SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Kvadratisk recirocitet och två bevis av Love Huldt 09 - No K9 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 06 9 STOCKHOLM

Kvadratisk recirocitet och två bevis Love Huldt Självstädigt arbete i matematik 5 högskoleoäg, grudivå Hadledare: Torbjör Tambour 09

Kvadratisk recirocitet och två bevis Love Huldt Vårtermie 09

Sammafattig De här texte behadlar Gauss sats om kvadratisk recirocitet och reseterar två bevis av satse. Det första beviset bygger å kogruesekvatioer och moduloräkig. Det adra beviset aväder de komlexa exoetialfuktioe.

Tack till Jag vill tacka mi hadledare Torbjör Tambour för has stora tålamod och kuade som jag blivit hjält av; uta hoom dea text hade sett väldigt aorluda ut. Jag vill också ge ett stort tack till mi graskare Håka Graath för has väldigt kärfulla kritik, samt till adra som korrekturläst vissa stycke av texte uder skrivaderocesse.

Iehållsförteckig Iledig 6 Talteoretisk grud 6. Heltalsaritmetik............................ 6. Kvadratisk rest............................ 6.3 Exemel å kvadratiska rester och kvadratiska icke-rester.... 7.4 Atalet kvadratiska rester och icke-rester.............. 7.5 Produkter av rester och icke-rester................. 7.6 Exemel................................ 8.7 Fermats lilla sats........................... 9.8 Legedresymbole.......................... 0.9 Fallet a..............................0 Exemel................................ 3 Gauss lemma och mista rest 3 3. Mista rest.............................. 3 3. Gauss lemma............................. 4 4 Ett secialfall av Gauss lemma 5 4. Tale och µ då m....................... 5 5 De kvadratiska recirocitetssatse 7 6 Det första beviset 8 7 De komlexa exoetialfuktioe 0 7. De komlexa exoetialfuktioe och dess rötter....... 0 7. Polyom, rodukter och två lemma................ 0 8 Det adra beviset 8. Exemel................................ 5 9 Persoliga reflektioer 7 0 Refereslista 7 5

Iledig Dea usats hadlar i huvudsak om de modulära aritmetikes kvadratiska recirocitetssats, ärmare bestämt dess formulerig och två bevis, samt de satser å vilka de vilar. Iehållet är idelat i avsitt med varsitt övergriade äme; efter iledige ligger ett avsitt om för sammahaget grudläggade talteori, följt av ett avsitt om själva recirocitetssatse och seda ett avsitt med det första beviset. Efter det kommer e förberedelse för det adra beviset, som aväder de komlexa exoetialfuktioe. Texte avslutas med det adra beviset av recirocitetssatse, ågra exemel å hur de aväds, samt ågra ersoliga reflektioer. Vissa delar av iehållet följs av exemel å hur beräkigar görs med hjäl av de yss geomgåga teori; dessa är tydligt märkta med rubrike exemel. Talteoretisk grud Detta avsitt ileds med ågra grudläggade feome och förklarigar, för att seda övergå till mer secifika satser och bevis. Hela usatse vilar å moduloräkig, och aväder därför ebart heltal för beräkigar.. Heltalsaritmetik I allmähet utförs alla beräkigar här iom ramara för mägde Z som består av heltale 0,,,...,, som är alla rester vid divisio av ågot heltal med, där är ett udda rimtal. Varje elemet i Z ka betraktas som distikta restklasser som då är å forme a + q, där q är ågot heltal och a är ett heltal midre ä. Alla tal större ä ka reduceras till ågot av elemete i Z, och alla ositiva tal midre ä är reda elemet i mägde. Om två tal lämar samma rest vid divisio med är de alltså idetiska i Z. Låt A a + q och B b + r. Att A B mod iebär alltså att a b mod, eftersom alla rodukter där är e faktor är oll i Z. Vidare är varje elemet i Z iverterbart utom 0, och just talet 0 kommer ofta vara oviktigt för sammahaget och därför utelämas, vilket vi kommer dra ytta av i seare resoemag och beräkigar.. Kvadratisk rest Låt vara ett udda rimtal som ite delar a. Då är a e kvadratisk rest modulo om x a mod för ågot x. I fortsättige behadlas bara kvadratiska rester mod om iget aat ages, och är ett tal sägs vara e rest eller e icke-rest meas geerellt att talet är e kvadratisk rest eller e kvadratisk ickerest. 6

.3 Exemel å kvadratiska rester och kvadratiska ickerester Exemel. Vi udersöker vilka rester som fis modulo 9. Det vi behöver udersöka är alltså vilka av alla möjliga rester modulo 9 som är resultatet av att e kvadratisk term x har reducerats mod 9, det vill säga alla a sådaa att x a mod 9. Alla itressata rester mod 9 är,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. De fullstädiga beräkigara utelämas, me det är alltså var och e av dessa arto möjliga rester som kvadreras och seda reduceras mod 9:, 4, 3 9, 4 6, 5 6, 6 7, 7, 8 7, 9 5, 0 5, 7,, 3 7, 4 6, 5 6, 6 9, 7 4, 8. De kvadratiska restera mod 9 är alltså, 4, 5, 6, 7, 9,, 6, 7, och de kvadratiska icke-restera är, 3, 8, 0,, 3, 4, 5, 8. Detta är för att ett godtyckligt kvadratiskt tal som är större ä och ite delbart med 9, reduceras till ågot av dessa tal i kvadrat..4 Atalet kvadratiska rester och icke-rester Det här avsittet hadlar om atalet rester vi har i ågo godtycklig rimtalsmodul, vilket vi behöver veta seare för att bevisa flera satser. Vi defiierar avbildige f : Z 7! Z geom f(x) x. Bilde av f är då mägde av alla kvadratiska rester modulo, och här bortser vi frå talet 0. Då gäller att om a är e kvadratisk rest, fis det recis två olika elemet x i Z sådaa att f(x) a. Om de ea av dessa är b, är de adra b, och de är olika, för aars vore b 0 mod, det vill säga att b 0, eftersom är udda. Dessutom, udataget 0 är varje elemet i Z iverterbart, eftersom varje elemet i Z och är relativt rima. Alltså ka x a ite ha fler ä två lösigar er kvadratisk rest a. Alltså är atalet elemet i bilde av f hälfte så måga som elemete i Z ; de är alltså ( ) stycke. Eftersom ett givet elemet i Z måste vara atige e kvadratisk rest eller icke-rest är resterade stycke elemet icke-rester. Alltså är atalet rester och icke-rester lika stort..5 Produkter av rester och icke-rester Vi ska visa att rodukte av två rester är e rest, att rodukte av e ickerest och e rest är e icke-rest, och att rodukte av två icke-rester är e rest. Module är ite viktig att recisera utöver att de är ett udda rimtal, så de skrivs ite ut i beräkigara eda. Vi börjar med rodukte av två rester: Om a och b är två rester ka vi skriva att a x, b y. Då är rodukte av a och b: ab x y, som ka skrivas 7

