Förberedande kurs i matematik 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

Transkript

1 Förberedande kurs i matematik Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

2 Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/sommarmatte Studiematerialet hör till en kurs som ges i samarbete mellan flera av landets högskolor och centret MATH.SE. Anmälan och tillgång till forum, eamination och personlig mentor Anmälan till kursen sker fortlöpande under året genom ett elektroniskt formulär på och man får då direkt ett användarnamn och lösenord som ger tillgång till diskussionsforum, support, uppföljning och prov. Du får också en personlig mentor som hjälper dig att lckas med dina studier. All eamination sker via Internet efter hand som du arbetar med kursens avsnitt. Observera att fullständiga lösningar till övningsuppgifterna återfinns i onlinematerialet. Kontaktinformation:

3 Förberedande kurs i matematik Innehåll Välkommen till kursen Hur går kursen till? Så går eaminationen till Numerisk räkning 9. Olika tper av tal Bråkräkning Potenser Algebra 40. Algebraiska uttrck Linjära uttrck Andragradsuttrck Rötter och logaritmer 7. Rötter Rotekvationer Logaritmer Logaritmekvationer Trigonometri Vinklar och cirklar Trigonometriska funktioner Trigonometriska samband Trigonometriska ekvationer Skriva matematik Skriva matematiska formler i LATEX Matematisk tet Facit till övningsuppgifter 67 För fullständiga lösningar, senaste versionen av materialet, eterna länkar, mm., se studiematerialet på Internet

4 Välkommen till kursen Vad gjorde att Elin blev intresserad av matematik? Titta på videon där Elin Ottergren, mentor på kursen och tidigare nätstudent, berättar om hur hennes matematikintresse väcktes. ( Nu finns ett enkelt sätt att komma bättre rustad till dina högskolestudier Den här kursen är till för dig som ska läsa en utbildning där matematik ingår, och som vill vara ordentligt förberedd inför kursstarten. Kursen är också bra för dig som av andra anledningar vill fräscha upp dina kunskaper i matematik. Kursen är en överbrggning från gmnasiet in i högskolan. Även om du klarat matematiken mcket bra tidigare rekommenderar vi dig att läsa kursen. Den berättigar till studiemedel och kan läsas helt via Internet. Kursen ges i samarbete mellan flera av landets högskolor och centret MATH.SE. Du bestämmer själv när du vill studera och kan lätt anpassa studierna efter dina övriga planer. Anmälan och tillgång till forum, support, eamination och personlig mentor Kurslitteraturen är öppet tillgänglig via Internet. Anmälan till kursen sker fortlöpande under året genom ett elektroniskt formulär på och du får då direkt ett användarnamn och lösenord som ger tillgång till allt kursmaterial, diskussionsforum, support, uppföljning och prov. Du får också en personlig mentor som hjälper dig att lckas med dina studier. Handledning och eamination Du kan när som helst på nätet diskutera med studiekamrater, ställa frågor och få handledning av lärare. Eamination sker via Internet efterhand som du arbetar med kursen. Vissa av våra högskolor erbjuder handledning och satsningar på plats som komplement till det som sker på Internet. 4 Observera att materialet i denna kurs är utformat för att man ska arbeta med det utan hjälp av miniräknare. När du kommer till högskolan kommer du nämligen inte att få använda miniräknare på dina tentor, åtminstone inte på grundkurserna. På högre kurser i matematik har man knappast någon användning för miniräknare, eftersom matematiken då mer handlar om att förstå principer än att utföra räkneoperationer. Det är eempelvis viktigare att förstå varför 7 + är detsamma som + 7, än att kunna utföra additionen och få fram svaret 0. Så här lckas du med kursen:. Börja med att läsa genomgången till ett avsnitt och tänka igenom eemplen.. Arbeta sedan med övningsuppgifterna och försök att lösa dem utan miniräknare. Kontrollera att du kommit fram till rätt svar genom att klicka på svarsknappen. Har du inte det, så kan du klicka på lösningsknappen, för att se hur du ska göra.. Gå därefter vidare och svara på frågorna i grundprovet som hör till avsnittet. 4. Skulle du fastna, se efter om någon ställt en fråga om just detta i avsnittets forum. Ställ annars en fråga om du undrar över något. Din lärare (eller en studiekamrat) kommer att besvara den inom några timmar. 5. När du är klar med övningsuppgifterna och grundproven i ett avsnitt så ska du göra slutprovet för att bli godkänd på avsnittet. Där gäller det att svara rätt på tre frågor i följd för att kunna gå vidare. 6. När du fått alla rätt på både grundprov och slutprov, så är du godkänd på den delen och kan gå vidare till nästa del i kursen. P.S. Tcker du att innehållet i ett avsnitt känns välbekant, så kan du testa att gå direkt till grundprovet och slutprovet. Du måste få alla rätt på ett prov, men kan göra om provet flera gånger, om du inte lckas på första försöket. Det är ditt senaste resultat som visas i statistiken.

5 Hur går kursen till? Elins tips till dig som ska läsa matte på högskolan. Vad kan vara bra att veta? Titta på videon där Elin Ottergren, mentor på kursen och tidigare nätstudent, tipsar dig. ( Aktuella kunskaper ökar dina chanser att lckas Kursen är en överbrggning från gmnasiet in i högskolan och går igenom några av de basfärdigheter som vi tcker är viktiga att du har fullt uppdaterade inför dina högskolestudier. Du läser helt fleibelt i den takt som passar dig själv. Så här är det tänkt att du ska arbeta med kursen: Börja med att läsa genomgången till ett avsnitt och tänka igenom eemplen. Arbeta därefter med övningsuppgifterna och svara på frågorna i grundprovet som hör till avsnittet. Skulle du fastna, se efter om någon ställt en fråga om just detta i avsnittets forum, annars ställ en fråga själv. När du är klar med övningsuppgifterna och grundprovet i ett avsnitt så gör du slutprovet för att bli godkänd på avsnittet. När du klarat alla grund- och slutprov på något av kapitlen, eller 4 så får du en inlämningsuppgift som du ska lösa och skicka in för rättning. Din personliga mentor stöder dig När du loggat in med ditt användarnamn kommer du till Student lounge. Där hittar du mailadress och telefonnummer till din personliga mentor som du kan kontakta, om du kör fast på en uppgift eller har något du behöver fråga om. Mentorerna har tagit namn som Albert Einstein, Kurt Gödel, Arkimedes osv., men bakom dem finns en hel grupp personer, 6 vilka är lärare och/eller studenter på någon högskola inom MATH.SE. Din mentor vill inget hellre än att hjälpa dig. Vårt gemensamma mål är att alla som börjar på kursen ska klara av den och få en bra grund att stå på inför sina högskolestudier. För oss finns inga dumma frågor, bara de som inte ställs! 5

6 Så går eaminationen till Du eamineras online Eaminationen består av två självrättande prov per avsnitt och en inlämningsuppgift till kapitel, och 4. Var och en av kursens 5 delar motsvarar högskolepoäng och rapporteras i allmänhet till Ladok var för sig på den högskola där du är kursregistrerad (för vissa kurstillfällen sker rapportering när hela kursen är klar). Kursbetg erhålles när alla fem momenten är godkända. Som betg på kursen ges underkänt eller godkänt. Grundproven och slutproven rättas via datorn Till varje avsnitt i kursen finns det både ett grundprov och ett slutprov. Länk till proven finns i din Student Lounge som du kommer till när du loggat in med ditt personliga användarnamn. Du kan inte bli underkänd på dessa prov, utan misslckas du med något prov så är det bara att göra om tills du får alla rätt. Slutproven består av tre slumpmässigt genererade frågor som rättas automatiskt av datorn. Här ska du kunna lösa ett problem på papper och skriva in rätt svar på skärmen. Du måste svara rätt på samtliga tre frågor i följd för att bli godkänd. Om du svarat fel på någon fråga kan du göra ett ntt försök. Du får nu tre na varianter på frågorna som du ska lösa (även om du skulle ha klarat någon eller några av de tidigare frågorna ska du alltså klara alla tre frågor i denna omgång på ntt). Tänk på att det är ditt senaste resultat som registreras i studiestatistiken. Inlämningsuppgiften är en viktig del av eaminationen Inlämningsuppgifterna är formellt den femte delen av kursen, men du löser dem lämpligen i samband med att du läser motsvarande kapitel. Via en länk i din student lounge kommer du åt inlämningsuppgifterna och de blir var och en tillgänglig efter att alla prov är godkända på motsvarande kapitel. När du skickar lösningarna till en inlämningsuppgifterna är det viktigt att de är väl förklarade, resonemangen tdliga och presentationen genomarbetad. I kapitel 5 finns en beskrivning om vad du ska tänka på när du skriver lösningar, för närvarande gäller 8 att du inte ska använda late för att skriva in lösningar på inlämningsuppgifter, late är dock mcket användbart i andra sammanhang, t.e. i kursens forum. Inlämningsformuläret är tetbaserat, det innebär att vi inte har stöd för late. Du kan istället skriva ^ för upphöjt till, roten(4) för roten ur och i övrigt vara noggrann med att förklara vad du gör. Var noggrann med att använda parenteser, vad är täljare och nämnare i nedanstående eempel? Vi kan inte se det! e^ -5 / ^- +4 Om du inte blir godkänd på en inlämningsuppgift ska du läsa igenom kommentarerna från den rättande läraren och förbättra din lösning innan du skickar in den igen. Detta upprepas tills du blir godkänd. 7

7 . Olika tper av tal Innehåll: Naturliga tal Negativa tal Prioriteringsregler och parenteser Rationella tal Något om irrationella tal Reella tal Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Beräkna uttrck som innehåller heltal, de fra räknesätten och parenteser. Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal. Omvandla bråktal till decimalform och omvänt. Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken. Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler. Räkneoperationer med tal Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fra räknesätten. I figuren som följer finns några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk tet. När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas = = =. När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig 5 = medan 5 =. Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan och 5 är. 0 Addition Subtraktion term summa term differens + 4 = 7 4 = 9 Multiplikation Division faktor produkt 4 = täljare nämnare 8 4 = kvot Figuren visar de fra räknesätten och namnen på de olika delar som ingår. När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig 4 5 = 5 4 = 5 4 = 60. Vid division är ordningen av betdelse 6 = medan 6 = 0,5. Räkneordning i uttrck (Prioriteringsregler) När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttrck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller: Parenteser (parentesen längst in först) Multiplikation och division (från vänster till höger) Addition och subtraktion (från vänster till höger) Eempel ( ( + ) 5) = ( 5 5) = (0 5) = 5 = ( + ) 5 = 5 5 = 0 5 = 7 5 = 5 + ( 5 4 ) ( + ( 4) ) = 5 + (5 ( )) ( + ( )) = 5 + (5 + ) ( ) = = = 6 9

8 Osnliga parenteser Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns osnliga parenteser omkring täljare och nämnare. Eempel = = = 6 = = 0 0 = Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare. Divisionen måste skrivas (8 + 4)/( + 4) på miniräknaren för att det korrekta svaret ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva 8 + 4/ + 4, vilket av miniräknaren tolkas som = 4. Olika tper av tal De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje: π 4 0,5 e 55 0 De reella talen fller tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal och betecknas med R. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid större än ett tal till vänster. Man brukar dela upp de reella talen i följande tper av tal: Naturliga tal (smboliseras vanligen med bokstaven N) De tal som används när man räknar antal: 0,,,, 4,... Heltal (Z) De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter:...,,,, 0,,,,... Rationella tal (Q) Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.e. 4,, 7 8, osv. Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom =, 0 = 0, =, =, osv. Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.e. = = 4 = 6 = 8 4 = = 84 9 osv. Eempel Att multiplicera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma faktor kallas förlängning och förändrar inte talets värde = = 6 = 5 5 = 5 5 osv. Att dividera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma tal kallas förkortning och förändrar inte heller talets värde = 75/5 05/5 = 5 = 5/ / = 5 7 osv. Irrationella tal De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Eempel på irrationella tal är de flesta rötter, som och, men även talet π t.e. Decimalform Alla tper av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv.

