LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

Transkript

1 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

2 Detta material är en utskrift av delar av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet hör till en kurs som ges i samarbete mellan flera av landets högskolor och centret MATH.SE. Anmälan och tillgång till forum, eamination och personlig mentor Anmälan till kursen sker fortlöpande under året genom ett elektroniskt formulär på och man får då direkt ett användarnamn och lösenord som ger tillgång till diskussionsforum, support, uppföljning och prov. Du får också en personlig mentor som hjälper dig att lckas med dina studier. All eamination sker via Internet efter hand som du arbetar med kursens avsnitt. Rapportera trckfel till tek@kth.se. Det utgår en belöning på en trisslott i hittelön för varje trckfel som ingen rapporterat tidigare. Skicka därför gärna med din adress när du rapporterar trckfel.

3 Lösningar till övningar i förberedande kurs i matematik Innehåll. Numerisk räkning. Olika tper avtal Bråkräkning Potenser Algebra. Algebraiska uttrck Linjära uttrck Andragradsuttrck Rötter och logaritmer 7. Rötter Rotekvationer Logaritmer Logaritmekvationer Trigonometri 0. Vinklaroch cirklar Trigonometriska funktioner Trigonometriska samband Trigonometriska ekvationer Skriva matematik 6. Matematiska formler i LATEX Matematisk tet

4 . Olika tperav tal.: a) Eftersom det inte finns några parenteser eller multiplikationer/divisioner så finns det inget deluttrck som vi måste räkna ut först, utan vi kan påbörja beräkningen av hela uttrcket med tumregeln att arbeta från vänster till höger. Vi börjar alltså med de två termerna längst till vänster, Nästastegärattviläggerihopdetvåtermersomnuärlängsttillvänster, , och vi fortsätter sedan beta av uttrcket från vänster till höger, Tillslut harvi ett enkeltuttrck som vi kan beräkna på engång, 7. Det går också att skriva hela uttrcket som en summa av positiva och negativa tal, + ( 7) + ( ) +6+ ( ), och addera ihop termerna i valfri ordning, + ( 7) + ( ) +6+( ) + ( 7) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 7. b) Närvaron av parenteser betder att vi ska räkna ut deluttrcken inom parenteserna först, (7 ) + (6 ) +. Sedanärdetbara att lägga ihop termerna från vänster till höger, c) Parenteserna talar om i vilken ordning uttrcket ska räknas ut och vi börjar med att räkna ut den innersta parentesen, (7 ( +6) ) (7 0 ). Sedan räknar vi ut nästa parentes, (7 0 ) ( 8), och närvi tar bort parentesen i ( 8) får vi +8, +8. d) Precis som tidigare börjar vi med att räkna ut det innersta parentesuttrcket först, (7 ( +6) ) (7 0 ), och arbetar sedan successivt utåt, (7 0) ( ). Nu återstår bara att lägga ihop termerna från vänster till höger ( ) + 6..: a) Uttrcket består av två parenteser, ( (7 )) (6 ), som vi kan räkna utvar försig och sedan multiplicera ihop resultatet. I det första parentesuttrcket räknar vi först ut den inre parentesen, ( (7 ) ) ( ), och fårdärför att detförsta parentesuttrcket blir 0. Hela uttrcket är alltså lika med 0 gånger (6 ), och eftersom 0 gånger någonting alltid ger0så blirsvaret 0.

5 b) Först identifierar vi det innersta parentesuttrcket och beräknar detta, (( (7 ) +6) ) (( +6) ). I det uttrck som nu uppstår ringar vi in den innersta parentesen och beräknar den, ( ( +6) ) ( 9 ). Efterdetta harvi bara enparentes kvaratt räkna ut, (9 ), vilkettill slutger ettuttrck utan parentesersom vi direkt kan räkna ut. c) Helauttrcket kan vi delaupp i två delar ( 7) (6 ), som vi kan räkna ut separat och sedan subtrahera från varandra. Det första deluttrcket är lika med ( 7), medan det andra deluttrcket blir (6 ). Sammantaget får vi ( 7) (6 ). d) Om vi försöker analsera hur uttrcket är uppbggt så består det i sin mest övergripande form av en differens mellan två deluttrck, ( 7) ( +6)/( ), som kan räknas ut oberoende av varandra och sedan subtraheras. Går vi in på deluttrcken så består den första termen av en produkt och den andra av en division, ( 7) ( +6) / ( ). Vi kan därför eempelvis börja med att räkna ut täljaren ( + 6) i det andra deluttrcket, ( 7) ( +6)/( ) ( 7) 0 /( ). Sedan kan vi hoppa över till det första deluttrcket och räkna ut multiplikationen, ( 7) 0/( ) 0/( ), och därefter återgå till divisionen i den andra termen, 0/( ) ( ). Tillslut harvi fått ettuttrck som kan beräknas direkt, ( ) + 9..: a) 8 är ett positivt heltal och därmed ett naturligt tal. Samtidigt är 8 också ettrationellt tal eftersom 8 8/ är enkvot mellantvå heltal. b) är ett negativt heltal och därför inte ett naturligt tal, men det är ett rationellt tal eftersom ( )/ ärenkvot mellantvå heltal. c) 8 är ett naturligt tal, heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift a). d) 8 är ett heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift b.) e) 8 ( ) är ett heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgiftb.) f) ( 8) ( ) är ett naturligt tal, heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift a.).: a) /( 8) ärinteettheltalmendäremotettrationellttaleftersomdet gåratt skriva taletmed hjälpav heltalpå bråkform. b) ( 8)/( ) är ett naturligt tal, heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift a i övning.:.)

6 c) d) ärinteettrationellttal,dvs.gårinteattskriva somenkvotmellantvå heltal, och då går det inte heller att skriva / som en kvot mellan två heltal.talet / äralltså ett irrationellt tal. ( ) ( ) 6 8 ärett naturligt tal, heltal och rationellt tal. e) π är som kanske bekant ett tal med oändligt många icke-periodiskt upprepande decimaler och går därför inte att skriva med hjälp av heltal på bråkform. Talet π, som har samma decimalutveckling som π, är alltså ett irrationellt tal. f) Addition mellan ett heltal och ett irrationellt tal ger alltid ett irrationellt tal eftersom summan har samma decimalutveckling som det irrationella talet. Talet π + är alltså irrationellt..: a) Det är lättare att se den inbördes ordningen mellan talen om vi skriver dem som decimaltal. Eftersom vi vetatt 0, och 0,... så fårvi att 0, 0,6, + +, och ,... Dåser vi att < < < 7. b) Vi skriver talen i decimalform och sedan kan vi jämföra dem. Genom att användaatt 0 0,, 0, och 0,... så harvi att 0,, 0,, 0 0, och 0,... Hållervi bara i minnetatt detärnegativa tal så kan vi direkt se att < < 0 <. c) Ganska enkelt ser vi att 0,, 0, och 0, 0,6. Det betder att < <. 6 Eftersomdetärsvårareattdirekttaframdecimalutvecklingenav 8 såjämförviistället 8 och och med, och genomattskrivaombråken till gemensam nämnare. Vibörjar med attjämföra 8 med, och. Viharatt och 8 och och 8 8 Alltså är < 8, < 8 och 8 <. Detta betder att < < 8 <. Närvi jämför med,, 8 och fås och och och Slutsatsen från detta äratt <, < och < 8,dvs. < < < 8. Svaret blir att < < < 8 <.

7 .:6 a) Förattbestämmadecimalutvecklingenavtalet 7 6 användervidenliggande stolen., Det var nödvändigt att ta med en etra decimal så att avrundningen blir korrekt. Svaret är,67. b) Decimalutvecklingen får vi med den liggande stolen., Eftersom decimalutvecklingen slutar efter två decimaler är alla resterande decimaler noll och svaret är,0. c) Återigen använder vi den liggande stolen när vi tar fram decimalutvecklingen. 0, I detta fall blir svaret 0,86. 8 d) Itetavsnittet ges med korrekta decimaler,, , och fråndennadecimalutveckling servi att medtre korrekta decimalerär, eftersom den fjärde decimalsiffran är och avrundas därför nedåt..:7 a) Multiplicerar vi talet, med 00 så flttas decimalkommat två steg åt höger, dvs. 00,, och delarvi bådaled med00 servi att, 00. Detta visaratt,kanskrivas som en kvot mellantvå heltal och därmed attdetärett rationellt tal. b) Ett rationellt tal har alltid en decimalutveckling som från och med en viss decimal upprepar sig periodiskt. I vårt fall så upprepas sekvensen 6 i all oändlighet,, Med andra ord är talet rationellt. Nästa problem är att skriva om talet som ett bråktal och då utnttjar vi att multiplikation med 0 flttar decimalkommat ett steg åt höger. Om vi skriver, så ärdärför 0, , , ,66... Notera att i 0000 har vi flttat decimalkommat tillräckligt många steg så att decimalutvecklingen av 0000 har kommit i fas med decimalutvecklingen av, dvs. de har samma decimalutveckling. Därför är ,66...,66... (decimalerna tar ut varandra) 7

8 ocheftersom 0000 (0000 ) 9999 såharvialltsåsambandet Löservi ut urdetta sambandfårvi som en kvot mellan två heltal, ( ) c) Tittar vi närmare på talet så ser vi att sifferkombinationen 00 upprepas från och med den andra decimalen 0, och det avslöjar att talet är rationellt. Genom att multiplicera talet med 0 ett antal gånger kan vi skifta decimalkommat stegvis åt höger, 0, , , , , I denna lista ser vi att talen 0 och 0000 har samma decimalutveckling, och det betder att , , (eakt). Alltså är d) Visserligen finns ett repetitivt mönster i decimalutveckling, 0, , men för att det ska vara ett rationellt tal måste decimalutvecklingen efter en viss decimal bestå av en sifferkombination som oavbrutet upprepar sig. Någon sådan upprepning finns inte i decimalutvecklingen ovan (siffergruppen 0,00,000,... väerhelatiden istorlek). Taletäralltsåinte rationellt. 0. Bråkräkning.: a) För att bråktalen ska kunna adderas ihop behöver de först skrivas om så attdefårsammanämnare,ochdetgörvigenomattförlängabråken.multiplicera bråkens täljare och nämnare med det andra bråktalets nämnare, Nu kan täljarna adderas ihop, b) Subtraktion fungerar på samma sätt som addition. Först förlänger vi bråken så att de får en gemensam nämnare (förläng med det andra bråkets nämnare), Sedan kan täljarna subtraheras, c) Vi förlänger bråken så att de får en gemensam nämnare, , och sedan kan täljarna subtraheras, d) Närvihartrebråktalinblandadeienadditionsåbehöverviförlängavarje bråksåattallatretermerfårsammanämnare.detenklasteärattförlänga varje bråk med produkten av de andra bråkens nämnare, När sedan alla tre bråk har gemensam nämnare kan de enkelt adderas ihop,

9 e) Detförsta steget ärattförlänga bråkenså attdefåren gemensamnämnare, Därefter kan uttrcket räknas ut genom att addera och subtrahera täljarna, : a) Ett vanligt sätt att räkna ut uttrcket i uppgiften är att förlänga respektive bråkmed detandrabråkets nämnare för att få engemensam nämnare, , men detta ger en gemensam nämnare 60 som är större än vad den egentligen behöver vara. Om vi istället delar upp bråkens nämnare i så små heltalsfaktorer som möjligt, +, så ser vi att båda nämnarna innehållerfaktorn och då är det onödigt att ta medden faktorn närvi förlänger Detta ger den minsta möjliga nämnaren (MGN) 0. b) Att bestämma minsta gemensamma nämnare till uttrcket går ut på att förlängabråkenmedsålitesommöjligtförattbråkenskafåengemensam nämnare. Idetta fall behöver vi bara förlänga detförsta bråket med, Minsta gemensamma nämnare är alltså 8. c) Vi delar upp de båda nämnarna i så små heltalsfaktorer som möjligt, 6, 7. Uttrcket kan alltså skrivas som 7. Här ser vi att nämnarna har faktorn gemensamt som vi därför kan utelämna vid förlängningen, och förlänga det första bråket med 7 och det andramed såattdefårdennaminsta möjliga nämnaren 7, Minsta gemensamma nämnare är 8. d) Delar vi upp nämnaren i så små heltalsfaktorer som möjligt, 9, 7, så kan uttrcket skrivas som +, och då ser vi att nämnarna har som gemensam faktor. Förlänger vi därfördetförstabråketmed ochdetandrabråketmed såfårresultatet minsta tänkbara nämnare, Minsta gemensamma nämnare är..: a) Nämnarna i uttrcket har talet 0 som gemensam faktor, , och därför räcker det med att förlänga bråken med de övriga faktorerna i nämnarna för att få en gemensam nämnare, Minsta gemensamma nämnare(mgn) är alltså 00, och uttrcket blir lika med

10 b) Dividerarvi successivt nämnarnamed så servi att, 0, 6, dvs. att deharfaktorn 8 gemensamt, , och då behöver vi inte ta med 8 som faktor när vi förlänger bråken utan vi får en minsta gemensam nämnare genom att förlänga med de övriga faktorerna, och, MGN är 0 och svaret blir : a) Vi beräknar dubbelbråket genom att förlänga med nämnaren inverterad, Uttrcket kan nu förenklas tterligare genom att den gemensamma faktorn förkortas bort, b) Förläng dubbelbråket med nämnaren inverterad, I högerledet har inte täljaren och nämnaren någon gemensam faktor så svaret blir Anm. Man kan också lära sig en snabbformel för dubbelbråk som säger att när uttrcket skrivs om med bara ett bråkstreck så bter nämnarna i delbråken plats, c) Metod Om vi först räknarut täljaren i huvudbråket så fårvi Dubbelbråketihögerledet blir, efterförlängning med 0, , och sedan förkortar vi bort den gemensamma faktorn 0, Metod Ett annat sätt att beräkna uttrcket är att dela upp det i två separata termer, 0 Bådadubbelbråken i högerledetförenklar vi genom att förlänga med 0, Istället för att multiplicera ihop resp. så behåller vi nämnarna faktoriserade och ser att om vi förlänger det första bråket med och det andrabråket med så fårdegemensam nämnare, Eftersom 0 och så kan vi förkorta bort de gemensamma faktorerna och, och få svaret 0 6.

11 .: a) Vi börjar med att räkna ut nämnaren i huvudbråket, Notera att vi behåller 7 som det är och multiplicerar inte ihop det till 0 eftersom detta underlättar förkortningsarbetet senare. Bråket i högerledet beräknar vi genom att förlänga med (7 )/8, Delarvinuupp 8 och isåsmåheltalsfaktorer som möjligt, 8 och, så servi att svaret på förenklad form blir b) Metod En lösning är att beräkna täljaren och nämnaren i huvudbråket var för sig, , Hela uttrcket reduceras då till ett dubbelbråk som vi räknar ut genom att förlänga, Metod Ettannatsättattlösauppgiftenärattförlängahuvudbråketmed 6 så attnämnarna i delbråken och kan förkortas bort i ettsteg, + ( + ) ( ) c) Metod Vi beräknar täljaren och nämnaren först, , Uttrcket blir därför , och eftersom 6 och 0 så ärdetförkortade svaret Metod så ser vi att näm- Om vi betraktar de enskilda bråktalen 0,, 8 7 och 6 narna kan faktoriseras som 0, 8 och 6, och därmed är 80 bråktalens minsta gemensamma nämnare. Förlänger vi därför huvudbråket med 80 så kommer alla nämnare kunna förkortas bort i ett svep, ( 0 ( ) ) :6 Närmanarbetarmedstorauttrckärdetoftabraattgåframstegvis.Ettförsta steg på vägen kan vara att förenkla deluttrcken +, och 7.

12 7 Det kan vi göra genom att förlänga med, respektive 7 för att få bort delbråken, + 7 ( + ) ( ) ( 7 7 ) , ,. Hela uttrcket är därför lika med 7 6. Förlänger vi huvudbråket med den minsta gemensamma nämnaren 7 till bråken 7, och,så får vi heltal i täljaren och nämnaren, ( ) ( ) ( 6 7) (6 ) Genom att faktorisera, och 8, 6,, 8 9, så kan svaret förkortas till Potenser.: a) Viberäknarförst och, 8, 9. Alltså är b) Innanvisätterigångochräknarkandetvara braattseöveruttrcket och först undersöka om det kan förenklas med potenslagarna för att reducera räknearbetet något. Eftersom 9 så är 9 ( ) ( ), och därför är 9. c) Här kan vi direkt använda definitionen, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). d) Genom att använda potenslagarna kan vi omforma uttrcket, ( ), och sedan utföra uträkningen, 7 8..: a) Varje faktor i uttrcket kan vi skriva som en potensav,,, 8, vilket ger att b) Eftersom 0, och så är 0,. c) Svaret äratt 0 (se kursmaterialet).

13 9.: a) Direkt servi att. b) Om vi delar successivt med:or så servi att c) Talet 9 kan skrivas som 9 och därför är 9 ( ). d) Eftersom 7 9 så är 7. e) Talet 9 kan skrivas som 9 och därför ärnämnaren i uttrcket lika med 9 ( ). Hela kvoten blir 9..: a) Eftersom basen är densamma i båda faktorerna kan eponenterna kombineras enligt potenslagarna, Alternativt kan potensuttrcken utvecklas helt och sedan förkortas, 9 7. b) Talen 9 och 7 kan båda skrivas som potenserav, 9, 7 9. Därmed kan alla faktorer i uttrcket skrivas med en gemensam bas och hela produkten kan förenklas med potenslagarna, 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) c) Hela uttrcket består av faktorer med bas så potenslagarna kan användas för att först förenkla uttrcket, ( ) 6 ( 6) 0 0 ( ) 6. d) Deluttrcket skatolkassomatt ärupphöjttill,ocheftersom 8 såär 8. För atträkna ut nästa deluttrck, ( ), kan detvara bra attta ettsteg i taget, ( ) ( ) (( ) ) ( ). Alltså är ( ) e) Eftersom så har de två termerna innanför parentesen 8 som gemensam faktor och som kan brtas ut utanför parentesen, ( ) ( ) ( 8 ( +) ) ( 8 6) 8 ( ) Vidareär 6 och vi fåratt 6 ( 8 + 9) : a) Talet kan skrivas som och då får vi med potenslagarna att / ( ) / /. Anm.Ettannatbeteckningssätt för / är (roten ur ); merom detta i avsnittet om rötter senare i kursen.

