05 Utgåa 3 Föläsnnga Mkank (FME30) Dl : Dynamk Läscka 3 Momntkatonn (3/0) takta n kopp som påkas a tt systm a ytt kaft och momnt; md kaftsumman n = ( F M P) =... n (.) F = F och momntsumman (m a p punktn ) nödändgt llko fö att koppn skall bfnna sg (statsk) jämkt ä då n M = F + M. Ett P = F = 0 M = 0 (.) M P P F Fgu. Kopp öls. Fö n kopp öls (ll la) gäll kaftkatonn F = a m = G G (.3) dä a G btckna acclatonn hos koppns masscntum G m btckna koppns massa och G dss ölsmängd. Ekaton (.3) ld tll jämktskatonn (.) ftsom dt d jämkt gäll att a = G 0. Fågan ä då om dt fnns någon motsaght tll kaftkatonn då dt gäll jämktskatonn (.). Sat på fågan ä Ja dt fnns och katonn kallas momntkatonn och dn sks
05 Utgåa 3 M = H (.4) dä ä n fxpunkt ummt. Vkton H = H () kallas koppns ölsmängdsmomnt och dfnas nlgt t H = dm P P P (.5) P P G P Fgu. Rölsmängdsmomntt fö n kopp. (.4) följ att M = 0 H = 0 H = konstant kto (.6) Dtta kallas ölsmängdsmomntts baand och nnbä att om momntsumman ä lka md nollkton så gäll att H ( t ) = H ( t ) fö alla tdpunkt t t. m anta att n komponnt a momntkton ä noll t. x. Mz = k M = 0 då följ att Hz = konstant. Fö n patkl md massan m lägskton och hastghtn gäll att H = m (.7) Låt jk aa n HN-bas och = x+ jy+ k z = x + jy + k z. Då gäll att j k H = m = x y z = ( y z ) m + j( z x ) m + k ( x y ) m z y x z y x x y z d s
05 Utgåa 3 Hx = ( yz zy) m Hy = ( zx xz) m Hz = ( xy yx) m (.8) Fgu.3 Rölsmängdsmomntt fö n patkl. I plan öls ( xy -plant) gäll att z = 0 och z = 0 och dämd ducas (3.6) tll Hx = 0 H = 0 y z= y x H ( x y ) m (.9) Momntkatonn kan då skas Mx = H x = 0 My = H y = 0 d Mz = H z = ( xy yx) m = ( xay yax) m dt dä ax = x och ay = y. Ekatonna (.3) och (.4) ä pmät obond llko. Fö spcalfallt patklöls ä dtta dock nt fallt. V ha nämlgn nlgt (.7) H = m+ m= m+ F = F = M Fö patklöls gäll sålds att momntkatonn ä n konskns a kaftkatonn. Ekatonna (.3) och (.4) ä sålds dtta fall nt obond. Momntkatonn tllfö ngt äsntlgt nytt! Dt hnda dock nt att momntkatonn fö n patkl kan aa anändba d lösnng a ssa poblm. 3
05 Utgåa 3 Poblm 3/40 small 0. kg patcl s gn a locty of ms on th hozontal xy -plan and s gudd by th fxd cud al. Fcton s nglgbl. s th patcl cosss th y -axs at ts locty s n th x -dcton and as t cosss th x -axs at ts locty maks a 60 angl wth th x -axs. Th adus of cuatu of th path at s 500mm. Dtmn th tm at of chang of th angula momntum H z of th patcl at both and. Fgu.4 Poblm 3/40. Lösnng: Flägg patkln. Momntkatonn g M = H. I läg gäll att M = N = 0 H = 0 N j N 30 60 d = 0. 3sn 30 n ρ C : köknngscntum Fgu.5 Poblm 3/40 Lösnng. 4
