System av differentialekvationer

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "System av differentialekvationer"

Elin Öberg
för 3 år sedan
Visningar:

1 Föreläsning 6 System v differentilekvtioner 6.1 Aktuell vsnitt i läroboken (4.1) First-Order Systems nd Applictions. (4.2) The Method of Elimintion. 41

2 42 FÖRELÄSNING 6. SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER 6.2 System v först ordningen I mång smmnhng uppträder differenetilekvtioner nturligt som system där två eller fler funktioner skll bestämms. Exempel 29 I resonnskretsen i figur 5.1, föreläsning 5, beskrivs strömmen i(t) och spänningen u(t) v systemet där e(t) = Asin!t. { di/dt = Ri/L u/l + e(t)/l du/dt = i/c Ett system v först ordningen med två ekvtioner ser llmänt ut på följnde sätt { dy1 /dx = f (x,y 1,y 2 ) dy 2 /dx = g(x,y 1,y 2 ) (6.1) där funktionern y 1 (x) och y 2 (x) skll bestämms för ll x i något öppet intervll I. Ett ännu llmännre system med n ekvtioner ser då ut så här dy 1 /dx = f 1 (x,y 1,y 2,...y n ) dy 2 /dx = f 2 (x,y 1,y 2,...y n ). dy n /dx = f n (x,y 1,y 2,...y n ) (6.2) Både (6.1) och (6.2) kn emellertid skrivs mycket kompktre som dy = f (x,y) (6.3) dx om vi betrktr y och f som en vektorvärd funktioner: y : I R n och f : I R n R n så tt y = (y 1,y 2,...y n ) och f = ( f 1, f 2,... f n ) i det n-dimensionell fllet. Med derivtn dy/dx = y förstår vi då vektorn (y 1,y 2,...y n ) där ll komponentern deriverts med vseende på x. 6.3 Ekvtioner v högre ordning som system System v formen (6.2) eller (6.3) är i sälv verket mycket llmänn och innehåller som specilfll ll differentilekvtioner v ordning n som kn skrivs på formen y (n) = f (x,y,y,...,y (n 1))

3 6.4. BEGYNNELSEVÄRDEN OCH ENTYDIGHET 43 Dett inses genom tt betrkt derivtorn upp till ordning n 1 som komponenter i en n-dimensionell vektor Y = ( y,y,...,y (n 1)). Vi får då dy /dx = ( y,y,...,y (n)) och därmed y Y 2 dy y Y 3 dx =. y (n) =. f (x,y ) = F (x,y ) Exempel 30 Stötdämpren i figur 4.1, föreläsning 5, beskrivs v ekvtionen y + py + qy = f (t), vilken som system med y 1 = y och y 2 = y kn skrivs [ d y1 dt d dt y 2 [ y1 y 2 ] [ y = 2 f (t) qy 1 py 2 ] [ ][ 0 1 y1 = q p y 2 ] ] [ ] f (t) där den sist omskrivningen v ekvtionen med konstnt mtriser A och B som y = Ay+B f är en följd v tt ekvtionen är lineär och hr konstnt koefficienter. Övning 31 Hur ser mtrisern A och B ut i exemplet med resonnskretsen? 6.4 Begynnelsevärden och entydighet Precis som i det sklär fllet krävs ytterligre villkor på den vektorvärd lösningen y(x) till systemet (6.3) om funktionen skll vr entydigt bestämd. Normlt ger mn då begynnelevillkor v formen y( ) = b, där b R n är en given vektor och I. Vi skll i näst föreläsning preciser villkor som grnterr tt begynnelsevärdesproblemet dy dx = f (x,y), y() = b (6.4) hr entydigt bestämd lösning. 6.5 Räkning med vektorvärd funktioner Som vi redn sett definiers derivtn u v den vektorvärd funktionen u : I R n genom tt mn deriverr komponentfunktionern. Helt nlogt definiers integrlen ( ) u(x)dx = u 1 (x)dx, u 2 (x)dx,..., u n (x)dx som den vektor mn får genom tt integrer komponentern.

