Tentamen i Statistik, STA A11/A14 (8 poäng) 24 augusti 2005, klockan

Transkript

1 Karlstads uvrstt Isttuto för formatostkolog vdlg för Statstk Ttam Statstk, ST /4 (8 poäg) 4 august 5, klocka Tllåta hjälpmdl: Bfogad formlsamlg (md approxmatosschma) och tabllsamlg (dssa skall rturras) Eg mräkar svarg lärar: Ja Rudadr, tlfo Övrgt: För att få maxmala poäg på uppgft krävs att atagad och motvrgar oga ags samt att lösg äv övrgt är så utförlg att d uta svårght ka följas! För btygt Godkäd krävs mst 4 poäg, för btygt Väl Godkäd krävs mst 6 poäg Uppgft I tabll da rdovsas ladt Lågtbortstas totala kostadr för utbldg (agtt mljor kroor) tllsammas md KPI (kosumtprsdx) för ladt, år 995, och 5 år KPI 5 3 utbldgskostadra a KPI ova har 99 som basår Byt basår tll 995 b Rdovsa utbldgskostadra som dxsr md 995 som basår c Rdovsa utbldgskostadra 995 års pgvärd d Ta fram dxsr övr utbldgskostadra fasta prsr väd 995 som basår Uppgft NIKE har stt uvarad sortmt tt köksskåp (modll ) av som d tyckr god kvaltt Blad aat har ma på 5 slumpmässgt utvalda skåp tstat hur måga gågr d går att öppa och stäga uta att gågjär llr ågot aat skadas V kallar dt följad dtta atal för rspktv skåps lvslägd a Vd tstt kud skåp öppas gomstt 5 7 gågr a ågot gck södr Stadardavvkls stckprovt blv 4 Gör tt kofdstrvall för µ, d gomsttlga lvslägd för skåp av modll väd kofdsgrad 95 % g oga alla atagad du bhövr göra b D har äv tt dyrar skåp (modll B) stt sortmt vlkt d tror har äu bättr kvaltt När d tstad lvslägd på skåp av modll B fck d gomsttlg lvslägd på 3 och stadardavvkls på 6 Ka ma därmd as dt bvsat att modll B har högr gomsttlg lvslägd? Gomför tt lämplgt tst md 5 % sgfkasvå (g alla yttrlgar atagad du bhövr göra)

2 Uppgft 3 E kauppfödar vll s om dt är ågo skllad mlla hur myckt 3 olka dttllskott påvrkar vktökg hos kar Ha br s mdhjälpar välja ut 5 kar på måfå och sda slumpmässgt fördla kara på d tr dtra så att dt blr fm kar på vardra dt Eftr td får ha rapport om karas vktökg, s tabll da Du ska u tsta om dt är ågo skllad på hur dtra påvrkar vktökg väd 5 % sgfkasvå dt dt B dt C a g förutsättgara för tstt 3b Formulra hypotsra 3c Formulra bslutsrgl och räka fram tstvarabls värd 3d Uttryck rsultatt av tstt dls statstska trmr m äv så att dt ka förstås av prso som t läst statstk Uppgft 4 Ldg på tt myckt stort förtag har plar på att föra tt boussystm för d aställda och är trssrad av att höra vlkt av d två aktulla boussystm, systm rspktv systm B, som d aställda fördrar Ma tyckr sg t ha td att trvjua alla aställda uta ma gomför ställt stckprovsudrsökg Förtagt har tr avdlgar och ma bstämmr sg för att ta tt stckprov frå vardra avdlg Rsultatt frå udrsökg framgår av tabll da tllsammas md hur dt totala atalt aställda fördlar sg proct mlla avdlgara vdlg 3 Proct av dt totala atalt 3 5 aställda stckprovsstorlkar atalt som fördrar systm 6 7 atalt som fördrar systm B a Skatta adl på d olka avdlgara som fördrar systm 4b Skatta adl på förtagt som fördrar systm 4c Gör tt 95 %-kofdstrvall för adl på förtagt som fördrar systm Gav udrsökg svar på fråga om vlkt systm d aställda fördrar?