(xy). Eftersom ab är kogruet med e kvadratisk term är ab e kvadratisk rest. Produkte av e rest och e icke-rest: Låt a vara e rest, där a x och låt b vara e icke-rest. Atag då att ab är e kvadratisk rest, så att ab c mod för ågot ågot c i Z. Då har vi c ab x b mod. Eftersom ite delar a x mod, är ite e delare till x. Alltså har x e ivers, som vi kallar x, såda att x x mod. Nu multilicerar vi c med (x ), och vi får (x ) c (x ) ab (x x) b b mod. Då är b (x c) e kvadratisk rest, vilket är e motsägelse. Alltså är rodukte av e rest och e icke-rest e icke-rest. Produkte av två icke-rester: Eftersom atalet rester är samma som atalet icke-rester, ka vi skriva restera som R, R,..., R q och icke-restera som N, N,..., N q, där q ( ). Produkte av e godtycklig icke-rest N och varje R i är då NR, NR,..., NR q, som utgör q stycke icke-rester. Då är rodukte av e godtycklig icke-rest och varje icke-rest NN, NN,..., NN q, det vill säga q stycke rester. Iga av dessa NR j och NN i är lika, eftersom atalet rester och icke-rester då vore midre ä, vilket går emot e av de mest fudametala egeskaera hos moduloräkig som dea text vilar å. Eftersom atalet rester och atalet icke-rester är lika måga, och tillsammas är de q stycke, är dessa NN i därför e omordig av restera i Z, där varje elemet edast ka vara e rest eller e icke-rest. Vi går geast igeom ågra exemel å beräkigar med kvadratiska rester och icke-rester..6 Exemel Vi tar 97 som modul i alla tre falle. Exemel. Två kvadratiska rester mod 97 är 66 och 70, eftersom 39 samt 58 66 och 9 samt 78 70 mod 97. Då tar vi rodukte av dessa rester, och reducerar de mod 97: 66 70 460 6. Vi ska u hitta kvadratrötter till 66 och 70 modulo 97, och visa att roduktera av dessa i si tur är kvadratrötter till 6 modulo 97. Vi ska alltså lösa kogruesekvatioera x 66 samt y 70 mod 97. Vi har ige allmä metod för att bestämma kvadratrötter i fall som detta, så geom att vi rövade oss fram fa vi att x 39, x 58, y 9, och y 78, som alla är kvadratiska icke-rester mod 97. Nu går vi igeom de olika roduktera x i y j, där först ut är x y 74 6, som är e kvadratisk rest och e kvadratrot till 6 mod 97, eftersom 6 6 6 mod 97. De adra beräkige gäller x y, där x y 304 35 mod 97, som också är e kvadratisk rest och e kvadratrot till 6 mod 97, eftersom 35 35 6 mod 97. De adra roduktera x y samt x y är 35 resektive 6 mod 97, som vi reda visat är kvadratrötter till 6. Varje rodukt x i y j är alltså ±35, som vi också ka uttrycka som 35 och 6, för att hålla oss iom mägde Z 97. Exemel 3 (Produkte av två icke-rester). Nu ska vi udersöka kogruesekvatioe x 65 mod 97. Geom att återige udersöka alla rester mod 97, 8

det vill säga tale,,..., 96, fa vi att kvadratröttera till 65 mod 97 är 9 och 68. När vi försöker hitta lösigar till kogruesekvatioera x 9 och y 68 mod 97 visar det sig att de sakas, så 9 och 68 är kvadratiska icke-rester mod 97. Exemel 4 (Produkte av e rest och e icke-rest). E kvadratisk rest mod 97 är 3, och e kvadratisk icke-rest är 38. Då är beräkige 3 38 4 7, som är e kvadratisk icke-rest. I det här fallet har vi dock äu iget ekelt sätt att visa att 7 är e icke-rest, uta skulle behöva beräka alla rester mod 97 och udersöka vilka tal i Z 97 som ite dyker u, vilket vi gjorde tidigare för e midre modul. Tidigare beräkade vi kvadratera av alla tal i Z 9 för att bestämma vilka tal som var kvadratiska rester och icke-rester. Seare avgör vi om ett givet tal är e kvadratisk rest mod med hjäl av exemelvis Eulers kriterium, vilket behadlas seare i texte..7 Fermats lilla sats Fermats lilla sats formulerades så tidigt som 600-talets seare hälft, me fick väta å sitt bevis i ett atal deceier, då Leibiz ublicerade sitt bevis för satse å 700-talet. Beviset som aväds här formulerades först av James Ivory, och ublicerades seare äve av Dirichlet (Wikiedia, FLT). Fermats lilla sats visade sig vara väldigt viktig i framställadet av e metod för att skicka kodade meddelade (Rosethal, Rosethal, & Rosethal, 04). Sats (Fermats lilla sats). Låt a vara ett heltal som ite är delbart med, och är ett udda rimtal. Då gäller att a mod. Bevis. Atag att a ite är delbart med. Vi har att de ollskilda elemete i Z är {,,..., } och att dessa tal är olika modulo. Vi betraktar tale a, a,..., ( ) a och reducerar dem modulo. De utgör e omordig av tale,,...,, eftersom de alla är olika. För atag att två av dessa är lika, det vill säga att i a j a mod, vilket är ekvivalet med att i a j a 0mod. Då skulle gälla att i a j a (i j) a, och eligt förutsättige att a och är relativt rima, iebär detta att i j, vilket kräver att i j, som är e motsägelse, eftersom de valdes för att vara olika. Vi multilicerar tale i de yss ämda omordade talmägde med varadra och får att rodukte av dessa tal är kogruet med rodukte a a ( )a. Detta skriver vi som a a ( ) a 3 ( ) mod. Vi samlar iho faktorera och får kogruesekvatioe a ( )! ( )! mod. Eftersom är ett rimtal är alla elemet i Z iverterbara utom 0, och ( )! är e rodukt vars alla faktorer är relativt rima med, så( )! reduceras till ågot av elemete i Z. Vi multilicerar både höger- och västerled med iverse till ( )!, vilket ger att a mod. 9