4 44 FÖRELÄSNING 6. SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER Räkneregler Följnde räkneregler gäller och är heller inte svår tt vis. 1. (Au) = Au och ( b ) Au(x)dx = A b u(x)dx om A är en konstnt n n- mtris. 2. (u v) = u v+u v och c ( b ) c u(x)dx = b u(x)dx om c är en konstnt vektor och u v betecknr den vnlig sklärprodukten i R n. 3. Integrlklkylens huvudstser: d dx u(t)dt = u(x) och u (x)dx = u(b) u(). 4. b u(x)dx b u(x) dx, där längden v u definiers v u = u u. 5. Vi hr även olikheten Au A u där mtrisnormen definiers som A = mx u 0 Au / u. Bevis. Reglern 1, 2 och 6.3 följer direkt ur definitionen och lämns som övning. För tt vis 4 utnyttjr vi Cuchys olikhet, u v u v, på följnde sätt: Låt c = u(x)dx. Påståendet är trivilt om c = 0 och om inte, så gäller enligt 6.4 och Cuchy tt c 2 = c c = c u(x)dx Enligt = 2 b c u(x)dx c u(x) dx Cuchy c u(x) dx = c vilket efter division med c > 0 ger den sökt olikheten. u(x) dx 6.6 Differentilekvtionen som integrlekvtion I mång komplicerde situtioner, såväl teoretisk som prktisk, är det enklre tt rbet med integrler än med derivtor. Dett beror på tt mn oft måste gör uppskttningr v de ingående storhetern och då är räkneregeln 4 ovn, som sknr motsvrighet för derivtor, mycket nvändbr. Sts 32 Om f : I R n R n är en kontinuerlig funktion gäller tt y(x) är en kontinuerligt deriverbr lösning till (6.4) om och endst om y(x) är en kontinuerlig lösning till integrlekvtionen y(x) = b + f (t,y(t))dt, x, I (6.5) Bevis. Om y C 1 (I) stisfierr (6.4) får vi efter integrtion v båd leden y(x) y( ) = y(x) b = f (t,y(t))dt

5 6.7. LIPSCHITZKONTINUITET 45 och om y C (I) löser (6.5) är t f (t,y(t)) en kontinuerlig funktion och integrlen x f (t,y(t))dt, och därmed y(x), kontinuerligt deriverbr med y (x) = f (x,y(x)) för x I. Vidre är y( ) = b Grönwlls lemm Som en illustrtion till integrlens företräden frmför derivtn visr vi en olikhet som oft kommer till nvändning i fortsättningen. Sts 33 Om u är en kontinuerligt deriverbr reellvärd funktion för x I och där stisfierr olikheten u (x) + u(x) f (x) (6.6) med någon konstnt, så gäller också tt för x. u(x) e (x ) u( ) + Bevis. Multipliktion med e x > 0 ger olikheten e (x t) f (t)dt (6.7) d dx (ex u(x)) = e x ( u (x) + u(x) ) e x f (x) och efter integrtion får vi, om x >, tt e x u(x) e u( ) e t f (t)dt u(x) e (x ) u( ) + e (x t) f (t)dt 6.7 Lipschitzkontinuitet Om f : I R är en deriverbr funktion på intervllet I R med begränsd derivt så följer v medelvärdesstsen tt f (y) f (x) = f (! )(y x) för något tl! melln x och y vilket ger olkheten f (y) f (x) L y x (6.8) för x,y I om L = sup x I f (x). Funktioner som uppfyller (6.8) klls lipschitzkontinuerlig. För vektorvärd funktioner v fler vribler generlisers medelvärdesstsen till en olikhet.

6 46 FÖRELÄSNING 6. SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER Sts 34 Om f : D R n R n är kontinuerligt deriverbr i en öppen konvex mängd D gäller olikheten f (y) f (x) f ((1!)x +!y) y x för något! ]0,1[ och x,y D. Uttrycket f (x) betecknr mtrisnormen enligt (5). Bevis. Låt c R n och sätt " (t) = c f ((1 t)x +ty). Då är " (t) = c f ((1 t)x +ty)(y x) och (6.8) medför tt " (1) " (0) = " (!) för något! ]0,1[. Cuchys olikhet och (5) ger sedn med c = f (y) f (x) tt f (y) f (x) 2 = c ( f (y) f (x)) = " (1) " (0) = " (!) = c f ((1!)x +!y)(y x) c f ((1!)x +!y)(y x) c f ((1!)x +!y) y x vilket om c 0 ger den sökt olikheten efter division med c = f (y) f (x). I fllet c = 0 är stsen trivil. Som en omedelbr följd v sts 34 får vi följnde resultt. Följdsts 35 En funktion f : D R n R n som är kontinuerligt deriverbr i en öppen konvex mängd D med begränsd derivt är lipschitzkontinuerlig så tt f (y) f (x) L y x med lipschitzkontstnt: L = sup x D f (x).

Relevanta dokument

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen