Matematisk statistik (Corelia Schiebold) Iehåll:. Saolikhetsteori 2. Diskreta stokastiska variabler 3. Kotiuerliga stokastiska variabler 4. Oberoedemått, summor av stokastiska variabler och cetrala gräsvärdessatse 5. Beskrivade statistik 6. Puktskattig 7. Itervallskattig 8. Hypotesprövig 9. Lijär regressio Kursbok: G. Blom, J. Eger, G. Eglud, J. Gradell, L. Holst, Saolikhetsteori och statistikteori med tillämpigar, Studetlitteratur Saolikhetslära, ågra grudläggade begrepp Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas ett utfall och brukar beteckas ω (lilla omega). Utfallsrummet Ω (stora omega) är mägde av alla möjliga utfall. E hädelse A är e delmägd av Ω (A Ω), alltså e samlig av utfall. Att A iträffar iebär att det utfall som iträffar tillhör A (ω A). Hädelse {ω} kallas för e elemetär hädelse. Mål: Tillorda varje hädelse A i ett utfallsrum Ω e saolikhet P (A) (ett tal p mella 0 och där P (A) = p betyder att A iträffar med saolikhet p 00%).
Exempel : Kast med e tärig utfall: atal ögo (och beteckas med, 2, 3, 4, 5, 6) utfallsrummet Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} med Ω = 6 elemetära hädelser. De är {}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} exempel på hädelser: A: "atal ögo udda", B: "atal ögo högst 2" motsvarar delmägdera A = {, 3, 5}, B = {, 2} av utfallsrummet Exempel 2: Kast med två (olika färgade) tärigar utfall: ett par (i, j) där i är atal ögo av första tärige och j är atal ögo av adra tärige utfallsrummet Ω = {(i, j) i, j =,..., 6} med Ω = 6 2 exempel på hädelser: A: "tärigssumma är större ä 8", B: "första kastet är 5" A = {(3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 4), (6, 4), (6, 3)}, A = 0 B = {(5, j) j =,..., 6}, 0 0 0 0 0 0 0 0 B = 6 0 6 kast 2 (3,) 6 Ω A B kast Det klassiska saolikhetsbegreppet: Atag att det bara fis ädligt måga möjliga utfall som alla är lika saolika. Då sätter ma P (A) = A Ω i Exempel : P (A) = 2, P (B) = 5 3 ; i Exempel 2: P (A) = 8, P (B) = 6. 2
Exempel 3: a) Ma kastar e tärig tre gåger och oterar hur oft ma fick e sexa. Betrakta hädelse att ma har fått lika ofta sexa som ej sexa. Notera att dea hädelse ite ka iträffa. Ω = {0,, 2, 3}, A = (de tomma mägde), P (A) = 0. Vi återkommer till detta viktiga exempel i avsittet om biomialfördelige. b) Ma kastar e tärig 3 gåger och oterar kastet där ma har fått sexa för första gåge. Hädelse ma är itresserad i är att ma ite får e sexa alls. Vi beteckar dea elemetära hädelse med { }. Ω = {, 2, 3} { }, Observera att de elemetära hädelsera ite är lika saolika: P ({}) = 6, P ({2}) = ( 6 ) 6, P ({3}) = ( 6 )2 6, P ({ }) = ( 6 )3. c) Samma spel som i b) me ma kastar tärige N gåger så att Ω = {,..., N} { }. Likadat som i b) får ma P (A) = ( 6 )N. Observera att P (A) sträver mot 0 om N går mot oädlighete. d) Ma kastar e tärig tills sexa erhålls för första gåge och oterar ummret av detta kast. Ige är ma itresserad i hädelse att ma ite får sexa alls. Ω = N { }, A = { }, P (A) = 0. Hädelse har saolikhet 0 trots att de ite är omöjlig. e) Ma plockar ett tal mella oll och ett. Hädelse ma är itresserad av är att det plockade talet är större ä -. Ω = [0, ], A = [0, ] (hela utfallsrummet), P (A) =. Amärkig: Ma skiljer mella diskreta (Exempel 3 a)-c)) och kotiuerliga (Exempel 3 d)) utfallsrum. Utfallsrumme i Exemple 3 a), b) kallas äve ädliga. 3
. Mägdlära E mägd är e väldefiierad samlig av elemet. Om elemetet ω tillhör mägde A skriver vi ω A. Amärkig: Observera att e mägd ite förädras om ma byter elemetes ordigsföljd Ex: {a, b} = {b, a} upprepar elemet Ex: {a, a} = {a} De tomma mägde beteckas med. Låt A, B vara mägder. Vi säger att A och B stämmer överes (A = B) om de iehåller samma elemet. A är e delmägd av B (A B) om varje elemet i A också ligger i B. A är e äkta delmägd av B (A B) om A B och A /= B. Operatioer för mägder: För mägder A, B defiieras A B = {ω x A eller ω B}, föreige av A och B A B = {ω x A och ω B}, sittet av A och B A/B = {ω A ω / B}, differesmägde A uta B Illustratio geom Vediagram: A B A B A B A B A B A/B 4
Om ma betraktar alla mägder som delmägder i e gemesam maximal mägd Ω, så defiieras komplemetet till e mägd A (iom Ω) geom Observera att A A = och A A = Ω. A = Ω/A = {ω ω / A} De Morgas lag: (A B) = A B, (A B) = A B Två mägder A, B kallas för disjukta (åtskilda) om A B =. Notera att (A B), (A B ) delar A i två disjukta delmägder. Vi skriver A = (A B) (A B ) Observera A/B = A B Hur delar ma upp Ω i disjukta mägder m.a.p. två giva delmägder A, B? Vi har Ω = (A B) (A B) (A B ) (A B ). A B A B A B A B A B Observera att Vediagram för fler ä fyra mägder blir mer komplicerade, se e.wikipedia.org/wiki/ve_diagram 5
Ej ett giltigt Vediagram! E möjlighet att rita ett Vediagram för 4 mägder.2 Saolikheter E saolikhetsmått P tillordar varje hädelse A ett tal P (A) med 0 P (A) sådat att följade egeskaper gäller: () P (Ω) =, (2) P (A A 2...) = P (A ) + P (A 2 ) +... för parvis oföreliga hädelser A, A 2,... (observera att oföreliga hädelser motsvarar disjukta mägder). Vidare egeskaper (med bevis) (3) P (A ) = P (A) (4) P ( ) = 0 (5) A B P (A) P (B) Additiossats: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (med bevis) 6
Exempel 4 (tas upp i föreläsige). Saolikhete för e föreig av tre mägder: P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) (Pricipe om iklusio/exklusio).3 Betigad saolikhet Exempel (forts.): Kast med e tärig Hur stor är saolikhete att ha kastat e sexa om vi reda vet att vi har kastat jämt kast a) ett udda tal? 0 00 b) ett jämt tal? 3 2 3 00 00 4 5 6 Låt P (B) > 0. Då defiieras de betigade saolikhete P (A B) för A givet att B har iträffat geom P (A B) P (A B) =. P (B) Observera defiitioe medför att P (A B) + P (A B) =. Följdsats: Om P (A) > 0 och P (B) > 0 då gäller P (A B)P (B) = P (B A)P (A) 7
Exempel 2 (forts.): Hur stor är saolikhete att tärigssumma är större ä 8 (hädelse A) om första kastet är femma (hädelse B)? P (A B) = P (A B) P (B) = 3/36 6/36 6 kast 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3,) 6 Ω A B kast = 2. I allmähete gäller för ett ädligt utfallsrum Ω där ma atar att alla elemetära hädelser är lika saolika att förutsatt att B /=. P (A B) = P (A B) P (B) = A B / Ω B / Ω = A B B Ω 0000 0000 Exempel 5 (tas upp i föreläsige). B A Lage om total saolikhet: Om Ω = B B 2... B N där hädelsera B j har positiv saolikhet och är parvis oföreliga, gäller för varje hädelse A P (A) = P (A B j )P (B j ). j Amärkig: Ma ka visa att P ( B) är ett saolikhetsmått på utfallsrummet B. 8
Träddiagram: Låt A, B vara hädelser med P (A), P (B) > 0. P (B A) B P (A B) P (A) A P (B A) ej B P (A B ) P (A ) ej A P (B A ) B P (A B) P (B A ) ej B P (A B ) Exempel: Moty Hall-problemet, se http://sv.wikipedia.org/wiki/moty_hall-problemet.4 Oberoede hädelser Om P (A B) = P (A)P (B) så kallas A, B för oberoede hädelser. Observatio : Om A, B är oberoede hädelser med P (B) > 0, så är P (A B) = P (A), d.v.s. vetadet om B har iträffat spelar ige rol för A:s saolikhet. Exempel 2 (forts.): A, B är ite oberoede. Låt C vara hädelse att första och adra kastet är lika. kast 2 0 Ω 6 0 0 0 0 0 0 000000000 0 0 6 C A B kast 9
Då är B, C oberoede eftersom P (B C) = P ({(5, 5)} = 36 = 6 36 6 = P (B)P (C). 36 Observatio 2: Om A, B är oberoede hädelser, så är A, B också oberoede hädelser eftersom P (A) = P (A B) +P (A B ) P (A B ) = P (A)( P (B)) = P (A)P (B ) =P (A)P (B) Amärkig: Om A och B är oberoede (med positiv saolikhet) så ersätts P (B A) med P (B), P (B A) med P (B ) o.s.v. i träddiagrammet. Exempel 4 (forts) (tas upp i föreläsige). Observatio 3: Två oföreliga hädelser A, B med P (A), P (B) > 0 ka ite vara oberoede eftersom P (A)P (B) > 0 = P ( ) = P (A B). Amärkig: Defiitioe av oberoede hädelser ka utvidgas till fler ä två hädelser, se [Blom et al.], Defiitio 2.8, för detaljer. 0
2 Diskreta stokastiska variabler E stokastisk variabel (s.v.) X är e fuktio defiierad på ett utfallsrum Ω med värde i de reella tale R. Ω ω X X(ω) I Kapitel 2 atar vi att X bara ka ata uppräkeligt måga värde... < x 2 < x < x 0 < x < x 2 <.... E såda s.v. X kallas för diskret. Observera: P (X = x j ) = j Exempel : Vid ett tärigskast får ma kr om etta kommer upp, 2 kr om tvåa eller trea kommer upp, aars måste ma betala kr. R Ω 0 R ω X(ω) 2 2 P (X = ) = 2, P (X = ) = 6, P (X = 2) = 3. Fuktioe kallas saolikhetsfuktioe till X. p X (x) = { P (X = x), x =... x, x 0, x,..., 0, för övrigt.
