ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst e pukt00 stisfier ekvtioe 0 Amärkig. Ige pukt stisfierr ekvtioe. Eempel. Rit cirkel 4 4 Vi kvdrtkompletterr 4 4 4 4 9 Om vi jämför med cirkels ekvtioe ser vi tt 9 eller y 3 Alltså - är cetrum och =3 är cirkels rdie. =3 - - O ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ellipse med cetrum i origo 00 och hlvlr hr ekvtioe. v 8
Amärkig: Om ellipses cetrum ligger i pukte pq då hr ellipse följde ekvtio. Amärkig. Edst e pukt00 stisfier ekvtioe Amärkig 3. Ige pukt stisfierr ekvtioe ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hyperbler:. h r skärigspukter med -el 0 och. hr skärigspukter med y-el Amärkig. Ekvtioe 0. 0 k fktorisers och skrivs s somm och därmed pukter som stisfierr ekvtioe ligger på två lijer l 0 0. Eempel. Rit hyperbel 8 8. Lösig: För tt bestämm och b skriver vi ekvtioe på forme Vi delr ekvtioe 8 8 medd 8 och får.. v 8
Därför är hyperbelss symptoter. Vi ritr symptoter och med hjälp v e rektgel se bilde skisserr vi hyperbel. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prbler där 0 Eempel 3. och där 00 ======= ========== ========== ========== ========= ========== ==== MÄNGDER Stdrdd tlmägder: N= {0 3.} mägde v ll turlig tl I ågr böcker N={ 3 Z= { 3 0 3 4 } mägde v ll hel tl m Q= { där m är hel tl och 0 } mägde v ll rtioell tl R mägde v ll reell tl mägde v ll komple tl Edimesioell Itervll : 3 v 8
b Öppet itervll = mägde v reell tl såd tt < < b [ b hlvöppet itervll = mägde v reell tl såd tt < b b] hlvöppet itervll = mägde v reell tl såd tt < b [ b] Slutet itervll= mägde v reell tl såd tt b GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OH BETEKNINGAR Begrepp "mägd" och "elemet" är grudläggde begrepp i mtemtike och därmed begrepp "mägd" och "elemet" ite defiiers. Eempel 4. Låt A vr mägde v ll heltl som är större är 3 och midre ä 8. A består v elemet 4 5 6 och 7. Vi beteckr dett på följde sätt A= {4 5 6 7}. Därmed 4 A som utläses 4 tillhör A eller 4 är ett elemet i mägde A Vi k skriv tt 5 A 6 A och 7 A me t e 5 A 5 tillhör ite A Defiitio. Mägde ut elemet { } klls de tomm mägde och betecks. Defiitio. Mägde A är e delmägd v mägde B om vrje elemet i A är också elemet i B. Vi beteckr A B utläses A är e delmägd v B Alltså : A B om A B. Defiitio 3. Två mägder A och B är lik om vrje elemet som tillhör A tillhör också B och vrje elemet som tillhör B tillhör också A Alltså: A = B om och edst om A B och B A. Därmed A = B är ekvivlet med [ A B och B A ] 4 v 8
Amärkig: Om A B och A B säger vi tt A är e äkt delmägd v B och skriver A B E mägd defiiers v de elemet som mägde iehåller. Det sätt på vilket vi ger mägdes elemet eller om elemet uppreps spelr ite roll. Därför t e {3}={33}= {3} Vi ser tt ll tre mägder består v elemet och 3. Upprepig och ordig spelr ite roll i mägdes defiitio. E mägd defiiers oftst som mägde v ll elemet som stisfierr ett eller fler villkor och ligger i e red käd mägd: A = { G : P } utläses A är mägde v ll som tillhör G och som stisfierr villkoret P. E mägd defiiers v de elemet som mägde iehåller. Det sätt på vilket vi ger mägdes elemet eller om elemet uppreps spelr ite roll. Därför t e {3}={33}= {3} Vi ser tt ll tre mägder består v elemet och 3. Upprepig och ordig spelr ite roll i mägdes defiitio. Eempel 5. Låt Z beteck mägde v ll heltl. Age ll elemet för följde mägder A = { Z : 4} b B = { Z : = 5} c = { Z : = 5} d D = { Z : = 3} Svr: A={- -0 3 4} b B={-5 5} c = Ø d D= Ø Eempel 6. Låt R beteck mägde v ll reell tl. Age ll elemet för följde mägder A = { R : = 5} b B = { R : = 3} c A = { R : = 5} d 5 v 8
