Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv tlföljd e ositiv serie tige overger, eller diverger mot Serie overgerr om och edst om delsummor serier: s bildr e begräsd tlföljd Därmed hr vi följde sts om ositiv Sts Låt vr e ositiv serie dvs 0 Serie är overget om och edst om det fis ett ostt M sådt tt M för ll I vår urs betrtr vi ågr test som vi väder för tt bestämm om e ositivserie är overget Vrje såd test väds, med lite modifitio, äve å serier som hr både, ositiv och egtiv termer I såd fll betrtr vi tillhörde serie och väder följde sts: Sts ( är overget) ( är overget) Med dr ord: Om e serie är bsolut overget så är serie overget Amärig: Omvät åståede i stse gäller ite Eemelvis serie overgerr med ( ) divergerr (som vi visr ed) ( ) Sid v 5
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium Sts 3 ITEGALKITEIUM (eller Cuchys ITEGALKITEIUM) Atg tt f () är e ositiv, vtgde och otiuerlig futio å itervllet [, ), där är ett turligt tl Då är serie overget eller båd diverget Bevis: f ( ) och itegrle f ( ) d tige båd Eftersom f () är e ositiv och vtgde futio gäller det f ( ) f ( ) f ( ) itervllet [,+] och därmed följde usttig (oter tt ) : f ( ) f ( ) d f ( ) i Härv drr vi följde slutstser: Om serie overgerr så overgerr ocså itegrle, eftersom f ( ) d f ( ) Om serie divergerr ( dvs f ( ) f ( ) d f ( ) ) så divergerr ocså itegrle, eftersom Amärig Vi oftst väder itegrle d som overgerr om och edst om > Ugift Bestäm om följde serier overgerr eller divergerr: ) b) 4 c) d) Sid v 5
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium e) l f) l l(l 3 ) g) l h) l i) e j) e ) 3 l) 5 l m) ( ) Lösig: ) Låt f ( ) Då är f () e ositiv futio, ( uebrt) å itervllet [, ), e vtgde futio (ämre är e väde futio) å itervllet [, ) 3 e otiuerlig futio Eftersom d ocså serie divergerr { d liml liml l } så divergerr b) Låt f ( ) Då är f () e ositiv, vtgde och otiuerlig futio å 4 itervllet [, ) d som overgerr om och edst om > I vårt fll =4 > och därför itegrle 4 d overgerr Serie 4 overgerr eftersom 4 d overgerr c) Låt f ( ) Då är f () e ositiv och vtgde futio å itervllet [, ) overgerr för och divergerr för eftersom smm gäller för ( de äd) itegrle d Sid 3 v 5
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium d) Låt f ( ) Då är f () e ositiv och vtgde futio å itervllet [, ) d lim rct limrct rct 4 4 (tl) Alltså itegrle d overgerr och därmed gäller smm för serie e) Låt f ( ) Då är f () e ositiv och vtgde futio å itervllet [, ) l Först l d = [substitutio l v d dv ] = dv l v C l(l ) C v ) l Därför d liml(l ) liml(l ) l(l Slutlige l divergerr eftersom l d divergerr ( ) f) Låt f ( ) l l(l ) Då är f ( ) e otiuerlig, ositiv futio å itervllet [ 3, ) { lägg märe till tt l(l ) 0 om l dvs om e 7 } f () är vtgde futio å itervllet [ 3, ) eftersom ämre l l(l ) är väde i itervllet Vi berär d l l(l ) = [substitutio l(l ) v d dv ] l = dv l v C l(l(l )) C v l l(l ) Därför d liml(l(l )) 3 liml(l(l )) l l(l 3) 3 Slutlige divergerr serie eftersom 3 l l(l ) 3 3 d lim l(l(l )) l l(l ) divergerr ( ) Sid 4 v 5
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium 3 ) 3 serie overgerr 5 l) 5 l l m) Vi väder sts : serie divergerr ( mot ) ( är overget) ( är overget) ( ) I vårt fll är =, dvs overgerr Därmed overgerr ocså serie = ( ) Svr: ) divergerr, b) overgerr, c) overgerr för och divergerr för d) overgerr e) divergerr f) divergerr g) overgerr ( tis: ( ), itegrl-substitutio l v ) l f h) overgerr om och edst om > ( tis: f ( ), itegrl-substitutio l v ) l i) overgerr j) overgerr ) overgerr l) divergerr m) overgerr Sid 5 v 5