Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e slute formel? b) Beräka a 4. a) Formel a 8 + 6 är e slute formel. b) a 4 8 4 + 6 38 3.0 10. Age det femte elemetet i talföljde som beskrivs av a) a + 3 b) b 3 1 a) a 5 7,5 b) b 5 48 3.03 103. Skriv summora uta att aväda summatecket. a) 5 4k b) k1 4 (3 k + 1) k0 a) 4 + 8 + 1 + 16 + 0 b) + 4 + 10 + 8 + 8 3.04 104. Skriv summora med hjälp av summatecket och tillhörade formel. a) + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 + 14 b) + 5 + 8 + 11 + 14 c) 7 + 14 + 1 + + 133 1
a) 7 k1 k b) 5 k1 3.05 105. Figurera är byggda av tädstickor. 3k 1 c) 19 k1 7k a) Hur måga stickor behövs för att bygga de 10:e figure? b) Beskriv atalet stickor i varje figur med e rekursiv respektive slute formel. a) 31 st b) Rekursiv formel: a 1 4; a a 1 + 3 för > 1. Slute formel: a 3 + 1. 3.06 106. Beskriv följade talföljder med e slute formel. a) 1, 4, 9, 16, 5 b) 1, 1, 1 3, 1 4, a) a för 1 5 b) a 1 3.07 107. Vilket elemet har värdet 98 i talföljde som beskrivs av a) a + 4 b) b 7 1 a) elemet r 19 b) elemet r 3 3.08 108. Tecka summa med hjälp av summatecket och tillhörade sluta formler. a) + 4 + 8 + 16 + 3 + 64 b) 3 + 6 + 1 + 4 + 48 + 96 + 19 a) 6 k1 k b) 6 k0 3 k
3.09 109. Hur måga stickor fis det i de a) 4:a figure b) :te figure a) 0 st b) + st Aritmetiska talföljder och summor 3.10 111. Age e aritmetisk talföljd med 8 elemet, vars första elemet är 7 och differese är d 4. 7, 11, 15, 19, 3, 7, 31, 35 3.11 11. I e aritmetisk talföljd är a 1 3 och d 1,. Bestäm a 10. a 10 a 1 + (10 1) d 3 + (10 1) 1, 13,8 3.1 113. Summa 4 + 7 + 10 + + 70 iehåller 3 termer. a) Varför är det e aritmetisk summa? b) Beräka summa. a) Differese mella varje term är kostat (d 3). b) s 3 3 (a 1 + a 3 ) 3 (4 + 70) 851 3.13 114. E aritmetisk talföljd har a 1 10 och d 3. a) Bestäm a 1. b) Bestäm summa av de 1 första elemete. a) a 1 a 1 + (1 1) d 10 + 0 ( 3) 4 b) s 1 1 (a 1 + a 1 ) 1 (10 + 4) 151 3
3.14 115. De sluta formel a 3 1, där Z +, beskriver e talföljd. a) Bestäm de 4 första elemete i talföljde. b) Är talföljde aritmetisk? c) Beskriv talföljde med e rekursiv formel. a), 5, 8, 11 b) Ja; differese mella varje term är kostat (d 3). c) a 1 ; a a 1 + 3 för > 1 3.15 116. Hur måga elemet fis i de aritmetiska talföljde 7, 10, 13, 16,, 98? 98 st. Eligt formel för det :te elemetet har vi a a 1 + ( 1) d och här mera specifikt att 98 7 + ( 1) 3 3 + 4. Geom att lösa för får vi 98. 3.16 117. Beräka de aritmetiska summa 5 + 9 + 13 + + 61. 495. De agiva summa har 15 elemet: Vi vet att a a 1 + ( 1) d och här mera specifikt att 61 5 + ( 1) 4 4 + 1; geom att lösa för får vi 15. Eligt formel för aritmetiska summor gäller s 15 15 (5 + 61) 495 3.17 118. I e aritmetisk talföljd är a 5 41 och a 9 69. Bestäm talföljdes första elemet, a 1. Eftersom differese mella varje term är kostat gäller a 9 a 5 4d och därmed d 7. Eligt formel för det :te elemetet har vi a 5 a 1 + (5 1) d och här mera specifikt 41 a 1 + (5 1) 7. Geom att lösa för a 1 får vi a 1 13. 3.18 119. Beräka summa av de 5 första termera i de aritmetiska talföljd som beskrivs av formel a) a + 6 b) b 1 4; b 11 + b 1 för > 1 4