Amärkig; a) E stokastisk variabel modellerar hur ma evaluerar ett experimet geom talvärde. b) Frå och med u itresserar vi oss ite lägre för experimetet (utfallsrummet Ω) me bara för talvärde som atas av de stokastiska variable. Defiitio: Fuktioe F X fördeligsfuktioe för X. R [0, ] give geom F X (x) = P (X x) kallas för Exempel (forts.): F X (x) = 0, x <, 2, x <, 2 3, x < 2, 2 3 y = F X (x), 2 x. 2 x Sats: p X (x ) = F X (x ) F X (x ) Följdsats: F X (x ) = P (X = x j ) j F X p X p X (x 2 ) x x 2 x 3 x x 2 x 3 2
Fördeligsfuktioes egeskaper: Fördeligsfuktioe är e (icke avtagade) trappstegsfuktio med språgställea precis i... x, x 0, x,.... 0 F X (x) för alla x. Om vi har ädligt måga värde x,..., x så gäller F X (x) = för x x och F X (x) = 0 för x < x. Observera att saolikheter för godtyckliga hädelser ka uttryckas geom fördeligsfuktioe. Exempel (forts.): Betrakta hädelsera A "ma förlorar pegar", B: "ma vier mist kr" och C: "ma vier mer ä kr". P (A) = P (X = ) = F X ( ) P (B) = P (X = eller X = 2) = P (X = ) = F X ( ) P (C) = P (X = 2) = F X (2) F X () 2. Läges- och spridigsmått 2.. Lägesmått Vätevärdet: µ = E(X) = x j P (X = x j ) j 2..2 Spridigsmått Variase: σ 2 = V (X) = E((X µ) 2 ) = (x j µ) 2 P (X = x j ) 0 j Stadardavvikelse: σ = D(X) = V (X) Sats: V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Bevis: Med förkortige p j = P (X = x j ) får vi V (X) = j (x j µ) 2 p j = x 2 j p j j =E(X 2 ) 2µ x j p j j =µ 3 +µ 2 p j = E(X 2 ) µ 2. j =
Exempel (forts.): E(X) = ( ) 2 + () 6 + (2) 3 = 3 V (X) = ( 3 )2 2 + ( 3 )2 6 + (2 3 )2 3 =, 8 D(X) =, 8, 37 Exempel 2 (tas upp i föreläsige). 2.2 Några viktiga diskreta fördeligar 2.2. De likformiga fördelige över {x,..., x N } utfall x <... < x N alla utfall är lika saolika: P (X = x j ) = N Observera: E(X) = N N j= x j V (X) = N N j= (x j µ) 2 2.2.2 Biomialfördelige Betrakta N oberoede upprepigar av ett försök i vilket e viss hädelse A iträffar med saolikhet P (A) = p. Låt X = atalet gåger A har iträffat Sats: P (X = j) = ( N j ) pj ( p) N j där j = 0,,..., N. Vi säger att X är biomialfördelad med parametrar N och p och skriver X Bi(N, p). Ma ka visa: E(X) = Np, V (X) = Np( p). Exempel 3 (tas upp i föreläsige). 4
Värdea P (X x) fis tabellerade för p 2. I fallet p > 2 aväder vi Sats: Låt X Bi(N, p) och Y Bi(N, p). Då gäller P (X j) = P (Y N j). Bevis: P (X j) = κ=n k = j k=0 ( N k )( p)k ( ( p)) N k N ( N κ=n j N κ )( p)n κ p κ N = ( N κ=n j κ )pκ ( p) N κ = P (Y N j) Exempel 4: Bestäm P (X 3) om X Bi(0; 0, 8). Låt Y Bi(0; 0, 2). Då gäller P (X 3) = P (Y 0 3) = P (Y < 7) = P (Y 6). Frå tabelle får vi P (Y 6) = 0, 999, alltså P (X 3) = 0, 0009. 2.2.3 Poissofördelige Låt λ > 0. E stokastisk variabel X med saolikhetsfuktio P (X = j) = e λ λj, j = 0,, 2,..., j! kallas poissofördelad med parameter λ och vi skriver X Po(λ). Sats: E(X) = V (X) = λ. Bevis: E(X) = jp (X = j) = e λ j 0 = λe λ λ j j (j )! = λ. 5 j λj j 0 j! = λe λ k 0 λ k k! = e λ j λj j j! = λe λ e λ
Likadat visar ma E(X(X )) = λ 2. Se följer V (X) = E(X 2 ) λ 2 = E(X(X ) + E(X) λ 2 = λ. Amärkig: () Förekomst: hädelser A som iträffar slumpmässigt och oberoede av varadra i tide, X betyder atalet hädelser A som iträffar uder ett visst tidsitervall av give lägd. Exempel: radioaktiv söderfall, ikommade arop till e telefoväxel. (2) Poissofördelig som approximatio för biomialfördelige: Ma ka visa att i gräsfallet, då p 0 och N går mot oädlighete, uder det att Np = λ är fast, ( N j )pj ( p) N j λj j!. För X Bi(N, p) gäller alltså att X är approximativt Poissofördelad med parameter Np. Exempel 5 (tas upp i föreläsige). 6
3 Kotiuerliga stokastiska variabler E kotiuerlig stokastisk variabel X ka ata alla värde i ett (evetuellt oädligt) reellt itervall. Takeexperimet: Atag att vi har geomfört ett visst experimet 00 gåger och att vi seda har klassidelat vårt material. Då ka det täkas att vi fick följade histogram: Ett äve bättre itryck av situatioe får vi om vi gör flera experimet fiare klassidelig Rita alla histogram sådaa att deras area är lika med. Då motsvarar area som ligger över ett itervall de relativa frekvese för motsvarade klasse. Ma ka hoppas att ma får e kotiuerlig fuktio i gräsfallet. 7
Vi säger att e fuktio f är e täthetsfuktio om de uppfyller följade villkor: () f(x) 0 för alla x, (2) f(t) dt =. I fortsättige betraktar vi bara stokastiska variabler X med täthetsfuktioer f som är kotiuerliga utom i högst ädligt måga språgställe. Fördeligsfuktioe F X R [0, ] för X är give geom F X (x) = P (X x). Sats: F X (x) = x f(t) dt Exempel: F F F (x 0) x 0 x x f f F (x 0) x 0 x x Exempel : De s.v. X har täthetsfuktioe f(x) = { kx2, 0 < x <, 0 för övrigt.. a) Bestäm kostate k. b) Bestäm fördeligsfuktioe till X. 8
Lösig: a)! = f(t) dt = 0 kt 2 dt = k [ t3 3 ] = k 3 k = 3 0 b) F X (x) = x f(t) dt = 0 x 0, x 0, 3t 2 dt = x 3, 0 < x <,, x. Fördeligsfuktioes egeskaper: F är kotiuerlig. F är äve deriverbar utom möjligtvis i språgställea av f och det gäller att F = f. F är icke avtagade (d.v.s. x < x 2 F (x ) F (x 2 )) med lim F (x) = 0 och lim F (x) =. x x Ma ka aväda fördeligsfuktioe för att bestämma saolikhete av "föruftiga" hädelser, t.ex. P (X > a) = P (X a) = F (a), P (a < X b) = P (X b) P (X a) = F (b) F (a). Observera att P (X = a) = 0. Detta medför blad aat att P (X a) = P (X < a). Exempel (forts.): P (X < 2 ) = P (X 2 ) P (X = 2 ) = F X( 2 ) 0 = 8. 3. Läges- och spridigsmått 3.. Lägesmått Vätevärdet: µ = E(X) = tf(t) dt Mediae är det värde m som uppfyller F X (m) = 2 (om detta värde är etydigt bestämmt). 9
3..2 Spridigsmått Variase: σ 2 = V (X) = E((X µ) 2 ) = Stadardavvikelse: σ = D(X) = V (X) (t µ) 2 f(t) dt 0 Sats: V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Bevis: Exempel (forts.): E(X) = E(X 2 ) = V (X) = = (t µ) 2 f(t)dt t 2 f(t)dt 2µ =E(X 2 ) = E(X 2 ) µ 2 tf(t) dt = 3 t 2 f(t) dt = 3 0 0 tf(t)dt +µ 2 =E(X)=µ t 3 dt = 3 4, f(t)dt = t 4 dt = 3 5 V (X) = 3 5 (3 4 ) 2 För att hitta mediae m löser vi ekvatioe F X (m) = 2. 0 < m <. Ekvatioe m 3 = 2 har lösige m = 3 2 0, 79. = 27 80, Frå F X:s graf vet vi att 3.2 Några viktiga kotiuerliga fördeligar 3.2. Likformig fördelig på itervallet (a, b) (där a < b) Om de s.v. X har täthetsfuktioe f f(x) = b a, a < x < b, 0, för övrigt. b a säges X vara likformigt fördelad på itervallet (a, b) och vi skriver X U(a, b). a F (x 0 ) x 0 b x 20
