Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM och KOMPLEXA TAL I POTENSFORM, där, R (rktangulär form r(cos sn (polär form n n r (cosn sn n D Movrs forml r (potnsform llr ponntalform Från Eulrs forml har v cos( sn( cos( Från (* och (** får v följand formlr cos, sn cos sn Eulrs forml (* sn( (** Prodska gnskapr: ( k Bräknng av ab a a b : b a (cosb sn b ---------------------------------------------------------------------------------------- Samband mllan olka formr: rktangulär form polär form potnsform = r(cos sn = r där r, cos, r sn. r ==================================================== Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Dt kompla talplant Kompla tal kan v framställaa som punktr dt kompla talplant som nnhållr n rll och n magnär al. O Ett komplt tal kan v ang på flra sätt. Om v angr tt komplt tal somm, där och är rlla tal, sägr v attt talt är gvn rktangulär form. Emplvs = +8. I många problm, som nkludrar kompla tal, förnklar v lösnngsmtodn och bräknng gnom att skrva kompla tall polär form llr potnsform. POLÄR FORM OCH POTENSFORM Låt (, vara n punkt -plant. Punktns poston kan v ang a md s.k. polära koordnatr r och. Radn r är lka md avståndt från orgoo tll punktn som rprsntrar. är n (rotatons- vnkl mllan postva dln av -aln ochh sträckan O. Från ovanstånd grafn har v följand samband: r cos och r sn. Därmd kan v skrva dt kompla talt som rcos rsn r(cos sn Om v skrvr r(cos sn då sägr v att v har skrvt dt d kompla polär form. Enlgt Eulrs forml gällr cos sn r(cos sn r., och därmd Om v skrvr r då sägr v att v har skrvt dt komplaa talt potnsform. Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Sammanfattnng: rktangulär form, polär form potnsform r(cos sn r Anmärknng: I några böckr kallas polär form för trgonomtrsk form. Bstämnng av radn r och vnkln för kompla tal polär form och potnsform: För att skrva tt komplt tal på polär form r(cos sn llr på potnsform r måst v först bstämma r och. Från ovanstånd grafn har v ( md Ptagoras sats r Från rätvnklga trangln fgurn har v (om r 0 a cos r llr a r cos (* b sn b rsn r En vnkl som uppfllr (* kallas för argumnt av och btcknas arg(. Argumnt av är nt ntdgt bstämd. Om är tt argumnt av talt då är också k, talts argumnt för varj k 0,,.... Bland oändlgt många argumnt k kallar v dt argumnt som lggr ntrvallt (, ] för prncpalargumnt. Talt 0 tlldlas ngt argumnt. Låt. Ett värd av arg ( kan bstämmas nlgt följand: arctan arg( arctan då 0 då 0 Om =0 lggr 0 på -aln och arg ( kan bstämmas drkt från grafn (gnom att prcka n dt kompla talplant llr nlgt följand: Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform arg j dfnrad om om om 0, 0, 0, 0 0 0 Anmärknng: Man kan modfra ovanstånd formlr så att man drkt få dt prncpalargumntt. (I vår kurs räckr dt att välja tt argumnt, som nt bhövr vara prncpalargumntt. Empl. Skrv talt på a polär form b potnsform Lösnng: Radn: r a b. arg( {ftrsom 0 } = arctan 5 arctan arctan a Polär form: 5 5 (cos sn Notra( n gång tll att v kan välja som argumnt vlkn som hls vnkl bland 5 k 5 5 5 5 där k är tt hltal. Eftrsom cos cos( k och sn sn( k får v samma, oavstt vlkt argumnt v väljr, dvs. 5 5 5 5 (cos sn [cos( k sn( k ] b Potnsform: 5. --------------------------------------------------------------- För att använda ovanstånd formlr för argumntt bräknar v, allmänt numrskt, arctangns md hjälp av mnräknar llr tt matmatskt dataprogram. I några fall kan v akt bräkna arctangns. Här är värdna av tan(v om för ofta förkommand vnklar 0, v 0 tan(v 0,, och (= Härav får v följand tabll för bräknng av