14 b) Om vi utnttjar att så gerpotenslagarna att / ( ) / ( /). c) Vikan skriva 9 och därefterger potenslagarna att 9 / ( ) / / 7. d) Med potenslagarna kan uttrcket först förenklas innan det räknas ut, (7 / ) 7 (/) e) Var för sig är, och 0,6 svåra att räkna ut men ihopmultiplicerade ger potenslagarna att, 0,6,+0,6 9. f) Hela uttrcket är ganska komplicerat så det kan vara bra att först förenkla deluttrcken ( / ) och (7 / ), ( / ) (/) /, (7 / ) 7 (/) ( ) 7 /. Sedankan baserna, 7 och 9 skrivas om som, 7 9, 9. Med hjälp av potenslagarna blir ( / ) (7 / ) 9 / / 7 / 9 / ( ) / ( ) / ( ) / / ( /) / +..:6 a) Ett potensuttrck som har en positiv eponent blir större ju större basen är. Därför är 6 / > 00 / eftersom 6 > 00 och eponenten är positiv. b) När ett potensuttrck har en negativ eponent, då minskar uttrckets värdenärbasen väer. Alltså är 0, > 0,. Ettannatsätt att se påsaken är attskriva om de två potenserna som 0, 0, och 0, 0,, och eftersom 0, > 0, (se a-uppgiften) så följeratt 0, > 0,, dvs. 0, > 0,. c) Om basen i ett potensuttrck är mellan 0 och då blir uttrcket mindre näreponenten väer. Detta medför att 0, > 0, 7. d) Ett sätt att jämföra de två talen är att skriva om potensen ( / ) så att denfårsamma eponent som 00 /, ( / ) (/) (/) ( ) / ( ) / 6 /. Nu ser vi att ( / ) > 00 / eftersom 6 > 00 och eponenten är positiv. e) Både och 6 kan skrivas som potenser av,, 6, och det betder att / ( ) / / /, 6 / ( ) / / /. Från detta servi att / > 6 / i och med att eponenten ärstörre än och basen ärstörre än. f) Eponenterna 0 och 6 kan vi faktorisera, 0 0, , ochdåserviattdehar 8 somgemensamfaktor. Dennafaktorkanvi brta ut i en ttre eponent, 0 8 ( ) 8 ( ) 8 8, ( 7 ) 8 ( ) Detta visar att 0 8 ärstörre än

15 . Algebraiska uttrck.: a) Med den distributiva lagen kan vi multiplicera in faktorn in i parentesen ( ). Varje term i ( ) multipliceras då med, ( ). b) När faktorn multipliceras in i parentesuttrcket + ger den distributiva lagen att allatermer, och multipliceras med, ( + ) + +. c) Faktorn kan skrivas som ( ) och båda faktorerna multipliceras in i parentesen, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +. d) Efter att multipliceras in i parentesen kan vi förkorta bort faktorer som förekommer både i täljaren och nämnaren, ( + ) + + +, där vi gjort förkortningarna,. e) Använder vi kvadreringsregeln (a b) a ab +b med a och b 7 så servi direkt att ( 7) Ettalternativärattskrivakvadratensom ( 7) ( 7) ochsedanmultiplicera ihop parenteserna i två steg, ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) 7 7 ( 7 7 7) 7 (7 9) (7 +7) I ledet som markerats med en har vi tagit bort parentesen och bter samtidigt tecken på alla termer inuti parentesen. f) Kvadreringsregeln (a +b) a +ab +b med a och b geratt ( +) + + () g) Uttrcket i uppgiften är i formen (a b) där a och b. Med hjälp avkvadreringsregeln (a b) a ab +b harvi att ( ) ( ) + ( ) h) Vi utvecklar kvadraten med kvadreringsregeln (a +b) a +ab +b där a och b, ( + ) ( ) + + ( ) Anm.På sista raden harvi flttat om termerna så att den term medhögst gradtal 9 0 kommer först och sedankommer termerna i fallande grad.

16 .: a) Multiplicera först ihop parenteserna. I den första produkten multipliceras varjeterm urdenförsta parentesenmedvarjeterm urdenandraparentesen, ( )( ) ( ) ( ) ( ) +0 (6 9) Samlasedan ihop -, -och konstanttermerna och förenkla, ( 6 ) + ( +9) b) Den första parentesprodukten utvecklar vi genom att multiplicera varje term ur den första parentesen med varje term ur den andra parentesen, ( )( +) När det gäller det andra parentesuttrcket så kan vi använda konjugatregeln (a b)(a +b) a b, där a och b, ( )( +) ( () ) ( ) 7. Sammantaget får vi att ( )( +) ( )( +) ( +0 7 ) ( 7 ) c) Svaret fårvi genom att användakvadreringsregeln (a +b) a +ab + b påkvadraten och utveckla den andra parentesprodukten, ( +) ( )( 8) ( () + + ) ( ) (9 + +6) (9 6 +6) (9 + +6) (9 0 +6) d) De tre parenteserna kan multipliceras ihop i vilken ordning som helst, men just i detta fall verkar det lämpligt att börja multiplicera ihop de två första parenteserna eftersom vi kan utföra multiplikationen direkt med konjugatregeln, ( +)( )(9 +) ( ( ) ) (9 +) (9 )(9 +). Nu råkar vi få ett uttrck som också kan multipliceras ihop med konjugatregeln, (9 )(9 +) (9 ) Anm. Hade vi istället multiplicerat ihop det andra och tredje parentesuttrcket först skulle detta också ha givit rätt svar men uträkningarna skulle ha blivit längre. e) Vi utvecklar de två kvadraterna med kvadreringsreglerna och adderar sedan ihop resultatet, (a +b) + (a b) (a +ab +b ) + (a ab +b ) a +ab +b +a ab +b a +a +ab ab +b +b a +b..: a) Tittar vi på uttrcket så ser vi att det kan skrivas som 6 och därför faktoriseras med konjugatregeln, 6 6 ( +6)( 6). Eftersom faktorerna +6 och 6 ärlinjära uttrck kandeinte faktoriseras tterligare (i polnomfaktorer). b) Om vi brter ut faktorn så ser vi sedan att uttrcket kan faktoriseras med konjugatregeln, 0 ( ) ( ) ( +)( ). c) Uttrcket kan skrivas om som + + och då ser vi att det kan faktoriseras medkvadreringsregeln +a +a ( +a) till ( +).

17 7 d) Genom att uttrcket skrivs som + så ger sedan kvadreringsregeln a +a ( a) att ( ). e) Båda termerna innehåller som därför kan brtas ut(och samtidigt brter vi utfaktorn ), 8 9 (9 ). Den resterande andragradsfaktorn, 9, kan sedan faktoriseras med konjugatregeln, (9 ) ( ) ( +)( ), vilket också kan skrivas som ( +)( ). f) Servi som ettsamlatdeluttrck så kan vi skriva () + + och eftersom + + ( +) så är () + + ( +)..: a) Först multiplicerar vi in från den första parentesen in i den andra parentesen, ( +)( +) + +, och sedan multipliceras :an in, ( +)( +) Samlanu ihop -, -, -och konstanttermerna, + ( +6) + ( ) Koefficienten framför är och koefficienten framför är. b) Näruttrcket ( ++ + )( + + ) utvecklassåmultipliceras varje term ur den första parentesen ihop med varje term ur den andra parentesen, dvs. ( ++ + )( + + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) Omvibaravillharedapåkoefficientenframför såbehöverviinteutföra den fullständiga utvecklingen av uttrcket utan det räcker att hitta de kombinationeraventermfråndenförstaparentesenochentermfrånden andra parentesen som ihopmultiplicerade ger en -term. I detta fall har vi två sådana par: multipliceratmed och multiplicerat med, ( ++ + )( + + ), så -termerna är ( ) + och koefficienten framför är +. Koefficienten framför får vi genom att hitta de kombinationer av en term från vardera parentessom ger en -term, och dessa är ( ++ + )( + + ). Därmedär -termernalikamed + ( ) + ochkoefficienten framför är +. c) Istället för att multiplicera ihop hela uttrcket och därefter läsa av koefficienterna så undersöker vi vilka termer ur de tre parenteserna som tillsammansger -och -termer. Om vi börjar med -termen så finns det bara en kombination av en term från varje parentesuttrck som ihopmultiplicerade gerett, ( + )( + + )( 7 ) + +, så koefficienten framför är. Närdetgäller harvi också bara enmöjlig kombination, ( + )( + + )( 7 ) + +. Koefficienten framför är 6..: a) Precis som när vi räknar med bråktal kan vi subtrahera termernas täljare om vi först förlänger bråken så att de har samma nämnare. Eftersom nämnarna är ( ) och så är ( ) minsta gemensam-

18 9 ma nämnare, ( ) +. Detta bråk kan förenklas genom att förkorta bort den gemensamma faktorn från täljaren och nämnaren, ( ). b) Nämnarna kan vi faktorisera som ( ), ( )( +), (enligt konjugatregeln), ochdåserviatttermernasminstagemensammanämnareär ( )( + ) eftersom det är den produkt med minst antal faktorer som innehåller både ( ) och ( )( +). Viförlängernubråkensåattdefårsammanämnareochsätterigångmed att förenkla, ( ) + + ( )( +) + ( )( +) ( )( +) + ( )( +) ( )( +). Täljarenkanskrivasomtill ( ) ochvikanförkorta bortden gemensamma faktorn, ( ) ( )( +) ( )( +) ( +) ( +). 0 c) Bråkuttrcket kan förenklas tterligare om det går att faktorisera och förkorta bort gemensamma faktorer från täljaren och nämnaren. Nu är både täljaren och nämnaren till viss del redan faktoriserade men vi kan gå vidare med täljaren och brta upp den i linjära faktorer med konjugatregeln, ( ) ( +)( ), ( +)( ). Helabråket ärdärför lika med ( +)( ) ( +)( ) ( +) ( +) ( )( ). Anm. Det går givetvis också bra att utveckla uttrcket och svara med d) I bråkuttrcket finns möjligheten att täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer som kan förkortas bort och därför försöker vi faktorisera alla uttrck så långt som möjligt. Faktorn + + kan skrivas som + + och det öppnar för att använda kvadreringsregeln, ( +). Faktorn är redan ett förstagradsuttrck och kan därför inte delas upp tterligare, så när som på att en faktor kan brtas ut, ( ). Medkonjugatregeln kan faktoriseras till ( +)( ). Däremot kan inte + skrivas som en produkt av förstagradsfaktorer. Om det nämligen gick att skriva + ( a)( b), där a och b är några tal, så skulle a och b vara nollställen till + men eftersom + ärensummaavenkvadrat,somintekanhaettnegativt värde, och talet är + alltid större än eller lika med oavsett hur väljs. Därför kan inte + delasuppiförstagradsfaktorer. Alltså är ( + +)( ) ( +)( ) ( +) ( ) ( +) ( +) ( ) ( +) +..:6 a) Innan vi försöker bearbeta hela uttrcket koncentrerar vi oss på att förenkla de två faktorerna var för sig genom att skriva om dem med gemensam

19 nämnare, + ( )( ) ( ) + + { ( )} ( ) + ( + ) + ( ), + + ( ). ( ) + Sedan multiplicerar vi ihop faktorerna och förenklar genom att förkorta, )( ( ) ( ) ( ). b) Minsta gemensamma nämnare för de tre termerna är ( )( +) och vi förlänger varje term så att alla termer får samma nämnare, ( +) +( ) ( )( +) ( )( +) ( )( +) ( )( +) + + ( + 6) ( )( +) Samla nu ihop termerna i täljaren, ( )( +). + + ( + ) + ( 6 +) + ( )( +) + ( )( +). Anm. Genom att vi behåller nämnaren faktoriserad genom hela uträkningen kan vi påslutet direkt se att svaret inte kan förkortas. c) Eftersom nämnarna är a ab a(a b) och a b så får båda termerna engemensam nämnare a(a b) om denandra termen förlängs med a, a +b a ab a b a +b a(a b) a b a a a +b a a(a b) b a(a b). d) Vi förenklar först täljaren och nämnaren i huvudbråket genom att skriva på gemensamt bråkstreck, a b+ b a +b (a b) a +b a +b + b a +b (a b)(a +b) +b a +b a b +b a +b a a +b, ( a b a +b ) (a +b) (a +b) (a b) (a +b) (a b) (a +b) (a +b) (a b) (a +b) a +ab +b (a ab +b ) (a +b) ab (a +b). Hela bråket är därför a b+ b a +b ( a b a +b ) a a +b ab (a +b) a a +b (a +b) ab a(a +b) b..:7 a) Förlängervibråkenmed + respektive + såfårdesammanämnare och vi kan beräkna uttrcket genom att subtrahera täljarna, ( +) ( +) ( +)( +) +0 6 ( +)( +) ( +)( +).

20 b) Nämnarna och saknar gemensamma faktorer så minsta gemensamma nämnare är ( ). Vi förlänger alla tre termer så att de får samma nämnare och påbörjar sedan förenklingsarbetet, + + ( ) ( ) + + ( ) + + ( ) ( ) + + ( ) c) Denförsta termen förlänger vi med a + för attfå gemensam nämnare,. a a + a + a + a (a +) a(a +) a (a +). Eftersom båda termerna i täljaren innehåller faktorn a brter vi ut den faktorn, a(a + ) (a +), och ser då att svaret inte kan förkortas tterligare. Anm. Det är bara faktorer i täljaren och nämnaren som kan förkortas bort mot varandra och inte deluttrck. Därför är följande förkortning felaktig, a (a +) a a a a +. (Fel!) (a +).:8 a) Uttrck som består av flera bråkstreck får vi ner till ett bråkstreck genom att sstematiskt förlänga bort alla delbråk. I vårt uttrck förlänger vi huvudbråket med + (för att få bort + från täljaren), ( +) ( +)( +) ( +)( +). b) Huvudbråket beståravtäljaren, som vi direkt kan förenkla något,, ochnämnaren /( ).Omviskaskrivaombråketsomettuttrckmed ett bråkstreck så behöver vi förlänga hela bråket med ( ) och sedan förkorta bort och, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). c) När vi stöter på stora och komplicerade uttrck behöver vi arbeta stegvis, och som ettförsta delmålkan vi ha att förlänga bråket + + med + för att reducera detta bråk till ett uttrck med ett gemensamt bråkstreck, ( + + ) ( +) Nästa steg är att vi förlänger vårt na uttrck med + för att få det slutliga svaret, ( + ) ( +) ( +) + +.

21 . Linjära uttrck.: a) Om vi adderar till båda led i ekvationen, ( ) + +, såfårvi ensamtivänsterledeteftersom ( ) + + ( +) och kan direkt avläsa lösningen till +. b) För attfå ensamt ivänsterledet subtraherar vi från bådaled, ( +), vilket ger att vänsterledet blir ( + ) + ( ) och ekvationen blir. Dividera sedanbåda ledmed,, föratt få fram att 6. c) Eftersom finnsbådeivänster- ochhögerledetärförsta stegetattvisubtraherar från båda led, ( ), ) och vi sam- för då blir vänsterledet ( ) ( lar i högerledet,. Multiplicera sedan bådaled med, ( ), så kan förkortas bort i högerledetoch vi fåratt. 6 d) Fltta till vänsterledet genom att subtrahera båda led med, ( +7) ( 6), vilket ger att högerledet blir ( 6) ( ) 6 6 och ekvationen blir Subtrahera nu 7 från bådaled, ( +7) 7 6 7, så att termen blir ensamt kvar i vänsterledet,. Dividera sedan bort faktorn,, föratt få utatt..: a) Om vi delar upp nämnarna som förekommer i ekvationen i små heltalsfaktorer, 6, 9 och, så ser vi att minsta gemensamma nämnare är 8. Vi multiplicerar därför båda led i ekvationen med för attslippa ha nämnareiekvationen, ( +). Vänsterledet kan vi skriva om till ( + ), så vi harekvationen 9 och kan lösa denna förstagradsekvation genom att utföra enkla räkneoperationer föratt få ensamtiena ledet. Addera till båda led, ( ) + 9 +,.

22 7 Delabåda ledmed,. Ekvationen har alltså lösningen. När vi nu fått fram ett svar så är det viktigt att vi går tillbaka till den ursprungliga ekvationen och kontrollerar att verkligen är rätt svar (attvi inte avmisstag råkat räkna fel), VL HL. b) Först multiplicerar vi båda led i ekvationen med 7 8 så att vi får bort nämnarna från ekvationen, (8 +) 7 ( 7) 6. Vänsterledet kan vi förenkla till (8 +) 7 ( 7) Alltså ärekvationen Vi löser denna ekvation genom att subtrahera 6 från båda led, ( +6) 6 6 6,, och sedan delamed,,. Svaret är. Som sista del i lösningen kontrollerar vi svaret genom att sätta in i ursprungsekvationen, ( VL + ) ( 7 ) HL. 8 c) Vänsterledet i ekvationen kan vi förenkla genom att utveckla kvadraterna med kvadreringsreglerna, ( +) ( ) ( + + ) ( + ) Ekvationen är alltså Flttanuöveralla ivänsterledet(subtrahera 6 frånbådaled)ochkonstanterna till högerledet(addera 6 till båda led) , 0 0. Dividera bådaled med 0 för attfå svaret, 0 0. Vi kontrollerar slutligen att uppfller ekvationen i uppgiftsteten, VL ( +) ( ) ( ) 9 6, HL d) Vi flttar först över alla termer i vänsterledet, ( + +) + ( + +) 0. Som ekvationen nu står verkar det bästa angreppssättet att lösa ekvationen vara att utveckla kvadraterna, förenkla och se vad det leder till. När kvadraterna utvecklas så multipliceras varje term inuti kvadraten medsig självoch allaandra termer, ( + +) ( + +)( + +) , ( + +) ( + +)( + +)

23 9 Vänsterledet blir, efter att vi samlar ihop termer av samma grad, ( + +) + ( + +) ( ) + ( ) ( + ) + (8 8 ) + (8 6 ) + (8 ) + ( 9) 8. Efter alla förenklingar blir alltså ekvationen: 8 0. Vikontrollerar till sist att ärrätt lösning genom att stoppa in i ekvationen, VL ( ( ) + ( ) + ) + ( ) ( ) ( 8+) + 6 ( ) , HL ( ( ) + ( ) + ) ( +) 7 9..: a) Vi förlänger termerna i vänsterledet så att de får gemensam nämnare, Nu kan täljarna subtraheras, ( +)( ) ( +)( ) ( )( ) 0. Utveckla parenteserna i täljaren, + 6 ( + ) ( )( ) 0, och förenkla, +9 ( )( ) 0. Vänsterledet blir noll bara när dess täljare blir noll(samtidigt som nämnaren inte är noll) vilket ger oss att ekvationens lösningar ges av lösningarna till +9 0, 0 dvs. 9. En kontroll där vi sätter in 9 i den ursprungliga ekvationen visar att vi har räknat rätt, VL HL. b) Först flttar vi över alla termer till vänsterledet, 7 0. Sedanförlänger vi detre termerna så att defårgemensam nämnare, ( )( 7) ( )( 7) 0, och kan skriva om vänsterledet som ( ) ( 7) ( )( 7) ( )( 7) 0. Täljaren utvecklas, 8 ( 7) (8 +) ( )( 7) 0, och förenklas, 0 ( )( 7) 0. Denna ekvation är uppflld när täljaren är noll (samtidigt som nämnaren inte är noll) och detta inträffar när 0 0, vilketger att 7. Det är lätt hänt att man råkar räkna fel och därför kontrollerar vi att svaret 7 uppfller ekvationen, VL {förläng med } ( ) HL.