Fördeligsfuktioe för X är F X (x) = Observera: Exempel 2 (tas upp i föreläsige). 0, x a, x a b a, a < x < b,, b x. E(X) = a + b (a b)2, V (X) = 2 2 3.2.2 Normalfördelige med parametrar µ R och σ > 0 Om de s.v. X har täthetsfuktioe f(x) = σ 2π exp ( (x µ)2 2σ 2 ), x R. säges X vara ormalfördelad med parametrar µ, σ och vi skriver X N(µ, σ). f f är symmetrisk krig µ och f:s spridig ökar med σ. σ µ σ x Problem: f har ige elemetär primitiv fuktio! I fallet µ = 0 och σ = brukar ma betecka fördeligsfuktioe med Φ. Värdea till Φ fis tabellerade för x 0. För x < 0 utyttjar ma Φ( x) = Φ(x). x 0 x 0 x Φ( x 0 ) Φ(x 0 ) 2
Exempel 3: Låt X N(0, ). Bestäm Lösig: a) P (X 4 ), b) P (X 4 ), c) P (X > 4 ). a) P (X 4 ) = Φ( 4 ) tabell = 0, 5987 b) P (X 4 ) = Φ( 4 ) = Φ( 4 ) a) = 0, 5987 = 0, 403 c) P (X > 4 ) = P (X 4 ) = Φ( 4 ) = ( Φ( 4 )) = Φ( 4 ) = 0, 5987 Vad gör ma om X N(µ, σ)? Då aväder ma att P (X x) = Φ( x µ σ ). Dea relatio ka ma ise på följade sätt: P (X x) = σ x 2π e (t µ)2 2σ 2 dt ( ) = 2π x µ σ e s2 2 ds = Φ ( x µ σ ) där i ( ) geomförs substitutioe s = t µ σ. Exempel 4: Låt X N(, 2). Bestäm Lösig: a) P (X 3) = Φ( 3 tabell 2 ) = Φ() = 0, 843 a) P (X 3), b) P ( X < 2). b) Observera X < 2 2 < X < 2 < X < 3. Alltså P ( X 2) = P ( < X < 3) = P (X < 3) P (X ) = P (X 3) P (X ) = Φ( 3 2 a) ) Φ( 2 ) = Φ() Φ( ) = Φ() ( Φ()) = 2Φ() = 0, 6826 Ma ka visa: E(X) = µ, V (X) = σ 2. 22
3.2.3 Expoetialfördelige med parameter λ > 0 Om de s.v. X har täthetsfuktioe f(x) = { λe λx x 0, 0, x < 0. sägs X vara expoetialfördelad med parameter λ och vi skriver X Exp(λ). Fördeligsfuktio för X är F (x) = { e λx x 0, 0, x < 0.. Ma visar: E(X) = λ, V (X) = λ 2. Typiska exempel: tide mella hädelser som iträffar slumpmässigt och oberoede av varadra (söderfall i ett radioaktivt preparat, ikommade arop till e telefoväxel), livslägder av elektroiska kompoeter Exempel 5 (tas upp i föreläsige). Viktig exempel: Låt ξ vara livslägde hos e elektroisk kompoet. Atag att ξ Exp(λ). Vi vet att kompoete har fugerad i x timmar. Vad är då saolikhete att de fugerar ytterligare y timmar? P (ξ > x + y ξ > x) = = P (ξ > x + y) P (ξ > x) P (ξ > x + y och ξ > x) P (ξ > x) = e λ(x+y) e λx = e λy = P (ξ > y). Livslägde är oberoede av hur läge kompoete reda har fugerad! 23
4 Oberoedemått, summor av stokastiska variabler och cetrala gräsvärdessatse 4. Fuktioer av e stokastisk variabel Ett iledade exempel: Observera att de s.v. X frå Exempel i Kapitel 2 ka uppfattas som e fuktio av de s.v. X 0 som modellerar e tärigskast (d.v.s. som är likformig fördelad över {, 2, 3, 4, 5, 6})! Låt X vara e stokastisk variabel med käd fördeligsfuktio F X och g R R e fuktio. Betrakta de s.v. Y = g(x). Vad ka vi säger o Y :s fördelig? Exempel : Y = ax + b med a > 0. Vi får F Y (y) = P (Y y) = P (ax + b y) = P (X y b a ) = F X( y b a ) Täthetsfuktioe erhålls geom deriverig: f Y (y) = a f X( y b a ). I puktera där fördeligsfuktioe ej är deriverbar ka ma sätta täthetsfuktioe t.ex. lika med 0. Exempel 2: Låt X U(0, ) vara e s.v. som atar bara positiva värde. Betrakta de logaritmiska trasformatioe Y = λ l X med λ > 0. F Y (y) = P ( λ l X y) = P (l X λy) = P (X e λy ) = P (X < e λy ) = P (X e λy ) = { 0, y < 0, e λy, y 0 Y Exp(λ) Observatio: Låt X vara e kotiuerlig s.v. Om g är strägt växade resp. avtagade, så fis de iversa fuktioe g till g och vi får a) F Y (y) = P (g(x) y) = P (X g (y)) = F X (g (y)) om g är strägt växade, b) F Y (y) = P (g(x) y) = P (X g (y)) = F X (g (y)) om g är strägt avtagade. Vätevärdet av de s.v. Y = g(x) beräkas geom E(Y ) = j g(x j )P (X = x j ), g(t)f X (t) dt, X diskret, X kotiuerlig. 24
Exempel 3: De s.v. X U( 2, 2 ) modellerar avrudigsfel. Låt Y = X2. Som kvadratiskt avrudigsfel ka ma väta sig E(Y ) = Exempel 4: St. Petersburgparadoxo. t 2 f X (t) dt = 2 2 t 2 dt = 2 Ma kastar ett myt tills e kroa erhålls. Om detta iträffar i kast j får ma 2 j kroor. Vad är spelets vätevärde? Låt X beteckar kastet där kroa erhålls. Vi är itresserade i vätevärdet av Y = 2 X. E(Y ) = 2 j P (X = j) = 2 j ( j j j 2 ) = =. j Ma ka få stokastiska variabler med överaskade vätevärde geom att välja de stokastiska variables värde mycket stor för e hädelse med mycket lite saolikhet. Sats : Låt X vara e stokastisk variabel och a, b kostater. Då gäller: a) E(aX + b) = ae(x) + b, b) V (ax + b) = a 2 V (X). Resultatet i a) är rimligt eftersom förskutige av saolikhetsmassa medför motsvarade förskutige av vätevärdet. Vidare medför förstorige av värdea motsvarade förstorig av vätevärdet. Resultatet i b) är rimligt eftersom förskutige ite påverkar spridige. Vidare medför förstorige av värdea motsvarade förstorig i kvadrat av variase (som mäter kvadratisk avvikelse). f X f ax+b 00 0000 0000 0000 00000 00000 00000 0000 000000 00000 00000 σ aσ 00000 0000 000000 00000 00000 µ x aµ + b x 25
Bevis: E(aX + b) = (at + b)f X (t) dt = a tf X (t) dt +b f X (t) dt =E(X) = = ae(x) + b E((aX + b) 2 ) = (at + b) 2 f X (t) dt = a 2 t 2 f X (t) dt +2ab tf X (t) dt +b 2 f X (t) dt =E(X 2 ) =E(X) = = a 2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b 2 V (ax + b) = E((aX + b) 2 ) (E(aX + b)) 2 = a 2 (E(X 2 ) (E(X)) 2 ) = a 2 V (X) Följdsats: Låt X vara e stokastisk variabel med E(X) = µ och V (X) = σ 2. Då gäller för de stadardiserade stokastiska variabel Y = X µ σ att E(Y ) = 0 och V (Y ) =. 4.2 Fuktioer av flera stokastiska variabler 4.2. Kort om flerdimesioella stokastiska variabler Mål: Att studera två (eller flera) slumpmässigt varierade storleker, t.ex. koordiatera vid e pilkastig. Äve om vi seare kommer att betrakta summor av stokastiska variabler beskräkar vi oss i de följade teori på det tvådimesioella fallet. Defiitio: E tvådimesioell s.v. (X, Y ) är e fuktio defiierad på ett utfallsrum Ω med värde i R 2. Defiitio: Fuktioe F (X,Y ) R 2 [0, ] give geom F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) kallas för fördeligsfuktioe för (X, Y ). Observera att P (X x, Y y) betyder P (X x och Y y). 26