Svr: A={ 5 5 } b B={3/} c = Ø Eempel 7. Rit följde mägd i y-plet A= {y Svr: R : y 9 } Eempel 8. Rit följde mägd i y-plet D= { y R : y < och y 0 } 4 MÄNGDOPERATIONER.. Uioe mell två mägder A och B är mägde v ll elemet som fis i A eller B. Uioe betecks A B utläses A uio B. A B = { : A eller B}. Sittet skärige v två mägder A och B är mägde v ll elemet som fis i både A och B. Sittet betecks A B utläses A sitt B A B = { : A och B} 3. A och B är disjukt mägder om de hr ig gemesmm elemet 6 v 8
dvs A B = Ø där Ø beteckr de tomm mägde. 4. Differese mell två mägder A och B är mägde v ll elemet som ligger i A me ite i B. A \ B = { : A och B}. 6. Symmetrisk differes. \ \ 7. Oftst betrktr vi mägdopertioer mell delmägder till e käd mägd grudmägd Om G är e grudmägd t e R och A e delmägd till G då defiiers komplemetet till A som mägde v ll elemet i G som ite ligger i A. komplemetet betecks A A = { G : A} PUNKTMÄNGDER I R Defiitio 4. R defiiers som mägde v ll reell -tipplr : R def = { K där ll koorditer k är reell tl}. Elemet i R dvs -tipplr K kllr vi pukter. 7 v 8
Låt M vr e delmägd till R. Vi väder fäljde beteckigr: P M beteckr tt pukte P tillhör mägde M P ligger i M Q M beteckr tt pukte Q ite tillhör mägde M Q ligger ite i M. Pukter och vektorer. Om A K och B b b Kb är två pukter i R och och eedpukt i B då gäller AB = b b K b. Positiosvektor =ortvektor till e pukt A K är vektor OA = 0 0 K 0 = K {hr smm koorditer som pukte A}. AB vektor med strtpukt i A Därför k e -tippel K betrkts som både e pukt eller e vektor { dvs pukte A K eller tillhörde ortvektor vektor OA = K. Avstådet mell A och B som betecks d A B är lik med lägde v vektor AB : d A B = AB = b b L b Am. Om vektorlägd defiiers på ovståede stdrd sätt klls R för euklidisk vektorrum. Trigelolikhete: d A d A B d B är viktig och k ekelt beviss med hjälp v elemetär lgebr. Öppet och slutet klut. Defiitio 5. Låt c c K c vr e pukt i R och r>0 ett reellt tl. Ett öppet klot i R består v ll pukter X K som stisfierr d X < r. Vi kllr för klotets medelpukt eller cetrum och r för dess rdie. Alltså det öpp klotet Kö r med cetrum och rdie r defiiers v 8 v 8
9 v 8 } : { r X d R X r Kö < = eller } : { r r Kö < = L K som är ekvivlet med } : { r r Kö < = L K Defiitio 6. Ett slutet klot r Ks med cetrum och rdie r defiiers v } : { r X d R X r Ks = Amärkig: Ett klot eligt ovståede defiito blir ett itervll i det edimesioell rummet och e cirkel i det tvådimesioell rummet T e edimesioell slut klotet med cetrum i pukte =5 och rdie r= är 6} 4 : { } 5 : { } 5 : { } : { = = = = R R R d R r K dvs klotet är fktiskt itervllet [46] Sfär. Defiitio 7. E sfär r S i R med cetrum och rdie r defiiers v } : { r X d R X r S = = Eempel 9. Bestäm ekvtioe som beskriver 5-dimesioell sfäre med cetrum 3 0 7 och rdie r=3. Lösig: Om 5 X K är e pukt på sfäre då r r r X d = = = L L I vårt fll blir sfäres ekvtio 9 7 0 3 5 4 3 = Begräsde och obegräsde mägder.
