MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA8 Diffrntial- och intgralkalkyl III Datum: 6 augusti 0 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmdl: Pnna, linjal och radrmdl Dnna tntamn bstår av åtta om varannat slumpmässigt ordnad uppgiftr som vardra kan g maximalt 5 poäng. Dn maximalt möjliga poängsumman är sålds 40. För btygn, 4, 5 krävs minst 8, 6 rspktiv 4 poäng. Lösningar förutsätts innfatta ordntliga motivringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sortrad i dn ordning som uppgiftrna är givna i. Vktorrna,, utgör i förkommand fall n HON-bas.. Bräkna (x y) x y da, D där D är dn trianglskiva som har sina hörn i punktrna (0, 0), (0, ) och (, 0).. Bräkna kurvintgraln γ arctan(y/x) x dx + y y dy, där γ är dn i mdurs ld gnomlupna randn till {(x, y) : x + y, 0 y x}.. Bstäm konvrgnsintrvallt till potnssrin n= x n n ln( + /n). 4. Bräkna ytintgraln ) ((xy 5z ) + (x y + z) + (x y + z ) ˆn ds, Y där ytstyckt Y utgörs av unionn { (x, y, z) : x + y = z x y } { (x, y, z) : x + y z = x y } och där nhtsvktorn ˆn är utåtriktad. 5. Bräkna γ y z xyz dx + xyz xyz dy + ( + xy z) xyz dz, där γ är spiralkurvan r = cos(t) + sin(t) + t, 0 t π, orintrad i dn riktning som svarar mot växand t. 6. Visa att srin n= ( ) n (ln(7)) n n n! är konvrgnt och bstäm summan av dn. 7. En partikl rör sig i rummt nligt kvationn r = t +ln( cos(t)) +, där t btcknar tidn. Ang i punktn P : ( π,, ) acclrationsvktorns koordinatr i dn mdföljand basn T(t), N(t), T(t) N(t). Spcificra ävn dn snar basn uttryckt i basn,,. 8. Bräkna K y dv, där K är kroppn som mllan cylindrarna x + y = och x + y = 8 prcis fyllr upp utrymmt mllan plann z = 0 och z = 4 + x + y.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMENN I MATEMATIK MMA8 Diffrntial- ochh intgralkalkyl III Datum: 6 augusti 0 BEDÖMNINGSPRINCIPERR md POÄNGSPANN Tntamn 0-08-6. [sinh( )]. ln( ) 8 BEDÖMNINGSPRINCIPER md POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika dlmomnt i uppgiftrna p: Korrkt valt intgrationsvariablr som är lämpliga för intgraln p: Korrkt bräknat dn aktulla funktionaldtrminantn p: Korrkt itrrat intgraln (+)p: Korrkt bräknat intgralrna i itrationnn p: Korrkt tillämpat Grns forml (tckn och intgrand) i p: Korrkt utvcklat intgrandn Qx P y i dubblintgralnn p: Korrkt bstämt funktionaldtrminantn i ttt byt till polära koordinatr, samt korrkt angivit gränsrna för radin p: Korrkt angivit gränsrna för vinkln i d polära koord:na p: Korrkt slutfört intgrationn. Konvrgnsintrvallt = (, ) p: Korrkt notrat att limn (ln( n ) p: Korrkt konstatrat gnom t.x. kvotkritrit att srin är absolut konvrgnt för x p: Korrkt konstatrat gnom t.x. kvotkritrit att srin är divrgnt för x (+)p: Korrkt konstatrat gnom divrgnskritrit att srin är divrgnt för x 4. 5. 6. 6 ( 5 Bvis ) Summan av srin är lika md p: Korrkt konstatrat att dn d angivnaa ytan är lika md hla randn till kroppn x y z x y, och korrkt md Gauss sats omskrivit intgraln p: Korrkt funktionaldtrminant i ttt byt till rymdpolära koord. (+)p: Korrkt valt gränsr i och r -intgralrna p: Korrkt slutfört intgrationn p: Korrkt bräknat F till att varaa lika md nollvktorn p: Korrkt konstatrat att F 0 påå varj nklt samman- hängand öppt områd, och att fältt därmdd är konsrvativt p: Korrkt dragit följdslutsatsn att kurvintgraln är obrond av vägn från startpunktn till slutpunktn p: Korrkt valt n altrnativ (intgrationsmässigtt nklar) väg p: Korrkt slutfört intgrationn p: Korrkt md x:vis kvotkritrit visat att srin är konvrgnt p: Korrkt idntifirat srin som n (bortstt från n första trm) Maclaurinutvckling avv xponntialfunktionn i n viss punkt p: Korrkt tolkat trmfaktorn () n n n x [ln( 7)] som x i p: Korrkt dragit slutsatsn att srin är absolut konvrgnt och att dn har summan ()
7. Forts. Tntamn 0-08-6 a( ) T( ) N( ) där T( t N( t P P ) ) och T( t P ) N( ) BEDÖMNINGSPRINCIPER md POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika dlmomnt i uppgiftrna p: Korrkt bräknat T ( t P ) p: Korrkt bräknat N ( t P ) p: Korrkt bstämt dn tangntilla koordinatn för acclrationn p: Korrkt bstämt normalkoordinatn för acclrationn p: Korrkt konstatrat att acclrationn (pr dfinition) int har någon komposant som är vinklrät mot dt plan som spänns upp av vktorrna T (t) och N (t) (där N ( t) 0 antags), samt korrkt angivit att T( t P ) N( ) 8. 5 p: Korrkt hantrat z-intgrationn (+)p: Korrkt rsonrat bort dt som av symmtriskäl är lika md noll (llr korrkt utfört motsvarand intgrring) p: Korrkt symmtrisrat nligt y da ( x y ) da där D D D {( x, y) : x y 8} (llr korrkt utfört motsvarand intgrring) p: Korrkt slutfört intgrationn ()