.8 Legedresymbole För att avgöra huruvida ågot tal a är e kvadratisk rest modulo eller ite har vi tidigare helt ekelt beräkat de kvadratiska restera eller hävisat till att vi vet ågra rester och icke-rester. Nu itroducerar vi e y metod för att avgöra huruvida ett givet tal är e kvadratisk rest eller icke-rest. Defiitio. Låt vara ett udda rimtal och låt a vara ett heltal som ite är delbart med. Då defiieras Legedresymbole för a modulo som a, om a är e kvadratisk rest mod,, om a är e kvadratisk icke-rest mod. Följade sats kommer vara fudametal i fortsättige: Sats (Eulers kriterium). Låt vara ett udda rimtal och a vara ett heltal korimt med. Då gäller att a a mod. Dea lämar sig dock mest för beräkigar med ågot midre rimtal ä vad som ofta ka vara itressat. I dea text utelämas geerellt fallet då a 0, me Legedresymbole brukar då sägas vara lika med oll, och särskilt är a ( ) oll då a är oll, eftersom 6 0. Bevis. Vi vet seda tidigare att det fis lika måga rester och icke-rester i Z, eftersom vi bortser frå olla, samt att dessa tillsammas är stycke. Eftersom är ett rimtal ger Fermats lilla sats att som ka skrivas som a mod, a a + 0 mod. Här är det viktigt att är udda, så att ( ) är ett heltal. Om a är e kvadratisk rest mod, det vill säga om a x mod är a ( ) (x ) ( ) x ( ) x modeligt Fermats lilla sats, vilket gör att de första faktor är oll, varför hela uttrycket är lika med oll. Vi amärker u att det bara fis ( ) olika tal som gör de första faktor till oll, och dessa tal är då alla kvadratiska rester till a. De adra ( ) tale är då alla icke-rester till a som gör de adra faktor till oll, eftersom det fis ( ) rester resektive icke-rester och ett givet elemet i Z ka ite vara både e rest och e icke-rest. Vidare har e kvadratisk kogrues två lösigar är module är ett rimtal. Alltså är a ( ) mod i det fallet a är e kvadratisk icke-rest. Detta visar Eulers kriterium. 0

Räkeregler för Legedresymbole är a b mod ) a b () och ab a b. () Räkeregel () ges av att om a och b är kogrueta med varadra mod, måste de ea vara e kvadratisk rest mod om de adra är det. Det vill säga att om a b mod iebär detta att a b +, där är ågot heltal. Om delar a, delar äve a och därmed delas äve b av. Däremot, om ite delar a, ocha är e kvadratisk rest mod, gäller att x a b mod, varför också b är e kvadratisk rest. Med samma sorts resoemag ka det visas att om a ite är e kvadratisk rest mod ka ite heller b vara det. Det cetrala a här är egetlige att vi i ka reducera a mod så att a<, och om a 6 b me a b är Legedresymboleras värde för a och b samma. Räkeregel () följer av räkereglera för oteser som låter oss skriva rodukte av två Legedresymboler som Legedresymbole av rodukte: a b a b (ab) ab mod. Dea omskrivig går att göra åt båda hålle, och låter oss därmed reducera ett större tal till dess rimtalsfaktorer, vilket uderlättar beräkig med Legedresymbole. Jämför äve med avsitt.4 om rodukter av rester och ickerester, eftersom vi med Legedresymbole väldigt ekelt ka beräka sådaa rodukter..9 Fallet a Något som ofta ges särskild umärksamhet är Legedresymbole med och. Eulers kriterium a a ( ) med a ger direkt att ( ) ( )..0 Exemel Nu går vi igeom ågra exemel å beräkigar med hjäl av Legedresymbole. Vi tar äve u de tre exemle frå avsittet om rodukter av rester och icke-rester. Exemel 5. Nu udersöker vi om 5 är e kvadratisk rest mod med hjäl av Legedresymbole och Eulers kriterium, vilket avslöjar om x 5 mod har e lösig eller ite. Tack vare Legedresymbole och Eulers kriterium är beräkige mycket mer kortfattad ä tidigare: 5 5 0 5 5 5 5 5 3 3 5 45 mod.