3 Uppgft 5 Går dt utfrå udrsökg förgåd uppgft, att dra slutsats att adl aställda som fördrar systm är olka på d olka avdlgara Sätt upp hypotsr och gomför tt lämplgt statstskt tst Uppgft 6 På tt sjukhus har ma för pattr som kom för vss typ av bbrott, rgstrrat åldr ( år) och läkgstd ( dagar) Rsultatt framgår av daståd tabll åldr läkgstd a passa ljär rgrssosmodll tll matralt 6b ta att dt dag kommr 43-årg, Kall Karlsso, md da typ av bbrott Prdktra hur låg läkgstd ha kommr att få 6c g tt trvall som md 95 % säkrht hållr Kalls läkgstd 6d Gör tt 95 % -kofdstrvall för d gomsttlga läkgstd som 43- årgar md da typ av bbrott har Uppgft 7 Nda rdovsas måadslö för 8 slumpmässgt valda aställda frå förtag, B rspktv C : B: C: a Börja md att rdovsa matralt tt lämplgt dagram 7b Gomför tt lämplgt tst på 5 % sgfkasvå om dt förlggr ågo skllad lövå mlla d tr förtag Uppgft 8 För förtagar vss brasch fs dt trssförg md 8 mdlmsförtag Nu vll ma skatta d sammalagda omsättg för dssa 8 mdlmsförtag Ett stckprov omfattad 5 förtag gav följad rsultat (mljor kroor): 4, 5, 7, 5, 5 8a Skatta d sammalagda omsättg för förtag 8b För d valda förtag tog ma också rda på atalt aställda: omsättg: atal aställda: Sda tdgar vt ma att totalt har d 8 förtag 87 aställda Da hjälpformato ka ma utyttja tll att ta fram altratv skattg Gör dtta! 8c Förklara varför skattgara skljr sg så pass myckt åt och välj ut d som du tyckr vrkar bäst Motvra också varför du asr d vara bäst 3

4 Karlstads uvrstt Isttuto för formatostkolog vdlg för Statstk Lösgar/svar tll Ttam Statstk, ST /4 (8 poäg), 4 august 5 Uppgft år KPI 5 3 utbldgskostadra a, KPI, basår b, utbldgskostadr, dxsr, basår 995 c, utbldgskostadr, 995 års pgvärd d, utbldgskostadr, dxsr, fasta prsr, basår Uppgft a 5 I µ ltt, måst ata att N( µ,σ ) x ± t s b ta att N( µ, σ ) Kofdstrvall 4 57 ± 78 5 ( 57 ± 74) ( 396,744) B B Eftrsom s 4 och sb 6 är gaska lka är dt rmlgt att ataσ σ B σ Tsta H : µ B µ mot H : µ B > µ Bslutsrgl: Förkasta ollhypots om tstvarabls obsrvrad värd, xb x t, är störr ä d krtska gräs t 5( 3) 77 (klsdgt tst) s p B V får t xb x s 54 p 5 5 B , 844 dvs H : µ B µ förkastas V ka alltså ( md 95 % säkrht) säga att skåp av modll B har högr lvslägd 4

5 Uppgft 3 3a Krävs att för gv dt skall vktökgara vara ormalfördlad Krävs vdar att sprdg för dssa ormalfördlgar är samma för alla tr dtra Krävs också att alla obsrvator är obrod 3b Nollhypots är att alla tr dtra gr samma gomsttlga vktökg, H : µ µ B µ C Mothypots är att åtmsto ågo av dtra gr aa gomsttsökg, H : j H 3c Krtsk gräs är tabllvärdt F 5 (,) 3 89 MST SST /( k ) tstvarabls värd, F MSE SSE /( k) Förkasta ollhypots om, är störr ä d krtska gräs Eftr dl räkad (s da) får ma fram kvadratsummora och ka fylla NOV-tabll da (där p-värdt har räkats fram SPSS): orsak SS df MS F p-värd Bhadlg 73,33 85,67 4,7,39 Error 7 8,83 Totalt 3873,33 4 ( Σx) Σx Numrskt: Om v jämför d två formlra ( x x) s och s som ma avädr för att räka ut valg stckprovsvaras, sr v att ( ) ( Σx) x x Σx Da omskrvg av kvadratsumma ka avädas dls för SS tot och dls för var och av dtra SSE Först bhövr v dock räka fram alla summor och summor av kvadratr: x-värd B C popc c x Σx 745 x x 6 33 G 5

6 x -värd B C popc x Σx Nu får v SS ( x x ) SSE ( Σx) tot G Σx, ( x x ) ( x x ) x x popc Σ popc x x 5 c 5 c c c popc c popc och SST SStot SSE d V ka förkasta ollhypots, ftrsom tstvarabls värd, F47, är störr ä tabllvärdt F 5 (,) 3 89 V ka, md 95 % säkrht, säga att karas gomsttlga vktökgar påvrkas av vlk av d tr dtra v väljr Uppgft 4 Dt är tt stratfrat urval vdlg 3 summa W x 6 7 x a p W p b p W p 49 p ( p ) Vˆ ( p ) W V V ˆ ( p ) 76 ( ) p 6

