Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-. Rsultat kommr att finnas tillgängligt snast dn juni. Klagomål på rättningn skall vara framförda snast n månad ftr. OBS! Tntand är skldig att visa lgitimation. Skriv ndast på n sida av bladt. Skriv tdligt namn och prsonnummr på varj blad. ösningar som är otdliga och svåra att följa kommr int att bdömmas. Hjälpmdl: Formlsamling i Hållfasthtslära, TEFYMA, BETA llr liknand och räkndosa. Eaminator: Jonas Falskog, tl. 79 8977. Btgsgränsr: F(undrkänd) p ; FX(möjlight till komplttringstntamn) p ; E p ; D p ; C p 7 ; B p ; A p, (p tnamn+bonus). P. [ poäng] Fackvrkt i Figur bstår av fjädrlmnt md fjädrkonstantrna: k k k k och k k/. Koordinatrna för d fm nodrna framgår av Figur. Fackvrkt blastas md två kraftr (P, Q) som angripr i nodrna rspktiv. Antag att P är känd. Bstäm Q så att normalkraftn i fjädrlmntt blir noll. Figur. k (, ) Q (, ) k k k (, ) (, ). [ poäng] En balk som är fast inspänd i n vägg blastas md n punktkraft P nligt Figur. Balkn har böjstvhtn EI och längdn. Då väggn j är hlt stl utan något flibl, förskjuts lastangrppspunktn δ ( + α)p ( EI), α > (n stl vägg gs av fallt α ). Väggns flibilitt modllras här av n linjär momntfjädr md fjädrkonstantn k θ k θ EI. Bstäm md hjälp av lämplig nrgimtod (komplmntär lastisk nrgi och Castiglianos :a sats) väggns flibilitt, d.v.s. bstäm k θ som funktion av α. k θ EI, Figur. P, δ. Figur visar tt turbinblad på n turbin. Rotorbladt har böjstvhtn EI, längdn, tvärsnittsaran A och dnsittn ρ. I dt aktulla fallt acclrrar turbinn md n konstant vinklacclration ω. Basrat på Eulr-Brnoullis balktori kan jämvikt för turbinblad formulras md hjälp av virtulla arbtts princip nligt EI δw w d ρaω δw + ----- d, turbinblad vänstrld och högrld motsvarar inr, rspktiv ttr kraftrs virtulla arbt för n virtull utböjning δw kring jämviktslägt givt av w. Dssutom antags här att EI, A och ρ j varirar längs balkn. (a) [ poäng] Utgå ifrån jämvikt formulrad nligt virtulla arbtts princip ovan och ta fram FEM-kvationn, nligt Galrkins mtod för valt av virtull utböjningsfunktion, d.v.s. idntifira storhtrna i kvationn k d f. ω Figur. Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-.
(b) [ poäng] Analsra turbinbladt m.h.a. av tt tvånodrs balklmnt ( frihtsgradr/nod) och bstäm: (i) utböjning och vinkländring i turbladts ttränd ( ) och (ii) turbinbladts inspänningsmomnt, d.v.s. raktionsmomntt vid (OBS! här måst n ttr punktlastvktor addras till lastvktorn, vilkn j är plicit mdtagn i uttrckt för virtulla arbtts princip ovan).. [ poäng] En rktangulär plåt (, tjocklk h) md dnsittn ρ rotrar kring sin vänstra kant (-aln) md n konstant vinklhastight ω, s Figur. Plåtn modllras md tt plant bi-linjärt lmnt. Bstäm tröghtskraftns bidrag (från rotationn) till lmntlastvktorns komponntr tillhörand nod, intgraln skall bräknas numriskt mha Gauss-kvadratur. Tröghtskraftn modllras här som n volmskraft: K ρω. Välj så många intgrationspunktr som krävs för akt utvärdring av intgraln. dning: om m intgrationspunktr används, kan tt polnom av gradtal m intgrras akt. Figur. ω. En rktangulär skiva (, tjocklk h), blastad av sin gntngd, är via två punktr upphängd i tt lutand tak, dn högra punktn kan röra sig parallllt md takt, s Figur (a) ndan. Matrialt har dnsittn ρ och är isotropt, linjärt lastiskt (E, ν). Plan spänning rådr i skivan och ν. Figur (b) ndan visar n förnklad FEM-modll av skivan bstånd av tt nda -sidigt bilinjärt isoparamtriskt lmnt. Egntngdn kan modllras som n volmkraft ( K, K ) ρg( sinϕ, cosϕ), tngdacclrationn g kan anss känd. Elmntts stvhtsmatris och rsultrand förskjutningsvktor är givna i figur (c) ndan. (a) [ poäng] Visa att gntngdns bidrag till lastvktorkomponntrna i nod är: f b -- h ρgsinϕ rspktiv f. b --h ρgcosϕ (b) [ poäng] Bräkna raktionskraftrna i nod. (c) [ poäng] Bräkna förskjutningsvktorn u i punktn {, }. (a) tjocklk h Figur. ρ g ϕ (b) ϕ Elmntts Jacobimatris: J (c) K Eh ------ 8 6 6 6 6 d d d d d d d d d ρg ---- 6E cosϕ 8 7 sinϕ Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-.
FORMEBAD GOBA BESKRIVNING FÖR ENDIMENSIONEA EEMENT D k D D φ D K k a a a a altrnativt a l l m l m m a c sc sc s c s cosφ sinφ l cosφ ( ) m cosφ ( ) ( ) + ( ) Balklmnt: Utböjning: d d, EI d d ξ d N w( ξ) N d + N d + N d + N d Nd, B - d N ( ξ + ξ ) N ( ξ ξ + ξ ) N ( + ξ ξ ) N ( ξ + ξ + ξ ) ----- d N - dξ B T Bdξ N T ( α + βξ)dξ α + β ------ 6 6 Numrisk intgration (Gauss-kvadratur): I N i F( ξ) dξ F( ξ i )w i I F( ξ, η) dξdη F( ξ i, η j )w i w j i i j I F( ξ, η, ζ) dξdηdζ N i N j N k i j k N i F( ξ i, η j, ζ k )w i w j w k N j Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-.
Plana lmnt (D): -sidigt triangllmnt: d d d Förskjutningar: u (, ) v (, ) N N N d Nd d N N N d d d d A d d d N [( A )( ) + ( )( )] N [( A )( ) + ( )( )] N [( A )( ) + ( )( )] d d Töjningar: ε ε Bd N i B B B B B i N i γ N i N i -sidigt isoparamtriskt lmnt: d d d d d d d d i N i i i N ( ξ) ( η), N ( + ξ) ( η) N ( + ξ) ( + η), N ( ξ) ( + η) N i i η ξ Förskjutningar: u( ξ, η) v( ξ, η) N N N N d Nd N N N N Töjningar: ε ε ε Bd N i B B B B B B i N i γ N i N i N i N i J N i ξ J N i η ξ ξ η η Spänningar: σ σ σ σ Cε C E -- ( ν ) ν ν ( ν) (P.S) C ν E( ν) ----- ( + ν) ( ν) ν (P.D) ( ν) FEM Ekv. (tt lmnt): B T CBdV d N T tds + N T KdV V S V t spänningsvktor K volmskraft Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-.
. D ÖSNINGSFÖRSAG: FEM FÖR INGENJÖRSTIÄMPNINGAR, JUNI, D D 8 D7 D 9 D 6 D D D D Randvillkor: D D D D D D 6 D 7 D 9 F 8 P, F Q Elmntstvhtsmatrisr: K k a a i, a a a & : c sc c, sc s s cosφ sinφ k k k, a { φ } -- : k k, a { φ ( ) } -- : k --k, a { φ 9 } Assmblring: Ekv. (8) & (): K k k -- D 8 D D 8 P Q D Normalkraft i lmnt : N k δ k k, δ D 8 Alltså N D 8 Q P P Q k P Q ------. Frilägg balkn! M R R EI, jämviktskv. och obkanta (M R, R) > Statiskt bstämt, jämvikt gr att R P, M R P k θ R M R P, δ Komplmntär lastisk nrgi: M R P W -- + ------- P --- + ------ 6EI k θ 6EI EI k θ M R Förskjutning (nl. villkor): δ W P P --- + ------ ( + α) P --- k P EI EI k EI θ θ ------ α (a). (b).. Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-.
d N Förskjutningsansats: w ( ) Nd w Bd B - d Här är d lmntts förskjutningsvktor och N innhållr tillhörand formfunktionr. d N Virtull förskjutning, ansätt (Galrkin): δw( ) Nβ δw Bβ B - d Här är β n godtcklig vktor av samma dimnsion som d Insatt i virtulla arbtts princip gr sdan FEM-kv. för tt lmnt, nligt T β EI B T Bd T T d β ρaω N + ----- d k Då β är n vktor md godtckliga kofficintr fås FEM-kv. som: k d f f FEM, lmntindlning: d d, EI d d Förskjutningsrandvillkor: d d ξ Elmntstvhtsmatris: k EI B T Bd EI astvktor, bakta nbart utbrdd last: F utbrdd ρaω N T + ----- d ρaω N T + --ξ dξ Md förskjutningsrandvillkorn (d d ), fås dt rducrad kv.sst. ρaω - 8 7 6 Ekv. (, ): EI d d ρaω - 7 d ρaω - 6 6 EI d Ekv. () gr sdan raktionsmomntt (M R ) vid nligt EI ρaω - ( 6 + ) EI -----ρaω + M R M R --ρaω Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-. 6
.. Koordinat- ( + ξ) η J transformation: Bidrag från volmslast till lmntlastvktorn: f b N T f v J hdξ J dη För nod gällr: f N ρω ( + ξ) h d ξdη, f f f ρω ( + ξ) v ρω hi I F( ξ, η) d ξdη, F ( ξη, ) ( + ξ) ( η) Gauss-kvadratur ( pkt. i ξ-ld och pkt. i η-ld gr akt lösning): ξ-ld: ξ, w ξ ; ξ, w ξ η-ld: ( + ξ) ( η) N -- I F( ξ, η ) + F( ξ, η ) 6 f 6ρω h η, w η (a) (b) Egntngdns bidrag till lmntlastvktorn är: För nod gällr att: Ekvationssstm: K d f f p T d.v.s. J f b f f p + f b T R R R, f b f b f b f b f b f b f b f b f b f b N T f v dv N ρgsinϕ h J dξdη f b ρgcosϕ V ( ξ) ( η) -----, N - N dξdη f b f b ρgh ------- sinϕ V.S.V. cosϕ N T f v h J dξdη Raktionskraftrna i nod gs av Ekv. () och () (OBS! R ) nligt R R f b Eh ------ 6 8 d f b ρgh ( cosϕ sinϕ) (c) Förskjutningsvktorn i punktn --, { ξ, η } gs av u u ρg N ξ, η d ---- u E sinϕ cosϕ Tntamn i FEM för ingnjörstillämpningar (SE) dn juni kl. 8-. 7