24 c) Låt oss börja med att skriva den första faktorn i vänsterledet med gemensam nämnare, ( )( +) ( +)( ) ( +) ( ) ( )( +) ( )( +). Om vi också skriver ( ) såkan ekvationen omformas till ( )( +) ( ) + 6 ( ). Eftersom intekanvaraenlösningtillekvationensåkanfaktorn strkas i båda leds nämnare (dvs. egentligen multipliceras båda led med som sedanförkortas bort), + ( ) + 6. Därefter multipliceras båda led med och + så att vi får en ekvation utan nämnare, 6 ( + ) (6 )( +). Utveckla båda led Detvå -termerna tar utvarandra och vi fårförstagradsekvationen, som har lösningen. Vi kontrollerar att vi har räknat rätt genom att stoppa in i den ursprungliga ekvationen VL HL ( + ( 9 6 ) (( ) 6 + ) + ) ( ) ( , ( ) ( ) 9 9. ) d) Det finns inte någon gemensam faktor i vänsterledet som vi direkt kan brta ut så därför väljer vi att utveckla de tre deluttrcken i vänsterledet, ( )( + ) ( ) +, ( ) () ( + ) ( + )( ) + 9, {konjugatregeln} () 9. Sammanställer vi uträkningarna får vi att vänsterledet blir ( + ) ( + 9 ) ( 9 ) ( ) ( + + ( ) , + + ) och eftersom, 9 och så kan hela ekvationen skrivas som 0. Brter vi ut gemensamma faktorer fås ( ) 0

25 och då servi att ekvationen har lösningen. Till sist stoppar vi in i ursprungsekvationen för att kontrollera att vi harräknat rätt ( )( VL + ) ( ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( )( ) + ( ) HL. )( ).: a) Vi flttar helt enkelt över -termen i vänsterledet, +. b) Genom attlösa ut från sambandet + 0 fårvi + och därefter ger division med svaret på den önskade formen, +..: a) Låt oss skriva den räta linjens ekvation som k +m, där k och m ärkonstanter som vi ska bestämma. Eftersom punkterna (,) och (,0) ska ligga på linjen måste de också uppflla linjens ekvation, k +m och 0 k +m. Tar vi differensen mellan ekvationerna försvinner m och vi kan räkna ut riktningskoefficienten k, 0 k +m (k +m), k. Detta insatt i ekvationen 0 k +m geross sedan ettvärde på m, m k ( ) 9. Linjensekvation äralltså +9. (,) (,0) Denrätalinjen +9 gårgenompunkterna (,) och (,0). Anm. För att vara helt säker på att vi räknat rätt kontrollerar vi att punkterna (, ) och (, 0) uppfller linjens ekvation. (,) (,): VL och HL +9. (,) (,0): VL 0 och HL b) Eftersom den räta linjen ska ha riktningskoefficient så kan dess ekvation skrivas som +m, där m är en konstant. Om linjen dessutom ska passera genom punkten (,) (, ) så måste den punkten uppflla linjensekvation, +m, och detta ger att m. Svaret äralltså att linjensekvation är +. (, ) Denrätalinjen + harriktningskoefficient och gårgenompunkten (, ). c) Två räta linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient. Från linjen + kan vi avläsa attdenharriktningskoefficienten (koefficienten framför )och därför harvårsökta linje en ekvation påformen +m,

26 där m är någon konstant. Villkoret att linjen också ska innehålla punkten (, ) betder att punkten ska uppflla linjens ekvation, ( ) +m, vilketger att m. Alltså ärlinjensekvation +. (, ) Den räta linjen + (heldragen) är parallell med den räta linjen + (streckad) och går genom punkten (,). d) Om två (icke-lodräta) linjer är vinkelräta mot varandra så är det samma sak som att deras riktningskoefficienter k respektive k uppfller sambandet kk,ochfråndettasambandfårviattdensöktalinjenmåste ha riktningskoefficient som är k k, i och med att linjen + har riktningskoefficient k (koefficienten framför ). Vår sökta linjes ekvation kan alltså skrivas i formen +m, med m som enobekant konstant. Eftersompunkten (,) skaliggapålinjensåmåste (,) uppfllalinjens ekvation, +m, dvs. m.linjensekvation är +. 6 (,) Linjen + (heldragen) är vinkelrät mot linjen + (streckad)ochgårgenompunkten (,). e) Linjenska gågenompunkterna (,0) och (0, 8) som därförmåsteuppflla linjensekvation k +m, dvs. 0 k +m och 8 k 0+m. Från den andra ekvationen får vi att m 8 och detta insatt i den första ekvationen ger att 0 k 8 k 8. Linjensriktningskoefficient är 8. (,0) (0, 8) Den linje som går genom punkterna (0, 8) och (,0) har ekvationen 8 8 och riktningskoefficient 8..:6 a) Skärningspunkten mellan två linjer är definitionsmässigt den punkt som ligger på båda linjerna, och måste därför uppflla båda linjernas ekvationer. Om skärningspunkten har koordinaterna (, ) då gäller att { +, 0,

27 7 där 0 är -aelns ekvation. Sätter vi in 0 i den första ekvationen så fårvi 0 +, dvs.. Skärningspunkten är (,0). (,0) Skärningspunktenmellan linjen + och -aeln är (,0). b) Eftersom skärningspunkten ligger på båda linjerna så uppfller den också båda linjers ekvationer, + och 0, där 0 är -aelns ekvation. Den andra ekvationen 0 insatt i den första ekvationen geratt 0 +.Detbetderattskärningspunkten är (0,). (0,) Skärningspunkten mellan linjen + och - aeln är (0,). c) Vi får fram skärningspunkten som den punkt som uppfller båda linjers ekvationer, och 0. 8 Med 0 insatt i fåsatt Detta ger attskärningspunkten är ( 0, 6 ). (0, 6 ) Skärningspunktenmellan linjen och - aeln är (0, 6 ). d) Idenpunktdärlinjernaskärvarandraharvienpunktsomliggerpåbåda linjerna och som därför måste uppflla båda linjers ekvationer, ++ 0 och. Lösningentilldettaekvationssstemfårvigenomattsättain iden första ekvationen, ++ 0, vilket ger oss skärningspunkten (, ). (, ) Skärningspunkten mellan linjerna och (lodrät)är (, ).

28 9 e) Linjerna har en skärningspunkt i den punkt som samtidigt uppfller båda linjers ekvationer, + 0 och 0. Om vi löser ut från den andra ekvationen, +, och stoppar in i den första ekvationen får vi en ekvation som bara innehåller, + ( +) 0 + 0, vilket ger att. Sedan får vi från sambandet + att ( ) +. Skärningspunkten är (, ). (, ) Skärningspunkten mellan linjerna + 0 och 0 är (, ). Vi kontrollerar för säkerhets skull att (, ) verkligen uppfller båda ekvationerna. + 0: VL ( ) HL. 0: VL ( ) + 0 HL..:7 a) Grafen till den linjära funktionen är en rät linje som har riktningskoefficient lika med (koefficienten framför ) och skär -aeln i. Grafen till funktionen f (). 0 b) Funktionen har en graf som är en rät linje. Denna räta linje har riktningskoefficient (koefficienten framför ) och skär -aeln i. Grafen till funktionen f (). c) Idetta fall ärgrafen heltenkeltdenhorisontella linjen. Grafen till funktionen f ()..:8 a) Om vi ritar upp gränsfallet dålikhet gällerså fårvi denräta linjen, och mängden består därför av alla punkter ovanför denna linje, där - koordinaten är större än -koordinaten. Det färgade området utgörs av punkter som uppfller.

29 b) En punkt vars koordinater uppfller < har en -koordinat som är mindre än vad den punkt har som befinner sig på linjen och har samma -koordinat. Det betder att området som vi ska skissera beståravalla punkter underlinjen. Punkterna som uppfller olikheten < bildar det färgade området. De punkter som ligger på den streckade linjen tillhör inte området. Linjen kan vi rita upp genom att välja två -värden, t.e. 0 och, beräkna med linjens ekvation motsvarande -koordinater, 0 respektive, och sedan dra en rät linje genom detvå punkter vi fått. c) Genom att fltta över -termen i högerledet och dela med kan olikheten skrivas som, ochdåserviattområdetsomviskaritauppbeståravallapunkterunder denräta linjen. Punkterna som uppfller olikheten + 6 bildar det färgade området..:9 a) Vikan börja medatt rita upp punkterna (,), (,) och (,0) iett koordinatsstem, och dra linjestcken mellan dem, så att vi får en bild av hur triangeln ser ut. (,) (,) (,0) Om vi nu tänker oss attvi ska användaoss avatt arean aven triangel ges av formeln area (basen) (höjden), så är det mest lämpliga att vi väljer kanten från (,0) till (,) som bas för triangeln. Då är nämligen basen parallell med -aeln och vi kan avläsa dess längd som skillnaden i -koordinat mellan hörnpunkterna (, 0) och (,), dvs. basen 0. Dessutom blir höjden i triangeln det horisontella avståndet från den tredje hörnpunkten (,) tillbasenoch detkanviavläsasom skillnadeni -led mellan (,) och linjen, dvs. höjden. bas höjd Triangelns area är alltså area (basen) (höjden) a.e.

30 b) Ett första steg är att vi ritar upp linjerna så att vi får en överblick av hur triangeln ser ut. 0 Hörnpunkterna i triangeln är skärningspunkterna mellan linjerna och de får vi fram mer eakt genom att välja linjernas ekvationer parvis och lösa de ekvationssstem som uppstår, {,, {, 0, och {, 0. Det första ekvationssstemet har lösningen (, ) (8, ), det andra sstemetharlösningen (,) (,) och dettredje (,) (,). (,) (8,) (,) Återgårvi till arean avtriangeln så ges denavformeln area (basen) (höjden), och vi är helt fria att välja vilken kant i triangeln som ska vara bas. Eftersom en av kanterna är parallell med -aeln verkar det bäst att välja den som bas, för då kan vi enkelt läsa av längden av basen och höjden som koordinatskillnader mellan hörnpunkterna. bas höjd Basengessom dethorisontella avståndet mellan (,) och (8,), basen 8, ochhöjdenfårvipåsammasättsomskillnadeni -ledmellanbasen och hörnpunkten (, ), basen. Triangelns area är area (basen) (höjden) a.e. c) Först ritar vi upp områdena som de enskilda olikheterna definierar. Området + Området Området Triangeln är definierad som de punkter som uppfller alla olikheter, vilket

31 är den region som de tre färgade områdena har gemensamt. Innan vi börjar fundera över hur vi ska beräkna arean av triangeln bestämmer vi hörnpunkterna till triangeln. Skriver vi upp kantlinjernas ekvationer två och två, () { +,, () { +, +, () {, +, så får vi ekvationssstem som bestämmer skärningspunkterna mellan respektive par av linjer och dessa skärningspunkter svarar mot triangelns hörn. (): Det första sstemet kan vi lösa genom att summera de två ekvationerna Dåfårviatt 0 ochsedanfrånekvationen + att. (): På samma sätt summerar vi ekvationerna i det andra ekvationssstemet, vilket geratt 0 och då är. (): Det sista ekvationssstemet är lite knepigare att lösa men om vi ur den första ekvationen löser ut,, och stoppar in i den andra ekvationen får vi +( ). Motsvarande värde på är. 6 Triangelns hörnpunkter är alltså (0, ), (, 0) och (, ). (,) (, 0) (0, ) Problemet som vi ställs inför när vi ska räkna ut arean av triangeln med formeln area (basen) (höjden) ärattdetintefinnsnågonnaturligbasförtriangelniochmedattingenav kanterna är parallell med någon av koordinatalarna. Vad vi däremot kan göra är att dela upp triangeln längs -aeln och få två deltrianglar där vi kan använda -aeln som bas. A A Denna uppdelning skapar en n hörnpunkt för trianglarna (markerad med A i figuren ovan) och den kan vi bestämma som skärningspunkten mellanlinjen och -aeln, {, 0, vilketgerattdennahörnpunktenär (0,).Viharnuallinformationsom

32 7 behövsför att räkna utbas, höjd och area avde två deltrianglarna. höjd bas bas höjd bas ( ) höjd 0 ( ) area bas ( ) höjd 0 area Till sist återstår bara att summera ihop delareorna och få hela triangelns area, area Andragradsuttrck.: a) Om vi betraktar kvadreringsregeln, ( a) a +a, och flttar över a till vänsterledet så fårvi formeln ( a) a a. Med hjälp av denna formel kan vi skriva om (kvadratkomplettera) ett blandatuttrck a till ettkvadratiskt uttrck ( a) a. Uttrcket svarar mot a i formeln ovan och därförär ( ). b) I kvadratkompletteringen är bara de två första termerna + inblandade. Den allmänna formeln för kvadratkomplettering säger att +a ärlika med ( + ) a ( a ). Notera hur koefficienten a framför dker upp halverad på två platser. Användervi denna formel så fårvi att + ( + ) ( ) ( +), och subtraherar vi densista :anså fåsatt + ( +) ( +). För att vara helt säker på att vi har använt rätt formel kan vi utveckla kvadraten i högerledet, ( +) + + +, och se att sambandet verkligen stämmer. c) Som vid all kvadratkomplettering så koncentrerar vi oss på de kvadratiskaochlinjäratermerna,,somviocksåkanskrivasom ( ). Bortser vi från minustecknet så kan uttrcket kvadratkompletteras med formeln ( a ) a ( a ), och vi får att ( ) ( ) ( ).

33 9 Detta betder att + ( ) ( ( ) ) ( ) + ( ) +6. En kontroll visar också att vi kvadratkompletterat rätt, ( ) +6 ( +) d) Vi applicerar standardformeln för kvadratkomplettering, ( +a + ) a ( a ), påvårt uttrck och detgeratt + ( + ) ( ) ( + ). Hela uttrcket blir + + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ). Enkontroll visar om vi räknaträtt, ( ) ( ) : a) Vilöserandragradsekvationengenomattkombineraihop -och -termen via en kvadratkomplettering till ett kvadratiskt uttrck och löser sedan den ekvation som uppstår med rotutdragning. Med en kvadratkomplettering blir vänsterledet + ( ) + ( ), där den understrukna delen är själva kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som ( ) 0, som vi löser genom att fltta över :an i högerledet och använder rotutdragning. Detta ger oss lösningarna 60, dvs. +,, dvs.. Eftersom det är lätt att räkna fel kontrollerar vi svaret genom att sätta in respektive i den ursprungliga ekvationen, : VL HL, : VL HL. b) Huvudsteget när vi löser andragradsekvationen är att kvadratkomplettera vänsterledet, + ( +) ( +) 6. Ekvationen kan nu skrivas som ( +) 6, och har, efter rotutdragning, lösningarna + 6,vilket ger +, + 6, vilketger. Enkontroll visar också att och uppfllerekvationen : VL ( ) + ( ) 0 0 HL, : VL HL. c) Vi börjar med att kvadratkomplettera vänsterledet, + + ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) + 7. Ekvationen är alltså ( + ) Denförstatermen ( + ) äralltidstörreänellerlikamed0eftersomdet är en kvadrat, och den andra termen 7 är ett positivt tal. Det betder att vänsterledet kan inte, oavsett hur väljs, vara mindre än 7 och därmed inte lika med noll. Ekvationen saknar lösning. d) Ekvationen kan skrivas i normalform (dvs. koefficienten framför är ) genom att delabådaled med,

34 6 Kvadratkomplettera nu vänsterledet, 7 + ( ) 7 ( 7 ) + ( ) ( ) 7 6 ( 7 ) 9. Ekvationen kan därför skrivas som ( ) 7 9, och rotutdragning ger att lösningarna är 7 9, dvs. 7 +, 7 9, dvs. 7. Som en etra kontroll sätter vi in och i ekvationen. : VL ( ) HL, + + : VL ( ) HL. + e) Skriv ekvationen i normalform genom att dela båda led med, + 0. Kvadratkomplettera vänsterledet, + ( + ) ( ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 6. ) Ekvationen är nu omskriven som ( ) + 6, och rotutdragning ger att lösningarna är + 6, eftersom ( ) 6,vilket geratt +, 6 + 6,vilket ger att. Slutligen kontrollerar vi svaret genom att sätta in och i ekvationen. : VL ( ) + ( ) 0 HL, : VL ( ) + ( ) HL. f) Vi delar båda led med och kvadratkompletterar vänsterledet, ( ( ) ) + 8 ( ) ( ) 9. Ekvationen blirdå ( ) 9 och rotutdragning geratt lösningarna är 9, dvs. + 6, 9, dvs.. Kontroll: : VL ( ) HL, : VL HL..: a) Vänsterledet i ekvationen består av två faktorer och +. Det finns bara en möjlighet att deras produkt är noll och det är om någon av eller + ärnoll. Ekvationen har alltså lösningarna 0 och. b) Ekvationens vänsterled blir noll endast när någon av faktorerna eller + ärnoll, dvs. lösningarna till ekvationen är och. c) För att ekvationen ska vara uppflld måste någon av faktorerna eller +8 ivänsterledetvaranollochdettagerossattlösningarnaär och 8. d) Eftersom bådatermerna ( +) och ( 9) innehållerfaktorn kan vi brta ut från vänsterledet och samla ihop det resterande uttrcket, ( +) ( 9) ( ( +) ( 9) ) ( + +9) ( +).

35 6 Alltså är ekvationen ( +) 0, och vi får direkt att ekvationen är uppflld endast om antingen eller + är noll. Lösningarna till ekvationen är därför 0 och. Härkandetvaravärt attkontrollera att ärenlösning (fallet 0 är uppenbart), VL ( +) ( 9) 0 HL. e) Idettafallserviattvänsterledetinnehållerfaktorn + somvikanbrta utoch få ( +)( ) ( +)( 9) ( +) ( ( ) ( 9) ) ( +)( +9) ( +)( +8). Denna omskrivning av ekvationen resulterar i den na ekvationen ( +)( +8) 0, som harlösningarna och 8. Vikontrollerar lösningen 8 genom attstoppa in deniekvationen, VL (8 +) (8 ) (8 +) ( 8 9) HL. f) Den första termen ( ) i vänsterledet kan vi dela upp i faktorer genom att brta ut ur parentesen, ( ) ( ), och den andra termen kan vi skriva som ( ) ( ). Från detta ser vi att båda termerna innehåller ( ) som gemensamma faktorer och brter vi ut de faktorerna blir vänsterledet ( ) +( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )( ). Hela ekvationen kan alltså skrivas som ( )( ) 0, och denna ekvation är uppflld endastnär en av de tre faktorerna, eller är noll, dvs. lösningarna till ekvationen är 0, och. Eftersom detinte ärheltuppenbartatt ärenlösningtill ekvationen kontrollerar vi att uppfller ekvationen (att vi inte råkat räkna fel), VL ( ) + ( ) ( ) + 0 HL. 6.: a) En första tanke kanske är att skriva upp ekvationen som +a +b 0 och sedan försöka välja konstanterna a och b på något sätt så att och blir lösningar. Men ett bättre sätt är att vi utgår från en faktoriserad form på andragradsekvationen, ( +)( ) 0. Om vi betraktar denna ekvation så ser vi att både och är lösningar till ekvationen i och med att gör att den första faktorn i vänsterledet är noll medan gör att den andra faktorn är noll. Det är också verkligen en andragradsekvation eftersom om vi multiplicerar ut vänsterledet så får vi att 0. Ett svar är alltså ekvationen ( +)( ) 0, eller om man vill, 0. Anm. Det finns egentligen många svar på denna uppgift men vad alla andragradsekvationer som har och som rötter har gemensamtäratt dekan skrivas i formen a a a 0, där a är en nollskild konstant. b) Enförstagradsekvationsomhar + somrotär ( + ) 0, som vi också kan skriva som 0. På samma sätt har vi att ( ) 0, dvs. + 0, är en förstagradsekvation som har som rot. Om vi multiplicerar ihop dessa två förstagradsekvationer så får vi en andragradsekvation med just + och som rötter, ( )( + ) 0. Den första faktorn blir noll när + och den andra faktorn blir noll när. Inget hindrar oss egentligen från att svara med ( )( + ) 0 men om vi vill ge ekvationen i standardform så behöver vi utveckla vänsterledet, ( )( + ) ( ) + ( + ) + ( + ),

36 6 och fårekvationen 0. Anm. Precis som i a-uppgiften kan vi multiplicera ekvationen med en nollskild konstant a, a a a 0, och fortfarande ha en andragradsekvation med samma rötter. c) Ekvationen ( )( ) 0 ärenandragradsekvationsomhar och som rötter; när är den första faktorn noll och när är denandra faktorn noll. Om vi utvecklar ekvationens vänsterled, ( )( ) + ( + ) +, får vi ekvationen i standardform, ( + ) + 0. Anm.Detallmännasvaretär a ( + )a + a 0,där a 0 är en konstant..: a) I denna uppgift kan vi utnttja tekniken att skriva ekvationer faktoriserade. Betrakta i vårt fall ekvationen ( +7)( +7) 0. Denna ekvation har bara 7 som rot eftersom båda faktorerna blir noll endast när 7. Dessutom är det en andragradsekvation, som vi tdligt ser om vänsterledet utvecklas, ( +7) Ettsvar äralltså ekvationen Anm. Alla andragradsekvationer som bara har 7 som rot kan skrivas a +a +9a 0, där a ären nollskild konstant. b) Istället för att lite planlöst prova med några -värden så kan vi undersöka andragradsuttrcket bättre om vi kvadratkompletterar, 8 +8 ( 7 +) (( 7 ) ( 7 ) ) + (( ) ) (( 7 ) ) ( 7 ). 66 I det kvadratkompletterade uttrcket ser vi att om t.e. 7 uttrcket negativt och lika med. så är hela Anm.Alla -värden mellan och gerett negativt värde påuttrcket. c) Om ska vara en rot till ekvationen så ska ekvationen vara uppflld omvistopparin iden,dvs. + +b +b skavaralikamed noll och detta gerdirekt att b..:6 a) Polnomet känner vi igen med kvadreringsregeln som + ( ). Detta kvadratuttrck är som minst lika med noll när 0, dvs..alla nollskilda värden på gerett positivt värde på ( ). Anm. Ritar vi upp kurvan ( ) så ser vi att den har ett minimivärde 0 i. Grafen till f () ( ). b) Med kvadratkomplettering kan andragradspolnomet skrivas om som en kvadrat plus en konstant, och då går det relativt enkelt att avläsa uttrckets minsta värde, + ( ) + ( ). Eftersom ( ) är en kvadrat är denna term alltid större än eller lika med 0 och hela uttrcket blir därför som minst lika med när kvadraten ärnoll då 0, dvs.. c) Om vi kvadratkompletterar uttrcket har vi att +7 ( ) ( ) +7 ( ) + 8 ( ) +, och eftersom ( ) ären kvadrat ärdenna term som minst lika med 0 när. Detta visar attpolnomets minsta värde är.