9 decimalkomma tusental tiotal tiondel tusendel 4, hundratal ental hundradel tiotusendel Eempel 4 4,5678 = Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet 4 samma som dividerat med 4, dvs. 0,75. Läs om liggande stolen på wikipedia. Eempel 5 = 0,5 = 0,50 = 0,... = 0, 5 = 0, = 0,46 d) 7 = 0, = 0,4857 (understrkningen markerar decimaler som upprepas) Som snes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling. Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal. Eempel 6 Talen π och är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling. π =, =, Eempel 7 0, = 0,6 = 0 6 = 5 0,5 = 00 5 = 0 7 0,005 = = 400 Eempel 8 Talet = 0, är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt. Multiplicerar vi talet med 0 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger 0 =, och multiplicerar vi talet med = 000 flttas decimalkommat tre steg åt höger 000 = 5,55... Nu ser vi att 000 och 0 har samma decimalutveckling så differensen mellan talen = 5,55..., blir ett heltal 990 =. Alltså är = 990 =

10 5 Avrundning Eftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0,,, och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt. Vi använder smbolen (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett. Eempel 9 Avrundning till decimalers noggrannhet:,0004, 000 0,9999,000, ,999 d),99950,000 Eempel 0 Avrundning till 4 decimalers noggrannhet: π,46 0,6667 Jämförelse av tal Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av smbolerna > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare. Eempel Vilket är störst av talen Vi har att = = och 0,? och = 0, = 00 = Alltså är > eftersom 00/00 > 99/00. Alternativt så kan man se att / > 0, eftersom / = 0,... > 0,. Vilket tal är störst av 5 och 7? Skriv talen med gemensam nämnare, t.e. 5: 5 = 4 5 och 7 = 5 5. Alltså är 7 > 5 5 eftersom 5 > 4 5. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Att tänka på Var noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia ( Vem upptäckte Nollan? Läs mer i The MacTutor Histor of Mathematics archive ( html) Liggande stolen en beskrivning ( Visste du att 0, =? ( Länktips Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några 6

11 7 turnummer? Vilket är det vackraste talet? Lssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan. Lssna på BBC-programmen 5 Numbers ( Lssna på BBC-programmen Another 5 numbers ( 8. Övningar Övning.: Beräkna (utan hjälp av räknedos (7 4) + (6 5) (7 (4 + 6) 5) d) (7 (4 + 6)) 5 Övning.: Beräkna ( (7 4))(6 5) (((7 4) + 6) 5) ( 7) 4 (6 5) d) ( 7) (4 + 6)/( 5) Övning.: Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen? rationella talen? irrationella talen? d) 4 8 e) 8 ( 4) f) ( 8) ( 4) Övning.:4 Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen? rationella talen? irrationella talen? d) ( 4 ) e) π f) π + Övning.:5 Ordna följande tal i storleksordning, 5, 5 och 7, 5, 0 och,, 5, 5 8 och 4 Övning.:6 Ange decimalutvecklingen med tre korrekta decimaler till d)

12 9 Övning.:7 Vilka av följande tal är rationella? Skriv dessa som en kvot mellan två heltal.,4, , d) 0, (en :a, en 0:a, en :a, två 0:or, en :a, tre 0:or osv.) 0. Bråkräkning Innehåll: Addition och subtraktion av bråktal Multiplikation och division av bråktal Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Beräkna uttrck som innehåller bråktal, de fra räknesätten och parenteser. Förkorta bråk så långt som möjligt. Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN). Förlängning och förkortning Ett rationellt tal kan skrivas på många sätt, beroende på vilken nämnare man väljer att använda. Eempelvis har vi att 0,5 = 5 00 = 4 = 8 = = 4 6 Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller dividerar täljare och nämnare med samma tal. Dessa operationer kallas förlängning respektive förkortning. osv. Eempel Förlängning: = 5 5 = = = 0 8 Förkortning: 9 = 9/ / = 4

13 d) 7 08 = 7/ 08/ = 6 54 = 6/6 54/6 = 6 9 = 6/ 9/ = Man bör alltid ange ett bråk förkortat så långt som möjligt. Detta kan vara arbetsamt när stora tal är inblandade, varför man redan under en pågående uträkning bör försöka hålla bråk i så förkortad form som möjligt. Addition och subtraktion av bråk Vid addition och subtraktion av tal i bråkform måste bråken ha samma nämnare. Om så inte är fallet måste man först förlänga respektive bråk med lämpliga tal så att gemensam nämnare erhålles. Eempel 5 + = = = = = = = = 8 Det viktiga är här att åstadkomma en gemensam nämnare, men man bör sträva efter att hitta en så låg gemensam nämnare som möjligt. Idealet är att hitta den minsta gemensamma nämnaren (MGN). Man kan alltid erhålla en gemensam nämnare genom att multiplicera de inblandade nämnarna med varandra. Detta är dock inte alltid nödvändigt. Eempel 7 5 = = = = 69/ 80/ = = = = = = = 6 9 = 6/8 9/8 = 7 4 d) = = = 7 4 Man bör vara så pass tränad i huvudräkning att man snabbt kan hitta MGN om nämnarna är av rimlig storlek. Att allmänt bestämma den minsta gemensamma nämnaren kräver att man studerar vilka primtal som ingår som faktorer i respektive nämnare. Eempel 4 Beräkna Delar vi upp 60 och 4 i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan vi bestämma det minsta heltal som är delbart med 60 och 4 genom att multiplicera ihop deras faktorer men undvika att ta med för många av faktorerna som talen har gemensamt 60 = 5 4 = 7 } MGN = 5 7 = 40. Vi kan då skriva = = = Beräkna Minsta gemensamma nämnare väljs så att den innehåller precis så många primtalsfaktorer så att den blir delbar med 5, 6 och 8 5 = 5 6 = 8 = MGN = 5 = 90. Vi kan då skriva = = = 90 = 45. Multiplikation När ett bråk multipliceras med ett heltal, multipliceras endast täljaren med heltalet. Det är uppenbart att om t.e. multipliceras med så blir resultatet, dvs. = =.

14 Om två bråk multipliceras med varandra, multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Eempel = 8 7 = = 5 = 5 Innan man genomför multiplikationen bör man alltid kontrollera om det är möjligt att förkorta bråket. Detta utförs genom att strka eventuella gemensamma faktorer i täljare och nämnare. Eempel 6 Jämför uträkningarna: 5 = 5 = 6 5 = 6/ 5/ = 5 5 = 5 = 5 Att strka treorna i 6b innebär ju bara att man förkortar bråket med i ett tidigare skede. Eempel = = 0 = 5 = 5 = = = = = 4 = 4 = Division Om 4 delas i så blir svaret 8. Om delas i 5 så blir resultatet 0. Vi har alltså att 4 = 4 = 8 och 5 = 5 = 0. När ett bråk divideras med ett heltal, multipliceras alltså nämnaren med heltalet. Eempel 8 / / 4 = 5 4 = 0 = 6 7 = 7 = 7 När ett tal divideras med ett bråk, multipliceras talet med bråket inverterat ( uppoch-nervänt ). Att t.e. dividera med är ju samma sak som att multiplicera med, dvs.. Eempel 9 = = = = 5 7 = 5 7 = = 8 5 = 8 5 = 6 5 d) = = 5 = 5 = 5 6

15 5 Hur kan bråkdivision förvandlas till multiplikation? Förklaringen är att om ett bråk multipliceras med sitt inverterade bråk blir produkten alltid, t.e. = = eller = =. Om man i en bråkdivision förlänger täljare och nämnare med nämnarens inverterade bråk, får man alltid i nämnaren och resultatet blir täljaren multiplicerad med den ursprungliga nämnarens inverterade bråk. Eempel = = 7 5 = 7 5 Bråk som andelar Rationella tal är alltså tal som kan skrivas i bråkform, omvandlas till decimalform, eller markeras på en tallinje. I vårt vardagliga språkbruk används också bråk när man beskriver andelar av något. Här nedan ges några eempel. Lägg märke till hur vi använder ordet av, vilket kan betda såväl multiplikation som division. Eempel Olle satsade 0 kr och Stina 50 kr. Olles andel är = 0 70 = 7 och han bör alltså få 7 av vinsten. Hur stor del utgör 45 kr av 00 kr? Svar: 45 kr är = 9 0 av 00 kr. Hur stor del utgör liter av liter? Svar: liter är = = av liter. d) Hur mcket är 5 8 av 000? 6 Svar: = 8 = 65 e) Hur mcket är av 6 7? Svar: 6 7 = 7 = 7 = 4 7 Blandade uttrck När bråk förekommer i räkneuttrck gäller naturligtvis metoderna för de fra räknesätten som vanligt, samt prioriteringsreglerna (multiplikation/division före addition/subtraktion). Kom också ihåg att täljare och nämnare i ett divisionsuttrck beräknas var för sig innan divisionen utförs ( osnliga parenteser ). Eempel + 4 = = = 7 = 7 = = = = = = = = = 5 4 = 5 ( 4 ) = = 5 = 9 5 d) + / = =

16 7 = = = 8 4 = 4 8 = 8 7 Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Sträva alltid efter att skriva ett uttrck i enklast möjliga form. Vad som är enklast beror dock oftast på sammanhanget. Det är viktigt att du verkligen behärskar bråkräkning. Att du kan hitta en gemensam nämnare, förkorta och förlänga etc. Principerna är nämligen grundläggande när man ska räkna med rationella uttrck som innehåller variabler och för att du ska kunna hantera andra matematiska uttrck och operationer. Rationella uttrck med bråk som innehåller variabler (,,... ) är mcket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring. Läs mer om bråk och bråkräkning i engelska Wikipedia ( Bråkräkning Fri tet ( Länktips Eperimentera interaktivt med bråk ( t_.html) Här kan du få en bild av hur det går till när man lägger ihop bråk. ( brakaddition/eapplet.html) 8. Övningar Övning.: Skriv på gemensamt bråkstreck d) e) Övning.: Bestäm minsta gemensamma nämnare d) Övning.: Beräkna följande uttrck genom att använda minsta gemensamma nämnare: Övning.:4 Förenkla följande uttrck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat Övning.:5 Förenkla följande uttrck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat Övning.:6 Förenkla

17 9. Potenser Innehåll: Positiv heltalseponent Negativ heltalseponent Rationell eponent Potenslagar Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Känna till begreppen bas och eponent. Beräkna uttrck med heltalseponent. Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttrck. Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas). Avgöra vilket av två potensuttrck som är störst baserat på jämförelse av bas/eponent. Heltalspotenser Vi använder multiplikationssmbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.e = 4 5. På ett liknande sätt används potenser som ett kortare skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal: = 4 5. Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess eponent. Eempel 5 = = = = , = 0, 0, 0, = 0,00 d) ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 6, men 4 = ( 4 ) = ( ) = 6 e) = = 8, men ( ) = 6 = 6 Eempel ( ) = = = 8 7 ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = = 4 4 = 96 Det sista eemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser: ( a m = am b m och (am = a m b m. Potenslagar Med definitionen av potens följer tterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.e. att 5 = }{{} st }{{} 5 st = }{{} (+5) st = +5 = 8 vilket generellt kan skrivas a m a n = a m+n. Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas 7 = = 7 = 4.

18 Den allmänna regeln blir a m a n = am n. När man råkar ut för en potens av en potens finns tterligare en användbar räkneregel. Vi ser att (5 ) = = 5 5 }{{} st 5 5 }{{} st 5 5 }{{} st = }{{} gånger st = 5 = 5 6. och (5 ) = 5 5 = }{{} st }{{} st = }{{} gånger st = 5 = 5 6. Allmänt kan detta skrivas (a m ) n = a m n. Eempel 9 4 = 9+4 = 5 5 = 5 5 = 5 + = = ++4 = 9 d) = = 0 5+ = 0 8 Eempel = = = 70 7 = 70 = 7 9 Om ett bråk har samma potensuttrck i både täljare och nämnare så inträffar följande: 5 5 = 5 = 5 0 samtidigt som 5 5 = = 5 5 =. För att räknereglerna för potenser ska stämma gör man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att a 0 =. Vi kan också råka ut för att eponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.e. 4 =. Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa eponenten betda att 6 = 4 6 = och 4 6 = = =. Den allmänna definitionen av negativa eponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att a n = a n. Eempel = 79 9 = 7 0 = = 7+( 9)+4 = 0,00 = 000 = 0 = 0 d) 0,008 = = 5 = 5 = 5 e) ( ) = ( ) = =

19 f) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = 6 g) 0,0 5 = (0 ) 5 = 0 5 = 0 0 Om basen i ett potensuttrck är så blir uttrcket alternerande eller + beroende på eponentens värde ( ) = ( ) = ( ) ( ) = + ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) 4 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = + osv. Regeln är att ( ) n är lika med om n är udda och lika med + om n är jämn. Eempel 6 ( ) 56 = eftersom 56 är ett jämnt tal ( ) = = eftersom är ett udda tal ( ) 7 0 = ( )7 0 = ( )7 7 0 = 7 0 = 7 0 = = = 8 Bte av bas Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttrck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja, eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, eempelvis 4 =, 8 =, 6 = 4, = 5, 64 = 6, 8 = 7,... 9 =, 7 =, 8 = 4, 4 = 5,... 5 = 5, 5 = 5, 65 = 5 4,... 4 Men även 4 = =, 9 = =, 5 = 5 = 5, 8 = =, 6 = 4 = 4,... 7 = =,... 5 = 5 = 5,... osv. Eempel 7 Skriv som en potens med basen = ( ) ( ) 4 = ( ) 4 = = = 9 Skriv 7 (/9) 8 som en potens av basen. 7 (/9) 8 = ( ) (/ ) ( 4 ) = ( ) ( ) ( 4 ) = ( ) ( ) 4 = = = 0 8 = 0 8 = Skriv 8 (/) så enkelt som möjligt. 8 (/) = 4 ( 5 ) = = ( + ) 4 0 = 4 = = = 8 = 8

20 5 Rationell eponent Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell eponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan? Eftersom eempelvis / / = /+/ = = så måste / vara samma sak som i och med att definieras som det tal som uppfller =. Allmänt kan vi göra definitionen a / = a. Vi måste då förutsätta att a 0, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal. Man ser också att eempelvis 5 / 5 / 5 / = 5 /+/+/ = 5 = 5 som innebär att 5 / = 5, vilket kan generaliseras till att a /n = n a. Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna ((a m ) n = a m n ) får vi att, för alla a 0 gäller att a m/n = (a m ) /n = n a m eller a m/n = (a /n ) m = ( n a ) m. Eempel 8 7 / = 7 = eftersom = / = 000 / = (0 ) / = 0 = 0 = 0 8 = 8 / = ( ) / = = / / d) 6 / = ( 4 ) / = 4/ = ( 4/) = 4/ Jämförelse av potenser Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller eponenten. Om basen i en potens är större än så blir potensen större ju större eponenten är. Är däremot basen mellan 0 och så blir potensen mindre istället när eponenten väer. Eempel 9 5/6 > /4 eftersom basen är större än och den första eponenten 5/6 är större än den andra eponenten /4. /4 > 5/6 eftersom basen är större än och eponenterna uppfller /4 > 5/6. 0, 5 < 0, 4 eftersom basen 0, är mellan 0 och och 5 > 4. Har en potens en positiv eponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om eponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större. Eempel 0 5 / > 4 / eftersom basen 5 är större än basen 4 och båda potenserna har samma positiva eponenten /. 5/ > 5/ eftersom baserna uppfller < och potenserna har den negativa eponenten 5/.