05 Utgåa 3 Rölsmängdsmomntt läg ä H = m dä. = j 0 m m = 0. kg. Sålds 0m. ms H = j 0kg. = k ( 004kgm. s ). = ms och I läg gäll att M = N dä = 0. 3m och N = ( ( cos 30 + ) j ( sn 30 )) N och dämd M = 0. 3 ( ( cos 30 ) + j( sn 30 )) N = k( 0. 3N sn 30 ) H = k( 0. 3N sn 30 ) Nomalkaftn N bäknas gnom att utnyttja kaftkatonn ( natulga koodnat): ( n ld): N = m 0. 08N. ρ = 05. = Dtta g H = k( 0. 3 0. 8sn 30 ) = k( 0. kgm s ). Exmpl. Th smpl pndulum of mass m and lngth l s lasd fom st at = 0. Usng only th pncpl of angula mpuls and momntum dtmn th xpsson fo n tms of and th locty of th pndulum at = 90. Compa ths appoach wth a soluton by th wokngy pncpl. Fgu.6 Exmpl.. Lösnng: Flägg pndln. Infoga tyngdkaft och aktonskaft upphängnngspunktn. V j mg H = l Fgu.7 Exmpl. Lösnng. 5
05 Utgåa 3 D ytt kaftnas momnt gs a M = mgl cos. Pndln ha ölsmängdsmomntt Hz lm l m = =. Momntkatonn Mz = H z g z d g d g mgl cos = ( l m) = l m = cos = cos dt l d l g g d = cosd = sn l l 0 0 Sålds ( 90 ) = g g och dämd = l = l = l l gl. Lös poblmt md hjälp a ngsatsn! Exmpl. V btakta ölsn hos n satllt kng jodn. ntag att satlltn S ha massan m och att jodn ha massan m. Dn kaft som ka på satlltn gs nlgt Nwton s gatatonslag a ( = S = och =. Punktn ä jodns masscntum) mm mm F = G = ( G ) (.0) 3 3 dä G = 6. 673 0 m kg s ä dn unslla gatatonskonstantn. F S Fgu.8 Exmpl. Kaftkatonn g: 6
05 Utgåa 3 mm F = ( G ) = a m (.) Momntkatonn g mm Μ = F = ( G ) = 0 = H H = konstant kto = kh (.) dä k ä n (tdsobond) nhtskto och H = 0. V anta att H 0. Enlgt (.7) så gäll att m= k H (.3) m dtta följ att k = = 0 d s kton ä nklät mot k lkt btyd att H satlltn ö sg tt plan gnom md nomalkton k. V ha sålds plan öls. m utnyttja cylndkoodnat så gäll att z = 0 och satlltns hastght och acclatonn gs då a = + a = ( ) + ( + ) (.4) dtta följ att m= ( + ) m= k m och dämd nlgt (.3) H m = H = konstant = m (.5) Kaftkatonn (.) g mm ( G ) = ( ( ) + ( )) m + (.6) lkt ä kalnt md ( kan fökota bot satlltns massa m ) m G = 0 = + (.7) bsa att om > 0 så gäll att (.7) ä kalnt md (.5). m kombna katonna (.7) och (.5) så hålls dffntalkatonn m H m H G = + G = 0 (.8) 4 3 m m m H > 0 så gäll nlgt (.5) att > 0 och kan då ska = ( ). m nu nfö 7
05 Utgåa 3 aabln u( ) = så kan man sa att (.8) mdfö att u satsfa dffntalkatonn: ( ) Gm m du u d + = H som ha (dn allmänna) lösnngn Gmm u = u( ) = = Ccos( + δ) + ( ) H dä C och δ ä ntgatonskonstant. m älj δ = 0 och p ( ) = = Gmm + cos cos + c H C = så gäll att c dä H p = och Gm m ll hypbl. Dt gäll att ng som ä n ölskonstant. p =. Dtta ä katonn fö n käglsnttskua d s n llps paabl c EH = + dä Gmm 3 mm E = m G ä satlltns mkanska Fgu.9 Exmpl.. 8
05 Utgåa 3 m < och md p= a ( ) så gäll att a ( ) ( ) = (.9) + cos lkt motsaa n llps. V ha = 0 ( ) = a ( ) och = ( π ) = a ( + ) s Fgu. oan! P Talt < kallas llpsns xcntctt = 0 g n ckl = g n paabl och > g n hypbl. Dt gäll att och dämd Gmm E = ( ) H 3 Gmm 0 < E < 0 = E = 0 > E > 0 3 H Sammanfattnng (Rölskaton) Fö alla koppa öls gäll: dä ä n fx punkt och F = a m = G G M = H n F = F = n M = F + M P = G = dm = m P P G H = dm P P P I plan patkl-öls: Mx = H x = 0 My = H y = 0 d Mz = H z = ( xy yx) m = ( xay yax) m dt 9