37 67.:7 a) Ipolnomet ärbaradenandratermenberoendeav ochpågrund av minustecknet framför den termen blir hela uttrcket som störst när kvadraten är som minst. Den kvadratiska termen är som minst när 0. Därför ärpolnomets största värde lika med 0. b) Vi skriver om uttrcket med kvadratkomplettering, + ( +) (( ) ( ) ) + (( ) ) (( ) ) + 7 ( ) 7. Nu ser vi att den första termen ( ) är en kvadrat med ett minusteckenframför,sådentermenäralltidmindreänellerlikamednoll.detta betder att polnomets största värde är 7 och det inträffar när 0,dvs.. c) Om vi kvadratkompletterar, ++ ( + ) ( ) + ( + ) +, så ser vi i högerledet att vi kan få uttrcket att bli hur stort som helst baragenomattviväljer + tillräckligtstor.detfinnsalltsåingetstörsta värde..:8 a) Kurvan ärenparabelmedminimipunktiorigoenligtfigurennere till vänster, och jämfört med denna kurva är + samma kurva men där talet adderats till varje punkts -koordinat, dvs. parabeln är förskjuten en enhet uppåt i -led. Grafen till f (). Grafen till f () +. b) Som utgångspunkt kan vi ta kurvan + som är en parabel med minimipunkt i (0, ) och finns skisserad nere till vänster. Jämfört med den 68 kurvanär ( ) + sammakurvamendärvigenomgåendemåste välja enenhetstörre förattfåsamma -värde. Kurvan ( ) + äralltså förskjuten en enhetåt högerjämfört med +. Grafen till f () +. Grafen till f () ( ) +. c) Med en kvadratkomplettering kan vi skriva om funktionen som f () 6 + ( ) + ( ) +, och när funktionen är skriven på detta sätt går det att se att grafen ( ) + är samma kurva som parabeln men förskjuten enheteruppåtoch enheteråthöger (se deluppgiftaoch b). Grafen till f (). Grafen till f () ( ) +..:9 a) En punkt ligger på -aeln om den har -koordinat 0 och därför söker vi alla punkter på kurvan med 0, dvs. alla punkter som uppfller ekvationen 0. Denna ekvation har lösningarna ±, vilket betder att skärningspunkterna är (,0) och (,0).

38 69 (, 0) (, 0) Parabeln skär -aeln i punkterna (,0) och (,0). b) Skärningspunkterna är de punkter på kurvan som också ligger på -aeln, dvs.deärdepunktersombådeuppfllerkurvansekvation + 6 och -aelns ekvation 0, { +6, 0. Detta ekvationssstem ger direkt att 0 och att måste uppflla andragradsekvationen Med kvadratkomplettering får vi att vänsterledet är +6 ( ) ( ) +6 ( ) + ( ), och det ger att ekvationen har lösningarna ±, dvs. och + 6. Skärningspunkterna är därför (, 0) och (, 0). (,0) (,0) Parabeln +6 skär -aelnipunkterna (,0) och (,0). c) För att bestämma alla punkter på kurvan +9 som också ligger på -aeln sätter vi in -aelns ekvation 0 i kurvans ekvation 70 och fåratt måste uppflla Efter division med och kvadratkomplettering blir högerledet + ( ) + ( ), och ekvationen har därför lösningarna ±, dvs. och +. Skärningspunkterna är (,0) och (,0). (,0) (,0) Parabeln + 9 skär -aeln i punkterna (,0) och (,0)..:0 a) Var för sig definierar olikheterna och området ovanför parabeln respektive underlinjen. Området Området De punkter som uppfller båda olikheterna blir området ovanför parabelnmen underlinjen. Området och.

39 7 b) Olikheten definierarområdetunderochpåkurvan, som är en parabel med maimipunkt i (0,). Den andra olikheten kanviskrivaomsom + ochdetdefinierarområdetunder och på denräta linjen +. Området. Området. Av figurerna ovan verkar det som att parabelområdet ligger helt under linjen + och detbetder att det ärområdet under parabeln som uppfller båda olikheterna. Området och. Anm. Om man känner sig osäker på om parabeln verkligen ligger under linjen (att det inte bara råkar se ut så) så kan vi undersöka om -värden på linjen linje + alltid är större än motsvarande -värden på parabeln parabel genom att studera differensen mellandem linje parabel + ( ). Om denna differens är positiv oavsett hur väljs då vet vi att linjens -värde alltid är större än parabelns -värde. Efter lite förenkling och kvadratkomplettering har vi att linje parabel + ( ) + + ( + ( ) ) + ( + ) + 7 6, 7 och detta uttrck är alltid positivt eftersom 6 7 är ett positivt tal och ( + ) är en kvadrat som aldrig är negativ. Med andra ord är parabeln helt under linjen. c) Uttrcket betder att vi har ett område som definieras av de två olikheterna och. Den första olikheten ger oss området till vänster om linjen. Hade den andra olikheten istället varit så skulle vi ha ett område ovanför parabeln men i vårt fall är och i ombtta roller så olikheten definierar samma tp av parabelområde men där - och -aeln btt plats. Området. Området. Tillsammans definierar olikheterna området som begränsas till vänster av parabeln och till höger av linjen. Området. d) Vi kan skriva om dubbelolikheten som och. Dessatvåolikheterdefinierardelsområdetovanförparabeln,dels

40 7 områdetunderlinjen. Området. Området. Området som olikheterna definierar tillsammans blir regionen i första kvadranten som begränsas nerifrån av parabeln och uppifrån av linjen. Området. 7. Rötter.: a) ärettannatbeteckningssätt för /. b) Uttrcket 7 kan skrivas som (7 ) / och sedan ger potenslagarna att detta ärlika med 7 (/) 7 /. c) betder / och då är ( ) ( / ) (/) /. d) Eftersom är / så är / ( / ) / (/) (/) /..: a) Ett sätt att förenkla uttrcket är att skriva det i potensform och sedan arbeta med potenslagarna, ( ) / (/). b) Det som står under rottecknet är lika med ( ) 9 och eftersom 9 så är ( ) 9 9 / ( ) / (/). Anm. Uträkningen ( ) ( ( ) ) / ( ) (/) ( ) är felaktig vid det markerade likhetstecknet. Kom ihåg att potenslagarna gäller när basen är positiv. c) Uttrcket betder ( ) 9 (och inte ( ) )så vi haralltså att 9. Rotuttrcket 9 ärintedefinierateftersomdetintefinnsnågotreellttal som multiplicerat med sig självt ger 9. d) Det mest lämpliga är ofta att göra sig av med rottecknen och skriva allt i potensform och sedan utnttja potenslagarna, / / /+/+ /6. e) Om vi först tittar på 8 så kan detta rotuttrck förenklas genom att vi skriver 8 som en produkt av så små heltalsfaktorer som möjligt, 8 9, och sedan kan vi brta ut kvadrater ur rottecknet med regeln a b a b, 8.

41 7 På sammasätt skriver vi 8 och fåratt 8. Tillsammans får vi 8 8 ( ). f) Tredjeroten ur ett tal är samma sak som talet upphöjt till, dvs. a a /. Om vi därför skriver talet som en produkt av så små heltalsfaktorer som möjligt, 8, så servi att 8 ( ) / (/). Anm. Tredjeroten ur kan alltså ses som att den upphäver operationen att upphöja något till, dvs., 6 6 osv. g) Eftersom kan skrivas som ( ) ( ) ( ) ( ) definieras som. Anm. Till skillnad från (kvadratroten ur ) som inte är definierad är definierad. Det finns nämligen inget tal som uppfller,men däremot etttal som uppfller. Anm.Detgårattskrivauträkningenilösningensom ( ) ( ), men man måste vara försiktig när man räknar med negativa tal och bråktalseponenter. Ibland är uttrcken inte definierade och de vanliga potenslagarna gäller inte alltid. Titta t.e. på uträkningen ( ) / ( ) /6 ( ( ) ) /6 6 /6. (Fel!).: a) Först utvecklar vi uttrcket, ( )( + ) +. Eftersom och är definierade som de tal som multiplicerade med sigsjälva ger respektive så är. Anm.Utvecklingenav ( )( + ) kanocksågörasdirektmed konjugatregeln (a b)(a +b) a b, där a och b. 76 b) Vid förenkling av rotuttrck är en vanlig teknik att dela upp talen under rottecknen i så små heltalsfaktorer som möjligt och sedan brta ut kvadrater och se om gemensamma faktorer tar ut varandra eller kan kombineras ihop påett ntt sätt. Genom attsuccessivt delamed och servi att , 8 9. Därför är 96, 8, och hela kvoten kan skrivas som Anm. Om det är svårt att arbeta med rottecken går det att istället skriva i potensform, 96 (96)/ 8 (8) ( ) / ( ) / (/) / / (/) / / / /. (Isista ledetförlänger vi med.) c) Vibörjar medatt titta på deluttrcket 6. Denna rot kan förenklas i och med att 6, vilket ger att 6 och hela uttrcket blir Kan 0 förenklas?förattfåsvarpådettadelarviupp 0 iheltalsfaktorer, 0 0, ochseratttalet 0 innehållerkvadraten somfaktorochsomdärförkan brtas ut utanför rottecknet, 0.

42 77 d) Vikanmultiplicerain iparentesenochsedanskrivaihoprotuttrcken underettgemensamtrottecken med regeln a b ab, ) ( Eftersom ( 6)/ och ( )/ så blir ) ( 6..: a) Decimaltalet 0,6 kan också skrivas som 6 0 och då kan vi enklare se att, eftersom 6 och 0 (0 ) 0,, så är 0, , 0, 0,. Ett alternativ är förstås att vi direkt ser att 0,6 0, 0, 0, och då att 0,6 0, 0,. b) Genom att skriva 0,07 som 7 0 där 7 och 0 (0 ) 0, så servi att 0, , 0, 0,, därvi använtatt a (a ) / a (/) a a. c) Varje term i uttrcket kan förenklas genom att vi faktoriserar talet under rottecknet så långt som möjligt, 0 0, 0 0, 8 9, ( ) ( ) ( ) ( ), och sedan brter ut kvadrater ur rottecknen, 0, 0, 8, 80 ( ). Sammantaget får vi att ( 9) + (8 8). 78 d) Vi börjar med att faktorisera talen under rottecknen, 8 6, 6,, 7. Nukan vi brta utkvadrater urrötterna, 8 ( ),,, 7, och sedan förenkla hela uttrcket ( ++ )..: a) Om vi förlänger bråket med så kommer den na nämnaren att bli lika med och vi blir avmedrottecknet inämnaren, 6 6. Dettauttrckkanförenklastterligareomviskriver 6 och brter ut urroten.vi fåratt 6 6. b) För att eliminera roten 7 7 / från nämnaren kan vi förlänga bråket med 7 /.Dåblirnämnaren 7 / 7 / 7 /+/ 7 7,och vi fåratt 7 7 / / 7/ / / c) Tricket är att utnttja konjugatregeln, (a +b)(a b) a b, och förlänga bråket med 7 (notera minustecknet) för då kommer den na nämnaren bli ( + 7 )( 7 ) ( 7 ) 9 7 (konjugatregeln med a och b 7 ), dvs. rottecknet kvadreras bort. Hela uträkningen blir ( 7 ) ( 7 ) 7 7.

43 79 d) Vi kan bli av med båda kvadratrötterna i nämnaren om vi förlänger bråket meddetkonjugerade uttrcket 7 + och använderkonjugatregeln (a b)(a +b) a b med a 7 och b. Bådarötterna kvadreras dåbort och vi får ( 7 ) ( ) Detta uttrck kan inte förenklas tterligare eftersom varken 7 eller innehåller några kvadrater som faktorer..:6 a) Vi använder standardmetoden och förlänger bråket med nämnarens konjugatuttrck, +. Dåger konjugatregeln att ( +)( +) ( ) b) Rottecknet i nämnaren ligger inbakad i ett kvadratiskt uttrck och därför utvecklar vi först kvadraten ( ) medkvadreringsregeln, ( ) ( ) Alltså är ( ) 7, 80 och i detta uttrck kan vi få bort rottecknet från nämnaren genom att förlänga medkonjugatet +, ( ) + ( ) + +. c) Uttrcket är så pass komplicerat att vi först behöver förenkla delar av uttrcket. Vi börjar med de tre delbråken /, / och / som innehåller rottecken i nämnarna och förlänger så att rötterna hamnar i täljarna,. Förläng sedan huvudbråket med så att vi slipper bråktal i nämnaren, ( ) ( ). Nu kan vi förlänga med konjugatet + till nämnaren, och få ett uttrck utan rötter i nämnaren, + + ( ) ( ) ( +) d) Problemet med detta uttrck är att nämnaren innehåller tre rottecken och då finns inget enkelt sätt att bli av med alla rottecken på en gång, utan vi

44 8 behöverarbetastegvis.iettförstastegservinämnarensom ( + ) + 6 och förlänger med det konjugatliknande uttrcket ( + ) 6. Dåkommer åtminstone 6 att kvadreras bort medkonjugatregeln, ( + ) + 6 ( + ) 6 ( + ) ( + ) ( 6 ) + 6 ( + ) 6. Denåterstående kvadraten ( + ) utvecklar vi med kvadreringsregeln, + 6 ( + ) ( ) + + ( ) Detta uttrck har bara ett rottecken i nämnaren och då kan vi slutföra uträkningen genom att förlänga medkonjugatet 6 +, ( + 6 )( 6 +) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) 6 6 ( ) + +( ) ( + ) + ( +) :7 a) Först förlänger vi de två termerna med respektive nämnares konjugerade rotutrck så att inga rottecken finns kvar i nämnarna, , ( 6 ) ( ) ( 7 ) ( 6 ) Nu kan vi subtrahera termerna och förenkla resultatet, 6 + ( ) b) Vi förlänger bråket med nämnarens konjugat, 7 +, och ser vad det leder till, ( 7 7 )( 7 + ) 7 + ( 7 ) ( ) 7 ( 7 ) ( ) ( 7) 7 7. c) Delar vi upp och 68 i så små heltalsfaktorer som möjligt ser vi om det finns kvadrater som kan brtas ut ur rötterna och om uttrcket kan förenklas vidare, 7 7,

45 8 Vifåratt Anm.Etttipsnärmanundersökeromettheltalärdelbartmed äratttitta på talets siffersumma. Ett tal är delbart med om och endast om dess siffersumma ärdelbarmed.t.e.ärtalet 9788 delbartmed eftersom siffersumman är debar med, och omvänt, talet 6 är inte delbart med i och med att siffersumman inte är delbarmed..:8 a) Om vi skriver talen i potensform, / och 6 6 /, så ser vi att 6 är störst eftersom basen 6 är större än och båda talen harsammapositiva eponent. b) Skriver vi talen i potensform, 7 7 / och 7 7, så framgår att 7 är större än 7 eftersom båda talen har samma bas 7, som ärstörre än,och eponenten ärstörre än. c) Eftersom,,, 6, så är, 6, och då ser vi att 7 är större än, i och med att 7 / > 6, /. d) I potensform blir uttrcken ( ) / ( / ) / /, /. Visserligen ser vi att / > / och > / men det hjälper oss inte att säga något om hur produkterna förhåller sig till varandra. Istället observerar vi att eponenterna,, och har som minsta gemensamma nämnare (MGN) som vi kan brta ut, / / 6/ 9/ ( 6 9 ) /, / / / ( ) /. Nukanvijämförabaserna 6 9 och medvarandraochpåsåsätt avgöra vilket tal som är störst. Eftersom < så är nämnaren större än täljaren 6 9, vilket betder att ärstörre än ( ). 8. Rotekvationer.: För att bli avmedrottecknet i ekvationen kvadrerar vi båda led, (6 ). Detärviktigtattkommaihågattdettasteginnebärattvinuarbetarmedenn ekvation som kan ha lösningar som rotekvationen inte har. I slutet blir det därför nödvändigt för oss att pröva om de framräknade lösningarna vi får också uppfller den ursprungliga rotekvationen. Fortsätter vi med den kvadrerade ekvationen och utvecklar högerledet så får vi en andragradsekvation, 6 +, ( ) dvs Vi kvadratkompletterar vänsterledet, +0 ( ( ( ) ( ) +0 ) 69 ) 9, + 60 vilket ger ekvationen ( ) 9, som har lösningarna , 9 0. För säkerhets skull kontrollerar vi att vi löste andragradsekvationen ( ) rätt genom att stoppa in och 8 i ekvationen. : VL och HL (6 ). 8: VL 8 och HL (6 8). Sedan måste vi pröva lösningarna och 8 i rotekvationen. : VL och HL 6. 8: VL 8 och HL 6 8.

46 8.: Detta visar att är en lösning till rotekvationen medan 8 är en falsk rot. Anm. Att vi får en falsk rot 8 beror inte på att vi räknat fel på något sätt, utan är helt och hållet resultatet av att vi kvadrerade ekvationen. Detförsta vi gör äratt kvadrera båda lediekvationen, +7 ( +), och får en ekvation utan rottecken. Det är möjligt att vi därmed introducerar s.k. falska rötter(lösningar till den na ekvationen som inte är lösningar till den gamla ekvationen) så vi behöver därför pröva lösningarna i den ursprungliga rotekvationen innan vi svarar. Utvecklar vi högerledet i den kvadrerade ekvationen får vi , ( ) som vi också kan skriva som + 0. Kvadratkomplettering av vänsterledet ger + ( +) ( +). Ekvationen blir då som har lösningarna ( +), + +,. En kontroll visar också att och är lösningar till den kvadrerade ekvationen ( ), : VL ( ) och HL ( +), : VL och HL ( +) 9. När vi prövar lösningarna i rotekvationen får vi att : VL ( ) , HL +, : VL , HL +,.: 86 och därför är den enda lösningen till rotekvationen ( är en falsk rot). Anm. Kontrollen när vi stoppar in lösningarna i ekvationen ( ) är strikt sett inte nödvändig, utan är mer för att se att vi inte råkat räkna fel. Däremot är prövningen i rotekvationen nödvändig. Först flttar vi över :an i högerledet, 8, och kvadrerar sedan bort rottecknet, 8 ( ), ( ) eller med högerledet utvecklat, 8 +. Flttar vi över allatermer i enaledetfårvi Om vi kvadratkompletterar vänsterledet, 7 + ( 7 ) ( 7 ) + ( 7 ) ( 7 ), så kan ekvationen skrivas som ( 7 ), och lösningarna är , För säkerhets skull kontrollerar vi att och uppfller den kvadrerade ekvationen ( ), : VL och HL ( ), : VL 8 8 och HL ( ). Eftersom vi kvadrerade rotekvationen så dker eventuellt falska rötter upp och vi måste därför pröva lösningarna när vi går tillbaka till den ursprungliga rotekvationen, : VL och HL,

47 87.:.: : VL och HL. Lösningarna till rotekvationen är och. Kvadrera båda led i ekvationen så att rottecknet försvinner, ( ) +, och lös sedan den uppkomna andragradsekvationen med kvadratkomplettering, + 0, ( ) ( ) + 0, ( ) 9 + 0, ( ) + 0. Som snes kan denna andragradsekvation inte ha några lösningar (vänsterledetäralltidstörre änellerlikamed oavsett hur väljs)sådenursprungliga rotekvationen saknar lösning. Efter att ha kvadrerat båda led får vi ekvationen ( ), ( ) och om vi utvecklar högerledet och sedan samlar ihop termerna har vi Vänsterledet kvadratkompletteras, 7 +6 ( ) 7 ( 7 ) +6 ( 7 ) 9 + ( 7 ), vilket medför att ekvationen kan skrivas ( ) 7, och lösningarna är därför , 7 7..:6 88 Enkontroll därvistopparin och 6 idenkvadreradeekvationen( ) visar att vi löst den ekvationen rätt. : VL och HL ( ). 6: VL 6 6 och HL ( 6) 6. Till sist behöver vi sortera bort eventuella falska rötter till rotekvationen genom att pröva lösningarna. : VL och HL. 6: VL 6 och HL 6. Detta visar att rotekvationen har lösningen. Det som skiljer denna ekvation från tidigare eempel är att den innehåller två rottermerochdågårdetinteattmedenkvadreringfåbortallarotteckenpåen gång, utan vi behöverarbeta itvå steg. En första kvadrering ger ( ++ + ), och utvecklas vänsterledet med kvadreringsregeln fås ( + ) ( + ) 6, vilket efter förenkling resulterar i ekvationen ( +) ( +) 6. Fltta nu över alla termer utom rottermen till högerledet , och med tterligare en kvadrering, ( + + ) ( +0), får vi till slut en ekvation helt utan rottecken, ( +)( +) ( +0). Utveckla båda led ( +6 +) 0 +00, och strk sedan dengemensamma -termen,

48 89 Denna ekvation kan vi skriva som 6 80,vilket geratt Eftersom vi kvadrerade vår ursprungliga ekvation(t.o.m. två gånger) måste vi pröva lösningen för att kunna utesluta attvi harenfalsk rot, VL HL. Alltså harekvationen lösningen. 90. Logaritmer.: a) Eftersom så är. b) Om vi skriver 0, som 0 upphöjt till någonting så har vi att 0, 0 och därför är. c) Vänsterledet kan vi skriva som 0 och detta ska vara lika med 00 0 och då servi att måste vara lika med. d) Precis som i c-uppgiften skriver vi vänsterledet som 0 och högerledet som 0,000 0, dvs. 0 0, vilket geratt..: a) Logaritmen lg0, definieras som det tal som ska stå i den gråa rutan för att likheten 0 0, ska gälla. Idetta fallser vi att 0 0, och därför är lg0,. b) lg0000 ärdettal som ska stå i den gråa rutan i likheten , och eftersom så servi att lg0000. c) Eftersom lg 0,00 definieras som den eponent som ska stå i den gråa rutan i likheten 0 0,00 och vi haratt 0 0,00 så är lg0,00. d) Jämför vi likheten som definierar lg, 0 lg, med 0 0 så servi att lg 0. e) Från definitionen avtiologaritmen servi direkt att 0 lg.