Om X, Y är kotiuerliga stokastiska variabler kallas e fuktio f X,Y F X,Y (x, y) = x y f X,Y (x, y) dx dy med täthetsfuktioe för (X, Y ). För att förstå sambadet mella täthetsfuktioe f X,Y för (X, Y ) och täthetsfuktioe f X för X tittar vi på fördeligsfuktioera F X (x) = P (X x, Y godtycklig) = lim y F X,Y (x, y) x y y x = lim = f X,Y (x, y) dy dx f X,Y (x, y) dy =f X (x) Som resultatet får vi att täthetsfuktioe f X för X ka erhållas frå de gemesamma täthetsfuktioe geom f X (x) = dx f X,Y (x, y) dy Begreppet oberoede ka utvidgas till stokastiska variabler. Defiitio: Två s.v. X, Y kallas oberoede om P (X x, Y y) = P (X x)p (Y y). Om X, Y är kotiuerliga stokastiska variabler är e ekvivalet defiitio att f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y). 4.2.2 Fuktioer av två stokastiska variabler Betrakta de s.v. Z = g(x, Y ). Vad ka vi säger om Z:s fördelig? Exempel 5: Låt X och Y vara stokastiska variabler som är defiierade på samma utfallsrum och som är oberoede. a) Betrakta Z = max(x, Y ). Eftersom Z z om och edast om både X z och Y z får ma F Z (z) = P (Z z) = P (X z, Y z) = F X,Y (z, z) = F X (z)f Y (z). b) För Z = mi(x, Y ) aväder vi att Z > z omm både X > z och Y > z. F Z (z) = P (Z > z) = P (X > z)p (Y > z) = ( P (X z))( P (Y z)) = ( F X (z))( F Y (z)). 27
Vätevärdet av de s.v. Z = g(x, Y ) beräkas geom E(Z) = g(x j, y k )P (X = x j, Y = y k ), j,k g(s, t)f X,Y (, st) ds dt, X, Y diskreta, X, Y kotiuerliga. 4.3 Summor av stokastiska variabler Sats 2: För stokastiska variabler X, Y gäller a) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), b) V (X + Y ) = V (X) + V (Y ), om X och Y är oberoede. Bevis för a) E(X + Y ) = = = x (x + y)f X,Y (x, y) dx dy f X,Y (x, y) dy dx + xf X (x) dx + = E(X) + E(Y ) yf Y (y) dy y f X,Y (x, y) dx dy Amärkig: b) är e följd av Sats 6 och 7 (se avsitt 4.5 för beviset) Dea sats ka utvidgas till ädligt måga stokastiska variabler X, X 2,..., X. Som e följd får ma följade resultat för det aritmetiska medelvärdet X som ges av X = (X + X 2 +... + X ) = X j j= Sats 3: Låt X, X 2..., X vara oberoede stokastiska variabler, där alla har vätevärde E(X j ) = µ och varias V (X j ) = σ 2. Då gäller E(X) = µ och V (X) = σ2. Stora tales lag: Låt X, X 2,..., X,... vara e följd av oberoede och likafördelade s.v. med vätevärdet µ och låt ɛ > 0. Då gäller att P (µ ɛ < j= X j < µ + ɛ) då. 28
I det fall att alla ibladade stokastiska variabler är ormalfördelade ka ma retav bestämma fördelige till deras summa. Sats 4: Låt a, a 2,..., a vara giva kostater. Om X, X 2..., X är oberoede och X j N(µ j, σ j ) för j =,...,, så gäller j= a j X j N( a j µ j, j= j= a 2 j σ2 j ) Följdsats: Om X, X 2..., X är oberoede och alla X j N(µ, σ), då gäller X = N(µ, σ ) för X = Följdsats: Om alla X, X 2..., X är N(µ, σ ) och alla Y, Y 2..., Y 2 är N(µ 2, σ 2 ) och alla variabler är oberoede, så gäller att σ 2 X Y N(µ µ 2, + σ2 2 ) för X = X j, Y = 2 Y j 2 2 j= Exempel: E hiss tålar högst 0 persoer eller 800 kg. s.v. X med vätevärdet 70 och stadardavvikelse 0. j= X j j= Persovikte ka ases som a) Hur stor är vikte i geomsitt där 0 persoer är i hisse? b) Atag att X är ormalfördelad. Hur stor är saolikheteh för 0 persoer at överlasta hisse? Lösig: a) Låt X j vara vikte av de persoe ummer j. 0 E( X j ) = j= 0 j= E(X j ) = 0 70 = 700(kg). b) För Y = 0 j= X j gäller Y N(0 70, 0 0 2 ), alltså Z = Y 700 0 N(0, ). 0 0 P ( X j > 800) = P ( Y 700 0 0 j= 800 700 0 0 ) = Φ( 0) = 0, 0008 3,2 Det är 0,08%. 29
4.4 Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse: Låt X, X 2, X 3... vara e oädlig följd av oberoede och likafördelade stokastiska variabler med vätevärdet µ och stadardavvikelse σ. Då gäller det att X j µ j= P ( σ x ) Φ(x) då. Följdsats: X j är approximativt N(µ, σ )-fördelad då är stort. j= Resultatet gäller oavsett av de ursprugliga fördelige! Det är detta resultat som förklarar varför måga feome i ature beteer sig approximativt "ormal". Approximativa egeskaper för biomial- och Poissofördelig: () Låt X Bi(N, p). Då ka X tolkas att age hur ofta e viss hädelse iträffar uder N oberoede upprepigar av ett försök. Vi skriver X = N X j j= där X j ager om hädelse iträffar i försök ummer j. Observera X j Bi(, p). Cetrala gräsvärdessatse säger att X är approximativt ormalfördelad med Vi har visat följade E(X) = N E(X j ) = N( p), V (X) = N V (X j ) = N( p( p)). Sats: Om X Bi(N, p) så gäller det att X är approximativt N(Np, Np( p)) då N är tillräckligt stort. (2) Ma ka visa: Sats: Om X Po(λ) så gäller att X är approximativt N(λ, λ) då λ är tillräckligt stort. 30
4.5 Oberoedemått Låt X och Y vara stokastiska variabler som är defiierade på samma utfallsrum. Kovariase mella X och Y är C(X, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))). Observera att C(X, X) = V (X). Eftersom vätevärdet är lijär (se Sats ) får ma Sats 5: C(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Om C(X, Y ) = 0 sägs X och Y kallas okorrelerade. Följade sats säger att om X och Y är oberoede så är de också okorrelerade. Sats 6: X, Y oberoede E(XY ) = E(X)E(Y ) Bevis: E(XY ) = xy f X,Y (x, y) =f X (x)f Y (y) dx dy = xf X (x) dx Följade exempel visar att okorrelerade variabler ka vara beroede. yf Y (y) dy = E(X)E(Y ) Exempel: Låt X U(, ) och Y = X 2. Uppebarlige är X, Y ite oberoede. Eftersom X:s fördelig är symmetrisk är E(X) = 0 och E(XY ) = E(X 3 ) = 0. Eligt Sats 2 är C(X, Y ) = 0, d.v.s. X, Y är okorrelerade. Faktiskt mäter kovariase grade av lijärt beroede. Sats 7: V (X ± Y ) = V (X) + V (Y ) ± 2C(X, Y ) Bevis: V (X ± Y ) = E((X ± Y ) E(X ± Y )) 2 = E((X E(X)) ± (Y E(Y ))) 2 = E(X E(X)) 2 ± 2E((X E(X))(Y E(Y ))) + E(Y E(Y )) 2 = V (X) ± 2C(X, Y ) + V (Y ) 3
Korrelatioskoefficiete för X och Y defiieras av ρ(x, Y ) = Observera att ρ(x, Y ). C(X, Y ) V (X) V (Y ). Eftersom V (X ± Y ) 0 följer 2 C(X, Y ) V (X) + V (Y ) med Sats 4. Geom att ersätta X med ax och Y med by för a = V (X), b = V (Y ) > 0 får ma 2ab C(X, Y ) = 2 C(aX, by ) V (ax) + V (by ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) = 2, alltså C(X, Y ) (ab) = V (X) V (Y ). 32
5 Beskrivade statistik Mål: Beskriva ett siffermaterial på ett överskådligt sätt. Exempel : Vid ett uiversitet får studetera som går programme A och B absolvera e matematikkurs. Kurse examieras geom e teta med 24 poäg. Sista året deltog 20 studeter, 0 frå varje program. De fick följade resultat: A, 22, 7, 5,, 6, 0, 9, 5, 4, B 0, 3, 0,, 3, 0, 2, 3, 3, 5. 5. Storheter som är karakteristiska för materialet Givet observatioer x,... x. Betecka samma observatioer seda de har storleksordats med x... x. Största observatioe beteckas också med x max och mista observatioe med x mi, det vill säger x mi = x, x max = x. Lägesmått: medelvärde x = x j j= x m+, om = 2m +, media x 0.50 = x m + x m+, om = 2m 2 Observera att mediae påverkas ite av extrema observatioer eftersom de ite tar häsy till de eskilda observatioera. Vi iför också övre kvartile x övre och udre kvartile x udre : Låt mediae dela upp observatioera i två delar, e udre del och e övre del. Om är udda så räkas mediae i i bägge delara och om är jämt ite i ågo av delara. Nu beräkas x udre som mediae i udre dele och x övre som mediae i övre dele. 33
Spridigsmått: varias s 2 = variatiosbredd kvartilsavståd j= (x j x) 2 och stadardavvikelse s R = x max x mi x övre x udre Mediae, kvartilera och variatiosbredde hos ett material ka illustreras med hjälp av e boxplot eller ett lådagram: Sats: s 2 = ( x 2 j x 2 ) j= Bevis: j= (x j x) 2 = j= (x 2 j 2xx j + x 2 ) = j= x j j= x 2 j 2x =x +x 2 j= = = j= x 2 j x 2 Exempel (forts.): Grupp A: x mi = 5, x max = 22 ger variatiosbredde R = 7. Mediae är x 0.05 = +4 2 = 2, 5 och för kvartilera får vi x udre = 0, x övre = 6 som ger kvartilsavstådet 6 0 = 6. s 5, 3 5 0 5 20 x = 3 34
Grupp B: x mi = 0, x max = 5 ger variatiosbredde R = 5. Mediae är x 0.05 = 2+3 2 = 2, 5 och för kvartilera får vi x udre = 0, x övre = 3 som ger kvartilsavstådet 3 0 = 3. s, 7 5 0 5 20 x = 2 5.2 Grupperade data Exempel 2: Ma udersökte 35 tädsticksaskar och oterade för varje ask hur måga tädstickor de iehöll. Följade värde erhölls: För illustratioe av materialet behöver vi ågra beteckigar: Låt vara atalet av observatioer och y... y m vara de möjliga värde som observatioera ka ata. frekves f j = atalet förekomster av y j relativ frekves p j = f j Amärkig: a) f j =, j p j = j b) E relativ frekves översätts i procet geom att multiplicera med 00. Till exempel motsvarar 00% och 0,0 motsvarar %, 35
Resultate ka sammafattas i e frekvestabell. Grafiskt ka de preseteras i ett stolpdiagram där ma ritar e stolpe för varje variabelvärde såda att stolpes lägd motsvarar dess relativa frekves. Exempel 2 (forts.): Det gäller: 36
() x = (2) s 2 = m j= f j y j m j= f j (y j x) 2 m = ( f j yj 2 x 2 m ) = ( f j yj 2 m ( f j y j ) 2 ) j= j= j= Exempel 2 (forts.): f j y j = 2 48 + 4 49 + 6 50 + 9 5 + 6 52 + 7 53 + 0 54 + 55 = 789 j f j yj 2 = 2 48 2 + 4 49 2 + 6 50 2 + 9 5 2 + 6 52 2 + 7 53 2 + 0 54 2 + 55 2 = 9533 j x = 789 35 5,, s2 = 7892 (9533 35 35 ) = 567 2, 63, s, 62 595 x 0.50 = x 8 = 5, x udre = x 9 + x 0 2 = 50, x övre = x 26 + x 27 2 = 52 5.3 Klassidelade data I praktike är materialet ofta så stort (och atar så måga värde) att ma måste förekla det för att få det överskådligt. Exempel 3: Ma mätte kapacitase hos 630 kodesatorer. Därtill klassidelar ma materialet i ett atal klasser (itervall) I,..., I m där I j I k =, j /= k, och där m j= I j teckar alla möjliga värde. 37
Med y j beteckar ma u I j s klassmitte (medelpukt av itervallet). Exempel 3 (forts.): Observera att de övre gräse till e klass ite är ikluderad i klasse! T. ex. första klasse är itervallet [2, 30; 2, 32). Grafiskt preseteras materialet i ett histogram. Notera att area i histogrammet är lika med om klasslägera omeras till. 38
För klassidelade data beräkas de karakteristiska storheter med avseede på de valda klassidelige. T.ex.: Medelvärdet och variase beräkas som för grupperade data. Observera dock att y j beteckar u klassmittera av itervalle. Mediae defiieras som det värde för vilket area i histogrammet till väster av värdet och till höger av värdet är likadaa R defiieras som avstådet mella de mest extrema klassgräsera Exempel 3 (forts.): R = 2, 70 2, 30 = 0, 40 Eligt tabelle iehåller klassera - 9 totalt 280 observatioer. Area i histogrammet över dessa klasser motsvarar därför 280 630 = 4 9 av hela area. Klass 0 iehåller 90 observatioer motsvarade 90 630 = 7 av hela area. x 0.50 2, 5 2, 52 2, 5 = /8 /7 4 9 = 8 8 8 7 x 0.50 2, 50 2, 52 x 0.50 = 2, 5 + 7 (2, 52 2, 50) 2, 5078 8 39
Amärkig: a) Klassidelig föreklar materialet: De karakteristikor ma beräkar med det ursprugliga materialet är ite ödvädigtvis lika med de ma får efter klassidelig. b) Olika klassideligar ka ge olika karakteristikor! Exempel: 0,5; 0,7;,;,;,2;,3;,4;,4; 2,; 2, klassidelig : [0,), [,2), [2,3) ger x 0.50 =, 5 klassidelig 2: [-0.2;0,8), [0,8;,8), [,8;2,8) ger x 0.50 =, 3 f 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 md y f 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0 md y 5.4 Korrelatio Låt datamägde består av parade observatioer (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ). Beroedemått: kovarias mella x- och y-värdea c xy = j= (x j x)(y j y) korrelatioskoefficiet r = c xy s x s y där s x och s y är stadardavvikelse för x- respektice y-värdea Om data variera så att till stora x-värdea tillhör oftast stora y-värde förvätas positiv kovarias. Det gäller: c xy = ( x j y i x y) j= 40
