. På grud av edaståede etydighetssats är det aturligt att idetifiera e Dirichletserie med sia koefficieter. 6
Proositio 3..3. Låt f och g vara aritmetiska fuktioer med associerade Dirichletserier F s resektive Gs, och ata att F och G absolutkovergerar i området Res > σ. Om F s = Gs för alla s så f = g för alla N. E direkt kosekves är att F s = 0 om och edast om f = 0 för alla. Multilikatio av Dirichletserier har edaståede sambad med Dirichletfaltig av aritmetiska fuktioer. Proositio 3..4. Låt F s och Gs vara Dirichletserier av fuktioera f resektive g och ata att dessa absolutkovergerar i s. Då gäller att F sgs = f g s. 3.. Vi iför e geeraliserad versio av Λ samt e beteckig för de aritmetiska fuktioe associerad med derivata av e Dirichletserie. Defiitio 3..4. Låt f vara e aritmetisk fuktio. Då är samt Notera att Λ = Λ. Vi har u följade resultat. f D = f log, Λ f = f D f. Proositio 3..5. Låt F s vara Dirichletserie i s av f F och låt F s vara absolutkoverget i området Res > σ. i Låt Gs vara Dirichletserie i s av f. Om Gs absolutkovergerar i området Res > σ så gäller att Gs = /F s. ii Det gäller att F s = f D s. Serie kovergerar då Res > σ. iii Låt f vara e fuktio såda att f för alla, och låt σ >. Om Λ f κλ så gäller att F s = Λ f F s s. 3. Grudläggade lemma Proositio 3... O så = log log + C + O, log där C är e kostat. Bevis. Se aedi A.5. Lemma 3... Låt K vara e kostat, a K för alla och α = + log. Då gäller Bevis. Se aedi A.9. a = Vi itroducerar u det retetiösa avstådet. a + O. 3.. α 7
Defiitio 3... Låt f och g vara aritmetiska fuktioer med f och g för alla. Då är det retetiösa avstådet mella f och g u till edaståede summa Df, g; = Refg. Följade lemma ger e asymtotisk övre och edre begräsig av e Dirichletserie i termer av det retetiösa avstådet. Lemma 3... Atag att f är multilikativ, f för alla, och att Λ f κλ för ågot κ > 0. Då gäller F + log + it log e Df, it ;. Bevis. Eligt roositio 3..5.iii har vi att Λ f s = F s F s, och att serie kovergerar då Res >. Låt u a vara e kostat med Rea >. Då får vi log F s log F a = s a = där det sista steget följer av att Därmed log F s 0 ds 0 = s a F s 0 F s 0 ds 0 = s a Λ f s0 ds 0 Λ f log s + Λ f log a = Λ f log s + O, log F s = Λ f log a kovergerar eligt jämförelse med F a F a. Λ f log s + O. Nu har vi log F s = O + = O + Λ f log s = O + f log s log + k,k Λ f k ks log k Λ f s log +..., ty Λ f = 0 är helst k, k, eligt A.6. och Λ f = f log eligt A.6.. Låt u l och vara fit. Då erhåller vi Λ f l ls log l κ Λl l lσ log = κ log l lσ log = κ l lσ κ lσ. Så k,k Λ f k ks log k κ = κ k,k kσ κ σ σ σ κ k=0 kσ = O. σ Detta ger slutlige att log F s = f log s log + O = f s + O. 3.. 8
Vidare har vi geom lemma 3.. att Df, it ; = Ref it = Re log F + log + it = log F + log + it = Re + O + O. f + log +it + O Det vill säga log F + log + it = + O Df, it ;. Med roositio 3.. erhåller vi log F + log + it log log + Df, it ; = O. 3..3 Detta är ekvivalet med K log F + log + it log log + Df, it ; K, där K är e ositiv kostat. Detta ger att e K log F + log + it edf, it ; e K, eller med adra ord att log F + log + it edf, it ;, vilket i si tur är ekvivalet med F + log + it log e Df, it ;. Lemma 3..3. Vi har att ζs satisfierar följade relatioer. i Om σ > 0 har vi att ζs s s s ii Om σ > och s har vi att ζs log + s. iii Om σ > och s har vi att ζ s log + s. Bevis. Se aedi A.7. 3.3 Avstådsbegräsig σ. Nedaståede lemma bestämmer det retetiösa avstådet mella och iα då α är begräsad frå ova. Lemma 3.3.. Låt α R, 3 och α α 0, där α 0 > är e kostat. Då D, iα ; = log + α log + O. 9