05 Utgåa 3 Föläsnng : Stla koppns knmatk allmänt (5/-5/3) gppt stl kopp ä a gundläggand btydls mkankn. En stl kopp kan und nga som hlst omständght dfomas d s föända sn fom. astt lka kaft som ka på koppn så ä koppns fom ntakt. En stl kopp ö sg ummt gnom tanslaton och otaton a koppn som hlht. Dtta nnbä att aståndt mllan tå punkt lka som hlst koppn alltd ä dtsamma d s aståndt ä tdsobond. Vklga matlla koppa t x masknkonstukton ä nt stla stkt mnng. Än tt kugghjul a stål som ngå n tansmsson föända sn fom und blastnng. I ssa fall kan man fösumma dnna fomföändng och btakta kugghjult som stlt. Dtta fönkla allmänht analysn a kugghjults öls högst äsntlgt. V ska dnna kus studa plan öls hos stla koppa. Plan öls nnbä att hastghtsktona fö alla punkt koppn ä paalllla md tt plan ölsplant. Man kan göa n natulg ndlnng a möjlghtna fö plan öls hos stl kopp guppna: Tanslatonsöls (ätlnjg och koklnjg) otaton kng fx axl allmän plan öls. S fgun ndan! Fgu. Stl kopps plana öls Nä n kopp tanslatas så föflyttas aj punkt koppn på samma sätt md n tanslatonskto u nlgt fgun ndan. m dn matlla punktn ha lägskton fö tanslatonn så ha dn lägskton + u ft tanslatonn. m ä n annan punkt koppn så komm då kton tanslatats (paallllföflyttats). att aa dnsamma fö som ft tanslatonn. Dn ha 0
05 Utgåa 3 u u Fgu. Tanslaton. Nä n kopp otas kng n axl ( k ) dä k ä n nhtskto nklät mot ölsplant så föflyttas aj punkt på så sätt att punktn lgg stlla och kton ds n nkl ϕ nlgt fgun ndan. ϕ k j 0 ϕ 0 Fgu.3 Rotaton. Låt 0 btckna kton mllan och fö otatonn och låt btckna dnna kto ft otatonn. S fgun oan. I HN-basn ( j k ) gäll då att 0 = cos( 0 ) + j sn( 0 ) = cos + j sn ( ( ( ( x0 y0 x y dä = = och ϕ = 0 +. Sålds 0 = ( cos( ϕ ) + ϕsn( ϕ )) = ( (cosϕcos + snϕsn ) + ϕ (snϕcos 0 0 0 0 0 cosϕ snϕ cos( 0) cosϕ snϕ x0 cosϕsn 0 )) = ( ϕ) = ( ϕ ) snϕ cosϕ sn( 0) snϕ cosϕ y0
05 Utgåa 3 Sålds x cosϕ snϕ x0 = y snϕ cosϕ y0 (.) lkt g sambandt mllan koodnatna fö kton fö och ft otatonn. Matsn cosϕ snϕ R = snϕ cosϕ ä n otogonal mats d s R R T =. V kan då ska x0 x cosϕ snϕ x = R y = 0 y snϕ cosϕ y (.) ntag nu att otatonn ä n funkton a tdn d s cos ϕ() t sn ϕ() t R= Rt () = sn ϕ() t cos ϕ() t dä ϕ = ϕ() t g otatonsnklns tdbond. Vktons tdsbond gs då a cosϕ snϕ x0 = () t = ( ϕ ) sn ϕ cos ϕ y (.3) 0 Tdsdatan a gs a d d cos ϕ ( sn ϕ) d cosϕ snϕ x0 dt dt x0 ( t) = ( ϕ) = ( ϕ) = dt snϕ cosϕ y0 d d y0 snϕ cosϕ dt dt snϕ cosϕ x0 snϕ cosϕ cosϕ snϕ x ( ϕ) ϕ = ( ϕ) ϕ cosϕ snϕ y = 0 cosϕ snϕ snϕ cosϕ y ( ϕ 0 x y ) ϕ = ( ) ϕ = ( ϕy) + ϕx= ϕ = 0 y ϕ x ϕ k ω dä utnyttjat sambandt (.). Vkton ω= k ϕ kallas otatonns nklhastght. Sålds = ω (.4) En allmän stlkoppsföflyttnng gs a n kombnaton a n tanslaton och n otaton nlgt