arctan: Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform c 0 arctan(c 0 (=, Notra att arctan(-c=-arctan(c. T arctan( arctan. RÄKNEOPERATIONER md kompla tal polär form. Låt r (cos sn och r (cos sn. Följand gällr : Multplkaton: r r (cos( sn( (bvsas md addtonsformlrna r Dvson (cos( sn(. r Potnsr polärform bräknas på nklt sätt md D Movrs forml: Låt r(cos sn, då gällr n n r (cosn sn n Konjugat: r(cos sn r[cos( sn( ] V bvsar multplkatonsformln: Låt r (cos sn och r (cos sn. V har r r (cos sn (cos sn r r [(cos cos sn sn (sn cos cos sn ] (nlgt addtonsformlrna r r (cos( sn(. Anmärknng: Om och därmd r r r samt ovanstånd forml får v r (cos sn dvs D Movrs forml för n=. (md hjälp av matmatska nduktonn vsar v nklt att formln gällr för alla n. =============================================== Empl. Låt (cos sn. Bräkna Sda 5 av. Lösnng: (cos sn (cos sn
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform (cos( sn( (prodska gnskapr (cos( sn( ( Från ovanstånd räknlagar följr följand räknlagar för arg (. Notra att talts argumnt nt är ntdgt bstämt. Räknlagar för arg( Om och w är två kompla tal då gällr: arg( w arg( arg( w ( k arg( arg( arg( arg( w w n n arg( arg( arg( ( k ( k ( k RÄKNEOPERATIONER md kompla tal potnsform. Låt r och r. Multplkaton, dvson och bräknng av potnsr gör v nlgt vanlga potnslagar: Multplkaton: ( r r r ( Dvson r Potnsr potnsform: Låt r, då gällr n n r n n r Prodska gnskapr: ( k Konjugat: Om r så är r Empl. Bräkna. Svara på rktangulär form (dvs a+b form Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Lösnng: Först angr v basn på potnsform: r. Vnkln arctan 80 (notra +80 ftrsom <0 arctan 80 0 rad Nu bräknar v 0 n n n r = V skrvr rsultatt på polärform och därftr på rktangulär form (gnom att bräkna snus och cosnus 0 0 = cos sn cos( sn( (prodska gnskapr: cos( k v cos( v och sn( k v sn( v = cos( sn( Svar: =. ========================================== Gomtrsk tolknng av opratonr md kompla tal. Addton. Låt och vara två kompla tal. Då är ( (. Om v tolkar kompla tal som rktad sträckor (=vktorr då får v summan nlgt rgln för vktoraddton. ( ( Gomtrsk tolknng av multplkaton, dvson och potns. Sda 7 av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform ( Låt r och r. Då gällr r r. Alltså gällr r r och arg( arg( arg( som v användr för att rta dt kompla talplant. rr ( r r r ( För dvsonn gällr dvs r arg( arg( arg( Om r då är n n n r dvs r r och n n r och arg( n narg( Empl. Låt och vara kompla tal ndanstånd fgur. Anta vdar att. Rta följand kompla tal dt kompla talplant a b c d ( d Lösnng a Btckna w. V bstämmr polära koordnatr tll w dvs w och arg(w och därftr rtar dt kompla talplant. V har w och, från grafn, arg( w arg( arg(. Alltså är w lka md och arg(w. Sda 8 av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Därmd har v följand graf: O Svar: b Notra att och att arg( O På lknand sätt lösr man c, d och. ÖVNINGSUPPGIFTER För att skrva tt komplt tal på polär llr potnsform bstämmr v först radn r och tt argumnt arg(. För radn har v r. Notra att man kan snabbt bräkna nkla fall (om n koordnat är noll: Om a då är r a. Om b då är r b b När dt gällr bstämnng av tt argumnt kan v prcka n dt kompla talplant. V får n av följand fall: A (Drkt bstämnng av tt från grafn. Sda 9 av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform A. Om talt lggr på n av koordnatalarna då har dvs. om llr är 0 då är nklast sätt att rta talt dt kompla talplant och drkt bstämma vnkln. Emplvs, om = 5 så är (prcka n -plant talt =5, om = så är, om = 8 så är 0, om = 7 så är. A. Om dvs då är tan. Därmd