Alltså är 5 e kvadratisk rest mod. Exemel 6. Vi tar ett exemel å hur räkeregel () ka avädas. a 37, b 43 och 67. Då har vi eligt räkeregel () att 37 43 mod 67 ) 37 67 43 67 mod 67, vilket uebarlige stämmer. Med 67 är alla möjliga rester x {,,..., 66}. Legedresymbole vars värde vi behöver beräka är alltså 43 67 för både a och b. Då ska vi u bestämma vad 43 33 mod 97 är kogruet med. Vi aväder Eulers kriterium och vissa räkeregler för oteser för att avgöra detta. 43 33 (43 3 ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 5(5) 4 ( ) 5 5 ( ) 64( ) ( 3)( ) 66 mod 67. Alltså är både a och b icke-rester mod 67. Exemel 7. Nu går vi igeom hur räkeregel () ser ut med ett kokret exemel. Låt u a 47, b 7och 3. Då aväder vi räkeregel () för att skriva 47 7 47 7. 3 3 3 Detta kotrollerar vi med Eulers kriterium och räkereglera för oteser: 47 7 47 3 7 3 (47 7) 3 3 3 47 7. 3 Med formel för Eulers kriterium är beräkige: 47 56 (47 ) 8 6 8 (6 ) 4 4 ( 7 ) 5 5 mod 3. På samma sätt beräkar vi de värdet av de adra faktor: 7 56 7 54 7 (7 3 ) 8 7 4 8 7 (4 4 ) 4 4 7 30 4 4 7 (30 ) 4 7 ( 4) 4 7 6 4 7 4 4 7 30 7 3 0 49 3 (0 49) 3 38 4 mod 3, och rodukte av dessa modulo 3 är. Resultatet är att rodukte av e rest och e icke-rest är e icke-rest, som bevisats tidigare. Nu aväder vi helt ekelt Eulers kriterium för att udersöka tale frå avsittet om restrodukter. Vi börjar med rodukte av två rester. Exemel 8. Uttryckt med Legedresymbole skrivs det första exemlet 6 6 97. 97 Eligt Eulers kriterium behöver vi alltså beräka 6 48 mod 97. Det ka göras eligt följade. 6 48 6 4 6 4, och vi udersöker bara e av dessa faktorer, eftersom de är idetiska. Umärksamma hur likhetstecke och kogruestecke aväds. 6 4 (6 ) (35) (5 7) 5 7 (5 6 ) (7 6 ) 8 ( ) 64 44 6 3 4 0 3 (5) 3 7 3 3 4 3 8 3 ( 6) 3 96 mod 97. Alltså är 6 4 mod 97, varför 6 48 mod 97. Vi fortsätter med rodukte av e rest och e icke-rest. Låt

Exemel 9. Nu udersöker vi 3 38 4 7 mod 97 med Legedresymbole och Eulers kriterium: 7 7 48 mod 97. 97 På samma sätt som tidigare försöker vi göra 7 48 mer haterligt geom kogruesräkig. 7 48 (7 ) 4 ( ) 4 4 (4 6 ) 4096 484 mod 97. Därmed är rodukte av 3 och 38, det vill säga rodukte av e rest och e icke-rest, e icke-rest. Vi avslutar dessa exemel med att beräka de rodukt av två icke-rester som vi mötte tidigare. Exemel 0. Vi ileder exemlet med att skriva Legedresymbole och Eulers kriterium för 65 mod 97, för att seda beräka det med hjäl av e av räkereglera för Legedresymbole. Alltså skriver vi följade. 65 97 5 3 97 5 97 3 97 5 48 3 48 Vi börjar u med att beräka 5 48 mod 97. 5 48 (5 3 ) 6 5 6 8 6 (8 ) 8 8 8 (8 4 ) 4096 484. Alltså är 5 48 mod 97. Nu tar vi oss a 3 48 å samma sätt. 3 48 (3 ) 6 69 6 7 4 (7 ) 584 43 (43 ) 6 849 6 6 6 (6 3 ) 6 mod 97. Nu ska vi alltså udersöka värdet av Legedresymbole för ( ) som uebarlige är. Alltså är rodukte av de ursrugliga icke-restera 84 och 9 e rest, vilket vi ville ge ett exemel å här. 3 Gauss lemma och mista rest Tidigare i texte är vi avgjorde om vissa tal var kvadratiska rester eller ickerester gjordes detta rest för rest, seda itroducerades Legedresymbole för att förekla det arbetet. Nu ska vi gå igeom Gauss lemma, som är äu ett sätt att avgöra om ett tal är e kvadratisk rest eller ite. Precis som Legedresymbole bygger lemmat å Eulers kriterium. Lemmat behövs lägre fram för att bevisa de kvadratiska recirocitetssatse. 3. Mista rest För att formulera Gauss lemma behöver vi begree mista ositiv rest och absolut mista rest modulo, där är ett udda rimtal. För ett godtyckligt heltal som ite delas av fis det eligt divisiosalgoritme etydigt bestämda tal q och r sådaa att q + r och 0 <rale. Talet r kallas de mista ositiva reste. Defiitio. Vi defiierar talet x geom x r om ale r ale och x r om + ale r ale. Då gäller att x < och x mod. Talet x är det tal med mist absolutbelo som är kogruet med modulo och kallas de absolut mista reste. 3

Exemel. Om exemelvis 9 och x 05, vet vi att att 05 5 4 mod 9. Då är de mista ositiva reste 5, meda de absolut mista reste är 4, och rodukte av ågot godtyckligt heltal m och är kogruet med oll. Se edaståede tallije. 9 x 4 0 m 9 0 + 5 x 8 Det är viktigt att skilja mella absolut mista rest och mista ositiva rest. Absolut mista rest ka vara egativ eller ositiv, meda mista ositiva rest aldrig är egativ. 3. Gauss lemma Nu har vi kommit till själva lemmat. Sats 3 (Gauss lemma). Låt vara ett udda rimtal, m ett heltal som ite är delbart med, samtlåtµ vara atalet elemet i mägde av tale m, m,..., ( )m vars mista ositiva rester modulo ä r s t ö r r e ä. Då gäller att m ( ) µ. Bevis. Vi ska betrakta de mista ositiva restera r modulo av tale km, där k,,..., ( ). De rester som ligger i itervallet ale r ale ( ) beteckar vi u, u,..., u och de som ligger i itervallet ( ) <rale med v, v,..., v µ. Vi har alltså att + µ ( ) och ale v i ale ( ). Alla tal u i och v i är olika. För atag att u i u j. Vi vet att a 6 b och att am u i samt bm u j för ågra a och b. Då gäller att eftersom u i u j är am bm mod, vilket ger att a b eftersom m och är relativt rima, vilket är e motsägelse. På likade sätt ka vi se att alla v i är olika. Atag att u i v j. Vi skriver om detta till u i +v j samt låter am u i och bm v j. Vi får då att am + bm 0mod, som eftersom m och är relativt rima ka reduceras mod till a + b 0mod. Me eftersom ale a, b ale ( ) gäller att ale a + b ale ( ), vilket visar att ite delar summa a + b, eftersom >a+ b. Tale u i v i är alltså omordigar av tale,,..., ( ). Vi tar rodukte av dem, så att vi får!u u u ( v ) ( v µ ), som vi reducerar mod och se faktoriserar vi ut frå alla µ stycke v i,och 4