21 7 Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra storleksförhållandet. Vill man t.e. jämföra 5 med 6 kan man göra omskrivningarna 5 = (5 ) = 5 6 och 6 = (6 ) = 6 6 varefter man kan konstatera att 6 > 5. Eempel Avgör vilket tal som är störst av 5 / och 5 /4. Basen 5 kan skrivas om i termer av den andra basen 5 genom att 5 = 5 5 = 5. Därför är 5 / = (5 ) / = 5 = 5 / och då ser vi att 5 /4 > 5 / eftersom 4 > och basen 5 är större än. ( 8 ) 5 och 8. Både 8 och 8 kan skrivas som potenser av 8 = 4 = =, 8 = 64 = = 6 = 8 = = 7. Detta betder att ( 8 ) 5 = (8 / ) 5 = (8) 5/ = ( ) 5/ = 5 = 5/ 8 = 7 = 4/ och därför är ( 8 ) 5 > 8 i och med att 5 > 4 och basen är större än. (8 ) /5 och ( 7 ) 4/5. Eftersom 8 = och 7 = så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av respektive, (8 ) /5 = (8) /5 = ( ) /5 = 5 = 6/5, ( 7 ) 4/5 = (7 / ) 4/5 = 7 45 = 7 /5 = ( ) /5 = 5 = 6/5. Nu ser vi att ( 7 ) 4/5 > (8 ) /5 eftersom > och eponenten 6 5 är positiv. d) / och / Vi skriver eponenterna med gemensam nämnare = 6 och = 6. Då har vi att / = /6 = ( ) /6 = 9 /6 / = /6 = ( ) /6 = 8 /6 och vi ser att / > / eftersom 9 > 8 och eponenten /6 är positiv. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Ett tal upphöjt till 0 är, om talet (basen) är skild från 0. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om potenser på engelska Wikipedia ( Vilket är det största primtalet? Läs mer på The Prime Pages ( Länktips Här kan du träna på potenslagarna ( EponentRules/EponentRules.html) 8

22 9. Övningar Övning.: Beräkna ( 5 9 ( 5) d) ) Övning.: Skriv som en potens av 4 8 0,5 Övning.: Skriv som en potens av 4 9 d) 7 e) 9 Övning.:4 Beräkna (5 ) 6 d) ( ) 4 e) 65 ( ) Övning.:5 Beräkna 4 / 4 / 9 / d) e),4 0,6 f) ( 47 / ) ( 5 / ) ( 7 / ) 9 / Övning.:6 Avgör vilket tal som är störst av 56 / och 00 / 0,5 och 0,4 0, 5 och 0, 7 d) 400 / och ( 5 /) 4 e) 5 / och 65 / f) 56 och Algebraiska uttrck Innehåll: Distributiva lagen Kvadreringsreglerna Konjugatregeln Rationella uttrck Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Förenkla komplicerade algebraiska uttrck. Faktorisera uttrck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Utveckla uttrck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Distributiva lagen Den distributiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes. a ( b + c ) = ab + ac Eempel 4( + ) = (a = a b ( + ) = + = + = + d) a( + + z) = a + a + az Med den distributiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hantera minustecken framför parentesuttrck. Regeln säger att en parentes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parentesen bter tecken.

23 4 Eempel ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = + där vi i sista ledet använt att ( ) = ( )( ) = =. ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) + ( ) ( ) = + d) ( + ) = = ( + ) = 5 Om den distributiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrcket. Ofta försöker man brta ut en så stor faktor som möjligt. Eempel + 9 = + = ( + ) + = + = ( + ) 4 = = ( ) d) ( ) = = = Kvadreringsreglerna Den distributiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttrck. Om vi betraktar (a + (c + d) och ser a + b som en faktor som multipliceras in i parentesen (c + d) så får vi (c + d) = c + d, (a + (c + d) = (a + c + (a + d. Sedan kan c och d multipliceras in i respektive parentes (a + c + (a + d = ac + bc + ad + bd. 4 Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är: ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Eempel 4 ( + )( ) = + ( ) + + ( ) = + = ( )( + ) = ( + ) = ( + ) = ( )( ) = + ( ) ( ) = + = + där vi använt att ( ) = ( ) ( ) = ( ) = =. Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när a + b och c + d är samma uttrck Kvadreringsreglerna (a + = a + ab + b (a = a ab + b Dessa formler kallas för första och andra kvadreringsregeln. Eempel 5 ( + ) = + + = ( + ) = ( ) + ( ) + = där ( ) = (( )) = ( ) = =. ( 4) = ( ) = d) ( + ) ( ) = ( + + ) ( + ) = = + = 4

24 4 e) ( + 4)( + ) = ( + )( + ) = ( + ) = ( ) = f) ( ) = ( )( ) = ( )( 4 + 4) = + ( 4) + 4 ( 4) 4 = = Kvadreringsreglerna används också i omvänd riktning för att faktorisera uttrck. Eempel = ( + ) = ( ) + = ( ) = + + ( ) = ( + ) Konjugatregeln Ett tredje specialfall av den första formeln i förra avsnittet är konjugatregeln Konjugatregeln: (a + (a = a b Denna formel kan vi få fram direkt genom att utveckla vänsterledet (a + (a = a a + a ( + b a + b ( = a ab + ab b = a b. Eempel 7 ( 4)( + 4) = (4) = 6 ( + )( ) = ( ) () = 4 4 ( + )( ) = ( + )( ) = = 9 44 d) 4 6 = ( ) 4 = ( + 4)( 4) = ( + 4)( ) = ( + 4)( + )( ) Rationella uttrck Räkning med algebraiska uttrck som innehåller bråk liknar till stor del vanlig bråkräkning. Multiplikation och division av bråkuttrck följer samma räkneregler som gäller för vanliga bråktal, a b c d = a c b d och c d a b = a d b c. Eempel = 4 ( ) ( + ) = ( )( + ) a + a = a ( + ) ( + ) = ( ) ( )( + ) Förlängning av ett bråkuttrck innebär att vi multiplicerar täljare och nämnare med samma faktor + + ( + )( + ) = ( + )( + ) ( + )( + )( + 4) = ( + )( + )( + 4) =...

25 45 Förkortning av ett bråkuttrck innebär att vi strker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt ( + ) ( + )( + 4) ( + ) ( + )( + 4) = ( + ) ( + 4) ( + ) ( + 4) = + +. Eempel 9 + = = ( + ) ( + )( + ) ( ) = ( )( ) ( 4)( + ) = { konjugatregeln } = ( + )( )( ) ( + )( )( + ) = + När bråkuttrck adderas eller subtraheras behöver de, om så är nödvändigt, förlängas så att de får samma nämnare innan täljarna kan kombineras ihop, = = ( ) ( ) = ( ) = ( ). Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer. Eempel har MGN = ( + )( + ) Förläng den första termen med ( + ) och den andra termen med ( + ) = + ( + )( + ) + + ( + )( + ) = ( + )( + ) = ( + )( + ). + har MGN = Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare + = + = ( + ) ( + ) har MGN = ( + ) ( + ) Den första termen förlängs med ( + ) medan den andra termen förlängs med ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = + ( + + ) ( + ) ( + ) = + ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ). d) + ( ) har MGN = ( )( + ) Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren ( )( + ) + ( ) = ( ) ( )( + ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) = ( )( + ) + ( )( + ) ( )( + ) = ( + ) ( ) ( )( + ) = + ( )( + ) = ( )( + ). Vid förenkling av större uttrck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttrck är det viktigt att försöka behålla uttrck (t.e. nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera.

26 47 Eempel = ( + )( ) = { MGN = ( + )( ) } = + 4 ( + )( ) ( + )( ) = + 4 ( + )( ) = ( + )( ) = = + + = + + = + ( + ) = + = = + ( + )( ) ( + ) = + = = ( + ) Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Var noggrann. Om du gör ett fel på ett ställe så kommer resten av uträkningen också vara fel. Använd många mellanled. Om du är osäker på en uträkning utför då hellre enkla steg än ett stort steg. Utveckla inte i onödan. Du kan vid ett senare tillfälle vara tvungen att faktorisera tillbaka. Lästips Läs mer om algebra på engelska Wikipedia ( Understanding Algebra engelsk tetbok på nätet ( 48. Övningar Övning.: Utveckla ( ) ( + ) (4 ) ( d) ) + e) ( 7) f) (5 + 4) g) ( ) h) (5 + 5 ) Övning.: Utveckla ( 4)( 5) ( ) ( 5)( + 5) ( 5)( + 5) ( + 4) ( )( 8) d) ( + )( )( ) e) (a + + (a Övning.: Faktorisera så långt som möjligt d) e) 8 f) Övning.:4 Bestäm koefficienterna framför och när följande uttrck utvecklas ( + )( + 5) ( )( ) ( + 5 )( )( 7 4 ) Övning.:5 Förenkla så långt som möjligt ( )( ) ( + )( + ) d) 4 ( )( 4) ( + 4)( 4)

27 49 Övning.:6 Förenkla så långt som möjligt )( ( + ) + + a + b a ab a b d) a b + b a + b ( a b a + b ) Övning.:7 Förenkla följande bråkuttrck genom att skriva på gemensamt bråkstreck a a a + a (a + ) Övning.:8 Förenkla följande bråkuttrck genom att skriva på gemensamt bråkstreck Linjära uttrck Innehåll: Förstagradsekvationer Räta linjens ekvation Geometriska problem Områden som definieras av olikheter Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer. Omvandla mellan formerna = k + m och a + b + c = 0. Skissera räta linjer utgående från ekvationen. Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer. Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa. Förstagradsekvationer För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får ensamt i ena ledet. Eempel Lös ekvationen + = 7. Subtrahera från båda led + = 7. Vänsterledet förenklas då till och vi får att = 7 = 4.

28 5 Lös ekvationen = 6. Dividera båda led med = 6. Efter att ha förkortat bort i vänsterledet har vi att = 6 =. Lös ekvationen + = 5. Först subtraherar vi båda led med för att få ensamt i vänsterledet = 5. Sedan dividerar vi båda led med och får svaret = 4 =. En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen a = b. Lösningen är då helt enkelt = b/a (man måste anta att a = 0). De eventuella svårigheter som kan uppstå när man löser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några eempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning. Eempel Lös ekvationen = Eftersom förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi från båda led = och får samlat i högerledet = + 7. Nu subtraherar vi 7 från båda led 7 = och får ensamt kvar i högerledet 0 =. 5 Det sista steget är att dividera båda led med 0 = och detta ger att = 0. Eempel Lös ut från ekvationen a + 7 = b. Genom att subtrahera båda led med a + 7 = b a + 7 = b och sedan med 7 a = b 7 a = b 7 har vi samlat alla termer som innehåller i vänsterledet och övriga termer i högerledet. Eftersom termerna i vänsterledet har som en gemensam faktor kan brtas ut (a ) = b 7. Dividera båda led med a = b 7 a. Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två eempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation. Eempel 4 Lös ekvationen ( ) + = ( + 7).

29 5 Utveckla kvadratuttrcken i båda leden = , = Subtrahera 4 från båda led = Addera 6 till båda led 9 = Subtrahera 49 från båda led 40 = 4. Dividera båda led med 4 = 40 4 = 0 7. Eempel 5 Lös ekvationen + + = +. Fltta över båda termerna i ena ledet = 0. Förläng termerna så att de får samma nämnare ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) = 0 och förenkla täljaren ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) = 0, ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) = 0. = 0, Denna ekvation är uppflld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll), = 0 vilket ger att = Räta linjer Funktioner av tpen = + = + = 5 är eempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen = k + m där k och m är konstanter. Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten k anger linjens lutning mot -aeln och m anger -koordinaten för den punkt där linjen skär -aeln. steg k steg m Linjen = k + m har lutning k och skär -aeln i (0, m). Konstanten k kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv -led på linjen ger k enheters förändring i positiv -led. Det gäller därmed att om k > 0 så lutar linjen uppåt, k < 0 så lutar linjen nedåt. För en horisontell linje (parallell med -aeln) är k = 0 medan en vertikal linje (parallell med -aeln) inte har något k-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen = k + m). Eempel 6 Skissera linjen =.

30 55 Jämför vi linjens ekvation med = k + m så ser vi att k = och m =. Detta betder att linjens riktningskoefficient är och att den skär -aeln i punkten (0, ). Se figuren till vänster nedan. Skissera linjen =. Linjens ekvation kan skrivas som = + och då ser vi att dess riktningskoefficient är k = och att m =. Se figuren nedan till höger. steg steg steg steg Linjen = Linjen = / Eempel 7 Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna (, ) och (5, )? Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsstem så ser vi att 5 = steg i -led motsvaras av = steg i -led på linjen. Det betder att steg i -led måste motsvaras av k = 5 = k =. steg i -led. Alltså är linjens riktningskoefficient steg steg steg steg 56 Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.e. i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter k respektive k som uppfller k = /k, vilket också kan skrivas som kk =. k steg k steg steg steg Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient k, dvs. steg i -led motsvaras av k steg i -led. Om linjen vrids 90 motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient k eftersom nu motsvaras k steg i -led av steg i -led. Eempel 8 Linjerna = och = + 5 är parallella. Linjerna = + och = är vinkelräta. Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen a + b = c där a, b och c är konstanter. Eempel 9 Skriv linjen = i formen a + b = c. Fltta över -termen till vänsterledet: 5 + = 7. Skriv linjen + = i formen = k + m. Fltta över -termen i högerledet = och dela båda led med =.

