Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio PARTELL NTEGRATON uu(vv ( dddd uu(vv( uu (vv(dddd ( ), (pppppppppppppppp iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) KKKKKKKKKKKKKK: uuuu dddd uuuu uu vv dddd Förklrig: Eligt produktrgl hr vi uu(vv( uu (vv( + uu(vv ( Om vi itgrrr åd ld hr vi uu(vv( dddd uu (vv(dddd + uu(vv (dddd EEEEEEEEEEEEEEEE uu(vv( dddd uu(vv( får vi u(vv( uu (vv(dddd + uu(vv (dddd som gör forml (*) om vi flyttr först itgrl till västrldt. Prtill itgrtio för stämd itgrlr: u ( v ( d u( v( u ( v( d Amärkig. måg öckr väds följd kvivlt forml (smm som ov, om vi tckr ' ( f ( u ( g( ) Sts (PARTELL NTEGRATON) Om F ( är primitiv fuktio till f (, dvs F ( f ( g( d F( g( F( g f ( d (. (**) v och, då gällr Bvis: Dt räckr tt vis tt drivt v högrldt är lik md f ( g( : d d ( F( g( F( g ( d F ( g( + F( g ( F( g ( F ( g( f ( g(, vd skull viss. 1 v 8
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio Vi vädr prtill itgrtio, dvs forml (*) för tt räk ågr (it ll) itgrlr v typ f 1( f ( d. TPS: När vi räkr itgrl f 1( f ( d md hjälp v prtill itgrtio tckr vi fktor, f 1( ) llr f ( ), som u och som v. Fråg är hur sk vi välj u rspktiv v. Här fis tips för två grudtypr v itgrlr lämplig för prtill itgrtio: TYP 1. Om fktor är polyom och dr fktor potilfuktio siusfuktio llr cosiusfuktio väljr vi u polyom, ( g polyom, om m vädr (**) v (llr F) potilfuktio, siusfuktio llr cosiusfuktio. TYP. Om fktor är polyom och dr fktor logritmfuktio llr rcusfuktio väljr vi u (llr g) logritm- llr rcusfuktio, v (llr F) polyom Uppgift 1. Bräk itgrl: dddd, Lösig. Vi räkr itgrl dddd md hjälp v forml för prtill itgrtio uuuu dddd uuuu uu vv dddd Vi tckr d hör gåg först fktor md u dvs. u, och därmd v. Därftr räkr vi u ( gom tt drivr u) och v ( gom tt itgrr v ). Vi väljr u och v (typ 1, vi väljr upolyom): u ; v och räkr u 1 v ( Dt räckr md primitiv fuktio till, kostt C läggr vi till i slutsvr). v 8
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio Dtt sustiturr vi i forml uuuu dddd uuuu uu vv dddd och får dddd 1 dddd + CC Svr: dddd + CC Uppgift. Bräk itgrl: llllll dddd, ) Lösig: Vi vädr forml uuuu dddd uuuu uu vv dddd och får llllll dddd llllll dddd llllll + CC Svr: llllll dddd llllll + CC Prtill itgrtio (typ, vi väljr v polyom): Vi väljr u och v uu llllll vv och räkr u och v uu 1 vv Uppgift 3. Bräk itgrl: +3 dddd, ) Lösig: uuuu dddd uuuu uu vv dddd gr Prtill itgrtio: Vi väljr u och v uu vv +3 och räkr u och v uu 1 3 v 8 vv +3
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio +3 dddd +3 +3 dddd, ftr räkig v sist itgrl hr vi +3 dddd +3 +3 + CC Uppgift. Bräk följd itgrlr ) dddd, ) dddd ) Lösig: uuuu dddd uuuu uu vv dddd Prtill itgrtio: uu uu 1 1+ vv vv dddd 1 dddd 1+ ( polyom divisio llr kortr: 1+ +1 1 1+ 1 1 1+ ) 1 (1 1 1+) dddd 1 + 1 + CC ) Lösig: dddd 1 + dddd Prtill itgrtio: uu vv 1 uu 1 1+ vv 1 1 + dddd 1 llll(1 + ) + CC Uppgift. Bräk följd itgrl ( + 8)( + ) dddd v 8
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio Lösig: ( + 8)( + ) dddd (tt )(tt)dddd och u prtill itgrtio: Först sustitutio + tt tt dddd dddd uu (tt) vv tt uu 1 1+tt vv tt tt (tt tt) (tt) tt tt 1+tt dddd (tt tt) (tt) (1 1 1 + tt tt 1 + tt) dddd (tt tt) (tt) tt + (tt) + llll(1 + tt ) + CC [( + ) ( + ) ]( + ) ( + ) + ( + ) + llll(1 + ( + ) ) + CC Uppgift 6. Bräk ) cos d ) si d ) Lösig: Vi vädr prtill itgrtio u ( v ( d u( v( u ( v( d. Vi väljr u, v cos u 1, v si cos d si 1 si d si + cos π 1 π Svr: ) 1 ) 1 v 8
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio tgrlr d, si d och cos d räkr vi gom tt väd prtill itgrtio -gågr. På smm sätt räkr vi itgrlr v typ och P( cos d där P( är polyom v grd. P( d, P( si d Uppgift 7. Bräk ) ( + d ) si d ) Lösig: ( + d (Prt it) u ( + v u + 1, v ( + ( + 1) d U + 1 V ( + ( + 1) + d U, V ( + ( + 1) + ( + 1) + C Svr: ) ( + 1) + C ) cos + si + cos + C Någr itgrlr k vi räk gom tt härld lämplig rkursiv formlr. Uppgift 8. Låt cos d. 1 ) Härld följd (rkursiv) forml. 6 v 8
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio ) Bräk md hjälp v ovståd forml cos c) Bräk md hjälp v ovståd forml cos Lösig: ) cos d cos 1 cos d d. d. u cos 1, v cos u ( 1)cos si, v si 1 [ si cos ] + ( 1)cos si d + ( 1) ( 1)cos cos (1 cos d ( 1) cos d d Alltså ( 1) ( 1). Härv ( 1) 1 och därmd V.S.B. ) Btck cos 3 3 1 ( gåg till - dl d. Eligt -dl hr vi tillämpd på ). u, v cos u 7 1, v v8 si
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio Kvrstår tt räk π cos d 1d. Därmd 3 1 3 1 π 3π. 16 3π Svr ) 16 c) Btck cos 3 1. 3 d.. Eligt -dl hr vi 1 cos d si hr vi 1 Eftrsom [ ] 1 1 3 Svr c) 1 8 8 1 8 v 8