gör följade omskrivigar:! u u ( v ) ( v µ ) mod ( ) µ u u v v µ ( ) µ ( m)( m) ( ) µ m! m ( ) mod. mod Nu multilicerar vi båda led med iverse till ( )!, och har då att ( ) µ m ( ) mod. Nu åekar vi att ( ) µ är si ege ivers, eftersom ( ) µ ( ) µ,såuvet vi också att ( ) µ m ( ) () ( ) µ m ( ) mod. Slutlige har vi då att eftersom m m gäller eligt Eulers kriterium också m att ( ) µ, vilket skulle visas. Gauss lemma har stor teoretisk betydelse i måga bevis av de kvadratiska recirocitetssatse, av vilka två tas u seare i texte. Lemmat är geerellt ite behjälligt ret beräkigsmässigt, me vi tar ädå ett exemel å hur beräkigar med hjäl av Gauss lemma ka se ut. Exemel. Låt m och 3. Då är tale m, m,..., ( )m lika med,, 33, 44, 55, 66, som reduceras till, 9, 7, 5, 3, modulo 3. Av dessa är edast 7, 9 och större ä 3, alltså är µ 3. Då säger Gauss lemma att 3 ( ) 3, det vill säga att är e kvadratisk icke-rest modulo 3, vilket Eulers kriterium också ger oss: 3 6,och eftersom 4 mod 3, gäller att 3 6 4 4 4, där 4 6 3 mod 3, så 4 4 3 4 mod 3. 4 Ett secialfall av Gauss lemma Nu är det dags att behadla samt hur och µ ser ut då m. Här itroducerar vi beteckige [x] för heltalsdele av x; det största heltalet midre ä eller lika med x. 4. Tale och µ då m Vi börjar med att åmia om att + µ ( ). Då m i Gauss lemma gäller att är atalet jäma ositiva heltal som är midre ä eller lika stora som. Om vi beteckar dessa tal med k, där k,,..., ( ), så får vi k ale, alltså är k ale 4. Eftersom k är heltal, är det största värdet k [ 4 ]och atalet olika k är [ 4 ]. 5

Nu ska vi visa att µ 4 ( + ) geom att visa att µ ( ) [ 4 ]. I fallet då 4 + gäller att µ 4+ 4+ 4, som är 4 ( + ). Då 4 + 3 gäller att µ (4 +3 ) 4 (4 +3 3) (4 + ) 4 (4) + +, som är ( + ) då 4 + 3. Alltså gäller att µ 4 ( + ) och 4. Vi går u igeom två exemel å beräkigar av och µ med olika former av. Exemel 3 ( 4 + ). Vi väljer 9, där vi behöver betrakta tale, 4, 6,..., 8. Då är atalet rester som är midre ä eller lika stora som ( ), det vill säga alla ositiva jäma heltal midre eller lika med 4, och µ är atalet jäma heltal frå och med 5 till och med 8, eftersom vi för µ tittar å atalet rester frå och med ( + ) till och med. Det fis sju av vardera sort, eftersom atalet jäma tal frå till 4 är 4 7 och det är lika måga jäma tal mella 5 och 8. Exemel 4 ( 4 + 3). Nu tar vi 3. Tale att betrakta är då, 4,..., 30. ( ) 5, och ( + ) 6, och det fis iget heltal mella dessa två. Atalet jäma heltal större ä me midre eller lika med 5 är 7, alltså är 4. Atalet jäma heltal mella ( ) och är 8, eftersom att µ 30 ( ) iebär att µ 7, som föreklas så att vi ser att µ 5 7 8. Alltså ka vi uttrycka det som att µ ( ) 4 ( 3) 4 ( + ) 4 ( + ). I de här texte bestämmer vi bara exlicita uttryck för µ och då m. Det fis ågra fler fall utöver de som här äms, me de ligger utaför vidde av dea text och de tas således ite u. Det är dock itressat att ta u e formulerig av exoete i Gauss lemma då m som ite behöver delas u i olika fall, vilket ka åstadkommas eligt följade resoemag. Vi säger att två heltal har samma aritet om de är kogrueta mod, det vill säga om båda är jäma eller båda är udda. Lägg märke till att om a är udda, så har ab samma aritet som b. Om 4 +, är ( + ) udda och µ ( + ) 8 ( ) har således samma aritet som µ. Om 4 + 3, så är ( ) udda och µ ( ) 8 ( ) har således samma aritet som µ. I båda falle har vi tydlige att µ 8 ( ) mod, varför ( ) µ ( ) 8 ( ). För ett bevis seare i texte är det viktigt att här oägtera att 8 ( ) är delbar med 8, eftersom de olika vi arbetar med här är atige å forme 4 +eller 4 + 3, så vi har att 4 + ) 8 4 +3 ) 8 6 +8 8 6 + 4 +8 8 4 +, och +3 +. Då m gäller att µ ( ) 4 ( + ) 4 ( + ). Alltså har vi att ( ) ( ) 4 (+) mod, det vill säga om 8 ±, om 8 ± 3. Om 8 ± är 8 ( ) jämt, och då 8 ± 3 6

