TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, Momnt: TEN anals atum: Lördag, 9 jan Skrivtid :-7: Eaminator: Armin Halilovi Rättand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg A, B, C,, E krävs, 9,, rspktiv poäng Komplttring: 9 poäng på tntamn gr rätt till komplttring btg F Vm som har rätt till komplttring framgår av btgt F på MINA SIOR Komplttring skr :a två vkor ftr att tntamn är rättad Om komplttring är godkänd rapportras btg E, annars rapportras F Hjälpmdl: Endast bifogat formlblad miniräknar är int tillåtn Till samtliga inlämnad uppgiftr fordras fullständiga lösningar Skriv ndast på n sida av papprt Skriv namn oh prsonnummr på varj blad Inlämnad uppgiftr skall markras md krss på omslagt Skriv klass på omslagt, A, B llr C nna tntamnslapp får j bhållas ftr tntamnstillfällt utan ska lämnas in tillsammans md lösningar Uppgift p a Bstäm dfinitionsmängdn till funktionn f ln ln b Bstäm dn invrsa funktionn till g ln Bräkna följand gränsvärd: lim sin d rivra funktionn h artan ln Uppgift p Låt f a p Bstäm samtliga asmptotr lodräta/vågräta/snda b p Bstäm samtliga stationära punktr oh dras karaktär min-/ma-/trrasspunkt p Rita grafn till funktionn Var god vänd!
Uppgift p Bstäm Talorpolnomt av trdj ordningn kring punktn till funktionn f Uppgift p Bstäm vntulla lokala trmvärdn oh tp min/ma till funktionn f, ln Uppgift p Bräkna följand intgralr: a p ln d b p d Uppgift p Bräkna volmn av kroppn som uppstår då områdt,, rotrar kring -aln Uppgift 7 p Bräkna volmn av kroppn som dfiniras av z,, Uppgift p Bstäm tngdpunktn för ndanstånd områd som i polära koordinatr dfiniras av r, θ s figurn / Lka till!
FACIT Uppgift p a Bstäm dfinitionsmängdn till funktionn f ln ln b Bstäm dn invrsa funktionn till g ln Bräkna följand gränsvärd: lim sin d rivra funktionn h artan ln Lösning: a finitionsmängd till funktionn f ln ln : > > oh > < gr < < Svar a: < < Altrnativt svar, b n invrsa funktionn till funktionn g ln g ln ln f Alltså g llr g Svar b: g lim sin Svar : gr os { LH} lim h artan ln Svar d: h h Rättningsmall, a,b,,d: Rätt llr fl Uppgift p Låt f p Bstäm samtliga asmptotr lodräta/vågräta/snda p Bstäm samtliga stationära punktr oh dras karaktär min-/ma-/trrasspunkt
p Rita grafn till funktionn Lösning: Asmptotr till funktionn f Vågrät: lim f n vågrät asmptot ± Lodräta: Nämnarn är alltid positiv oh funktionn saknar lodräta asmptotr Eftrsom dt finns n vågrät asmptot då går mot ± så saknas snda asmptotr Stationära punktr: f f oh Tknstudi gr f f MIN MAX Minimivärdt f, maimivärdt f Grafn till funktionn f : Rättningsmall: Asmptotr: Rätt llr Fl
Rätt stationära punktr p Rstn är rätt gr ttrligar p Fl stationära punktr p Rätt llr Fl Uppgift p Bstäm Talorpolnomt av trdj ordningn kring punktn till funktionn f f givn Eftrsom f, f, f, Talorpolnomt av trdj ordningn kring punktn a är P f a f a a f a a f a a!! I vårt fall: P,!! Notra att! oh! Svar:, Notra att! oh! Rättningsmall: Utlämnad trdjgradstrm gr p om allt annat är rätt Avdrag p pr räknfl Om man skrivr!,! iställt för, gr j avdrag Uppgift p Bstäm vntulla lokala trmvärdn oh tp min/ma till funktionn f, ln Lösning: Vi notrar först att polnomt, som är argumnt till logaritmn, alltid är positivt: > Om dtta int had gällt påvrkas dfinitionsmängdn Partilla drivator bräknas: f, f, f, f f i Stationära punktr får vi gnom att lösa sstmt f dvs f ärmd är S, n stationär punkt ii Vi bräknar A f,, B f,, C f, oh därftr AC B > Eftrsom AC B > oh A> har funktionn lokalt minimum i punktn, Funktionns minimivärd är f,
Svar: Funktionn har lokalt minimum f min i punktn, Rättningsmall: Korrkta partilla drivator av första ordningn oh rätt stationär punkt S, gr p Allt korrkt mtod, partilla drivator, AC B, f min grp Uppgift p Bräkna följand intgralr: a p ln d b p d Lösning: a Partialintgrra: ln d ln d C ln d C ln C b: p Partialbråksuppdla kvotn intgrandn : A B multiplira md A B llr A B A Härav A B oh A som gr A / oh B / ärför / / d d ln ln C SVAR a ln C b ln ln C Rättningsmall: p avdrag för utlämnad intgrationskonstant C i båda dlar a oh b a-dln: Hlt rätt p Avdrag för räknfl: n trm fl, övriga tr rätt kl C gr p, annars p b-dln: Hlt rätt p p för korrkt partialbråksuppdlning
Uppgift p Bräkna volmn av kroppn som uppstår då områdt,, rotrar kring -aln Lösning: v d d d f V b a Intgraln är gnralisrad, så man får bräkna gränsvärdt av intgraln då dn övr gränsn går mot oändlightn Svar: v Rättningsmall: Korrkt till gr p Allt korrktp Uppgift 7 p Bräkna volmn av kroppn som dfiniras av z,, Lösning: Volmn bräknas md n dubblintgral: dd V där dfiniras av, Mtod d d V 9 d d Mtod d d V 9 d d Svar: 9 v
Rättningsmall: p för korrkt bräkning till uttrkt d llr till uttrkt d i mtod Allt korrktp Uppgift p Bstäm tngdpunktn för ndanstånd områd som i polära koordinatr dfiniras av r, θ s figurn / Lösning: Formlr för tngdpunktskoordinatr fås från formlblad: Aran dd oh Aran dd Områdts ara: Aran dd bt till polära koordinatr, dd rdrdθ 9 θ r rdrd θ θ θ θ d d d Tngdpunktskoordinatr bräknas md polära koordinatr: dd bt till polära koordinatr, r osθ, dd rdrdθ Aran r r osθ rdrdθ osθ dθ osθ osθ dθ 9 9 9 9 osθ θ sinθ sin d
Aran dd bt till polära koordinatr, rsinθ, dd rdrdθ r rsinθ rdrdθ sinθ dθ sinθ sinθ dθ 9 9 9 9 9 sinθ θ osθ os os d Svar: 9 oh 9 Rättningsmall: p för aran p för korrkt intgral dd p för korrkt intgral Allt korrktp dd 9 9