Defiitio 8. E mägd M i d O P < c för ll P M. R är begräsd om det fis ett tl c sådt tt Amärkig Vi k skriv villkoret på ekvivlet sätt : OP < c. Amärkig. Defiitioe k geometriskt tolks på följde sätt: Mägde M i R är begräsd. Det fis mist ett klot med cetrum i origo som iehåller hel M. Eempel 0. Bestäm om följde mägder i R är begräsde eller obegräsde. M = { y R : y = } e rät lije y b M = { y R : } ellipse med cetrum i origo och hlvlr och 4 Svr: Mägde M är obegräsd. Förklrig: Avstådet frå e pukt y i M til origo är d P O = y = y = är obegräsd vstådet d P O om Svr: b Mägde M är begräsd. Hel ellipse ligger i e cirkel t e i cirkel med rdie r= 3 och cetrum i origo. Eempel. Avgör om följde mägd är begräsd b 0 0 v 8
Svr Mägde A är begräsd. Mägde ligger t e i cirkel 5 b Mägde är obegräsd. Ovsett hur stor cirkel ritr vi fis det lltid pukter utför cirkel. RANDPUNKTER. INRE OH YTTRE PUNKTER Vi betrktr e pukt P i R och e mägd M som är äkt delmägd v R. Defiitio 9.. E pukt P i R klls e rdpukt till M om vrje öppet klot med cetrum i pukte P ovsett hur litet klotets rdie är iehåller mist e puk frå M och mist e pukt frå komplemetet M.. E pukt P i R klls e ire pukt till M om det fis mist ett öppet klot med cetrum i P vrs ll pukter ligger i M.. E pukt P i R klls e yttre pukt till M om det fis mist ett öppet klot med cetrum i P vrs ll pukter ligger i M. v 8
I ovståede figur är R e rdpukt till M. P är e ire pukt med Q är e yttre pukt till M Defiitio 0. Mägde v ll rdpukte till M klls rde v M och betecks oftst M. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER Defiitio.. E mägd M i R är slute om mägdes ALLA gräspukter också tillhör mägde.. E mägd är öppe om INGEN mägdes gräspukt tillhör mägde. 3. E mägd är vrke öppe eller slute om ågr me ite ll gräspukter tillhör mägde. Lägg märke till tt eligt Defiitioe vi hr följde påståede: P. E öppe mägd iehåller edst irepukter ige gräspukt P. M är öppe Komplemetet M är slute P3. M är slute Komplemetet M är öppe OMGIVNING TIL EN PUNKT Defiitio. Vi säger tt mägde M är e omgivig till pukte P om M iehåller ett öppet klot med cetrum i P. Eempel. Beskriv rdpukter evetuell irepukter och vgör om följde mägder i R är öpp slut eller vrke öpp eller slut. y M = { y R : } 4 y b M = { y R : < } 4 v 8
y c M 3 = { y R : = } 4 y d M 4 = { y R : 4 > 0} y e M 5 = { y R : < 4 0} y f M 6 = { y R : 0} 4 Lösig Rde M består v ll pukter i R som ligger på ellipse y = och 4 ll ligger i M se Defiitioe v M. y Alltså M = { y R : = } 4 Ire pukter stisfierr y < 4. Mägde M är slute eftersom de iehåller ll si rdpukter. y b M = { y R : = } smm som i -fråg me de här gåge ige 4 rdpukt tillhör M. Därför är M e öppe mägd. All pukter i M är ire pukter. c All pukter på ellipse M 3 är rdpukte. Mägde skr irepukter. Rde y M 3 = { y R : = } = M 3. 4 M 3 är e slute mägd. 3 v 8