49 9 f) Istället för att hela tiden gå tillbaka till definitionen av logaritmen är det bättre att lära sig arbeta med logaritmlagarna, lg(ab) lga +lgb, lga b blga, och förenkla uttrcken först. Med ett sådant arbetssätt behöver man i princip bara lära sigatt lg0. Ivårt fall harvi att lg0 lg0. g) Vi vet att 0 lg så därför skriver vi om eponenten till lg0, ( ) lg0, lg0, medlogaritmlagen blga lga b. Detta geratt 0 lg0, 0 lg0, 0, 0, 0. h) Argumentet till logaritmen kan skrivas som /0 0 och sedan ger logaritmlagen lga b b lga resten, lg 0 lg0 ( ) lg0 ( )..: a) Genomatt skriva argumentet 8 som 8 så gersedan logaritmlagen loga b b loga att log 8 log log, därvi använtatt log. b) Eftersom vi arbetar med 9-logaritmen så uttrcker vi av 9, 9 9 / 9 /. som en potens Då får vi med logaritmlagarna att log 9 log 9 9 / log 9 9. c) Vi skriver först om talet 0, som ett bråktal som vi också förkortar, 0, ( ). Eftersom 0, blevuttrcktsomenpotensav såkanlogaritmenräknas ut helt och hållet, log 0, log ( ) log ( ). 9 d) Argumentettill log skriver vi som en potensav, 9 / / +/ 7/, och förenklar sedan uttrcket med logaritmlagarna, log (9 / ) log 7/ 7 log 7 7. e) Här kan vi använda definitionen av logaritmen direkt och få att log. f) Skriver vi och 6 som, 6 8, så fårvi att log +log 6 log +log log +log log + ( ) log + ( ). g) Medlogaritmlagen loga logb log a b så kan uttrcket beräknas till log log log log. Ettannatsättärattskriva ochanvändalogaritmlagen log(ab) loga +logb, log log log ( ) log log +log log log. h) Eftersom a a a a / a +/ a / så ger sedan logaritmlagen loga b b loga att log a (a a ) log a a / log a a, därvi använtatt log a a. Anm.Iuppgiften antarvi, underförstått, att a > 0 och a.

50 9.: a) Var för sig är termerna svåra att räkna ut men de två logaritmerna kan slåsihop medlogaritmlagen loga logb log(a/b), lg0 lg lg 0 lg0. b) De två termerna kan kombineras till ett logaritmuttrck med logaritmlagen loga +logb log(ab), lg +lg lg ( ) lg 0. c) Alla tre argument till logaritmen kan skrivas som potenser av, 7 / ( ) / (/), 9, och därför är det lämpligt att använda just basen i förenklingsarbetet med logaritmerna även om vi har 0-logaritmen lg, lg7 / + lg +lg 9 lg + lg +lg lg + lg + ( )lg ( + )lg lg. Detta uttrck kan inte förenklas tterligare..: a) Beteckningen ln används för logaritmen med den naturliga basen e, och vi har därför att lne, vilket tillsammans med logaritmlagen lna b b lna geratt lne +lne lne + lne +. b) Genom att använda logaritmlagarna, lna +lnb ln(a b), lna lnb ln a b, kan vi samla ihop termerna i ett logaritmuttrck, ln8 ln ln ln8 (ln +ln) ln8 ln( ) ln 8 ln 0, där ln 0 eftersom e 0. (Likheten a 0 gällerför alla a 0.) 9 c) Eftersom ln 0 (följer avatt e 0 )så är (ln) e 0 e 0. d) Ioch medatt e e så är lne och vi haratt lne 0. e) Argumentet till ln kan skrivas som e e, och med logaritmlagen lna b b lna får vi att ln e lne ( ) lne ( ). f) Detgälleratt lne så helauttrcket blir (e lne ) (e ) e e..:6 a) Miniräknaren har ingen knapp för log men däremot en knapp för den naturliga logaritmen ln, så vi behöver skriva om log i termeravln. Går vi tillbaka till definitionen av logaritmen så ser vi att log är det tal som uppfller log. Logaritmera nu bådaled i dennalikhetmed ln, ln log ln. Vänsterledet kan med logaritmlagen lna b b lna skrivas som log ln och sambandetblir log ln ln. Alltså harvi, efterdivision med ln, att log ln ln,869..., ,689..., vilket ger det avrundade svaret,6. Anm. På miniräknaren fås svaret fram genom att trcka på knapparna: LN LN b) Logaritmen lg 6 uppfller sambandet 0 lg6 6 och logaritmerar vi bådaled medln fårvi ln0 lg6 ln6.

51 9 Användervi logaritmlagen lna b b lna på vänsterledetblirlikheten lg6 ln0 ln6. Detta visar att lg6 ln6 ln0,886...,08..., och svaret blir,66. Anm.För att räkna utsvaret på miniräknaren knapparman in 6 LN 0 LN c) Innanvibörjartänkapåattomvandla log och log till ln såanvändervi logaritmlagarna, loga b b loga, log(ab) loga +logb, för att förenkla uttrcket, log log 8 log ( 8 log ) log 8 +log log. Med hjälp av sambanden log och log, och logaritmering med ln kan vi uttrcka log och log med ln, log ln ln och log ln ln. Detvå termerna log 8 och log log kan därför skrivas som log 8 ln8 ln ln och log log log ln, där vi kan förenkla det sista uttrcket tterligare genom att använda logaritmlagen log(a/b) loga logb och sedan omvandla log till ln, ln log ln log ln log ln lnln ln lnln ln. Sammantaget får vi alltså att log log 8 ln8 ln + lnln ln lnln ln. Inmatat i miniräknaren ger detta att log log 8,76. Anm. Knappsekvensen på miniräknaren blir 8 LN LN + LN LN LN LN LN LN 96

52 97. Logaritmekvationer.: a) En ekvation av denna tp löser vi genom att logaritmera båda led med ln, lne ln. Då kan det obekanta flttas ner med logaritmlagen lna b b lna som en faktor i vänsterledet, lne ln, och sedan ärdetenkeltatt lösa ut, ln lne ln ln. Anm. En sak som vi inte nämner i denna lösning är att innan vi gör det första steget och logaritmerar båda led i ekvationen är det nödvändigt att försäkra oss om att vänsterledet och högerledet är positiva (det går inte att ta logaritmen av ett negativt tal). Eftersom ekvationen är e så ser vi direkt att högerledet är positivt. Vänsterledet är också positivt eftersom ett positivt tal e,78... upphöjt till ett tal alltid ger ett positivt tal. b) I ekvationen är båda led positiva eftersom faktorerna e och är positiva oavsett värdet på (en positiv bas upphöjd till ett tal ger alltid ett positivt tal). Vi kan därför logaritmera båda led med ln, ln(e ) ln( ). Med logaritmlagen ln(ab) ln a + ln b kan vi dela upp produkterna i flera logaritmtermer, ln +lne ln +ln, och med lagen lna b b lna fårvi bort från eponenterna, ln +lne ln + ( )ln. Samlaihop i enaledetoch övriga termer i detandra ledet, lne +ln ln ln. Brt ut i vänsterledet och använd att lne, ( +ln) ln ln. Lössedan ut, ln ln +ln. 98 Anm.Eftersom ln < ln kan man skriva svaret som ln ln +ln föratt indikera att ärnegativ. c) Ekvationen har samma form som ekvationen i b-uppgiften och därför kan vi använda samma strategi. Vi logaritmerar först båda led, ln(e ) ln(7 ), och använder logaritmlagarna för att frigöra, ln +lne ln7 +ln. Samla sedan ihop i vänsterledet, (lne ln) ln7 ln. Lösningen blir nu ln7 ln lne ln ln7 ln ln..: a) Vänsterledet är upphöjt till någonting och därför ett positivt tal vilket värde än eponenten har. Vi kan därför logaritmera båda led, ln ln, och använda logaritmlagen lna b b lna för att få eponenten som en faktor i vänsterledet, ( )ln ln. Eftersom e 0 så är ln 0, ( )ln 0. Detta betder att måste uppflla andragradsekvationen 0. Rotutdragning ger att eller. Anm. Uppgiften är från finska studenteamen mars 007. b) Skriver vi om ekvationen som (e ) +e

53 99 så ser vi att förekommer bara i kombinationen e och därför är det lämpligt att först betrakta e som en n obekant i ekvationen och sedan, när vi fått fram värden på e, kan vi beräkna motsvarande värden på via en enkel logaritmering. Sätter vi för tdlighets skull t e så kan ekvationen skrivas t +t, och denna andragradsekvation löser vi med kvadratkomplettering, t +t ( t + ) ( ) ( t + ), vilket ger att ( t + ) t ± 7. Dessa två rötter geross två möjliga värden på e, e 7 eller e + 7. I det första fallet är högerledet negativt och eftersom e upphöjt till någonting aldrigkan vara negativt finnsdetinget som kan uppflla denlikheten.detandrafallethardäremotettpositivthögerled(eftersom 7 > )och då kan vi logaritmera båda ledoch få ln ( 7 ). Anm. Det är lite knepigt att kontrollera svaret i den ursprungliga ekvationen så vi kan nöja oss med att sätta in t 7 i ekvationen t +t, VL ( 7 ) + ( 7 ) HL. c) Oavsett vilket värde har så är båda led i ekvationen positiva eftersom de är av tpen positivt tal upphöjt till någonting. Därför går det bra att logaritmera båda led och på så sätt med logaritmlagarna få ner från eponenterna, VL ln ( e ) ln +lne ln + lne ln +, HL ln ln. Samlar vi termerna i ena ledet blir ekvationen ln +ln 0, 00 vilket är en vanlig andragradsekvation som vi börjar med att kvadratkomplettera, ( ln ) ( ln ) +ln 0, ( ln ) ( ln ) ln. Nu måste vi vara observanta och tänka på att eftersom < e < så är ln < < ln vilket betder att (ln) < ln och högerledet ärdärför negativt. I och med att kvadraten i vänsterledet inte kan vara negativ så saknar ekvationen lösning..: a) Både vänster- och högerled är positiva för alla värden på och det betderatt vi kan logaritmera bådaled och få en merhanterbarekvation, VL ln ln, HL ln(e ) ln +lne ln + lne ln +. Ekvationen blir, efter lite ommöblering, + ln + 0. Vi kvadratkompletterar vänsterledet, ( + ln ) ( ln ) + 0, och flttar över konstanttermerna i högerledet, ( + ln ) ( ln ). Det kan vara svårt att direkt se om högerledet är positivt eller inte, men om vi tänker på att e > och därmed att ln < lne så måste (/ln) >, dvs. högerledet är positivt. Ekvationen har därför lösningarna vilket också kan skrivas som ln ± ( ln ), ± (ln) ln. b) Uttrcken ln( +) och ln( ) ärlikabaranärargumententill ln är lika, dvs. +.

54 0 Men vi måste se upp! Om vi får fram ett värde på som gör att dessa argument är lika men negativa eller noll så motsvarar det inte en riktig lösning eftersom ln inte är definierad för negativa argument. I slutet av uppgiften måste vi därför kontrollera att + och verkligen är positiva för de framräknade lösningarna. Flttar vi över alla termer i ena ledet i argumentekvationen får vi andragradsekvationen 0, och vi ser attbåda termerinnehåller som vi brter ut, ( ) 0. Från detta faktoriserade uttrck avläser vi direkt att lösningarna är 0 och. Den slutliga kontrollen visar att när 0 är + 0, så 0 är inte en lösning. Däremot, när är + > 0, så ärenlösning. c) Med logaritmlagarna kan vi skriva ihop vänsterledet till ett logaritmuttrck, ln +ln( +) ln ( ( +) ), men denna omskrivning förutsätter att uttrcken ln och ln( + ) är definierade, dvs. att > 0 och + > 0. Väljer vi därför att fortsätta med ekvationen ln ( ( +) ) ln( +) såmåstevi kommaihågattbaraaccepteralösningar som uppfller > 0 (villkoret + > 0 ärdåautomatiskt uppfllt). Den ihopskrivna ekvationen är i sin tur bara uppflld om argumenten ( +) och + ärlika och positiva, dvs. ( +) +. Vi skriver om denna ekvation till + 0 och kvadratkomplettering ger ( +) 0, ( +), vilketbetder att ±, dvs. och. Eftersom är negativ sorteras den bort medan uppfller bådeatt > 0 och att ( +) + > 0. Svaret äralltså. 0. Vinklar och cirklar.: Det enda vi egentligen behöver hålla reda på är att ett varv motsvarar 60 eller π radianer. Dåfår vi att a) varv och varv π radianer π/ radianer, b) 8 varv 8 60 och 8 varv 8 π radianer π/ radianer, c) varv 60 0 och varv π radianer π/ radianer, d) 97 varv och 97 varv 97 π radianer 97π/6 radianer..: Använderviminnesregelnattettvarvär 60 eller π radianerkanvihärleda en omvandlingsformel från grader till radianer. Eftersom 60 πradianer så gerdetta att π π 60 radianer π 80 radianer. Nu kan vi sätta igång att omvandla vinklarna, a) π 80 b) c) d) radianer π/ radianer, π 80 π 80 π 80 radianer π/ radianer, radianer 7π/0 radianer, radianer π/ radianer..: a) En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90. Den sida som är mittemot 90 -vinkeln kallas för hpotenusan (markerad med i triangeln) och de andra sidorna kallas för kateter. Med hjälp av Pthagoras sats kan vi i den rätvinkliga triangeln skriva upp ett samband mellan triangelns sidor, Denna ekvation ger oss att

55 0 b) Eftersom en av vinklarna i triangeln är 90 har vi en rätvinklig triangel och kan använda Pthagoras sats för att ställa upp ett samband mellan triangelns sidor. Sidan med längd är hpotenusan i triangeln och Pthagoras sats ger oss därför att +, dvs.. Detta betderatt 69. c) I denna rätvinkliga triangel är sidan med längd 7 hpotenusan. (Det är densida som står mittemot denräta vinkeln.) Pthagoras satsger dåatt 7 8 +, eller 7 8. Vifåratt : a) Ritar vi in punkterna i ett koordinatsstem så kan vi se linjestcket mellan punkterna som hpotenusan i en tänkt rätvinklig triangel där kateterna är parallella med - resp. -aeln. (,) (,) I denna triangel är det lätt att mäta kateternas längd som helt enkelt avståndet i - resp. -led mellan punkterna,,. 0 Sedan kan vi med Pthagoras sats räkna ut hpotenusans längd som också är avståndet mellan punkterna, d ( ) + ( ) Anm.Allmänt så har vi att avståndet mellantvå punkter (,) och (a,b) ges av avståndsformeln, d ( a) + ( b). b) Om vi använder avståndsformeln, d ( a) + ( b), förattbestämmaavståndetmellanpunkterna (,) (,) och (a,b) (, ) så får vi att d ( ) + ( ( )) ( ) c) Låt punkten på -aeln ha koordinater (,0), där är något okänt tal. Då ges avstånden från punkten (,0) till (,) och (,) med hjälp av avståndsformeln av ( ) + (0 ) resp. ( ) + (0 ). Eftersom dessa avstånd ska vara lika får vi ekvationen ( ) +9 ( ) +, ellerom vi kvadrerar bådaled, för attbli avmed rottecknen, ( ) +9 ( ) +. Utveckla nu kvadraterna och samla alla termer i ena ledet Detta ger ossatt,dvs. punkten på -aeln är (,0). (,) (,0) (,)

56 0 Som ett sista steg kontrollerar vi att vi räknat rätt och att avstånden verkligen ärlika. Avståndetmellan (,0) och (,) är ( ) + ( 0) och avståndet mellan (,0) och (,) är ( ) + ( 0) Anm. Trots att vi kvadrerade vår rotekvation är det faktiskt inte nödvändigt att pröva lösningen av det skälet att eftersom uttrcken under rottecknen är summor av kvadrater som aldrig är negativa och därför inte kan ge upphov till s.k. falska rötter..: a) En cirkel definieras som alla punkter som har ett fit bestämt avstånd till cirkelns medelpunkt. En punkt (,) ligger alltså på vår cirkel om och endast om dess avstånd till punkten (,) är eakt lika med. Med avståndsformeln kan vi uttrcka detta villkor som ( ) + ( ). Efter en kvadrering får vi cirkelns ekvation i standardform, ( ) + ( ). (,) (,) Cirkeln med medelpunkt i (,) och radie har ekvationen ( ) + ( ). b) Omcirkelnskainnehållapunkten (,) såmåstedenpunktenhaettavstånd till medelpunkten (, ) som är lika med cirkelns radie r. Cirkelns radie kan vi alltså få fram genom att beräkna avståndet mellan (,) och (, ) med avståndsformeln, r ( ( )) + ( ) + ( ) 9 +. När vi vet cirkelns medelpunkt och radie kan vi direkt ställa upp cirkelns ekvation, ( ) + ( ( ) ) ( ), vilketärsamma sak som ( ) + ( +). 06 (, ) (, ) Cirkeln med medelpunkt i (, ) och som innehåller punkten (,) har ekvationen ( ) + ( +). Anm.En cirkel som harmedelpunkt (a,b) och radie r harekvationen ( a) + ( b) r..:6 a) Skriver vi om ekvationen som ( 0) + ( 0) 9 så kan vi tolka vänsterledet som avståndet i kvadrat mellan punkten (, ) och (0,0).Helaekvationen sägerdåattavståndetfrånenpunkt (,) till origo ska vara konstant lika med 9, vilket beskriver en cirkel med medelpunkt i origo och radie. Cirkeln med ekvationen + 9 har medelpunkt i origooch radie. b) Ett snabbt sätt att tolka ekvationen är att jämföra den med standardformenpå ekvationen för en cirkel medmedelpunkti (a,b) och radie r, ( a) + ( b) r.

