Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER I föregåede lektio (stecil om Fourierserier) hr vi vist hur m utvecklr e periodisk fuktio i e trigoometrisk serie K vi utveckl e fuktio som är defiierd edst på itervllet [, L] (och därmed vrke periodisk eller udd eller jäm) i e trigoometrisk serie? Svret är J (om fuktioe uppfyller villkore i kovergesstse) Vi k äve välj tt utveckl i siusserie, cosiusserie eller i e Fourierserie som i llmät iehåller både sius-och cosiusfuktioer Låt f ( vr e fuktio som är defiierd på itervllet (, L) som är styckvis kotiuerlig och hr styckvis kotiuerlig derivt Noter tt f ( är därmed vrke udd eller jäm eftersom de ite är defiierd på ett itervl som är symmetriskt krig origo dvs ett itervll v type (, ) Vi hr sätt i föregåede lektio om Fourierserier tt jäm periodisk fuktioer represeters v cosiusserier udd periodisk fuktioer represeters v siusserier 3 e periodisk fuktio som är vrke udd eller jäm hr både sius- och cosius fuktioer i si Fourierserie Därför, för tt utveckl f (, som är defiierd på itervllet (, L ) i e cosius- eller siusserie betrktr vi f ( som e del v e periodisk jäm eller udd fuktio f ( x ) med periode L COSINUSSERIE: För tt utveckl f (, som är defiierd på itervllet (, L) i e cosiusserie utökr vi defiitioe till ( L,) så tt de y fuktioe f ( ) blir jäm dvs uppfyller f ( x f f ( ) Därmed blir ( x x ) f ( ) där L x f (, x (, L) f (, f (, x ( L,) Därefter bestämmer vi Fourierkoefficieter geom f ( cos( dx, b (F) där L (och L ), ( ) L v 7
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier illhörde cosiusserie är s ( cos( Serie kovergerr mot f( x ) i ll x där f ( x ) är kotiuerlig Eftersom f ( x ) f ( på (,L) kovergerr cosiusserie mot f ( i pukter x (, L) där f ( är kotiuerlig Hur gör vi i prktike vid utvecklig v f ( i cosiusserie? Helt ekelt, bestämmer vi med formel (F) och bildrserie ----------------------------------------------------------------------------------- SINUSSERIE: På likde sätt k vi utveckl (smm fuktio) f (, som är defiierd på (, L) i e siusserie Vi bestämmer Fourierkoefficieter b f ( si x dx,, (F) där L (och L ), ( ) L illhörde siusserie är s( b si( 3 FOURIERSERIE MED PERIODEN L Vi k äve utveckl f (, som är defiierd på itervllet (, L) i e Fourierserie med periode L Vi betrktr f ( som e del v de periodisk fuktioe g( som hr grud period L och uppfyller g( f ( för x (, L) Vi bestämmer Fourierkoefficieter med hjälp v följde formler f ( cosx dx, b f ( si x dx (F3) där L, och illhörde Fourierserie är s( [ cos( b si( ] v 7
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier Förklrig för gräser i ovståede itegrler: Vi k väd formler g( cosx dx, b g( si x dx (*) me då måste vi bestämm uttrycket för periodisk fuktioe g( i itervllet [ /,] Det är eklre tt itegrerr över itervllet [, ] där g( f ( och där f ( är give Amärkig: När vi bestämmer och b vid Fourierutvecklig väder vi oftst former (*) dvs itegrerr över itervllet [ /,/] Me, eligt egeskper för periodisk fuktioer med periode, k vi beräk itegrl över vilket som helst itervll [,+] v lägde exempelvis över [,], som vi gör i ovståede formel ( F3) ------------------------------------------------------------------------------------------- ÖVNINGAR: Uppgift Vi betrktr fuktioe f ( x, x (,) Utveckl f ( i e ) cosiusserie b) siusserie c) Fourierserie med periode L och rit grfe till serie i ll tre fll Lösig: Noter tt f ( är vrke udd eller jäm f ( x, x(,) eftersom de är defiierd edst på (,) ) Cosiusserie : Vi betrktr tt f ( är e del v e jäm periodisk fuktio som hr period L, och som hr smm värde på itervllet (,) som f ( Vi väder formler f ( cos( dx, b (F) 3 v 7