De bakomliggade modelle Vi betraktar ett visst experimet som beskrivs av e stokastisk variabel X med fördeligsfuktio F. Atag att fördelige beror på e okäd parameter θ. Ett typsikt exempel är att θ = E(X). Vi vill, på grud av experimetella data x,..., x, få iformatio om θ. I de följade kapitle kommer vi att 6. Puktskattig: skatta θ 7. Itervallskattig: kostruera ett itervall som täcker θ med föreskrive saolikhet 8. Hypotesprövig: testa e hypotes om θ Låt oss ata att vi har fått datamaterialet x,..., x geom oberoede upprepigar av experimetet. Stokastiskt ka vi beskriva experimet ummer j geom e stokastisk variabel X j som har samma fördelig som X. Datamaterialet ka alltså tolkas som e observatio av oberoede likafördelade stokastiska variabler X,..., X. I dea situatio kallas x,..., x för ett stickprov av storlek. 6 Puktskattig Mål: För att skatta θ är idé att ta e lämplig vald fuktio θ av stickprovet. Fuktioe θ = θ (X,..., X ) kallas stickprovsvariabel. Observera att de är e stokastisk variabel. De kokreta observatioe θ obs = θ (x,..., x ) kallas e puktskattig för θ. Puktskattige θ obs är alltså ett utfall av de stickprovsvariabel θ. 6. Puktskattiges grudläggade egeskaper Vilka fuktioer ka ases lämplig för att skatta till exempel vätevärde och varias? a) vätevärdet µ = E(X): µ = X = j= X j, µ 2 = 2 ( max X j + mi X j ). j j 4
Observera att X är stickprovsvariabel, alltså e s.v.! Motsvarade puktskattige är medelvärdet x av det kokreta datamaterialet. b) variase σ 2 = V (X): (σ) 2 = (X j X) 2, j= (σ2) 2 = 2 ( max X j mi X j ). j j Defiitio: E puktskattig θ obs av parameter θ är vätevärdesriktig om E(θ ) = θ gäller för de tillhörade stickprovsvariabel θ. Sats: a) µ,obs är e vätevärdesriktig puktskattig av µ. b) (σ 2) obs är e vätevärdesriktig puktskattig av σ2 Observera att satse ite beror på X:s fördelig! Bevis: b) j= (X j X) 2 = E( (X j X) 2 ) = j= = = ((X j µ) (X µ)) 2 j= ((X j µ) 2 2(X j µ)(x µ) + (X µ) 2 ) j= j= (X j µ) 2 2(X µ) (X j µ) +(X µ) 2 j= = ( (X j µ) 2 ) (X µ) 2 j= =(X µ) E((X j µ) 2 ) E((X µ) 2 ) j= =V (X j )=σ 2 = σ 2 σ2 = ( )σ 2 =V (X)= σ2 j= = I allmähete är µ 2obs ite vätevärdesriktig. Ett fall där µ 2,obs e symmetrisk frekvesfuktio. dock är det är om X har 42
Defiitio: Låt θ,obs, θ 2,obs vara vätevärdesriktiga puktskattigar av θ. Vi säger att θ,obs är effektivare ä θ 2,obs om motsvarade stickprovsvariabler uppfyller V (θ ) < V (θ 2 ). Ma ka visa att µ,obs, (σ2 ) obs är de effektivaste skattigar för µ, σ2 förutsatt att stickprovet kommer frå e ormalfördelig. 6.2 Maximum-likelihood-metode (ML-metode) Atag att vi vet att saolikhetsfuktioe p (resp. täthetsfuktioe f) av de s.v. X tillhör e viss familj p(k, θ) (resp. f(x; θ)) som beror på θ. ML-metode: För det giva stickprovet x,..., x defiierar vi likelihood-fuktioe L geom L(θ) = { p(x ; θ)... p(x ; θ), (diskreta fallet), f(x ; θ)... f(x ; θ), (kotiuerliga fallet). Om det fis ett uikt värde θ obs där L(θ) atar sitt största värde så kallas θ obs för ML-skattige av θ. Exempel : Låt X = atalet telefosamtal som ivåara i e by börjar iom ett givet tidsitervall. Vi atar att X är Poissofördelad med e positiv parameter θ. Fem oberoede mätigar ger atale 0, 2, 7, 0, 4. Bestäm ML-skattige av θ. Lösig: Eftersom X har saolikhetsfuktioe blir likelihood-fuktioe p(k; θ) = P (X = k; θ) = θk k! e θ, k = 0,, 2,..., L(θ) = p(0; θ) p(2; θ) p(7; θ) p(0; θ) p(4; θ) = θ 43 e 5θ 0! 2! 7! 0! 4!. För att maximera täljare θ 43 e 5θ udersöker vi derivata (θ 43 e 5θ ) = (43 5θ)θ 42 e 5θ och ser att fuktioe är växade för 0 < θ < 43/5, avtagade för θ > 43/5 och har ett globalt maximum i θobs = 43/5 = 8, 6. Amärkig: Likadat visar ma att, för ett givet stickprov x,..., x, ML-skattige för θ är x = j= x j om X Po(θ). 43
Amärkig: Ofta är det lättare att maximera l L(θ) istället av L(θ). Exempel 2: För glödlampor mätar ma livstider x,..., x. Atag att livstide X av e glödlampa är expoetialfördelad med parameter θ. Bestäm ML-skattige av θ. Lösig: Eftersom X har täthetsfuktioe f(x) = θ e x/θ får vi L(θ) = e x j/θ j= θ = e ( j= x j)/θ θ l L(θ) = j= x j l θ θ d dθ l L(θ) = θ ( j= x j ). θ Det visar att likelihood-fuktioe är växade för 0 < θ < j= x j = x, avtagade för θ > x och har ett globalt maximum i θ obs = x. 6.3 Tillämpig till ormalfördelig 6.3. Ett stickprov E okäd parameter. Låt x,..., x vara ett stickprov frå N(µ, σ 2 ) där e av parametrar µ, σ är okäd. Som i sista avsittet ka ma bestämma ML-skattige för dea parameter: µ okät, σ käd: ML-skattige för µ är µ obs = x. µ kät, σ okäd: ML-skattige för σ 2 är (σ 2 ) obs = j= I båda fall ka ma visa att ML-skattige är vätevärdesriktig. (x j µ) 2. 44
Två okäda parametrar. De valigare situatioe är dock att både parametrar är okäda. Observera att likelihood-fuktioe i detta fall beror på två variabler. Eftersom blir resultatet L(µ, σ 2 ) = (2πσ 2 ) d dµ l L(µ, σ2 ) = σ 2 e j= (x j µ) 2 /(2σ 2 ) /2 j= (x j µ), d dσ l L(µ, 2 σ2 ) = 2σ + 2 2σ 4 µ, σ okäda: ML-skattigar för µ, σ 2 är µ obs = x, (σ2 ) obs = j= j= (x j µ) 2. (x j x) 2. Amärkig: ML-skattige för µ är vätevärdesriktig me ML-skattige för σ 2 är det ite! E vätevärdesriktig skattig ger följade adjusterig s 2 = (σ2 ) obs. 6.3.2 Två stickprov Till slut tar vi upp fallet att ma har två oberoede stickprov x,..., x frå N(µ, σ 2) och y,..., y 2 frå N(µ 2, σ2 2) där σ = σ 2 = σ. Här är likelihood-fuktioe ML-skattigara blir L(µ, µ 2, σ 2 ) = L (µ, σ 2 ) L 2 (µ 2, σ 2 ) där L (µ, σ 2 ) = (2πσ 2 ) /2 e L 2 (µ 2, σ 2 ) = (2πσ 2 ) 2/2 e j= (x j µ ) 2 /(2σ 2), 2 j= (y j µ 2 ) 2 /(2σ 2). (µ ) obs = x, (µ 2) obs = y, (σ2 ) obs = + 2 (Q + Q 2 ) med Q = j= (x j x) 2, Q 2 = 2 j= (y j y) 2. De första två skattigara är vätevärdesriktiga. För de sista skattige blir följade adjusterig vätevärdesriktig s 2 + 2 = ( ) + ( 2 ) (σ2 ) obs. 45
7 Itervallskattig Mål: Låt 0 α. Vi vill age ett itervall I sådat att P (θ I ) = α. Observera att I måste betecka e stokastisk variabel! För ett givet itervall I R gäller ämlige atige P (θ I) = 0 (om θ / I) eller P (θ I) = (om θ I). E kokret observatio I obs av de stokastiska variable I kallas för ett kofidesitervall för θ med kofidesgrad α. 7. Tecketest (se föreläsig). 7.2 Tillämpig till Normalfördelig Frå och med u atar vi att stickprovet kommer frå e ormalfördelig. Observera att cetrala gräsvärdessatse säger att det är approximativt fallet för tillräckligt stort. 7.2. Kofidesitervall för µ i N(µ, σ) där σ är käd Idé: Betrakta I = [X a, X + b] och bestäm lämpliga kostatera a, b > 0 sådaa att P (X a µ X + b) = α. σ Vi vet att X N(µ, ). Eftersom X a µ X + b b X µ a och X:s fördelig är symmetrisk krig µ är det rimligt att välja b = a. Vi vill välja a såda att α = P (µ < X a) + P (X + a < µ) = P (a < X µ) + P (X µ < a) a = 2P (a < X µ) = 2P ( (σ/ ) < X µ (σ/ ) ). 46
