7.2 Vägg med isolering (1D)

Transkript

1 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s 7. Vägg md sorng (D) En vägg bfnnr sg födsjämvkt (stady stat) n vntrdag. Väggn bstår av cm yttrmatra och cm sorng. Gvt: k. W cm, k.6 W cm h. W cm på ytan som kys av dn kaa uftn Sökt: mpraturprof gnom väggn och värmförustn pr ara när systmt är stady stat. ösnng: Strukturn modras md två mnt: FEM-kvatonn för värmtransport br F. I dt här fat (D) gär: h A B B N N () r k A dx hs P dx h r A r r v r k r värmdnng konvkton ängs mnt konvkton nod konvkton nod, tas md för rspktv randnod om värmt förs bort va konvkton (uftföd) stät för kondukton (dnng). Notra att dt myckt vä kan vara, och oftast faktskt är, oka h vd oka rändr ftrsom h bror på tmpratur, fudns vskostt, gomtr, tc. h A Q F N N () r qadx hsp dx r r h r A Q värmgnraton Fb konvktonsvärm Fs Fr Fr sätts md sunt förnuft. Sätt hr A om värmt transportras övr randn va konvkton, Q om va kondukton, dt är antngn r, nt båda. Notra tcknn för randvkort för värmdnng! urosa: Värmtransportn va strånng har försummats, vkt är ht ok. Om dt ysr dt rött r om dt är varmar ska strånngsbdragt dfntvt tas md! x kys gödtrådn gödampor nästan utsutand gnom strånng. urosa: För många fudr är värmtransportn va värmdnng försumbar jämförs md konvktonsbdragt. Dt kan bro på att fudn är så ättfytand att mkansk bandnng transportrar värmn myckt snabbar än värmdnng. Om Fr

2 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s fudn därmot är trögfytand, har svårt att strömma frtt (uftn n dunjacka), r har n förhåandvs hög värmdnngsförmåga (mtasmätor), är dnng vktg för värmtransportn. Matmatskt stt är dt nt markant sknad. Man mätr bara värmövrgångstat, h, och dunkar n dt bräknngarna som vangt. Randvkor: Q ha F r C Q Q R Nod hås på konstant tmpratur, vkt tokas som att man dr n prcs så myckt värm som nodn kys, dvs tt raktonsföd. Jämför åst Q QR Emnt : N N N N B B B B B B B B D åst F R. v k A dx ka dx Formbad A är aran av dn bt av väggn v modrar. x N x dn dx dn B dx ka V modrar n d av n stor vägg, så sdd (y- r z-d), fnns bara mr vägg. Dt fnns atså ngn konvktv kynng åt sdan. k Nod står kontakt md dn kaa vntruftn konvkton på rand. Ingn konvkton på nod. ha r, r k h ka ha () A k v k r r k k Väggn är (förhoppnngsvs) nt radoaktv, och pastcras nt, så ngn värm gnrras matrat. q N qadx () dgar konstatrad v att v nt v nt har konvktv kynng y- r z-d. N dssa två hör atd hop () k hsp dx Notra att h s, nt är dtsamma som dn gvna h! Varj yta har tt gt h, som kan bro på många paramtrar.

3 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s Från randvkorn vt v att nod kys va konvkton, och nod dr bort värm. ha ha F F Fs, Fr F r Q Q () b, Emnt : Myckt är kt mnt och. ka v k Ingn konvkton på varkn nod r r r k ka () A k v k r r Q Q Fb F F r Q R Q R Assmbra: k k k k h k k k k A k k ha h F Q Q A Q Q A R R k k h h k k k k F A A () C k Q k R A Obs! Notra att C, man får nt stryka radr och koonnr som v tdgar gjort. Dtta åtgärdas dock ätt md n snabb omskrvnng. Dt här sku motsvara n förskrvn förskjutnng håf.-fem.

4 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s F k k k F k k k F k F k k k F k k k F k F k k k F k k k F k F k F k F k k k h h k k k k k C k Q k R k A (6) Nu kan man ta fram stt rducrad kvatonssystm prcs som vangt. k k h h.8 rd C F.6 (7) F k rd k k k C rd rd rd.8.6 C (8) mpratur varrar njärt man nodrna (njära mnt). Dn xakta ösnngn br faktskt också styckvs njär. Q k k Q k. W cm A A (9) R R () Värmförustn är dt raktonsvärm som måst pumpas n väggn för att håa C. Dt ngatva tcknt btydr att värmfödt är ngatv x-rktnng.