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier där L (och L ) ), Alltså hr vi f ( cos( dx x cos( x )dx (prt it eller BEA) si [ x i( cos( ] cos( ) ( ) f ( dx x dx Därmedd ges cosiusserie v s ( x ) c cos( ( ) cos( Cosiusserie är e jäm periodiskfuktio som är på itervllet (,) lik med f ( x (Noter tt f ( är kotiuerlig på (,))) Grfe till s ( är symmetrisk i y-xel: b) Siusserie Nu betrktr vi tt f ( är e del v e udd periodisk fuktio som hr period L, och som hr smm värde på itervllet (,) som f ( Vi väder formler b f ( si x dx,, (F) där L (och Alltså L ) ), ( ) L v 7
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier b f ( si( dx xsi( dt (prt it eller BEA) x cos( si( [ ] cos( ) ( ) ( ) ( ) illhörde siusserie är sb( b si( si( Siusserie är e udd periodiskfuktio som är på itervllet (,) lik med f ( x ( ) Grfe till siusserie är sb( si( är e periodisk fuktio som är symmetrisk i origo: c) Fourierserie med periode L I det här fllet betrktr vi tt f ( är e del v e periodisk fuktio som hr period L och som hr smm värde på itervllet (,) som f ( Vi väder formler f ( cosx dx, b f ( si x dx där L, och (F3) ill skilld frå fll och b är L i det här fllet!!! (Koll ovståede förklrig om gräser dvs vrför vi väder / istället / ) Vi hr f ( cosx dx x dx för,,3 hr vi 5 v 7
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier f ( cos x dx x cos( x )dx (prt it ellerr BEA) si [ x i( cos( cos( ) ] b f ( si x dx x si( dx (prt it eller e BEA) ) x cos( si( [ ] cos( ) illhörde Fourierserie är ( s c [ cos( b si( x )] [ si( ] Grfe till serie s c ( : Noter tt värdet i e diskotiuitets pukt c är s c (c) s c ( c) s c ( c) Amärkig: Vi hr fått tre olik utveckligr till fuktioe smmfller på itervllet (,L)(,) f ( me ll tre Uppgift Utveckl f ( cos(, x (, ) i e siusserie Lösig: Noter (e gåg till) ) tt fuktioe f ( cos(, x (, ) vrke är udd eller jäm eftersom de är defiierd edst påå itervllett x (, ) (I defiitioe v e jäm j eller e udd fuktio kräver vi tt fuktioe är defiierd på ett itervlll som är symmetrisk krig origo dvs som är v type (-,) eller [,]) Nu betrktr vi tt f ( är e del v e udd periodisk fuktio som hr period 6 v 7
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier L, och som hr smm värde på itervllet (, /) som f ( Vi väder formler b f ( si x dx,, (F) där L (och L /), ( ) Alltså b f ( si( dx cos( si( dx (m k väd BEA me vi beräkr itegrle med hjälp v trig formel si( )cos( b) [si( b) si( b)] ) cos(( ) cos(( ) / [si(( ) si(( ) ] dx [ ] ( ) ( ) 3 5 (Noter tt cos( ), cos( ), cos( ), dvs cos(( ) ) cos(( ) ) ) cos(( ) ) cos(( ) ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 (Noter tt cos( ), cos( ), cos( ), dvs cos(( ) ) cos(( ) ) ) 8 [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x cos( si( [ ] cos( ) ( ) ( ) 8 illhörde siusserie är s( b si( si( ( ) 8 Svr: s( si( ( ) 7 v 7