57 07 Ivårt fall kan vi skriva ekvationen som ( ) + ( ) ( ), och då ser vi att den beskriver en cirkel med medelpunkt i (,) och radie. Cirkelnmedekvationen ( ) + ( ) harmedelpunkti (,) ochradie. c) Vad vi behöver göra är att skriva om ekvationen till standardformen, ( a) + ( b) r, fördå kan vi avläsa cirkelns medelpunkt (a,b) och radie r. I vårt fall behöver vi bara brta ut faktorn från vänsterledets parenteser, ( ) + ( +7) ( ) + ( ( ) ( ) , ) ochsedandelabådaledmed 9 förattfåekvationenidenönskadeformen, ( ) ( ) Eftersom högerledet kan skrivas som ( ) 0 ( ) 9 och termen + 7 som ( ( )) 7 ( såbeskriverekvationen encirkelmedmedelpunkti, 7 ) och radie Cirkeln med ekvationen ( ) + ( +7) 0 har medelpunkti (, 7 ) och radie 0/. 08.:7 a) Som ekvationen står skriven är det svårt att direkt kunna avläsa något om cirkeln, men om vi använder kvadratkomplettering och kombinerar ihop - och -termerna i varsina kvadratuttrck så har vi ekvationen i standardformen, ( a) + ( b) r, och kan avläsa cirkelns medelpunkt och radie. Tar vi - respektive -termerna i vänsterledet och kvadratkompletterar så fårvi att + ( +), ( ), och då kan hela ekvationen skrivas som ( +) + ( ), eller med konstanterna flttade till högerledet, ( +) + ( ). Detta ären cirkel med medelpunkti (,) och radie. Cirkeln med ekvationen + + har medelpunkti (,) ochradie. b) Ekvationen är nästan given i standardformen för en cirkel; det enda tterligare som behövs är att vi samlar ihop - och -termerna i ett kvadratuttrck med kvadratkomplettering, + ( +). Efter denna omskrivning är ekvationen + ( +), och vi ser att ekvationen beskriver en cirkel med medelpunkt i (0, ) och radie.

58 09 Cirkeln med ekvationen har medelpunkti (0, ) och radie. c) Med kvadratkomplettering kan vi skriva om - respektive -termerna som kvadratuttrck, ( ), +6 ( +), och hela ekvationen blir då i standardform, ( ) + ( +) 9 ( ) + ( +) 7. Från detta avläservi attcirkeln harmedelpunkti (, ) och radie 7. Cirkeln med ekvationen har medelpunkti (, ) ochradie 7. d) Vi skriver om ekvationen i standardform genom att kvadratkomplettera - och -termerna, ( ), + ( +). 0 Nu blir ekvationen ( ) + ( +) ( ) + ( +) 0. Den enda punkt som uppfller denna ekvation är (, ) (, ) eftersomförallaandravärdenpå och ärvänsterledetstriktpositivtoch därmed skilt från 0. Cirkeln med ekvationen + + är degenereradoch bestårendastav punkten (, )..:8 Eftersom hjulets omkrets är π (radien) π 0,meter πmeter såsnurrarhjulet π metervarjevarvochpå0meterhinnerdärförhjuletsnurra 0 meter πmeter 0 π varv,varv..:9 Tiden 0 sekunder motsvarar 6 minut så under den tidsperioden hinner sekundvisarensvepaöver 6 varv,dvs.encirkelsektor medmedelpunktsvinkeln α 6 π radianer π/ radianer. α Arean av den cirkelsektorn är Area αr π (8cm) π cm,cm.

59 .:0 Låt oss först bestämma oss för att mäta alla avstånd i dm (decimeter) istället för m (meter)så fårvi avstånden som heltal. Vi kallar tvättlinans längd från träd till galge för respektive z enligt figuren nedan, och inför två hjälptrianglar som har resp. z som hpotenusa. (Som en approimation antar vi att den spända tvättlinan består av två räta delar.) z Eftersom linan ärdm långharvi att +z. () Sedan ger Pthagoras sats att vi har sambanden +, () z ( +6) +6. () Planen är nu att lösa ekvationssstemet () till () genom att först eliminera z såattvifårtvåekvationersombarainnehåller och.sedaneliminera från en avdessaekvationer såatt vi får enekvation som bestämmer. Från () harvi att z och detta insatt i () ger ossekvationen ( ) ( +6) +6. ( ) Ekvationer () och ( ) bildar tillsammans ett mindre ekvationssstem i och, +, () ( ) ( +6) +6. ( ) Utveckla kvadraterna i båda ledav ( ), , och förenkla Använd () och ersätt med + i dennaekvation, , vilket gör att -termerna förenklas bort, , och tterligare förenkling ger ekvationen ( ) Omvistannaruppetttagochsammanfattarlägetsåharvinulckatsförenkla ekvationssstemet () och ( ) till ett sstem () och ( ) där en av ekvationerna är linjär, +, () ( ) I detta sstem kan vi lösa ut från ( ), , och stoppa in i (), ( 6 9 ) +. Detta är en ekvation som bara innehåller och löser vi den får vi fram vårt svar. Utveckla kvadraten i vänsterledet, 6 6 ( och samlaihop alla termer iena ledet, ) +, , vilket ger ekvationen Multiplicera bådaled med så att vi fårekvationen i standardform, Kvadratkomplettera vänsterledet, ( ) + 9 ( 9 ) 67 0, och vi får dvs. ( ) , 9 ± 96 9 ±. Detta betder att ekvationen har lösningarna 9 6 och

60 Svaret äralltså att 9 dm. (Den negativa roten måste förkastas.) För att vara säker på att vi har räknat rätt tar vi också reda på värdena på och z, och kontrollerar att de ursprungliga ekvationerna () till () är uppfllda. Ekvation ( ) ger att och ekvation () geratt 6 9 6, z 9. Nu kontrollerar vi att 9, och z 9 uppfller ekvationerna (), () och (), VL av() +9, HL av(), VL av(), HL av() , VL av() 9, HL av() (9 +6) Trigonometriska funktioner.: a) Definitionen av tangens säger att tanu motstående katet närliggande katet. u Ivårt fall betderdetta att närliggande katet motstående katet tan7, vilketger att tan7. Anm. Med en miniräknare kan vi räkna ut vad blir, tan7 6,6. b) Om vi spegelvänder triangeln kan det vara enklare att identifiera de olika sidorna i triangeln. hpotenusa närliggande katet motstående katet Eftersom vi vet hpotenusan och söker den närliggande kateten är det lämpligt att ställa upp kvoten för cosinus av vinkeln, cos Urdetta sambandkan vi lösa ut, ( närliggande katet hpotenusa cos (,). ). c) Svårigheten är att känna igen sidorna i den rätvinkliga triangeln. En enkel tumregel är att hpotenusan är den sida som står mittemot den räta vinkeln.(det är också den längsta sidan i triangeln.) Den närliggande kateten är den sida som ligger intill den vinkel vi betraktar och den motstående kateten är den tredje sidan. motstående katet närliggande katet 0 hpotenusa

61 Den motstående kateten är given medan den närliggande kateten söks. Därför ställer vi upp tangens av vinkeln, tan0, och då är tan0 ( 6,7). d) Sidan markerad med är hpotenusan i den rätvinkliga triangeln och sidanmed längd 6 ärdennärliggande kateten till vinkeln 0. motstående katet hpotenusa närliggande katet Genom attställa uppkvoten för cos0 får vi sambandet cos0 6 och detmedför att 6 cos0 ( 7,0). e) Itriangelnsökervihpotenusan närvivetvinkeln ochdenmotstående katetens längd,. hpotenusa motstående katet närliggande katet Definitionen av sinus ger att sin och därmed att sin ( 9,). f) Dennärliggandekatetentillvinkeln 0 ärmarkeradmed ochdenmot- 6 satta kateten ärdensida som harlängd 9. närliggande katet motstående katet hpotenusa Ställerviupptangensförvinkelnsågerdettaettsambandsombarainnehåller som obekant, tan0 9. Detta ger att 9 tan0 (,9)..: a) De två kateterna är givna i den rätvinkliga triangeln och det betder att tangensvärdet för vinkeln kan bestämmas som kvoten mellan den motstående och närliggande kateten, tanv motstående. katet närliggande katet Detta är samtidigt en trigonometrisk ekvation för vinkeln v. Anm. I kapitlet Trigonometriska ekvationer kommer vi undersöka närmare hur man löser ekvationer av denna tp. b) I denna rätvinkliga triangel är den motstående kateten och hpotenusan givna. Detta betder att vi direkt kan ställa upp ett samband för sinus av vinkeln v, sinv hpotenusa närliggande katet motstående katet

62 7 Högerledet i denna ekvation kan förenklas så att vi får sinv 7. c) Cosinus av vinkeln v är den närliggande kateten dividerat med hpotenusan, närliggande katet cosv 7. hpotenusa motstående katet Detta ärockså en ekvation för vinkeln v. d) Genom att skriva upp uttrcket för sinus av vinkeln v (motstående katet dividerat med hpotenusan) får vi en trigonometrisk ekvation där v är den enda obekanta, hpotenusa sinv motstående. katet närliggande katet e) Uppgiften är lite av en kuggfråga eftersom det inte behövs någon trigonometri för att lösa den. Tvåvinklarärgivnaitriangeln(60 -vinkelnochdenrätavinkeln)ochdå kan vi användaatt summan avalla vinklarien triangel är 80, v , vilket ger att v f) Eftersom triangeln är likbent (två sidor är lika långa) kan den delas upp i två lika stora rätvinkliga trianglar genom att införa en sida som delar vinkeln v mittuti. v/ 8 Betraktar vi den ena triangelhalvan kan vi ställa upp det trigonometriska sambandet sin v, som ären ekvation för v..: a) En användbar teknik för att räkna ut värdet på en trigonometrisk funktion för vinklar som inte ligger mellan 0 och π/ är att använda enhetscirkeln. Ritar vi in en linje som utgår från origo och bildar en viss vinkel relativt den positiva delen av -aeln så kan vi läsa av cos-värdet av vinkeln som -koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och enhetscirkeln. På samma sätt är sin-värdet av vinkeln -koordinaten för skärningspunkten. Idetta fall går detdirekt attavläsa att sin ( (cos α,sin α) π ). α π (0, ) b) Vinkeln π motsvarar ett helt varv och därför ser vi att om vi ritar in linjen med vinkeln π relativt den positiva -aeln så får vi den positiva -aeln. π (,0)

63 9 Eftersom cos π är -koordinaten för skärningspunkten mellan linjen med vinkeln π och enhetscirkeln så kan vi direkt avläsa att cosπ. c) Utan att förändra värdet på sinusfunktionen kan vi lägga till och dra ifrån multipler av π till dess argument. Vinkeln π svarar nämligen mot ett helt varv i enhetscirkeln och sinusfunktionen återkommer till samma värde för varje helt varvs förändring av vinkeln. Eempelviskan vi dra ifrån tillräckligt många π från 9π så att vi får ett merhanterbart argumentsom ligger mellan0och π, sin9π sin(9π π π π π) sin π. Linjen som bildar vinkeln π mot den positiva delen av -aeln är den negativa delen av -aeln och den skär enhetscirkeln i punkten (, 0) varför vi från -koordinaten kan avläsa att sin9π sin π 0. (, 0) π d) Förattfåenvinkelmellan 0 och π subtraherarvi π frånvinkeln 7π/, vilket också lämnar cosinusvärdet oförändrat, cos 7π cos ( 7π π ) cos π. Närviritarupplinjensombildarvinkeln π/ motdenpositiva -aeln får vi den negativa -aeln och ser att denna linje skär enhetscirkeln i punkten (0, ). Alltså är skärningspunktens -koordinat lika med 0 och därmedär cos(7π/) cos(π/) 0. π (0, ) 0 e) Om vi ritar upp linjen som har vinkeln π/ relativt den positiva -aeln så skär den enhetscirkeln i den andra kvadranten. π Vad figuren vid första påsn ger information om är vilka tecken som cos(π/) och sin(π/) har: cosinus, som är -koordinaten för skärningspunkten, är negativ och sinus, som är -koordinaten, är positiv. För att komma vidare och bestämma skärningspunktens koordinater koncentrerar vi oss på den andra kvadranten och inför där en hjälptriangel som har vinkellinjen som hpotenusa och övriga kanter parallella med koordinatalarna. α I denna triangel ser vi att vinkeln α mellan hpotenusan och -aeln är den del av vinkeln π/ som ligger i den andra kvadranten, dvs. α π/ π/ π/. Med hjälp av trigonometri kan vi nu bestämma triangelns kanter, motstående katet π närliggande katet motstående katet närliggande katet sin π, cos π. Detta visar att skärningspunkten har koordinaterna ( /,/ ) (notera minustecknet i -koordinaten) och därmedatt sin(π/) /.

64 f) Den punkt på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln π/6 ligger i den fjärde kvadranten. π/6 Som vanligt ges cos( π/6) som -koordinaten för skärningspunkten mellan vinkellinjen och enhetscirkeln. För att bestämma denna punkt inför vi en hjälptriangel i den fjärde kvadranten. π/6 Kanterna i denna triangel kan vi bestämma med enkel trigonometri och sedan översätta till punktens koordinater. närliggande katet π/6 motstående katet motstående katet närliggande katet sin π 6, cos π 6. Alltså har skärningspunkten koordinaterna ( /, /) och speciellt är cos( π/6) /..: a) Det kan vara lite svårt att direkt rita in vinkeln π/6 i enhetscirkeln, men om vi skriver om π/6 som π 6 6π +π +π 6 π + π + π så ser vi att vi har en vinkel som ligger i fjärde kvadranten enligt figuren nere till vänster. Vi lägger också märke till att denna vinkel svarar mot eakt samma punkt på enhetscirkeln som vinkeln π/6, och eftersom vi räknadeut cos( π/6) i uppgift.:fharvi att cos π 6 cos ( π 6 ). π π π/6 π b) Vi börjar med att subtrahera π från π/ så vi får en vinkel mellan 0 och π. Detta förändrar inte heller cosinusvärdet, cos π ( π cos π ) cos π. Genom attsedan skriva om π/ som ensumma av π-och π/-termer, π π + π + π π + π + π 6, såserviatt π/ ärenvinkelifjärdekvadrantensombildarvinkeln π/6 mot den negativa -aeln. π π 6 π Med hjälp av en triangel och lite trigonometri kan vi bestämma koordina-

65 terna för punkten på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln π/. närliggande katet π 6 motstående katet motstående katet närliggande katet sin π 6, cos π 6. Punkten har koordinaterna (/, /) och därmed är cos(π/) cos(π/). c) Iuppgift.:estuderade vi vinkeln π/ och kom fram till att cos π och sin π. Eftersom tan ärdefinieratsom sin cos tan π sin π cos π så fårvi direkt att. d) Använder vi enhetscirkeln och markerar vinkeln π så avläser vi direkt att cos π och sin π 0. (, 0) π Därmedfår vi att tan π sin π 0 cos π 0 0. e) Skriver vi vinkeln 7π/6 som 7π 6 6π + π 6 π + π 6 så ser vi att vinkeln 7π/6 på enhetscirkeln hamnar i den tredje kvadranten och bildar vinkeln π/6 med den negativa -aeln. π/6 π Geometriskt definieras tan(7π/6) som riktningskoefficienten för linjen med vinkeln 7π/6 och eftersom denna linje har samma lutning som linjen medvinkeln π/6 harvi att tan 7π 6 tan π 6 sin π 6 cos π 6. 7π 6 π/6 f) Adderar vi π till π/ så får vi en n vinkel i den första kvadranten som svarar mot eakt samma punkt på enhetscirkeln som den gamla vinkeln π/ och har följdaktligen samma tangensvärde, tan ( π ) tan ( π +π ) tan π sin π cos π..: a) Eftersom 90 + så är en vinkel i den andra kvadranten

66 som bildarvinkeln med denpositiva -aeln. 90 Punkten på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln kan vi bestämma genom att införa en hjälptriangel och räkna ut dess kanter med trigonometri, motstående katet närliggande katet motstående katet närliggande katet sin, cos. Koordinaternaförpunktenär ( /,/ ) ochdettageratt cos /. b) Ritar vi in vinkeln 80 + i enhetscirkeln så bildar den vinkeln med dennegativa -aeln. 80 Det innebär att tan, som är riktningskoefficienten för linjen som bildar vinkeln med den positiva -aeln, är lika med tan eftersom 6 linjen som bildarvinkeln harsamma lutning, tan tan sin cos. c) Uttrcker vi vinkeln 0 i radianerså fårvi att 0 0 π 80 π radianer 6 radianer, och från uppgift.:avet vi att cos0 cos π 6. d) Genom att subtrahera 60 från vinkeln 9 förändrar vi inte värdet på tangens, tan9 tan(9 60 ) tan. Nu vet vi från deluppgift a att cos / och sin / vilket ger att tan sin cos.

67 7.:6 Den eftersökta sträckan kan vi räkna ut genom att ta differensen a b av kateterna a och b i trianglarna nedan. a b 60 Tar vi tangens av den givna vinkeln i respektive triangel får vi enkelt ut a och b, a a tan60 sin60 cos60 / /, 60 b b tan sin cos / /. Alltså är a b..:7 Omviförlängersträckanmellan A och B tillenpunkt D mittemotpunkten C så fårvi den rätvinkliga triangeln nedan därkateten mellan C och D är det sökta avståndet. C A 0 B D 8 Informationen i uppgiftsteten kan sammanfattas genom att betrakta de två trianglarna ACD och BCD, och ställa upp tangenssambanden som vinklarna 0 och gerupphov till, C C 0 A 0 + D B D (0 +)tan0 tan (0 +),, där äravståndetmellan B och D. Detandrasambandetovangeratt ochdettainsattidetförstasambandet ger att (0 +). Multiplicera bådaled med, 0 +, och fltta över alla -termer i vänsterledet, ( ) 0. Svaret blir att 0 m,7 m..:8 Vi börjar med att rita upp tre hjälptrianglar, och kallar de tre vertikala kateterna för, och z enligtfiguren. α a β b l γ z

68 9 Användervi definitionen avcosinus kan vi räkna utkateterna och, acos α, bcos β, och avsammaskäl vetvi att z uppfllersambandet z lcos γ. Dessutom vet vi attlängderna, och z uppfller likheten z. Stopparviinuttrckenför, och z såfårvidentrigonometriska ekvationen lcos γ acos α bcos β, därendast γ ärobekant..:9 Om vi inför den streckade triangeln nedan så är fågelavståndet mellan A och B lika med triangelns hpotenusa c. B c b A a Ett sätt att bestämma hpotenusan är om vi känner till triangelns kateter a och b,för då gerpthagoras sats att c a +b. Kateterna, i sin tur, kan vi bestämma genom att införa tterligare en triangel APR, där R är den punkt på linjen PQ där den streckade triangelns katet skär linjen. A 0 P 0 Eftersom vi känner till sträckan AP och vinkeln vid P ger enkel trigonometri att denna triangelns kateter och gesav sin0 cos0,. Nukanvi börja nsta upplösningen. Iochmedatt och ärframräknade så kan vi bestämma a och b genom att betrakta horisontella och vertikala avstånd i figuren, a a + + 7, b b. Med a och b givna gerpthagoras sats att c a +b 7 + ( ) 9 + ( + ( ) ) 0 8 km,0km.