31 57 Områden i koordinatsstem Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet. Eempel 0 Skissera området i -planet som uppfller. Området ges av alla punkter (, ) vars -koordinat är eller större, dvs. alla punkter på eller ovanför linjen =. Skissera området i -planet som uppfller <. En punkt (, ) som uppfller olikheten < har en -koordinat som är större än dess -koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen =. < Att linjen = är streckad betder att punkterna på linjen inte tillhör det färgade området. Eempel Skissera området i -planet som uppfller + 4. Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter + och + 4. Flttar vi över -termerna till högerledet och delar båda led med får vi och. De punkter som uppfller den första olikheten ligger på och ovanför linjen = medan de punkter som uppfller den andra olikheten ligger på eller under linjen =. Figuren till vänster visar området + och figuren till höger området + 4. Punkter som uppfller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de färgade områdena ovan har gemensamt. Figuren visar området

32 59 Eempel Om vi ritar upp linjerna =, = och = så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsstemet. = = = Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den. Vi ser att dess -koordinat måste vara mindre än. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränsas av = 0. -koordinaten måste således ligga i intervallet 0. För -koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att -koordinaten måste ligga ovanför linjerna = och =. Vi ser att detta är uppfllt då. Eftersom vi redan har begränsningar för -koordinaten så ser vi att inte kan vara större än eller mindre än automatiskt. Vi ser att basen i triangeln blir 4 längdenheter och höjden längdenheter. Arean av denna triangel blir alltså 4 / = 4 areaenheter. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att... Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om räta linjens ekvation i Bruno Kevius matematiska ordlista ( Länktips Eperimentera med räta linjens ekvation ( shtml) Eperimentera med Arkimedes triangel och andragradskurvor ( ArchimedesTriangle.shtml) 60

33 6. Övningar Övning.: Lös ekvationerna = + = = d) = 6 Övning.: Lös ekvationerna = ( + ) ( 5) = d) ( ) + 4 = ( + + ) = Övning.: Lös ekvationerna = 0 d) = ( + ( )( 4 + ) ( + ) = 6 ) ( ) ( + )( ) = 0 Övning.:4 Skriv ekvationen för linjen = + på formen a + b = c. Skriv ekvationen för linjen = 0 på formen = k + m. Övning.:5 Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (, ) och (, 0). Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficient och går genom punkten (, ). Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten (, ) och är parallell med linjen = +. d) Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten (, 4) och är vinkelrät mot linjen = + 5. e) Bestäm riktningskoefficienten, k, för den räta linje som skär -aeln i punkten (5, 0) och -aeln i punkten (0, 8). Övning.:6 Finn skärningspunkten mellan följande linjer = + 5 och -aeln = + 5 och -aeln = 0 och -aeln d) + + = 0 och = e) + = 0 och = 0 Övning.:7 Skissera grafen till följande funktioner f () = f () = f () = Övning.:8 Rita in i ett -plan alla punkter vars koordinater (, ) uppfller < Övning.:9 Beräkna arean av den triangel som har hörn i punkterna (, 4), (, ) och (, 0). begränsas av linjerna =, = 4 och = 0. beskrivs av olikheterna +, och. 6

34 6. Andragradsuttrck Innehåll: Kvadratkomplettering Andragradsekvationer Faktorisering Parabler Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Kvadratkomplettera andragradsuttrck. Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering (ej färdig formel) och veta hur man kontrollerar svaret. Faktorisera andragradsuttrck (när det är möjligt). Direkt lösa faktoriserade eller nästan faktoriserade andragradsekvationer. Bestämma det minsta/största värde ett andragradsuttrck antar. Skissera parabler genom kvadratkomplettering. Andragradsekvationer En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som + p + q = 0 där är den obekanta och p och q är konstanter. Enklare tper av andragradsekvationer kan vi lösa direkt genom rotutdragning. Ekvationen = a där a är ett positivt tal har två lösningar (rötter) = a och = a. 64 Eempel = 4 har rötterna = 4 = och = 4 =. = 8 skrivs om till = 9 och har rötterna = 9 = och = 9 =. 5 = 0 kan skrivas som = 5 och har rötterna = 5,6 och = 5,6. d) = 0 saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 5 oavsett hur väljs (kvadraten är alltid större än eller lika med noll). Eempel Lös ekvationen ( ) = 6. Genom att betrakta som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar: = 6 = 4 vilket ger att = + 4 = 5, = 6 = 4 vilket ger att = 4 =. Lös ekvationen ( + ) 8 = 0. Fltta över termen 8 till högerledet och dela båda led med, ( + ) = 4. Rotutdragning ger att: + = 4 =, dvs. = + =, + = 4 =, dvs. = =. För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering. Om vi betraktar kvadreringsregeln + a + a = ( + och subtraherar a från båda led så får vi

35 65 Kvadratkomplettering: + a = ( + a Eempel Lös ekvationen + 8 = 0. De två termerna + kvadratkompletteras (använd a = i formeln) + 8 = ( + ) 8 = ( + ) 9, där understrkningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som ( + ) 9 = 0, vilken vi löser med rotutdragning + = 9 = och därmed = + =, + = 9 = och därmed = = 4. Lös ekvationen = 0. Dividera båda led med 4 = 0. Vänsterledet kvadratkompletteras (använd a = ) 4 = ( ) ( ) 4 = ( ) och detta ger oss ekvationen ( ) = 0. Rotutdragning ger att = =, dvs. = + =, = =, dvs. = =. Tips! Tänk på att man alltid kan pröva lösningar till en ekvation genom att sätta in värdet och se om ekvationen blir uppflld. Man gör detta för att upptäcka eventuella slarvfel. För eempel a ovan har vi två fall att pröva. Vi kallar vänsteroch högerleden för VL respektive HL: = medför att VL = + 8 = = 0 = HL. = 4 medför att VL = ( 4) + ( 4) 8 = = 0 = HL. I båda fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen är alltså uppflld i båda fallen. Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen + p + q = 0 har lösningarna = p ± ( p ) q förutsatt att uttrcket under rottecknet inte är negativt. Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är. Eempel 4 Lös ekvationen 4 = 0. I vänsterledet kan vi brta ut ett ( 4) = 0. Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar = 0, eller 4 = 0 dvs. = 4. 66

36 67 Parabler Funktionerna = + 5 = 4 = 5 + är eempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som = a + b + c där a, b och c är konstanter och där a = 0. Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två tpeempel = och =. Figuren till vänster visar parabeln = och figuren till höger parabeln =. Eftersom uttrcket är som minst när = 0 har parabeln = ett minimum när = 0 och parabeln = ett maimum för = 0. Notera också att parablerna ovan är smmetriska kring -aeln eftersom värdet på inte beror på vilket tecken har. Eempel 5 Skissera parabeln =. Jämfört med parabeln = har punkter på parabeln ( = ) -värden som är två enheter mindre, dvs. parabeln är förskjuten två enheter neråt i -led. Skissera parabeln = ( ). På parabeln = ( ) behöver vi välja -värden två enheter större jämfört med parabeln = för att få motsvarande - värden. Alltså är parabeln = ( ) förskjuten två enheter åt höger jämfört med =. Skissera parabeln =. Varje punkt på parabeln = har dubbelt så stort -värde än vad motsvarande punkt med samma -värde har på parabeln =. Parabeln = är epanderad med faktorn i -led jämfört med =. Med kvadratkomplettering kan vi behandla alla tper av parabler. Eempel 6 Skissera parabeln = + +. Om högerledet kvadratkompletteras + + = ( + ) + = ( + ) + så ser vi från det resulterande uttrcket = ( + ) + att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i -led jämfört med = (eftersom det står ( + ) istället för ) och en enhet uppåt i -led. Eempel 7 Bestäm var parabeln = 4 + skär -aeln. En punkt ligger på -aeln om dess -koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har = 0 har en -koordinat som uppfller ekvationen 4 + = 0. 68

37 69 Vänsterledet kvadratkompletteras 4 + = ( ) + = ( ) och detta ger ekvationen ( ) =. Efter rotutdragning får vi lösningarna = =, dvs. = + =, = =, dvs. = =. Parabeln skär -aeln i punkterna (, 0) och (, 0). (, 0) (, 0) Eempel 8 Bestäm det minsta värde som uttrcket antar. Vi kvadratkompletterar = ( + 4) = ( + 4) + och då ser vi att uttrcket blir som minst lika med eftersom kvadraten ( + 4) alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad är. I figuren till höger ser vi att hela parabeln = ligger ovanför -aeln och har ett minimumvärde när = 4. 4 Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Lägg ner mcket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet. När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, ta, volm och geometri vara mcket större. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring Läs mer om andragradsekvationer på engelska Wikipedia ( Läs mer om andragradsekvationer i MathWorld ( 0 uses of a quadratic equation b Chris Budd and Chris Sangwin ( html) 70

38 7. Övningar Övning.: Kvadratkomplettera följande uttrck d) Övning.: Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering 4 + = = = 0 d) = 0 e) 5 + = 0 f) = 0 Övning.: Lös följande ekvationer direkt ( + ) = 0 ( )( + 5) = 0 5( )( + 8) = 0 d) ( + ) ( 9) = 0 e) ( + )( ) ( + )( 9) = 0 f) ( ) + ( ) = 0 Övning.:4 Bestäm en andragradsekvation som har rötterna och + och och Övning.:5 Bestäm en andragradsekvation som bara har 7 som rot. Bestäm ett värde på som gör att uttrcket är negativt. Ekvationen b = 0 har en rot =. Bestäm värdet på konstanten b. Övning.:6 Bestäm det minsta värde som följande polnom antar Övning.:7 Bestäm det största värde som följande polnom antar Övning.:8 Skissera grafen till följande funktioner f () = + f () = ( ) + f () = 6 + Övning.:9 Hitta alla skärningspunkter mellan -aeln och kurvan = = = + 9 Övning.:0 Rita in i ett -plan alla punkter vars koordinater (, ) uppfller och och d) 7

39 7. Rötter Innehåll: Kvadratrot och n:te rot Rotlagar Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Skriva om ett rotuttrck i potensform. Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal. Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierad. Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten. Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttrck. Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander). Förenkla rotuttrck med kvadratrötter i nämnaren. Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierad (n udd. Kvadratrötter Smbolen a, kvadratroten ur a, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir a. Man måste dock vara lite mer eakt när man definierar denna smbol. Ekvationen = 4 har två lösningar = och =, eftersom såväl = 4 som ( ) ( ) = 4. Man skulle då kunna tro att 4 kan vara vilken som helst av och, dvs. 4 = ±, men 4 betecknar bara det positiva talet. Kvadratroten a betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir a, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen = a. Kvadratroten ur a kan även skrivas a /. Det är därför fel att påstå att 4 = ±, men korrekt att säga att ekvationen = 4 har lösningarna = ±. 74 Eempel 0 = 0 eftersom 0 = 0 0 = 0 och 0 är inte negativ. 00 = 0 eftersom 0 = 0 0 = 00 och 0 är ett positivt tal. 0,5 = 0,5 eftersom 0,5 = 0,5 0,5 = 0,5 och 0,5 är positiv. d),44 eftersom,44,44 och,44 är positiv. e) Ekvationen = har lösningarna =,44 och =,44. f) 4 är inte definierad, eftersom det inte finns något reellt tal som uppfller = 4. g) ( 7) = 7 eftersom ( 7) = ( 7) ( 7) = 49 = 7 7 = 7. När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom a = a / kan vi överföra potenslagarna till rotlagar. Vi har t.e. att 9 4 = (9 4) / = 9 / 4 / = 9 4. På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal a, b 0 : ab = a b a b = a b a b = a b (Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.) Eempel 64 8 = 64 8 = 8 9 = = 9 = 5 5

40 75 d) 8 = 8 = 6 = 6 75 = 75 = 5 = 5 e) = 4 = 4 = Observera att räknereglerna ovan förutsätter att a och b 0. Om a och b är negativa ( < 0) så är inte a och b definierade som reella tal. Man skulle t.e. kunna frestas att skriva = = ( ) ( ) = = men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas. Högre ordningars rötter Kubikroten ur ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig självt tre gånger ger a, och betecknas a. Eempel 8 = eftersom = 8. 0,07 = 0, eftersom 0, 0, 0, = 0,07. 8 = eftersom ( ) ( ) ( ) = 8. Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal. Det går sedan att för positiva heltal n definiera n:te roten ur ett tal a som om n är jämn och a 0 är n a det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt n gånger blir a, om n är udda så är n a det tal som multiplicerat med sig självt n gånger blir a. Roten n a kan även skrivas som a /n. 76 Eempel = 5 eftersom = = eftersom ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = är inte definierad eftersom 6 är jämn och 7 är ett negativt tal. För n:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om a, b 0. Observera att om n är udda gäller de även för negativa a och b, dvs. för alla reella tal a och b. n ab = n a n b n a n a b = n b a n b = n a n b Förenkling av rotuttrck Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttrck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att brta ner uttrck i så små rötter som möjligt. Eempelvis gör man gärna omskrivningen 8 = 4 = 4 = eftersom man då kan förenkla t.e. 8 = =. Genom att skriva rotuttrck i termer av små rötter kan man också addera rötter av samma sort, t.e. 8 + = + = ( + ) =. Eempel 5 8 = 8 4 = 9 = = =

41 = 6 = = = = = = = = ( + ) 5 = 5 5 d) = = = = = (5 4) + ( + ) = + 5 e) = = 4 4 = = 4 = = = f) ( + )( ) = ( ) ( ) = = där vi använt konjugatregeln (a + (a = a b med a = och b =. Rationella rotuttrck När rötter förekommer i ett rationellt uttrck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med kan man eempelvis göra omskrivningen = = vilket oftast är att föredra. I andra fall kan man utnttja konjugatregeln, (a + (a = a b, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttrck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.e. = + = + = ( = ) ( ) ( + )( ) 6 = = 6. Eempel 6 d) 0 5 = 0 5 = = ( + ) = = = 6 + ( + ) = ( )( + ) = = + 6 ( ) = = + 6 ( 6 ) 6 ( 6 + )( 6 ) = ( 6 ) ( ) = = ( ) 6 Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)! Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna. Eempelvis: = /. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia ( Hur vet man att roten ur inte är ett bråktal? ( 78

42 79 Länktips Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare? ( Övningar Övning.: Skriv i potensform ( 7 5 ) 4 d) Övning.: Förenkla så långt som möjligt ( ) e) 8 8 f) 8 g) d) Övning.: Förenkla så långt som möjligt ( )( ) d) 96 8 ( 6 ) Övning.:4 Förenkla så långt som möjligt 0,6 0, d) Övning.:5 Skriv som ett uttrck utan rottecken i nämnaren d) 7 Övning.:6 Skriv som ett uttrck utan rottecken i nämnaren d) ( )

43 8 Övning.:7 Förenkla så långt som möjligt Övning.:8 Avgör vilket tal som är störst av 5 och 6 7 och 7 ( 7 och,5 d) 4 ) och 8. Rotekvationer Innehåll: Rotekvationer av tpen a + b = c + d Falska rötter Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Lösa enkla rotekvationer med kvadrering. Hantera falska rötter och veta när de uppstår. Rotekvationer Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.e. + =, =, + =. För att lösa rotekvationer vill man bli av med rottecknet. Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet. Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner och löser sedan den na, kvadrerade, ekvationen. När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Oavsett om man hade något positivt eller negativt så har man alltid något positivt efter en kvadrering. Därför måste man pröva de lösningar som man får fram. Man behöver verifiera att de inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också till den ursprungliga ekvationen.