är 8 ( ) udda. Därför gäller att ( ) 4 (+) ( ) 8 ( ) mod. Nu har vi visat två viktiga sambad, som vi sammafattar som e sats. Sats 4.! ( ) + 4 ( ) 8 mod. 5 De kvadratiska recirocitetssatse De kvadratiska recirocitetssatse formulerades först av Euler och bevisades seare av Gauss; de var e milstole iom talteori, och Gauss själv var helt begeistrad av sambadet. Ha formulerade av ege kraft åtta olika bevis av satse, vilke ha dessutom kallade för det gyllee teoremet (Wikiedia, QR). Satse om kvadratisk recirocitet låter oss avgöra huruvida kvadratiska kogruesekvatioer av tye x a mod är lösbara eller ej, me avslöjar igetig om själva lösige utöver dess existes. Vi går geast till formulerige av satse. Sats 5 (De kvadratiska recirocitetssatse). Låt och q vara olika udda rimtal. Då är q ( ) q 0 q 0, där 0 ( ) och q0 (q ), det vill säga q ( ) q 4 ( )(q ). Det fis två viktiga omformulerigar av satse som vi också ska äma, är rimtale och q är av särskild ty. Det viktiga här är att då både och q är å forme 4 i + 3 är rodukte 0 q 0 udda, och aars är de jäm. Det visas å följade sätt. Då 4 + och q 4 +3 är 0 (4 + ) och q 0 (4 +3 ), där i är olika godtyckliga ositiva heltal. Därför är 0 q 0 4 (6 +8 ) 4 +, alltså ett jämt heltal. Nu udersöker vi rodukte 0 q 0 är både och q är å forme 4 i +. Då är 0 q 0 4 (4 + )(4 + ) 4 (4 )(4 ) 4 (6 )4. Detta ger oss sambadet q, (3) q Om både och q är å forme 4 i + 3, gäller att 0 q 0 4 (4 +3 )(4 + 3 ) 4 (6 +8 +8 + 4) 4 + + +. Alltså är då 0 q 0 udda, vilket ger oss q q. (4) Här visar (3) att är som mest ett av rimtale och q är kogrueta med 3 mod 4 är e kvadratisk rest till q om och edast om q är e kvadratisk rest 7

till, och (4) ger att är både och q är kogrueta med 3 mod 4 är e kvadratisk rest till q om och edast om q är e kvadratisk icke-rest till. Nu följer två bevis av recirocitetssatse. 6 Det första beviset Det här är ett bevis av recirocitetssatse hämtat frå Nagell (95), som vilar å flitigt summerade å olika sätt. Vi drar slutsatser baserade å aritete hos summora, vilket framgår i bevisförige. I börja aväder vi ett heltal m som ite delas av rimtalet, och lägre fram i beviset övergår vi frå m till ett aat udda rimtal q. Bevis. Låt m vara ågot heltal som ite är delbart med. Vi beteckar då restera av m, m,..., ( )m mod med u i och v i, recis som i beviset av Gauss lemma. Alltså gäller att 0 < u i ale 0 och 0 < v i ale 0, där 0 <v i ale och atalet termer v i är µ stycke. Tidigare visades att u i och v i är två omordigar av tale,,..., 0, så att vi ka skriva X ui + X X ( v i ) k 0 ( 0 + ) 8 ( ), 0 k eligt formel för aritmetisk summa. Som tidigare, i sambad med beviset av Gauss lemma, defiierar vi här µ som atalet mista ositiva rester av m, m,..., ( )m som är större ä 0, vilket medför att µ + X u i X vi 8 ( ). (5) Eftersom c d c + d mod, det vill säga att för två heltal c och d gäller att aritete hos summa c + d är samma som för skillade c d, så udersöker vi istället summa X ui + X v i som är summa av alla restera då tale km divideras med, där m och k är ågra heltal som ite är delbara med. Vi har " # km km + r k, så summa av alla restera är som föreklas till X m k 0 k X r k 0 k k 0 X k km " #! km, " # X 0 km 8 m( ) S(m, ), 8

där " # X 0 km S(m, ). k Alltså är P r k, summa av alla rester, lika med X ui + X v i 8 m( ) S(m, ). (6) Då vi subtraherar (6) frå (5) ledvis, får vi µ X v i 8 ( ) 8 m( ) + S(m, ), vilket vi för att samla summora i ea ledet skriver som S(m, ) µ + X v i 8 (m )( ). (7) Vi atar u att m är udda, så att m är jämt. Eftersom är delbart med 8, är högerledet i (7) jämt och vi ser att S(m, ) µ är jämt. Då är udda måste S(m, ) µ vara jämt, det vill säga S(m, ) µ 0 mod, av vilket följer att µ S(m, ) mod. Gauss lemma ger u m ( ) S(m,) och om vi ersätter m med ett udda rimtal q 6, så får vi q ( ) q S(,q)+S(q,). För att visa recirocitetssatse behöver vi u visa att S(, q) +S(q, ) 0 q 0 mod. Betrakta tale qx y, där x och y är heltal och ale x ale 0,aley ale q 0. Atalet sådaa tal är ju 0 q 0. De är alla skilda frå 0, för atag att qx y. Eftersom och q är olika rimtal, måste dela x, det vill säga att x t för ågot heltal t. Me eftersom ale x ale 0, är de eda möjlighete t 0, och vi får x 0, vilket är e motsägelse. Alltså är iga av dessa tal lika med 0. Vi ska räka atalet ositiva resektive atalet egativa tal qx y. Observera att qx y < 0 om och edast om y < qx. Atalet y sådaa att qx y > 0 för ett fixt x är alltså qx. Atalet ositiva tal qx y får vi geom att summera detta då x går frå till 0, vilket är " X 0 x qx # S(q, ). På samma sätt ser vi att atalet egativa tal qx y är lika med S(, q) ochdet följer u att det totala atalet tal qx y är S(, q)+s(q, ) eftersom qx y 6 0 för alla x och y. Således är S(, q)+s(q, ) 0 q 0, och framförallt är aritete samma, i både högerled och västerled. Därmed är satse bevisad. 9