7 4c Elgt tumrgl för bomalfördlg är alla tr stckprov tllräcklgt stora x för att v ska kua as att alla x, och därmd alla p, är approxmatvt ormalfördlad Då vt v att äv p W p är ugfär ormalfördlad V ka därför aväda d valga typ av kofdstrvall som aväds vd ormalfördlg Varasskattg är ˆ V ( p) W ˆ V ( p ) 76 lgt tabll Ett trvall md approxmatvt 95 % kofdsgrad blr därmd ( ) ( 49± 96 76) ( 49± 8) ( 49,573) p ± z V ˆ p Eftrsom 5 fs trvallt går dt t att avgöra vlkt systm som majortt fördrar Uppgft 5 Nollhypots är att adl som fördrar systm är samma på alla avdlgar, dvs H : π π π 3 Mothypots är att åtmsto ågo av adlara skljr sg frå övrga, H : j H V ka aväda tt chtvåtst för tst av obrod Tstvarabl är χ ( f f ) o f df ( r )( c ) ( )( 3 ) är ( ) 5 99 χ 5 talt frhtsgradr är Krtsk gräs, om v väljr 5 % sgfkasvå, Bslutsrgl: Förkasta ollhypots om tstvarabls värd är störr ä d krtska gräs Tabll md obsrvrad värd f o samt rad-, kolum- och totalsummor: vdlg 3 summa Fördrar Fördrar B Summa Förvätad värd fås lgt f radsumma kolumsumma : totalsumma vdlg 3 summa Fördrar Fördrar B Summa

8 Sklladra mlla obsrvrad och förvätad värd, vdlg 3 summa Fördrar -3 Fördrar B Summa f o f, blr Tll slut räkar v fram ( f ) o f f -värda: vdlg 3 summa Fördrar Fördrar B Summa ( f f ) χ o f 8 ( ) f o f Obsrvrat värd χ 8 är t störr ä d krtska gräs så v f ka t förkasta ollhypots Md adra ord är dt myckt möjlgt att dt är samma adl som fördrar systm på alla avdlgar trots att motsvarad skattgar stckprovt, 55, 5 rspktv 45 (s uppgft 4a) skljr sg ag åt Tumrglskotroll: lla f 5 md brd margal, dvs approxmato md chtvå-fördlg bör fugra bra Uppgft y x 6 8 8

9 Elgt sprdgsdagrammt ova vrkar dt rmlgt att asätta d ljära modll y a bx 6a Skattg av paramtrara: Σxy ΣxΣy b Σx ( Σx) x 534 / 445, y / 75833, a y bx , Rgrssoslj y a bx x 6b Prdktrad läkgstd: ( 43) y ˆ dagar 6c Ett prdktostrvall söks, s forml [3-8] formlsamlg Tll dt bhövs ( ) ( ) 8 / 5 t tα t, s y x Σy aσy bσxy samt ( x) ( Σx) 534 x Σx Prdktostrvallt blr y' ± t s y x 789 ± 597 ( x x) ( x x) (,4) 789 ± 8 45 ( ) d väd forml [3-8] formlsamlg Kofdstrvallt blr y' ± t s y x 789 ± 444 ( x x) ( x x) ( 57,86) 789 ± 8 45 ( )

10 Uppgft 7 7a E dotplot ka vara lämplg för att jämföra hur löra är fördlad på förtag: 3,5 förtag,5 5 lö b Löstatstk följr ofta fördlgar som är skva åt högr vlkt också vrkar vara fallt md fördlgara på våra tr förtag lgt dagrammt ova Därmd är förutsättg för d valga varasaalys, att populatora ska vara ormalfördlad, t uppfylld varför v bör aväda d ckparamtrska motsvarght Kruskal-Walls tst H : Löfördlg är lka på d tr förtag H : Löfördlgara är t alla tr lka Tstvarabl H ( ΣR ) ( ΣR ) ( ΣR ) 3 3 ( ) 3 ( ) är approxmatvt χ -fördlad md k 3 frhtsgradr om ollhypots är sa Ma bör också kotrollra hur bra tumrgl för god approxmato är uppfylld: alla 5 bör gälla vlkt dt gör vårt fall Bslutsrgl: Förkasta ollhypots om obsrvrat värd är störr ä d krtska gräs χ ( )

11 Numrskt: Sortra stckprov storlksordg, tlldla ragr och summra ragra: : Rag R 99 : B: Rag R 83 B: C: Rag R 3 8 C: Obsrvrat värd blr ( ΣR ) ( ΣR ) ( ΣR ) 3 H 3 ( ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) 535 V ka alltså t förkasta ollhypots Stckprovt motsägr därmd t atagadt löfördlg är lka på d tr förtag tllräcklgt myckt för att v ska as atagadt vara ormlgt Uppgft 8 8a D sammalagda omsättg för förtag, τ N µ, skattas md Σx 76 ˆ τ ˆ N µ N x N mljor kroor 5 τ µ 8b väd kvotskattg Total ka skrvas om lgtτ τ τ τ µ ˆ µ x 5 Skattas md ˆ τ τ τ mljor kroor ˆ µ y 8 8c Dt vrkar rmlgt att atalt aställda och omsättg är gaska starkt postvt korrlrad Dtta udrstöds också av stckprovt Gomsttlga atalt aställda τ 87 populato av förtag är µ 875 mda v stckprovt fått tt N 8 myckt lägr värd y 8 Eftrsom x- och y- varablra vrkar vara gaska starkt postvt korrlrad, ka v og räka md att äv x är klart lägr ä µ Skattg 8a tar t häsy tll dtta mda kvotskattg 8b gör dt Md adra ord har og kvotskattg hamat ärmr dt rktga värdt τ ä vad skattg 8a gjort