44 8 Eempel Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation =. Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi = 4. Denna na ekvation har två lösningar = eller =. Lösningen = uppfller den ursprungliga ekvationen medan = är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen. Eempel Lös ekvationen =. Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med, men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen som den är får vi 4( ) = ( ) och utvecklar vi kvadraten fås 4( ) = +. Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas = 0. Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir = ±, dvs. = eller = 5. Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om = och = 5 också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen: = medför att VL = = 0 och HL = = 0. Alltså är VL = HL och ekvationen är uppflld! = 5 medför att VL = 5 = = 4 och HL = 5 = 4. Alltså är VL = HL och ekvationen är inte uppflld! Ekvationen har därmed bara en lösning =. = = Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen, s. k. falska rötter. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Därför måste man verifiera att de lösningar man får fram, inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Du ska alltid pröva lösningarna till rotekvationer. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring Understanding Algebra engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier ( 84

45 85 Länktips Vad är roten ur? Webmath.com hjälper dig att förenkla rotuttrck ( Övningar Övning.: Lös ekvationen 4 = 6. Övning.: Lös ekvationen + 7 = +. Övning.: Lös ekvationen 8 + =. Övning.:4 Lös ekvationen =. Övning.:5 Lös ekvationen =. Övning.:6 Lös ekvationen = 4. 86

46 87. Logaritmer Innehåll: Logaritmer Logaritmlagar Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Känna till begreppen bas och eponent. Känna till beteckningarna ln, lg, log och log a. Beräkna enkla logaritmuttrck med hjälp av logaritmens definition. Logaritmen är bara definierad för positiva tal. Känna till talet e. Hantera logaritmlagarna i förenkling av logaritmuttrck. Veta när logaritmlagarna är giltiga. Uttrcka en logaritm i termer av en logaritm med en annan bas. Lösa ekvationer som innehåller eponentialuttrck och som med logaritmering leder till förstagradsekvationer. Avgöra vilket av två logaritmuttrck som är störst baserat på jämförelse av bas/argument. Logaritmer med basen 0 Man använder gärna potenser med basen 0 för att skriva stora och små tal, t.e. 0 = = 000, 0 = = = 0, = 00 = 0,0. Om man enbart betraktar eponenten skulle man i stället kunna säga att eponenten för 000 är, eller eponenten för 0,0 är. Precis så är logaritmer definierade. Man uttrcker sig på följande sätt: 88 logaritmen för 000 är, vilket skrivs lg 000 =, logaritmen för 0,0 är, vilket skrivs lg 0,0 =. Mer allmänt kan man uttrcka sig: Logaritmen av ett tal betecknas med lg och är den eponent som ska stå i den färgade rutan i likheten 0 =. Notera här att måste vara ett positivt tal för att logaritmen lg ska vara definerad, eftersom det inte finns någon potens av 0 som blir negativ eller noll. Eempel lg = 5 eftersom 0 5 = lg 0,000 = 4 eftersom 0 4 = 0,000. lg 0 = eftersom 0 / = 0. d) lg = 0 eftersom 0 0 =. e) lg 0 78 = 78 eftersom 0 78 = f) lg 50,699 eftersom 0, g) lg( 0) eisterar inte eftersom 0 a aldrig kan bli 0 oavsett hur a väljs. I det näst sista eemplet kan man snabbt inse att lg 50 måste ligga någonstans mellan och eftersom 0 < 50 < 0, men för att få fram ett mer eakt värde på det irrationella talet lg 50 =, behövs i praktiken en miniräknare (eller tabell.) Eempel 0 lg 00 = 00 0 lg a = a 0 lg 50 = 50

47 89 Olika baser Man kan tänka sig logaritmer som använder en annan bas än 0 (utom!). Man måste då tdligt ange vilket tal man använder som bas för logaritmen. Använder man t.e. som bas skriver man log för -logaritmen. Eempel log 8 = eftersom = 8. log = eftersom =. log 04 = 0 eftersom 0 = 04. d) log 4 = eftersom = = 4. På samma sätt fungerar logaritmer i andra baser. Eempel 4 log 9 = eftersom = 9. log 5 5 = eftersom 5 = 5. log 4 6 = eftersom 4 = 4 = 6. d) log b b = eftersom b / = b / = (om b > 0 och b = ). b Om basen 0 används, skriver man sällan log 0, utan som vi tidigare sett lg, eller enbart log, vilket förekommer på många miniräknare. Naturliga logaritmer I praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom 0 även talet e (, ). Logaritmer med basen e kallas naturliga logaritmer och skrivs ln i stället för log e. 90 Eempel 5 ln 0, eftersom e, 0. ln e = eftersom e = e. ln e = eftersom e = e. d) ln = 0 eftersom e 0 =. e) Om = e a så är a = ln. f) e ln 5 = 5 g) e ln = På de flesta mer avancerade miniräknare finns vanligtvis knappar för 0-logaritmer och naturliga logaritmer. Logaritmlagar Mellan år 67 och 64 publicerade Henr Biggs en logaritmtabell av alla heltal upp till och år 68 utökade Adriaan Vlacq tabellen till alla heltal upp till Anledningen till att man lade ned så enormt mcket arbete på sådana tabeller är att man med hjälp av logaritmer kan multiplicera ihop tal bara genom att addera ihop deras logaritmer (addition går mcket snabbare att utföra än multiplikation). Eempel 6 Beräkna Om vi vet att 5 0,544 och 54 0,74 (dvs. lg 5,544 och lg 54,74) då kan vi räkna ut att ,544 0,74 = 0,544+,74 = 0,765 och vet vi sedan att 0, (dvs. lg 890,765) så har vi lckats beräkna produkten 5 54 = 890 och detta bara genom att addera ihop eponenterna,544 och,74.

48 9 Detta är ett eempel på en logaritmlag som säger att log(a = log a + log b och som följer av att å ena sidan är a b = 0 log a 0 log b = { potenslagarna } = 0 log a+log b och å andra sidan är a b = 0 log(a. Genom att utnttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande logaritmlagar: log(a = log a + log b, log a b = log a log b, log a b = b log a. Logaritmlagarna gäller oavsett bas. Eempel 7 lg 4 + lg 7 = lg(4 7) = lg 8 lg 6 lg = lg 6 = lg lg 5 = lg 5 = lg 5 d) lg 00 = lg( 00) = lg + lg 00 = lg + Eempel 8 lg 9 + lg 000 lg + lg 0,00 = lg 9 + lg = lg 9 lg = lg 9 = lg 9 ln e + ln e = ln( e e ) = ln ( ( e ) e ) = ln e = ln e / = ln e = = log 6 log 8 = log (6 6) log (9 9) = log ( ) log ( ) = log ( ) log (4 ) = log + log log 4 = log + log 4 log = + log log = d) lg a lg a + lg a = lg a lg a + lg a = ( ) lg a + ( ) lg a = lg a lg a = 0 Bte av bas Ibland kan det vara bra att kunna uttrcka en logaritm som en logaritm av en annan bas. Eempel 9 Uttrck lg 5 i naturliga logaritmen. Per definition är lg 5 det tal som uppfller likheten 0 lg 5 = 5. Logaritmera båda led med ln (naturliga logaritmen) ln 0 lg 5 = ln 5. Med hjälp av logaritmlagen ln a b = b ln a kan vänsterledet skrivas som lg 5 ln 0 och likheten blir lg 5 ln 0 = ln 5. Dela nu båda led med ln 0 så får vi svaret lg 5 = ln 5 ln 0 ( 0,699, dvs. 0 0,699 5).

49 9 Uttrck -logaritmen för 00 i 0-logaritmen lg. Om vi skriver upp sambandet som definierar log 00 log 00 = 00 och logaritmerar båda led med 0-logaritmen (lg) så får vi att lg log 00 = lg 00. Eftersom lg a b = b lg a så är lg log 00 = log 00 lg och högerledet kan förenklas till lg 00 =. Detta ger oss likheten log 00 lg =. Division med lg ger slutligen att log 00 = lg ( 6,64, dvs. 6,64 00). Den allmänna formeln för bte från en bas a till en bas b kan härledas på samma sätt log a = log b log b a. Vill man bta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer. Om man eempelvis vill skriva 5 med basen 0 så skriver man först om med basen 0, = 0 lg och utnttjar sedan en av potenslagarna 5 = (0 lg ) 5 = 0 5 lg ( 0,505 ). Eempel 0 Skriv 0 med basen e. Först skriver vi 0 som en potens av e, 0 = e ln 0 och använder sedan potenslagarna 0 = (e ln 0 ) = e ln 0 e,. Skriv e a med basen 0. Talet e kan vi skriva som e = 0 lg e och därför är e a = (0 lg e ) a = 0 a lg e 0 0,44a. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Du kan behöva lägga ner mcket tid på logaritmer. Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gmnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om logaritmer på engelska Wikipedia ( Läs mer om Talet e i The MacTutor Histor of Mathematics archive ( Länktips Eperimentera med logaritmer och potenser ( LogGraph/logGraph.html) Spela logaritm Memor ( LogConcentration/LogConcentration.htm) Hjälp grodan hoppa till sitt näckrosblad i log -spelet ( logger.htm) 94

50 95. Övningar Övning.: Bestäm om 0 = = 0, 0 = 00 d) 0 = 0,000 Övning.: Beräkna lg 0, lg lg 0,00 d) lg e) 0 lg f) lg 0 g) 0 lg 0, h) lg 0 Övning.: Beräkna log 8 log 9 log 0,5 ( d) log 9 / ) e) log 4 f) log 4 + log ( 6 g) log log 4 h) log a a a ) Övning.:4 Förenkla lg 50 lg 5 lg + lg lg 7 / + lg + lg 9 Övning.:5 Förenkla ln e + ln e ln 8 ln 4 ln (ln ) e d) ln e e) ln e f) ( e ln e ) Övning.:6 Använd miniräknaren till höger för att beräkna med tre decimaler (Knappen LN betecknar den naturliga logaritmen i basen e): log 4 lg 46 log log ( 8 ) 96.4 Logaritmekvationer Innehåll: Logaritmekvationer Eponentialekvationer Falska rötter. Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Lösa ekvationer som innehåller logaritm- eller eponentialuttrck och som kan reduceras till första- eller andragradsekvationer. Hantera falska rötter och veta när de uppstår. Grundekvationer Ekvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall. Först ges några eempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs. 0 = = lg e = = ln (Vi använder oss här enbart av 0-logaritmer eller naturliga logaritmer.) Eempel Lös ekvationerna 0 = 57 har lösningen = lg = 57 ger att 5 = lg 57, dvs. = 5 lg 57. e = 5 Multiplikation av båda led med e och division med 5 ger att 5 = e, vilket betder att = ln 5.

51 97 d) lg = Definitionen ger direkt att = 0 = 000. e) lg( 4) = Från definitionen har vi att 4 = 0 = 00 och då följer att = 5. Eempel Lös ekvationen ( 0 ) = 5. Eftersom 0 = 0 / är vänsterledet lika med ( 0 ) = (0 / ) = 0 / och ekvationen lder 0 / = 5. Denna grundekvation har lösningen / = lg 5, dvs. = lg 5. Lös ekvationen ln + =. Multiplicera båda led med och subtrahera sedan från båda led ln =. Dividera båda led med ln =. Nu ger definitionen direkt att = e /, vilket betder att = e / = e /. I många praktiska tillämpningar rörande eponentiell tillvät eller avtagande dker det upp ekvationer av tpen a = b, där a och b är positiva tal. Dessa ekvationer löses enklast genom att ta logaritmen för båda led lg a = lg b och använda logaritmlagen för potenser lg a = lg b vilket ger lösningen = lg b lg a. Eempel Lös ekvationen = 0. Logaritmera båda led lg = lg 0. Vänsterledet kan skrivas som lg = lg och då får vi att = lg 0 lg (,77). Lös ekvationen 5000,05 = Dividera båda led med 5000,05 = =. Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med lg och skriva om vänsterledet som lg,05 = lg,05, = lg lg,05 ( 4,). Eempel 4 Lös ekvationen = 5. Vänsterledet kan skrivas om med potenslagarna till = ( ) och ekvationen blir 6 = 5. Denna ekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får att = lg 5 lg 6 ( 0,898). Lös ekvationen 5 + = 5. Logaritmera båda led och använd logaritmlagen lg a b = b lg a ( + ) lg 5 = 5 lg, lg 5 + lg 5 = 5 lg. 98

52 99 Samla i ena ledet lg 5 = 5 lg lg 5, lg 5 = (5 lg lg 5). Lösningen är = lg 5 5 lg lg 5. Några mer komplicerade ekvationer Ekvationer som innehåller eponential- eller logaritmuttrck kan ibland behandlas som förstagrads- eller andragradsekvationer genom att betrakta ln eller e som obekant. Eempel 5 Lös ekvationen 6e 5 e + = e +. Multiplicera båda led med e + och e + för att få bort nämnarna 6e (e + ) = 5(e + ). Notera att eftersom e och e alltid är positiva oavsett värdet på så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer e + och e + som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera na (falsk rötter till ekvationen. Förenkla båda led 6 + e = 5e + 5, där vi använt att e e = e + = e 0 =. Betraktar vi nu e som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen e =. En logaritmering ger sedan svaret = ln = ln = ln = ln. 00 Eempel 6 Lös ekvationen ln + ln =. Termen ln kan skrivas som ln = ln = ln = ln och då blir ekvationen ln ln =, där vi kan betrakta ln som en n obekant. Multiplicerar vi båda led med ln (som är skild från noll när = ) får vi en andragradsekvation i ln (ln ) = ln, (ln ) + ln = 0. Kvadratkomplettering av vänsterledet (ln ) + ln = ( ln + ) ( ) = ( ln + ) 5 4 följt av rotutdragning ger att ln = 5 ±. Detta betder att ekvationen har två lösningar = e ( + 5)/ och = e (+ 5)/. Falska rötter När man löser ekvationer gäller det också att tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva och att uttrck av tpen e (...) bara kan anta positiva värden. Risken är annars att man får med falska rötter. Eempel 7 Lös ekvationen ln(4 ) = ln( ).