05 Utgåa 3 Fgu.4 ndan. Föst gs koppn n tanslaton md kton u och däft ds koppn kng axln ( k ) n nkl ϕ. bsa att otatonsnkln ϕ ä ntydgt bstämd mn dämot nt tanslatonn. Fö att komma fån tt läg tll tt annat så kan man ställt älja att tanslata koppn md kton u md n påföljand otaton nkln ϕ kng axln ( k ). u ϕ ϕ ϕ u Fgu.4 llmän plan stlkoppsöls Fgu.5 En maskn plan öls. I dnna kus studa huudsaklgn plan öls. V komm mlltd att nlda md att dosa n dl samband och katon som gäll fö allmän tdmnsonll öls. Spcalsngn tll plan öls g då n natulg motng fö d katon som gäll dtta fall. 3
05 Utgåa 3 V böja md att pta cklöls fö n patkl. En patkl P ö sg n cklbana md adn R. V nfö cylnd-koodnat ( z) så att bankuan gs a = R z = 0. Dtta nnbä att bankuan lgg xy -plant. Dt gäll att = och dämd Cklölsns nklhastght dfnas a R = = R a = R + ( R ) (.5) ω= (.6) Dt gäll att = cos + j sn och dämd = ( sn ) + j cos =. Dtta g ω= = = k (.7) dtta följ att ω = k R R = =. Patklns hastght kan sålds skas = ω (.8) j a P Fgu.6 Cklöls plant. ntag nu att cklölsn sk tt plan md nomalkton n ( nn =) nlgt ndanstånd fgu. Låt C btckna cklns cntum. ntag att C = n c. Md ω= n ω dä ω = hålls ω = ω ( + ) = nω ( nc + ) = ω = (.9) C CP CP CP ds. sambandt (.8) gäll än dtta fall. Dt följ att patklns fat gs a = = ω = ωsn β = ω R= R 4
05 Utgåa 3 ω C CP C β P P Fgu.7 Cklöls ummt. Patklns acclaton kan nu bäknas gnom dkt daton a (.8) a = = ω + ω = ω + ω ( ω ) (.0) dä utnyttjat sambandt (.8) yttlga n gång. Lmma Låt b= b () t aa n tdsbond kto md konstant längd d s d b = 0. Då gäll dt d b d( bb ) 0= = = bb (.) dt dt d s bb = 0 b b. Dt xsta då n nklhastghtskto ω= ω () t sådan att b = ω b (.) Dnna nklhastghtskto ä nt ntydgt bstämd. Tå kto ω and ω som uppfyll (.) ä latad gnom ω = ω+ λb dä λ = λ() t ä n skalääd funkton. s: Fö ntydghtn antag att b = ω b and b = ω b. Då gäll att ( ω ) ω b= 0och b b följaktlgn ω = ω+ λb. Fö xstnsn älj ω =. Då gäll bb ( b b ) bb b bb b ω b= b= = b bb bb dä ha utnyttjat (.). 5
05 Utgåa 3 Vaj tdsbond kto b= b () t md konstant längd ha sålds n nklhastghtkto ω= ω () t sådan att b = ω b. ntag nu att ha n tdsbond HN-bas ( ). Vaj 3 kto = () t ha då nlgt oan n nklhastghtskto ω = ω () t sådan att = ω. Dt sa sg då att dt måst gälla att ω = ω = ω3 = ω dä ω kallas basns nklhastght. V ha nämlgn följand Sats (Eul-Possons hastghtsfoml) Låt ( 3) aa n HN-bas dä = () t = 3. Då xsta n ntydgt bstämd nklhastghtskto ω= ω () t sådan att Vnklhastghtskton kan skas = ω = 3 (.3) 3 ω= = ω 3 Fgu.8 HN-bas och dss nklhastght. s: ( ökus kan föbgås) Enlgt lmmat oan xsta ω ω and ω 3 sådana att = ω dä och λ = λ (). ntag att t ω= + λ = 3 dä 3 ω = ω = 3 (.4) k k k= ω k = k ω = k ( + λ) = k + λk = sgn( j k) j k j (.5) om ( j k) ä n jämn pmutaton a ( 3) sgn( j k) = om ( j k) ä n udda pmutaton a ( 3) 6