69 . Trigonometriska samband.: a) Om vi ritar ut vinkeln π/ i enhetscirkeln så har den en -koordinat som är lika med cos(π/). π π +π I figuren ser vi också att den enda andra vinkel i enhetscirkeln som har samma cosinusvärde (dvs. samma -koordinat) är vinkeln v π/ på motsatt sida om -aeln. För att få denna vinkels riktning uttrckt med envinkelmellan0och π adderarvi π,dvs.vifårvinkeln v π/ + π 9π/. b) Eftersom sinusvärdet för en vinkel är lika med vinkelns -koordinat i enhetscirkeln så har två vinklar samma sinusvärde bara när de har samma -koordinat. Ritar vi därför in vinkeln π/7 i enhetscirkeln så ser vi att den enda vinkel mellan π/ och π som har samma sinusvärde finns i den andra kvadranten där linjen sin π/7 skär enhetscirkeln. π 7 π π 7 Av smmetriskäl har vi att denna vinkel är spegelbilden av vinkeln π/7 i -aeln, dvs. bildar vinkeln π/7 med den negativa -aeln och är därför v π π/7 6π/7. c) Tangensvärdet av vinkeln π/7 är riktningskoefficienten av linjen som bildar vinkeln π/7 med -aeln. π 7 π 7 + π Frånfigurenserviattdenvinkelmellan π/ och π somgerenlinjemed samma lutning som vinkeln π/7 är v π 7 + π 9π 7..: a) I enhetscirkeln svarar vinkeln π/ mot punkten (0, ) och den vinkel i intervallet från 0 till π som har samma cosinusvärde som π/, dvs. -koordinat 0, ärvinkeln v π/. π π b) Skriver vi vinkeln 7π/ som 7π π +π π + π så servi att 7π/ ären vinkel i tredje kvadranten. π π π π

70 Den vinkel mellan 0 och π som har samma -koordinat som vinkeln 7π/, och därmed samma cosinusvärde, är spegelbilden av vinkeln 7π/ i -aeln, dvs. v π π/ π/..: a) Vinkeln v är spegelbilden av vinkeln v i -aeln och vid en sådan spegling förändras inte -koordinaten medan -koordinaten bter tecken. Det betderatt om sinv a så är sin( v) a. v v b) Vinkeln π v bildar samma vinkel med den negativa -aeln som vinkeln v bildar mot den positiva -aeln och det betder att π v är spegelbilden av v i -aeln. v v π Vid en sådan spegling förändras inte vinkelns -koordinat (medan - koordinaten bter tecken) och därför är sin(π v) sinv a. c) Med hjälp av den trigonometriska ettan kan vi uttrcka cos v i termer av sinv, cos v +sin v cosv ± sin v. Dessutomvetviattvinkeln v liggermellan π/ och π/,dvs.antingen i den första eller fjärde kvadranten, och där har vinklar alltid positiv - koordinat (cosinusvärde) så därför kan vi dra slutsatsen att cosv sin v a. d) Vinkeluttrcket π/ v skiljer sig från π/ lika mcket som v skiljer sig från 0. Detta innebär att π/ v bildar samma vinkel mot den positiva -aeln som v bildar mot den positiva -aeln. v v Vinkeln π/ v hardärfören -koordinatsomärlikamed -koordinatenför vinkeln v, dvs. ( π ) v sin cosv, och från deluppgift cvetvi att cosv a. Därför är sin ( π v ) a. e) Vinkeln π/ +v bildarsamma vinkel mot denpositiva -aeln som vinkeln v bildar mot den positiva -aeln och därmed ser vi att -koordinaten för π/ +v är lika med -koordinaten för v med ombtt tecken, dvs. ( π ) +v cos sinv a. v v f) I detta fall är det nog enklast att använda additionsformeln för sinus, sin ( π +v ) sin π cosv +cos π sinv.

71 Eftersom sin(π/) /, cos(π/) /, sinv a och cosv +v a så kan detta skrivas som ( π ) sin a + a..: a) Den trigonometriska ettan ger oss direkt att sin v cos v b. b) Använder vi återigen den trigonometriska ettan har vi att cos v +sin v sinv ± cos v. Eftersomvinkeln v liggermellan 0 och π är sinv positiv(envinkeliden första eller andra kvadranten har positiv -koordinat) och därför är sinv cos v b. c) Formeln för dubbla vinkeln ger att sinv sinvcosv, och från deluppgift b harvi att sinv b. Alltså är sinv b b. d) Med formeln för dubbla vinkeln och den trigonometriska ettan kan vi uttrcka cosv i termerav cosv, cosv cos v sin v cos v ( cos v) cos v b. e) Additionsformeln för sinus ger oss att ( sin v + π ) sinv cos π +cosv sin π. Eftersom vi från deluppgiftbvetvi att sinv b och sedan använderatt cos(π/) sin(π/) / så fårvi att sin ( v + π ) b +b. f) Vi använder additionsformeln för cosinus och kan uttrcka cos(v π/) i termerav cosv och sinv, cos ( v π ) cosv cos π +sinv sin π. Ioch medatt cosv b och sinv b så gerdetta att cos ( v π ) b + b. 6.: En ofta använd teknik att beräkna cos v och tan v, givet sinusvärdet av en spetsig vinkel v, är att rita in vinkeln v i en rätvinklig triangel som har två sidor anpassadeså att just sinv 7. 7 v Med Pthagoras sats kan vi sedan bestämma längden av den tredje sidan i triangeln, 7 + 7, vilket ger att v 7 6. Därefter är det bara att använda definitionen av cosinus och tangens, cosv 7 6 7, tanv 6. Anm. Notera att den rätvinkliga triangeln som vi använder är ett hjälpmedel och har inget att göra med triangeln som omnämns i uppgiftsteten..:6 a) Tänker vi på vinkeln v som en vinkel i enhetscirkeln så ligger v i den fjärde kvadranten och har -koordinat. v

72 7 Förstorar vi upp den fjärde kvadranten så ser vi att vi kan bilda en rätvinklig triangel med hpotenusa och en katetlika med. v b Med Pthagoras sats går det att bestämma den återstående kateten, b + ( ), vilket ger att b ( ) Eftersom vinkeln v tillhör den fjärde kvadranten är dess -koordinat negativ och därför lika med b,dvs. sinv 7. Sedanharvi direkt att tanv sinv cosv 7/ / 7. b) Viritarinvinkeln v ienhetscirkeln,och detfaktum att sinv 0 betder attdess -koordinat ärlika med 0. v 8 Med den information som är given kan vi definiera en rätvinklig triangel i denandra kvadranten som harhpotenusa och vertikal katet 0. a v 0 Triangelns kvarvarande katet, a, kan vi bestämma med Pthagoras sats, a + ( ) 0, som ger att a ( 0 ) Detta betder att vinkelns -koordinat är a, dvs. vi har att cosv 9 0, och därmed att tanv sinv cosv /0 9. 9/0 c) Eftersom vinkeln v uppfller π v π/ så tillhör v den tredje kvadrantenienhetscirkeln,ochvidareger tanv attlinjensomsvararmot vinkeln v har riktningskoefficient. v

73 9 I den tredje kvadranten kan vi införa en rätvinklig triangel där hpotenusan är och kateterna harförhållandet :. v a a Utnttjar vi nu Pthagoras sats på triangeln så ser vi att den horisontella kateten a uppfller a + (a), vilketger oss att 0a, dvs. a. 0 Därmed är vinkeln v:s -koordinat / 0 och -koordinat / 0, dvs. cosv, 0 sinv. 0.:7 a) Uttrcket sin( +) kan vi skriva i termer av sin, cos, sin och cos om vi använder additionsformeln för sinus, sin( +) sin cos +cos sin. Faktorerna cos och cos går i sin tur att uttrcka i sin och sin med hjälp av den trigonometriska ettan, cos ± cos ± sin ± sin ± ( ) ±, ( ) ±. Eftersom och är vinklar i den första kvadranten är cos och cos positiva, såvi harisjälva verket att Sammanlagt får vi cos sin( +) + och cos b) Vi skriver om sin( + ) med additionsformeln, sin( +) sin cos +cos sin. Om vi använder samma lösningsförfarande som i a-uppgiften använder vi sedan den trigonometriska ettan för att uttrcka de obekanta faktorerna sin och sin i termer av cos och cos, sin ± cos ± sin ± cos ± ( ) ± ( ) ± ±, 9 ±. Vinklarna och ligger i denförsta kvadranten och därför är både sin och sin positiva, dvs. sin och sin. Svaret blir således sin( +) :8 a) Viskriver om tanv i vänsterledetsom sinv cosv, och får tan v sin v cos v. Om vi sedan använder den trigonometriska ettan, cos v +sin v, och skriver om cos v i nämnaren som sin v så får vi det eftersökta högerledet. Hela uträkningen blir tan v sin v cos v sin v sin v. b) Eftersom tanv sinv/cosv kan vänsterledet skrivas med cosv som gemensam nämnare, cosv tanv cosv sinv cosv sinv cosv. Nu observerar vi att om vi förlänger med +sinv så kommer nämnaren innehålla högerledets nämnare som faktor och dessutom kan täljaren

74 förenklas medkonjugatregeln till sin v cos v, dvs. sinv cosv sinv cosv +sinv +sinv sin v cosv( +sinv) cos v cosv( +sinv). Förkorta sedan bort cosv och vi fårsvaret cos v cosv cosv( +sinv) cosv +sinv. c) Man skulle kunna skriva tan(u/) som en kvot mellan sinus och cosinus, och sedan fortsätta med formeln för halva vinkeln, tan u sin u cos u, men eftersom detta leder till kvadratrötter och besvär med att hålla reda på rätt tecken framför rötterna så kanske det är enklare att istället gå baklänges och arbeta med högerledet. Viskriver u som (u/) ochanvänderformelnfördubblavinkeln,(detta för attvi islutänden vill nåhögerledet som har u/ som argument,) sin sinu +cosu ( +cos u ( ) u ) cos u sin u +cos u sinu. Skrivsedantaletinämnarensom cos (u/) +sin (u/) meddentrigonometriska ettan, cos u sin u cos u sin u +cos u sinu cos u +sinu +cosu sinu cos u sin u sin u cos u cos u tan u. d) Det verkar naturligt att försöka använda additionsformeln på vänsterledets täljare, cos(u +v) cosu cosv cosu cosv sinu sinv cosu cosv sinu sinv cosu cosv tanu tanv..:9 Formeln för dubblavinkeln på sin60 geratt sin60 cos80 sin80. I högerledet ser vi att faktorn cos80 har dkt upp, och använder vi formeln för dubbla vinkeln på denandra faktorn sin80, cos80 sin80 cos80 cos0 sin0, så fårvi fram tterligare enfaktor cos0.en sista användningavformeln för dubbla vinkeln på sin0 ger ossalla tre cosinusfaktorer, cos80 cos0 sin0 cos80 cos0 cos0 sin0. Alltså harvi lckats visa att sin60 8 cos80 cos0 cos0 sin0, vilket också kan skrivas som cos80 cos0 cos0 sin60 8sin0. Ritar vi upp enhetscirkeln ser vi att 60 bildar vinkeln 0 mot den negativa -aelnochdärförharvinklarna 0 och 60 samma -koordinatienhetscirkeln, dvs. detgälleratt sin0 sin Detta visar att cos80 cos0 cos0 sin60 8sin0 8.

75 . Trigonometriska ekvationer.: a) I enhetscirkelns första kvadrant finns en vinkel med sinusvärdet och detär v π/6. π/6 Av figuren ser vi också att det finns tterligare en vinkel med samma sinusvärde i den andra kvadranten. Den vinkeln bildar av smmetriskäl samma vinkel mot den negativa -aeln som v π/6 bildar mot den positiva -aeln, dvs. denandra vinkeln är v π π/6 π/6. b) Den enklaste vinkeln att komma fram till är v π/ i den första kvadranten. När vi sedan ritar upp enhetscirkeln ser vi att vinkeln som bildar samma vinkel mot den positiva -aeln som v π/ men är under - aelnockså harcosinusvärdet (samma -koordinat). π Det finns alltså två riktningar med vinklar v π/ resp. v π/ i enhetscirkelnmedcosinuslikamed.eftersom viska svaramedvinklar mellan 0 och π adderar vi π till den negativa vinkeln och får svaret v π/ och v π/ +π π/. c) Det finns bara en vinkel mellan 0 och π där sinusvärdet är lika med och detärnär v π/. π d) Eftersom tanv sinv/cosv så ger villkoret tanv att sinv cosv, dvs. vi söker vinklar i enhetscirkeln där - och -koordinaterna är lika. Efterattharitatuppenhetscirkeln och linjen servi attdetfinnstvå vinklarsom uppfllerdetta villkor: v π/ och v π + π/ π/. π π/ e) Det finns ingen vinkel v som ger cosv eftersom cosinusvärdet alltid ärbegränsat till mellan och. f) Ekvationen sinv kan vi översätta till att vi söker de vinklar i enhetscirkeln med -koordinat. Jämför vi detta med problemet vi hade

76 ideluppgiftadärvisöktevinklarsomuppfller sinv + såärsituationen densamma men nu ligger vinklarna spegelsmmetriskt under istället för över -aeln. De två vinklar som uppfller sinv ligger i tredje och fjärde kvadranten och är v π π/6 π/6 och v π + π/6 7π/6. g) En snabb skiss av enhetscirkeln och linjen /, som motsvarar tangensvärdet /, visar att det finns två vinklar som uppfller tanv /.Enavvinklarna ligger ifjärde kvadranten och denandra vinkeln är den motsatta vinkeln i den andra kvadranten. Vi kan därför begränsa oss till den fjärde kvadranten och rita in en hjälptriangel för att bestämma vinkeln där. α 6 Om vi kallar den närliggande kateten till vinkeln α för, då ger det faktum att tanv / attden motstående kateten harlängd /. v α / Pthagoras sats ger att + ( ), och dennaekvation harlösningen /, vilket betderatt / cos α, dvs. α π/6. Eftersom vinkeln v i fjärde kvadranten är komplementet till α är v lika med v π α π π 6 π 6. Drarvi ifrån etthalvt varv, vinkeln π, fårvi den andra vinkeln, v π 6 π π 6..: a) Vi ritar upp enhetscirkeln och markerar de vinklar som på cirkeln har - koordinat / för att sevilka lösningar som finns mellan 0 och π. I den första kvadranten känner vi igen π/ som den vinkel som har sinusvärdet /, och sedan har vi den spegelsmmetriska lösningen π π/ π/ i den andrakvadranten.

77 7 Var och en av de två lösningarna återkommer sedan varje varv, så den fullständiga lösningen fårvi om vi läggertill multiplarav π, π +nπ och π +nπ, där n är ett godtckligt heltal. Anm. När vi skriver att den fullständiga lösningen ges av π +nπ och π +nπ så betderdetatt förvarje heltalsvärde på n får vi enlösning till ekvationen. n ±0: π/, π/ n : π/ + ( ) π, π/ + ( ) π n +: π/ + π, π/ + π n : π/ + ( ) π, π/ + ( ) π n +: π/ + π, π/ + π... b) Ekvationen cos har i första kvadranten lösningen π/ och sedan den smmetriska lösningen π π/ π/ i den fjärde kvadranten. π π Läggervitillmultiplerav π tilldessatvålösningarsåfårviallalösningar, π +nπ och π +nπ, där n är ett godtckligt heltal. c) Det finns två vinklar, 0 och π, i enhetscirkeln som har sinus- 8 värdet 0. π Denfullständiga lösningen fårvi närvi lägger till multipler av π, 0 +nπ och π +nπ, där n är ett godtckligt heltal. Anm.Eftersom skillnaden mellan 0 och π äretthalvtvarvupprepaslösningarna varje halvvarv och de kan sammanfattas i ett uttrck 0 +nπ, där n är ett godtckligt heltal. d) Förutom att det står så har vi en vanlig trigonometrisk grundekvation av tpen sin a. Om vi bara intresserar oss för lösningar som uppfller 0 π så ger en skiss av enhetscirkeln att det finns två sådana lösningar: π/ och den spegelsmmetriska lösningen π π/ π/. π π/ Ekvationens samtliga lösningar fås sedan av alla som skiljer sig från någon avdessa två lösningar med en multipel av π, π +nπ och π +nπ,

78 9 där n är ett godtckligt heltal. Dividerar vi båda led med så får vi lösningarna uttrckta för ensamt, π 0 + nπ och π 0 + nπ, (n godtckligt heltal). e) Detta är nästan eakt samma ekvation som i deluppgift d. Vi bestämmer först lösningarna till ekvationen när 0 π, och enligt enhetscirkeln finnstvå sådanalösningar: π/6 och π π/6 π/6. π/6 π/6 Resterande lösningar får vi fram genom att lägga till multipler av π till ovanstående två lösningar, π 6 +nπ och π 6 +nπ, där n ärettgodtckligt heltal, ellerom vi dividerarmed, π 0 + nπ och π 6 + nπ, (n godtckligt heltal). f) Enligt enhetscirkeln har ekvationen cos / två lösningar som uppfller 0 π, π + π π och π + π π. π + π π + π 0 Deövriga lösningarna får vi genom att lägga till multipler av π, π +nπ och π +nπ, det vill säga π + nπ där n är ett godtckligt heltal. och π + nπ,.: a) Högerledet i ekvationen är en konstant så ekvationen är faktiskt en vanlig trigonometrisk grundekvation av tpen cos a. I detta fall kan vi direkt se att en lösning är π/6. Därefter följer från enhetscirkeln att π π/6 π/6 är den enda andra lösningen mellan 0 och π. π 6 π π 6 Alla lösningar till ekvationen får vi om vi lägger till multipler av π till de två lösningarna ovan, π 6 där n är ett godtckligt heltal. π +nπ och 6 +nπ, b) Viserdirektatt π/ ärenlösningtillekvationen,ochmedenhetscirkeln kan vi också dra slutsatsen att π π/ π/ är den enda tterligare lösningen mellan 0 och π. π π π/

79 Samtliga lösningar till ekvationen får vi när vi adderar på heltalsmultipler av π, π +nπ och π +nπ, där n är ett godtckligt heltal. c) Om vi behandlar hela uttrcket +0 som en obekant så har vi en trigonometrisk grundekvation och kan med hjälp av enhetscirkeln se att det finns två lösningar till ekvationen för , nämligen +0 6 och den smmetriska lösningen Sedan är det enkelt att ställa upp den allmänna lösningen genom att lägga till multiplerav 60, n 60 och +0 +n 60, föralla heltal n, vilket geratt +n 60 och 7 +n 60. d) Först observerar vi från enhetscirkeln att ekvationen har två lösningar för 0 60, och Detta betder att ekvationens samtliga lösningar är +n 60 och 6 +n 60, föralla heltal n, dvs. +n 0 och +n 0..: Planen är att vi först tar fram den allmänna lösningen till ekvationen och sedan servilka vinklarsom ligger mellan 0 och 60. Börjarvimedattbetraktauttrcket v +0 somenobekantsåharvienvanlig trigonometrisk grundekvation. En lösning som vi kan se direkt är v Det finns sedan tterligare en lösning som uppfller 0 v +0 60, nämligennär v +0 liggeridentredjekvadranten ochbildarsammavinkel motdennegativa -aelnsom 0 bildarmotdenpositiva -aeln,dvs. v + 0 bildarvinkeln motdennegativa -aelnoch ärföljdaktligen v Nu är det enkelt att ställa upp den allmänna lösningen, { v n 60, v n 60, där n ärett godtckligt heltal,och löser vi ut v fås { v 0 +n 80, v 0 +n 80.

80 För lite olika värden påheltalet n servi att motsvarande lösningar är:.. n : v , v n : v , v n ±0: v , v n +: v , v n +: v , v n +: v , v Från tabellenservi attde lösningar som finns mellan 0 och 60 är v 0, v 0, v 0 och v 00..: a) Om vi för en stund betraktar likheten sinu sinv, ( ) där u har ett fit värde, så finns vanligtvis två vinklar v i enhetscirkeln som gör att likheten är uppflld, v u och v π u. v π u v u (De enda undantagen är när u π/ eller u π/ då u och π u svarar mot samma riktning och det bara finns en vinkel v som uppfller likheten.) Alla vinklar v som uppfller ( ) får vi genom att lägga till multipler av π, v u +nπ och v π u+nπ, där n är ett godtckligt heltal. Gårvi nu över till vårekvation, sin sin, så visar resonemanget ovan att ekvationen bara är uppflld när +nπ eller π +nπ. Löser vi ut ur respektive likhet fås den fullständiga lösningen till ekvationen, 0 +nπ, π + nπ, (n godtckligt heltal). b) Låt oss först undersöka när likheten tanu tanv är uppflld. Eftersom tan u kan tolkas som lutningen (riktningskoefficienten) av linjen som bildar vinkeln u med den positiva -aeln ser vi att för ett fit värde på tanu finns två vinklar v i enhetscirkeln med denna lutning, v u och v u + π. v u + π v u Vinkeln v uppreparsedandennalutningvarjehalvtvarv,såomvilägger till multiplerav π till u får vi allavinklar v som uppfllerlikheten, v u +nπ, där n är ett godtckligt heltal. Applicerar vi detta resultat på ekvationen tan tan så servi att lösningarna gesav +nπ, där n ärettgodtckligt heltal, och löservi ut urdetta sambandfås nπ, (n godtckligt heltal).