53 0 För att ekvationen ska vara uppflld måste argumenten 4 och vara lika, 4 =, ( ) och dessutom positiva. Vi löser ekvationen ( ) genom att fltta över alla termer i ena ledet 4 = 0 och använder rotutdragning. Detta ger att = och =. Vi kontrollerar nu om båda led i ( ) är positiva Om = blir båda led lika med 4 = = ( ) = + = > 0. Om = blir båda led lika med 4 = = 0. = = 0 > Alltså har logaritmekvationen bara en lösning =. Eempel 8 Lös ekvationen e e =. Den första termen kan vi skriva som e = (e ). Hela ekvationen är alltså en andragradsekvation med e som obekant (e ) e =. Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver t istället för e, t t =. Kvadratkomplettera vänsterledet ( t ) ( ) =, ( t ) = 4, vilket ger lösningarna t = och t = +. 0 Eftersom > så är < 0 och det är bara t = + som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom e alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att ( ) = ln + är den enda lösningen till ekvationen. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Du kan behöva lägga ner mcket tid på logaritmer. Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gmnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.

54 0.4 Övningar Övning.4: Lös ekvationerna e = e = e = 7 Övning.4: Lös ekvationerna = e + e = 4 e = Övning.4: Lös ekvationerna = e ln ( + ) = ln ( ) ln + ln ( + 4) = ln ( + ) Vinklar och cirklar Innehåll: Olika vinkelmått (grader, radianer och varv) Pthagoras sats Avståndsformeln i planet Cirkelns ekvation Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Omvandla mellan grader, radianer och varv. Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer. Känna till begreppen katet, hpotenusa och rätvinklig triangel. Formulera och använda Pthagoras sats. Beräkna avståndet mellan två punkter i planet. Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer. Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge. Lösa geometriska problem som innehåller cirklar. Vinkelmått Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer. Grader. Om ett helt varv delas in i 60 delar, så kallas varje del grad. Beteckningen för grader är.

55 05 Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså π radianer eftersom cirkelns omkrets är πr, där r är cirkelns radie. Ett helt varv är 60 eller π radianer och det gör att = 60 π π radianer = 80 radianer, radian = π 60 = 80 π. Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer. Eempel 0 = 0 = 0 π 80 radianer = π 6 radianer π 8 radianer = π 8 ( radian ) = π 8 80 π =,5 I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 60. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv Eempel Vinklarna 55 och 665 anger samma riktning eftersom = 665. Vinklarna π 7 och π 7 anger samma riktning eftersom π 7 π = π 7. Vinklarna 6 och 6 anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom = 6. Avståndsformeln Pthagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter a och b, och hpotenusa c gäller att Pthagoras sats: c b c = a + b. a Eempel I triangeln till höger är c = + 4 = = 5 c och därför är hpotenusan c lika med c = 4 5 = 5. Pthagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsstem.

56 07 Avståndsformeln: Avståndet d mellan två punkter med koordinater (, ) och (a, är d = ( + (. Linjestcket mellan punkterna är hpotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinatalarna. b d a Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i - och -led mellan punkterna, dvs. a respektive b. Pthagoras sats ger sedan avståndsformeln. Eempel 4 Avståndet mellan (, ) och (, ) är d = ( ) + ( ) = ( ) + = 4 + = 5. Avståndet mellan (, 0) och (, 5) är d = ( ( )) + (0 ( 5)) = + 5 = + 5 = Cirklar En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fit avstånd r från en punkt (a,. r (a, Avståndet r kallas för cirkelns radie och punkten (a, för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp. Diameter Tangent Korda Sekant Cirkelbåge Periferi Cirkelsektor Cirkelsegment Eempel 5 En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bestäm cirkelbågens längd. Medelpunktsvinkeln 50 blir i radianer 50 = 50 = 50 π 80 5π radianer = 8 radianer. På det sätt som radianer är definierat betder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, 50 5π 8 l.e. = 5π 6 l.e.

57 09 Bestäm cirkelsektorns area. Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är = 5 6 och det betder att dess area är 6 5 delar av cirkelns area som är πr = π = 9π, dvs π a.e. = 5π 4 a.e. En punkt (, ) ligger på cirkeln som har medelpunkt i (a, och radie r om dess avstånd till medelpunkten är lika med r. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som (, ) Cirkelns ekvation: r ( + ( = r. (a, Eempel 6 ( ) + ( ) = 9 är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (, ) och radie 9 =. 0 + ( ) = kan skrivas som ( 0) + ( ) = och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (0, ) och radie =. ( + ) + ( ) = 5 kan skrivas som ( ( )) + ( ) = 5 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (, ) och radie 5,6. Eempel 7 Ligger punkten (, ) på cirkeln ( 4) + =? Stoppar vi in punktens koordinater = och = i cirkelns ekvation har vi att VL = ( 4) + = ( ) + = = = HL. Eftersom punkten uppfller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. (, ) Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i (, 4) och innehåller punkten (, 0). Eftersom punkten (, 0) ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika

58 med avståndet från (, 0) till medelpunkten (, 4). Avståndsformeln ger att detta avstånd är c = ( ) + (4 0) = = 0. Cirkelns ekvation är därför ( ) + ( 4) = 0. (, 4) (, 0) Eempel 8 Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är = 0. Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen ( + ( = r för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är (a, och radien är r. Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller i vänsterledet = ( ) (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen). Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller ( ) = ( ) + ( + ) +. Vänsterledet är alltså lika med ( ) + ( + ) 4 och flttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation ( ) + ( + ) = 4. Vi avläser att medelpunkten är (, ) och radien är 4 =. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om Pthagoras sats på svenska Wikipedia ( Läs mer i Mathworld om cirkeln ( Länktips Interaktivt eperiment: sinus och cosinus i enhetscirkeln] (Flash) ( enhetscirkeln.swf)

59 4. Övningar Övning 4.: Skriv i grader och radianer 4 varv 8 varv varv d) 97 varv Övning 4.: Omvandla till radianer d) 70 Övning 4.: Bestäm längden av sidan som är markerad med Övning 4.:4 Bestäm avståndet mellan punkterna (, ) och (5, 4). Bestäm avståndet mellan punkterna (, 5) och (, ). Hitta den punkt på -aeln som ligger lika långt från punkterna (, ) och (5, ). Övning 4.:5 Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (, ) och radie. Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (, ) och innehåller punkten (, ). Övning 4.:6 Skissera följande cirklar + = 9 ( ) + ( ) = ( ) + ( + 7) = 0 4 Övning 4.:7 Skissera följande cirklar + + = = = d) + + = Övning 4.:8 Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 0 m? Övning 4.:9 På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 0 sekunder? Övning 4.:0 En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och, m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mcket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet i figuren). 0,6 m, m 4,8 m

60 5 4. Trigonometriska funktioner Innehåll: De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens. Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Känna till begreppen spetsig, trubbig och rät vinkel. Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln. Utantill kunna värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna 0, π/6, π/4, π/ och π/. Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna i någon kvadrant av enhetscirkeln. Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens. Lösa trigonometriska problem som involverar rätvinkliga trianglar. Trigonometri i rätvinkliga trianglar I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten a och den närliggande kateten b för tangens av vinkeln u och betecknas tan u. a tan u = a b u b Värdet på kvoten a/b är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln u. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarande tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan). 6 Eempel Hur hög är flaggstången? 40 5 m Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med nedan) m Från definitionen av tangens har vi att tan 40 = 5 m och eftersom tan 40 0,84 så är = 5 m tan 40 5 m 0,84 = 4, m.

61 7 Eempel Bestäm längden av sidan markerad med i figuren Om vi kallar vinkeln längst till vänster för u så finns det två sätt att ställa upp ett uttrck för tan u. u 40 tan u = 40 u 60 tan u = 60 Sätter vi de två uttrcken för tan u lika fås 40 = 60 vilket ger att = =. Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är cos u = b/c ( cosinus av u ) och sin u = a/c ( sinus av u ). c cos u = b a c u b sin u = a c Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln u. Eempel 5 u Eempel 4 Bestäm sin u i triangeln I triangeln till vänster är cos u = 4 5 sin u = 5 Definitionen av sinus ger att sin 8 = 5 och vet vi att sin 8 0,66 så får vi att = 5 sin 8 5 0,66,. Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hpotenusan cos 4 =. Alltså är = cos 4. u / 8

62 9 Med hjälp av Pthagoras sats kan kateten till höger bestämmas = ( ) + = u / och därför är sin u = / =. Några standardvinklar För vissa vinklar 0, 45 och 60 går det relativt enkelt att räkna ut eakta värden på de trigonometriska funktionerna. Eempel 5 Vi utgår från en kvadrat med sidlängd. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar Med Pthagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd, = + = + =. I triangeln som har diagonalen som hpotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln cos 45 = sin 45 = tan 45 = = 0 Eempel 6 Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd. Vinklarna i triangeln är alla 60. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu Pthagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är = /. Från en triangelhalva får vi att 60 0 cos 0 = / = sin 0 = / = ; ; tan 0 = / = ; / cos 60 = / = sin 60 = / = / / = tan 60 = Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar För vinklar som är mindre än 0 eller större än 90 definieras de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie ). De trigonometriska funktionerna cos u och sin u är - respektive -koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln u med den positiva -aeln. (cos u, sin u) u

63 Tangensfunktionen definieras som tan u = sin u cos u och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet. Eempel 7 Från figurerna nedan avläser vi värdena på cosinus och sinus. ( 0,4; 0,97) 04 cos 04 0,4 sin 04 0,97 tan 04 0,97 0,4 4,0 cos 0 0,9 ( 0,9; 0,6) 0 sin 0 0,6 tan 0 0,6 0,9 0,4 Eempel 8 Vilket tecken har cos 09 Eftersom vinkeln 09 kan skrivas som 09 = så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ -koordinat, vilket betder att cos 09 är negativ. 09 sin Vinkeln är lika med och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv -koordinat och därför är sin positiv. tan( 40 ) Ritas vinkeln 40 in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. tan( 40 ) är negativ. 40 Eempel 9 Bestäm sin π. Omskrivningen π = 4π 6 = π + π 6 = π + π 6 visar att vinkeln π/ hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln π/6 med den positiva -aeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att π/-punkten på enhetscirkeln har en -koordinat som är lika med den närliggande kateten cos(π/6) = /. Alltså är sin π =. π/6 cos π 6 π/

64 De trigonometriska funktionernas grafer I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.e. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer. π π π π π Grafen till tangensfunktionen π π π π π Grafen till sinusfunktionen 4 π π π π π Grafen till cosinusfunktionen I graferna kan vi observera flera saker kanske tdligare än i enhetscirkeln. Några eempel är: Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på π, dvs. det gäller att cos( + π) = cos och sin( + π) = sin. I enhetscirkeln motsvarar π ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater. Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på π, dvs. tan( + π) = tan. Två vinklar som skiljer sig åt med π ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient. Förutom en fasförskjutning på π/ är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. cos = sin( + π/); mer om detta i nästa avsnitt. Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns. Eempel 0 Hur många lösningar har ekvationen cos =? (där mäts i radianer) Genom att rita upp graferna = cos och = ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två -värden för vilka motsvarande -värden är lika.

65 5 Med andra ord har ekvationen två lösningar. = = cos Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Har du läst trigonometri, så ska du inte vara rädd för att använda den i geometriska problem. Det ger ofta en enklare lösning. Du kan behöva lägga ner mcket tid på att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna. Ta för vana att räkna med eakta trigonometriska värden. Det ger en bra träning på bråkräkning och så småningom i räkning med algebraiska rationella uttrck. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om trigonometri i Per Edströms Interaktiv Matematik ( trigonometri/cos_even.html) Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia ( Läs mer om enhetscirkeln på engelska Wikipedia ( Länktips Eperimentera med sinus och cosinus i enhetscirkeln ( enhetscirkeln.swf) Eperimentera med Euklidisk geometri ( toolbo.html) 6

66 7 4. Övningar Övning 4.: Bestäm längden av sidan som är markerad med uttrckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna d) e) f) 9 5 Övning 4.: Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln v uppfller. v 0 v v 5 d) 7 v 8 60 e) f) v 5 v Övning 4.: Bestäm sin ( d) cos 7π π ) cos π sin 9π e) sin π ( f) cos π 4 6 ) Övning 4.:4 Bestäm cos π 6 cos π d) tan π e) tan 7π 6 tan π 4 ( f) tan 5π ) Övning 4.:5 Bestäm cos 5 tan 5 cos 0 d) tan 495 Övning 4.:6 Bestäm längden av sträckan som är markerad med Övning 4.:7 För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om

67 9 måtten i figuren gäller? C 0 A 45 B 0 m Övning 4.:8 En stång med längd l är upphängd i två linor med längd a resp. b enligt figuren. Linorna bildar vinklar α resp. β med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln γ som stången bildar med vertikalen. α b β a l γ Övning 4.:9 Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km,,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 0 respektive 90. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 976, men aningen modifierad.) Q B A 0 P 0 4. Trigonometriska samband Innehåll: Trigonometriska ettan Formeln för dubbla och halva vinkeln Additions- och subtraktionsformlerna Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Härleda trigonometriska samband från smmetrier i enhetscirkeln. Förenkla trigonometriska uttrck med hjälp av de trigonometriska sambanden. Inledning Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangensvärden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttrck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriska samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s.k. trigonometriska ettan och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill. Trigonometriska ettan Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pthagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln till höger visar att (sin v) + (cos v) =, v cos v sin v vilket brukar skrivas sin v + cos v =.