Bevis. Frå 3..3 har vi log ζ + log + iα = log log D, iα ; + O = log log Re iα + O = log log log log + Re iα + O = Re iα + O. 3.3. Frå lemma 3..3.i har vi också ζs s s s σ, σ > 0. Det vill säga ζs = s s + O s σ. Nu har vi att log ζ + log + iα = log + log + iα + log + iα + O log + iα + log + log = log + iα + O, + iα log ty + log + iα + log α 0 + + log 3. Vidare har vi att + log log + iα + log + O = log + iα log + iα log + iα + O log + + iα log = log + O + iα log = loglog + + iα log log + iα log + O = loglog + + iα log + iα log + O log = log log + log + + iα log + iα log + O. log Nu har vi alltså att Re log ζ + + iα = log log ζ + log + iα Frå 3.3. får vi u att = log log + Re log + + iα Re log + iα log + O log = log log + log + + iα Re log + iα log + O log = log log Re log + iα log + O. Re iα = log log Re log + iα log + O, 30
vilket ger att D, iα ; = Re iα = Re log + iα log + O = log + iα log + O = log + α log + O, där det sista steget följer frå + α log = + + iα log som leder till α log + α log [, ], + α log log = O. + iα log Dea sats ger e övre och udre begräsig av det retetiösa avstådet mella och iα. Sats 3.3. Avstådsbegräsig. Låt α R, 3 och α α 0, där α 0 är samma kostat som i lemma 3.3.. Då { D, iα ; log log log log4 + α + O D, iα ; log log + log log4 + α + O. Bevis. Vi har att α α 0, och därför får vi log + iα α 0 = α 0. Detta ger att log + iα. Alltså ka vi aväda lemma 3.. och lemma 3..3.ii med vilka vi får att log e Re iα K ζ + log + iα K K log + + log + iα e + Re iα K K log + + log log + iα e log log R + Re iα K K log + + log log + iα, så log e R e Re iα K K log Re iα log + + log + iα log log + + + iα + R + O, log där R = O, och K, K är kostater som vi uta iskräkig ka ata är större ä. Det gäller u att log log + + + iα log log4 + α, log 3
ty 0 < log <. Så vi får Re iα log log4 + α + O om α, 3.3. α 0 vilket direkt ger de udre begräsige ty D, iα ; = log log + O Re iα log log log log4 + α + O. Vi bevisar u de övre begräsige då α 0 α α 0. Lemma 3.3. ger att Detta ger ty D, iα ; = log + α log + O. log + α log = loglog log + α = log log + log log + α log log + log + α log log + log log4 + α + O, log log4 + α log + α = O, då α 0 α α 0. Vi bevisar u de övre begräsige då α > α 0. För det behöver vi att +iα, 3.3.3 y då y := elog α, ty om detta gäller har vi att Re iα + O = Re iα Re iα + O y y = Re iα + Re + O +iα y y Re iα + y +iα y + O = Re iα + O + O, y y där det sista steget följer frå att Re iα y y Re iα y ty iα =. Med detta får vi D, iα ; = Re iα + + O y = log log + log log y + O = log log + log log α + O = log log + log log4 + α + O, ty y := elog α. 3
Vi bevisar u att 3.3.3 stämmer. Det gäller att = log ζs + O, se 3.., s och +it = + O, där s = + + it, se 3... s log Så med 3.. och 3.. får vi att Vidare har vi att Ur detta följer y och därmed +iα = +iα +iα y< y = + O + log +iα + log y +iα = log{ζ + + iα} log{ζ + + iα} + O. log log y d du logζ + log u + iα = ζ + log u + iα ζ + log u + iα ζ ζ + log u + iα du u log u = log{ζ + log +iα y< log u u = ζ ζ + log u + iα u log u. + iα} log{ζ + log y + iα}, = log{ζ + + iα} log{ζ + + iα} + O log log y = ζ ζ + log u + iα du u log u + O. y Frå lemma 3..3.iii har vi de övre begräsige ζ + log u + iα log α så vi behöver u e begräsig av /ζ + log u + iα. Med lemma 3.. får vi att Så med vi får att att F + log + it log e Df, it ;. Dµ, it ; = + Ree it log = + cost log, och alltså log e + cost log ζs, 33