är tt argumnt av talt n av fäljand fra vnklar,, som v bstämmr drkt från grafn. (Anmärknng. Fallt B kan v självklart lösa md arcustangns, mn dt är snabbar att bstämma vnkln drkt från grafn. Emplvs, om = 5+5 så är (prcka n -plant talt =5+5, om = + så är, om = 8-8 så är, om = 0 0 så är. B Om 0 och 0 kan v använda funktonn arcustangns. B Om 0 då är arctan. B Om 0 då är arctan llr, om man räknar gradr, arctan 80 (Notra att v kan välja vlkt som hlst vnkl bland k där k är tt hltal. Emplvs, om = 5 5 så är (ftrsom > 0 arctan 5 arctan 5 arctan, Sda 0 av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform om = 0 0 så är (ftrsom < 0 0 arctan arctan arctan 0 7, Uppgft. Skrv följand tal polär och potnsform. 5 a b c 5 d. Tps. Notra att d gvna kompla taln lggr på alarna. Lösnng: 5 5 a r, 0 (s fgurn. 0 Därmd (cos0 sn 0. b r (s fgurn. Därmd (cos sn. c r 5 5 (s fgurn. Därmd 5(cos sn 5. 5 5 d r (s fgurn. (Altrnatv: V kan självklart välja llr n annan vnkl k Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Därmd 5 5 (cos sn. Uppgft. Skrv följand tal polär och potnsform. 5 5 a b c 5 5 d. Tps. Notra att dvs så att v kan bstämma argumntt drkt från grafn. Lösnng a r Argumntt som v kan drkt bstämma om v prcka n talt =+ -plant. Altrnatv: V kan använda formln (för >0 : arctan arctan arctan Svar: a b c d (cos sn (cos sn 5 (cos sn (cos sn 5 5 Uppgft. Skrv följand tal polär och potnsform. a b c Tps. Använd formln arctan om 0 och arctan om 0. Lösnng: a Radn: r ( Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Ett argumnt: Eftrsom > 0 kan v välja arctan (Anmärknng: V kan välja vlkn som hlst vnkl bland Därför (cos sn arctan. k, där k är tt hltal. b Radn: r ( ( 8 Ett argumnt: Eftrsom < 0 kan v välja 7 arctan arctan arctan. ( Anmärknng: V kan välja vlkn som hlst vnkl bland 7 k, k tt hltal t.. för 5 k= får v dt prncpala argumntt. 7 7 7 8(cos sn 8 c Radn: r ( Ett argumnt: Eftrsom < 0 kan v välja arctan arctan arctan Svar: a (cos sn = 7 7 7 b 8(cos sn 8 c 5 5 5 (cos sn Uppgft. Skrv talt på rktangulär form om 5 a b 5. Lösnng: 5 5 5 a (cos sn = b (cos sn ( Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Svar: a b 8 Uppgft 5. Bräkna (. Tps: Skrv basn (dvs potnsform. Lösnng: Först skrvr v basn ( potnsform. Radn är r Ett argumnt: Eftrsom > 0 har v arctan Därför är basn. Nu bräknar v nklt (md hjälp av potnslagar 8 8 8 8 arctan. ( ( skrv polär form [cos( sn( ] (Notra att 0 och använd prodska gnskapr för trg. funktonrna [cos( sn( ] (0. Svar: Uppgft. ( ( Bräkna w 9 på (a+b form och skrv rsultatt på potnsform och på rktangulärform (dvs. Lösnng: Först förnklar v varj faktor täljarn och nämnarn. ( 0 (Altrnatvt cos( sn( 0 Först skrvr v basn ( på potnsform. Radn är r Gnom att rta n fgur får v arg(. Alltså är. Sda av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform Därför 9 ( 8. 8 8 0 8. Nu bräknar v hla uttrckt: w ( ( 9 Svar: Uppgft 7. Skssra (rta dt kompla talplant områdt som bstår avv alla som satsfrar båd och arg(. Svar: Uppgft 8. Rta dt kompla tal plant d punktr som satsfrar båd och arg(. Svar: Uppgft 9. Bstäm och arg ( (som n rll funkton av paramtr s då d Sda 5 av
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform a 5 ( s, b där s år tt rllt tal. 5 5 c ( s s Lösnng: 5 5 5 5 a ( s ( s ( s s s arg( arg(5 arg( ( s [ftrsom R( ( s 0] s s (0 arctan( arctan(. 5 5 5 5 b ( s ( s s s 7 s arg( arg(5 5 arg( ( s arctan(. 9 s c arg( arg( s arg( [ftrsom R( s 0] s s s [ arctan( ] arctan( arctan( arctan(. Svar: a b c 5 s, arg( = arctan( s s 5 s, arg( arctan(. s s 7 9 s s, arg( arctan(. Sda av