7 De komlexa exoetialfuktioe I ästa avsitt följer ett bevis först författat av Gotthold Eiseste (Irelad & Rose, 00). Beviset aväder de komlexa exoetialfuktioe, egeskaer hos ehetsrötter samt ureade rodukter, vilket åmier om hur vi aväde summor i det första beviset av recirocitetssatse. I det här avsittet reseteras ågra fudametala förhållade och likheter vi behöver för att geomföra beviset. 7. De komlexa exoetialfuktioe och dess rötter Vi börjar med ågra defiitioer. Defiitio 3. När t är reellt, defiierar vi de komlexa exoetialfuktioe som e it cos t + i si t. E lösig z k till ekvatioe z kallas ofta för e :te ehetsrot. Vi ka beräka ehetsrötter geom att skriva z k e ki där k är ett heltal och seda lösa ekvatioe e ki, så att röttera är För dessa ehetsrötter gäller att z k e ki, k Z. z k+ e i(k+) e ki + i e ki e i e ki z k. Alltså räcker det att ta k 0,,,..., om z k z m,skulle. Dessutom är tale z k olika. För e ki e mi i(m k) och alltså e. Då måste m k delas av, vilket ger k m. Alltså utgör z k e ki,dåk 0,,...,, samtliga :te ehetsrötter. Vidare gäller eligt räkereglera för oteser att z k e ki (e i ) k (z ) k. 7. Polyom, rodukter och två lemma Om (z) z + a z + + a är ett olyom med ollställe z,..., z, gäller eligt faktorsatse att (z) (z z )(z z ) (z z ). Tale z k e ki är som bekat ollställea till (z) z, varför Y Y z (z z 0 )(z z ) (z z ) (z z k ) (z e ki ). 0 k0 k0

Detta kommer leda till ett viktigt resultat. Vi börjar med att sätta z x y : x y x y z 0 x y x z y z. Nu multilicerar vi dea seaste ekvatio med y, så att vi i västerledet får y x y x y y y x y, och i högerledet får vi y x x x y z 0 y z y z x x x y y z 0 y y z y y z (x z 0 y)(x z y) (x z y), som alltså är faktorforme av olyomet x ett lemma. Lemma. y. Detta sammafattar vi som x y (x z 0 y)(x z y) (x z y) Q (x z k y) k0 Q k0 (x e ki Vi tar direkt u ett besläktat lemma. Lemma. När är udda, ka vi skriva y). Y x y (x e k0 i( k) y), eftersom då k 0,,...,, gäller att värdemägdera till e ki i( k) och e är två olika omordigar av :te ehetsrötter. Vi har tidigare visat att e k i geomlöer alla :te ehetsrötter då k 0,,...,. Det återstår att visa att detta gäller äve för e i( k), vilket görs geom å följade sätt. i( k) i( m) i(m k) Bevis av lemma. Om e e, så är e, och då måste dela m k. Eftersom är udda, måste i så fall dela m k. Då 0 ale i( k) m, k ale, måste m vara lika med k. Tale e är alltså olika och eftersom de är stycke, utgör äve de alla :te ehetsrötter. Om vi faktoriserar ut e ki ur x-terme och faktoriserar samma uttryck ur y:s koe ciet i argumetet till rodukte i lemma, ser vi att i( k) x e y e ki e ki x e ki y.

Nu ka vi göra e omskrivig av rodukte i lemmat, efter att vi gjort faktoriserige som yss förklarats. Då gäller att x y Q e ki k0 Q e ki k0 e ki Q k0 x e ki y e ki x e ki y. De första rodukte i de adra rade här ka sabbt beräkas: Y k0 e ki e 0 e i e i( ) e i(0++ +( )). Här har vi att 0 + + + +( ) (( )) ( ), så att vi ser att då är udda, är jämt och ( ) är ett heltal. Detta ger Y k0 e ki e i ( ) e i, eftersom i är i multilicerat med ett heltal, det vill säga att e i a cos ( a)+isi ( a), som är lika med då a är ett heltal. Alltså gäller för udda. x y 8 Det adra beviset Y k0 e ki x e ki y (8) Nu börjar vi ta oss a det adra beviset av de kvadratiska recirocitetssatse. Precis som det första beviset är huvudumret i bevisförige att bestämma talet µ i Gauss lemma, som vi formulerar e gåg till, med mer aassad otatio. Vi aväder också ureade rodukter å likade sätt som vi aväde summor i det första beviset. Det här beviset är aassat frå Irelad och Rose (00). Eisesteis bevis. Vi börjar med att defiiera e fuktio f geom Defiitio 4. f(z) e iz e iz,dåz C. Då är f eriodisk med eriode, det vill säga att f(z +) f(z), eftersom e i(z+) e iz+ i e iz e i e iz e iz, och motsvarade gäller för e iz. I ekvatio (8) sätter vi u x e iz och y e iz, där z är komlext. Västerledet blir då e iz e iz f(z).

Vi har vidare att så högerledet i (8) blir e ki x e ki y e ki e iz e ki e iz e i(z+ k ) e i(z+ k ) f(z + k ), f(z) Y k0 f z + k Y f(z) k f z + k. Där vi har faktoriserat ut f(0) f(z) till utaför rodukte och ädrat idex frå att börja med 0 till att börja med, vilket vi ka göra eftersom f(0) 0 f z f(z). Alltså är f(z) f(z) Y f z + k. (9) k Vi atog att udda, så att då delas u i två delar: är jämt. Produkte i högerledet i (9) ka eftersom + skriver vi Y k f z + k Y f z + k k Y k + f z + k +. Vi fortsätter med att skriva om rodukte ova. Nu f z + k k k f z + f z. Vi sätter u j k. När k + f z + k f z j och Y k +,...,, så är j,...,, varför f z + k Y f z j j. Det selar ju ige roll vilke symbol vi har som idex, så vi ka byta j mot k i högerledet och får då Y k + f z + k Y f z k k. 3

Sammafattigsvis har vi u detta sambad: f(z) f(z) Y k Y k Y k f z + k Y k + f z + k Y f z k f z + k f z f z + k k k. (0) Nu tar vi u e lite aorluda formulerig av Gauss lemma jämfört med de vi aväde för det första beviset. Låt vara ett udda rimtal. Gauss lemma säger att om och m är relativt rima, så är m ( ) µ, där µ är atalet tal lm, där ale l ale, som har egativ absolut mista rest vid divisio med. Låt de absolut mista reste av lm vara ±r l, där r l > 0 och det således är miustecke för µ stycke l. Detta iebär att lm s l ± r l eller lm s l ± rl, där s l är heltal. Då är alltså s l kvote och r l är reste, vid divisio av lm med. Vi åmier om att eftersom f är eriodisk med eriodlägde, gäller att ett godtyckligt atal hela tal i f:s argumet ite förädrar ågotig i bilde av f, varför vi ka göra omskrivige lm f f s l ± r l ±rl rl f ±f. Eftersom tale r l, där ale l ale, är e omordig av,,..., och atalet miustecke är µ, så får vi Y l lm Y f ( ) µ f l rl m Y l f, () l där vi ser att Q f l i högerledet ite beror å m. Nu aväder vi ågra sambad vi visat tidigare. I ekvatio (0) sätter vi z l och q, där q är ett aat udda rimtal. Då får vi ql l q Y l f f f + k l f q k Tar vi rodukte över l av dessa likheter, får vi k. q Y l lq Y f l l Y f Y q l k l f + k l f q k. q 4

Nu aväder vi likhete i (), så att vi får q Y l l Y f l l Y f Y q l k l f + k l f q k. q Vi vet att e it 6 0, så vi ka dividera med Q f l l, vilket ger q Y Y q l k Byter vi och q mot varadra, får vi q q Y Y l k och om vi också skiftar idex får vi q q Y Y k l l f + k l f q l f q + k l f q k f q + l k f q k. () q k, l. (3) Det eda som skiljer likhetera () och (3) åt, är att det står f och f k q l i (3). Då k f q så är högerledet i (3) lika med q Q Q k l f ( ) q eftersom atalet faktorer är l l f k q + l q Q Q k l q f f l k, q k q l q + k f. Alltså är q ( ) q q l q k l k q i () och beviset är klart. 8. Exemel Nu återbesöker vi ett av de exemel vi gick igeom tidigare samt går igeom ett ytt exemel med tresi riga rimtal, och visar hur recirocitetssatse föreklar arbetet med att udersöka kvadratiska rester. 5

Exemel 5. Låt 6, q 97. Då är 6 97 ( ) 6 97, 97 6 som vi skriver om till 6 ( ) 30 48 36. 97 6 Här har vi reducerat 97 mod 6 till 36, samt multilicerat med 36 6. Nu aväder vi räkeregel () för att skriva om 36 6 6 6, 6 6 6 6 så att vi ser att 97 36 är e kvadratisk rest mod 6, vilket eligt recirocitetssatse ger att 6 är e kvadratisk rest mod 97. Exemel 6. Låt 97, samt q 57. Nu ska vi udersöka huruvida 57 är e kvadratisk rest modulo 97 med hjäl av recirocitetssatse och Legedresymbole. Då och q är udda rimtal ka vi eligt de kvadratiska recirocitetssatse skriva 57 ( ) 57 97 97. 97 57 Eftersom (57 ) 78, det vill säga att exoete till ( ) är jäm, så får vi att 57 97, 97 57 me 97 40 3 5 mod 57, så aväder vi räkereglera för Legedresymbole för att skriva om 97 57 eligt 97 40 3 5 5, 57 57 57 57 57 57 där vi också avät att (±) 3 ±. Vi har ( ) 57 8, 57 me 8 (57 ) 8 (56 58) 39 79, vilket är udda, så. 57 Till sist är 5 ( ) 5 57 57, 57 5 5 eftersom ite är e kvadratisk rest mod 5, varför 57 5 ( ) ( ). 97 57 57 Alltså är svaret ja; 57 är e kvadratisk rest mod 97. Nu har vi gått igeom Gauss kvadratiska recirocitetssats, vilket var målet med dea text. 6

9 Persoliga reflektioer Det fis så måga olika sätt att bevisa recirocitetssatse, att det säva urval som här har visats ite är i ärhete av att vara reresetativt för alla olika metoder som har aväts geom historie. Det är också itressat att recirocitetssatse ka bevisas med hjäl av de komlexa exoetialfuktioe såväl som med Dedekidsummor, och äve geometriskt geom att räka gitterukter i e särskild rektagel. Det vore itressat att utforska kolige mella dessa, eftersom de kommer frå så till syes skilda område, me ädå alla möts vid recirocitetssatse. 0 Refereslista Irelad, K. och Rose, M.. A Classical Itroductio to M oder N umber Theory (adra ulaga, med rättigar). (00). New York: Sriger- Verlag New York, Ic.. Nagell, T., Itroductio to N umber T heory. (95). Stockholm: Almqvist & Wiksell. Rosethal, D., Rosethal, D., och Rosethal, P.. AReadableItroductioto Real M athemathics. (04). Cham: Sriger Iteratioal Publishig. Wikiedia, F ermat 0 slittletheorem. htts://e.wikiedia.org/wiki/proofs of Fermat%7s little theorem Hämtad 08--9. Wikiedia, Quadratic recirocity. htts://e.wikiedia.org/wiki/quadratic recirocity Hämtad 09-0-5. 7