81 c) En likhet av tpen cosu cosv ärför ettfit värde på u uppfllt avtvå vinklar v i enhetscirkeln, v u och v u. u u Detta betder att alla vinklar v som uppfller likheten är v u +nπ och v u +nπ, där n är ett godtckligt heltal. Ekvationen cos cos( + π/) har därför lösningarna + π +nπ, π +nπ. Samlarvi ensamtiena ledetfår vi till slut π 0 + nπ, π 0 + nπ, (n godtckligt heltal)..:6 a) Flttar vi över allt till vänsterledet, sincos sin 0, så servi att båda termerna har sin som en gemensam faktor som vi kan brta ut, sin(cos ) 0. I denna faktoriserade variant av ekvationen ser vi att ekvationen har en lösning endastnärnågon av faktorerna sin eller cos är noll. Faktorn sin ärnoll för alla som gesav nπ, (n godtckligt heltal), 6 (se uppgift.:c). Den andra faktorn cos kan aldrig vara noll eftersomcosinusvärdetalltidliggermellan och,vilketgeratt cos som störst ärlika med. Alltså ärlösningarna nπ. b) Efter att ha flttat över termerna i vänsterledet, sincos cos 0, servi att dengemensamma faktorn cos kan brtas ut, cos( sin ) 0, ochattekvationen baraäruppflld omåtminstone enavfaktorerna cos eller sin är noll. Viharalltså två fall: cos 0: Denna grundekvationen harlösningarna π/ och π/ i enhetscirkeln och från detta har vi att den allmänna lösningen är π +nπ och π +nπ, där n är ett godtckligt heltal. Eftersom det skiljer π mellan vinklarna π/ och π/ kan lösningarna också sammanfattas som π +nπ, (n godtckligt heltal). sin 0: Möblerarviomiekvationensåfårvigrundekvationen sin / som har lösningarna π/ och π/ i enhetscirkeln och därmed är den allmänna lösningen π +nπ och π +nπ, där n är ett godtckligt heltal. Sammantaget har den ursprungliga ekvationen lösningarna π/ +nπ, π/ +nπ, ( n godtckligt heltal). π/ +nπ, c) Om vi använder det trigonometriska sambandet sin( ) sin så kan ekvationen skrivas som sin sin( ).

82 7 Ia-uppgiften sågvi att enlikhet avtpen sinu sinv äruppflld om u v +nπ eller u π v+nπ, där n är ett godtckligt heltal. Detta får som konsekvens att lösningarna till ekvationen uppfller +nπ eller π ( ) +nπ, där n är ett godtckligt heltal, dvs. nπ eller π +nπ. Lösningarna till ekvationen är alltså { nπ/, π +nπ, ( n godtckligt heltal)..:7 a) Skärskådar vi ekvationen ser vi att bara förekommer som sin och då kan det vara lämpligt att istället för att försöka lösa ekvationen direkt för göra ettmellanstegoch lösa den för sin. Skriver vi t sin och betraktar t som ennobekant så blir ekvationen t +t när den uttrcks helt i t. Detta är en vanlig andragradsekvation där vi, efter division med, kvadratkompletterar vänsterledet, t + t ( t + ( ) ) ( t + ) 9 6, och då får ekvationen ( ) t som har lösningarna t ± 96 ±, dvs. t + och t. Eftersom t sin betderdettaattde somuppfllerekvationeniuppgiftsteten nödvändigtvis uppfller någon av grundekvationerna sin eller sin. sin : Dennaekvationharlösningarna π/6 och π π/6 π/6 i enhetscirkeln och den allmänna lösningen är π 6 +nπ och π 6 +nπ, där n är ett godtckligt heltal. 8 sin : Ekvationen har bara en lösning π/ i enhetscirkeln och därför är den allmänna lösningen π +nπ, där n är ett godtckligt heltal. Samtliga lösningar till ekvationen är π/6 +nπ, π/6 +nπ, π/ +nπ, ( n godtckligt heltal). b) Om vi använder den trigonometriska ettan och skriver sin som cos så blirhela ekvationen skriven i termer av cos, ( cos ) cos 0, eller lite omstuvad, cos +cos 0. När vi väl har ekvationen helt uttrckt i cos kan vi införa en n obekant t cos och lösa ekvationen med avseende på t. Uttrckt i t är ekvationen t +t 0 och dennaandragradsekvation harlösningarna t och t. I termer av betder detta att antingen är cos eller så är cos. Det första fallet inträffar när ± π +nπ, (n godtckligt heltal), medan ekvationen cos saknar helt lösningar (cosinusvärden liggeralltid mellan och ). Svaret är alltså att ekvationen har lösningarna ± π +nπ, (n godtckligt heltal). c) Vill vi lösa ekvationen cos sin så behöver vi ett hjälpresultat som säger för vilka u och v som likheten cos u sin v gäller, men för att komma ditmåste vi utgå från likheten cosu cosv. Alltbörjar alltså medatt vi tittar pålikheten cosu cosv.

83 9 I enhetscirkeln vet vi att för ett fit u så finns det två vinklar v u och v u somharcosinusvärdet cosu,dvs. -koordinatlikamed cosu. u u Tänk nu att hela enhetscirkeln roteras motsols vinkeln π/. Då kommer linjen cosu övergå till linjen cosu och vinklar u och u roteras till u + π/ resp. u + π/. u + π u + π Vinklarna u + π/ och u + π/ har alltså -koordinat, och därmed sinusvärde, lika med cos u. Med andra ord gäller likheten cosu sinv förfit värde på u eakt när v ±u + π/, och merallmäntnär v ±u + π +nπ, (n godtckligt heltal). För vår ekvation cos sin medför detta resultat att måste uppflla ± + π +nπ. Detta betder att lösningarna till ekvationen är { π/ +nπ, ( n godtckligt heltal). π/ +nπ/7, 60.:8 a) Använderviformeln fördubblavinkeln, sin sincos,och flttar över alla termer i vänsterledet så blir ekvationen sincos cos 0. Dåser vi att vi kan brta utfaktorn cos ur bådatermerna, cos(sin ) 0, och på så sätt dela upp ekvationen i två fall. Ekvationen är uppflld antingen om cos 0 ellerom sin 0. cos 0: Denna ekvation har den allmänna lösningen π +nπ, (n godtckligt heltal). sin 0: Samlar vi sin i vänsterledet får vi grundekvationen sin / som hardenallmänna lösningen { π/ +nπ, π/ +nπ, ( n godtckligt heltal). Hela ekvationen har den fullständiga lösningen π/ +nπ, π/ +nπ, π/ +nπ, ( n godtckligt heltal). b) Förutsatt att cos 0 så kan vi delabåda ledmed cos och få sin cos, dvs. tan. Dennagrundekvation harlösningarna π/ +nπ för allaheltal n. Om däremot cos 0 så är sin ± (rita upp enhetscirkeln) och ekvationen kan inte ha någon sådan lösning. Ekvationen har alltså lösningarna π/ +nπ, (n godtckligt heltal). c) När man har en trigonometrisk ekvation som innehåller en blandning av olika trigonometriska funktioner så kan en användbar strategi vara att skriva om ekvationen så att den bara är uttrckt i en av funktionerna. Ibland är en sådan omskrivning inte helt lätt att komma på, men i detta fall är en framkomlig väg att vi ersätter talet i vänsterledets täljare

84 6 med cos +sin enligt den trigonometriska ettan. Detta gör att ekvationens vänsterled kan skrivas som cos cos +sin cos + sin cos +tan och ekvationen ärdåhelt uttrckt i termer av tan, +tan tan. Sätter vi t tan så ser vi att ekvationen är en andragradsekvation i t som efterförenkling är t +t 0 och har rötterna t 0 och t. Det finns alltså två möjliga värden på tan: tan 0 eller tan. Den första likheten är uppflld när nπ för alla heltal n och den andra likheten när π/ +nπ. Samtliga lösningar till ekvationen är { nπ, ( n godtckligt heltal). π/ +nπ, 6. Matematiska formleril A TEX.: Dessa enkla matematiska uttrck skriver vi i LATEX på samma sätt som de står. a) -+ b) -+0, c) --(-)-+ d) /+>/(+).: a) Detfinns två specialtecken och ± i uttrcket ± och dessa två tecken skrivs med LATEX-kommandona \cdot resp. \pm. Kodningen av hela uttrcket blir därför \cdot \pm. b) Eponenter skrivs i LATEX genom att använda ^ framför eponenten. Därför blir den första termen ^ i LATEX-snta. Kvadratroten skrivs med kommandot \sqrt följt av det som ska stå under rottecknet inom klammerparenteser. Den andra termen ges därför av \sqrt{}. Sammantaget harvi ^-\sqrt{}. c) Specialtecknen och får vi fram med kommandona \ge resp. \cdot, och eponenterna med tecknet ^ framför eponenten. Detta betder att hela uttrcket blir \cdot ^n\ge n^. d) Det finns inga konstigheter i detta uttrck utan vi skriver det direkt som -(-)-(-+-)..: a) För att få ett(stort) bggt bråk i LATEX använder vi kommandot \dfrac{}{} där vi fller i täljaren inuti den första paret av klammerparenteser(i LATEXsnta) och nämnaren inuti det andra paret av klammerparenteser. Uttrcket kan därför skrivas som \dfrac{+}{^-} \dfrac{}{-}. b) Deluttrcket i den första parentesen tar vi hand om genom att skriva \dfrac{}{}. Ett första försök till LATEX-kod är därför (\dfrac{}{}-)(-), men det ger ett resultat där det första parentesparet inte är lika stort som uttrcket det innesluter, ( )( ).

85 6 Vi åtgärdar detta genom att lägga till \left och \right framför vänsterresp. högerparentesen som vi vill ha skalbara, dvs. \left(\dfrac{}{}-\right)(-). c) Uttrcket består av ett huvudbråk där är täljare och + Vår första ansats är därför utgå från är nämnare. \dfrac{}{}. I det första argumentet (inuti det första paret av klamrar) ska vi flla i täljaren och eftersom detär ett sifferbråk skriver vi detsom ett litet bggt bråk med kommandot \frac{}{} ( är täljare och är nämnare). Alltså \dfrac{\frac{}{}}{}. Notera hur vi alltså harett bråkinuti ett bråk. Detåterstår attflla i nämnarenihuvudbråketochdenfårviframpåliknandesättmed \frac,nämligen \frac{}{}+\frac{}{}. Svaret blir \dfrac{\frac{}{}}{\frac{}{}+\frac{}{}}. d) Detta uttrck är ganska komplicerat och kräver att vi tänker i steg. Till att börja med består uttrcket av ett huvudbråk, någonting. Enbörjan ärdärför att vi skriver \dfrac{}{}. Nämnarenbestår i sin tur avettbråk som kan skrivas som +\dfrac{}{+}. Stoppar vi in detta uttrck som nämnarargument till huvudbråket får vi hela uttrcket, \dfrac{}{+\dfrac{}{+}}..: a) De trigonometriska funktionerna sin och cos skrivs med kommandona \sin resp. \cos. Vi kan därför koda uttrcket i LATEX som \sin^ + \cos. Observera att det är nödvändigt med ett mellanslag efter kommandot \cos. 6 b) Argumentet till cosinus i högerledet är ett stort bggt bråk som vi ges av \dfrac{\pi}{}, där \pi ger den grekiska bokstaven π. Därmed kan hela uttrcket skrivas som \cos v \cos\dfrac{\pi}{}. c) Kommandona \cot och \tan ger de trigonometriska funktionerna cot och tan. Viharett bråkihögerledet och använder \dfrac där. Vifår \cot \dfrac{}{\tan }. d) Börjar vi med vänsterledet så består det dels av den trigonometriska funktionen tan, dels av argumentet u. Funktionen tan skrivs som \tan och argumentet, som är ett bråk, som \dfrac{u}{}. Vänsterledet är därför \tan\dfrac{u}{} i LATEX-snta. Fortsätter vi med högerledet så har vi ett huvudbråk där sinu är täljare och +cosu är nämnare. Täljaren kan vi skriva som \sin u och nämnaren som +\cos u. Hela högerledet blir \dfrac{\sin u}{+\cos u}. Totalt får vi \tan\dfrac{u}{} \dfrac{\sin u}{+\cos u}..: a) Rottecknet( )fårviframgenomattskriva \sqrt{}därdetsomskastå under rottecknet ska stå innanför klammerparenteserna. Eftersom argumentettill kvadratroten är +,som skrivs som +^, blirhelauttrcket \sqrt{+^}. b) Den n:te roten ur skriver man som \sqrt[n]{} och därför blir hela uttrcket \sqrt[n]{+} \ne \sqrt[n]{} + \sqrt[n]{}, där \ne är tecknet. c) Vänsterledet är roten ur roten ur. Som argument till det ttre rottecknet har vi alltså som vi skriver som \sqrt{}. Vi skriver därför vänsterledet som \sqrt{\sqrt{}} och hela uttrcket som \sqrt{\sqrt{}} \sqrt[]{}. d) Delar vi upp uttrcket i mindre delar så får vi deluttrck som är enklare attöversätta till LATEX. Vi haratt gesav \sqrt[]{},

86 6 + ges av +\sqrt{}. Uttrcket skavihaskalbaraparenteserkringochupphöja tillsådet deluttrcket blir \left(\sqrt[]{}\right)^. Uttrcket + ska stå under som skrivs som \sqrt[]{} och därförär + i LATEX-form: \sqrt[]{+\sqrt{}}. Alltsom alltfårvi \left(\sqrt[]{}\right)^\sqrt[]{+\sqrt{}}..:6 a) Den naturliga logaritmen ln skrivs som \ln och med specialtecknet (\cdot) blir kodningen rättfram, \ln (\cdot ) \ln + \ln. b) Genomatt ln skrivssom \lnoch som \nesåkanhelauttrcketskrivas som \ln (-)\ne \ln - \ln. c) Tvålogaritmen log får vi fram genom att använda kommandot \log för denallmännalogaritmen log,ochsedanhängapåettindemed _,dvs. log skriver vi som \log_. Högerledet är ett bråk (\dfrac) mellan ln (\ln ) och ln (\ln ), dvs. det kan skrivas som \dfrac{\ln }{\ln }. Svaret blir \log_ \dfrac{\ln }{\ln }. d) Genom att använda indeet på den allmänna logaritmen log (\log) kan eponenten i vänsterledet skrivas som \log_ och allting som ^{\log_ }. Vimåsteomgeeponentenmedklamrareftersomdenbeståravfleränen smbol..:7 a) Om vi går igenom uttrcket från vänster till höger ser vi först att eponententillärettbggtbråk ochdetärbättreomdetbråketskrivsmed ett snedstreck, dvs. vi börjar med ^{/}. Vidare saknar nästa deluttrck en avslutande högerparentes. Vi borde alltså skriva ^{/}(-(-)). 66 b) Ett klassiskt fel är att använda * som multiplikationstecken. Vanligtvis använder man (\cdot) men i detta fall kan vi utelämna tecknet helt och hållet. Nästa fel är att kommandot \sqrt saknar det inledande omvända snedstrecket och att vanliga parenteser används för argumentet (det ska vara klammerparenteser). Ett bättre sätt att skriva uttrcket på är \sqrt{a+b}. c) Kommandon föregås alltid av omvända snedstreck( \) i LATEX. Därför ska cot skrivas som \cot, och observera mellanslaget efter \cot. Därefter har vi i högerledet ett sifferbråk som normalt sett ska vara litet och därför skrivas med \frac, dvs. \frac{}{}. Den trigonometriska funktionen sin skrivs inte som Sin utan som \sin. Till sist ska gradtecknet( )skrivas som ^{\circ}. Med dessa korrektioner blir koden \cot \frac{}{}\sin 0^{\circ}.

87 67. Matematisk tet.: a) När man förkortar bort tan från båda led i ekvationen finns risken att lösningarna som uppfller tan 0 försvinner. Ekvationen till höger kan därmedha färre lösningar änden till vänster. Du ska därför använda pilen. Anm. Det spelar ingen roll att det senare visar sig att båda ekvationerna har eakt samma lösningar. Det är vad du vet när du förkortar båda led som avgör vilken pil som används. b) Kvadrering av båda led i en ekvation kan introducera na s.k. falska rötter. Ekvationen till höger kan därför ha lösningar som ekvationen till vänster saknar. Använd pilen för att indikera detta. c) Omskrivningen av 6 som ( ) 9 är fullt korrekt och ändrar inte ekvationens lösningsmängd. Därför ska pilen stoppas in mellan ekvationerna..: Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Hänvisa inte till den fiktiva personen i uppgiftsteten utan skriv en självständig lösning.. Ta bort punkten på slutet. Formeln som följer efter teten ska ingå i meningen (vilket betder att meningen behöver skrivas om).. Glöm inte att kommandon startar med ett omvänt snedstreck ( \) i LATEX. Skriv t.e. \cos istället för cos.. Undvik ovanliga förkortningar. Dessutom är det högerledets nämnare som multipliceras till båda led. En förbättrad lösning skulle kunna vara: 68.: Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Numeriska bråk såsom / ska normalt sett skrivas som ett litet bggt bråk och inte som ettstort bggt bråk.. Ta bort onödiga multiplikationstecken.. Detärmatematiskt fel att skriva cos närman egentligen menar cos.. Ta bort de inledande "---". De används troligen för att framhäva teten men det görs bättre genom att skriva fristående formler med en viss indragning.. Ta bort onödiga parenteser. 6. Ta bort onödigt kolon. 7. Avsluta meningen med en punkt efter den fristående formeln. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

88 69.: Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Skriv inte kommentarer till läraren i lösningen. Använd istället kommentarsrutan när lösningen skickas in.. Detta kan troligtvis utföras i ett steg om man förklarar förenklingen. (Det finnsockså ett litetskrivfel i en avekvationerna; borde vara.). Ettbråk i eneponent bör skrivas snedställd, dvs. /.. Inte bara är skild från noll, utan den måste dessutom vara ett positivt heltal föratt ska vara definierad och lika med /.. Börja meningen med en stor bokstav. 6. Undvik ovanliga förkortningar såsom VL och HL. 7. Avsluta meningen med en punkt efter ekvationen. En förbättrad lösning skulle kunna vara: 70.: Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Skriv formler med matematiktaggen <math>.. Kommandonstartarmedomväntsnedstreck( \)ilatex.skrivdärför \tan och inte tan. Argument till de trigonometriska funktionerna skrivs utan parenteser, dvs. \tan och inte \tan().. Försök inte skapa egna tecken. Använd (\Leftrightarrow i LATEX).. Denna rad är för lång. Dela upp den i två rader (och lägg till lite förklarande tet mellan raderna).. Om man förkortar bort sin så måste man anta att sin 0 eftersom annars kan man förlora lösningar. Var tdlig med detta antagande (och glöm inte att specialbehandla fallet sin 0 senare.) 6. Vart tog högerledet vägen? Avsluta dessutom meningen med en punkt efter ekvationen. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

89 7.:6 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Tabort dessarader.. Det är en dålig presentation av den na lösningen att behålla den gamla versionen och sedan på slutet skriva vilka ändringar man vill göra. Ändra istället direkt i lösningen.. Formulera problemet tdligare. Är det att bevisa likheten som en identitet elleratt lösa den som en ekvation?. ILATEX skrivs sin som \sin och inte som Sin.. Använd inte * som ett multiplikationstecken. I detta fall behövs inget tecken överhuvudtaget. 6. Lägg till en punkt efter ekvationen för att avsluta meningen. 7. Varmerfokuserad.Manskaförklarasinlösningmengåintetillöverdrift. Det finns ingen anledning att gå in på alla detaljer i hur man nådde fram till lösningen. 7 En förbättrad lösning skulle kunna vara:.:7 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Varföranvända ett stort V?. Iteten ska bråket π skrivas snedställt π/ så att detsmälterin bättre.. Attinkludera en figur ärofta enbra idé, menvar inte slarvig.. Etticke-numerisktbråkskrivsintesomettlitetbggtbråk π.ienfristående formel ska bråket istället skrivas som ett stort bggt bråk π medan i teten skrivs det snedställt π/.. Läs igenom teten tterligare en gång. Denna mening blev inte helt rätt. 6. Använd inte * som ett multiplikationstecken. I detta fall kan tecknet utelämnas. 7. Detta är den fullständiga lösningen. Varför inte skriva det. Förklara också parametern n. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

90 7.:8 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Standardsättet att numrera fristående formler är att skriva siffran innanför parenteser.. Bråketbör vara ett litetbggt bråk.. Tetenbordeintevaraifetstil.Sparafetstiltilltillfällennärnågotbehöver betonas.. Avsluta meningen med en punkt.. Ta bort kolonet. En förbättrad lösning skulle kunna vara: 7.:9 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. I en fristående formel behöver man inte skriva bråk snedställda. Det finns gott om vertikalt utrmme.. Kontrollera stavningen.. Meningen ska inte avslutas här. Formeln ska vara del av meningen.. Använd inte * som multiplikationstecken. I detta fall kan tecknet utelämnas helt.. Tabort: -->. 6. Försök att förklara bättre vad som görs. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

91 7