5 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s Såhär kan tmpraturprofr s ut vrkghtn vd stady stat. Om man antar att värmdnngsförmågan är obrond av tmpratur så varrar tmpraturn njärt sodr, r styckvs njärt om dt är fra agr, som dn här uppgftn. Bdrna är snodda från Ragnhd Auns föräsnngsantcknngar kursn ransportfnomn.

6 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s 7. Värm + Eastctt Gvt: C, C, C P kn h. W cm k.9 W cm.8 E GPa cm b cm Sökt: a) mpraturprof vd stady stat. b) Förskjutnngar och spännngar. ösnng: a) mpraturprof V börjar md vänstrdn, mnt och. Båda mntn har samma gomtr och värmdnngsförmåga. ka kb v, v, () 6

7 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s Båda mntn kys md konvkton från sdorna md samma värmövrgångsta. hb hb k, k, N hp N dx hb N N dx () P Formbad F b, F b, hpdx dx d hb d hb b hb N N F () Randnodrna dr bort stt värm. Nodr och har åst tmpratur raktonsföd. QR QR Fr, Q, r, Q r F F Q R Q R Dags att sänga hop dbdragn t mntmatrsr och assmbra: kb hb kb hb.8.7 W QR QR F Fb F r hb W Q Q C C R R.8.7 QR F ().7.8 Q R Atrnatv V man göra dt amänt kan man skrva om som förra uppgftn och får då.8.7 QR.8 () ,.7.8 Q R.8 och härfrån kan man rducra stt kvatonssystm som vangt. Atrnatv Man koar på rad drkt: C.69 () 7

8 mp [ o C] Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s Utan avrundnngn styvhtsmatrsn had dt bvt,76 C, så v användr dt framtda bräknngar som nvovrar på. C.76 () För högrdn är mntmatrsrna prncp dntska som d v just räknad ut, mn nu. kb hb kb hb.. W..... Nod är sorad Q. Dt här kan jämföras md fr nod strukturanays, D fr R. QR QR F Fb F r hb 8 W Q C Rducra systmt från F C utan avrundnng (6) 8 6 x [cm] 8

9 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s b) Förskjutnngar och Spännngar Randvkorn gr oss: R D D D FR, F nodast P N (7) D R Bräkna styvhtsmatrsn: Eb Eb, Eb Eb rd (8) ägg på trmsk ast (antag att stångn var C när dn spänds fast, C ): Från Jonas OH: F EA dx Eb d, B xn B Eb d Eb Eb F, Eb Eb Eb F N (9) 9

10 Förskjutnng [m] Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s R F F rd () R 9. (7) (9). N. N ös dt rducrad systmt: Eb D D 9..7 D m () - x [cm] Notra hur matrat nära nod xpandrar av värmn. Rsutatt br att nod och nod fyttar sg bort från nod. Bräkna spännngar Här får man håa ko på att förskjutnngn bstår av båd astsk och trmsk töjnng. Dt är bara dn astska töjnngn som är koppat mkanska spännngar, så a töjnng som orsakats av trmsk utvdgnng måst dras bort nnan Hooks ag kan användas. D D E, EBd, E, där är mntts gnomsnttga tmpraturöknng. D D E () Sätt n nodförskjutnngar och nodtmpraturr för rspktv mnt. oa nhtrna när n sättr n ängdrna, ätt att råka sätta n sakr cm. 7,9 MPa 9,9 MPa Dt här var mna ssta övnngsantcknngar. Hoppas n haft hjäp av dm, och ycka t på tntan. //Rckard Shn

11 Övnng 6 Värmtransport, rmoastctt Rckard Shn -- FEM för Ingnjörstämpnngar, SE rshn@kth.s Baga Formr värmtransport D N N N dn B dx B B N Styvhtsmatrs v B B k N k N r r v k r r k A dx h P dx hra om konvkton vd randnod om konvkton vd randnod hra astvktor F F F F b r r om dt gnrras värm matrat: N qadx Fb konvkton ut från sdan: N hk Pdx F F r r r r h A Q r hr A Q