05 Utgåa 3 Dt gäll att = δ ω + ω = 0 ( ω ω ) = sgn( j k)( ω ω ) = j j j j j j j j k sgn( j k)( ωk ωjk ) = 0 j k. Sålds ωk = ωjk j k och kan ska ω = ω + ω + ω = ω + ω + ω + ( ω ω ) = ω+ ( ω ω ) 3 3 3 3 ω = ω + ω + ω = ω + ω + ω + ( ω ω ) = ω+ ( ω ω ) 3 3 3 3 ω = ω + ω + ω = ω + ω + ω + ( ω ω ) = ω+ ( ω ω ) 3 3 3 3 33 3 3 3 33 3 3 3 dä nlgt (3.4)-(3.5) ω= ω + ω + ω = ( ) + ( ) + ( ). Dt följ att = ω. Rpsntatonn (3.) gäll ftsom 3 3 3 3 3 3 = ( + 3 3) = ( 3 3) = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = Entydghtn följ a följand agumnt. m = ω and = ω då ha nlg lmmat oan ω ω = µ = µ = µ 3 3 fö någa lläda funkton µ = µ ( t ) µ = µ ( t) µ = µ (). Mn då följ att µ () t = µ () t = µ () t = 0 t och dämd ω ω = 0. 3 3 t 3 takta n kopp. Låt aa tå godtycklga matlla punkt koppn as öls gs a = () och = (). takta dn lata lägskton t t Koppn sägs aa stl om dt gäll att = () t = () t () t d dt ( ) t = 0 (.6) ds. om aståndt mllan tå godtycklgt alda punkt koppn ä konstant (tdsobond) aj öls fö koppn. Vllkot (.6) ä kalnt md ll d ( () t ()) t = 0 (.7) dt () t () t = 0 (.8) 7
05 Utgåa 3 Fgu.9 En stl kopp. Låt nu ( 3) aa n högontad otonomad bas (HN-bas) som ä fx (mdföljand) koppn. V kan då ska () t = () tx+ () tx+ () tx (.9) 3 3 dä x x och x 3 ä konstant (komponntna fö kton basn ( 3) ). ω 3 Fgu.0 Mdföljand HN-bas. V ha dt gomtska sambandt = + och dämd om da m a p tdn så hålls hastghtssambandt = + (.0) dä ä hastghtn hos och ä hastghtn hos. Fö hastghtn hos dn lata lägskton gäll nlgt (.9) 8
05 Utgåa 3 = x + x + x = ω x + ω x + ω x = ω ( x + x + x ) = ω 3 3 3 3 3 3 (.) dä utnyttjat Eul-Possons hastghtsfoml = ω = 3. V ha alltså dt ktga sambandt (sambandfomln fö hastght hos n stl kopp) = + ω (.) Vkton ω som ä nklhastghtskto fö HN-basn ( 3) kallas koppns nklhastghtskto. En stl kopps hastghtsfält gs då a P = + ω P P (.3) dä ä n (godtycklgt) ald baspunkt koppn. I Läobokn ( Dynamcs ) gs dn anda tmn katonn (.3) oan btcknngn P/ = ω P lkt uttyck punktns P hastght latt. Dtta kan uppfatta som otatonshastghtn fö P latt baspunktn. Koppn ota momntant kng axln ( n ) dä n = ω och md otatonshastghtn ω = ω 0. Dt allmänna ω hastghtsfältt fö n stl kopp bstå a n tanslatonshastght och n otatonshastght = ω. Hastghtfältt ä sålds bstämt a ktona och ω. P/ P ω ω P P P P P P Fgu. Stl kopps hastghtsfält. bsa att tanslatonshastghtn bo på alt a baspunkt. I foml (.3) ä punktn baspunkt. m älj som baspunkt gäll ställt P = + ω P P (.4) bsa också att nklhastghtskton ω ä obond a baspunkt lkt nnbä att dn stla koppn ota kng alla sna punkt md samma nklhastght. 9