68 Smmetrier Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas smmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus. cos( v) = cos v sin( v) = sin v cos(π v) = cos v sin(π v) = sin v cos sin cos sin ( π ) v ( π ) v ( ( v + π ) v + π ) = sin v = cos v = sin v = cos v Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln. Spegling i -aeln När en vinkel v speglas i -aeln blir den v. v v Speglingen påverkar inte -koordinaten medan -koordinaten bter tecken cos( v) = cos v, sin( v) = sin v. Spegling i -aeln Vid spegling i -aeln ändras vinkeln v till π v (spegelbilden bildar vinkeln v mot den negativa -aeln). v v Speglingen påverkar inte -koordinaten medan -koordinaten bter tecken cos(π v) = cos v, sin(π v) = sin v. Spegling i linjen = v v Vinkeln v ändras till vinkeln π/ v (spegelbilden bildar vinkeln v mot den positiva -aeln). Speglingen gör att - och -koordinaterna bter plats ( π ) v cos sin ( π v ) = sin v. = cos v. Vridning med vinkeln π/ En vridning π/ av vinkeln v betder att vinkeln blir v + π/. v v Vridningen gör att -koordinaten blir n -koordinat och -koordinaten blir n - koordinat fast med omvänt tecken cos sin ( ( v + π v + π ) ) = sin v, = cos v. Alternativt kan man få fram dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man eempelvis vill ha ett samband där cos v uttrcks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen för cosinus så att den passar med sinuskurvan. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller det sig att skriva cos v = sin(v + π/). För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på v. = cos = sin π/ Kontroll: cos 0 = sin(0 + π/) =.

69 Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln Ofta behöver man behandla uttrck där två eller flera vinklar är inblandade, t.e. sin(u + v). Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus har formlerna utseendet sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v, sin(u v) = sin u cos v cos u sin v, cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v, cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v. Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs. sin v eller cos v, så kan man skriva uttrcken som sin(v + v) eller cos(v + v) och använda additionsformlerna ovan och få sin v = sin v cos v, cos v = cos v sin v. Ur dessa samband kan vi sedan få fram formler för halva vinkeln. Genom att bta ut v mot v, och följdaktligen v mot v/, i formeln för cos v får vi att cos v = cos v sin v. Vill vi ha en formel för sin(v/) så använder vi därefter den trigonometriska ettan för att bli av med cos (v/) dvs. cos v = sin v sin v = sin v sin v = cos v. På motsvarande sätt kan vi med den trigonometriska ettan göra oss av med sin (v/). Då får vi i stället cos v = + cos v. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Enhetscirkeln är ett ovärderligt hjälpmedel för att hitta trigonometriska samband. Sådana finns det gott om och det är ingen idé att försöka lära sig alla utantill. Det är också tidsödande att behöva slå upp och leta fram dem hela tiden. Därför är det mcket bättre att du lär dig använda enhetscirkeln. Den allra mest kända trigonometriska formeln är den s.k. trigonometriska ettan. Den gäller för alla vinklar, inte bara för spetsiga. Den hänger ihop med Pthagoras sats. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om trigonometriska formler i Theducations gmnasieleikon ( trig_formler/4_addisionsformlerna/inde.asp) Läs mer om area-, sinus och cosinussatserna i Theducations gmnasieleikon ( trig_formler/4_addisionsformlerna/inde.asp) Läs mer om trigonometri i Bruno Kevius matematiska ordlista ( Länktips Eperimentera med cosinus lådan ( 4

70 5 4. Övningar Övning 4.: Bestäm de vinklar v mellan π och π som uppfller cos v = cos π sin v = sin π tan v = tan π Övning 4.: Bestäm de vinklar v mellan 0 och π som uppfller cos v = cos π cos v = cos 7π 5 Övning 4.: Antag att π v π och att sin v = a. Uttrck med hjälp av a sin ( v) sin (π v) ( π ) cos v d) sin v ( π ) ( π ) e) cos + v f) sin + v Övning 4.:4 Antag att 0 v π och att cos v = b. Uttrck med hjälp av b sin v sin v sin v d) cos v ( e) sin v + π ) ( f) cos v π ) 4 Övning 4.:5 För en spetsig vinkel v i en triangel gäller att sin v = 5 7. Bestäm cos v och tan v. Övning 4.:6 Bestäm sin v och tan v om cos v = 4 och π v π. Bestäm cos v och tan v om sin v = 0 Bestäm sin v och cos v om tan v = och π v π. och v ligger i den andra kvadranten. Övning 4.:7 Bestäm sin ( + ) om sin =, sin = och, är vinklar i första kvadranten. cos = 5, cos = 5 och, är vinklar i första kvadranten. Övning 4.:8 Visa följande trigonometriska samband tan v = sin v sin v cos v cos v tan v = + sin v tan u = sin u + cos u d) cos(u + v) cos u cos v = tan u tan v Övning 4.:9 Visa Morries formel cos 0 cos 40 cos 80 = 8. (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på sin 60.) 6

71 7 4.4 Trigonometriska ekvationer Innehåll: Trigonometriska grundekvationer Enklare trigonometriska ekvationer Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Lösa trigonometriska grundekvationer. Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstp. Grundekvationer Trigonometriska ekvationer kan vara mcket komplicerade, men det finns också många tper av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av tperna sin = a, cos = a och tan = a. Dessa ekvationer har i regel oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t.e. att man söker en spetsig vinkel). Eempel Lös ekvationen sin =. Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas. = π/6 π/6 = 8 I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med -koordinat i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet. Den första är standardvinkeln 0 = π/6 och av smmetriskäl bildar den andra vinkeln 0 mot den negativa -aeln, vilket gör att den vinkeln är 80 0 = 50 eller i radianer π π/6 = 5π/6. Detta är de enda lösningar till ekvationen sin = mellan 0 och π. Vi kan dock lägga till ett godtckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde är alltså = π 6 + nπ = 5π 6 + nπ där n är ett godtckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen. Lösningarna sns också i figuren nedan där grafen till = sin skär linjen =. π 5π π 7π = = sin Eempel Lös ekvationen cos =. Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln. = = π/ π/

72 9 Vi vet att cosinus blir för vinkeln π/. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln π/. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen = ±π/ + n π, där n är ett godtckligt heltal. Eempel Lös ekvationen tan =. En lösning till ekvationen är standardvinkeln = π/. Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln med den positiva -aeln. lutning lutning π + π/ π/ Därför ser vi att lösningarna till tan = upprepar sig varje halvt varv π/, π/ + π, π/ + π + π osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen π/ och lägga till eller dra ifrån multiplar av π, = π/ + n π, där n är ett godtckligt heltal. Några mer komplicerade ekvationer Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några eempel, där vi kan ha ntta av att vi kan lösa grundekvationerna. Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp 40 av trigonometriska samband. Detta kan t.e. leda till en andragradsekvation, som i nedanstående eempel där man använder att cos = cos. Eempel 4 Lös ekvationen cos 4 cos + = 0. Omskrivning med hjälp av formeln cos = cos ger ( cos ) 4 cos + = 0, vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med ) cos cos + = 0. Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till (cos ) = 0. Denna ekvation kan bara vara uppflld om cos =. Grundekvationen cos = kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är = nπ (n godtckligt heltal). Eempel 5 Lös ekvationen sin + cos = 0. Enligt den trigonometriska ettan är sin + cos =, dvs. cos = sin. Ekvationen kan alltså skrivas sin + sin = 0. Genom att nu brta ut en faktor sin får vi sin ( + sin ) = 0. Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppflla sin = 0 eller sin =, vilka är två vanliga grundekvationer på formen sin = a och kan lösas som i eempel. Lösningarna blir till slut = nπ = π/6 + nπ = 7π/6 + nπ (n godtckligt heltal).

73 4 Eempel 6 Lös ekvationen sin = 4 cos. Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen sin cos 4 cos = 0. Vi delar båda led med och brter ut en faktor cos, vilket ger cos (sin ) = 0. Eftersom produkten i vänsterledet bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna cos = 0, sin =. Men sin kan aldrig bli större än, så ekvationen sin = saknar lösningar. Då återstår bara cos = 0, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen = π/ + nπ. Eempel 7 Lös ekvationen 4 sin 4 cos =. Med den trigonometriska ettan kan sin btas ut mot cos. Då får vi 4( cos ) 4 cos =, 4 4 cos 4 cos =, 4 cos 4 cos + 4 = 0, cos + cos 4 = 0. Detta är en andragradsekvation i cos, som har lösningarna cos = och cos =. Eftersom värdet av cos ligger mellan och kan ekvationen cos = inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen cos =, som löses enligt eempel. Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst teten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. Tänk på att: Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identitetern och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttrck. Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av tpen sin = a, cos = a eller tan = a (där a är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer tpiskt har oändligt många lösningar. Lästips För dig som vill fördjupa dig tterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om trigonometriska ekvationer i Theducations gmnasieleikon ( trig_ekvationer/inde.asp) Träna på trigonometriska räkneeempel i Theducations gmnasieleikon ( trig_ekvationer/445_tp_asin/inde.asp) Länktips Eperimentera med grafen = a sin b( ( Eperimentera med derivatan av sin ( derivatasinus/e45applet.html) 4

74 4 4.4 Övningar Övning 4.4: För vilka vinklar v, där 0 v π, gäller att sin v = cos v = sin v = d) tan v = e) cos v = f) sin v = g) tan v = Övning 4.4: Lös ekvationen sin = cos = d) sin 5 = e) sin 5 = sin = 0 f) cos = Övning 4.4: Lös ekvationen cos = cos π sin = sin π 6 5 sin ( + 40 ) = sin 65 d) sin = sin 5 Övning 4.4:4 Bestäm de vinklar v i intervallet 0 v 60 som uppfller cos ( v + 0 ) = cos 0. Övning 4.4:5 Lös ekvationen sin = sin tan = tan 4 cos 5 = cos( + π/5) Övning 4.4:6 Lös ekvationen sin cos = sin sin cos = cos sin = sin Övning 4.4:7 Lös ekvationen sin + sin = sin cos = 0 cos = sin 4 Övning 4.4:8 Lös ekvationen sin = cos sin = cos cos = tan 44

75 45 5. Skriva matematiska formler i L A TEX Innehåll: Matematiska formler i LATEX Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Skriva formler i LATEX Undvika vanliga misstag när man kodar matematik i LATEX För att effektivt kunna skriva matematik via datorn i inlämningsuppgiften så behöver du koda matematiken med hjälp av LATEX. I detta avsnitt kommer du få lära dig grunderna i att konstruera LATEX-kod för att skriva matematiska formler. Att skriva enkla uttrck i L A TEX För att markera starten för den matematiska formateringen används taggen <math>. För att avsluta den matematiska formateringen används taggen </math>. Till eempel skrivs formeln a + b som <math>a+b</math>. Enkla matematiska uttrck skrivs på ett rättframt sätt. Eempel + skrivs <math>+-</math> 5/ skrivs <math>5/</math> 4/( + ) skrivs <math>4/(+)</math> d) 4 < 5 skrivs <math>4 < 5</math> När du behöver använda smboler som inte är tillgängliga på ett tangentbord eller konstruera avancerade formler behöver du använda dig av specialkommandon. Kommandona startar alltid med ett omvänt snedstreck, t.e. \le som är kommandot för. 46 I tabellen nedan har vi listat de vanligaste använda matematiska kommandona i LATEX. Eempel LATEX-kod Kommentar Enkla räknesätt a + b a+b a b a-b a ± b a\pm b a b a\cdot b a/b a/b \frac{}{} Litet bggt bråk a b \dfrac{a}{b} Stort bggt bråk ( ( Skalbara parenteser: \left(...\right) Jämförelsetecken a = b a=b a = b a\ne b Alternativt: a\not=b a < b a< b Obs. mellanslag efter < a b a\le b a > b a>b a b a\ge b Potenser och rötter n ^{n} \sqrt{} n \sqrt[n]{} Inde n _{n} Logaritmer lg \lg ln \ln log \log log a \log_{a} Trigonometri 0 0^{\circ} cos \cos sin \sin

76 47 tan \tan cot \cot Pilar \Rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow Diverse smboler π \pi α, β, θ, ϕ \alpha, \beta, \theta, \varphi Eempel ± 5 skrivs <math>\pm \cdot 5</math> = z skrivs <math>\frac{}{}\ne \le z</math> + ln skrivs <math>^{}\sqrt{}+\ln </math> d) tan 0 + cot π skrivs <math>\tan 0^{\circ}+\cot\pi</math> Att skriva komplicerade uttrck Genom att kombinera enkla uttrck kan vi skriva mer komplea uttrck. Eempel + skrivs <math>\sqrt{+}</math> (a ) = a 6 skrivs <math>(a^)^=a^6</math> skrivs <math>^{^}</math> d) sin skrivs <math>\sin\sqrt{}</math> Eempel 4 + skrivs <math>\sqrt{+\sqrt{}}</math> 48 skrivs <math>\dfrac{-^}{\sqrt{}}</math> + skrivs <math>\dfrac{}{+\dfrac{}{}}</math> d), = p ± ( p ) q skrivs <math>_{,}=-\dfrac{p}{} \pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{}\right)^-q}</math> Vanliga misstag Ett av de vanligaste misstagen när man skriver matematik i denna speciella snta är att glömma starttaggen <math> och sluttaggen </math>. Glöm inte heller att starta kommandon med omvänt snedstreck (\) och att lägga till ett mellanslag efter kommandon (om de inte direkt följs av tterligare ett kommando). Ett annat vanligt fel är att använda en asterisk (*) istället för multiplikationstecknet (\cdot i LATEX). Eempel 5 LATEX Resultat Glöm inte omvänt snedstreck (\) sin sin Kom ihåg mellanslag efter ett kommando \sin Error Skriv \sin sin Skriv inte multiplikation med asterisk 4* 4 Skriv 4\cdot 4 Multiplikationstecken skrivs normalt inte ut mellan variabler a\cdot b a b Skriv ab ab

77 49 Eponenter och inde För att skriva en eponent använder du ^ följt av eponenten och för att skriva inde använder du _ följt av indeet. Om eponenten eller indeet består av fler än en smbol måste det inneslutas med klammerparenteser (även kallade måsvingar eller krullparenteser) {}. En speciell tp av eponent är gradtecknet ( ). Det skrivs ^{\circ}. Eempel 6 LATEX Resultat Utelämna inte ^ a a Skriv a^ a Utelämna inte _ Skriv _ Glöm inte klammerparenteser a^ a Skriv a^{} a d) Använd inte o som gradtecken 0^{o} 0 o Använd inte 0 som gradtecken 0^{0} 0 0 Skriv 0^{\circ} 0 Parenteser I mer komplea uttrck är det viktigt att se till att varje vänsterparentes ( balanseras av en motsvarande högerparentes ). En parentes som avgränsar ett stort uttrck ska vara lika stor som uttrcket. För att åstadkomma detta använder vi prefi framför parenteserna. Vid vänsterparentesen skriver du \left framför och vid högerparentesen \right. Då kommer du få ett par skalbara parenteser som anpassar sin höjd efter uttrckets storlek. Notera att klammerparenteser {} och inte vanliga parenteser () används för att avgränsa argument till kommandon. 50 Eempel 7 LATEX Resultat Var noga med antalet parenteser (-(-) ( ( ) Skriv (-(-)) ( ( )) Låt parenteserna vara lika stora som uttrcket (\dfrac{a}{b}+ ( a b + Skriv \left(\dfrac{a}{b}+c\right) ( a b + c ) Vanliga parenteser avgränsar inte argument \frac()() ( )() Skriv \frac{}{} d) Vanliga parenteser avgränsar inte argument Undvik onödiga parenteser \sqrt(a+ \sqrt{(a+} Skriv \sqrt{a+b} (a + (a + a + b Bråk En tumregel är att bråk där nämnare och täljare innehåller endast ett fåtal siffror ska skrivas som små bråk (\fra, medan andra bråk ska vara stora (\dfra. Om en eponent eller inde innehåller ett bråk bör bråket skrivas med snedstreck (t.e. 5/ istället för 5 ) för att öka läsbarheten.

78 5 Eempel 8 LATEX Resultat Sifferbråk skrivs inte stora \dfrac{}{} Skriv \frac{}{} (Undantag: Om bråket står bredvid ett stort uttrck så bör du skriva bråket som ett stort bråk.) Bokstavsbråk skrivs inte små Skriv \dfrac{a}{b} Komplicerade bråk skrivs inte små \frac{a}{b} a \frac{\sqrt{}}{} Skriv \dfrac{\sqrt{}}{} b a b d) Inga bggda bråk i eponenter a^{\frac{}{}} a Skriv a^{/} a / Råd för inläsningen Ett råd är att testa att skriva matematiska formler i forumet och i wikin som tillhör din individuella uppgift. Länktips En mer utförlig lista av matematikkommandon i LATEX finns på Wikipedias hjälpsidor ( a_formul Mer ingående information om LATEX matematik kan hittas i ett kapitel av boken The LATEX Companion ( pdf) och en tet av Herbert Voss ( info/math/voss/mathmode/mathmode.pdf). Vill du veta mer om LATEX kan du besöka dessa webbsidor: Wikipedia ( The not so Short Introduction to LATEX ( english/lshort.pdf) och LATEX Wikibook ( wiki/latex). Den implementation av LATEX matematik som används i wikin på nätet är jsmath ( 5

79 5 5. Övningar Övning 5.: Skriv följande formler i LATEX , 5 ( ) = 5 + d) 5/ + > 5/( + ) Övning 5.: Skriv följande formler i LATEX 4 ± n n d) (5 ) = ( + 5 ) Övning 5.: Skriv följande formler i LATEX + = + 4 d) ( 5 ) + + ( ) Övning 5.:4 Skriv följande formler i LATEX sin + cos cos v = cos π cot = tan d) tan u = sin u + cos u Övning 5.:5 Skriv följande formler i LATEX 4 + n + = n + n ( ) = 4 d) 4 + Övning 5.:6 Skriv följande formler i LATEX ln(4 ) = ln 4 + ln ln(4 ) = ln 4 ln log 4 = ln 4 ln d) log 4 = 4 Övning 5.:7 Korrigera följande matematiska kod skriven i LATEX 4^{\frac{}{4}}(-(-4) *sqrt(a+ cot = \dfrac{}{}sin 0^{o} 54

80 55 5. Matematisk tet Innehåll: Regler kring formatering av matematiska tet Goda råd inför skrivandet av en lösning Vanliga fel Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Presentera en matematisk tet Förklara tankegången bakom en lösning Goda råd Förklara din lösning Det viktigaste rådet är: Förklara din lösning. Lösningen ska inte bara vara en redovisning av vilka formler som du använt, utan också en beskrivning av hur du har tänkt. Använd ord till detta! För att få rätt nivå på lösningen: tänk dig att du förklarar lösningen för en klasskompis som har lite svårt att hänga med i alla steg. Du ska alltså inte förklara minsta lilla räkneoperation men inte heller hoppa över viktiga steg. Lder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning. Skriv god svenska Även om detta inte är en inlämningsuppgift i svenska och att det självklart är det matematiska innehållet som är viktigast så ska du tänka på saker som stavfel, grammatiska fel osv. Om din lösning har alltför många språkliga fel försämrar det kommunikationen med läsaren och påverka även lösningens trovärdighet. 56 Renskriv lösningen Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på ntt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar din tankegång och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och behöver inte binda upp dig vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på. När du skriver in lösningen, gör det som tet och inte som skärmdumpar från din ordbehandlare. Visserligen kan det vara enklare att skriva lösningen på din egen dator i favoritprogrammet, men tänk på att lösningen ska hanteras av en lärare under rättningen. Ett tdligt svar Skriv ett tdligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i teten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.e. Visa att... ) och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt. Eempel 8 förenklas till. sin + cos + sin förenklas till + sin. { = π/4 + nπ π/4 + nπ (n heltal) förenklas till = π/4 + nπ/ (n heltal). Pröva och kontrollera delsteg och svar Ibland när man löser vissa ekvationer dker det upp s.k. falska rötter som en konsekvens av det lösningssätt som man använt. I dessa fall, förklara varför eventuella falska rötter kan finnas och pröva lösningarna för att se vilka som är riktiga lösningar och vilka som är falska rötter. En annan sak att se upp med är uteblivna lösningar. T.e. om en faktor i båda led i en ekvation förkortas bort så riskerar lösningarna som ges av när faktorn är noll att försvinna.

81 57 Eempel Om du löser ekvationen 5 = 0 genom att först fltta 5 till högerledet, = 5, och förkorta bort i båda led, = 5, så förlorar du lösningen = 0. Om du istället faktoriserar vänsterledet, ( 5) = 0, så kan du avläsa båda lösningarna: = 0 och 5 = 0 (dvs. = 5 ). Läs mer om faktorisering i lösningsförslaget till övning.:. En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till eempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning. En annan sak är att bedöma om svaret är rimligt. Stoppa in värden på vissa parametrar och se att man får rätt svar (vad händer om a = 0, a = eller a går mot oändligheten?). Rita tdliga figurer En figur kan ofta förklara införda beteckningar bättre än tet, så använd gärna figurer. Tänk dock på att rita dem tdliga och överlasta inte en figur med alltför många detaljer. Det kan vara bättre att ha flera nästan likadana figurer som var och en illustrerar en sak än en stor kombinationsfigur som ska förklara allt. Behandla formler som en del av teten Det är viktigt att du skriver din lösning på ett sätt som gör det enkelt för andra att följa med i resonemangen. Nedan presenterar vi några eempel på hur man ska och inte ska framställa teten när man använder formler i sin lösning. Goda råd kring formler och tet Skriv förklarande tet på raden innan en fristående formel 58 Tänk på hur du skriver ut punkt och komma Skriv fristående formler något indragna (eller centrerade) Formler bör inte ses som något som hängs på teten (eller tvärt om) utan både tet och formler ska integreras samman i ett linjärt flöde. Skriv därför inte förklarande tet inom parenteser efter formler utan istället på raden innan. Skriv inte formel (tet tet tet tet tet tet... ) formel (tet tet tet tet tet tet... ) Skriv istället Tet tet tet tet... formel. Tet tet tet tet... formel. Formler kan antingen skrivas inne i den löpande teten eller fristående. När formler skrivs fristående hamnar de på en egen rad och antingen centrerade eller något indragna. Skriv... tet tet tet formel tet. Tet tet tet formel tet tet tet tet tet tet... (Notera hur indragningen framhäver både den förklarande teten och formeln.) Ett vanligt fel är att använda kolon framför alla fristående formler.

82 59 Skriv inte... vilket ger att: formel Nästa steg är... (Observera att det också behövs en punkt efter formeln ovan.) Eftersom en formel ska vara en del av teten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på hur du använder skiljetecken. Eempelvis, glöm inte att sätta ut en punkt efter en formel om den avslutar en mening. Skriv... och därför är formel. Nästa steg är... (Notera punkten efter formeln.) Ett ofog är att i en lösning använda överdriven numrering, t.e. sätta ut en siffra framför varje enskilt steg (numrering bör användas vid en ren uppräkning). De etra siffrorna tillför ofta inget utan blir mest distraherande. Man behöver sällan referera tillbaka till enskilda steg, och behöver man det kan man ofta skriva eempelvis när vi kvadrerade ekvationen osv. Skriv inte. tet tet tet tet tet tet tet tet... formel 4. tet tet tet tet tet tet tet tet... Ibland vill man referera tillbaka till en viss fristående formel och då kan man numrera den med en siffra (eller stjärn inom parenteser i höger eller vänster marginal. Skriv... tet tet tet tet tet tet tet tet 60 formel. () Tet tet () tet tet tet tet tet tet formel. Tet tet tet tet tet tet tet tet... Vanliga fel Var noggrann med pilar och likheter Det är skillnad mellan (implikation), (ekvivalens) och = (lika med). Mellan två ekvationer som man på förhand vet har samma lösningar används ekvivalenspilen för att signalera detta. Om vi däremot skriver ekvation ekvation så betder det att alla lösningar som ekvation har har också ekvation, men ekvation kan dessutom ha fler lösningar. Eempel + 5 = = 4 = 0 ( ) 5 = 0 = = ( ) Ofta skriver man inte ut mellan två rader som direkt följer efter varandra eftersom ekvivalensen då är underförstådd. Många gånger är det också bättre att använda förklarande tet istället för pilar mellan olika steg i lösningen. Använd inte implikationspilen som en allmän fortsättningssmbol (i betdelsen sedan har vi ). Likhetstecknet (=) används i två betdelser, dels mellan saker som är identiskt lika, t.e. ( ) = som gäller för alla, dels i ekvationer där båda led är lika för vissa, eempelvis ( ) = 4 som bara gäller för = 0 eller = 4. Du ska inte blanda dessa två olika användningar av samma tecken. Eempel 4 Skriv inte + = ( ) = 4

83 6 när du löser ekvationen + = 4, eftersom det då lämnar öppet för misstolkningar. Skriv hellre + = 4 ( ) = 4. (Det finns också en tredje användning av likhetstecknet som förekommer när man definierar ett uttrck eller t.e. en operation.) Enkelpilen ( ) används i matematiken oftast vid olika tper av gränsvärden; a betder att a väer obegränsat (går mot oändligheten). Du kommer troligtvis inte behöva använda enkelpilen i denna kurs. Slarva inte med parenteser Eftersom multiplikation och division har högre prioritet än addition och subtraktion är det nödvändigt att stoppa in parenteser om man vill att additionen/subtraktionen ska utföras först. Eftersom vi har denna regel så ska du inte heller ha med onödiga parenteser. Eempel 5 Skriv inte + /cos när du egentligen menar ( + )/cos. Skriv inte + (/sin ) när detta bättre skrivs som + /sin (även om det förra skrivsättet, formellt sett, inte är felaktigt). I bokstavsuttrck utelämnar man ofta multiplikationstecknet. Eempelvis skriver man nästan aldrig 4 z utan 4z. Detta utelämnade multiplikationstecken binder ihop uttrck hårdare än multiplikation och division (men inte upphöjt till). När du därför skriver /R så betder det /(R) och inte (/)R. Eftersom detta kan vara en källa till missförstånd så är det inte helt ovanligt att man skriver ut parenteserna i båda situationerna (även om de strikt sett bara är nödvändiga i det ena uttrcket). Argument till de vanliga elementära funktionerna skriver man utan parenteser. Därför ska du inte skriva cos(), sin(), tan(), cot(), lg() och ln() utan cos, sin, tan, cot, lg och ln. Det är t.o.m. så att man skriver cos och inte cos() (eftersom är ett tätt ihopsatt uttrck), men däremot är parenteserna nödvändiga när man skriver sin( + ), sin(/), sin( ) eller (sin ) (som du, alternativt, kan skriva som sin ). Råd för inläsningen Läs gärna avsnittet både innan och efter att du skriver lösningen till din inlämningsuppgift. Länktips En videokurs i hur man skriver matematik av Donald Knuth (http: //scpd.stanford.edu/knuth/inde.jsp). Kompendiet som hör till kursen finns tillgängligt i källform ( edu/~knuth/papers/mathwriting.te.gz) eller i utdrag från Google books ( frontcover&dq=inauthor:donald+inauthor:ervin+inauthor: Knuth&lr=&ei=JbNSZfvFZsMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M). 6

84 6 5. Övningar Övning 5.: Vilken av pilarna, eller ska sättas in mellan följande ekvationer? (Istället för frågetecknen) tan (sin + ) = tan? sin + = = +? ( + ) = 6 + = 0? ( ) 9 + = 0 Övning 5.: Kritisera följande utdrag ur en students lösning Övning 5.: Kritisera följande utdrag ur en students lösning Övning 5.:4 Kritisera följande utdrag ur en students lösning Övning 5.:5 Kritisera följande utdrag ur en students lösning Övning 5.:6 Kritisera följande utdrag ur en students lösning 64

85 65 Övning 5.:7 Kritisera följande utdrag ur en students lösning Övning 5.:8 Kritisera följande utdrag ur en students lösning Övning 5.:9 Kritisera följande utdrag ur en students lösning 66