Sätt Y = (X µ)/(σ/ ) och observera att Y N(0, ). Eligt ovaståede resogemaget måste vi välja a såda att α = P ( a < Y ). () 2 σ Låt λ β betecka det värde för vilket P (λ β < Y ) = β där Y N(0, ). För de viktigaste värdea av β ka λ β hittas i tabelle för stadardormalfördelige. λ β β x För att få () väljer vi u kostate a såda att σ a = λ α a = σ λ α. 2 2 Resultat: Låt x,..., x vara ett stickprov frå N(µ, σ) där σ är käd. Då är ett kofidesitervall för µ med kofidesgrad α givet geom I obs = [ x σ λ α 2, x + σ λ α 2 ]. Amärkig: Itervallets lägd är 2σλ α 2 /. Det medför att itervallet blir större om ma ökar kofidesgrade α, itervallet blir midre om ma ökar. Amärkig: Eftersom ma vill kotrollera felsaolikhete, d.v.s. ma vill garatera att P (µ / I ) α, bör avrudige av kofidesitervallet göras utåt! Amärkig: Ova har vi bestämt ett tvåsidigt kofidesitervall. Iblad är ma också itresserad av ett esidigt kofidesitervall, t.ex. I = (, X + a] med ett lämpligt tal a. Ett likadat resoemag som ova ger kofidesitervallet för kofidesgrade α. I obs = (, x + σ λ α ] 47
Exempel : Vi har gjort 9 mätigar för livslägder av e viss sorts maskidelar och fåt värdea 5, 3; 06, 5; 0, 6; 06, 9; 95, 4; 5, ; 2, 9; 07, 7; 09, 7 (i timmar). Dessa ser vi som ett utfall av oberoede stokastiska variabler X,..., X 9 som alla är N(µ, 5). Vi vill bestämma ett 95% kofidesitervall för µ. Lösig: Vi beräkar x = 08, 9. Eftersom α = 0, 05 får vi frå tabelle för stadardormalfördelige att λ 0,025 =, 9600. Ett (två-sidigt) kofidesitervall för µ med kofidesgrade 0, 95 är alltså I obs = [08, 9 + 5 9, 96; 08, 9 + 5 9, 96] [99, ; 8, 7]. 7.2.2 Kofidesitervall för µ i N(µ, σ) där σ är okäd Skatta σ geom puktskattige s = σobs. De bakomliggade stokastiska vari- Idé: able är I detta fall är σ = j= Y = X µ σ / (X j X) 2. ite lägre ormalfördelad uta t-fördelad med frihetsgrader. Dea fördelig är också symmetrisk. För ågra f, β är värdea t β (f) sådaa att P (t β (f) < Y ) = β, där Y är t-fördelad med f frihetsgrader, tabellerade. Likadat som i förra avsittet får vi u följade Resultat: Iobs = [ x s s t α ( ); x + t α ( ) ] är ett kofidesitervall för µ med kofidesgrad α. Observera att itervallägde u beror på stickprovet! 2 2 48
Exempel (forts.): Om σ är okäd skattar vi de med s. Vi beräkar s = 6, 05. För α = 0, 05 får vi u frå tabelle för t-fördelige att t 0,025 (9 ) = 2, 306. Ett (två-sidigt) kofidesitervall för µ med kofidesgrade 0, 95 är alltså I obs 6, 05 6, 05 = [08, 9 + 2, 306; 08, 9 + 2, 306] [04, 2; 3, 6]. 9 9 7.2.3 Kofidesitervall för σ 2 i N(µ, σ) där µ är okät De stokastiska variable σ 2 är χ 2 -fördelad med frihetsgrader. j= (X j X) 2 Eligt defiitioe av χ 2 α(f), se figur, är saolikhetsmassa mella χ 2 (f) och α/2 χ2 (f) lika α/2 med α. Alltså gäller med saolikhet α att χ 2 ( ) (X j X) 2 < σ 2 < α/2 j= χ 2 ( ) α/2 j= (X j X) 2 och vi får (x j x) 2 ] är ett kofidesi- Resultat: Iobs = [ χ 2 ( ) (x j x) 2 ; α/2 j= tervall för σ 2 med kofidesgrad α. χ 2 ( ) α/2 j= 7.2.4 Två stickprov. Kofidesitervall för differes mella vätevärde Atag att vi har två oberoede stickprov x,..., x frå N(µ, σ ) och y,..., y 2 frå N(µ 2, σ 2 ) där σ = σ 2 = σ. Atag att σ också är okäd. Vi vill bestämma ett kofidesitervall för differese µ µ 2. 49
Differese X Y är ormalfördelad med vätevärde µ µ 2 och varias σ 2 / + σ 2 2 / 2 = σ 2 (/ + / 2 ). Eligt Avsitt 6.3.2 ledar (σ 2 ) = ( (X j X) 2 + (Y j Y ) 2 )/( + 2 2) j= 2 j= till e vätevärdesriktig puktskattig av σ 2. Som i Avsitt 7.2.2 får ma att de stokastiska variabel (X Y ) (µ µ 2 ) är t-fördelad med + 2 2 frihetsgrader. σ / + / 2 Resultat: Ett kofidesitervall för µ µ 2 med kofidesgrad α är I obs = [ (x y) σ obs + 2 t α ( + 2 2 2); (x y) + σobs + 2 t α 2 ( + 2 2) ] där σ obs = (Q + Q 2 )/( + 2 2) med Q = j= (x j x) 2, Q 2 = 2 j= (y j y) 2. 7.2.5 Stickprov i par Iledade exempel: Två tekiker A och B både mäter olika objekt. A får mätvärdea x,..., x däremot B får mätvärdea y,..., y. Observera att i dea situatio ka fias skillader mella de olika objekt. Uppebarlige är det rimligt att gruppera mätvärdea i par. Objekt 2... A x x 2... x B y y 2... y Atag att x j kommer frå N(µ j, σ ) och y j kommer frå N(µ j +, σ 2 ). Idé är att skillader mella µ j motsvarar skillader mella de olika objekt. står för de systematiska skillade mella tekikeras mätmetod och σ, σ 2 för deras (ite ödvädigtvis lika) oggrahet. Trick: Betrakta z j = y j x j. Då ka z,..., z ases som ett stickprov frå N(, σ 2 + σ2 2 ) och vi ka aväda våra resultat frå Avsitt 7.2. och 7.2.2. 50
Exempel 2: Vid e udersökig av alkohols iverka på slumpvis utvalda persoer fick ma följade resultat (tid i sekuder): perso 2 3 4 5 6 före alkohol 0, 5 0, 0 0, 0 0, 25 0, 25 0, 05 efter alkohol 0, 55 0, 60, 00 0, 55 0, 55 0, 35 Atag att mätigar före och efter alkohol på perso r. j är e observatio frå N(µ j, σ ) resp. N(µ j +, σ 2 ). Bestäm ett 95% kofidesitervall för. Lösig: Betraktar observatioera z j = mätig efter - mätig före alkohol på perso r. j. Dessa är observatioer frå N(, σ) där σ = σ 2 + σ2 2 är okäd. Vi beräkar z = 0, 45 och s 0, 2345. Eligt Avsitt 7.2.2 får vi kofidesitervallet I obs 0, 2345 0, 2345 = [0, 45 t 0,025 (6 ); 0, 45 + t 0,025 (6 )] [0, 20; 0, 70]. 6 6 Exempel 3: Vid e udersökig av hur hållfasthete hos cemet beror på härdigstide bestämdes hållfasthete hos provkroppar som härdats uder 2 respektive 7 dagar. Ma fick följade resultat: Härdigstid Hållfasthet (i kp/m 2 ) 2 dagar 2, 8 2, 7 20, 0 22, 5 22, 0 22, 2, 9 7 dagar 32, 4 3, 8 34, 5 33, 9 34, 4 34, 2 34, 3 Hållfasthete vid båda härdigstidera ka atas vara ormalfördelad med samma stadardavvikelse σ. Bestäm ett 95% kofidesitervall för skillade på de geomsittliga hållfasthete. Lösig: Vi beräkar för första stickprovet (2 dagars härdigstid) x = 2, 74 och s 2 = 0, 638. För adra stickprovet (7 dagars härdigstid) får vi y = 33, 643 och s 2 2 =, 762. Att "väga ihop" (spoola) s 2 och s2 2 ger (σ 2 ) obs = 6s2 + 6s2 2 = s2 + s2 2 0, 9075 σobs 0, 9524. 2 2 Eftersom x y =, 929, + 2 2 = 7 0, 5345 och t α/2( + 2 2) = t 0,025 (2) = 2, 79 blir kofidesitervallet I obs = [, 929 0, 5345 0, 9524 2, 79;, 929+0, 5345 0, 9524 2, 79] [ 3, ; 0, 8 ]. 5