05 Utgåa 3 m ω() t = 0 sägs koppn ha n n tanslatonshastght d tdpunktn t. Då gäll att P = = = P (.5) P Fgu. Tanslatonshastght. m () t = 0 sägs koppn ha n n otatonshastght kng punktn d tdpunktn t d s = ω (.6) Fgu.3 Rotatonshastght. Md utgångspunkt fån sambandfomln fö hastght (.3) kan hälda motsaand sambandsfoml fö acclaton. V da sambandsfomln fö hastght = + ω a = a + ω + ω = a + ω + ω ( ω ) (.7) dä utnyttjat (.7) d s = ω dä α = ω ä koppns nklacclaton.. V ha då hållt sambandsfomln fö acclaton a = a + α + ω ( ω ) (.8) ω 0
05 Utgåa 3 I Läobokn ( Dynamcs ) gs d tå ssta tmna katonn (.8) oan btcknngn a/ = α + ω ( ω ) lkt uttyck punktns acclaton latt. En stl kopps acclatonsfält gs då a ap = a + a/ = a + α P + ω ( ω P ) P (.9) dä ä n (godtycklgt) ald baspunkt koppn. Fgu.4 Stl kopps acclatonsfält. Exmpl. Th ccula dsk otats wth a constant angula locty ω = 40ads about ts axs whch s nclnd n th y-z-plan at th angl = actan 3. Dtmn th cto xpssons fo th 4 locty and acclaton of pont P whos poston cto at th nstant shown s = 0. 375m + j0. 400m + k ( 0. 300m) Fgu.5 Exmpl..
05 Utgåa 3 3 4 Lösnng: Rotatonsaxlns ktnngskto n= j + k och koppns nklhastghtskto 5 5 ω= nω = n40ads = j4ads + k 3ads. Koppns nklacclatonskto α = 0. Välj som baspunkt. Dt gäll att = 0 a = 0 och dämd nlgt (.) och (.7) P = + ω = ω = ( j4 + k3) ( 0. 375 + j0. 400 + k ( 0. 300)) = j k 0 4 3 = ( 0ms ) + jms + k ( 9ms ) 0. 375 0. 400 0. 300 och j k ap = a + α + ω ( ω ) = ω ( ω ) = ω P = 0 4 3 = 0 9 ( 600ms ) + j( 640ms ) + k ( 480ms ) Föläsnng 3: Spcalsng tll plan öls: (5/3-5/4) Dn stla koppn sägs utföa n plan öls om dt xsta n konstant kto k ( k k =) nomalkton tll ölsplant så att k P = 0 P. Dtta g nlgt (.) att 0= k P = k + k ω P = k ω P = k ω P P lkt nnbä att k ω= 0 ω= k ω. Vnklhastghtskton d plan öls ä sålds nklät mot ölsplant d s ölsplant ä paallllt md x-y-plant. Hastghtssambandt d plan öls g: = + ω = + kω = + ω dä =. Vnklacclatonn d plan öls gs a α = ω = k ω. cclatonssambandt kan då skas a ( ) ( ) ( = a + α + ω ω = a + k ω + kω kω = a + ω + ω ) Sålds gäll d plan öls följand sambandsfoml: = + ω a = a + + ( ω ) (3.) ω m anänd basktona höand tll dt natulga koodnatsystmt gäll = + ω a = a + ω + ω t (3.) t n Dä t = och n =. I Läobokn ( Dynamcs ) sks dssa samband
05 Utgåa 3 = + a = a + a+ a (3.3) t t t t n n dä t = ω at a = α = ω och a n = ω. j ω = ω / k Fgu 3. Hastghtssambandt d plan öls. Exmpl 3. Th squa plat otats about th fxd pot. t th nstant psntd n th fgu blow ts angula locty s ω = 6ads and ts angula acclaton s a = 4ads n th dcton shown n th fgu. Dtmn th locty and acclaton of (a) pont and (b) pont. Fgu 3. Exmpl 3.. Lösnng: Plattans nklhastghtskto ω= k ω dä ω = 6ads och nklacclatonskto α = k α dä a = 4ads. (a) Välj som baspunkt. Dt gäll att = 0 a = 0 och nlgt (.) = + ω = ω dä = j 0. 045 lkt g = ω = k( 6) j0. 045 = 0. 7ms 3 Vda gäll nlgt (.7) att a = a + α + ω ( ω ) = α + ω ( ω ) lkt g a = k4 j0. 045 + k( 6) ( k( 6) j0. 045) = ( 0. 8) + k( 6) 0. 7 =