d Rde består v sträck AB se figure ed och de dele v ellipse som ligger till höger om y-el. Sträck AB tillhör ite M 4 med hlvellips tillhör M 4. Mägde är vrke öppe eller slute. Ire pukter är de pukter som defiiers v { y R : 4 y < > 0} e Mägde är vrke öppe eller slute. Se edståede figur. f M 6 är e slute mägd. se figure ed. 4 v 8
KOMPAKTA MÄNGDER Defiitio 3. E mägd som är både begräsd och slute klls kompkt. Eempel 3. Bestäm om följde mägder i plet R är kompkt 0 0 3 b c 0 3 0 4 d Svr: J. Mägde är kompkt eftersom de är begräsd och slute. b J. Mägde är kompkt eftersom de är begräsd och slute. c Nej. Mägde är INTE kompkt eftersom de är INTE slute. d Nej. Mägde är INTE kompkt eftersom de är INTE begräsd. DEFINITIONSMÄNGD FÖR EN FUNKTION AV FLERA VARIABLER I edståede uppgifter väder vi kuskp om er för elemetär evribelfuktioer: i E rtioell fuktio är defiierd om 0 ii Logritm l är defiierd om 0. iii Fuktioe är defiierd om 0. iv Fuktioer rcsi och rccos är defiierde om Eempel 4. Bestäm och skisser rit störst möjlig D till följde fuktioer. Bestäm också om e är e slute öppe eller vrke slute eller öppe mägd. b 9 c z l 4 d z l 4 e z y l 4 4 5 v 8
f z rcsi y Lösig: Fuktioe är defiierd om 0 d vs. e består v ll pukte i plet R förutom de som ligger på lije y=. Gräse till e består v pukter som ligger på lije. Ige gräspukt tillhör D och därför är D är e öppe mägd. b Fuktioe 9 är defiierd om 9 0 d vs 9. e består v ll pukter som ligger på cirkelskiv 9 D D 3 Gräspukter d vs pukter som ligger på själv cirkels lije 9 tillhör också D. All gräspukte tillhör D D är e slute mägd. c Fuktioe z l 4 är defiierd om 4 0 d vs 4. 6 v 8
e består v ll ire pukter på cirkelskiv. Gräspukter d vs pukter som ligger på själv cirkels lije 4 tillhör INTE D. INGEN gräspukt tillhör D D är e öppe mägd. d Fuktioe z l 4 är defiierd om 4 0 d vs 4. e består v ll yttre pukter till cirkelskiv 4 Gräspukter d vs pukter som ligger på själv cirkels lije 4 tillhör INTE D. INGEN gräspukt tillhör D D är e öppe mägd. e Fuktioe z y l 4 4 är defiierd om två villkor är uppfylld Villkor. y 0 dvs y 0 Pukter som ligger på lije y=0 uppfyller också villkor och Villkor. 4 4 0 4 4 4 7 v 8
Gräspukter på ellipsskiv uppfyller INTE villkor Båd villkor är uppfylld i övre dele v ellipse. Någr gräspukter tillhör D me ite ll. Någr gräspukter tillhör D me ite ll D är e vrke öppe eller slute mägd. f z rcsi y defiierd om två villkor är uppfylld Fuktioe z rcsi y är Villkor. y och Villkor. 4 0 4 Gräspukter för det här villkoret består v de pukter som ligger på hyperbel. Hyperbel delr plet i tre delr och olikhete är uppfylld på själv hyperbel och i de del som iehåller 00 som vi k ise geom tt test tre pukter t e 00 30 och -30. Båd villkor är uppfylld mell lijer och mell två grer v hyperbel. All gräspukte tillhör D D är e slute mägd. 8 v 8