a) s 5 5 (a 1 + a 5 ) b) s 5 5 (b 1 + b 5 ) 5 (8 + 15) 5 (4 + 68) 000 3400 3.19 10. Figurera visar ett möster som bildas av prickar. a) Hur måga prickar behöver ma för att bilda figur 4 respektive figur 5? b) Age e slute formel som beskriver atalet prickar i figur. c) Hur måga prickar iehåller figur 1 till och med 100 sammalagt? a) 15 st respektive 19 st b) a 3 + ( 1) 4 c) s 100 100 (a 1 + a 100 ) 100 (3 + 399) 0100 3.0 11. E aritmetisk talföljd iehåller elemete 9, 7, 5, 3,. a) Beskriv talföljde med e slute formel. b) Bestäm e föreklad formel för summa av de första termera i talföljde. a) a 9 + ( 1) ( ) 11 b) s (a 1 + a ) (9 + (11 )) 0 10 Geometriska talföljder och summor 3.1 13. a) Bestäm a 1 och k i de geometriska talföljde, 6, 18, 54, b) Beskriv talföljde med e formel. 5
a) a 1 ; k 3 b) a 3 1 3. 14. E geometrisk talföljd beskrivs av formel a 0,7 ( 5) 1 för 1,, 5 a) Hur måga elemet iehåller talföljde? b) Bestäm det första och det sista elemetet. a) 5 st b) a 1 0,7; a 5 0,7 ( 5) 5 1 437,5 3.3 15. Uttrycket 5 + 5 1,8 + 5 1,8 + + 5 1,8 14 är e geometrisk summa. a) Hur måga termer fis i summa? b) Beräka summas värde. a) 15 st b) s 15 a 1(k 1) k 1 5 (1,815 1) 1,8 1 438467 3.4 16. Beräka de geometriska summa 000 + 000 1,05 + 000 1,05 + + 000 1,05 7 s 8 000 (1,058 1) 1,05 1 1747 6
3.5 17. Beräka värdet av de geometriska summora a) 1 m1 1,0 m b) 0 m1 0,9 m a) 1 m1 1,0 m 1 m1 1,0 1,0 m 1 1 (1,01 1) 1,0 1 47,5 b) 0 m1 0,9 m 0 m1 0,9 0,9 m 1 0,9 (0,90 1) 0,9 1 7,9 3.6 18. Lidas hud Karo ska äta e peicillikur. Ha ska ha e tablett på 0 mg varje morgo och kväll i 7 dagar. Ma uppskattar att ugefär 35% av peiciliet bryts er mella varje tablett. a) Hur skulle de geometriska summa se ut som visar mägde peicilli i Karos kropp direkt efter det sista itaget? b) Hur stor mägd peicilli fis i så fall i Karos kropp efter itag av de sista tablette? a) 14 0 0,65 i 1 b) 0 (0,6514 1) 0,65 1 57 3.7 19. Josefi sätter i 5 000 kr på bake i börja av varje år i 10 år. Räta är 1,75%. Hur mycket har ho på bake direkt efter de 10:e isättige? 10 5000 1,0175 i 1 5000 (1,017510 1) 1,0175 1 5417 3.8 130. Tale x 4, x och x + 1 är tre på varadra följade elemet i e geometrisk talföljd. Bestäm vilka tal det är. I e geometrisk talföljd är kvote mella två på varadra följade elemet kostat. Vi måste alltså ha x/(x 4) (x + 1)/x. Geom att lösa för x får vi x 6, så tale är, 6 och 18. 3.9 131. (utelämad; ivå B) 7
3.30 13. (utelämad; ivå B) Iduktiosbevis 3.31 136. Likhete 3 + 5 + 7 + + ( + 1) + gäller för alla värde av 1. a) Visa att likhete gäller för 1. b) Visa att 3 + 5 + 7 + + (p + 1) + ((p + 1) + 1) (p + 1) + (p + 1) om ma atar att 3 + 5 + 7 + + (p + 1) p + p. c) Förklara vad du har bevisat i a) och b). a) Likhete gäller för 1 eftersom 3 + 1. b) Vi räkar ut västerledet och högerledet separat och kostaterar att de är lika: VL 3 + 5 + 7 + + (p + 1) + ((p + 1) + 1) p + p + ((p + 1) + 1) (eligt atagadet) p + p + p + + 1 HL p + 4p + 3 (p + 1) + (p + 1) p + + p + p + 1 p + 4p + 3 c) Delara a) och b) är basfallet och iduktiossteget i ett bevis med hjälp av iduktio av att påståedet gäller för alla 1. 3.3 139. Betrakta de aritmetiska talföljde 1, 3, 5, av de första positiva udda tale. a) Hur ka talet a skrivas med hjälp av? b) Kostruera e formel för att beräka de aritmetiska summa s. c) Visar med hjälp av iduktio att di formel gäller för alla värde på. a) a 1 + ( 1) 1 b) s (a 1 + a ) (1 + 1) c) (utelämad; görs på lektioe) 8
3.33 140. (utelämad; görs på lektioe) 3.34 141. (utelämad; görs på lektioe) 3.35 14. (utelämad; görs på lektioe) 3.36 143. (utelämad; görs på lektioe) 3.37 144. (utelämad; görs på lektioe) Ytterligare uppgifter om iduktiosbevis 3.38 Visa att summa av de första jäma tale ( 1) är lika med + : i + Iduktio över. Vi visar först att ekvatioe gäller då 1 (basfall). Vi tar alltså ekvatioe, substituerar värdet 1 för variabel och verifierar att vi då får samma värde på båda sidora: VL: 1 i 1 1 HL: 1 + 1 1 + 1 Nu atar vi att påståedet gäller för ett godtyckligt värde k 1 och visar att det då också gäller för värdet k + 1 (iduktiossteg). Vårt iduktiosatagade får vi alltså geom att ta ekvatioe och substituera värdet k för. Det påståede som vi måste bevisa får vi på likade sätt geom att substituera k + 1 för. Explicit: Iduktiosatagade (IA): k i k + k Att visa: k+1 i (k + 1) + (k + 1) Hittills har vi bara substituerat variabler, ite räkat ågotig. Nu verifierar vi att båda sidor av de ekvatio som vi måste bevisa ger samma värde. I detta bevis får vi aväda vårt iduktiosatagade (IA). k+1 i ( i) + (k + 1) IA (k + k) + (k + 1) (k + k) + (k + ) k + 3k + k (k + 1) + (k + 1) (k + k + 1 ) + (k + 1) k + 3k + 9
3.39 Visa att det totala atalet riskor som skulle behövas för att uppfylla schackspelsuppfiares öska på ett bräde med stycke rutor är 1. Börja med att ställa upp e summaformel. (Kom ihåg att vi räkade ut att atalet riskor som skulle behöva läggas på de ite ruta är i 1.) Summaformel som vi kommer att bevisa är i 1 1 ( ) Bevis med iduktio över. Vi visar först att påståedet gäller då 1: 1 i 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Nu atar vi att ekvatio ( ) gäller för k 1 och visar att de också gäller för k + 1. Geom att substituera k + 1 för och aväda iduktiosatagadet (IA) får vi k+1 i 1 ( i 1 ) + k+1 1 IA k 1 + k k+1 1 k vilket är vad vi ville bevisa. (Här behövde vi alltså ite räka ut bägge sidor separat som i föregåede uppgift uta kom frå de västra till de högra sida i ett svep.) 3.40 Visa att summa av de första Fiboacci-tales kvadrater ( 1) är lika med F F +1 : F i F F +1 Bevis med iduktio över. Basfall 1: 1 F i F 1 1 1 F 1 F 1+1 F 1 F 1 1 1 Vi atar att ekvatioe gäller för k 1 och visar att de äve gäller för k + 1. k+1 F k i ( Fi ) + Fk+1 IA Fk F k+1 + Fk+1 (F k + F k+1 ) F k+1 F k+1 F k+1 Här aväde vi Fiboacci-tales defiitio (F F 1 F ) i sista steget. 10
3.41 Nivå B. Visa att följade gäller för ästa alla aturliga tal :! > Vad betyder ästa alla i det här sammahaget? Påståedet gäller edast för 4 då 3! 6 3 8. Basfall 4: 4! 4 3 1 4 > 4 16 Nu atar vi att olikhete gäller för k 4 och visar att de äve gäller för k + 1. (k + 1)! k! (k + 1) IA > k (k + 1) > k k+1 Fler iduktiosbevis 3.4 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: (k 1) 3.43 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 0: k1 (4k + 3) ( + 1)( + 3) 3.44 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 0: k0 (5k + 1) k0 ( + 1)(5 + ) 3.45 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: 1 i0 k i k 1 k 1 (k R) 3.46 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: (k) k1 ( + 1)( + 1) 3 11
3.47 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: (k 1) k1 ( + 1)( 1) 3 3.48 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: k(k + ) k1 ( + 1)( + 7) 6 3.49 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: k1 k 3 ( + 1) 4 1