05 Utgåa 3 ( 0. 8ms ) + j (. 6ms ) (b) Välj som baspunkt. Då gäll att = ( 0. 03) och nlgt (.) och (.7) hålls = + ω = 0. 7ms + k( 6) ( 0. 030) = 0. 7ms + j 0. 8ms a = a + α + ω ( ω ) = ( 0. 8ms ) + j(. 6ms ) + k4 ( 0. 030) + k( 6) ( k( 6) ( 0. 030)) = 0. 900ms + j (. 74ms ) Poblm 5/6 Th two V-blt pullys fom an ntgal unt and otat about a fxd axs at. t a ctan nstant pont on th blt of th small pully has a locty =. 5ms and a pont on th blt of th lag pully has an acclaton a = 45ms as shown. Fo ths nstant dtmn th magntud of th acclaton a C of pont C and sktch th acclaton-cto n you soluton. Fgu 3.3 Poblm 5/6. Lösnng: S Fgu 3.4 ndan! Låt ωα btckna mskonas nklhastght och 50 nklacclaton spkt. Då gäll = ω =. 5ms dä = mm = 0. 075m samt. 5ms a = a = 45ms dä = 0. 36m. Dtta g ω = = 0ads och 0. 075m 45ms a = =. 5ads. Då gäll nlgt (3.3) att 0. 4m a = a + a + a C t t n n dä a = 0... a = a = 5ads 0 36m = 40 5ms och a = ω = ( 0ads ) 0. 36m t C = 44ms och dämd a = a + a = a = 40. 5ms + 44ms. C t t n n C t n n C 4
05 Utgåa 3 E D ωα n a C Fgu 3.4 Lösnng 5/6. t Rölsn hos plana mkansm: V komm dtta asntt att studa ölsn hos plana mkansm d s systm a stla koppa som ä sammankopplad md ld (gångjän olut jont ). Uppgftn ä att bstämma ölstllståndt d s nklhastght ω och nklacclatonn α hos d systmt ngånd stla dlana. takta n mkansm nlgt ndanstånd fgu bstånd a tå stla koppa och. Koppana ä föbundna md n ld punktn. Koppn ä föbundn md tt fxt fundamnt a n ld. Punktn kan ndast öa sg y-ld. Koppn ha dt aktulla ögonblckt nklhastghtn ω nlgt fgun. stäm fö dt läg som sas fgun nklhastght ω fö koppn och hastghtn hos punktn C. ω ω C C j k Fgu 3.5 Plan mkansm. V nfö btcknngana a = b = C. Koppanas nklhastght ω = k ω ω = k ω. Sambandsfomln (.) tllämpad på g = + ω = 0+ kω a( cos + j sn ) = ( aωsn ) + j aωcos. Sambandsfomln (.) tllämpad på g C = + ω C = ( aωsn ) + jaωcos + kω b( ( cos ) + j( sn )) = ( aωsn+ bωsn ) + j ( aω cos bω cos ). Nu gäll att 5
05 Utgåa 3 och dämd a sn C = 0 aωsn+ bωsn = 0 ω = ω om 0 π bsn sn C = j( aωcos bωcos ) = j (cos ) aω om 0 π tan Exmpl 3. sld mos wth constant spd on th staght gud fo a shot ntal whl sld mos on th ccula gud whos cnt s at. Dtmn th angula locty ω of lnk as a functon of th dsplacmnt s of th sld. Fgu 3.6 Exmpl 3.. Lösnng: Länkamns nklhastght ω= k ω. Dt gäll att = j och = R cos + j Rsn lkt g = = ( R sn ) + jr cos. S Fgu 3.7 ndan! gomtn famgå att ch dämd s s sn = cos = R 4R ( s s = = R ) + jr R 4R s Sambandsfomln (.0) g = + ω dä = Rcos + j( Rsn ) = R + 4R s j ( R ). dtta följ R s s s s ( R ) + jr = j+ kω ( R + j( R )) = R 4R 4R R 6