8 Hypotesprövig Vi kofroterar e hypotes H 0 om e stokastisk fördelig med resultatet av ett experimet. Vi förkastar hypotese H 0 om de förklarar resultatet "dåligt", d.v.s. att resultatet är osaolikt förutsatt att hypotese H 0 är sa. Aars förkastar vi H 0 ite. Amärkig: De typsika situtatioe är att ma litar på hypotese H 0 så att ma kräver starka argumet ia ma förkastar de. Exempel (ESP, extrasesory perceptio): E perso påstår att ha ka avgöra med förbuda ögo om kroa eller klave har kommit upp vid kastet av ett myt. Vi mistäker att persoe bara gissar, ha får alltså övertyga oss att ha har rätt. Vi vill pröva persoes påståede p.g.a. följade experimet: Vi kastar ett myt 2 gåger och oterar X = atalet rätta svar. Observera att X Bi(2, p) där p är saolikhete att persoe ger rätt svar. Vår hypotes är H 0 p = 2. Vi är beredda att förkasta vår hypotes om persoe ger tillräckligt måga rätta svar. Hur måga rätta svar a bör vi kräva? Vi vill kotrollera riske att persoe övertyger oss trots att de bara gissar. Dea risk är Om H 0 är sa är X Bi(2; 2 ) och P (X a H 0 sa). P (X a) = 2 i=a a P (X a) 2 0, 00024 0, 0037 0 0, 0929 9 0, 07300 ( 2 i )( 2 )2 Om vi är beredda att ta riske α = 0, 05 måste vi alltså kräva a = 0. Med adra ord förkastar vi H 0 om persoe har mist 0 rätta svar utav 2. Aars förkastar vi H 0 ite, d.v.s. persoe kude ite övertyga oss. Riske α = 0, 05 vi är beredda att ta kallas för testets sigifikasivå. De observerade sigifikasivå P (X a H 0 sa) = 0, 0929 kallas för p-värdet. 52
8. Styrkefuktioe Låt oss ata att vi testar hypotese H 0 θ = θ 0 mot H θ Θ. Styrkefuktioe för testet är h(θ) = P (förkasta H 0 θ sa) där θ Θ {θ 0 }. Ett test är bra om H 0 förkastas med stor saolikhet om de ite är sa, d.v.s att h(θ) är stor för θ Θ. Observera att h(θ 0 ) = α. Exempel (forts.): Persoe påstår att ha ka avgöra resultatet av ett mytkast med saolikhet 0, 9. Vi tar samma test som förut med Testets styrka är H 0 p = 2, H p = 9 0. h( 9 2 0 ) = ( 2 )( 9 i 0 )i ( 9 0 )2 i 0, 89. i=0 Saolikhete är alltså gaska stor att ma med testets hjälp kommer att upptäcka persoes ESP. 8.2 Tillämpig till ormalfördelig Vi fokuserar på följade Problem:. De bakomliggade fördelige är e ormalfördelig med vätevärdet µ och käd stadardavvikelse σ, 2. Vi testar hypotese H 0 : µ = µ 0. Idé: Låt 0 α. För att testa H 0 tar vi fram ett kritiskt område C och förkastar hypotese om teststorhete X hamar i C. Vi väljer C sådat att P ( X C H 0 sa ) = α. α kallas för sigifikasivå av testet. Observera att P ( X C H 0 sa ) är saolikhete att förkasta H 0 trots att H 0 är sa! 53
Uder förutsättige att H 0 är sa gäller X j N(µ 0, σ) och därför X = j= X j N(µ 0, σ ). Eftersom dea ormalfördelig är symmetrisk krig µ 0 tar vi det kritiska området av forme C = R/[µ 0 d, µ 0 + d] med ett reelt tal d. Vi väljer d så att täthetsfuktio för X P (X C) = α. d µ 0 d x α =! P (X C) = P (X / [µ 0 d, µ 0 + d]) = P (X < µ 0 d) + P (µ 0 + d < X) d = 2P (µ 0 + d < X) = 2P ( (σ/ ) < X µ 0 (σ/ ) ) = 2P ( σ d < Y ) ka tas frå stadard- där Y är stadardormalfördelad. Värdet λ α där P (λ α < Y ) = α 2 2 2 ormalfördelige:s tabell. Vi får d = σ λ α 2. Kom ihåg att x beteckar medelvärdet av experimetets mätvärde. Resoemaget ger då följade Test: Förkasta H 0 om x / [µ 0 σ λ α 2, µ 0 + σ λ α 2 ], bibehåll H 0 aars. Amärkig: Ovaståede metod kallas för tvåsidigt test. 54
Exempel 2: Låt X beskriva livslägde av e viss sorts maskidelar. Av ågo aledig vet vi att X N(µ, 5). Vår hypotes är H 0 µ = 00. Uppgifte är att testa H 0 med 5% sigifikasivå. Vi geomför ett experimet där vi mäter livslägder hos 9 maskidelar och får följade mätvärde: 5, 3; 06, 5; 0, 6; 06, 9; 95, 4; 5, ; 2, 9; 07, 7; 09, 7. Ger mätvärdea upphov för att förkasta H 0? Lösig: För α = 0, 05 får vi λ 0,025 =, 96 frå tabelle. Detta ger oss följade itervall: I = [ 00 5 9, 96, 00 + 5 9, 96 ] = [ 00 9, 8 ; 00 + 9, 8 ] = [ 90, 2 ; 09, 8 ]. Eftersom x = 08, 9 ligger i detta itervall ka vi ite förkasta H 0. Iblad är ma bara itresserad av ett esidigt test. Här vill vi förkasta hypotese H 0 : µ = µ 0 edast i det fall att x ligger "lågt ifrå" µ 0 på e viss sida om µ 0. Problem: Testa hypotese H 0 : µ = µ 0 uder bivillkoret att ma förkastar H 0 edast i fallet x > µ 0. Här söker vi d så att P (X > d) = α förutsatt att H 0 är sa. α =! P (d < X) = P ( d µ 0 (σ/ ) < X µ 0 (σ/ ) d µ 0 ) (σ/ ) = λ α. = η N(0,) Vi förkastar alltså H 0 om d = µ 0 + σ λ α < x. 55
Exempel 2 (forts.): Testa ovaståede hypotes H 0 : µ = 00 uder bivillkoret att ma förkastar H 0 edast i fallet x > 00. Lösig: Eligt ovaståede resogemet beräkar vi (observera att tabelle ger λ α =, 6449 för α = 0, 05) d = 00 + 5 9, 6449 = 08, 2245. I experimetet har vi fått x = 08, 9 > d. Alltså förkastar vi H 0 de här gåge. 8.3 Sambad mella sigifikastest och kofidesitervall Vi atar fortfarade att stickprovet kommer frå N(µ, σ) där σ är käd. I det två-sidiga testet för hypotese H 0 µ = µ 0 med sigifikasivå α förkastade vi H 0 ite om µ 0 σ λ α/2 x µ 0 + σ λ α/2 x σ λ α/2 µ 0 x + σ λ α/2. Testet ka alltså utföras på följade sätt: Ma bestämmer (det två-sidiga) kofidesitervallet för µ 0 med kofidesgrad α och ser efter om det hypotetiska värdet µ 0 ligger i itervallet. Ma förkastar H 0 om det ite är fallet. Vi säger att testet är utfört eligt kofidesmetode. Amärkig: Vi ka aväda alla våra resultat om kofidesitervall (e-sidigt kofidesitervall, kofidesitervall för µ om ma har e ormalfördelig där σ är okäd o.s.v.) för att kostruera sigifikastest. 8.4 χ 2 -metode 8.4. Test av fördelig Betrakta ett experimet med r olika utfall A,..., A r. Saolikhetera P (A ),..., P (A r ) är okäda me vi gör hypotese H 0 P (A ) = p,..., P (A r ) = p r. 56