05 Utgåa 3 s s ( ωr ) + j ( + ωr ) R 4R lkt g llkon dtta följ att ω = = ω s R 4R s s R = + ωr 4R 4R. j ω k Fgu 3.7 Lösnng Exmpl 3.. Plan ullnng på n fx plan yta: V studa tt ckulät hjul md adn som ulla på tt plant undlag. Hjults nklhastght ω= k ( ω). Låt D btckna hjults cntum. j D ω D D k C C DC Fgu 3.8 Rulland hjul. Låt C btckna dn punktn hjult som momntant (d s tt sst ögonblck) ä kontakt md undlagt. Då gäll att = + ω = + k( ω) j( ) = + ( ω) (3.4) C D DC D D V anta att hjult ulla kontakt md undlagt d s D = D. Dt ä ktgt att sklja på d matlla punktna som bfnn sg kontakt punktn C d s punktn hjult och punktn 7
05 Utgåa 3 undlagt och das öls och dn gomtska kontaktpunktns C öls. Dnna ä ngn matll punkt och ö sg md samma hastght som cntumpunktn D. Dt följ a (.4) att = + ( ω) = ( ω) = dä (3.5) C D D gld dä = ω (3.6) gld D ä dn så kallad gldfatn. V anta hä att undlagt ä la d s ha hastghtn lka md noll. bsa att (3.6) ä D och ω allmänht obond stoht. Dt gäll att > 0 om ω < gld = 0 om ω = D < 0 om ω > D D (3.7) m gld = 0 så ulla hjult utan att glda (ullnng utan gldnng). Då ha tt dkt samband mllan ω och D nämlgn Vlkn acclaton ha punktn C? Sambandsfomln (.6) g ω = D (3.8) a = a + α + ω ( ω ) C D DC D a = a = α = ω = k( ω ). dä D D D D ω = D = D D a C C Fgu 3.9 Rullnng utan gldnng. Dämd a = + k( ω) j( ) + k( ω) ( k( ω) j( )) = ( ω) + jω = C D D 8
05 Utgåa 3 m gld = 0 gäll sålds att gld + jω ac = j ω och om dssutom gld = 0 så hålls D ac = j. Hastghtsfältt fö dt ulland hjult kan skas (md D som baspunkt) som d ullnng utan gldnng g dä utnyttjat (3.8). = + ω = + k( ω) = + ( ω ) (3.9) P D DP D DP D DP DP P = ( + ( )) D (3.0) P D ( ω ) DP P D C Fgu 3.0 Hastghtfält d plan ullnng. cclatonsfältt d plan ullnng gs nlgt (3.3) a a = a + ( ω ) + ( ω ) = a + ( ω ) + ( ω ) (3.) P D DP DP x D DP DP dä ad = D. Hastghtsfältt d ullnng utan gldnng längs dn tkala damtn (y - axln) hålls gnom π att sätta = = och DP = y. Då hålls nlgt (3.0) S fgun på nästa sda! y y = ( y) = ( + ( )( )) D = ( + ) ω = yω 9
05 Utgåa 3 y E y D ω = ( ) = ω E ( y) = ω y = () = ω D C x Fgu 3. Hastghtfält d plan ullnng. Poblm 5/36 Th whl of adus olls wthout slppng and ts cnt has a constant locty to th ght. Dtmn th locty and acclaton of pont on th m at th nstant shown n th fgu blow. Fgu 3. Poblm 5/35. Lösnng: Hjults nklhastght ω= k ( ω). Hjults cntumhastght =. Sambandsfomln g = + ω = + k( ω) dä = ( cos ) + j ( sn ). Sålds = + k( ω) ( ( cos ) + j( sn )) = ( + ωsn ) + j ωcos Hjult ulla utan att glda och då gäll nlgt (3.8) att ω = och dämd = ( + sn ) + j cos (3.) π m = så hålls nlgt (3.6) = 0. m π = så hålls =. V nota att = x. Fö acclatonn gäll a = a + α + ω ( ω ) = ω ( ω ) = ω. 30